Aula_07_Hidrostatica_Parte_II

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Mecânica dos Fluidos I
Período: 2024.3
Seg → 19:00h – 21:00h e Qua → 21:00h – 23:00h
Prof. Dr. André Damiani
E-mail: a.damiani@ufabc.edu.br
Aula 07 – Hidrostática: Parte II
Mecânica dos Fluidos I
mailto:a.damiani@ufabc.edu.br
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Sumário
1. Força sobre Superfície Plana Submersa
2. Força sobre Superfície Curva Submersa
3. Empuxo
4. Referências
Mecânica dos Fluidos I
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1. Força sobre Superfície Plana Submersa
Mecânica dos Fluidos I
❑ O objetivo agora é avaliar a força que atua sobre uma 
superfície submersa em um líquido;
❑ Para determinar completamente a resultante da força 
atuando sobre uma superfície submersa, deve-se 
especificar:
o O módulo da força
o O sentido da força
o A linha de ação da força
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1. Força sobre Superfície Plana Submersa
Mecânica dos Fluidos I
❑ Superfície Plana Submersa
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1. Força sobre Superfície Plana Submersa
Mecânica dos Fluidos I
❑ Força sobre a Superfície Plana Submersa
A força diferencial dF sobre a placa é definida como
Então, a força resultante (FR) sobre a placa é obtida integrando 
a pressão sobre toda a área da placa.
𝑑𝐹 = 𝑝𝑑𝐴
𝐹𝑅 = න
𝐴
𝑝 𝑑𝐴 = න
𝐴
𝜌𝑔ℎ 𝑑𝐴, onde ℎ = 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐹𝑅 = න
𝐴
𝜌𝑔𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝐴 → 𝐹𝑅 = 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 න
𝐴
𝑦𝑑𝐴
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1. Força sobre Superfície Plana Submersa
Mecânica dos Fluidos I
❑ Força sobre a Superfície Plana Submersa 
A integral do lado direito está relacionada com o centroide de 
área, definido como,
Substituindo essa definição na equação da força resultante, 
chega-se a
𝑦𝑐 =
1
𝐴
න
𝐴
𝑦𝑑𝐴 → න
𝐴
𝑦𝑑𝐴 = 𝑦𝑐𝐴
𝐹𝑅 = 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝑦𝑐𝐴 → ou ainda, 𝐹𝑅 = 𝜌𝑔ℎ𝑐𝐴
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1. Força sobre Superfície Plana Submersa
Mecânica dos Fluidos I
❑ Força sobre a Superfície Plana Submersa 
- A equação da força resultante é muito simples. Basta 
conhecer o fluido, a altura do centroide e a área da superfície 
para determiná-la.
- Ou seja, é a pressão no centroide vezes a área
𝐹𝑅= 𝜌𝑔ℎ𝑐𝐴
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1. Força sobre Superfície Plana Submersa
Mecânica dos Fluidos I
❑ Localização da Força Resultante
- Outra pergunta importante a ser feita é: qual o ponto de 
aplicação da força resultante?
- Embora a altura (vertical) da superfície do fluido até o 
centroide da placa tenha sido utilizada para o cálculo da força 
resultante, será que o ponto de aplicação é no centroide?
- Iremos ver que a resposta é NÃO!
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1. Força sobre Superfície Plana Submersa
Mecânica dos Fluidos I
❑ Localização da Força Resultante
- É de esperar que o momento, sobre um ponto “o”, causado 
pela ação da força resultante seja igual à soma das forças 
distribuídas vezes as respectivas distâncias até o ponto “o”.
- Dessa forma, pode-se escrever:
𝑦′𝑑𝐹 = 𝑑𝑀 = 𝜌𝑔𝑦2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝐴
𝑦′𝐹𝑅 = 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 න
𝐴
𝑦2𝑑𝐴
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1. Força sobre Superfície Plana Submersa
Mecânica dos Fluidos I
❑ Localização da Força Resultante
- A integral da direita está relacionada com o segundo momento 
de área (ou momento de inércia)
- Essa equação define o momento de inércia em relação ao 
ponto “o”.
