APOSTILA CIRCUITOS-Goulart Cap 5

Prévia do material em texto

<p>“Circuitos Resistivos” 134</p><p>5 – CIRCUITOS RESISTIVOS</p><p>Qualquer circuito pode ser descrito por um sistema de equações</p><p>simultâneas, obtidas com a aplicação das leis das correntes e das</p><p>tensões de Kirchhoff e das equações de definição dos elementos</p><p>individuais de circuitos. Este sistema de equações simultâneas deve,</p><p>então, ser resolvido para se obter as tensões ou as correntes</p><p>desejadas. Como vimos, as leis de Kirchhoff e a definição de</p><p>resistência são equações algébricas (pois envolvem apenas as</p><p>operações fundamentais da álgebra: adição, subtração, multiplicação</p><p>e divisão), mas a capacitância e a indutância são definidas em termos</p><p>de derivadas e integrais (veja Tabela 1) e conduzem a equações</p><p>íntegro - diferencias, ou diferenciais, em última instância, como visto</p><p>nos Exemplos 64, 65, 67 e 68.</p><p>Os únicos elementos de circuito que consideraremos, na quase</p><p>totalidade deste capítulo, são as resistências e os vários tipos de</p><p>fontes independentes e controladas. Com a exclusão temporária de</p><p>capacitâncias e indutâncias, os circuitos serão descritos, obviamente,</p><p>por equações algébricas, relativamente simples de resolver. Uma</p><p>razão para considerar este caso especial em primeiro lugar é que as</p><p>equações matemáticas obtidas, pela sua simplicidade, são menos</p><p>capazes de obscurecer as etapas significativas implícitas nos</p><p>procedimentos analíticos. Além disso, a análise de qualquer circuito</p><p>contendo somente um tipo de elemento passivo – por exemplo,</p><p>somente capacitâncias ou somente indutâncias – é muito semelhante</p><p>à análise de circuitos resistivos.</p><p>Muitos teoremas e procedimentos estão relacionados somente</p><p>com a maneira pela qual os elementos estão interligados e não com a</p><p>natureza dos elementos. Assim que estas técnicas forem</p><p>desenvolvidas para circuitos resistivos, elas poderão ser igualmente</p><p>aplicadas à análise de circuitos mais gerais e mais complexos. Por</p><p>exemplo, o comportamento em regime permanente de qualquer</p><p>circuito, cujas fontes sejam contínuas ou senoidais, pode ser</p><p>determinado pelos mesmos métodos desenvolvidos para</p><p>circuitos resistivos. Além disso, com o emprego da transformada</p><p>de Laplace, que transforma equações íntegro - diferenciais da variável</p><p>real t em equações algébricas da variável complexa s = σ +jω, e que</p><p>será vista em cursos futuros, estas técnicas poderão ser estendidas</p><p>“Circuitos Resistivos” 135</p><p>para problemas ainda mais gerais, fornecendo, ademais, a resposta</p><p>completa, e não apenas aquela de regime permanente.</p><p>Em circuitos que contenham capacitância e indutância, o</p><p>tamanho e a forma de onda da resposta dependerão não somente do</p><p>tamanho da entrada, mas também de sua forma de onda. Lembre-se,</p><p>entretanto, que a tensão e a corrente em uma resistência têm formas</p><p>de onda semelhantes. Em circuitos resistivos, todas as formas de</p><p>onda de corrente e de tensão são semelhantes à forma de onda da</p><p>entrada, e sua intensidade relativa não é afetada pela forma da</p><p>entrada. Portanto, não haverá falta de generalidade se às fontes</p><p>independentes dos exemplos envolvendo circuitos resistivos forem</p><p>atribuídos valores numéricos quaisquer ao invés de funções do tempo.</p><p>As fontes nos circuitos resistivos são muito frequentemente de valor</p><p>constante (fontes de corrente contínua), mas a solução não se tornará</p><p>mais difícil se elas forem funções do tempo.