Resistência de Materiais em Cabos

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Departamento de Engenharia Civil 
Universidade de Aveiro 
 
 
 
 
 
 
Resistência de Materiais
 
 
CABOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Humberto Varum 
Julho 2007 
 
 
 
Cabos 
 
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CABOS 
 
1 – Generalidades 
 
Figura 1 – Cabos e “caminho de forças” 
 
O cabo é um elemento estrutural importante e muito utilizado. Devido ao seu pequeno diâmetro 
comparado com o seu comprimento, e à sua própria constituição, considera-se perfeitamente 
flexível, como se em cada uma das suas secções transversais houvesse uma rótula. 
 
Um cabo, portanto, não tem resistência à torção, nem à flexão, nem ao esforço transverso, nem à 
compressão. Só pode haver esforço normal de tracção dirigido em cada ponto segundo a tangente 
ao eixo do cabo (Figura 2) e que, por vezes, se designa por tensão no cabo. Este modelo traduz 
muito bem a realidade e permite que o cabo possa transmitir também um esforço normal de 
compressão, como se explica a seguir. 
Figura 2 – Esforço normal de tracção num cabo 
 
Note-se que um cabo não carregado não tem forma definida, é totalmente flexível e não pode 
suportar nenhuma força. É precisamente o esforço de tracção que, pondo o cabo em tensão, 
define ao mesmo tempo a sua configuração. Portanto, para se tornar rígido um cabo é preciso 
traccioná-lo pelo que não se pode conceber uma estrutura em cabos sem ser previamente 
carregada. 
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O peso próprio da estrutura basta, por vezes, para garantir esta pré-carga (peso próprio do 
tabuleiro das pontes suspensas, por exemplo), mas por vezes é preciso criar essa pré-tensão nos 
cabos da estrutura logo na fase da sua montagem por uma operação de pré-tensão que introduz 
tracções iniciais nos cabos (coberturas com membranas leves, por exemplo). 
 
Para entender-se a necessidade desta operação e para imaginar-se uma maneira de a realizar 
basta pensar no que se passa quando se monta uma tenda de campismo ou quando se abre um 
guarda-chuva (a tela da tenda ou do guarda-chuva é uma rede de cabos em miniatura). 
 
 
Figura 3 – Exemplos de estruturas de cabos 
 
 
1.1 – Pré-tensão 
 
A pré-tensão faz-se em quase todas as estruturas de cabos, pois oferece três vantagens essenciais: 
 
 Torna rígida a estrutura e define a sua geometria; 
 Permite um controlo dos esforços internos, isto é, uma distribuição harmoniosa dos 
esforços totais (pré-tensão e esforços provenientes do carregamento); 
 Permite absorver os esforços de compressão devidos ao carregamento. 
 
Com feito, se um elemento de cabo estiver submetido a uma tracção inicial P , ele pode suportar 
que se lhe sobreponha uma compressão N , desde que PN 
 
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Figura 4 – Graças à pré-tensão P, um cabo pode transmitir um esforço normal de compressão N, desde que Ncom mais vantagens por uma pré-compressão introduzida 
no betão através de um cabo traccionado apoiado no próprio betão. A tracção no cabo 
transforma-se, por reacção, num esforço de compressão no betão (Figura 11). Além disso, dando 
uma ligeira curvatura ao cabo, faz-se com que este suporte o peso próprio da viga de betão. 
 
 
Figura 11 – Viga de betão pré-esforçada por um cabo curvo 
 
A maior parte das grandes estruturas de betão (vigas, lajes, placas, cascas, membranas, pontes) 
são hoje pré-esforçadas por longos cabos curvos. 
 
 
4 – Catenária 
 
Seja ( )p s uma carga uniformemente distribuída ao longo do comprimento de um cabo 
(suspensão em catenária), por exemplo, o peso próprio do cabo. 
 
Figura 12 – Catenária 
 
Figura 13 – Equilíbrio de um troço de cabo 
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Da geometria: 
 
 dytg
dx
ϕ = (1)
Do equilíbrio de forças: 
 
 p stg
H
ϕ ⋅
= (2)
 
Igualando as expressões (1) e (2), virá: 
dy p s
dx H
⋅
= 
 
Fazendo 
p
Ha = , poder-se-á escrever a seguinte relação diferencial de onde se pode deduzir a 
equação da catenária: 
dy s
dx a
= 
 
De seguida apresentam-se as expressões fundamentais para a análise de um cabo com suspensão 
em catenária. A dedução das mesmas pode encontrar-se em C. Quaresma [3]. 
 
