Matematica (21)

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Capítulo
8
Função exponencial
1985
A Microsoft 
começa a 
comercializar o 
Windows, apesar 
de tê-lo lançado 
em 1983. 
1971
Surgem as 
primeiras 
calculadoras 
eletrônicas 
portáteis.
1970 1975 1980 1985
Evolução tecnológica
1976
Alan Shugart 
desenvolve o 
disquete (floppy) 
de 5 ¼ polegadas, 
que conseguia 
armazenar de 
140 KB a 1,2 MB. 
1975
Bill Gates e Paul 
Allen desenvolvem a 
primeira linguagem 
de programação 
escrita para um 
computador pessoal.
1983
A Apple lança o 
primeiro computador 
com interface 
gráfica, ou seja, 
com figuras 
para acionar os 
comandos.
Lei de Moore
Quanto maior o número de transistores 
em um chip, maior será sua capacidade de 
processamento. Em 1965, Gordon Moore previu 
que o número de transistores integrados em um 
chip dobraria a cada dois anos, acarretando mais 
desempenho por menos custo. Hoje, podemos 
constatar se sua previsão estava correta.
Em 1971, a empresa 
Intel Corporation põe 
à venda o primeiro 
microprocessador 
em um pequeno chip, 
era o 4004 com 
2.300 transistores.
Em 1982, é lançado 
o processador Intel 
286 com 134.000 
transistores.
4.500 29.000 275.0002.500
Muitas grandezas crescem ou 
decrescem em função de outra, 
através do produto por uma 
taxa constante. Por exemplo, o 
crescimento de um capital aplicado 
em regime de juro composto é uma 
grandeza que varia em função do 
tempo. Estudar a função exponencial 
ajuda a entender essas variações.
 8.1 Introdução ao estudo 
da função exponencial
Para entender o conceito de função 
exponencial, é necessário conhecer a 
potenciação e suas propriedades.
 8.2 Radiciação em V
A radiciação pode ser entendida 
como a operação inversa da 
potenciação.
 8.3 potência de expoente 
real
A partir de algumas propriedades 
da potenciação, é possível 
representar as potências de expoente 
racional na forma de radical. 
 8.4 a função exponencial
A função exponencial trata de um 
tipo de crescimento ou decrescimento 
frequente em fenômenos da natureza 
como crescimento populacional.
 8.5 Equação e inequação 
exponencial
Ao estudar as grandezas que 
variam através do produto por uma 
taxa constante, buscam-se um ou 
mais valores desconhecidos que 
podem ser obtidos por equações ou 
inequações exponenciais.
Desde a invenção dos primeiros computadores diversas previsões e 
especulações foram feitas sobre o desenvolvimento da informática, 
procurando antecipar a evolução da capacidade de armazenamento 
de dados e o aumento da velocidade de processamento das 
informações e do número de transistores nos microprocessadores.
CAP 8.indb 252 03.08.10 12:45:27
1991
É realizada no Brasil a 
primeira conexão à internet. 
O acesso ao sistema foi 
inicialmente liberado 
apenas para instituições 
educacionais, de pesquisa e 
órgãos do governo.
1985 1990 1995 2000 2005 2010
2.000.000.000
1.750.000.000
Número de 
transistores
1.500.000.000
1.000.000.000
1.250.000.000
750.000.000
250.000.000
500.000.000
1996
O Brasil tinha 
100 mil usuários 
de internet.
2001
A Apple anuncia 
o iPod, tocador de 
música portátil.
2006
Registram-se cerca 
de 92 milhões 
de websites.
2007
O mercado brasileiro 
de computadores 
cresce 43%, atingindo 
a marca de 8,3 milhões 
de computadores 
vendidos.
2009
O Brasil atinge 64,8 
milhões de internautas 
com mais de 16 anos.
2010
