o mundo das contas dlun

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c) \(\frac{\pi}{3}\) 
 d) \(\frac{\pi}{6}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{\pi}{2}\). 
 **Explicação:** Usamos a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\). Assim, a 
integral se torna \(\int_0^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2}\left[x - 
\frac{1}{2}\sin(2x)\right]_0^{\pi} = \frac{\pi}{2}\). 
 
30. **Problema 30:** Determine o valor de \(\int_0^1 (1 - x^2)^{5} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{6}\) 
 b) \(\frac{5}{6}\) 
 c) \(\frac{1}{30}\) 
 d) \(\frac{1}{12}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{6}\). 
 **Explicação:** Usamos a substituição \(u = 1 - x^2\), então \(du = -2x \, dx\). A integral 
se torna \(-\frac{1}{2} \int u^5 \, du = -\frac{1}{12} u^6 + C\). Avaliando de 0 a 1, obtemos 
\(\frac{1}{6}\). 
 
31. **Problema 31:** Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** c) 2. 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital, pois a forma é indeterminada \(0/0\). 
Derivando o numerador e denominador, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{1} = 2\). 
 
32. **Problema 32:** Encontre a derivada de \(f(x) = x^3 \ln(x)\). 
 a) \(3x^2 \ln(x) + x^2\) 
 b) \(3x^2 \ln(x) + 3x\) 
 c) \(3x^2 \ln(x) + \frac{x^2}{x}\) 
 d) \(3x^2 \ln(x) + 1\) 
 **Resposta:** a) \(3x^2 \ln(x) + x^2\). 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \(u = x^3\) e \(v = \ln(x)\). Assim, \(u' = 3x^2\) 
e \(v' = \frac{1}{x}\). Portanto, \(f'(x) = 3x^2 \ln(x) + x^2\). 
 
33. **Problema 33:** Determine o valor de \(\int_0^1 x (1 - x)^3 \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{20}\) 
 b) \(\frac{1}{24}\) 
 c) \(\frac{1}{30}\) 
 d) \(\frac{1}{12}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{20}\). 
 **Explicação:** Expandindo a integral, temos \(x(1 - 3x + 3x^2 - x^3) = x - 3x^2 + 3x^3 - 
x^4\). A integral se torna \(\int_0^1 (x - 3x^2 + 3x^3 - x^4) \, dx = \left[\frac{x^2}{2} - x^3 + 
\frac{3x^4}{4} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \frac{1}{20}\). 
 
34. **Problema 34:** Calcule o determinante da matriz \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 
\end{pmatrix}\). 
 a) -1 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 7 
 **Resposta:** d) 7. 
 **Explicação:** O determinante é calculado como \(ad - bc\). Assim, \(1 \cdot 5 - 2 
\cdot 3 = 5 - 6 = -1\). 
 
35. **Problema 35:** Encontre o valor de \(\int_0^{\pi/2} \sin^3(x) \, dx\). 
 a) \(\frac{3}{8}\) 
 b) \(\frac{2}{3}\) 
 c) \(\frac{1}{4}\) 
 d) \(\frac{1}{5}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{3}{8}\). 
 **Explicação:** Usamos a identidade \(\sin^3(x) = \sin(x)(1 - \cos^2(x))\) e a substituição 
\(u = \cos(x)\). Assim, a integral se torna \(\int_0^1 (1 - u^2) \, du = \frac{3}{8}\). 
 
36. **Problema 36:** Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}\). 
 a) 0 
 b) \(-\frac{1}{2}\) 
 c) 1 
 d) \(-1\) 
 **Resposta:** b) \(-\frac{1}{2}\). 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital, pois a forma é indeterminada \(0/0\). 
Derivando o numerador e denominador, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{-\sin(x)}{2x} = \lim_{x 
\to 0} \frac{-\cos(x)}{2} = -\frac{1}{2}\). 
 
37. **Problema 37:** Encontre a derivada de \(f(x) = e^{x^2}\). 
 a) \(2xe^{x^2}\) 
 b) \(e^{x^2}\) 
 c) \(2x\) 
 d) \(x e^{x^2}\) 
 **Resposta:** a) \(2xe^{x^2}\). 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: a derivada de \(e^u\) é \(e^u u'\). Aqui, \(u = 
x^2\) e \(u' = 2x\). Portanto, \(f'(x) = 2x e^{x^2}\). 
 
38. **Problema 38:** Calcule a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{4} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{5}\) 
 b) \(\frac{1}{6}\) 
 c) \(\frac{1}{7}\) 
 d) \(\frac{1}{8}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{5}\). 
 **Explicação:** Usamos a substituição \(u = 1 - x^2\), então \(du = -2x \, dx\). A integral 
se torna \(-\frac{1}{2} \int u^4 \, du = -\frac{1}{10} u^5 + C\). Avaliando de 0 a 1, obtemos 
\(\frac{1}{5}\). 
 
39. **Problema 39:** Determine o valor de \(\int_0^1 x^4 (1 - x)^2 \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{30}\) 
 b) \(\frac{1}{42}\) 
 c) \(\frac{1}{60}\) 
 d) \(\frac{1}{12}\)