 
Equação da catenária 
 
( ) xy x a ch
a
⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
Demonstrar que esta equação do cabo satisfaz a equação diferencial. 
 
 
 
 
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Comprimento da catenária 
 
2
2
ls a sh
a
⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
 
( ) xs x a sh
a
⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
 
Esforço de tracção em cada ponto da catenária 
 
( ) ( )N x p y x= ⋅ (referido ao sistema de eixos indicados na Figura 13) 
 
 
Equações simplificadas dos cabos em catenária 
 
2
( )
2
x xy x a ch a
a a
⎛ ⎞= ⋅ ≅ +⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠
 
3
2( )
6
x xs x a sh x
a a
⎛ ⎞= ⋅ ≅ +⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠
 
 
Nota: A validade de todas estas expressões anteriores só se verifica para os eixos representados 
na Figura 13, dependente do parâmetro a. 
 
 
4.1 – Exercício 
 
Dois cabos estão ligados a uma torre de transmissão em B. Uma vez que a torre é esbelta, a 
componente horizontal da resultante das forças exercidas pelos cabos em B tem de ser nula. 
Sabendo que a massa por unidade de comprimento é de 0.4 kg/m, determine: 
 
a) a flecha h; 
b) a máxima força de tracção em cada cabo. 
 
comprimento total da catenária 
comprimento de um troço da catenária 
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Figura 14 – Dois cabos em catenária ligados a uma torre de transmissão 
 
Resolução 
 
a) ?h = 
 
 0 4 9 81 3 924p m g . . . N/m= ⋅ = × = 
 
( ) xy x a ch
a
Ha
p
⇒ = ⋅
⇒ =
 
Figura 15 – Equação geral da catenária 
 
 
Cabo 2 ( 60.0l m= ): 
( )2 2
2
2
2
xy x a ch
a
Ha
p
⎛ ⎞
⇒ = ⋅ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇒ =
 
Figura 16 – Catenária 2 
 
2( 30.0; 3.0)C CEm C x y a= = + ⇒ 
2 2 2
2
30.03.0 150.5a a ch a m
a
⎛ ⎞
⇒ + = ⋅ ⇔ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
2 2 3 924 150 5 590 6 H p a . . . N= ⋅ = × = 
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Cabo 1 ( 90.0l m= ): 
( )1 1
1
1
1
xy x a ch
a
Ha
p
⎛ ⎞
⇒ = ⋅ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇒ =
 
Figura 17 – Catenária 1 
 
1 2 1 1590 6 150 5H H . N p a a . m= = = ⋅ ⇒ = 
 
 
 Porque em B apenas surge reacção vertical, dadas as características de ligação da torre à sua fundação 
 
 
1( 45.0; )B BEm B x y a h= = + ⇒ 
1 1
1
45.0a h a ch
a
⎛ ⎞
⇒ + = ⋅ ⇔⎜ ⎟
⎝ ⎠
 6.78h m= 
 
b) ?máxN = 
 
 
( ) ( ) má x má xN x p y x N p y= ⋅ ⇒ = ⋅ 
 
 
Cabo 1: 
 
1 1 1 1 150 5 6 78 157 28 ,máx ,A ,By y y a h . . . m= = = + = + = 
 
 1 1 3 924 157 28 617 16 ,má x ,máxN p y . . . N= ⋅ = ⋅ = 
 
 
Cabo 2: 
 
2 2 2 2 3 0 153 5,máx ,B ,Cy y y a . . m= = = + = 
 
 2 2 602 33 ,má x ,máxN p y . N= ⋅ = 
 
∴ 617 16 má xN . N= 
 
nos apoios 
e surge no cabo 1, junto aos seus apoios 
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5 – Cabo parabólico 
 
Cabo sujeito a uma carga uniformemente distribuída ao longo de uma linha horizontal 
(suspensão em parábola), como por exemplo o cabo de uma ponte suspensa (ver Figura 6). 
 
