3 - APOSTILA-CONSTRUÇÃO-DO-CONHECIMENTO-LÓGICO-MATEMÁTICO

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CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO LÓGICO MATEMÁTICO 
 
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Sumário 
 
NOSSA HISTÓRIA .......................................................................................... 2 
Construção do Conhecimento Lógico Matemático .......................................... 3 
Conhecimento Lógico-Matemático ............................................................... 4 
A construção do conhecimento lógico-matemático do ponto de vista 
Piagetiano ............................................................................................................. 14 
A construção do conhecimento lógico-matemático: aspectos afetivos e 
cognitivos .............................................................................................................. 19 
REFERÊNCIAS ............................................................................................. 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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NOSSA HISTÓRIA 
 
 
A nossa história inicia com a realização do sonho de um grupo de empresários, 
em atender à crescente demanda de alunos para cursos de Graduação e Pós-
Graduação. Com isso foi criado a nossa instituição, como entidade oferecendo 
serviços educacionais em nível superior. 
A instituição tem por objetivo formar diplomados nas diferentes áreas de 
conhecimento, aptos para a inserção em setores profissionais e para a participação 
no desenvolvimento da sociedade brasileira, e colaborar na sua formação contínua. 
Além de promover a divulgação de conhecimentos culturais, científicos e técnicos que 
constituem patrimônio da humanidade e comunicar o saber através do ensino, de 
publicação ou outras normas de comunicação. 
A nossa missão é oferecer qualidade em conhecimento e cultura de forma 
confiável e eficiente para que o aluno tenha oportunidade de construir uma base 
profissional e ética. Dessa forma, conquistando o espaço de uma das instituições 
modelo no país na oferta de cursos, primando sempre pela inovação tecnológica, 
excelência no atendimento e valor do serviço oferecido. 
 
 
 
 
 
 
 
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Construção do Conhecimento Lógico Matemático 
 
O raciocínio lógico - matemático é fundamental para todas as áreas da 
evolução do indivíduo e, portanto, na formação do aluno na área de matemática. Sua 
construção se efetua gradativamente de maneira que deve ser trabalhada de forma 
organizada pela escola que deve oferecer ao aluno oportunidades de interagir com 
os materiais, colegas e professores. 
O desenvolvimento do raciocínio 
lógico é importante na resolução de 
problemas, uma competência necessária 
na aprendizagem da matemática. No 
momento em que o aluno consegue 
pensar e criar relações de forma abstrata 
ele consegue associar o conteúdo 
matemático de forma mais eficiente para a resolução de problemas. 
Na atuação do professor de matemática em sala de aula há muitos objetivos, 
e deveres para se cumprir com os alunos, com isso, muitas vezes o trabalho com o 
raciocínio matemático começa a ser trabalho somente em segundo plano. O professor 
deve criar condições favoráveis para que o aluno aprenda, desafiá-lo para que pense 
por si mesmo a questionar aquilo que a escola quer que ele aprenda, para que assim 
haja a fundamentação daquilo que ele aprende. 
O conhecimento matemático, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais 
(Brasil, 1998), é fruto de um processo do qual fazem parte a imaginação, os 
contraexemplos, as conjecturas, as críticas, os erros e os acertos. 
O currículo da escola deve proporcionar aos alunos oportunidades de 
relacionar o raciocínio lógico com as demais áreas de atuação do aluno (biológicas, 
linguagens e humanas). O atendimento a esse requisito no ensino fundamental pode 
prevenir dificuldades do aluno de entender, entre outros, a diferença de “e” e “ou”, 
“quaisquer” de “alguns”. 
 
 
4 
Conhecimento Lógico-Matemático 
 
A construção do conhecimento lógico-matemático desperta indagações em 
vários aspectos, dentre eles salienta-se a preocupação no que se refere a melhor 
maneira de apresentar alternativas numa perspectiva construtivista. Sabe-se que não 
é tarefa fácil, e por esta razão para se compreender o 
desenvolvimento da inteligência infantil é necessário 
que se comece buscando entender como é que 
acontece esse desenvolvimento, ou seja, o primeiro 
passo é refletir sobre como a aprendizagem ocorre. 
Assim na visão de Piaget apud Wadsworth 
(1992), a aprendizagem se dá por meio de processos 
que vão sendo elaborados, organizados, 
reorganizados. Logo, na perspectiva piagetiana é 
importante referir alguns conceitos básicos para a 
compreensão das construções lógico-matemáticas. 
 Esquemas – são estruturas mentais ou cognitivas pelas quais os 
indivíduos intelectualmente se adaptam e organizam o meio. 
Ele comparou esquemas com estômago, quanto ao fato de ambos 
possibilitarem a adaptação ao meio e também com arquivo, uma vez que cada ficha 
representa um esquema. Simplificando, esquemas são estruturas que se adaptam e 
se modificam com o desenvolvimento mental. 
 Assimilação – é o processo cognitivo, pelo qual uma pessoa integra um 
novo dado perceptual, motor ou conceitual nos esquemas ou padrões de 
comportamento já existentes. Teoricamente, assimilação não resulta em mudança 
dos esquemas, ela afeta o crescimento deles e, dessa forma, é parte do 
desenvolvimento e possibilita uma ampliação. É uma parte do processo pelo qual o 
indivíduo cognitivamente se adapta ao ambiente e o organiza (p. 5). 
 Acomodação – quando confrontada com um novo estímulo, a criança 
tenta assimilá-lo a esquemas já existentes. Algumas vezes isto não é possível. O que 
faz a criança então? Pode fazer duas coisas: 
 