A Aple lança o iPad, 
microcomputador 
cuja interface lembra 
um iPhone.
1995
É lançado Toy 
Story, que deu 
origem à era de 
filmes gerados 
por computador.
1998
Larry Page e 
Sergey Brin criam 
o Google e a IBM 
lança o pendrive.
Em 1993, a Intel põe fim à 
série de processadores _86 
e lança o primeiro Pentium 
com 3.100.000 transistores.
Em 2010, a Intel 
lança o 
processador 
Tukwila com 
2.000.000.000 
de transistores.
Em 2004, é lançado o 
processador Itanium 2 
da Intel com 592.000.000 
de transistores.
1.200.000 7.500.000 42.000.000 105.000.000
220.000.000
291.000.000
463.000.000
904.000.000
789.000.000
731.000.000
1.700.000.000
1.900.000.000
de transistores.
1.700.000.000
Para pensar
 1. Em 1971, um processador tinha 
2.300 transistores. De acordo 
com a lei de Moore, quantos 
transistores teria um proces-
sador em 2011?
 2. Você acha que a previsão de 
Moore representa uma apro-
ximação aceitável do que vem 
acontecendo ao longo dos anos? 
Por quê?
 V1_P2_CAP_08A.indd 253 3/17/11 10:52:48 AM
Seção 8.1
 Objetivos
 Resolver expressões 
envolvendo potências.
 Representar números 
sob a notação científica.
 Termos e conceitos
• potência de 
expoente inteiro
• notação científica
Introdução ao estudo 
da função exponencial
Note que a coluna onde se registra o número de bactérias apresenta 
as potências 20, 21, 22, 23, 24, ... Assim, o número y de indivíduos gerados por 
uma bactéria será, na geração x, expresso pela função:
y 5 2x
Se essas bactérias conseguissem se bipartir a cada 20 minutos, após 
1 hora, teríamos três gerações; e, em apenas um dia, teríamos 72 gerações. 
Para se ter ideia, o número de bactérias somente na 72a geração seria: 
272 5 4.722.366.482.869.645.213.696 
E o total de bactérias em apenas um dia seria:
9.444.732.965.739.290.427.391
Essa situação mostra o crescimento assustador da função f (x) 5 2x. 
Igualmente espantoso é o decrescimento de g(x) 5 @ 1 __ 
2
 # 
x
 .
Funções como essas, chamadas de funções exponenciais, serão estu-
dadas neste capítulo. Os pré-requisitos para esse estudo são os conceitos 
e as propriedades envolvidas na potenciação e na radiciação no conjunto 
dos reais em V, que revisaremos a seguir.
Várias situações do cotidiano, como a depreciação de um bem, o cálculo 
da taxa de juro em aplicações financeiras ou em empréstimos bancários, e 
do universo científico, como o cálculo de crescimento populacional, a me-
dição dos níveis de radioatividade de um elemento atômico, entre outras, 
podem ser estudadas com o auxílio das funções exponenciais.
Para apresentar a função exponencial, vamos partir de uma situação que 
mostra a relação entre essa função e uma forma de crescimento de grandezas.
A maioria das bactérias reproduz-se por bipartição, isto é, cada uma 
delas se divide em duas ao atingir determinado tamanho.
Em uma cultura de laboratório, va-
mos considerar determinada bactéria 
que se dividirá em duas, dando origem 
à primeira geração; cada bactéria da 
primeira geração sofrerá bipartição, 
dando origem à segunda geração, e as-
sim por diante. A tabela abaixo mostra 
o crescimento do número de bactérias, 
a partir de uma bactéria, admitindo-se 
que todas sobrevivam a cada geração. Bactéria em processo de bipartição.
inicial
1a geração
2a geração
3a geração
Número de
bactérias
Inicial 1 5 20
1a geração 2 5 21
2a geração 4 5 22
3a geração 8 5 23
4a geração 16 5 24
 