 
5.1 - Cabo parabólico com amarrações ao mesmo nível 
 
 
Figura 18 – Cabo parabólico com apoios ao mesmo nível 
 
 
 
 
 
a) b) 
Figura 19 – Equilíbrio de um troço de cabo parabólico: 
a) equilíbrio das forças envolvidas, b) geometria 
 
Por equilíbrio: 
0 0 .
0 (3)
x
y
F dH H const
dVF p dx dV p
dx
⎧ = ⇒ = ⇒ =
⎪
⎨
= ⇒ ⋅ = ⇒ =⎪⎩
∑
∑ 
 
dytg
dx
ϕ = (4) 
( )V x
tg
H
ϕ = (5) 
da geometria do troço de cabo (Figura 19-b) 
do equilíbrio de forças na secção do cabo (Figura 19-a); 
N constitui uma força equivalente ao sistema de forças V e H 
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Igualando as expressões (4) e (5), virá: 
 
H
xV
dx
dy )(
= 
 
Derivando a expressão anterior em ordem a x: 
( )2
2
1 d V xd y
dx H dx
= ⋅ 
 
Sabendo, do equilíbrio de forças verticais (expressão 3) que: dV p
dx
= , virá: 
 
∴
2
2
d y p
Hdx
= 
 
 
Esforço de tracção no cabo 
 
2
2
2 2 1 1V dyN H V H H
H dx
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎜ ⎟= + = ⋅ + = ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (6) 
 
 
Da análise desta expressão, deduz-se: 
 quanto maior for a inclinação do cabo, maior será o esforço axial de tracção N ( H é 
constante); 
 no vértice do cabo, 0ϕ = , o esforço axial N no cabo é igual à força horizontal H. 
 
 
Geometria do cabo 
 
A partir da equação diferencial do cabo, pode-se determinar a equação que define a geometria do 
cabo. 
 
Equação diferencial do cabo parabólico 
H = const. 
dy tg
dx
ϕ= 
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H
p
dx
xyd
=2
2 )( 
 
Integrando a expressão duas vezes em relação a x: 
 
1
)( Cx
H
p
dx
xdy
+⋅= 
2
1 22
py( x ) x C x C
H
= ⋅ + ⋅ +
⋅
 
em que as constantes de integração 1C e 2C dependem das condições fronteira (nos apoios). 
 
Seja o cabo parabólico de flecha máxima f, vão l, amarrações A e B ao mesmo nível e origem do 
sistema de eixos no vértice do cabo, como representado na Figura 20: 
 
 
Figura 20 – Cabo parabólico de flecha máxima f e apoios ao mesmo nível 
 
Para a determinação das constantes 1C e 2C , considerem-se as seguintes condições fronteira: 
 
No vértice, para: 
20 0 0x y C= → = ⇒ = 
 
No vértice, e por simetria, a tangente ao cabo é horizontal ( 0ϕ = ). Assim, para: 
10 0 0dyx C
dx
ϕ= → = = ⇒ = 
 
 
 
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Equação do cabo parabólico 
 
∴
2
( )
2
p xy x
H
⋅
=
⋅
 
Para 
2 2
2 8 8
l p l p lx y f f H
H f
⋅ ⋅
= → = ⇒ = ⇒ =
⋅ ⋅
 (7) 
 
 
Inclinação do cabo em cada ponto 
 
( ) 2
( ) 8dy x p x f xx
dx H l
ϕ ⋅ ⋅ ⋅
= = = (8) 
 
 
Esforço de tracção no cabo parabólico 
 
De (6), sabe-se: 
2
( ) 1 dyN x H
dx
⎛ ⎞= ⋅ + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Introduzindo as expressões deduzidas para H e ( )dy x
dx
 (expressões 7 e 8, respectivamente), virá: 
 
22
2
8( ) 1
8
p l f xN x
f l
⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞= ⋅ + ⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠
 
 
∴
22
2( )
8
lN x p x
f
⎛ ⎞
= ⋅ +⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
 
 
Pode-se concluir que N é máximo em A e B. Assim: 
 
22 2
2 8 4máx
l l lN N x p
f
⎛ ⎞⎛ ⎞= = ± = ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
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Note-se que a validade desta expressão só se verifica para cabos parabólicos com as 
extremidades à mesma altura, isto é, com os apoios A e B à mesma cota. 
 
