Tema 03 Desconto Racional ou Por Dentro Desconto Comercial ou Por Fora - Livro Mat finaceira fundamentos e aplicações

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Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
D136m Dal Zot, Wili.
 Matemática financeira : fundamentos e aplicações 
 [recurso eletrônico] / Wili Dal Zot, Manuela Longoni de 
 Castro. – Porto Alegre : Bookman, 2015.
 Editado como livro impresso em 2015.
 ISBN 978-85-8260-333-8
 1. Matemática financeira. I. Castro, Manuela Longoni 
 de. II. Título. 
CDU 51
Os autores
Wili Dal Zot
É professor de Matemática Financeira do Departamento de Matemática Pura e Aplicada da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) desde 1984. É bacharel em Ciências Econômicas pela UFRGS, espe-
cialista em Finanças pela Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getúlio Vargas (FGV) e mes-
tre em Administração pela Escola Brasileira de Administração Pública e de Empresas (EBAPE) pela mesma 
instituição. Atualmente, é professor convidado da FGV das disciplinas de Matemática Financeira e Finanças 
Corporativas em cursos de Pós-Graduação. Tem experiência em cargos de Gerência Financeira e de Controla-
doria em empresas de setores da Indústria de Comércio e Serviços.
Manuela Longoni de Castro
É bacharel em Matemática pela UFRGS, mestre em Matemática Aplicada pela mesma universidade e Ph.D. 
em Matemática pela University of New Mexico (Estados Unidos). É professora adjunta da Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul desde 2006, ministrando a disciplina de Matemática Financeira desde 2007. 
Tem experiência na área de Matemática Aplicada, atuando nas áreas de Equações Diferenciais Parciais, Aná-
lise Numérica e Ecologia Matemática.
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CAPÍTULO 6
DESCONTOS
6.1 Introdução
CONCEITO 6.1 Entende-se por desconto “[…] o abatimento que se obtém ao saldar um 
compromisso antes de sua data de vencimento e por descontar o ato acima descrito.” 
(ASSAF NETO, 2009, p. 38; DAL ZOT, 2008, p. 75)
Normalmente os compromissos com vencimento no futuro são originários de empréstimos 
anteriores e são representados por documentos denominados títulos de crédito, que, desem-
penhando papel semelhante ao dos contratos, asseguram legalmente os direitos dos credores.
Os títulos de crédito possuem regras legais que preveem sua negociação de modo a fa-
cilitar a antecipação dos direitos futuros por meio da operação de desconto.
Dentre os títulos mais conhecidos, encontram-se duplicatas, notas promissórias, certifi-
cados de depósito bancário e letras de câmbio.
Uma empresa, ao descontar um título de crédito junto a um banco, recebe um valor in-
ferior ao que o título irá valer no seu vencimento. O valor líquido recebido se denomina valor 
descontado, principal ou valor presente do título. A diferença entre valor líquido recebido e 
valor nominal do título é o desconto.
O valor do título no vencimento é o seu valor de resgate, valor nominal ou valor futuro.
Alguns pontos se destacam na operação de desconto do ponto de vista da empresa que 
se desfaz do título de crédito:
 • Da parte do possuidor ou credor do título, a operação de desconto significa a antecipa-
ção da riqueza nele expressa; em troca, é oferecido um desconto de seu valor nominal 
(ou de resgate).
 • A operação de desconto pode ser comparada a um empréstimo, pois existe um princi-
pal (valor descontado = valor nominal menos o desconto), um prazo e um valor futuro 
(montante, valor nominal, valor de resgate do título).
Pontos de destaque na operação de desconto do ponto de vista do banco que adquire o 
título:
 • Da parte do banco comprador do título, a operação é semelhante a uma aplicação fi-
nanceira cujo principal é o valor pago à vista pelos títulos (valor descontado ou valor 
presente) e o rendimento é o desconto recebido (mesmo que juros).
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46 Matemática Financeira
 • Na data de vencimento, o banco que o descontou receberá o valor nominal do título de 
crédito que equivale ao montante do principal oferecido na sua aquisição.
6.2 Simbologia
O objetivo primordial do cálculo financeiro nas operações de descontos é encontrar o 
principal (valor presente ou valor atual) dos títulos de crédito (principal = valor de resgate 
− desconto).
Símbolos mais utilizados
 • D = desconto
 • P = principal, valor descontado, valor atual, valor presente (nas calculadoras financei-
ras: )
 • S = valor de resgate, valor nominal, valor futuro, montante (nas calculadoras financei-
ras: )
6.3 Desconto bancário simples
CONCEITO 6.2 Um dos tipos mais conhecidos de desconto é o desconto bancário sim-
ples. Nele, o valor presente (P) de um título de crédito é obtido por:
 P = S − D (6.1)
e
 D = S·d·n (6.2)
onde
S = valor de resgate, valor de face, valor nominal ou valor futuro do título a ser 
descontado
d = taxa de desconto bancário simples
n = prazo entre o desconto e o vencimento do título
6.4 Cálculo do desconto (D)
EXEMPLO 6.1 Calcular o valor do desconto de duplicatas cujo valor nominal é de R$ 
23.000,00, descontadas a uma taxa de desconto bancário simples de 5% ao mês, 38 dias 
antes do vencimento.
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Capítulo 6 Descontos 47
Dados:
D = ?
S = 23.000
n = 38 d = m
d = 5% (0,05) a.m.
Solução:
Resposta: R$ 1.456,67.
Usando a calculadora.
ALG RPN
23000 × 23000 ENTER
.05 × .05 ×
38 ÷ 38 ×
30 = 30 ÷
⇒1.456,66666667 ⇒1.456,66666667
6.5 Cálculo do valor descontado (P)
EXEMPLO 6.2 Uma empresa descontou duplicatas no valor de face de R$ 18.700,00 com 
52 dias de antecedência do vencimento, a uma taxa de desconto bancário simples de 4,5% 
ao mês, e deseja saber o valor líquido recebido na operação.
Dados:
Solução:
Como D = S·d·n e P = S – D, pode-se formular: P = S − S·d·n ou
P = S(1 − d·n) (6.3)
Resposta: R$ 17.241,40.
P = ?
S = 18.700
n = 52 d = m
d = 4,5% (0,045) a.m.
52
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48 Matemática Financeira
Usando a calculadora.
 