5 
(1) pode criar um novo esquema no qual possa encaixar o estímulo (uma nova 
ficha do arquivo); ou 
(2) ela pode modificar um esquema prévio de modo que o estímulo possa ser 
nele incluído. 
Assim, acomodação é criação de novos esquemas ou a modificação de velhos 
esquemas. Ambas as ações resultam em uma mudança na estrutura cognitiva 
(esquemas) ou no desenvolvimento. 
 Equilibração – é o processo de passagem do desequilíbrio para o 
equilíbrio. Este é o processo autorregulador cujos instrumentos são assimilação e 
acomodação. A equilibração permite que a experiência externa seja incorporada na 
estrutura interna (esquemas). 
Obviamente, o equilíbrio relacionado a qualquer estímulo particular pode ser 
uma ocorrência temporária, na medida em que as estruturas ou esquemas estão 
constantemente experimentando desequilíbrio e mudando, mas no entanto, ele é 
importante para o avanço do desenvolvimento e da adaptação. Assim do mesmo 
modo que nós nos adaptamos ao mundo que nos cerca, o desenvolvimento da mente 
– desenvolvimento intelectual – é também um processo de adaptação. 
Lima (1990), vem ao encontro a essa idéia e simplifica a questão referente a 
equilibração ao colocar que o movimento contínuo e 
dinâmico entre assimilação e acomodação é o que Piaget 
chama de adaptação, ou seja o sujeito modifica o meio e é 
modificado por ele. Então a partir desses conceitos é que 
se pode falar em aprendizagem (p. 69). 
Prosseguindo na investigação nos defrontamos 
com elementos bastante complexos, afinal como o sujeito 
acaba por conhecer? Piaget e seus colaboradores apud Fraga (1988) entendem que 
o conhecimento provém de fontes internas e externas ao sujeito e o reconhecem em 
três aspectos distintos e entrelaçados: o físico, o lógico matemático e o social, na 
seqüência o 1° (fonte externa ao sujeito), o 2° (como fonte interna) e o 3º (fonte 
externa ao sujeito) proveniente do consenso social ou seja de convenções 
 
6 
estabelecidas pela sociedade. Para melhor esclarecimento, segundo Fraga (1988), 
salientamos: 
 Conhecimento físico - se dá pela descoberta das propriedades físicas 
do objeto, quando o sujeito exerce uma ação efetiva sobre o objeto; por exemplo, nas 
açõesde jogar, observar, apertar, assim diferenças, semelhanças ou cor, entre outros 
atributos diretamente observáveis. 
 Conhecimento Social – pode se dar a partir de relações com outras 
pessoas, origina-se de informações do mundo exterior: o nome dos objetos ou regras 
sociais como por exemplo: “Boa tarde”. 
 Conhecimento lógico – matemático – procede da coordenação das 
ações mentais do sujeito sobre o objeto e se inscrevem num quadro de relações, 
classificações, ordenações e medidas. 
Também é relevante ver com clareza o alerta colocado por La Rosa (2003), o 
mesmo diz que: 
 
 
 
 
 
Assim, nesse cenário de contradições, descobertas, conflitos sociais, 
surpresas e infinitas possibilidades de aprendizagem, surge o ser humano como uma 
obra em permanente construção e, no decorrer desse processo, coloca-se o 
raciocínio lógico- matemático como fundamental durante todas as etapas de vida do 
indivíduo. 
 
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Inicialmente, para melhor compreender como se processa essa evolução na 
criança busca-se argumento na teoria de Piaget (1983) que apresenta os seguintes 
estágios sobre o desenvolvimento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Estágio Sensório-Motor: vai desde o nascimento até cerca de 24 meses. 
Os esquemas de inteligência sensório-motora não são, com efeito ainda conceitos, 
pelo fato de não poderem ser manipulados por um pensamento e que só entram em 
jogo no momento de sua utilização prática e material de qualquer conhecimento, 
enquanto esquema, à falta de aparelhos semióticos para os designar e permitir sua 
tomada de consciência. 
 Estágio Pré-Operatório: vai dos dois anos, aproximadamente, até cerca 
dos sete. Durante todo o período pré-operário, a assimilação e a acomodação tomam 
a forma respectivamente de brinquedo e de imitação e, por meio destes, desenvolve-
se a capacidade organizadora das construções, reelaborados modelos garantindo a 
ampliação da capacidade (de pensar) inteligente, o brinquedo assimila a crescente 
diversidade do real. O aparecimento da linguagem também caracteriza essa fase e, 
conforme o autor mencionado anteriormente, não é a aprendizagem da linguagem, 
entendida como influência da linguagem social exercida sobre a criança, que 
determina a aquisição, por ela, de um sistema lógico. A lógica, na sua gênese, não 
 
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provém por aprendizagem da linguagem; mas por construção das ações e 
coordenações sensório-motoras. 
 Estágio das Operações Concretas - vai dos sete aos doze anos, 
aproximadamente. Nesta etapa de desenvolvimento, a criança ainda está ligada a 
objetos reais concretos, mas já é capaz de passar da ação à operação. A principal 
característica desse estágio é a reversibilidade (a capacidade de executar a mesma 
ação nos dois sentidos do percurso, mas tendo clareza a nível de pensamento que 
se trata da mesma ação). 
 Estágio das Operações Formais - vai dos onze ou doze anos até mais 
ou menos os 15 e, nessa fase, o adolescente é capaz de pensar fazendo abstrações. 
E a fase das estruturas mentais mais elevadas, caracterizadas pelo raciocínio 
hipotético-dedutivo. 
Todo esse processo, explicado por Piaget, é fundamentalmente um processo 
de construção lógico-matemático de complexidade crescente. Vários autores 
abordam essa questão, que constituem os períodos: sensório-motor, pré-operário, 
operário e formal; no entanto, o que se pretende é visualizar possíveis ligações. 
Becker (1999) vem ao encontro a essa idéia ao colocar: 
 