 
Comprimentodo cabo parabólico 
 
Entre 
2A
lx = − e 
2B
lx = + o comprimento total do cabo, s, é dado pela expressão: 
 
2 22
2 2 4 161 16 ln
2 8
f l fls l f
f l
⎛ ⎞⋅ + + ⋅
⎜ ⎟= ⋅ + ⋅ + ⋅
⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠
 
 
 
5.2 – Exercício 
 
Uma passagem suspensa para peões apresenta o esquema e dimensões representados na Figura 
21. Sabendo que o passadiço deverá suportar uma carga uniformemente distribuída de 7.5 kN/m2 
(peso próprio já incluído), dimensione a área de cada um dos cabos de aço, e calcule o respectivo 
comprimento. 
 
Dados: 1860ydf MPa= 
 
 
a) b) 
Figura 21 – Ponte suspensa: a) alçado; b) perfil transversal 
 
 
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Resolução 
 
27 5 7 5 4 0 30 0p . kN / m p . . . kN / m= ⇒ = × = 
 
Figura 22 – Cabo parabólico 
 
Para um cabo parabólico ( )
2
 
2
p xy x
H
⇒
⋅
=
⋅
 
 
Para o sistema de eixos adoptado, o ponto B tem as coordenadas ( );2
l f : 
 
Em B, 6 0 1 52B B
lx . m y f . m= = → = = 
230 0 6 01 5 360
2
. .. H kN
H
×
= ⇔ =
⋅
 
 
( )
22
2
8
lN x p x
f
⎛ ⎞
= ⋅ +⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
 
 
O esforço máximo, máxN , acontece em A e em B, isto é, para 2
lx = ± 
 
Mas, o esforço máximo pode ainda ser calculado por outra via: 
 
2 2
B BN H V= + 
 
 
 
H é constante em todo o cabo parabólico 
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Por equilíbrio (de meio cabo): 
 
 
0yF = ⇒∑ 180BV kN= 
Figura 23 – Equilíbrio de metade do cabo 
 
 
2 2 2 2360 180 402 5B BN H V . kN= + = + = 
 
 
180 26 57
360
B
B
Varctg arctg . º
H
ϕ = = = 
Figura 24 – Esforço máximo no cabo (em B) 
 
 
Como calcular a secção do cabo sA ? 
 
4 2 2
3
402 5 2 16 10 2 16
1860 10
máx
s s
yd
N .A A . m . cm
f
−= ⇔ = = × =
×
 
Como a ponte é suspensa por dois cabos, 
2
2 21 08 
4
cabo
cabo caboA . cm r φπ π= = ⋅ = ⋅ 
1 174 
0 587 
cabo
cabo
. cm
r . cm
φ⇒ =
⇒ =
 
 
Cálculo do comprimento do cabo: 
( )
2 22
2 2 4 16112 16
2 8AB
f l fls s l m l f ln
f l
⎛ ⎞⋅ + + ⋅
⎜ ⎟= = = + ⋅ + ⋅
⋅ ⎝ ⎠
 
12 483ABs . m= 
considerando que a solicitação é dada já com os 
seus valores de cálculo (de dimensionamento) 
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5.3 – Cabo parabólico com amarrações a diferentes níveis 
 
 
Figura 25 – Cabo parabólico com amarrações a diferentes níveis 
 
Para o cabo parabólico com apoios A e B a diferentes níveis (cotas), e para um referencial x0y 
centrado no vértice do cabo, como representado na Figura 25, a equação do cabo parabólico será 
dada pela expressão: 
 
H
xpxy
⋅
⋅
=
2
)(
2
 
 
Por condições de geometria: 
 
a b
b a
l l l
f f h
+ =⎧
⎪
⎨
⎪ − =⎩
 
( )
( )
9
10
 
 
sendo h a diferença de cotas entre os apoios A e B. 
 