- Vale observar que muitos livros apresentam tabelas de 
momento de inércia em relação ao centroide e não ao ponto 
“o”.
𝐼𝑥𝑥,𝑜 = න
𝐴
𝑦2𝑑𝐴
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1. Força sobre Superfície Plana Submersa
Mecânica dos Fluidos I
❑ Momento de Inércia de um Retângulo
dA
𝐼𝑥𝑥,𝑐 = න
𝐴
𝑦2𝑑𝐴 = න
−𝑎/2
+𝑎/2
𝑦2 𝑏𝑑𝑦
𝐼𝑥𝑥,𝑐 =
𝑏
3
𝑎3
8
− −
𝑎3
8
=
𝑏𝑎3
12
- Como dito anteriormente, o momento 
de inércia calculado aqui é em relação 
ao centroide (𝐼𝑥𝑥,𝑐).
- Para determinar a localização da força 
resultante, é necessário conhecer o 
momento de inércia em relação ao 
ponto “o” (𝐼𝑥𝑥,𝑜).
- A relação entre os dois momentos de 
inércia é obtida através do teorema dos 
eixos paralelos. Ficando,
𝐼𝑥𝑥,0= 𝐼𝑥𝑥,𝑐 + 𝐴𝑦𝑐
2
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1. Força sobre Superfície Plana Submersa
Mecânica dos Fluidos I
❑ Localização da Força Resultante
- Relembrando a equação do momento em relação ao ponto 
“o”:
- Sabendo que 𝐼𝑥𝑥,0= 𝐼𝑥𝑥,𝑐 + 𝐴𝑦𝑐
2, então:
𝑦′𝐹𝑅 = 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 න
𝐴
𝑦2𝑑𝐴 = 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼𝑥𝑥,𝑜
𝑦′𝐹𝑅 = 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐼𝑥𝑥,𝑐 + 𝐴𝑦𝑐
2 = 𝑦′𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝑦𝑐
𝑦′ = 𝑦𝑐 +
𝐼𝑥𝑥,𝑐
𝐴𝑦𝑐
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1. Força sobre Superfície Plana Submersa
Mecânica dos Fluidos I
Propriedades 
Geométricas de 
Algumas formas 
Comuns
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1. Força sobre Superfície Plana Submersa
Exemplo 01 – Comporta 
Circular
Considere a comporta circular 
de 4m de diâmetro mostrada 
na figura. A comporta é 
localizada na parede inclinada 
de um reservatório contendo 
água. A comporta é montada 
em eixo ao longo de seu 
diâmetro (horizontal) e a 
profundidade é de 10m acima 
do eixo.
Mecânica dos Fluidos I
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1. Força sobre Superfície Plana Submersa
Exemplo 01 – Comporta Circular
Determine:
a) A magnitude e a localização da força resultante 
exercida sobre a comporta;
b) O momento que deverá ser aplicado à comporta para 
abri-la.
Mecânica dos Fluidos I
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1. Força sobre Superfície Plana Submersa
Exemplo 01: Solução
Mecânica dos Fluidos I
𝐹𝑅 = 𝑃𝑐𝐴
𝐹𝑅 = 𝛾ℎ𝑐𝐴
𝐹𝑅 = 1,23𝑀𝑁
𝑦𝑅 =
𝐼𝑥𝑐
𝑦𝑐𝐴
+ 𝑦𝑐
𝑥𝑅 =
𝐼𝑥𝑦𝑐
𝑦𝑐𝐴
+ 𝑥𝑐
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1. Força sobre Superfície Plana Submersa
Exemplo 01: Solução
Mecânica dos Fluidos I
𝑦𝑐 =
ℎ
𝑠𝑒𝑛60°
𝐼𝑥𝑐 =
𝜋𝑅4
4
𝑦𝑅 = 11,6𝑚
෍ 𝑀𝑐 = 0
𝑀 = 𝐹𝑅 𝑦𝑅 − 𝑦𝑐
𝑀 = 1,07𝐸5 𝑁𝑚
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1. Força sobre Superfície Plana Submersa
Um tanque retangular aberto 
tem 2 m de largura e 4 m de 
comprimento. O tanque contém 
água até uma profundidade de 2 
m e óleo (SG = 0,8) em cima da 
água até uma profundidade de 1 
m. 