Convém salientar que o conhecimento evolui gradativamente no sentido de 
uma compreensão cada vez mais ampla da realidade, admitindo-se a possibilidade 
de que um estágio possa vir a servir como base para o estágio seguinte; porém, o 
desenvolvimento não segue um padrão linear nem apenas quantitativo. Ao longo do 
processo, existem altos e baixos, rupturas no modo de pensar. 
Assim, no que se refere a esses estágios a educadora Kamii (1991) diz: 
 
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Nesse contexto, ao pensar o mundo, o homem foi se dando conta das relações 
que podiam ser estabelecidas entre os objetos, levando em consideração um conjunto 
de características, como “forma”, “tamanho” e quantidade. Os conhecimentos 
numéricos sempre surgiram de acordo com o modo como as pessoas resolviam 
problemas no dia-a-dia. Então falando mais precisamente sobre o ensino do número 
novamente toma-se como referência os estudos de Kamii (1991) que coloca seis 
princípios apresentados sobre três títulos que representam diferentes perspectivas: 
1. A criação de todos os tipos de relações: 
Encorajar a criança a estar alerta e colocar todos os tipos de objetos, eventos 
e ações em todas as espécies de relações. 
2. A quantificação de objetos: 
a) Encorajar as crianças a pensarem sobre número e quantidades de 
objetos quando estes sejam significativos para elas. 
b) Encorajar a criança a quantificar objetos logicamente e a comparar 
conjuntos (em vez de encorajá-las a contar). 
c) Encorajar a criança a fazer conjuntos com objetos móveis. 
3. Interação social com os colegas e professores: 
a) Encorajar a criança a trocar idéias com seus colegas. 
b) Imaginar como é que a criança está pensando, intervir de acordo com 
aquilo que parece estar sucedendo em sua cabeça. 
 É pertinente lembrar que o número criado para registrar as quantidades 
observadas pelos indivíduos, bem como é de conhecimento geral que o número foi 
tendo seu uso aperfeiçoado, conforme as comunidades tinham que resolver 
problemas práticos como: saber se alguma ovelha se perdeu do rebanho, saber como 
 
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realizar trocas. Aprenderam a compreender e registrar quantidades de acordo com os 
princípios da correspondência, um a um dos termos envolvidos. O número passou 
então a ser trabalhado como uma abstração feita de relações entre objetos, e não 
como um aspecto inerente ao objeto. 
Segundo a epistemologia genética de Jean Piaget (1975), a criança constitui o 
número em função de sucessão natural, ou seja, a criança só constrói o quatro depois 
de ter construído o um, o dois, o três; e depois do 
quatro constrói o cinco, e assim sucessivamente. 
Esta construção ocorre em solidariedade 
estrita com as operações da lógica de 
classificação e de seriação. Assim faz-se 
novamente referência aos níveis pré- lógico, que 
corresponde ao nível pré-numérico, sendo que o 
número operário só se estabiliza, quando existe 
uma síntese, num único sistema, das estruturas de grupamento de inclusão de 
classes. 
A criança, inicialmente, precisa agir muito sobre os objetos, estabelecendo 
relações entre eles em função de suas qualidades (relação de semelhança e 
diferença); precisa também, interessar-se pela descoberta de atributos, 
características dos colegas durante atividades envolvendo esquema corporal para, 
posteriormente, ser capaz de realizar tal síntese que permitirá a consolidação da 
estrutura do número operário. Encontramos contribuições em Fini in Sisto (2002) que 
coloca: 
 
 
 
 
 
Todas essas compreensões devem estar em consonância com o que é 
significativo para a criança em um determinado momento, outro aspecto a ser 
 
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considerado é que elas acontecem de forma diferente para cada criança e nas mais 
variadas situações. 
Para Becker (1999), conhecimento implica sempre em uma construção gradual 
e sem uma linearidade. Por exemplo, ao nos referirmos à classificação, cujas origens 
podem ser encontradas nas assimilações próprias dos esquemas sensório-motores, 
muitas vezes essa característica emerge de fato por volta dos 6 e 7 anos, podendo 
variar muito, a capacidade de separar objetos, pessoas, fatos ou idéias em grupos ou 
classes, tendo por critério uma ou várias características comuns. 
Observa-se que essas construções acontecem conforme as crianças 
vivenciam situações de aprendizagem formal (na escola) ou informal (no dia a dia fora 
da escola). Toledo e Toledo (1997) também se referem a esse assunto ao colocarem: 
 
Uma coisa é certa, os autoresmencionados até o momento mostram que a 
criança nasce em um meio onde já se elaboram certos sistemas numéricos. Logo, 
quando entra na escola, a criança já vem elaborando algumas hipóteses sobre as 
relações de quantidade e suas possíveis representações, possibilitando que o 
trabalho com crianças em estágio pré-operatório possa favorecer a aquisição, 
ampliação e consolidação desse saber, visto que, lidar com quantidades exige do 
sujeito certas formas de raciocínio-lógico conectadas com o desenvolvimento do 
conceito de número e das relações entre os objetos. 
De acordo com Fini in Sisto (2002) as experiências físicas e lógico- 
matemáticas implicam abstração mais elementar (empírica) ou mais elaborada 
(reflexiva). Na experiência lógico-matemática o conhecimento é resultado da 
coordenação e manipulação de objetos, a fim de que a criança descubra a diferença 
entre cada um dos objetos manipulados. 
 Piaget apud Kamii (1991), ao abordar a questão da educação pré-escolar 
coloca que: 
 
