Sistemas de Potência - Aula 1

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ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA 
EDIÇÃO Nº 1 – 2016 
 
 
 
 
 
 
 
RAFAELA FILOMENA ALVES GUIMARÃES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise de Sistemas de Potência 
 
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APRESENTAÇÃO 
 
O sistema elétrico brasileiro é um dos mais complexos sistemas mundiais 
devido a sua alta taxa de interligação e a dimensão do nosso território. Esta 
vantagem competitiva aumenta sua robustez e confiabilidade apesar de dificultar o 
equacionamento matemático do mesmo para fins de controle, planejamento, 
operação e manutenção. 
Devido ao aumento significativo de investimentos no setor e na previsão de 
aumento de demanda, é de fundamental importância um estudo detalhado sobre 
suas características técnicas, funcionais e matemáticas que serão abordadas ao 
longo deste livro. O mercado de energia precisará cada vez mais de profissionais 
altamente capacitados para que o sistema funcione sem falhas dentro de uma tarifa 
justa. Para isto este livro foi dividido em quatro capítulos. 
No capítulo 1, será desenvolvido todo o enfoque matemático para os 
diferentes componentes do sistema elétrico desde a geração até a carga, além de 
uma análise detalhada dos seus principais aspectos. Também será feita uma 
demonstração da interação existente entre frequência e tensão e as variáveis 
relacionadas com o fluxo de potência ativa e reativa que caracterizam seu 
funcionamento quase estático. 
No capítulo 2, será analisado detalhadamente o fluxo de potência com ênfase 
para as mais conhecidas e utilizadas soluções não lineares para o equacionamento 
do fluxo de carga. Também será estudado os aspectos de ajustes e controles. A 
importância dos limites de geração e da manutenção da tensão e frequência 
também será detalhada neste tópico. Primeiramente, será deduzida a solução para 
um sistema simples de duas barras e depois este raciocínio será expandido para um 
sistema com n barras. 
No capítulo 3, será abordado o modelo linearizado como uma solução 
simplificada muito utilizada no planejamento e na expansão do sistema elétrico. 
No capítulo 4, serão abordados conceitos de esparsidade, muito úteis na 
formulação do sistema elétrico como um todo e as estratégias ótimas de 
funcionamento para a determinação da distribuição de carga para as diversas usinas 
produtoras. 
Todos os capítulos foram ilustrados com exemplos matemáticos para facilitar 
a compreensão 
Análise de Sistemas de Potência 
 
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Análise de Sistemas de Potência 
 
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SUMÁRIO 
 
1 REPRESENTAÇÃO DOS COMPONENTES DO SISTEMA E FLUXO DE POTÊNCIA
 7 
1.1 APLICAÇÕES PRÁTICAS ........................................................................................ 7 
1.2 FORMULAÇÃO BÁSICA DO SISTEMA ELÉTRICO DE POTÊNCIA ................. 8 
1.3 REQUISITOS TÉCNICOS .......................................................................................... 9 
1.4 OPERAÇÃO DOS SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA ............................... 11 
1.5 SISTEMA ELÉTRICO DE POTÊNCIA BRASILEIRO .......................................... 12 
1.6 FORMULAÇÃO BÁSICA ........................................................................................ 15 
1.7 MODELAGEM DE LINHAS, TRANSFORMADORES, GERADORES E CARGA
 18 
1.7.1 REPRESENTAÇÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO ................................. 18 
1.7.2 REPRESENTAÇÃO DE TRANSFORMADOR ............................................... 19 
1.7.3 REPRESENTAÇÃO DE GERADOR ................................................................ 24 
1.7.4 REPRESENTAÇÃO DA CARGA ..................................................................... 32 
1.8 FLUXOS DE POTÊNCIA ATIVA E REATIVA ..................................................... 34 
1.8.1 LINHAS DE TRANSMISSÃO .......................................................................... 35 
1.8.2 TRANSFORMADORES FASE ......................................................................... 35 
1.8.3 TRANSFORMADORES DEFASADORES ...................................................... 36 
1.9 EXPRESSÕES GERAIS DOS FLUXOS .................................................................. 36 
1.9.1 FORMULAÇÃO MATRICIAL ......................................................................... 37 
1.9.2 IMPEDÂNCIA EQUIVALENTE ENTRE DOIS NÓS ..................................... 39 
1.10 EXEMPLOS ........................................................................................................... 40 
1.10.1 EXEMPLO 1.1: .................................................................................................. 40 
1.10.2 EXEMPLO 1.2: .................................................................................................. 42 
1.10.3 EXEMPLO 1.3: .................................................................................................. 43 
2 FLUXO DE POTÊNCIA: FORMULAÇÃO, MÉTODOS DE SOLUÇÃO, AJUSTES E 
CONTROLE ............................................................................................................................. 44 
2.1 CLASSIFICAÇÃO DE BARRAS COM BASE NO TIPO DE ESPECIFICAÇÃO . 45 
2.2 MODELO DE SISTEMA – AS EQUAÇÕES ESTÁTICAS DO FLUXO DE 
CARGA ................................................................................................................................ 46 
2.3 CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES DAS EEFC .............................................. 48 
2.3.1 CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS DO SISTEMA .................................... 49 
2.4 SOLUÇÃO DAS EEFC ............................................................................................. 50 
2.4.1 ESPECIFICAÇÕES MODIFICADAS ............................................................... 50 
2.4.2 RESTRIÇÕES PRÁTICAS DAS VARIÁVEIS DE ESTADO ......................... 53 
Análise de Sistemas de Potência 
 
