Resolução de Exercícios Propostos

Prévia do material em texto

EXERCÍCIOS pROpOStOS
Resolva os exercícios complementares 18 a 24 e 40 a 43.
 (Sugestão: Construa um retângulo cuja medida da base seja 1 unidade u, e da altura, 2 unidades u. 
Calcule agora a medida da diagonal desse retângulo.)
33 Cada uma das letras a, b, c e d, no diagrama ao lado, repre-
 senta	um	único	número	do	conjunto	   dll 7 , 29, 0, 5 __ 
6
  . Deter-
 mine o valor que cada uma dessas letras representa.
Z Q RNa
b c d 
34 	 Obtenha	dois	números	irracionais	na	forma n dll a , com n 9 vR e a 9 v, que estejam compreendidos 
entre 5 e 6.
35 	 Escreva	dois	números	irracionais	compreendidos	entre	 dll 2 e dll 3 .
36 	 Escreva	dois	números	racionais	compreendidos	entre	 dll 2 e dll 3 .
37 Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações.
a)	 Todo	número	inteiro	é	natural.
b) Toda	dízima	não	periódica	é	um	número	irra cional.
c)	 Toda	dízima	é	um	número	irracional.
d)	 Toda	dízima	periódica	é	um	número	racional.
e)	 Todo	número	que	pode	ser	representado	na	forma	decimal	é	real.
f )	 Números	reais	são	somente	aqueles	que	podem	ser	representados	pela	razão	entre	dois	números	
inteiros.
g)	 O	produto	de	um	número	racional	qualquer	por	um	número	irracional	é	racional.
h)	 O	produto	de	um	número	racional	qualquer	por	um	número	irracional	é	irracional.
i )	 O	oposto	de	um	número	irracional	é	irracional.
j )	 O	inverso	de	um	número	irracional	é	um	número	irracional.
38 Considere o segmento AB de comprimento 1 em unidade u. Descreva um processo para obter o 
ponto C da semir reta AB, tal que o comprimento do segmento AC seja dll 5 na unidade u.
1
A B
32 	 Classifique	como	racional	ou	irracional	o	número	representado	em	cada	um	dos	itens	abaixo:
a) dll 3 c) 3 dll 8 e) 5 1 dll 3 g) 5 3 dll 8 i ) 4 __ 
3
 2 7 3 dll 5 
b) dll 9 d) 3 dll 5 f ) 2 3 dll 5 h) 2 ___ 
 dll 3 
 j ) s 1 1 __ 
2
 
b) F, pois 70 dll 2 * 99, e os valores de x	devem	obedecer	à	condição	0	< x < 80. (* significa “aproxi-
madamente”.)
c) V,	pois	todo	número	irracional	é	real,	e	no	item	(a)	concluímos	que	x assume qualquer valor real 
sob	a	condição	0	< x < 80.
d) F, pois: 0 < y 3 dll 2 < 80
 Dividindo os membros dessa desigualdade por 3 dll 2 , obtemos: 0 < y < 80 ___ 
 3 dll 2 
 
