Exercicios Teoria Elementar dos Numeros 68

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incluido em (n – 1)!. Se b e 2b estão incluidos em (n – 1)!, 2b2 = 2n2 divide (n – 
1)!  n divide (n – 1)!. Cqd. 
26 – Mostrar que todo inteiro da forma 8n + 1, com n > 1, é composto. 
Solução:- Façamos 8n = (23)n = (2n)3 = a. 
Assim, 8n + 1 = a3 + 1. Ora ( a3 + 1) = (a + 1)(a2 – a + 1). 
Como 2n >2 conclui-se a > 1, de onde se tira a + 1 > 3 . Também, a2 > a  a2 – a 
+ 1 > 1 e inteiro. Assim, 8n + 1 admite dois fatores maiores que 1. Portanto, 8n + 
1 é composto. Cqd. 
CAPÍTULO 7 - Questões 27 a 34 
27 – Mostrar que se n2 + 2 é primo então 3 | n. 
Solução: Todo número inteiro é da forma 3k, 3k + 1 e 3k + 2. 
Se n é da forma 3k + 1, teremos: n2 + 2 = (3k + 1)2 + 2 = 3k2 + 6k + 1 + 2 = 
3.(k2 + 2k + 1)  para números da forma (3k + 1), n2 + 2 é composto. 
Se n é da forma 3k + 2, teremos: n2 + 2 = (3k + 2)2 + 2 = 9k2 + 12k + 4 + 2 = 
3.(3k2 + 4k + 2)  para números da forma (3k + 2), n2 + 2 não é primo. 
Assim, n2 + 2 só poderão ser primos se n for da forma 3k  3 | n. Cqd. 
 
28 – Mostrar, mediante um exemplo, que a seguinte conjectura é falsa: 
Todo inteiro positivo pode-se escrever sob a forma a2 + p, onde o inteiro a > 0 e p 
é um inteiro primo ou 1. 
Solução: Após testar todos os inteiros de 1 até 25, verifica-se que 25 não tem a 
forma indicada pois; 25 = 1 + 24 ou 25 = 4 + 21 ou 25 = 9 + 16 ou 25 = 16 + 9. 
Observe que 24, 21, 16 e 9 não são primos e 1, 4, 9 e 16 são os únicos quadrados 
menores que 25. 
 
29 – Demonstrar as seguintes propriedades: 
(a) Todo primo da forma 3n + 1 é também da forma 6m + 1. 
Solução: Se 3n + 1 é primo, 3n + 1 é impar. Assim, n e um número par. Portanto, 
para qualquer valor de m existe n tal que n + 2m. 
Podemos então escrever 3(2m) + 1 = 6m + 1. 
(b) Todo inteiro da forma 3n + 2 tem um fator primo desta forma. 
Solução: Se 3n + 2 é primo, sua decomposição em fatores primos é 3n + 2 = (3n 
+ 2).1  3n + 2 tem um fator primo da forma 3n + 2. 
Se 3n + 2 não é primo, seja 3n + 2 = a1.a2.a3...an sua decomposição canônica em 
fatores primos. Como todo número inteiro tem uma das formas 3k, 3k + 1 ou 3k + 
2, os fatores ai de 3n + 2 não podem ser da forma 3k pois 3k é múltiplo de 3, 
portanto não será primo. 
Assim, cada ai somente poderá assumir uma das formas 3k + 2 ou 3k + 1. 
Se todos forem da forma 3k + 1, teríamos: 
(3k + 1)(3k’ + 1) = 9kk’ + 3k + 3k’ + 1 = 3.(3kk’ + k + k’) + 1 que é da forma 
3n + 1. Portanto, 3n + 2 deve admitir pelo menos 1 fator da forma 3n + 2.