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Na visão de Piaget, conhecimento lógico-matemático consiste na coordenação 
das relações. Assim, como citado anteriormente, o mesmo reconhecia fontes internas 
e externas do conhecimento. 
Para a abstração das propriedades a partir dos objetos, Piaget usou o termo 
abstração empírica, na qual tudo que a criança faz é focalizar uma certa propriedade 
dos objetos e ignorar as outras. 
No que se refere ao número, fez uso do termo abstração reflexionante, que é 
uma construção feita pela mente. Nesse sentido, é por abstração reflexiva que a 
criança sintetiza e elabora dois tipos de relações entre os objetos (ordem e inclusão 
hierárquica). 
Para melhor ilustrar essa questão, os autores Kamii, Devrie (1991) postulam 
que: 
 
A estrutura lógico-matemática de número não pode ser ensinada diretamente, 
uma vez que a criança tem que construí-las por si mesma. Porém Kamii (1991) afirma 
que: 
 
 
 
Portanto, do ponto de vista da autora, as crianças que são encorajadas a tomar 
decisões são encorajadas a pensar mais os conceitos 
 
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matemáticos e a desenvolverem o raciocínio; quando devidamente estimulados, 
as crianças estabelecem relações no dia-a-dia. 
De antemão, é bom esclarecer que o papel do professor é fundamental no 
sentido de garantir um ensino de qualidade. 
Segundo Piaget, todas as crianças são capazes de aprender aritmética, pois é 
algo que envolve invenção, descoberta de diferentes maneiras para se chegar a um 
número, a uma operação matemática qualquer, uma vez que envolve raciocínio e não 
técnica. Assim De Vries, Kohlberg (1987) apud Wadsworth (1992) também 
estabelecem princípios que servem de amparo para uma prática construtivista: 
 As estruturas psicológicas devem ser desenvolvidas antes que as 
questões numéricas sejam introduzidas; 
 As estruturas psicológicas (esquemas) devem ser desenvolvidas antes 
que o simbolismo formal seja introduzido; 
 Não se deve enfatizar o conhecimento automatizado antes que a lógica 
implícita seja compreendida; 
 As crianças devem ter a oportunidade de inventar (construir) as relações 
matemáticas em vez de simplesmente entrar em contato com o pensamento adulto já 
pronto; 
 Os professores devem entender a natureza dos erros infantis. Por 
definição, o desenvolvimento intelectual matemático é cheio de “erros” e enganos; 
 Deve ser criada uma atmosfera própria para favorecer o ato de pensar. 
Considerando que o raciocínio lógico-matemático revela a capacidade de a 
criança resolver situações novas, a preocupação principal fica por conta da 
elucidação dos meios por ela utilizados para chegar ao resultado esperado. 
A autonomia incentiva a criança a pensar com sua 
própria cabeça, descartando a idéia de esperar as coisas 
prontas ou descobertas através de técnicas prontas. 
Conforme Fernández (2004): “... não se transmite, em 
verdade, conhecimento, mas sinais desse conhecimento 
para que o sujeito possa, transformando-os, reproduzi-lo. 
O conhecimento é do outro, porque o outro o possui.” (p. 
2). 
 
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À criança basta que tenha algum conhecimento acerca do conceito de número 
e das suas relações, e ela será capaz de inserir a objetos, a parte física associada à 
quantidade atribuída. Logo, o professor deve propor situações e procedimentos 
alternativos e dispor de materiais que possam ser manuseados pela criança a fim de 
que ela se dê por conta que pode progredir em seus conhecimentos Matemáticos. 
 
A construção do conhecimento lógico-matemático do ponto de 
vista Piagetiano 
 
Segundo Piaget o conhecimento se dá a partir das constantes interações do 
sujeito com seu meio externo e por isso não é concebido como sendo uma simples 
cópia da realidade. Ao contrário, “conhecer o objeto é agir sobre ele. Conhecer é 
modificar, é transformar o objeto e entender os processos desta transformação”. 
Com base nos pressupostos teóricos piagetianos, que explicam a construção 
do conhecimento, muito se tem discutido sobre suas possíveis implicações 
pedagógicas. Embora não exista um “modelo pedagógico piagetiano” e esse não era 
o seu objetivo primordial, são inúmeros os trabalhos desenvolvidos que objetivam 
aplicar essa teoria no contexto educacional. 
As implicações pedagógicas, baseadas no construtivismo de Jean Piaget, 
emergem à medida que seus estudos visam explicar como o sujeito, a partir da 
interação com seu meio, é capaz de construir gradativamente estruturas de 
conhecimento cada vez mais ricas e melhor elaboradas. 
Nesse sentido, as palavras do próprio autor 
expressam o objetivo que deveria se reservar a educação 
“o ideal da educação não é aprender ao máximo, 
maximizar os resultados, mas é antes de tudo aprender a 
aprender, aprender a se desenvolver aprender continuar 
a se desenvolver depois da escola”. 
A pratica educacional deve, portanto, privilegiar um 
aluno ativo, construtor do seu próprio conhecimento, visando “formar a inteligência 
mais do que mobiliar a memória”. No contexto da educação matemática, as 
 