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2.4.3 RESTRIÇÕES PRÁTICAS DAS VARIÁVEIS DE CONTROLE .................... 53 
2.5 O BALANÇO DA POTÊNCIA ATIVA E SEUS EFEITOS SOBRE A 
FREQUÊNCIA DO SISTEMA ............................................................................................ 53 
2.5.1 MECANISMO CARGA - FREQUENCIA ........................................................ 54 
2.5.2 O BALANÇO DA POTÊNCIA REATIVA E SEUS EFEITOS SOBRE A 
TENSÃO DO SISTEMA ................................................................................................. 56 
2.6 FLUXO DE POTÊNCIA NÃO LINEAR: ALGORITMOS BÁSICOS ................... 58 
2.6.1 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA BÁSICO ................................................... 58 
2.7 FLUXO DE POTÊNCIA NÃO LINEAR .................................................................. 61 
2.7.1 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS ALGÉBRICOS PELO MÉTODO DE 
NEWTON ......................................................................................................................... 62 
2.7.2 FLUXO DE CARGA PELO MÉTODO DE NEWTON .................................... 65 
2.8 EXEMPLOS .............................................................................................................. 69 
2.8.1 EXEMPLO 2.1: .................................................................................................. 69 
2.8.2 EXEMPLO 2.2: .................................................................................................. 70 
2.8.3 EXEMPLO 2.3: .................................................................................................. 74 
2.9 AJUSTES E CONTROLES ....................................................................................... 77 
2.9.1 MÉTODOS DE REPRESENTAÇÃO ................................................................ 77 
2.9.2 AJUSTES ALTERNADOS ................................................................................ 79 
2.9.3 CONTROLE DE TENSÃO EM BARRAS PV .................................................. 80 
2.9.4 LIMITES DE TENSÃO EM BARRAS PQ ....................................................... 81 
2.9.5 TRANSFORMADORES EM FASE COM CONTROLE AUTOMÁTICODE 
TAP 83 
2.9.6 TRANSFORMADORES DEFASADORES COM CONTROLE 
AUTOMÁTICO DE FASE .............................................................................................. 85 
2.9.7 CONTROLE DE INTERCÂMBIO ENTRE ÁREAS ........................................ 87 
2.10 A ANÁLISE DA SENSIBILIDADE E O PROBLEMA DO CONTROLE .......... 89 
2.10.1 ANÁLISE DA PERTURBAÇÃO OU DA SENSIBILIDADE ......................... 89 
2.10.2 O PROBLEMA DO CONTROLE ..................................................................... 91 
3 MODELO LINEARIZADO ............................................................................................. 96 
3.1 LINEARIZAÇÃO ...................................................................................................... 97 
3.2 FORMULAÇÃO MATRICIAL (P = B’ ) ............................................................... 99 
3.3 MODELO CC .......................................................................................................... 101 
3.4 REPRESENTAÇÃO DAS PERDAS NO MODELO CC ....................................... 104 
3.5 EXEMPLOS ............................................................................................................ 106 
3.5.1 EXEMPLO 3.1: ................................................................................................ 106 
3.5.2 EXEMPLO 3.2: ................................................................................................ 107 
4 INTRODUCAO AOS CONCEITOS DE ESPARSIDADE E ESTRATÉGIAS ÓTIMAS 
DE FUNCIONAMENTO ....................................................................................................... 110 
Análise de Sistemas de Potência 
 