254
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.
CAP 8.indb 254 03.08.10 12:45:43
 Potência de expoente inteiro
Propriedades das potências de expoente inteiro
Dados os números reais a e b e os números inteiros m e n e obedecidas as condições para 
que existam as potências, temos:
Sendo a um número real e n um número inteiro, definimos:
Exemplos
a) (22)3 5 (22) 3 (22) 3 (22) 5 28
b) (22)4 5 (22) 3 (22) 3 (22) 3 (22) 5 16
c) @ 5 __ 
2
 # 3 5 
5
 __ 
2
 3 
5
 __ 
2
 3 
5
 __ 
2
 5 
125
 ____ 
8
 
d) 81 5 8
e) 70 5 1
f ) (25)0 5 1
g) 422 5 
1
 ___ 
42
 5 
1
 ___ 
16
 
a0 5 1, se a % 0
a1 5 a
an 5 a 3 a 3 a 3 ... 3 a, se n . 1
a2n 5 
1
 ___ 
an , se a % 0
n fatores
Na potência an, o número a é chamado de base da potência e o número n é chamado de 
expoente.
Nota:
Não há unanimidade entre os matemáticos quanto à adoção do valor 1 para a potência 00; por 
isso, excluímos essa possibilidade na definição a0 5 1.
h) @ 7 __ 
3
 # 22
 5 
1
 _____ 
 @ 7 __ 
3
 # 2 
 5 
1
 ___49
 ___ 
9
 
 5 
9
 ___ 
49
 
 Para agilizar o cálculo de @ 7 __ 
3
 # 22
 , podemos 
 inverter a base e trocar o sinal do expoente, 
isto é:
 @ 7 __ 
3
 # 22
 5 @ 3 __ 
7
 # 2 5 
9
 ___ 
49
 
P1. am 3 an 5 am 1 n (conserva-se a base e adicionam-se os expoentes)
P2. am 4 an 5 am 2 n (conserva-se a base e subtraem-se os expoentes)
P3. (am)n 5 amn (conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes)
P4. (ab)n 5 an 3 bn (distributiva da potenciação em relação à multiplicação)
P5. @ a __ 
b
 # n 5 
an
 ___ 
bn (distributiva da potenciação em relação à divisão)
Exemplos
a) 72 3 73 5 72 1 3 5 75
b) 25 4 23 5 25 2 3 5 22
c) 34 4 36 5 34 2 6 5 322
d) (54)3 5 54 3 3 5 512
e) (2x)3 5 23 3 x3 5 8x3
f ) @ 7 __ 
5
 # 2 5 
72
 ___ 
52
 5 
49
 ___ 
25
 
255
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CAP 8.indb 255 03.08.10 12:45:44
Notação científica
Os números que fazem parte do dia a dia expressam gran-
dezas como o preço de um produto, o tempo de duração de 
um filme, o custo de um carro etc. Esses números, por serem 
representados com poucos algarismos, não apresentam gran-
de dificuldade de entendimento. Porém, no universo científico, 
há números “gigantescos” ou “minúsculos” em relação aos que 
estamos habituados. Por exemplo:
• Parte da água do planeta Terra concentra-se na atmosfera 
e corresponde a aproximadamente:
 13.000.000.000.000.000 L
• O vírus da poliomielite, que é o menor vírus que infecta o ser 
humano, mede cerca de:
 0,00000002 m
A dificuldade em trabalhar com esses números levou os 
cientistas a estabelecer uma notação simplificada para repre-
sentá-los: a notação científica. Para entender essa notação, 
observe que o número 13.000.000.000.000.000 é o produto:
Todo número real não nulo, com expressão decimal finita, pode ser representado sob a 
forma:
k 3 10m
em que m é um número inteiro e k é um número real tal que 1n é chamado de índice do radical e o número 
a é chamado de radicando.
5
A 5 52 5 25
Nota:
Em um radical de índice 2, o índice não precisa ser escrito, pois fica 
subentendido. Por exemplo, o símbolo dll 9 deve ser entendido como 2 dll 9 .
Exemplos
a) 3 dll 8 5 2, pois 23 5 8 e 2 9 V1 c) 1 dll 5 5 5, pois 51 5 5 e 5 9 V1
b) dlll 16 5 2 dlll 16 5 4, pois 42 5 16 e 4 9 V1 d) 5 dll 0 5 0, pois 05 5 0 e 0 9 V1
Notas:
1. Se n é um número natural par não nulo, existem dois números opostos, 
b e 2b, com b . 0, tais que bn 5 a e (2b)n 5 a. Por convenção, adota-se 
apenas o número positivo b como valor de n dll a . Por exemplo, embora 
42 5 16 e (24)2 5 16, apenas o número positivo 4 é a raiz quadrada de 
16. Assim, dlll 16 5 4.
2. De acordo com a nota 1, para qualquer x real temos dll x2 5 OxO, pois a 
sentença dll x2 5 x é falsa se x for negativo.
3. Os símbolos 1 dll 0 , 2 dll 0 , 3 dll 0 , 4 dll 0 , 5 dll 0 , ..., n dll 0 devem ser lidos, respectivamente, 
como: raiz primeira, raiz quadrada (ou segunda), raiz cúbica (ou terceira), 
raiz quarta, raiz quinta, ..., raiz n-ésima (ou enésima).
Sendo n 9 vR, a 9 V1, definimos:
 n dll a 5 b [ bn 5 a, com b 9 V1
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CAP 8.indb 258 03.08.10 12:45:48
2o caso: Se n é um número natural ímpar, dizemos que a raiz n-ésima de um número real 
negativo a é o número real negativo b se, e somente se, bn 5 a.
Em símbolos, temos:
Nessa definição, b é obrigatoriamente negativo.
Sendo n 9 v com n ímpar, e a 9 VR2, definimos:
 n dll a 5 b [ bn 5 a
Sendo a um número real qualquer e n um 
número natural ímpar, temos:
 n dlll 2a 5 2 n dll a 
Sendo {n, k, p} - vR e {a, b}, - V1, temos:
P1. n dll a 3 n dll b 5 n dllll a 3 b (distributiva da radiciação em relação à multiplicação)
P2. 
 n dll a 
 ___ 
 n dll b 
 5 
n
 dll
 