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contribuições da teoria piagetiana são consideráveis, pelo fato de conceber o 
desenvolvimento como sendo uma “construção espontânea e gradual das estruturas 
logico-matemáticas”. 
Tecendo algumas considerações sobre a educação Matemática, Piaget 
salienta que é um grave erro limitar o ensino dessa disciplina somente ao plano da 
linguagem em detrimento das ações dos sujeitos, uma vez que estas são 
indispensáveis para sua compreensão. Assim sendo, a educação matemática ao 
invés de “converter os alunos em meros receptores conformistas”, deve privilegiar as 
ações do aluno sujeito, como as relações que este pode criar à medida que interage 
com seu meio. 
Os constantes fracassos quanto à educação matemática “decorrem 
essencialmente de fato de se principiar pela linguagem (acompanhada de desenhos, 
de ações fictícias ou narrada etc.) em vez de fazer pela ação real e material”. Cabe 
aos programas pedagógicos organizarem situações que levem o aluno a investigar, 
a experimentar e não apenas a ouvir e repetir sinais e técnicas que muitas vezes são 
destituídos totalmente de significado para ele. 
Um conteúdo só é significativo e compreendido pelo aluno á medida que este 
possa inseri-lo num sistema de relações, ou seja, assimilá-lo a outros conhecimentos 
previamente construídos. “O que não podemos assimilar a qualquer esquema prévio 
carece totalmente de significado para nós”. 
Assis ( 1976) ressalta que para aprender conceitos matemáticos elementares, 
bem como as operações aritméticas fundamentais (que geralmente são trabalhadas 
logo nas séries iniciais do ensino fundamental), o sujeito precisa estar de posse de 
estruturas operatórias que possibilitam uma real compreensão acerca de tais 
conteúdos; caso contrário, esses não ultrapassarão o nível da memorização. 
Piaget (1976) reforça essa ideia assinalando que a criança, em alguns nas, 
“reconstrói espontaneamente asoperações e estruturas básicas da natureza lógico-
matemática, fora das quais não compreenderia nada do que se lhe ensinará na 
escola”. Isso se explica pelo fato de que o sujeito, na esfera operatória, é capaz de 
fazer implicações lógicas, de organizar logicamente suas ações e assim pensar 
simultaneamente sobre os estados e transformações de uma dada situação, não se 
atendo somente a seus aspectos figurativos. 
 
16 
Diante de tal concepção, podemos considerar que as persistentes dificuldades 
dos alunos em aprender matemática consistem no fato de que o trabalho pedagógico, 
desenvolvido pelos educadores, parte do pressuposto que a Matemática é uma 
disciplina que pode ser assimilada por um simples transição verbal, por uma simples 
constatação acerca da realidade externa. 
Entretanto, o desenvolvimento das estruturas lógico matemáticas requer uma 
construção gradativa e não uma mera realidade. De acordo com a teoria piagetiana, 
a criança é construtora do seu próprio conhecimento e está construção depende da 
constante interação do indivíduo com seu meio exterior. É necessário que os 
conhecimentos que a criança adquire sejam construídos por ela mesma, em relação 
direta com as operações que é capaz de fazer sobre a realidade; com as relações 
que está em condições de captar, compor e 
transformar; com os conceitos que constrói 
progressivamente. 
O desenvolvimento gradativo das estruturas 
lógico-matemáticas é explicado pela teoria piagetiana 
através de um processo de equilibração. Essas 
estruturas não se encontram pré-formadas no indivíduo, pois elas se constroem à 
medida que esse interage com seu meio. Nesse processo, não se pode deixar de 
ressaltar o papel fundamental das assimilações, como sendo a incorporação de 
coisas e pessoas à atividades do sujeito, e as acomodações, como sendo reajuste 
desta última em função das transformações ocorridas. 
É, portanto, a partir dessas invariantes funcionais que os sujeitos se adaptam 
ao meio. Nesse sentido, Piaget argumenta que o conhecimento se dá pela 
capacidade do indivíduo adaptar-se ao seu ambiente, ou seja, pela sua capacidade 
de reagir às perturbações impostas pelo meio. 
À medida que compensa as perturbações exteriores, o indivíduo aprimora cada 
vez mais suas estruturas de conhecimento, atingindo um novo equilíbrio, um novo 
patamar se, contudo, desprezar os equilíbrios interiores alcançados. Esse processo 
lento e gradativo das estruturas do conhecimento, explicado pelas leis da 
equilibração, tem sua fonte nos desequilíbrios gerados a partir das trocas do indivíduo 
com o seu meio exterior. 
 
