provas da faculdade da1R9

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b) \(4\cos(4x)\) 
 c) \(-\sin(4x)\) 
 d) \(4\sin(4x)\) 
 **Resposta:** a) \(-4\sin(4x)\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \((\cos(u))' = -\sin(u) \cdot u'\). 
 
81. **Problema 81:** Calcule a integral \(\int (x^2 - 2x + 1) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3}x^3 - x^2 + x + C\) 
 b) \(\frac{1}{3}x^3 - x + C\) 
 c) \(\frac{1}{3}x^3 - 2x + C\) 
 d) \(\frac{1}{3}x^3 - x^2 + C\) 
 **Resposta:** d) \(\frac{1}{3}x^3 - x^2 + x + C\) 
 **Explicação:** A integral é calculada usando a regra de potência. 
 
82. **Problema 82:** Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos \(\lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(x)}{x} = 1\). 
 
83. **Problema 83:** Calcule o limite: \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 3x}{4x^3 + 1}\). 
 a) \(\frac{1}{2}\) 
 b) 2 
 c) 1 
 d) 0 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2}\) 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos por \(x^3\), obtemos \(\frac{2 - 
\frac{3}{x^2}}{4 + \frac{1}{x^3}} \to \frac{1}{2}\). 
 
84. **Problema 84:** Determine a derivada de \(f(x) = e^{3x}\). 
 a) \(3e^{3x}\) 
 b) \(e^{3x}\) 
 c) \(3x^2 e^{3x}\) 
 d) \(3e^{x}\) 
 **Resposta:** a) \(3e^{3x}\) 
 **Explicação:** A derivada é calculada usando a regra da cadeia. 
 
85. **Problema 85:** Calcule a integral \(\int (x^3 + 2x^2 - x) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + C\) 
 b) \(\frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - x + C\) 
 c) \(\frac{1}{4}x^4 + 2x^3 - \frac{1}{2}x^2 + C\) 
 d) \(\frac{1}{4}x^4 + 2x^2 - x + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + C\) 
 **Explicação:** A integral é calculada usando a regra de potência. 
 
86. **Problema 86:** Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\infty\) 
 d) -1 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos \(\frac{1/(1+x)}{1} \to 1\). 
 
87. **Problema 87:** Calcule o limite: \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3}{2x^2 - 1}\). 
 a) \(\frac{5}{2}\) 
 b) 2 
 c) 1 
 d) 0 
 **Resposta:** a) \(\frac{5}{2}\) 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos por \(x^2\), obtemos \(\frac{5 + 
\frac{3}{x^2}}{2 - \frac{1}{x^2}} \to \frac{5}{2}\). 
 
88. **Problema 88:** Determine a derivada de \(f(x) = \sin(2x)\). 
 a) \(2\cos(2x)\) 
 b) \(-2\sin(2x)\) 
 c) \(\sin(2x)\) 
 d) \(2\sin(2x)\) 
 **Resposta:** a) \(2\cos(2x)\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \((\sin(u))' = \cos(u) \cdot u'\). 
 
89. **Problema 89:** Calcule a integral \(\int (x^2 - 4x + 4) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4 + C\) 
 b) \(\frac{1}{3}x^3 - 2x + 4 + C\) 
 c) \(\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + C\) 
 d) \(\frac{1}{3}x^3 - 4x + 4 + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4 + C\) 
 **Explicação:** A integral é calculada usando a regra de potência. 
 
90. **Problema 90:** Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 4 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k\), onde \(k = 2\). 
 
91. **Problema 91:** Calcule o determinante da matriz \(G = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 
\end{pmatrix}\). 
 a) 1 
 b) 2