</p><p>5.1 – Resistência equivalente</p><p>Dois circuitos são equivalentes quando não podem ser</p><p>distinguidos por medidas de corrente e de tensão efetuadas em seus</p><p>terminais acessíveis. Assim, os circuitos dentro das caixas A e B, na</p><p>Figura 82, são equivalentes se, e somente se, iA(t) = iB(t) para todas as</p><p>escolhas possíveis da fonte de tensão e(t). Qualquer combinação de</p><p>resistências (ou de resistências e fontes controladas) com somente</p><p>dois terminais externos é equivalente a uma única resistência. A</p><p>resistência equivalente é definida por</p><p>Req = e(t)/i(t) (179)</p><p>como está indicado na Figura 83.</p><p>Figura 82 – Os circuitos A e B são equivalentes quando</p><p>iA(t) = iB(t) para qualquer e(t).</p><p>“Circuitos Resistivos” 136</p><p>Figura 83 – Resistências e fontes controladas podem ser</p><p>substituídas por Req.</p><p>Este conceito de circuitos equivalentes é que nos permitiu</p><p>escrever as Eqs. (105) e (106) para a resistência equivalente de N</p><p>resistores em série ou em paralelo, respectivamente.</p><p>Deve ser enfatizado que, em geral, não existe nenhuma maneira</p><p>de combinar elementos de diferentes tipos (naturezas) que estejam</p><p>ligados em série ou em paralelo. Assim, por exemplo, não existe nem</p><p>Req nem Ceq para uma resistência R ligada em série ou em paralelo</p><p>com uma capacitância C.</p><p>Exemplo 71: Um resistor em série com um resistor de 8[Ω] absorve</p><p>100[W] quando os dois estão ligados numa linha de 60[V]. Achar a</p><p>resistência R desconhecida.</p><p>Solução: A resistência equivalente é Req = R + 8, e assim a corrente é</p><p>i = e/Req = 60/(R+8) (180)</p><p>Do enunciado, PR=100=Ri2=R.[60/(R+8)]2.</p><p>ou 3600R = 100(R+8)2,</p><p>que se reduz a R2 – 20R + 64 = 0.</p><p>A solução desta equação dá R1=16[Ω] e R2=4[Ω].</p><p>Então, um resistor com uma resistência de ou 16[Ω] ou 4[Ω]</p><p>dissipará 100[W] quando ligado em série com um resistor de 8[Ω],</p><p>numa linha de 60[V].</p><p>Da Eq. (180),</p><p>i1=60/(R1+8) = 60/24 = 2,5[A]</p><p>“Circuitos Resistivos” 137</p><p>e</p><p>i2=60/(R2+8) = 60/12 = 5,0[A],</p><p>ou seja, para cada valor de R um valor correspondente de corrente,</p><p>como não poderia deixar de ser.</p><p>Nota 11: Para achar a resistência equivalente de uma rede de</p><p>interconexão pela combinação das resistências individuais, deve-se</p><p>começar na extremidade oposta dos terminais de entrada.</p><p>Exemplo 72: Determine a resistência equivalente de cada um dos</p><p>circuitos de dois terminais da Figura 84.</p><p>(a) (b)</p><p>Figura 84 – Circuitos referentes ao Exemplo 72.</p><p>Solução: Para o circuito da Figura 84-(a),</p><p>][1R,1</p><p>6</p><p>6</p><p>6</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>R</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>Ω===++=</p><p>][43RR 12 Ω=+=</p><p>e</p><p>][3</p><p>412</p><p>)4)(12(</p><p>R12</p><p>R.12R</p><p>2</p><p>2</p><p>eq Ω=</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>Para a Figura 84-(b), a resistência de 6[Ω], (4+2), em paralelo</p><p>com a de 3[Ω] dá: 3.6/(3+6)=2[Ω]. E a resistência de 4[Ω], (2+2) em</p><p>paralelo com a de 4[Ω] dá: 4.4/(4+4)=2[Ω] . Portanto, Req =</p><p>5+2=7[Ω].</p><p>“Circuitos Resistivos” 138</p><p>Exemplo 73: Uma lâmpada para “flash” de 3[V] e 300[mA] está</p><p>sendo usada como luz do “dial” de um rádio de 120[V]. Qual é a</p><p>resistência de um resistor que deve ser ligado em série com a</p><p>lâmpada para limitar a corrente?</p><p>Solução: Visto que 3[V] devem estar sobre a lâmpada do “flash”,</p><p>sobrarão 120-3=117[V] sobre o resistor em série com ela. Como a</p><p>corrente é fixada em 300[mA], a resistência é 117[V]/0,3[A]=390[Ω].</p><p>Exemplo 74: Qual é a tensão máxima sobre a combinação em série</p><p>de um resistor de 150[Ω], 2[W] e um resistor de 100[Ω], 1[W], sem</p><p>exceder a potência nominal de ambos os resistores?</p><p>Solução: Sendo P=R.i2, a corrente máxima de segurança para o</p><p>resistor de 150[Ω] é ]A[115,0150/2R/Pi === . Aquela para o</p><p>resistor de 100[Ω] é 100/1 =0,100[A]. Como os dois resistores estão</p><p>em série, a corrente máxima não pode exceder a menor destas duas</p><p>correntes e, portanto, é i=0,1[A]. Mas, para esta corrente,</p><p>e=(R1+R2)i=(150+100).0,1=25[V].