Determine a magnitude e a 
localização da força resultante 
em uma das paredes da lateral.
Mecânica dos Fluidos I
o
1 m
2 m
óleo
água
Exemplo 02 – Uma parede e dois fluidos
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1. Força sobre Superfície Plana Submersa
Mecânica dos Fluidos I
Exemplo 02 – Uma parede e dois fluidos
o
1 m
2 m
óleo
água
FR1
𝐹𝑅1 = 𝜌𝑜𝑔ℎ𝑐1𝐴1
𝐹𝑅1 = (0,8)(1000)(9,81)(0,5)(1𝑥2)
𝐹𝑅1 = 7,848𝑘𝑁
o
1 m
2 m
óleo
água
FR1
FR2
FR3
Prisma de pressões
𝛾ℎ1
- O módulo da força 
resultante que atua 
na superfície é igual 
ao volume do prisma.
largura → 𝑤 = 2𝑚
𝛾ℎ2
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1. Força sobre Superfície Plana Submersa
Mecânica dos Fluidos I
Exemplo 02 – Uma parede e dois fluidos
𝐹𝑅2 = volume = 𝜌𝑜𝑔ℎ1 ℎ2𝑤
𝛾ℎ1
𝛾ℎ2
𝐹𝑅2 = (0,8)(1000)(9,81)(2x2)
𝐹𝑅2 = 31,392kN
FR2
FR3
𝐹𝑅3 = volume = 𝛾
ℎ2ℎ2
2
𝑤
𝐹𝑅3 = 39,24𝑘𝑁
𝐹𝑅3 = 𝜌𝑎𝑔
ℎ2ℎ2
2
𝑤
𝐹𝑅3 = 1000 9,81
2𝑥2
2
2
𝐹𝑅 = 𝐹𝑅1 + 𝐹𝑅2 + 𝐹𝑅3 = 78,47kN
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1. Força sobre Superfície Plana Submersa
Mecânica dos Fluidos I
Exemplo 02 – Uma parede e dois fluidos
o
1 m
2 m
óleo
água
FR1
FR2
FR3
෍ 𝑀𝑜 = 𝐹𝑅1𝑅1 + 𝐹𝑅2𝑅2 + 𝐹𝑅3𝑅3 = 0
𝐹𝑅𝑅 = 𝐹𝑅1
2
3
ℎ1 + 𝐹𝑅2 1 +
ℎ2
2
+ 𝐹𝑅3 1 +
2
3
ℎ2
𝑅 = 2,03𝑚
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1. Força sobre Superfície Plana Submersa
A figura mostra um tanque 
pressurizado que contém óleo 
(SG = 0,9) e uma placa de 
inspeção quadrada de 0,6 m de 
lado.
Determine o módulo e a 
localização da força resultante.
Mecânica dos Fluidos I
Exemplo 03 – Tanque pressurizado
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1. Força sobre Superfície Plana Submersa
Mecânica dos Fluidos I
Exemplo 03 – Tanque pressurizado
𝐹𝑅 = 𝑃𝑀𝐴 + 𝜌𝑜𝑔ℎ𝑐𝐴
𝐹𝑅 = 50𝑥103 0,6𝑥0,6 + 0,9 1000 2 + 0,3 (0,6𝑥0,6)
𝐹𝑅 = 25,3𝑘𝑁
𝑦′ = 𝑦𝑐 +
𝐼𝑥𝑥,0
𝑦𝑐𝐴
𝑦′ = (2 + 0,3) +
0,64
12(2 + 0,3)(0,62)
𝑦′ = 2,313𝑚
2 m
0,6 m
PM
ar
óleo
FR
𝑦′
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2. Força sobre Superfície Curva Submersa
Mecânica dos Fluidos I
❑ É possível determinar a força resultante em qualquer 
superfície por integração, como foi feito para a placa 
plana. Esse procedimento é trabalhoso e não é possível 
formular equações simples e gerais.
