AULA 10

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25/03/2024
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Resistência dos Materiais III
Prof.ª Fernanda Lins Gonçalves Pereira
25/03/2024 Resistência dos Materiais III - Prof.ª Fernanda Lins G. Pereira (UERJ - Eng. Civil) 1
Material Elástico-Linear Perfeitamente Plástico
• Caso 1 – Comportamento Linearmente Elástico
• Caso 2 – Comportamento Parcialmente Plástico
• Caso 3 – Comportamento Totalmente Plástico
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Torção inelástica
• Caso 1 – Comportamento Linearmente Elástico
• Caso 2 – Comportamento Parcialmente Plástico
• Caso 3 – Comportamento Totalmente Plástico
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Torção inelástica
• Caso 1 – Comportamento Linearmente Elástico
• Caso 2 – Comportamento Parcialmente Plástico
• Caso 3 – Comportamento Totalmente Plástico
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max = Y
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Torção inelástica
• Caso 1 – Comportamento Linearmente Elástico
• Caso 2 – Comportamento Parcialmente Plástico
• Caso 3 – Comportamento Totalmente Plástico
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Torção inelástica
• Caso 1 – Comportamento Linearmente Elástico
• Caso 2 – Comportamento Parcialmente Plástico
• Caso 3 – Comportamento Totalmente Plástico
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Torção inelástica
• As equações de tensão e deformação desenvolvidas até agora são válidas apenas 
se o torque aplicado provoca comportamento linear-elástico do material.
𝛾 = 𝜌
𝑇 = ∫ 𝜌𝜏𝑑𝐴
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Lei de Hooke
Torção inelástica
𝑇 = 𝜌𝜏𝑑𝐴
𝑇 = 𝜌𝜏2𝜋𝜌𝑑𝜌
𝑇 = 2𝜋 𝜏𝜌 𝑑𝜌
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Caso 1 – Comportamento Linearmente Elástico
𝑇 = 2𝜋 𝜏𝜌 𝑑𝜌
Quando 𝜌 = 𝑟 → 𝜏 = 𝜏 logo 𝜏 = 𝜌
𝑇 = 2𝜋
𝜏 𝜌
𝑟
𝜌 𝑑𝜌
𝑇 = 2𝜋
𝜏
𝑟
𝜌 𝑑𝜌 = 2𝜋
𝜏
𝑟
𝑟
4
𝑇 =
𝜋
2
𝜏 𝑟
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max = Y
Caso 2 – Comportamento Parcialmente Plástico
𝑇 = 2𝜋 𝜏𝜌 𝑑𝜌 = 2𝜋 𝜏𝜌 𝑑𝜌 + 2𝜋 𝜏 𝜌 𝑑𝜌
Quando 𝜌 = 𝑟 → 𝜏 = 𝜏 logo 𝜏 = 𝜌
𝑇 = 2𝜋
𝜏 𝜌
𝑟
𝜌 𝑑𝜌 + 2𝜋 𝜏 𝜌 𝑑𝜌
𝑇 = 2𝜋
𝜏
𝑟
𝜌 𝑑𝜌 + 2𝜋𝜏 𝜌 𝑑𝜌
𝑇 = 2𝜋
𝜏
𝑟
𝑟
4
+ 2𝜋𝜏
𝑟
3
−
𝑟
3
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→ 𝑇 =
𝜋𝜏
6
4𝑟 − 𝑟
Caso 3 – Comportamento Totalmente Plástico
𝑇 = 2𝜋 𝜏𝜌 𝑑𝜌
𝑇 = 2𝜋 𝜏 𝜌 𝑑𝜌
𝑇 = 2𝜋𝜏 𝜌 𝑑𝜌
𝑇 =
2𝜋𝜏 𝑟
3
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Torção inelástica para seção circular cheia
• Caso 1 – Comportamento Linearmente Elástico
𝑇 =
𝜋
2
𝜏 𝑟
• Caso 2 – Comportamento Parcialmente Plástico
𝑇 =
𝜋𝜏
6
4𝑟 − 𝑟
• Caso 3 – Comportamento Totalmente Plástico
𝑇 =
2𝜋𝜏 𝑟
3
𝑇 =
4
3
𝑇
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max = Y
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Exemplo 1
• Para o eixo (a) determinar o valor do torque de escoamento Ty (b) determinar o 
ângulo de giro, f, para os seguintes valores de torque, T: Ty e 1,3Ty (c) 
Determinar o valor do torque de plastificação total, Tp, para este eixo
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Rascunho
Exemplo 1
• 𝐿 = 1200𝑚𝑚, 𝑑 = 75𝑚𝑚, 𝑇 =?, 𝜙 𝑇 =?, 𝜙 1,3𝑇 =?, 𝑇 =?
𝜏 =
⋅
→ 𝑇 =
⋅
=
⋅ ⋅
= 10,354 × 10 𝑁. 𝑚𝑚
𝜏 = 𝐺𝛾 → 𝐺 = =
,
= 78125𝑀𝑃𝑎
𝜙 = → 𝜙 𝑇 = =
, ⋅ ⋅
⋅
⋅
= 0,0512𝑟𝑎𝑑
Caso 2 – Comportamento parcialmente plástico
𝑇 = 4𝑟 − 𝑟 → 𝑟 1,3𝑇 = −
, ⋅
⋅
𝑟 1,3𝑇 = −
, ⋅ , × ⋅
⋅
= 17,4𝑚𝑚
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Exemplo 1
• 𝐿 = 1200𝑚𝑚, 𝑑 = 75𝑚𝑚, 𝑇 =?, 𝜙 𝑇 =?, 𝜙 1,3𝑇 =?, 𝑇 =?
Caso 2 – Comportamento parcialmente plástico
𝑟 1,3𝑇 = 17,4𝑚𝑚
𝛾 = 𝜌 → 𝜙 = → 𝜙 1,3𝑇 = =
, ⋅
,
= 0,1103𝑟𝑎𝑑
• Caso 3 – Comportamento Totalmente Plástico
𝑇 = 𝑇 = ⋅ 10,354 × 10 𝑁. 𝑚𝑚 = 13,806 × 10 𝑁. 𝑚𝑚
= 13,806𝑘𝑁. 𝑚
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