ARA_0018_Aula_1 3

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GRADUAÇÃO ENGENHARIA
ARA0018 – CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
OLGA MARIA DAS NEVES DE LEMOS
PROFESSORA
Rio de Janeiro, 19/02/2024 – 06/07/2024
UNESA – Universidade Estácio de Sá.
CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
Vetores
Revisão
UNESA – Universidade Estácio de Sá.
CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
Representação de Vetores
A(0, 0)
B (2, 2)
C(4, 2)
𝑢= (0, 0) e (2, 2)
𝑣= (0, 0) e (4, 2)
B C
UNESA – Universidade Estácio de Sá.
Bx =xf – xi
By =yf – yi
CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
Representação de Vetores
UNESA – Universidade Estácio de Sá.
vetor u = (2,2), se k =2 , então
vetor u·k = 2(2, 2)
vetor u.k = (4,4) 
Multiplicação de Vetor por um Número Real
v = (a, b)
u = k·v = k·(a,b) = (k·a, k·b)u
CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
UNESA – Universidade Estácio de Sá.
CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
Soma de Vetores
Seja u = (u1, u2) e v = (v1, v2)
definimos a soma de v e w, por:
u + v = (u1+ v1, u2 + v2)
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CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
Subtração de Vetores
Seja u = (u1, u2) e v = (v1, v2)
definimos a soma de v e w, por:
u - v = u + (-v)
u – v = (u1- v1, u2 - v2)
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Vetor Representado no Espaço Tridimensional
V = (v1, v2, v3) 
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Produto Escalar ou Produto Interno u.v ou 
Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d) definimos o produto
escalar entre os vetores u e v, como o número real
obtido por:
u.v = a.c + b.d
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Exemplos:
O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5)
u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6 + 20 = 14
O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3)
u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2 - 21 = -19
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CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
Ângulo entre Vetores
Sejam u e v dois vetores não nulos e α o ângulo entre u e v, 
satisfazendo 0 1, e, que S é um subconjunto
dos números reais, pertencente ao domínio de 𝐹 , teremos como
resultante uma imagem que será um vetor pertencente a Rn.
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CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
Função Vetorial - Relação que associa a cada ponto do espaço, 
um único vetor. 
Exemplo no R2
Ԧ𝑣(x, y) = (x + y, 2xy - 1) matriz linha
Ԧ𝑣(x, y) = 
𝑥 + 𝑦
2𝑥𝑦 − 1
matriz coluna
Ԧ𝑣(x, y) = (x + y) Ԧ𝑖 + (2xy – 1) Ԧ𝑗 combinação linear
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Quando as Coordenadas de um Vetor forem dadas por uma Função, 
então temos uma Função Vetorial.
F(x, y) = [g(x, y), h(x,y)]
g(x, y) = x + y
h(x) = 2x + y
F(x, y) = (x+y, 2x + y)
F(1, 2) = (1 + 2, 2*1 + 2)
F(1, 2) = (3, 4)
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Campo Escalar é aquele em que todos os pontos apresentam
grandezas isentas de direção e sentido.
Exemplos: distribuição de temperaturas;
cotas de pontos notáveis em um terreno;
densidades populacionais em bairros de uma cidade;
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Campo Vetorial cada ponto está associado a um vetor (que possui uma 
norma ou módulo, direção e sentido).
Exemplo: distribuição da velocidade de um fluido;
região no entorno de uma carga elétrica ou corpo magnético; 
direção da inclinação de um terreno indicando os divisores de 
águas;
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CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
Existem funções denominadas Campos Vetoriais que
apresentam, tanto no domínio quanto na imagem, vetores.
Assim, seriam funções 𝐹 : Rn → Rm
Exemplo: 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (3x + 5, y + 3z, 4x +y)
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Domínio de Funções Vetoriais
Cada componente da função vetorial é formada por funções escalares 
e cada uma tem seu domínio particular.
O domínio da função vetorial será a interseção dos domínios de suas 
funções componentes. 
Ex.: F(x,y,z) = [g(x, y, z), h(x,y, z), k(x, y , z]
F(x,y,z) = [ 2x 𝑦, 
2𝑦
𝑥
+ z, 3 − 𝑧]
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g(x, y, z) = 2x 𝑦 y > 0 
h(x, y, z) = 
2𝑦
𝑥
+ z x ≠ 0
k(x, y, z) = 3 − 𝑧 z 0, z 0. Determine o 
valor de F(1) e F(e)
x = t
Ԧ𝐹(t) = y = t2 + 5
z =ln t
F(1) = [1, 1 + 5, ln 1] = [1, 6, 0]
F(e) = [e, e2 + 5, ln e] = [e, e2 + 5, 1]
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Ԧ𝑟(t) = x(t) Ԧ𝑖, y(t) Ԧ𝑗
Ԧ𝑟(t)
P
C 
y
0 x
r(t1)
r(t0)
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Curvas no Espaço R3
Curva Plana: contida no plano do espaço 
tridimensional. 
Curva Reversa: não contida em um plano.