6 
 
6 
4.1 ORDENAÇÃO – CONCEITOS E OBJETIVOS .................................................... 112 
4.2 O SISTEMA DE ENERGIA EM REGIME PERMANENTE – ESTRATÉGIAS 
ÓTIMAS DE FUNCIONAMENTO ................................................................................... 116 
4.2.1 O PROBLEMA GERAL DE PROGRAMAÇÃO ............................................ 116 
4.2.2 DISTRIBUIÇÃO ÓTIMA DE POTÊNCIA DOS GERADORES – 
DESPREZADAS AS PERDAS DE LINHA .................................................................. 117 
4.2.3 ESTRATÉGIA ÓTIMA DE DESPACHO PARA UM SISTEMA COM DUAS 
BARRAS ........................................................................................................................ 120 
4.2.4 O DESPACHO ÓTIMO PARA UM SISTEMA COM N BARRAS ............... 122 
4.2.5 DISTRIBUIÇÃO ÓTIMA DE POTÊNCIA DOS GERADORES INCLUINDO 
O EFEITO DAS PERDAS DE TRANSMISSÃO .......................................................... 123 
4.2.6 DEDUÇÃO DA FÓRMULA DE DESPACHO ÓTIMO ................................. 124 
4.2.7 ESTRATÉGIA DE DESPACHO ÓTIMO PARA UM SISTEMA COM DUAS 
BARRAS ........................................................................................................................ 125 
4.3 EXEMPLOS ............................................................................................................ 131 
4.3.1 EXEMPLO 4.1 ................................................................................................. 131 
4.3.2 EXEMPLO 4.2 ................................................................................................. 132 
4.3.3 EXEMPLO 4.3 ................................................................................................. 135 
5 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................ 139 
 
 
Análise de Sistemas de Potência 
 
7 
 
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1 REPRESENTAÇÃO DOS COMPONENTES DO SISTEMA E FLUXO DE 
POTÊNCIA 
 
A análise de Sistemas de Potência para a determinação do Fluxo de Carga é 
uma das ferramentas primordiais no estudo de sistemas elétricos. As equações de 
fluxo de carga ou de potência podem ser aplicadas tanto em sistemas de grande 
porte quanto em pequenas instalações. Através da análise do fluxo de potência, 
pode-se conhecer o desempenho de sistemas sob o ponto de vista de operação ou 
planejamento. 
O cálculo do fluxo de potência (ou de carga) em uma rede de energia consiste 
na determinação da tensão nas barras e da corrente nos elementos, ou do fluxo de 
potência nos elementos (equipamentos e linhas). A modelagem do sistema de 
potência é estática, ou seja, a rede é representada por um conjunto de equações/ 
inequações algébricas. Esse tipo de representação é utilizado em situações nas 
quais as variações com o tempo são suficientemente lentas para que se possa 
ignorar os efeitos transitórios. 
O planejamento e a operação de sistemas de energia elétrica têm como 
finalidade atender ao contínuo crescimento da carga, assim como, suas variações 
diárias e sazonais. Uma indústria de grande porte, urna rede de distribuição de 
energia elétrica ou mesmo todo o sistema elétrico integrado nacional (SIN) são 
exemplos de sistemas de potência. Para o amplo atendimento da carga, 
representada pelos consumidores de energia elétrica residenciais, comerciais e 
industriais, a previsão de expansão do sistema deve ser feito com a instalação de 
novos equipamentos e reforços nos sistemas de transmissão e distribuição, assim 
como sua adequada utilização dentro de procedimentos operativos. 
 
1.1 APLICAÇÕES PRÁTICAS 
 
É uma excelente ferramenta para a análise e adequação de uma topologia do 
sistema sob uma dada condição de geração e carga. Pode ser utilizado no 
planejamento, na operação e no controle do sistema de potência. Pode ser feito, 
também, como parte integrante de outros estudos, tais como análises de curto-
circuito, cálculos das tensões pré falta, estabilidade e confiabilidade, pois 
conhecendo-se os dados probabilísticos de falha dos diversos componentes da 
rede, pode-se estimar a ocorrência de falta de suprimento ao consumidor, a fim de 
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torná-la menor que um percentual especificado, através da determinação do aporte 
de investimento no sistema. O fluxo de potência também serve para a análise do 
fluxo ótimo, sendo que este estudo fornece a melhor topologia/configuração capaz 
de minimizar o custo de operação e as perdas. 
 