 Para racionalizar o denominador de 80 ___ 
 3 dll 2 
 , multiplicamos o numerador e o denominador por 
 3 dll 22 , obtendo:
 0 < y 3 dll 2 < 80 3 3 dll 22 ________ 
 3 dll 2 3 3 dll 22 
 , ou seja, 0 < y < 40 3 dll 4 
46
C
a
p
ít
u
lo
 1
 • 
C
o
n
ju
n
to
s
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
CAP 1.indb 46 03.08.10 10:48:00
 Objetivos
 Representar no eixo 
real todos os tipos 
de intervalos.
 Operar com intervalos.
Seção 1.5
Representação algébrica Representação no eixo real Descrição
{x 9 VOa < x < b} ou [a, b] ba
Intervalo fechado 
de extremos a e b.
{x 9 VOa , x , b} ou ]a, b[ ba
Intervalo aberto 
de extremos a e b.
{x 9 VOa < x , b} ou [a, b[
ba
Intervalo fechado à 
esquerda e aberto à 
direita de extremos 
a e b.
{x 9 VOa , x < b} ou ]a, b]
ba
Intervalo aberto à 
esquerda e fechado à 
direita de extremos 
a e b.
{x 9 VOx > a} ou [a, 1`[ a
Intervalo ilimitado 
fechado à esquerda.
{x 9 VOx . a} ou ]a, 1`[ a
Intervalo ilimitado 
aberto à esquerda.
{x 9 VOx < a} ou ]2`, a] a
Intervalo ilimitado 
fechado à direita.
{x 9 VOx < a} ou ]2`, a[ a
Intervalo ilimitado 
aberto à direita.
V ou ]2`, 1`[
Intervalo ilimitado 
de 2` a 1`.
O eixo real
A cada ponto de uma reta r podemos associar um único número real, 
e a cada número real podemos associar um único ponto dessa reta. Para 
isso, adotamos os seguintes procedimentos:
1o) Associamos o número 0 (zero) a um ponto O qualquer de r. 
2o) A cada ponto A de uma das semirretas determinadas por O em r, com 
o ponto A não coincidente a O, associamos um número positivo x, que 
indica a distância de A até O, em uma certa unidade u.
3o) A cada ponto Ae, simétrico de A em relação a O, associamos o oposto de x.
x r
O AA�
0�x
Dessa maneira, cada ponto da reta está associado a um único número 
real e cada número real está associado a um único ponto da reta. Portanto, 
estabelecemos uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos núme-
ros reais e o conjunto dos pontos da reta. O sistema assim construído é o 
eixo real, cuja origem é o ponto O, e cujo sentido é o mesmo da semirreta 
que representa o conjunto V1.
O
0 1 2 3 4
R
�1
1,5 2,7
�π π
�2,7 �1,5
�2�3�4
√2 √5�√2�√5
 Intervalos reais
Considerando a e b números reais quaisquer, com a , b, os subconjuntos 
de V apresentados na tabela abaixo são chamados de intervalos reais.
47
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
 S
e
ç
ã
o
 1
.5
 • 
O
 e
ix
o
 r
e
a
l
CAP 1.indb 47 03.08.10 10:48:02
Notas:
1. O símbolo ` significa “infinito”.
2. A bolinha cheia ( ) em um extremo do intervalo indica que o número associado a esse extremo 
pertence ao intervalo.
3. A bolinha vazia ( ) em um extremo do intervalo indica que o número associado a esse extremo 
não pertence ao intervalo.
4. O intervalo sempre será aberto nos extremos 1` e 2`.
5. Os quatro primeiros tipos de intervalos da tabela são chamados de intervalos limitados.
10 Dados os intervalos: A 5 ]5, 9], B 5 [7, 11], C 5 ]22, 1`[ e D 5 ]2`, 8], determinar:
a) A 0 B b) A ) B c) C 2 D
EXERCÍCIO RESOlvIDO
Exemplo
a) O conjunto  x 9 Vo 
2
 __ 
3
 , x < 5  5 R 2 __ 
3
 , 5 R é o intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de 
 extremos 
2
 __ 
3
 e 5, cuja representação no eixo real é:
5 x2
3
√2 x
b) O conjunto  x 9 Vox > dll 2  5 E dll 2 , 1 ̀E é o intervalo ilimitado fechado à esquerda em dll 2 , cuja 
representação no eixo real é:
Resolução
a)
x
x
x
117
A
B
A � B
115
5 9
x
x
x
117
7
A
B
A � B
9
5 9
x
x
x
8
8
C
D
C � D
�2
 Logo: A 0 B 5 ]5, 11]
b)
c)
 Logo: A ) B 5 [7, 9]
 Logo: C 2 D 5 ]8, 1`[
EXERCÍCIOS pROpOStOS
EXERCÍCIOS COmplEmEntaRES
48
C
a
p
ít
u
lo
 1
 • 
C
o
n
ju
n
to
s
R
ep
ro
du
çã
o 
pr
oi
bi
da
. A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
CAP 1.indb 48 03.08.10 10:48:04