Cap 27 - Poligonos

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Capítulo 27: Polígonos 
 
Resposta da questão 01: [C] 
 
 
Resposta da questão 02: [D] 
 
30 ∙ 6 = 180	𝑐𝑚 
 
Resposta da questão 03: [B] 
 
 
 
Resposta da questão 04: [B] 
 
Â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =
(𝑛 − 2) ∙ 180
𝑛 =
(5 − 2) ∙ 180
5 = 108° 
 
Resposta da questão 05: [E] 
 
 
 
Resposta da questão 06: [B] 
 
 
 
Resposta da questão 07: [B] 
 
Sendo	o	polígono	da	figura	um	heptágono, a		
resposta	é	180°×	(7	 − 	2) 	= 	900°	
 
Resposta da questão 08: [A] 
 
 
Resposta da questão 09: [D] 
 
 
 
 
2 
Resposta da questão 10: [D] 
 
 
 
Resposta da questão 11: [A] 
 
Sabendo que um dodecágono possui doze lados, 
temos 
 
 
Resposta da questão 12: [B] 
 
 
 
Resposta da questão 13: [B] 
 
Calculando a soma dos ângulos internos de cada 
polígono, temos: 
180° × (𝑛 − 2 − 2) + 180° × (𝑛 − 2) + 180°(𝑛 + 2 − 2)
= 2160°	 
Dividindo os dois membros da igualdade por 180°, 
temos: 
𝑛	 − 	4	 + 	𝑛	 − 	2	 + 	𝑛	 = 	12 → 	3𝑛	 = 	18 → 𝑛	 = 	6	 
Portanto, 𝑛	 − 	2	 = 	4 e o polígono com o menor 
número de lados é um quadrilátero. 
 
Resposta da questão 14: [E] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 15: [B] 
 
 
 
Resposta da questão 16: [E] 
 
 
 
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 + 𝛿 + 180 = (𝑛 − 2) ∙ 180 
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 + 𝛿 + 180 = (6 − 2) ∙ 180 
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 + 𝛿 + 180 = 540° 
 
Resposta da questão 17: [ 𝑇	 = 	2𝑛	 + 	3 ] 
 
Soma dos ângulos internos de um pentágono: 
180°(5 − 2) = 540°	 
 
Ao redor de cada bolha temos 360° 
Seja 𝑇 o número de triângulos e 𝑛	o número de bolhas, 
temos a seguinte relação: 
𝑇 × 180° − 𝑛 × 360°	 = 	540°(: 180°)	 
𝑇	 − 	2𝑛	 = 	3	
𝑇	 = 	2𝑛	 + 	3	 
 
 
 
3 
Resposta da questão 18: [E] 
 
Â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜	"#$%&#' =
(𝑛 − 2) ∙ 180
𝑛 =
(7 − 2) ∙ 180
7 ≅ 128,5° 
 
Â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜	()$%&#' = 180 − 128,5 = 51,43° ≅ 51° 
 
Resposta da questão 19: [C] 
 
A soma dos ângulos internos de um polígono de 𝑛 
lados é sempre 360°, daí, temos: 
𝑛 × 15°	 = 	360° → 	𝑛	 = 	24 
Logo, o número de diagonais de um polígono de 24 
lados será dado por: 
 
 
Resposta da questão 20: [E] 
 
Do texto, as peças do Tangram são dois quadriláteros 
e cinco triângulos, pois tanto o quadrado quanto o 
paralelogramo são quadriláteros 
 
Resposta da questão 21: [C] 
 
 
Como trata-se de um polígono regular, a soma dos 
ângulos internos será igual a 144°	 × 	𝑛, sendo 𝑛 o 
número de lados do polígono. Pela fórmula da soma 
dos ângulos internos, tem-se: 
𝑆	 = 	144𝑛	 = 	180	 ×	(𝑛	 − 	2) 
144𝑛	 − 	180𝑛	 = 	−360 
36𝑛	 = 	360 → 	𝑛	 = 	10	 
 
