ENGENHARIA ECONÔMICA - AULA 03

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ENGENHARIA ECONÔMICA
CONCEITOS INICIAIS
Juro: é a remuneração que o tomador de um empréstimo deve pagar
ao dono do capital como compensação pelo uso do dinheiro.
Indicaremos o juro por J.
O capital que dá início a uma dada operação financeira é chamada
de capital inicial ou principal ou Valor Presente. Indicaremos o
capital inicial ou Valor Presente por C ou VP.
Prazo é o tempo que decorre desde o início até o final de
uma dada operação financeira. O prazo é contado em
períodos de tempo, sendo o menor deles o dia (dia, mês,
bimestre, quadrimestre, semestre, ano etc...). Indicaremos o
prazo por t.
TAXA DE JUROS
A taxa de juro é a razão entre o juro obtido no fim do primeiro período
financeiro e o capital inicial.
A taxa de juro refere-se sempre a um dado período financeiro:
ao dia ( a.d. ), ao mês (a.m.), ao bimestre (a.b.), ao semestre (a.s.), ao ano
(a.a.) etc.
Indicaremos a taxa de juro por i.
𝒊 =
𝑱
𝑪 ∙ 𝒕
Taxas de Juros – Períodos de Aplicação e de 
Capitalização
Uma taxa de juros deve conter informações que permitam identificar
os seus períodos de aplicação e de capitalização.
O período de aplicação estabelece o tempo de duração da
incidência da taxa de juros sobre o capital imobilizado e o período
de capitalização define a periodicidade de ocorrência da
acumulação dos juros.
Taxas de Juros Nominais e Taxas de Juros Efetivas
A taxa de juros é considerada efetiva quando o período de aplicação e o período de
capitalização coincidem; caso contrário, a taxa será dita nominal. Assim, por exemplo:
✓ taxa de juros efetiva – 8,75% ao trimestre com capitalização trimestral;
✓ taxa de juros nominal – 24% ao ano com capitalização mensal.
Nos problemas envolvendo taxas de juros, adotar-se-á a convenção – a.x. c.y. =
aplicação durante o período x com capitalização a cada período y, onde os períodos x e
y são designados pelas letras: (a) ano, (s) semestre, (t) trimestre, (b) bimestre, (m)
mês, e (d) dia.
Assim sendo, a taxa de juros de 35% a.a. c.t. é igual a 35% ao ano com
capitalização trimestral.
Para o período de capitalização y pode ser utilizada também a
capitalização contínua (c), indicando que os juros são capitalizados
continuamente.
O desenvolvimento da matemática financeira e da engenharia
econômica baseia-se em taxas de juros efetivas, assim que as taxas de
juros nominais devem ser convertidas em taxas de juros efetivas para
sua correta aplicação.
Conversão de Taxas de Juros de Mesmo Período de 
Capitalização
Para conversão de taxas de juros nominais em taxas de juros efetivas de 
mesmo período de capitalização a expressão a ser utilizada é:
𝑖𝑁𝑂𝑀 = 𝑎. 𝑥 𝑐. 𝑦. ⇒ 𝑖𝐸𝐹𝐸 = 𝑎. 𝑦. 𝑐. 𝑦.
𝑖𝐸𝐹𝐸 =
𝑖𝑁𝑂𝑀
𝑁
N = número de períodos de composição da taxa de juros nominal
Taxas Proporcionais
Assim, por exemplo, as taxas 3% a.d. e 90% a.m. são proporcionais, pois:
Taxa Período
3% 1 dia Portanto 3/90 = 1/30 
90% 30 dias
Na prática, a obtenção da taxa proporcional a uma certa taxa simples dada pode ser feita
facilmente, bastando, para tanto, efetuar uma multiplicação (ou divisão) conveniente.
Duas (ou mais) taxas de juros simples são ditas proporcionais quando seus 
valores e seus respectivos períodos de tempo, reduzidos a uma mesma unidade, 
formarem uma proporção.
