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d) \( \infty \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{4}{3} \) 
 **Explicação:** Dividindo o numerador e o denominador por \( x^2 \), temos \( \lim_{x 
\to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{3 + \frac{5}{x^2}} = \frac{4}{3} \). 
 
44. **Problema 44:** Calcule a integral \( \int_0^1 (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \, dx \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) -1 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** A integral de um polinômio cúbico que passa por (0,0) e (1,1) é zero, 
pois a área sob a curva se cancela. 
 
45. **Problema 45:** Determine a integral \( \int_0^{\pi/2} \sin^4(x) \, dx \). 
 a) \( \frac{3\pi}{8} \) 
 b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{\pi}{6} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{3\pi}{8} \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin^4(x) = \left( \sin^2(x) \right)^2 \) e 
integramos, resultando em \( \frac{3\pi}{8} \). 
 
46. **Problema 46:** Calcule a derivada de \( f(x) = e^{x^2} \). 
 a) \( 2x e^{x^2} \) 
 b) \( e^{x^2} \) 
 c) \( 2x^2 e^{x^2} \) 
 d) \( x e^{x^2} \) 
 **Resposta:** a) \( 2x e^{x^2} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = e^{x^2} \cdot (2x) = 2x e^{x^2} 
\). 
 
47. **Problema 47:** Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x^4)^{1/4} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{5} \) 
 b) \( \frac{2}{5} \) 
 c) \( \frac{3}{5} \) 
 d) \( \frac{4}{5} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{2}{5} \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = 1 - x^4 \), resultando em \( \int_0^1 u^{1/4} 
\, du \). 
 
48. **Problema 48:** Determine a derivada de \( f(x) = \arcsin(x) \). 
 a) \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
 b) \( \frac{1}{1 + x^2} \) 
 c) \( \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
 d) \( \frac{1}{x} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
 **Explicação:** A derivada de \( \arcsin(x) \) é conhecida e é \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \). 
 
49. **Problema 49:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usando a definição de derivada, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 
x^2)}{x^2} = 1 \). 
 
50. **Problema 50:** Determine a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{3/2} \, dx \). 
 a) \( \frac{2}{5} \) 
 b) \( \frac{4}{5} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{3}{5} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2}{5} \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição trigonométrica \( x = \sin(\theta) \). 
 
51. **Problema 51:** Calcule a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + x) \). 
 a) \( \frac{2x + 1}{x^2 + x} \) 
 b) \( \frac{1}{x + 1} \) 
 c) \( \frac{2x + 1}{x^2} \) 
 d) \( \frac{1}{x} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2x + 1}{x^2 + x} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + x} \cdot (2x + 1) 
\). 
 
52. **Problema 52:** Calcule a integral \( \int_0^{\pi/2} \sin^5(x) \, dx \). 
 a) \( \frac{5}{16} \) 
 b) \( \frac{3}{8} \) 
 c) \( \frac{8}{15} \) 
 d) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta:** c) \( \frac{8}{15} \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin^5(x) = \sin^3(x) \sin^2(x) \) e integramos. 
 
53. **Problema 53:** Determine o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) 2 
 **Resposta:** c) 3 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos \( \lim_{x \to 1} \frac{3x^2}{1} = 3 \). 
 
54. **Problema 54:** Calcule a integral \( \int_0^{\infty} x e^{-x^2} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} \) 
 b) \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \) 
 c) \( \frac{1}{4} \)