❑ Uma abordagem mais simples é calcular separando em 
componentes: horizontal e vertical
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2. Força sobre Superfície Curva Submersa
Mecânica dos Fluidos I
❑ Força horizontal: a componente horizontal da força 
sobre a superfície curva é igual a força sobre a área 
formadapela projeção da superfície curva no plano 
vertical normal à componente.
❑ Força vertical: a componente vertical da força de 
pressão sobre a superfície curva é igual em magnitude e 
direção do pelo de toda a coluna de fluido sobre a 
superfície curva.
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2. Força sobre Superfície Curva Submersa
Exemplo 04 – Barragem de curva parabólica
Mecânica dos Fluidos I
Uma barragem tem uma forma 
parabólica, como mostra a figura.
a) Determine as expressões para 
as forças horizontal e vertical.
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2. Força sobre Superfície Curva Submersa
Exemplo 04 – Barragem de curva parabólica
Mecânica dos Fluidos I
Força horizontal
𝐹𝐻 = 𝜌𝑔ℎ𝑐𝐴𝑝 = 𝜌𝑔 Τ𝑧0 2 𝑧𝑜𝑤
Força Vertical
𝐹𝑉 = 𝑚𝑔 = 𝜌𝑔∀= 𝜌𝑔𝐴𝑠𝑤
𝐴𝑠 =?
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2. Força sobre Superfície Curva Submersa
Exemplo 04 – Barragem de curva parabólica
Mecânica dos Fluidos I
dz
𝑧 = 𝑐𝑥2
para 𝑥 = 𝑥𝑜 → 𝑧 = 𝑧𝑜, então 𝑐 =
𝑧𝑜
𝑥𝑜
2
ou ainda 𝑧 =
𝑧𝑜
𝑥𝑜
2 𝑥2
Cálculo da área
𝐴 = න
0
𝑧𝑜
න
0
Τ𝑧 𝑐
𝑑𝑥𝑑𝑧 = න
0
𝑧𝑜
Τ𝑧 𝑐 𝑑𝑧
𝐴 =
1
𝑐
2
3
𝑧𝑜
Τ3 2 =
2
3
𝑥𝑜𝑧𝑜
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2. Força sobre Superfície Curva Submersa
Exemplo 04 – Barragem de curva parabólica
Mecânica dos Fluidos I
Força Vertical
𝐹𝑉 = 𝑚𝑔 = 𝜌𝑔∀= 𝜌𝑔𝐴𝑠𝑤
𝐹𝑉 = 𝜌𝑔
2
3
𝑥𝑜𝑧0𝑤
Força Resultante
𝐹𝑅 = 𝐹𝐻
2 + 𝐹𝑉
2
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2. Força sobre Superfície Curva Submersa
Exemplo 04 – Barragem de curva parabólica
Mecânica dos Fluidos I
Força Resultante
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3. Empuxo
Mecânica dos Fluidos I
❑ Se um objeto estiver num líquido, ou flutuando em sua 
superfície;
❑ A força líquida vertical agindo sobre ele devido à pressão 
do líquido é denominada empuxo.
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3. Empuxo
Mecânica dos Fluidos I
❑ Um corpo imerso em um fluido está sujeito a uma força 
de empuxo vertical igual ao peso do fluido que ele 
desloca;
❑ Um corpo flutuante desloca seu próprio peso no fluido 
em que flutua;
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3. Empuxo
Mecânica dos Fluidos I
❑ Força Superior: é a força devido ao peso do fluido na 
superfície superior.
❑ Força Inferior: é a força devido ao peso do fluido na 
superfície inferior.
❑ Força Líquida: é a força de empuxo que é igual ao peso 
do fluido deslocado.