1.2 FORMULAÇÃO BÁSICA DO SISTEMA ELÉTRICO DE POTÊNCIA 
 
Um sistema de potência bem projetado compreende um grande número de 
estações geradoras interligadas de modo que a energia total produzida possa ser 
utilizada em toda a região coberta pelo sistema. A localização das centrais 
hidroelétricas é determinada pela presença de quedas d’água, porém a localização 
das termoelétricas são, em geral, mais facilmente alocadas pelo sistema. 
 O crescimento do consumo não é controlado pelas concessionárias de 
energia elétrica, porém, frequentemente, a facilidade de se obter energia a preço 
baixo é um incentivo para que o consumo aumente nas regiões em que isso venha a 
ocorrer. Uma das funções dos sistemas de potência é prever a demanda futura de 
energia de tal modo que centrais geradoras adequadamente situadas e sistemas de 
transmissão bem coordenados, flexíveis e eficazes, possam atender a uma 
determinada região por meio de sistemas de distribuição sempre prontos a fornecer 
a potência requerida pela carga. À medida que o sistema cresce, novas fontes de 
energia devem ser incorporadas para satisfazer ao aumento de demanda; também 
novas linhas devem ser construídas para ligar estações geradoras entre si, a um 
número cada vez maior de pontos de distribuição e a outros sistemas de potência. 
 Um dos motivos da rápida aceitação dos sistemas de corrente alternada foi o 
transformador, que tornou possível a transmissão da energia elétrica em tensões 
maiores do que as de geração ou as de utilização. Com uma tensão mais elevada, 
uma dada potência pode ser transmitida com menor corrente, resultando em 
menores perdas térmicas (R I2) na linha. 
 A escolha da tensão de uma linha é, principalmente, um problema de 
equilíbrio entre o investimentoinicial na construção da malha e nos equipamentos, e 
o custo de sua operação. Grande parte da economia obtida no custo do condutor, ao 
se projetar uma linha para maiores tensões, é perdida pelo aumento das perdas no 
ar que se ioniza, graças ao alto gradiente de tensão no condutor e pelo aumento dos 
custos dos isoladores, transformadores e seccionadores. 
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 A necessidade de grandes blocos de potência e de maior confiabilidade de 
funcionamento deram origem à interconexão dos sistemas próximos. A interconexão 
é vantajosa economicamente porque requer menor número de máquinas de reserva 
destinadas a operar em condições de pico (capacidade de reserva) e porque menor 
número de máquinas funcionando em vazio são necessárias para atender 
repentinos e inesperados aumentos de consumo (reserva girante). A redução do 
número de máquinas torna-se possível porque uma companhia pode solicitar a outra 
a potência adicional de que necessita. Além disso, a interconexão permite às 
concessionárias aproveitarem as fontes de energia mais econômicas, facilitando 
também a continuidade de operação dos sistemas que dependem principalmente de 
usinas hidroelétricas em períodos de estiagem. 
 Infelizmente, esta interconexão resultou em alguns problemas que podem ser 
resolvidos satisfatoriamente. A corrente que circula durante um curto-circuito é 
aumentada, obrigando a instalação de disjuntores de maior capacidade de 
interrupção. As perturbações causadas por um curto-circuito em um sistema podem 
se estender aos sistemas a ele interligados. É necessário que os sistemas 
mantenham a mesma frequência e as máquinas síncronas devem estar em fase. 
 O planejamento da operação, o aperfeiçoamento e a expansão de um sistema 
de potência exigem estudos de carga, cálculo de faltas e estabilidade. Um problema 
importante para o funcionamento correto de um sistema é a determinação de como 
se deve repartir, entre as várias usinas geradoras e em cada uma, entre as diversas 
máquinas, a potência a ser produzida em um determinado momento. 
 