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Os desequilíbrios assumem em caráter motivacional e “obrigam o sujeito a 
ultrapassar o seu estado atual e a procura o que quer que seja em direções novas”. 
A equilibração, portanto, conduz à construção de estruturas cada vez mais complexas 
e melhor elaboradas que compreendem desde as organizações praticas (sensório-
motor) até as hipóteses dedutivas (formal). “O desenvolvimento é uma equilibração 
progressiva, uma passagem contínua de um estado de menos equilíbrio superior”. 
Considerando que o desenvolvimento das estruturas do conhecimento 
caminha no sentido de uma equilibração progressiva, cabe ao educador organizar um 
ambiente escolar favorável, onde o aluno possa estabelecer trocas com seu meio, 
compensando as possíveis perturbações que possam ocorrer no percurso dessas 
“trocas”. É papel do professor criar situações nas quais os alunos possam pesquisar, 
observar e estruturar suas próprias ações. 
A construção das estruturas cognitivas por meio de um processo de 
equilibrarão foi explicitado, por se considerar que esses pressupostos teóricos são de 
extrema importância para justificar a premissa de que os conceitos matemáticos não 
são adquiridos por uma transmissão verbal, mas que se trata eminentemente de uma 
construção gradativa das estruturas operatórias que possibilitam tais conceitos. 
Entretanto, para elaborar uma prática educacional voltada a privilegiar a 
construção dos conhecimentos lógicos e não sua internalização por meio de regras e 
símbolos, faz-se necessário distinguir outros aspectos da teoria piagetiana. Piaget 
citado por Kamii estabelece uma distinção acerca de três tipos de conhecimento: 
conhecimento físico, conhecimento social e conhecimento lógico matemático. 
Quando constatamos a cor de um objeto, seu peso, sua forma etc., segundo 
Piaget, estamos fazendo tais constatações a partir da realidade externa. São fatos 
que podem ser observados nos objetos e trata-se, portanto, de um conhecimento 
físico que ocorre por meio de abstrações empíricas. Estas apoiam-se nas informações 
materiais dos objetos, ou seja, em suas características 
físicas. “A experiência sobre o objeto conduzido a uma 
abstração a partir do objeto, assim, é a experiência 
física que é propriamente uma descoberta das 
propriedades das coisas”, o conhecimento social 
refere-se ás convenções criadas socialmente. 
 
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Um exemplo bem interessante sobre o conhecimento social é o de crianças, 
até mesmo muito novas, conseguirem contar um (1) a dez (10). Muitos acreditam que 
só porque elas recitam os números já tenham construído este conceito. Contudo, esse 
tipo de conhecimento não deve ser confundido com o conhecimento não deve ser 
confundido com o conhecimento lógico matemático, uma vez que este não se apoia 
em símbolos e conversões. 
Dessa maneira, recitar os números de um (1) e dez (10) trata-se de um 
conhecimento social. Diferentemente dos anteriores, o conhecimento lógico-
matemático tem sua fonte nas relações que o indivíduo pode criar, como quando dois 
objetos são comparados quanto ao seu peso ou tamanho, ou até mesmo, quando as 
diferenças entre eles são estabelecidas. Para haver essa diferença, é preciso 
estabelecer uma relação. Essa diferença não está no objeto em si, mas é fruto da 
relação que se estabelece entre esse objeto e um outro qualquer. 
O sujeito “faz abstração de determinadas propriedades, partindo das próprias 
ações e não a partir do objeto”. Essa relação que engendra o conhecimento lógico 
matemático apoia-se nas abstrações reflexivas. A abstração reflexiva é constante 
durante todos os períodos de desenvolvimento, intervindo em toda e qualquer 
construção do conhecimento. 
Convém destacar que os níveis das organizações práticas (sensório-motoras) 
esse tipo de abstração consiste na coordenação dos esquemas. Tal mecanismo 
também intervém no momento em que há representação por maio de imagens – a 
criança pode evocar objetos e situações ausentes. Na esfera das operações 
concretas, a abstração reflexiva apresenta-se sob as coordenações das ações do 
sujeito, ações já interiorizadas e reversíveis, ou seja, operações. 
Embora a abstração reflexiva, durante esse período, já admita a coordenação 
de operações, esta, contudo, ainda é obtida por meio de manipulações dos objetos. 
Isso não significa que se trata de uma abstração 
empírica. Ao contrário, o sujeito utiliza-se de 
objetos manipuláveis, entretanto, as 
informações são abstraídas a partir das 
coordenações das ações sobre os mesmos. 
 
19 
Esse tipo de abstração é denominada por Piaget de abstração pseudo-
empírica, a qual não deixa de ser um caso particular de abstração reflexiva. Essa 
premissa ressalta a importância de o professor, nas áreas iniciais do ensino 
fundamental, organizar sua própria prática docente a partir de materiais concretos, 
deixando o uso exclusivo de sinais para níveis posteriores, respeitando assim, o curso 
do desenvolvimento do próprio aluno. 
 
A construção do conhecimento lógico-matemático: aspectos 
afetivos e cognitivos 
 
A aprendizagem é um processo contínuo, gradual em que cada indivíduo tem 
seu ritmo, seja ele mais lento ou mais rápido, desde o seu nascimento até o último 
dia de sua vida, e este desenvolvimento depende da herança genética de cada 
indivíduo, de sua maturaçãodo sistema nervoso e de seu esforço, interesse e 
envolvimento. À medida que vamos aos desenvolvendo estamos construindo e 
reconstruindo nossa aprendizagem diante das experiências vividas, organizando 
novos esquemas ou ainda reorganizando conhecimentos já existentes, num processo 
de estruturação cumulativa, isto é, vamos construindo conhecimentos a partir dos já 
existentes acrescentando ou subtraindo informações a esta aprendizagem, criando 
novas estruturas de pensamento ou esquemas. 
De acordo com Wadsworth (2003), “os esquemas mudam continuamente, 
estes são nada menos que estruturas mentais cognitivas pelas quais os indivíduos 
intelectualmente se adaptam e organizam o meio”. Ao nascermos, os esquemas são 
de natureza reflexa, na medida em que nos desenvolvemos, os esquemas tornam-se 
mais sensórios, mais numerosos tornando-se mais complexos estando em constante 
processo de construção e reconstrução. 
Este processo chama-se assimilação e acomodação. Tais esquemas refletem 
o nível de compreensão e conhecimento de mundo. Do ponto de vista conceitual, é 
desta maneira que se processam o crescimento e o desenvolvimento cognitivo em 
todas as suas fases. Do nascimento até a fase adulta, o conhecimento é construído 
 