a
 __ 
b
 , com b % 0 (distributiva da radiciação em relação à divisão)
P3. 
nk
 dlll akp 5 n dll ap (dividem-se por um fator comum o índice do radical e o 
expoente do radicando)
P4. @ n dll a # q 5 n dll aq , com q 9 V
P5. 
n
 dlll k dll a 5 nk
 dll a 
Exemplos
a) 3 dlll 28 5 22, pois (22)3 5 28 b) 5 dlll 21 5 21, pois (21)5 5 21
Observe que não existe, em V, radicais de índice par com radicando negativo. Por exemplo, 
 dlll 29 seria o número real cujo quadrado é 29, o que é absurdo, pois o quadrado de qualquer 
número real é positivo ou nulo.
Também é importante observar que:
Exemplo
 3 dlll 28 5 2 3 dll 8 5 22
 Propriedades dos radicais com radicandos não negativos
Exemplos
a) 3 dll 7 3 3 dll 2 5 3 dllll 7 3 2 5 3 dll 14 
b) 
 4 dll 15 
 ____ 
 4 dll 3 
 5 
4
 dlll
 
15
 ___ 
3
 5 4 dll 5 
c) 
15
 dll 56 5 
5
 dll 52 (dividiram-se por 3 o índice 15 e o expoente 6)
d) 
3
 dll 85 5 @ 3 dll 8 # 5 5 25 5 32
e) 
3
 dlll dll 5 5 6 dll 5 (multiplicaram-se os índices 3 e 2)
Enfatizamos que as propriedades de P1 a P5 dos radicais valem exclusivamente para radicais 
com radicandos não negativos. A aplicação dessas propriedades em expressões com radicandos 
negativos pode levar a absurdos, como mostra o exemplo:
2 5 4 dlll 16 5 
4
 dll 24 5 
4
 dlllll (22)4 5 1 dlll 22 5 22 ] 2 5 22 (O que é absurdo!)
propriedade P3
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 V
CAP 8.indb 259 03.08.10 12:45:48
2 Sendo n 9 vR e {a, b} - V1, demonstrar que n dll a 3 n dll b 5 n dllll a 3 b .
EXERCÍCIOs REsOlvIdOs
Resolução
 Sendo x e y os valores de n dll a e n dll b , respectivamente, temos:
 n dll a 5 x [ xn 5 a e x > 0
 n dll b 5 y [ yn 5 b e y > 0
 Multiplicamos xn por yn, obtendo: xn 3 yn 5 a 3 b
 Pela propriedade distributiva da potenciação em relação à multiplicação e pela hipótese 
de que ab > 0, temos:
 (xy)n 5 ab, com ab > 0
 Por definição de raiz n-ésima:
 (xy)n 5 ab, com ab > 0 [ xy 5 n dlll ab 
 Substituindo, na última igualdade, x por n dll a e y por n dll b , concluímos: n dll a 3 n dll b 5 n dllll a 3 b 
3 Sendo {n, p, k} - vR e a 9 V1, demonstrar que 
np
 dlll akp 5 n dll ak .
Resolução
 Seja x o valor de 
np
 dlll akp :
 