Aplicando a equação do cabo aos pontos A e B (apoios), virá: 
 
Cabos 
 
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2
2 2
2
2
2 2
2
a
a
a b
a b
b
b
p lf
H
p l p lH
f f
p lf
H
⎧ ⋅
=⎪ ⋅⎪
⎪
⋅ ⋅⎪ ⇒ = =⎨ ⋅ ⋅⎪
⎪
⎪ ⋅
=⎪ ⋅⎩
 
 
Substituindo as expressões de af e bf em (10), virá: 
 
b af f h− =
2 2
2 2
b ap l p l h
H H
⋅ ⋅
⇔ − =
⋅ ⋅
 
 2 2 2
b a
h Hl l
p
⋅ ⋅
⇔ − = (11) 
 
Com as expressões (9) e (11) podem-se calcular os valores de al e bl : 
 
 
( ) 2
a b
b a a b
l l l
h Hl l l l
p
+ =⎧
⎪
⎪
⎪ ⇔⎨
⎪ ⎛ ⎞ ⋅ ⋅⎪ − ⋅ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
 
 
 
2
a b
b a
l l l
h Hl l
p l
+ =⎧
⎪⇔ ⋅ ⋅⎨ − =⎪ ⋅⎩+
 
(12)
 
22 b
h Hl l
p l
⋅ ⋅
⋅ = + ⇔
⋅
 
2b
l h Hl
p l
⋅
= +
⋅
 
 
E, de (12) virá: 
2a
l h Hl
p l
⋅
= −
⋅
 
somando as duas equações 
= l 
Cabos 
 
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∴
2
2
a
b
l h Hl
p l
l h Hl
p l
⋅⎧ = −⎪ ⋅⎪
⎨ ⋅⎪ = +
⎪ ⋅⎩
 
 
 
Força horizontal nas secções do cabo 
 
Sabendo que 
2
2
a
a
p lH
f
⋅
=
⋅
 e 
2a
l h Hl
p l
⋅
= −
⋅
, virá: 
 
constffhf
h
lpH baa ⇒⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅±+⋅
⋅
=
22
2
 
 
 
 
Comprimento do cabo 
 
x
yxxs
2
3
2)( ⋅+= 
 
O comprimento total do cabo s será: 
a bs s s= + 
 ( )
22
3
a
a a a
a
fs s x l l
l
= − = − = + ⋅ 
 ( )
22
3
b
b b b
b
fs s x l l
l
= = = + ⋅ 
De onde: 
2 22
3
a b
a b a b
a b
f f
s s s l l
l l
⎛ ⎞
= + = + + ⋅ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
Note-se que estas expressões só são válidas para um sistema de eixos centrado no vértice do 
cabo parabólico. 
 
Cabos 
 
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5.4 – Exercício 
 
O cabo AB suporta uma carga uniformemente distribuída segundo a direcção horizontal de 45 
kg/m, como se representa na Figura 26. Sabendo que em B o cabo forma com a horizontal um 
ângulo de 35º ( )Bϕ , determine: a máxima força de tracção no cabo; e, a distância vertical af , de 
A ao vértice do cabo. 
 
Figura 26 – Cabo parabólico com apoios a diferentes níveis 
 
 
Resolução 
 
45 45 9 81 441 45 0 44145 p kg / m . . N / m . kN / m= = ⋅ = = 
 
 
 
Figura 27 – Determinação das coordenadas de A e B no referencial x0y 
 
 
Cabos 
 
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Equação da parábola: ( )
2
2
p xy x
H
⋅
=
⋅
 
 
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
2
2
1.8 1.8
2
2
B
B
B A B A
A
A
p x
y x
H py x y x m x x
H
p x
y x
H
⎫⋅
= ⎪⋅ ⎪⎪ − = ⇒ − =⎬ ⋅⎪⋅ ⎪=
⎪⋅ ⎭
 
 
 
2 2 3.6
12.0
B A
A B
Hx x
p
x x
⋅⎧ − =⎪
⎨
⎪ + =⎩
 
 
( )35 'B By xϕ = ° = 
 
 
( ) ( )' ' 35 0.611
180
B
B
p xp xy x y x rad
H H
π ⋅⋅
= ⇒ = °⋅ = =
°
 
 
0.611
Bx H
p
= ⋅ 
 
2 2 3.6
0.611 12.0
0.611
B A
A
B
Hx x
p
x H
p
x H
p
⎧ ⋅
− =⎪
⎪
⎪
+ ⋅ =⎨
⎪
⎪
= ⋅⎪
⎩
 
(13)
(14)
(15)
 
 
 
De (14) pode-se escrever: 
 
0.61112Ax H
p
= − ⋅ 
 
substituindo Ax e Bx em (13), virá: 
 
2 2
0.611 0.611 3.612 HH H
p p p
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅
⋅ − − ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
incógnita 
Cabos 
 