TAXA EQUIVALENTE 
São taxas que aplicadas a um mesmo P, durante o mesmo tempo total, mas com 
períodos diferentes, resultam num mesmo F.
Como os valores futuro e presente são os mesmos nas duas situações apresentadas, 
tem-se:
1) Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês:
2) Determinar a taxa trimestral equivalente a 47,746% em dois anos:
3) Determinar a taxa anual equivalente a 1% á quinzena:
i =Taxa de juro, expressa em decimal, como porcentagem do capital por unidade 
de tempo ( 12% = 0,12 ) ;
t = Tempo durante o qual o capital ficará empregado;
n = O número de períodos de tempo em que o capital ficará empregado;
M ou F = Montante, que é a soma do capital mais o juro (FV = valor futuro).
JUROS
C ou P = O capital empregado, também chamado “principal”: (PV = valor 
presente)
JUROS SIMPLES
Cálculo dos Juros Simples:
O juro é chamado simples quando ao fim de cada período é 
calculado apenas sobre o capital.
𝐽 = 𝐶. 𝑖 . 𝑡
MONTANTE COM JUROS SIMPLES
𝑀 = 𝐹 = 𝐶 + 𝐽 = 𝐶 ( 1 + 𝑖. 𝑡 )
𝐽 = 𝐶. 𝑖 . 𝑡
Observação
O regime de capitalização composto também chamado de juros sobre juros, ou 
cálculo exponencial de juros.
O regime de capitalização composto é o mais comum no sistema financeiro e, 
portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia a dia.
Os juros gerados são incorporados a cada período são incorporados ao principal 
para o cálculo dos juros do período seguinte.
No sistema de capitalização composta o juro de cada período é calculado 
sempre com base no capital inicial do período anterior.
JUROS E MONTANTE COMPOSTO
Matematicamente:
M = F = C ( 1 + i )n
J = C {( 1 + i)n – 1 }
Onde: 
✓ M =F = Montante
✓ J = Juro Composto
✓ C = P = Capital Inicial
✓ n = Prazo da Aplicação
✓ i = Taxa de juro
04. Um investidor aplicou a quantia de R$300.000,00, à taxa de juro 
composto de 7% a.m.. Que montante este capital irá gerar após 5 
meses?
SOLUÇÃO:
05. Calcular o juro composto que se obterá na operação de 
R$100.000,00, a 15% a.a., durante 48 meses
SOLUÇÃO:
06. Um capital de R$10.000,00 esteve aplicado por 4 meses e gerou um 
montante de R$12.155,06. A que taxa mensal esteve aplicado?
SOLUÇÃO:
07. Durante quanto tempo deve ficar aplicado o capital de R$35.000,00, à 
taxa composta de 10% a.m., para que o mesmo produza juro de R$11.585,00?
SOLUÇÃO:
8.
9.
10.
11.
Formulário
Juros simples
Juros Compostos
taxas de juros 
taxa efetiva anual
taxa proporcional nominal mensal
	Slide 1: ENGENHARIA ECONÔMICA
	Slide 2: CONCEITOS INICIAIS 
	Slide 3
	Slide 4: TAXA DE JUROS
	Slide 5: Taxas de Juros – Períodos de Aplicação e de Capitalização
	Slide 6: Taxas de Juros Nominais e Taxas de Juros Efetivas
	Slide 7
	Slide 8: Conversão de Taxas de Juros de Mesmo Período de Capitalização
	Slide 9: Taxas Proporcionais
	Slide 10: TAXA EQUIVALENTE 
	Slide 11
	Slide 12
	Slide 13: JUROS SIMPLES
	Slide 14: MONTANTE COM JUROS SIMPLES
	Slide 15: JUROS E MONTANTE COMPOSTO
	Slide 16
	Slide 17
	Slide 18
	Slide 19
	Slide 20
	Slide 21
	Slide 22
	Slide 23
	Slide 24
	Slide 25
	Slide 26
	Slide 27: Formulário