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Equação Vetorial da Reta
Para obtenção de uma reta, precisamos de duas informações, um 
ponto e uma orientação. 
𝐫(𝐭) = 𝐫𝐨 + 𝐯 * t
t = parâmetro
ro = vetor posição
v = vetor de orientação
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y= ax + b
1 = a + b
6 = 4a + b
y = 
5
3
x -
2
3
x y
0 -0,7
0,5 0,2
1 1
2 2,7
4 6
7 11
Escreva a equação da reta que passa por A (1, 1) e B(4, 6) 
x = 1 y = 
5
3
-
2
3
= 1
x = 4 y = 
5∗4
3
-
2
3
= 6
x = 7 y = 
5∗7
3
-
2
3
= 11
B
A
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ro= (1, 1)
v = (4, 6) – (1, 1) = (3, 5)
r(t) = (1, 1) + (3, 5)t
r(t) = (3t + 1, 5t + 1)
r(0) = (1, 1)
r(1) = (4, 6)
r(2) = (7, 11)
t x y
0 1 1
0,5 2,5 3,5
1 4 6
1,5 5,5 8,5
2 7 11
Escreva a equação da reta que passa por A (1, 1) e B(4, 6) 
𝐫(𝐭) = 𝐫𝐨 + 𝐯 * t
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Exemplo: Determinar a equação vetorial da reta que passa pelos pontos
A(-2, 1, 3) e B(4, 0, 5)
Ԧ𝐫(𝐭)= 𝐫𝐨 + 𝐯 * t
Vamos escolher o ponto A, logo 𝐫𝐨 = A - O
𝐫𝐨 = (-2, 1, 3) – (0, 0 ,0) 𝐫𝐨 = [-2, 1, 3]
Orientação e a direção A para B
𝐯 = (4, 0, 5) - (-2, 1, 3) 𝐯 = [6, -1, 2] 
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CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
Ԧ𝐫(𝐭)= 𝐫𝐨 + 𝐯 * t
𝐫𝐨 = [-2, 1, 3] 𝐯 = [6, -1, 2]
Ԧr(t)=[-2, 1, 3] + [6, -1, 2]t
Ԧr(t)=[-2+6t, 1-t, 3+2t]
A(-2, 1, 3) 
-2+6t = -2 
1- t = 1 t = 0
3+2t = 3
B(4, 0, 5) 
-2+6t = 4 
1- t = 0 t = 1
3+2t = 5
UNESA – Universidade Estácio de Sá.
CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
Vamos escolher o ponto B 
A(-2, 1, 3) e B(4, 0, 5)
Ԧ𝐫(𝐭)= 𝐫𝐨 + 𝐯 * t
Vamos escolher o ponto B, logo 𝐫𝐨 = B - O
𝐫𝐨 = (4, 0, 5) – (0, 0 ,0) 𝐫𝐨 = [4, 0, 5]
Orientação e a direção B para A
𝐯 = (-2, 1, 3) – (4, 0, 5) v = (-6, 1, -2) 
UNESA – Universidade Estácio de Sá.
CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
Ԧ𝐫(𝐭)= 𝐫𝐨 + 𝐯 * t
𝐫𝐨 = [4, 0, 5] 𝐯 = [-6, 1, -2]
Ԧr(t)=[4, 0, 5] + [-6, 1, -2]t
Ԧr(t)=[4-6t, t, 5-2t]
A(-2, 1, 3) 
4 - 6t = -2 
t = 1 t = 1
5 - 2t = 3
B(4, 0, 5) 
4 - 6t = 4 
t = 0 t = 0
5 - 2t = 5
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Exercício
Escreva a equação da reta que passa pelos pontos A = (0, 2) e B = (4, 0)
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Ԧ𝐫(𝐭)= 𝐫𝐨 + 𝐯 * t
Ԧ𝑟0 = [0, 2]
Ԧ𝑣 = (4, 0) – (0, 2)
Ԧ𝑣 = [4, -2]
A = (0, 2) e B = (4, 0)
Ԧr(t)= [0, 2]+ [4, -2]t
Ԧr(t)= [4𝑡, 2 − 2𝑡]
A(0,2)
B(4, 0)
t r(t) = [4t, 2-2t]
0 r(0) = [0, 2]
0,5 r(1/2) = [2, 1]
1 r(1) = [4, 0]
1,5 r(0,5) = [6, -1]
UNESA – Universidade Estácio de Sá.
CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
Ԧ𝐫(𝐭)= 𝐫𝐨 + 𝐯 * t
Ԧ𝑟0 = [4, 0]
Ԧ𝑣 = (0, 2) – (4, 0)
Ԧ𝑣 = [-4, 2]
A = (0, 2) e B = (4, 0)
Ԧr(t)= [4, 0]+ [-4, 2]t
Ԧr(t)= [4 − 4𝑡, 2𝑡]
t r(t) = [4 - 4t, 2t]
0 r(0) = [4, 0]
0,5 r(0,5) = [2, 1]
1 r(1) = [0, 2]
1,5 r(1,5) = [-2, 3]
"Fazer da educação a nossa identidade"
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