np
 dlll akp 5 x [ xnp 5 akp e x > 0
 Ou ainda:
 
np
 dlll akp 5 x [ (xn)p 5 (ak)p e x > 0
 Como x > 0 e a > 0, temos:
 (xn)p 5 (ak)p [ xn 5 ak
 O número ak não é negativo, pois, por hipótese, a > 0; logo, pela definição de raiz n-ésima:
 xn 5 ak e x > 0 [ x 5 n dll ak 
 Substituindo, na última igualdade, x por 
np
 dlll akp , concluímos:
 
np
 dlll akp 5 n dll ak 
10 Apenas uma das alternativas abaixo apresenta uma proposição falsa. Qual é essa alternativa?
a) 3 dll 5 3 3 dll 4 5 3 dlll 20 d) dllll 5 dll 5 5 4 dlll 25 
b) 
dlll 15 ____ 
 dll 5 
 5 dll 3 e) 3 dll 5 5 6 dll 52 
c) 5 dlll 81 5 @ 5 dll 3 # 4 
11 Aplicando a propriedade P3, podemos reduzir radicais ao mesmo índice. Por exemplo, para obter 
dois radicais de mesmo índice, respectivamente equivalentes a 3 dll 2 e 4 dll 5 , podemos agir do seguinte 
modo.
•	 No	primeiro	radical,	multiplicamos	o	índice	3	e	o	expoente	1	do	radicando	por	4,	obtendo:	
 3 dll 21 5 3 3 4
 dllll 21 3 4 5 12
 dll 24 
•	 No	segundo	radical,	multiplicamos	o	índice	4	e	o	expoente	1	do	radicando	por	3,	obtendo:
 4 dll 51 5 4 3 3
 dllll 51 3 3 5 12
 dll 53 
 Note, portanto, que os radicais assim obtidos têm o mesmo índice 12.
 Aplicando essa ideia, efetue as seguintes operações de radicais de índices diferentes:
a) 3 dll 2 3 dll 2 b) 
4
 dll 2 ___ 
 6 dll 2 
 
EXERCÍCIOs pROpOstOs
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.
CAP 8.indb 260 03.08.10 12:45:49
12 Para o cálculo de dll 5 em uma calculadora, digitam-se 
as teclas: , e5 �√, , e5 �√ e , e5 �√ , nessa ordem. Analogamente, 
obtém-se, nessa calculadora, a raiz quadrada de qual-
quer número real não negativo x. Usando apenas as 
teclas numéricas e as teclas e �√ e e �√ , descreva um 
processo para o cálculo de:
a) 4 dll 5 
b) 8 dll 5 
 Simplificação de radicais
Para facilitar o trabalho com radicais, é conveniente transformá-los, por meio das propriedades 
estudadas, na forma mais simples possível.
 Operações com radicais
Para operar com radicais, aplicamos suas propriedades e as propriedades operatórias da 
adição e da multiplicação de números reais.
Exemplos
a) Para simplificar o radical 3 dlll 16 , decompomos o radicando em fatores primos:
b) 4 dlll 12 1 6 dlll 75 5 4 3 2 dll 3 1 6 3 5 dll 3 5 8 dll 3 1 30 dll 3 5 38 dll 3 
c) 6 5 dll 3 3 4 5 dll 2 5 (6 3 4) 3 @ 5 dll 3 3 5 dll 2 # 5 24 5 dll 6 
d) 12 3 dlll 10 4 4 3 dll 5 5 
12 3 dlll 10 
 _______ 
4 3 dll 5 
 5 
12
 ___ 
4
 3 
 3 dlll 10 
 ____ 
 3 dll 5 
 5 3 3 3 dlll
 