Sabendo que o polígono tem n = 10 lados, aplica-se a 
fórmula do número de diagonais: 
 
 
Resposta da questão 22: [C] 
 
2𝛽 + 180° = 180° → 2𝛽 = 72 → 𝛽 = 36° 
 
2𝛽 + 𝛼 = 108° → 2 ∙ 36 + 𝛼 = 180° 
𝛼 = 108° − 72° → 𝛼 = 36° 
 
Resposta da questão 23: [C] 
 
 
10 ∙ 5 = 50 
50 − 10(𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒çõ𝑒𝑠) = 40 
40 ∙ 10𝑔 = 400𝑔 
400
24 ∙ 8 = 300𝑔 
 
Resposta da questão 24: [D] 
 
3 ∙ (â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜	𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜	𝑑𝑜	𝑝𝑒𝑛𝑡á𝑔𝑜𝑛𝑜) + 𝜃 = 360° 
3 ∙ 108 + 𝜃 = 360 
𝜃 = 36° 
 
Resposta da questão 25: [C] 
 
 
 
 
 
4 
Resposta da questão 26: [B] 
 
 
 
Resposta da questão 27: [B] 
 
 
 
Resposta da questão 28: [A] 
 
 
Resposta da questão 29: [A] 
 
 
 
Resposta da questão 30: [C] 
 
 
 
Resposta da questão 31: [C] 
 
 
 
 
5 
 
 
Resposta da questão 32: [A] 
 
 
 
Resposta da questão 33: [A] 
 
Do exposto, temos: 
 
 
 
Assim, a área do pentágono hachurado é igual a área 
do triângulo ABC menos a soma das áreas dos 
triângulos AFG e CDE, assim: 
𝐴*%#$á,'#' =
8 ⋅ 8
2 − f
3 ⋅ 3
2 −
5√2
2 ⋅ 5√22
2 h 
 
𝐴*%#$á,'#' = 32 − (4,5 + 6,25) = 21,25	𝑐𝑚- 
 
 
Resposta da questão 34: [C] 
 
 
𝑥- = (2ℎ)- + (6)- 
𝑥- = k2√3l
-
+ 36 
𝑥- = 12 + 36 
𝑥 = √48 → 𝑥 = 4√3 
 
Resposta da questão 35: [B] 
 
 
 
Resposta da questão 36: [B] 
 
Á𝑟𝑒𝑎	𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 6 ∙
𝑙-√3
4 = 6 ∙
1 ∙ √3
4 =
3√3
2 
Á𝑟𝑒𝑎	𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 = 6 ∙
𝑙-√3
4 = 6 ∙
9 ∙ √3
4 =
27√3
2 
 
27√3
2 −
3√3
2 =
24√3
2 = 12√3 
 
 
 
 
6 
Resposta da questão 37: [B] 
 
Calculando a medida do ângulo interno do pentágono 
regular: 
5	 × 	𝑒	 = 	360° → 	𝑒	 = 	72° 
Logo, a medida de seu ângulo interno será: 
180°	 − 	72°	 = 	108° 
Calculando a medida do ângulo interno do hexágono 
regular: 
6	 × 	𝑒	 = 	360° → 	𝑒	 = 	60° 
Logo, a medida de seu ângulo interno será: 
180°	 − 	60°	 = 	120° 
𝑥	 + 	108°	 + 	2	 × 120°	 = 	360° → 	𝑥	 = 	12°	 
 
Resposta da questão 38: [C] 
 
 
 
Resposta da questão 39: [A] 
 
Resposta da questão 40: [D] 
 
 
 
Resposta da questão 41: [B] 
 
 
 
Resposta da questão 42: [C] 
 
Um hexágono regular possui 
lado igual ao raio da 
circunferência a qual está 
inscrito. Assim, o comprimento 
do muro será igual ao 
diâmetro, ou 24 metros. Pode-
se desenhar: 
 