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Fazendo: 0.611k
p
= , para simplificar a expressão, virá: 
 
2 2k H⇒ ⋅ 2 2144 24 k H k H− + ⋅ ⋅ − ⋅
3.6 0
3.624 144
H
p
k H
p
− ⋅ = ⇔
⎛ ⎞
⇔ ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
5.74H kN= 
 
 
 
( )
( )
2
2
4.047 0.629
2
7.953 2.429
2
A
A A
B
B B
p xx m y x m
H
p xx m y x m
H
⎧ ⋅=⎧ = =⎪⎪ ⎪ ⋅⇒⎨ ⎨
⋅⎪ ⎪= = =⎩ ⎪ ⋅⎩
 
 
 
( ) ( ) 1.8B Ay x y x m− = (c.q.d.) 
 
( ) 0.629A ay x f m= = 
 
( ) ?máx máx BN N x N= = = 
 
Por equilíbrio: 
 
 
 0 1.787y A AF V p x kN= ⇒ = ⋅ =∑ 
 2 2 6.019A AN V H kN= + = 
Figura 28 – Equilíbrio do cabo à esquerda do vértice 
 
 0 3.511y B BF V p x kN= ⇒ = ⋅ =∑ 
 2 2 6.735B BN V H kN= + = 
Figura 29 – Equilíbrio do cabo à direita do vértice 
alternativamente, podia ser calculado por: 
2
2 2a a b
p l hH f f f
h
⋅ ⎛ ⎞= ⋅ + − ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Cabos 
 
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6.735máx BN N kN∴ = = 
 
Cálculo do comprimento do cabo: 
 
( )
22
3
ys x x
x
= + ⋅ 
 
 
4.112
12.560
8.447
a
a b
b
s m
s s s m
s m
= ⎫
⎪ = + =⎬
⎪= ⎭
 
 
O comprimento do cabo poderia ser calculado alternativamente através da expressão: 
 
2 22
3
A B
A B
A B
y ys x x
x x
⎛ ⎞
= + + ⋅ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
 
6 – Cabo sob a acção de forças concentradas 
 
Quando um cabo está carregado com forças verticais concentrados, basta conhecer as 
coordenadas de um só dos pontos de aplicação das forças concentradas para poder calcular 
através das equações de equilíbrio: 
 
 as coordenadas dos restantes pontos que definem a geometria do cabo; 
 os esforços e tensões em todos os troços rectilíneos do cabo; e, 
 o comprimento do cabo, que é a soma dos comprimentos dos vários troços rectilíneos. 
 
 
Figura 30 – Cabo sob a acção de forças concentradas 
 
Cabos 
 
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6.1 – Exercício 
 
Um cabo de peso próprio desprezável está sujeito às cargas apresentadas na Figura 31. 
Determine as reacções nos apoios, calcule o esforço nos vários troços do cabo, e defina 
completamente a sua geometria. 
 
 
Figura 31 – Cabo sujeito a forças concentradas 
 
 
Resolução 
 
 Cálculo das reacções nos apoios: 
 
Figura 32 – Cálculo das reacções nos apoios 
 
0 0
0 20 40 40
0 20 0 2 0 4 0 20 10 0 40 12 0 40 0
0 4 0 0 5 0
x A E
y A E
A E E
esq
B A A
F H H
F V V
M . V . H . . .
M . V . H
⎧ = ⇔ + =
⎪
= ⇔ + = + +⎪
 ⎨
= ⇔ − ⋅ + ⋅ + × + × + × =⎪
⎪ = ⇔ ⋅ + ⋅ =⎩
∑
∑
∑
∑
 
 
O momento em qualquer secção 
do cabo é zero! Os cabos não 
absorvem momentos. 
Cabos 
 
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100
10 480
0 125
A E
A E
E E
A A
H H
V V
V H
V . H
= −⎧
⎪ + =⎪⇔ ⎨ ⋅ − =⎪
⎪ = − ⋅⎩
 
231 1
231 1
28 89
71 11
A
E
A
E
H . kN
H . kN
V . kN
V . kN
= − ⎧
⎪ = ⎪⇔ ⎨ = ⎪
⎪ = ⎩
 
 
 Cálculo dos esforços no cabo por troços (equilíbrio dos nós e geometria do cabo): 
 