10
 ___ 
5
 5 3 3 dll 2 
 Assim, temos: 3 dlll 16 5 
3
 dll 24 5 
3
 dlllll 23 3 2 5 
3
 dll 23 3 3 dll 2 5 2 3 dll 2 
 Logo: dllll 160 5 dlllll 25 3 5 5 dlllllll 24 3 2 3 5 5 dlll 24 3 dllll 2 3 5 5 22 3 dlll 10 5 4 dlll 10 
160 2
80 2
40 2
20 2
10 2
5 5
1
 ] 160 5 25 3 5
16 2
8 2
4 2
2 2
1
 ] 16 5 24
Exemplos
a) 4 dll 2 1 6 dll 2 2 3 dll 2 5 dll 2 (4 1 6 2 3) 5 7 dll 2 
fator comum em evidência
b) Para simplificar o radical dllll 160 , decompomos o radicando em fatores primos:
261
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 • 
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 V
CAP 8.indb 261 03.08.10 12:45:52
 Racionalização de denominadores
Os denominadores das frações 
2
 ___ 
 dll 3 
 , 
5
 _____ 
4 dll 2 
 , 
2
 ___ 
 5 dll 3 
 e 
4
 _______ 
 dll 7 1 2
 são números irracionais. É possível 
obter frações equivalentes a essas, mas com denominadores racionais, por meio do procedimento 
conhecido como racionalização de denominadores. Acompanhe os desenvolvimentos a seguir.
• Multiplicando o numerador e o denominador de 
2
 ___ 
 dll 3 
 por um mesmo número k, não nulo, obtemos
 uma fração equivalente. Escolhendo k 5 dll 3 , temos:
 
2
 ___ 
 dll 3 
 5 
2 3 dll 3 
 ________ 
 dll 3 3 dll 3 
 5 
2 dll 3 
 _____ 
 dlll 32 
 5 
2 dll 3 
 _____ 
3
 
 Assim, chegamos a uma fração com denominador racional equivalente a 
2
 ___ 
 dll 3 
 .
• Analogamente, multiplicamos por dll 2 o numerador e o denominador de 
5
 _____ 
4 dll 2 
 para obter uma 
 fração equivalente com denominador racional:
 
5
 _____ 
4 dll 2 
 5 
5 3 dll 2 
 _________ 
4 dll 2 3 dll 2 
 5 
5 dll 2 
 _____ 
4 dll 22 
 5 
5 dll 2 
 _____ 
4 3 2
 5 
5 dll 2 
 _____ 
8
 
• No caso da racionalização do denominador de 
2
 ___ 
 5 dll 3 
 , multiplicamos o numerador e o denominador 
 por 
5
 dll 34 :
 
2
 ___ 
 5 dll 3 
 5 
2 3 
5
 dll 34 
 _________ 
 5 dll 3 3 
5
 dll 34 
 5 
2 5 dlll 81 
 ______ 
 
5
 dll 35 
 5 
2 5 dlll 81 
 ______ 
3
 
• Para a racionalização do denominador de 
4
 _______ 
 dll 7 1 2
 , multiplicamos o numerador e o denominador 
por dll 7 2 2:
 
4
 _______ 
 dll 7 1 2
 5 
4 3 @ dll 7 2 2 # 
 ____________________ 
 @ dll 7 1 2 # 3 @ dll 7 2 2 # 
 5 
4 @ dll 7 2 2 # 
 ___________ 
 @ dll 7 # 2 2 22
 5 
4 @ dll 7 2 2 # 
 ___________ 
7 2 4
 5 
4 dll 7 2 8
 _________ 
3
 