1.3 REQUISITOS TÉCNICOS 
 
Os requisitos do processo de especificação, projeto e construção das redes 
foram concebidos para garantir o atendimento aos consumidores, respeitando limites 
de tolerância com relação aos níveis de tensão e interrupção do fornecimento. A 
desregulamentação do setor elétrico obrigou as concessionárias a operar em um 
ambiente de competição (redução de custos, aumento da confiabilidade e melhoria 
dos índices de qualidade). O crescimento na demanda de energia, particularmente 
por energia proveniente de fontes limpas e renováveis, impôs novos desafios às 
concessionárias (destacando-se a acomodação de geração distribuída sem 
alteração nos níveis de serviço). 
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Sistemas elétricos de potência encontram-se entre as construções mais 
impressionantes desenvolvidas pelo homem, quando se considera os pontos de 
vista técnico, econômico e científico. Uma grande rede de conversão e transporte de 
energia, responsável por definir o comportamento da sociedade, bem como os meios 
de produção. Os sistemas elétricos de potência foram concebidos para garantir o 
atendimento aos consumidores e a rentabilidade das concessionárias do setor 
elétrico, sem colocar em risco certos níveis de confiabilidade. A desregulamentação 
do setor elétrico impôs novos desafios a essas concessionárias, tais como: 
privatizações, garantias de manutenção e/ou ampliação dos níveis de confiabilidade 
praticados antes das privatizações, ampliação da informação aos consumidores, 
maximização do uso e vida útil dos ativos e qualidade de energia. 
Uma rede resiliente possui capacidade de manter-se em funcionamento, total 
ou parcialmente, na ocorrência de situações imprevistas e/ou indesejadas. Redes 
elétricas devem ter a capacidade de isolar essas situações e assegurar a entrega de 
energia elétrica aos consumidores, de forma rápida e eficiente. Além das situações 
decorrentes de desastres naturais ou acidentes, as redes elétricas devem ser 
capazes de assegurar a entrega de energia, mesmo nas situações de ataques 
terroristas (ataques físicos ou cibernéticos) e apesar do congestionamento, que é 
caracterizado pelo carregamento excessivo das linhas de transmissão e pode ser 
minimizado com o emprego de caminhos alternativos ou com a alteração na 
operação das usinas de geração. 
A confiabilidade de um sistema de transmissão consiste na capacidade de 
atendimento à demanda, de forma contínua, bem como na resiliência para suportar 
grandes falhas (por exemplo a isolação de uma linha de transmissão na ocorrência 
de um defeito). Para garantir a confiabilidade dos sistemas de transmissão é 
importante a manutenção de uma base de dados confiável, que permita a análise do 
seu comportamento ao longo do tempo. Como resultado, pode-se reavaliar as 
práticas e normas adotadas, de modo a melhorar os índices de continuidade de 
serviço. 
A modernização dos sistemas de transmissão pode postergar a necessidade 
de investimentos em novas linhas, sem produzir impactos na confiabilidade do 
sistema. Os benefícios decorrentes do emprego de sistemas de automação e 
controle dos sistemas de distribuição de energia elétricas são inúmeros. Dentre eles 
Análise de Sistemas de Potência 
 
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pode-se destacar: o aumento da confiabilidade das redes, a ampliação da eficiência 
na operação dos sistemas, a extensão da vida útil dos ativos. 
 De um modo geral, a operação dos sistemas elétricos de potência consiste na 
atividade de produção, transmissão e distribuição da energia elétrica aos 
consumidores finais. Por essa razão, a operação desses sistemas requer o equilíbrio 
entre segurança, economia e qualidade de energia. Do ponto de vista técnico, o 
equilíbrio depende apenas das características das usinas geradoras de energia 
elétrica (matéria prima e capacidade total), estrutura e condições de operação do 
sistema de entrega dessa energia e características da demanda. Porém, atualmente 
deve-se considerar também as regras impostas pelo mercado de energia elétrica 
MAE (sigla para Mercado Atacadista de Energia). 
 
1.4 OPERAÇÃO DOS SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 
 
As funções de apoio à decisão podem ser divididas em grupos, de acordo 
com o seu horizonte de tempo. A operação instantânea engloba o monitoramento, 
em tempo real, do estado dos sistemas elétricos (geração de energia, fluxo de carga, 
níveis de tensão, etc.). Para o planejamento da operação, tem-se o planejamento 
em curto prazo que é crucial para a operação econômica das usinas de geração. 
Desta forma, deve-se proceder com a previsão de carga para garantir o melhor 
ponto de operação, ou seja, a condição otimizada. Finalmente, é preciso que se 
elabore relatórios de operação que reflitam os índices de desempenho, de taxa de 
falhas e o carregamento das redes, para efeito de planejamento a longo prazo e 
histórico para comparações futuras. 
Os sistemas elétricos de potência, normalmente, são considerados os maiores e 
mais complexos sistemas dinâmicos já construídos pela humanidade. É um conjunto 
de equipamentos (condutores, máquinas, torres, disjuntores, cargas, etc.) 
conectados entre si para desempenhar as funções de geração, transmissão e 
distribuição. Essa estrutura deve garantir confiabilidade, qualidade e preço reduzido 
para o consumidor de energia elétrica. O primeiro modelo da estrutura descrito 
anteriormente foi estabelecido por Samuel Insull a partir da empresa Chicago Edison 
Company. A visão de Samuel Insull a respeito da indústria de energia elétrica, válida 
até os dias atuais, é baseada em quatro pilares fundamentais: 
Análise de Sistemas de Potência 
 