ALG RPN
18700 × ( 18700 ENTER
1 − ( 1 ENTER
.045 × .045 ENTER
52 ÷ 52 ×
30 = 30 ÷
⇒17.241,40000000 − ×
⇒17.241,40000000
6.6 Cálculo da taxa efetiva (i)
Calculando a taxa efetiva
EXEMPLO 6.3 Calcular a taxa efetiva mensal de uma operação de desconto de duplica-
tas no valor de face de R$ 100.000,00, 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de descon-
to bancário simples de 10% ao mês.
Dados:
i = ?
S = 100.000
n = 3 m
d = 10% (0,10) a.m.
Solução:
Como P = S(1 − d·n) e ,
 
ou
 (6.4)
Resposta: 12,62% a.m.
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Capítulo 6 Descontos 49
Usando a calculadora.
 
ALG RPN
1 ÷ ( 1 ENTER
1 − ( 1 ENTER
0.1 × 0.1 ENTER
3 = yx 3 ×
3 1/x − ÷
− 3 1/x yx
1 = 1 −
⇒0,126248 ⇒0,126248
6.7 Tipos de descontos
Os tipos conhecidos de descontos são:
 • Desconto bancário simples (desconto comercial simples ) ou desconto por fora simples
 • Desconto bancário composto ou desconto por fora composto1
 • Desconto racional simples ou desconto por dentro simples
 • Desconto racional composto ou desconto por dentro composto
Tipos de descontos e fórmulas de cálculo do valor presente:
Bancário (d) Racional (i)
Simples P = S(1 − d·n)
Composto P = S(1 − d)n
Uma das diferenças entre os descontos racionais e os bancários é que aqueles utilizam taxa de 
juros (i), enquanto estes, taxas de desconto (d).
Os tipos de descontos mais utilizados são: o desconto bancário simples, para operações 
de desconto de curto prazo, em torno de 30 a 90 dias (duplicatas, notas promissórias, etc.), e 
o desconto racional composto, para prazos superiores.
1 Embora citado por alguns autores, não se tem conhecimento sobre a utilização do desconto bancário composto.
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Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
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Nome do arquivo: 
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Data de vinculação à solicitação: 09/03/2023 15:37
Aplicativo: 655540
	Capa
	Iniciais
	Os autores
	Prefácio
	Sumário
	Capítulo 1 - Introdução
	Capítulo 2 - Conceitos básicos
	Capítulo 3 - Juros simples
	Capítulo 4 - Juros compostos
	Capítulo 5 - Taxas
	Capítulo 6 - Descontos
	Capítulo 7 - Anuidades
	Capítulo 8 - Equivalência de capitais
	Capítulo 9 - Sistemas de amortização
	Capítulo 10 - Análise de investimentos
	Capítulo 11 - Correção monetária
	Apêndice A - Um pouco mais sobre calculadoras
	Apêndice B - Métodos numéricos de cálculo da taxa de juros
	Referências
	Índice
	Página em branco