 
Resposta da questão 43: [A] 
 
 
 
 
7 
Resposta da questão 44: [C] 
 
 
 
Resposta da questão 45: [A] 
 
 
 
Resposta da questão 46: [B] 
 
 
 
Resposta da questão 47: [D] 
 
 
 
Resposta da questão 48: [C] 
 
O hexágono regular da 
figura pode ser 
decomposto em 6 
triângulos congruentes, 
como mostra a figura 
abaixo. Como os 
triângulos são 
congruentes, eles 
possuem a mesma 
área, o que nos permite 
concluir que a área 
pedida corresponde a 
metade da área do 
hexágono regular. 
 
Resposta da questão 49: [E] 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Resposta da questão 50: [A] 
 
𝜃 =
360°
6 = 60° 
 
 
Resposta da questão 51: [D] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 52: [D] 
 
𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 → 5- ∙ 6 = 150 
𝑇𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 → 6 ∙
5-√3
4 =
75√3
2 
𝐻𝑒𝑥á𝑔𝑜𝑛𝑜 → 6 ∙
5-√3
4 =
75√3
2 
 
𝐴. = 150 +
75√3
2 +
75√3
2 
𝐴. = 150 + 75√3 
 
Resposta da questão 53: [A] 
 
 
 
 
Resposta da questão 54: [C] 
 
 
 
 
 
 
9 
Resposta da questão 55: [C] 
 
 
Resposta da questão 56: [E] 
 
 
𝑎 + 8 + 𝑎 = 19,4 → 𝑎 = 5,7	𝑚 
 
𝐴. = 4 ∙ 𝐼 + 2 ∙ 𝐼𝐼 + 1 ∙ 𝐼𝐼𝐼 
 
𝐴. = 4 ∙ s
5,7 ∙ 5,7
2 t + 2 ∙ (8 ∙ 5,7) + 1 ∙ (8 ∙ 19,4) 
𝐴. = 64,98 + 91,2 + 155,2 
𝐴. = 311,38	𝑚- 
 
Resposta da questão 57: [C] 
 
 
 
 
Resposta da questão 58: [E] 
 
 
Resposta da questão 59: [C] 
 
 
 
Resposta da questão 60: [D] 
 
(𝑛 − 2) ∙ 180
𝑛 =
(8 − 2) ∙ 180
8 = 135° 
 
Resposta da questão 61: [A] 
 
A soma dos ângulos internos de um octógono é dada 
por: 
𝑆𝑖	 = 180° × (8 − 2) = 1080°	 
 
Resposta da questão 62: [D] 
 
 
 
 
 
 
 
10 
Resposta da questão 63: [B] 
 
 
 
Resposta da questão 64: [C] 
 
 
 
Resposta da questão 65: [A] 
 
 
 
Resposta da questão 66: [ ] 
 
 
 
Resposta da questão 67: [C] 
 
 
 
𝑥- + 𝑥- = 1 → 2𝑥- = 1 → 𝑥 = u1
2 
𝑥 =
1
√2
∙
√2
√2
→ 𝑥 =
√2
2 
 
𝐴∆ =
√2
2 ∙ √22
2 =
1
4 
𝐴. = 4 ∙
1
4 + 4 ∙
√2
2 + 1 ∙
1
4 
𝐴. = 3 + 2√2 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 68: [B] 
 
 
Cada ângulo interno do octógono regular mede 135° e 
cada ângulo interno do quadrado mede 90°. 
Somando 135°	 + 	135°	 + 	90°	 = 	360°. Portanto, o 
polígono pedido é o quadrado. 
 
Resposta da questão 69: [A] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 70: [E] 
 
 
 
𝑥- + 𝑥- = 4 
2𝑥- = 4 → 𝑥 = √2 
 
𝐴∆ =
√2 ∙ √2
2 = 1 
 
Á𝑟𝑒𝑎𝑠	𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎𝑠 = 24 ∙ 1 = 24