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1º. Consumo de massa: é economicamente vantajoso fornecer energia elétrica a 
consumidores inseridos em uma grande rede elétrica interconectada, uma vezque há aumento na confiabilidade; 
2º. Economia de escala: aumento na produção de energia elétrica resulta em 
diminuição dos custos por unidade de energia produzida, bem como na 
garantia de entrega da energia elétrica; 
3º. Estratégia de marketing: descontos proporcionais ao consumo de energia 
elétrica (sell more and charge less – vender mais e cobrar menos); 
4º. Regulação: proporciona estabilidade de investimentos a uma indústria de 
capital intensivo e grande interação política. 
Qualquer sistema elétrico de potência deve garantir o suprimento de energia aos 
consumidores, de forma confiável e ininterrupta, respeitando os limites de variação 
de frequência e tensão. Neste contexto, os grandes desafios técnicos dos sistemas 
elétricos interligados residem nas etapas de especificação, projeto e operação, de 
modo a garantir sua integridade nas mais diversas situações, tais como na presença 
de variações instantâneas no consumo de energia, tanto no momento de conexão 
como na desconexão de cargas, na eventualidade de distúrbios: como curtos-
circuitos nos equipamentos que compõem os sistemas, perda de grandes blocos de 
carga, etc. 
Parte das atribuições dos operadores dos sistemas interligados é decidir 
como agregar a capacidade reserva ao longo do dia, considerando as variações de 
carga do sistema e o custo de produção de energia elétrica nessas condições. Essa 
tarefa deve ser realizada de modo que o custo total de produção de energia elétrica 
seja o menor possível, para garantir o maior retorno ao setor. De maneira simplista, 
isso significa manter, na base do sistema produtivo, as usinas que têm custo 
operacional mais baixo e, à medida que a carga aumentar, ir colocando em 
operação as usinas que possuem custo operacional mais elevado, para manter os 
índices de confiabilidade do sistema. 
 
1.5 SISTEMA ELÉTRICO DE POTÊNCIA BRASILEIRO 
 
O sistema elétrico de potência brasileiro é formado por geradores, 
transformadores que podem ser abaixadores ou elevadores de tensão, linhas de 
transmissão e por cargas localizadas na transmissão ou na distribuição. Os 
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geradores transformam energia mecânica em energia elétrica e injetam a potência 
gerada na rede de transmissão. 
A matriz energética brasileira é formada, principalmente, pelas usinas 
hidrelétricas (mais de 60% do total), seguidos pelas usinas térmicas (17,5%). A 
energia mecânica é fornecida por turbinas hidráulicas ou a vapor, proveniente do 
carvão, gás, biomassa (óleo, bagaço de cana). Os dados de geração citados 
anteriormente foram retirados do site da Aneel. Analisando-os mais profundamente é 
possível traçar um gráfico com a distribuição da matriz energética brasileira pelas 
várias fontes de geração ilustrado na figura 1.1. 
 
Figura 1.1 Matriz energética brasileira. 
Dados disponíveis em 
http://www.aneel.gov.br/aplicacoes/capacidadebrasil/OperacaoCapacidadeBrasil.cfm, site consultado 
em fevereiro/2016. 
 
Por razões econômicas, para possibilitar a minimização das perdas, a 
transmissão é normalmente efetuada em tensões elevadas. As tensões usuais de 
transmissão, em corrente alternada, podem variar de 138 kV até 765 kV incluindo, 
neste intervalo, as tensões de 230 kV, 345 kV, 440 kV e 500 kV. Devido a limitações 
físicas e de isolamento elétrico, os geradores não podem operar nesses níveis de 
tensão. Os geradores normalmente são construídos para operar com tensões em 
13,8 kV. Estes equipamentos também estão afastados dos grandes consumidores 
necessitando de uma conexão entre eles, o que é possível devido a linhas de 
transmissão. Os geradores que são afastados dos centros de carga injetam sua 
potência gerada na rede através de transformadores elevadores que têm por 
http://www.aneel.gov.br/aplicacoes/capacidadebrasil/OperacaoCapacidadeBrasil.cfm
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finalidade transformar a potência gerada dos níveis de tensão de geração para os 
níveis de tensão de transmissão, com a consequente redução dos níveis de corrente 
e, portanto, das perdas de transmissão (perdas ôhmicas). O sistema de transmissão 
brasileiro está representado na figura 1.2. 
 