 De maneira geral:
Para racionalizar o denominador de uma fração do tipo:
• 
t
 _____ 
u n dll ap 
 , em que u e a são números racionais, basta multiplicar o numerador e o denominador 
 por n dllll an 2 p ;
• 
t
 ___________ 
u dll a 1 v dll b 
 , em que u, a, v e b são números racionais, basta multiplicar o numerador e o 
 denominador por u dll a 2 v dll b .
EXERCÍCIOs pROpOstOs
Nota:
Trabalhar com denominadores racionais simplifica muitos procedimentos, além de auxiliar na 
aproximação de resultados numéricos.
Por exemplo, se tivermos de obter uma aproximação decimal da expressão 
1
 ___ 
 dll 2 
 , em que 
 dll 2 * 1,4142, é mais simples efetuar o cálculo na expressão 
 dll 2 
 ___ 
2
 que na expressão 
1
 ___ 
 dll 2 
 , pois
 
 dll 2 
 ___ 
2
 5 
1,4142
 _______ 
2
 e 
1
 ___ 
 dll 2 
 5 
1
 _______ 
1,4142
 .
262
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19
98
.
CAP 8.indb 262 03.08.10 12:45:52
13 Calcule:
a) 3 dllll 125 d) 3 dll 1 g) 3 dlllll 2125 
b) 4 dlll 81 e) 7 dll 0 h) 5 dllll 232 
c) dlll 49 f ) 1 dlll 12 i ) 9 dlll 21 
14 Simplifique os radicais:
a) dlll 12 d) 4 dlll 32 g) dlll
 48 ___ 
25
 
b) dlll 18 e) dlll 40 h) 3 dlll
 81 ___ 
8
 
c) 3 dlll 24 f ) 5 dlll 96 i ) dlll
 75 ___ 
64
 
15 Efetue:
a) 4 dll 3 1 6 dll 3 2 2 dll 3 d) 4 5 dll 3 3 2 5 dll 4 g) @ 3 dll 5 # 4 1 2 3 dll 5 
b) 2 dlll 50 1 dllll 125 2 6 dll 5 e) 6 dlll 10 4 2 dll 5 
c) 4 3 dlll 16 1 2 3 dlll 54 1 3 dllll 128 f ) 12 3 dlll 16 4 6 3 dll 2 
16 A expressão dllllll
 2 dllll 2 dll 2 é igual a:
a) 2 dll 2 c) 2 8 dll 8 e) 2 6 dll 2 
b) 2 4 dll 4 d) 8 dllll 128 
17 Racionalize o denominador de cada fração:
a) 4 ___ 
 dll 2 
 b) 10 ____ 
3 dll 5 
 c) 2 ___ 
 3 dll 7 
 
EXERCÍCIOs pROpOstOs
18 Obtenha uma fração com denominador racional equivalente a:
a) 2 _______ 
 dll 5 1 1
 b) 23 ________ 
4 dll 2 1 3
 c) 7 ________ 
 dll 5 2 dll 3 
 
19 (UEL-PR) Einstein propôs uma nova interpretação do espaço e 
do tempo, indicando que não são grandezas independentes, 
absolutas e iguais para quaisquer observadores, mas relativas: 
dependem do estado de movimento entre observador e obser-
vado. Um dos resultados dessa nova visão é conhecido como 
dilatação temporal, a qual afirma que um observador em repouso 
em relação a um fenômeno, ao medir sua duração, atribuir-lhe-á 
um intervalo St, ao passo que um observador que fizer medidas 
do fenômeno em movimento, com velocidade v, irá atribuir uma 
duração Ste, sendo que
 Ste 5 St __________ 
 dllllllll
 1 2 @ v __ c # 2 
 
 em que c é a velocidade da luz. Considere que dois irmãos gêmeos 
sejam separados ao nascerem e que um deles seja colocado em 
uma nave espacial que se desloca com velocidade v pelo espaço 
durante 20 anos, enquanto o outro permanece em repouso na 
Terra. Com base na equação anterior, para que o irmão que ficou 
na Terra tenha 60 anos no momento do reencontro entre eles, a 
velocidade da nave deverá ser de:
a) 2c dll 2 _____ 
3
 c) 8c ___ 
9
 e) 2c
b) c __ 
2
 d) c
Resolva os exercícios complementares 6 a 12.
263
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 V
CAP 8.indb 263 03.08.10 12:45:53
	Parte II
	8. Função exponencial