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pelo indivíduo, sendo os esquemas dos adultos construídos a partir de esquemas da 
criança. 
Na assimilação o organismo encaixa os estímulos à estrutura que já existe na 
acomodação o organismo muda a estrutura para encaixar o estímulo. O processo de 
acomodação resulta numa mudança qualitativa na estrutura intelectual (esquemas) 
enquanto que a assimilação somente acrescenta à estrutura existente uma mudança 
quantitativa (WADSWORTH, 2003). 
Estamos em permanente aprendizagem, porém aprendemos com maior 
facilidade na infância até a juventude, desenvolvendo-se ainda na vida adulta e 
estabilizando na maturidade decrescendo na velhice devido ao enfraquecimento 
neuro-hormonal, este processo também acontece de forma individual dependendo da 
herança genética. A criança passa, segundo a teoria do desenvolvimento cognitivo, 
por estágios diferenciados na aprendizagem de acordo com sua maturação. 
O primeiro estágio da inteligência é chamado sensório-motor, indo até os dois 
anos de idade, nesta fase, ela usa os sentidos e seus movimentos são manifestos, 
logo em seguida passa para o estágio pré-operacional que vai aproximadamente até 
os sete anos, onde está iniciando a vida escolar, já é capaz de estabelecer relações, 
classificar objetos levando em conta formas, tamanhos, cores comprimento, 
espessuras e ainda seriar objetos de acordo com suas especificidades. 
Dos sete aos onze anos aproximadamente, entra no estágio das operações 
concretas, sendo capaz de perceber as variações, alterações de quantidades, 
reversibilidade passando então para a aprendizagem formal aos doze anos, como já 
dissemos anteriormente, este desenvolvimento intelectual varia de indivíduo para 
 
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indivíduo diante da faixa etária apresentada, porém todo desenvolvimento intelectual 
atravessa por estas fases. 
Quando a criança se encontra em um ambiente que desfavorece seu 
desenvolvimento pode acorrer um atraso intelectual e cultural podendo transformar 
crianças capacitadas em crianças com potencial abaixo do nível esperado 
provocando uma desarmonia evolutiva impedindo a aprendizagem normal. É 
recomendável que a criança entre para a escola com certo amadurecimento social 
capaz de adaptar-se a novas situações e relações, permitindo um controle emocional 
benéfico ao seu desenvolvimento cognitivo. 
Alguns fatores favorecem ou desfavorecem a aprendizagem, como a 
hereditariedade, o ambiente físico, social e familiar, a maturação, as condições 
estruturais orgânicas e principalmente o fator emocional, do qual depende grande 
parte da educação infantil, estes atuam simultaneamente no desenvolvimento 
intelectual, portanto, por estes aspectos, é imprescindível que o educador tenha 
sempre em mente os princípios gerais do desenvolvimento do aprender como um 
processo contínuo e global. 
Para ampliar os conceitos estruturados, elaborando e reelaborando novas 
ideias e pensamentos, faz-se necessário que o aprender aconteça de forma 
provocante, significativa, relacionada ao cotidiano e realidade da criança. Nas 
palavras de José e Coelho (2002) para ser significativa, é necessário que a 
aprendizagem envolva raciocínio, análise, imaginação e relacionamento entre ideias, 
coisas e acontecimentos. 
Observe que, a primeira escola que a criança entra em contato é a família, nela 
aprende inconscientemente e retêm de forma marcante sentimentos, autoconceitos, 
atitudes positivas e negativas, determinando grande parte do adulto que se formará. 
 Portanto, crianças convivendo em um meio afetivamente desequilibrado, 
deixando de suprir suas necessidades essenciais de 
amor autêntico e infantil fatalmente entrará em 
situações problemáticas ou mesmo patológicas, 
podendo levar a manifestações de supersensibilidade, 
sentimento de rejeição, pânico, ansiedade, depressão 
ou infantilização, ausência de relacionamento social, 
 
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agitação. Como o desejo é bastante significante para acontecer à aprendizagem, o 
indivíduo exposto a problemas emocionais, deixa de desejar o aprender impedindo-o 
de construir esquemas e assimilar de forma que não compreenda a dimensão 
simbólica, pois inconscientemente, as emoções não permitem efetivar uma estrutura 
lógica de pensamento que resulte na aprendizagem cognitiva, visto que desejo e 
inteligência estão intimamente ligados (Campos, 2002). 
Assim é fácil perceber que os problemas de aprendizagem são tão somente 
sintomas, os quais as crianças passam a exibi-los através de desenhos, ações, 
brincadeiras, comportamentos e fracasso escolar. Os sentimentos positivos é fator 
fundamental para o bom desenvolvimento cognitivo do indivíduo, é possível perceber 
facilmente nos diagnósticos clínicos crianças que apresentam fracasso escolar, estas 
em sua maioria, atravessam situações de estresse emocional, baixa autoestima e 
expectativas de sucesso acadêmico, apresentam também instabilidade e pouca 
persistência, tais sintomas os sintomas aparecem de forma diferenciada entre os 
sexos, tendo maior incidência no sexo masculino. Isto já é comprovado por estudos 
mais aprofundados. “As meninas mostraram um estilo de personalidade mais voltado 
para a constrição, ansiedade à separação, passividade e afastamento, enquanto os 
meninos foram descritos como mais impulsivos, agressivos, beligerantes, desafiantes 
e opositores” (MARTINELLI, 2001, p.112). 
Posições teóricas abordam em grande escala o aspecto afetivo e a 
aprendizagem, dentre elas, a teoria psicogenética, que relata o equilíbrio do indivíduo 
com a satisfação em desempenhar tarefas desejadas, fazendo com que o mesmo 
busque o conhecimento, acomodando-o, estruturando suas habilidades e conceitos, 
como sendo uma energia para o bom funcionamento da inteligência, capaz de 
modificar as estruturas do pensamento acelerando o desenvolvimento intelectual 
sendo assim, segundo Piaget, o processo entre aprendizagem e afetividade estão 
distintamente interligados. Portanto a inteligência age de acordo com os interesses 
do indivíduo, atribuindo ao aprendizado energia, despertando a motivação. 
É preciso ter sempre em mente, ao avaliar o fracasso escolar, os domínios 
afetivos, cognitivos e psicomotor, para não fragmentar o desenvolvimento do ser 
humano, vê-lo como ser uno, movido principalmente pela parte afetiva, visto que as 
emoções estão ligadas às glândulas suprarrenais, estimulando-as para aumento da 
produção de adrenalina, fazendo com que aumente o ritmo respiratório e cardíaco, 
 