Figura 1.2 Integração eletroenergética brasileira. 
Dados disponíveis em http://www.ons.org.br/conheca_sistema/pop/pop_integracao-
eletroenergetica.aspx, site consultado em fevereiro/2016. 
 
Por razões práticas e de segurança, a potência entregue aos centros de carga 
não pode ser consumida nos níveis de tensão em que é feita a transmissão, sendo 
utilizados transformadores para abaixar a tensão para os níveis de distribuição. Os 
sistemas ditos de subtransmissão contam com níveis mais baixos de tensão, tais 
como 34,5 kV, 69 kV ou 88 kV e 138 kV e alimentam subestações de distribuição, 
cujos alimentadores primários de saída operam usualmente em níveis de 13,8 kV. 
Junto aos pequenos consumidores existe uma outra redução do nível de tensão 
para valores entre 110 V e 440 V, na qual operam os alimentadores secundários. A 
figura 1.3 retrata toda a Terra vista do espaço à noite e reflete o potencial de 
http://www.ons.org.br/conheca_sistema/pop/pop_integracao-eletroenergetica.aspx
http://www.ons.org.br/conheca_sistema/pop/pop_integracao-eletroenergetica.aspx
Análise de Sistemas de Potência 
 
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expansão do Brasil quando comparado com os de grandes centros consumidores de 
energia elétrica. 
 
Figura 1.3 A Terra vista à noite do espaço. 
Vídeo original divulgado pela NASA é de abril de 2012 e está disponível em 
https://www.nasa.gov/mission_pages/NPP/news/earth-at-night.html#.VsTk7rQrLZ5 
 
1.6 FORMULAÇÃO BÁSICA 
 
Os componentes de um sistema de energia elétrica podem ser classificados 
em dois grupos: elementos entre um nó qualquer e a terra (gerador, carga, reator, 
capacitor) e elementos entre dois nós da rede (linha de transmissão, transformador, 
defasador). Os geradores e as cargas são considerados como parte externa ao 
sistema e são modelados através de injeções de potência nos nós da rede. A parte 
interna ao sistema é formada pelos demais elementos (linha, transformadores, 
reatores, etc). As equações básicas do fluxo de potência são obtidas impondo-se a 
conservação das potências ativa e reativa em cada nó da rede, ou seja, a potência 
líquida injetada deve ser igual à soma das potências que fluem pelos componentes 
internos que tem este nó como um de seus terminais. Utiliza-se a Primeira Lei de 
Kirchhoff. A Segunda Lei de Kirchhoff é utilizada para expressar os fluxos de 
potência nos componentes internos como funções das tensões (estados) de seus 
nós terminais. 
Na formulação mais simples do problema do fluxo de carga, também 
chamada de formulação básica, a cada barra da rede são associadas quatro 
https://www.nasa.gov/mission_pages/NPP/news/earth-at-night.html%23.VsTk7rQrLZ5
Análise de Sistemas de Potência 
 
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variáveis, sendo que duas delas entram no problema como dados e duas como 
incógnitas: 
V k – valor da tensão nodal (barra k) 
 k – ângulo da tensão nodal 
P k – geração líquida (geração menos carga) de potência ativa 
Q k – injeção líquida de potência reativa 
Dependendo de quais variáveis nodais entram como dados e quais são 
consideradas como incógnitas, definem-se três tipos de barras: 
PQ – são dados Pk e Qk e são calculados Vk e  k (barras de carga) 
PV – são dados Pk e Vk e são calculados Qk e  k (barras de geração) 
REFERÊNCIA - são dados Vk e  k e são calculados Pk e Qk (barras de 
geração – geralmente uma unidade geradora de grande capacidade). 
As barras dos tipos PQ e PV são utilizadas para representar, 
respectivamente, barras de carga e barras de geração (incluindo-se os 
condensadores síncronos). A barra V, ou barra de referência, tem uma dupla 
função: como o próprio nome indica, fornece a referência angular do sistema (a 
referência de magnitude de tensão é o próprio nó terra); além disso,é utilizada para 
fechar o balanço de potência do sistema, levando em conta as perdas de 
transmissão não conhecidas antes de se ter a solução final do problema. Por isto a 
necessidade de se dispor de uma barra na qual não é especificada a potência ativa. 
O conjunto de equações do problema do fluxo de carga é formado por duas 
equações para cada barra, cada uma delas representando o fato de as potências 
ativas e reativas injetadas em uma barra serem iguais à soma dos fluxos 
correspondentes que deixam a barra através de linhas de transmissão, 
transformadores, etc. Isso corresponde à Primeira Lei de Kirchhoff e pode ser 
expresso matematicamente por: 
𝑃𝑘 = ∑ 𝑃𝑘𝑚(𝑉𝑘 , 𝑉𝑚 , 𝜃𝑘, 𝜃𝑚)
𝑚∈𝑘
 