𝐹𝑒𝑚𝑝𝑢𝑥𝑜 = 𝐸 = 𝜌∀𝑔
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3. Empuxo
Mecânica dos Fluidos I
❑ Empuxo e Flutuação
𝜌𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 → flutuação negativa
35/38Mecânica dos Fluidos I
Trabalho de recuperação de submarinos
Usando os conceitos de empuxo, um submarino de 6.000 toneladas
(de deslocamento) pode ser levantado.
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3. Empuxo
Mecânica dos Fluidos I
Um submarino pode atingir flutuação positiva, neutra ou 
negativa, bombeando água para dentro ou para fora de seus 
tanques de lastro. 
Tanques de lastro
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3. Empuxo
Exemplo 05 – Balão de Ar Quente
Uma balão de ar quente (com a forma aproximada de uma 
esfera de 50 pés de diâmetro) deve levantar um cesto com 
carga de 600lbf. Até que temperatura o ar deve ser 
aquecido de modo a possibilitar a decolagem?
Mecânica dos Fluidos I
෍ 𝐹𝑦 = 𝐹𝑒𝑚𝑝𝑢𝑥𝑜 − 𝑊𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 − 𝑊𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = 0
𝜌𝑎𝑡𝑚𝑔∀ − 𝜌𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑔∀ − 𝑊𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = 0
𝜌𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝜌𝑎𝑡𝑚 −
𝑊𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎
𝑔∀
𝑇𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 =?
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4. Referências
❑ Fox, R. W., Pritchard, P. J., McDonald, A. T., Introdução à
Mecânica dos Fluidos. Editora LTC, 6ª Edição, Rio de
Janeiro, 2010.
❑ White, F. M., Mecânica dos Fluidos. Editora McGraw Hill, 6ª
Edição, Porto Alegre, 2011.
Mecânica dos Fluidos I
	Slide 1: Mecânica dos Fluidos I
	Slide 2: Sumário
	Slide 3: 1. Força sobre Superfície Plana Submersa
	Slide 4: 1. Força sobre Superfície Plana Submersa
	Slide 5: 1. Força sobre Superfície Plana Submersa
	Slide 6: 1. Força sobre Superfície Plana Submersa
	Slide 7: 1. Força sobre Superfície Plana Submersa
	Slide 8: 1. Força sobre Superfície Plana Submersa
	Slide 9: 1. Força sobre Superfície Plana Submersa
	Slide 10: 1. Força sobre Superfície Plana Submersa
	Slide 11: 1. Força sobre Superfície Plana Submersa
	Slide 12: 1. Força sobre Superfície Plana Submersa
	Slide 13: 1. Força sobre Superfície Plana Submersa
	Slide 14: 1. Força sobre Superfície Plana Submersa
	Slide 15: 1. Força sobre Superfície Plana Submersa
	Slide 16: 1. Força sobre Superfície Plana Submersa
	Slide 17: 1. Força sobre Superfície Plana Submersa
	Slide 18: 1. Força sobre Superfície Plana Submersa
	Slide 19: 1. Força sobre Superfície Plana Submersa
	Slide 20: 1. Força sobre Superfície Plana Submersa
	Slide 21: 1. Força sobre Superfície Plana Submersa
	Slide 22: 1. Força sobre Superfície Plana Submersa
	Slide 23: 1. Força sobre Superfície Plana Submersa
	Slide 24: 2. Força sobre Superfície Curva Submersa
	Slide 25: 2. Força sobre Superfície Curva Submersa
	Slide 26: 2. Força sobre Superfície Curva Submersa
	Slide 27: 2. Força sobre Superfície Curva Submersa
	Slide 28: 2. Força sobre Superfície Curva Submersa
	Slide 29: 2. Força sobre Superfície Curva Submersa
	Slide 30: 2. Força sobre Superfície Curva Submersa
	Slide 31: 3. Empuxo
	Slide 32: 3. Empuxo
	Slide 33: 3. Empuxo
	Slide 34: 3. Empuxo
	Slide 35
	Slide 36: 3. Empuxo
	Slide 37: 3. Empuxo
	Slide 38: 4. Referências