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criando um processo de liberação de glicose em alta quantidade no sangue alterando 
o metabolismo possibilitando uma maior produção de energia, é importante ressaltar 
também que a emoção mobiliza o corpo inteiro estabelecendorelações com o exterior 
e interior num processo cognitivo e afetivo. 
Consequentemente o processo educativo deve 
harmonizar estas dimensões para promover a 
aprendizagem social e pessoal da criança. Considerando 
que a criança progride em função do meio, da afetividade 
e do desenvolvimento biológico, é possível dizer que 
mediante as suas experiências vividas, vai adquirindo 
propriedades físicas e estruturando seu conhecimento 
lógico matemático, distinguindo cores, tamanhos, dimensão, compensação, 
igualdades e diferenças, relacionando objetos e quantidades, internalizando 
conhecimentos para a construção numérica e propriedade dos objetos. 
Para que a construção do pensamento lógico-matemático seja consolidada, a 
criança deve relacionar a abstração empírica com a abstração reflexiva distinguindo 
as partes do todo, deste modo construir o conhecimento físico para possibilitar a 
elaboração do conhecimento matemático. Tomamos como ilustração uma criança 
que ao ver um lápis azul, pode classificar a cor azul, e perceber que no lápis sua 
utilidade, sua forma e tamanho distinguindo-o de outros objetos. 
Este processo ocorre desde o estágio sensório-motor, devendo acontecer de 
forma interligada, mais tarde desvinculando da abstração empírica, visto que a 
criança já organizou seu pensamento podendo refletir de forma abstrata. Na medida 
em que vai consolidando seus conhecimentos reconstroem outros através dos já 
acumulados relacionando um conhecimento a outro os adicionando a todos os tipos 
de conteúdos. Ao iniciar o processo de contagem numérica, a criança tende a contar 
saltando números ou repetindo-os, sentindo a necessidade de organizá-los para 
consolidar o processo de sequência numérica, a partir daí, passa a fazer esta mesma 
atividade sem a necessidade da organização fazendo-a mentalmente, a criança, por 
conseguinte, passa a desempenhar duas ações em uma mesma atividade, organiza 
mentalmente e conta, numa relação ordenada coerente entre número e numeral. 
 
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Consolidando este pensamento de relação, irá passar a incluir mentalmente o 
número ou objeto a um conjunto, visto que um está incluído em dois, dois em três e 
assim sucessivamente fazendo uma construção de estrutura hierárquica, 
conseguindo pensar sobre o todo e sobre as partes, segundo Piaget, a esta ação 
nomeamos reversibilidade, desenvolvendo a capacidade de separar e unir as partes 
simultaneamente num pensamento móvel, pode-se dizer que a criança desenvolve 
esta habilidade crescente do pensamento por volta de sete a oito anos e o resultado 
disto é a estrutura lógica do pensamento. 
Com isto conclui-se que o conhecimento lógico-matemático não é inato, mais 
construído por meio do contato social, visto que tal conhecimento só passa a ser 
adquirido por volta dos cinco anos, nesta fase já é capaz de julgar espaço e perceber 
fronteiras, portanto o número é alguma coisa que cada ser humano constrói através 
da criação e coordenação de relações, em consequência disto, os professores devem 
promover atividades que possibilitem trabalhar a construção e o desenvolvimento 
destas habilidades encorajando o pensamento ativo, estimulando a fazer relações até 
os sete ou oito anos, para só então estender o pensamento levando-a a compreender 
conceitos de adicionar, subtrair, dividir e multiplicar num contexto mais amplo da 
matemática. 
É crescente a dificuldade do conhecimento matemático, estudos relatam que 
o problema pode estar no estabelecimento de relações positivas quanto ao ensino, 
na transmissão mecânica em vez de significativa, deixando de privilegiar a 
investigação e a reflexão, sem contar nos problemas cognitivos e afetivos, como 
também déficit de atenção que podem gerar dificuldades no processo de 
aprendizagem da matemática. Tais questões devem ser contempladas no 
desenvolvimento do currículo escolar, na pedagogia aplicada e na escolha de 
materiais e textos específicos que visem desenvolver o trabalho objetivando superar 
possíveis dificuldades. 
 
 
 
 
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