𝑄𝑘 + 𝑄𝑘
𝑠ℎ(𝑉𝑘) = ∑ 𝑄𝑘𝑚(𝑉𝑘, 𝑉𝑚 , 𝜃𝑘, 𝜃𝑚)
𝑚∈𝑘
 
(1.1) 
Em que: 
k = 1, ..., NB; sendo NB o número de barras da rede; 
k - conjunto das barras vizinhas da barra k; 
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Vk , Vm – magnitudes das tensões das barras terminais do ramo k – m; 
 k ,  m – ângulos das tensões das barras terminais do ramo k – m; 
Pkm – fluxo de potência ativa no ramo k – m; 
Qkm – fluxo de potência reativa no ramo k – m 
𝑄𝑘
𝑠ℎ − componente da injeção de potência reativa devida ao elemento shunt 
da barra k (𝑄𝑘
𝑠ℎ = 𝑏𝑘
𝑠ℎ𝑉𝑘
2, sendo 𝑏𝑘
𝑠ℎa susceptância shunt ligada à barra k) 
Os ângulos  k ,  m aparecem sempre na forma  k -  m, significando que uma 
mesma distribuição de fluxos na rede pode ser obtida se for somada uma constante 
arbitrária a todos os ângulos nodais, ou seja, o problema do fluxo de carga é 
indeterminado nas variáveis  , o que torna necessária a adoção de uma referência 
angular (como por exemplo uma barra tipo V). As equações (1.1), acima 
demonstradas, foram montadas considerando-se a seguinte convenção de sinais: as 
injeções líquidas de potência são positivas quando entram na barra (geração) e 
negativas quando saem da barra (carga); os fluxos de potência são positivos quando 
saem da barra e negativos quando entram; para os elementos shunt das barras é 
adotada a mesma convenção que para as injeções. Essas convenções de sentidos 
para as potências ativas e reativas são as mesmas utilizadas para correntes e estão 
indicadas na figura 1.4. 
 
Figura 1.4 Convenção de sinais para fluxos e injeções de corrente, potência ativa e reativa 
 
Análise de Sistemas de Potência 
 
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O conjunto de inequações que fazem parte do problema do fluxo de carga, é 
formado, entre outras, pelas restrições nas magnitudes das tensões nodais das 
barras PQ e pelos limites nas injeções de potência reativa das barras PV: 
𝑉𝑘
𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑉𝑘 ≤ 𝑉𝑘
𝑚𝑎𝑥 
𝑄𝑘
𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑄𝑘 ≤ 𝑄𝑘
𝑚𝑎𝑥 
(1.2) 
Pode-se incluir também restrições quanto aos limites de valores dos taps dos 
transformadores em fase e defasadores assim como também limites na capacidade 
de geração de barras responsáveis pelo controle de intercâmbio ou limites das 
tensões das barras PV. 
 
1.7 MODELAGEM DE LINHAS, TRANSFORMADORES, GERADORES E 
CARGA 
 
1.7.1 REPRESENTAÇÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO 
 
Para linhas curtas (até 80 km) a capacitância da linha, por ser pequena, é 
desprezada, sendo a linha representada pelos parâmetros série, ou seja, a 
resistência e a indutância. 
O modelo equivalente  de uma linha de transmissão maior que 80 km, 
representado na figura 1.5 é definido por três parâmetros: a resistência série rkm, a 
reatância série xkm e a susceptância shunt 𝑏𝑘𝑚
𝑠ℎ . 
 
Figura 1.5 -: Modelo Equivalente  de uma linha de transmissão.