 
0 10 20 6 0esq
C A c AM H y V= ⇔ − ⋅ + ⋅ − ⋅ =∑ 
 0 731 cy . m⇔ = 
2 731Cf . m∴ = 
Figura 33 – Flecha no nó C 
 
 
 
0 8 0dir
D E E DM V H f= ⇔ − ⋅ + ⋅ =∑ 
 2 462 Df . m⇔ = 
Figura 34 – Flecha no nó D 
 
Equilíbrio do nó D: 
 
Figura 35 – Equilíbrio do nó D 
 
 1
2 462 17 11
8 0
.arctg . º
.
α = = 
 2
0 269 7 66
2 0 2 0
C Df f .arctg arctg . º
. .
α −
= = = 
 
1 2
1 2
0 0
40 00
x DE CD
DE CDy
F N cos N cos
N sen N senF
α α
α α
⎧ = ⋅ − ⋅ =⎧
⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎨
⎪ ⎪ ⋅ − ⋅ − == ⎩⎩
∑
∑
 
Cabos 
 
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232 96
241 57
CD
DE
N . kN
N . kN
= ⎧
⎪⇔ ⎨
⎪ = ⎩
 
 
Equilíbrio do nó C: 
 
Figura 36 – Equilíbrio do nó C 
 
 3
2 731 2 5 2 205
6 0
. .arctg . º
.
α −
= = 
 
2 30 0x CD BCF N cos N cosα α= ⇔ ⋅ − ⋅ = ⇔∑ 
 231 05BCN . kN⇔ = 
 
 
Equilíbrio do nó B: 
 
Figura 37 – Equilíbrio do nó B 
 
 4
0 5 7 13
4 0
.arctg . º
.
α = = 
 
3 40 20 0y BC BAF N sen N senα α= ⇔ − ⋅ + ⋅ − =∑ 
 232 91BAN . kN⇔ = 
 
 
 
 
 
Cabos 
 
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Geometria do cabo: 
 
 
 
 
 
 
 
7 – O cabo e o arco 
 
A forma de equilíbrio de um cabo é o polígono funicular. Um cabo com amarrações de nível, 
com peso próprio desprezável, sujeito a uma carga p uniformemente distribuída ao longo do vão 
tem a forma de uma parábola. Trocando-se o sinal da carga p, V e H, o equilíbrio mantém-se, 
mas o cabo ficaria comprimido em todos os seus pontos. 
 
 
Figura 39 – Exemplos de estruturas em arco 
 
Suponha-se agora que o cabo é rígido em compressão e inverta-se a sua concavidade: obtém-se 
um arco em que a componente horizontal H se torna, ao nível dos apoios, o impulso do arco. 
Assim, sob a acção de uma carga uniformemente distribuída ao longo da horizontal, o arco 
parabólico fica somente comprimido sem qualquer esforço de corte ou momento-flector. 
 
Pode-se construir um arco com pedras justapostas. Ao eixo do arco (parábola) chama-se linha de 
pressões. É assim que funcionam as construções antigas em que domina o peso próprio da 
estrutura: abóbadas em pedra ou tijolo, pontes em arco, arcos e abóbadas em catedrais, etc. 
 
Figura 38 – Configuração final do cabo 
Cabos 
 
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Figura 40 – Analogia de esforços entre o cabo e o arco 
 
 
8 – Questões de revisão 
 
1) Considere um cabo de peso próprio desprezável onde descarregam duas forças 
concentradas verticais de valor P. Os apoios do cabo estão à mesma cota e a distância 
entre eles é de l. Considerando que uma das forças está afastada l/3 do apoio da esquerda, 
e a outra força está afastada l/3 do apoio da direita, calcule o esforço máximo no cabo em 
função da flecha máxima. 
 
 
9 – Bibliografia 
 
[1] J. Mota Freitas; Sebenta de Resistência de Materiais, FEUP, 1978 
 
[2] V. Dias da Silva; “Mecânica e Resistência dos Materiais”, 2ª edição, Ediliber Gráfica 
Coimbra, 1999 
 
[3] C. Quaresma; Apontamentos sobre “Cabos”, Resistência dos Materiais, UA, 2001 
 
[4] H. Varum; “Exercícios resolvidos sobre cabos”, Apontamentos da disciplina de 
Estruturas Isostáticas, UA, 2004