Problema 47: Calcule a integral \( \int_0^1 (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \, dx \). A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Para resolver a integral \( \int_0^1 (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \, dx \), podemos primeiro observar que a expressão dentro da integral é um polinômio. Vamos calcular a integral passo a passo: 1. Calcular a integral de cada termo: - \( \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} \) - \( \int -4x^3 \, dx = -\frac{4x^4}{4} = -x^4 \) - \( \int 6x^2 \, dx = 2x^3 \) - \( \int -4x \, dx = -2x^2 \) - \( \int 1 \, dx = x \) 2. Somar as integrais: \[ \int (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \, dx = \left( \frac{x^5}{5} - x^4 + 2x^3 - 2x^2 + x \right) + C \] 3. Avaliar de 0 a 1: \[ \left[ \frac{1^5}{5} - 1^4 + 2(1^3) - 2(1^2) + 1 \right] - \left[ \frac{0^5}{5} - 0^4 + 2(0^3) - 2(0^2) + 0 \right] \] \[ = \left( \frac{1}{5} - 1 + 2 - 2 + 1 \right) - 0 \] \[ = \frac{1}{5} - 1 + 2 - 2 + 1 = \frac{1}{5} \] Portanto, a integral \( \int_0^1 (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \, dx = \frac{1}{5} \). Nenhuma das alternativas apresentadas (A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 3 é correta. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!