</p><p>Exemplo 75: No circuito mostrado na Figura 85, achar a resistência</p><p>equivalente com os terminais a e b, (a) em circuito aberto, (b) em</p><p>curto-circuito.</p><p>Ω</p><p>Ω</p><p>Ω</p><p>Ω</p><p>Figura 85 – Circuito referente ao Exemplo 75.</p><p>Solução: a) Com os terminais a e b abertos (não conectados), os</p><p>resistores de 40[Ω] e de 90[Ω] estão em série, como estão também em</p><p>“Circuitos Resistivos” 139</p><p>série os resistores de 10[Ω] e 60[Ω]. E as duas combinações em série</p><p>estão em paralelo. Portanto,</p><p>][5,45</p><p>)6010()9040(</p><p>)6010)(9040(Req Ω=</p><p>+++</p><p>++</p><p>=</p><p>b) Para os terminais a e b em curto-circuito, os resistores de 40[Ω] e</p><p>60[Ω] estão em paralelo, como também estão os resistores de 10[Ω] e</p><p>de 90[Ω] . Além disso, as duas combinações em paralelo estão em</p><p>série. Portanto,</p><p>][33</p><p>9010</p><p>)90)(10(</p><p>6040</p><p>)60)(40(Req Ω=</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>=</p><p>Exemplo 76: Três lâmpadas com potências de 60[W], 100[W] e</p><p>200[W], respectivamente, estão ligadas em paralelo numa linha de</p><p>120[V]. Qual é a resistência quente equivalente desta combinação?</p><p>Solução: Sendo R=e2/p, de acordo com a Eq. (52), as resistências</p><p>individuais são R1=1202/60=240[Ω], R2=1202/100=144[Ω] e</p><p>R3=1202/200=72[Ω]. Portanto,</p><p>72</p><p>1</p><p>144</p><p>1</p><p>240</p><p>1</p><p>R</p><p>1</p><p>R</p><p>1</p><p>R</p><p>1</p><p>R</p><p>1</p><p>321eq</p><p>++=++=</p><p>e Req = 40[Ω].</p><p>Alternativamente, sendo a potência de 60+100+200=360[W],</p><p>Req=e2/p=1202/360=40 [Ω].</p><p>Nota 12: A resistência equivalente de algumas combinações de</p><p>resistências não pode ser encontrada combinando-se elementos em</p><p>série e em paralelo. Na Figura 86, por exemplo, nenhum par de</p><p>resistências está ligado em série ou em paralelo, de maneira que as</p><p>Eqs. (105) a (107) não se aplicam. Não obstante, a resistência</p><p>equivalente do circuito limitado pelo retângulo tracejado pode ser</p><p>determinada calculando-se a relação e/i, que é a resistência</p><p>equivalente.</p><p>A resistência equivalente de combinações de resistências e</p><p>fontes controladas pode também ser determinada a partir da</p><p>“Circuitos Resistivos” 140</p><p>definição de que Req=e/i. A resistência equivalente pode ser negativa</p><p>em alguns circuitos contendo fontes controladas.</p><p>Ω</p><p>Ω</p><p>Ω</p><p>Ω</p><p>Ω</p><p>Figura 86 – Exemplo de circuito onde nenhum par de</p><p>resistências está ligado em série ou paralelo.</p><p>Exemplo 77: Determine Req para o circuito limitado pela linha</p><p>tracejada na Figura 87.</p><p>3</p><p>i1</p><p>1/3 i1 A</p><p>e</p><p>Ω</p><p>i</p><p>i3</p><p>Figura 87 – Circuito com fonte controlada do Exemplo 77.</p><p>Solução: Coloquemos uma fonte de tensão externa e, como está</p><p>mostrado na Figura 87, e observemos que i=i1. Pela lei das correntes</p><p>de Kirchhoff, i1=i3+i1/3, donde i3=i1–i1/3=2i1/3. Portanto a tensão nos</p><p>terminais da resistência de 3[Ω] (que é a mesma tensão e da fonte</p><p>externa) é e=3i3=2i1=2i e Req=e/i=2[Ω].</p><p>5.2 – Divisores de tensão e de corrente</p><p>“Circuitos Resistivos” 141</p><p>Os circuitos mostrados nas Figuras 88-(a) e 88-(b) são</p><p>chamados, respectivamente, de divisor de tensão e divisor de</p><p>corrente. Um divisor de tensão ocorre quando uma fonte de tensão,</p><p>independente ou controlada, é ligada em série com dois (ou mais)</p><p>resistores, como mostrado na Figura 88-(a). Por outro lado, um</p><p>divisor de corrente ocorre quando uma fonte de corrente,</p><p>independente ou controlada, é conectada em paralelo com duas (ou</p><p>mais) condutâncias (resistências), como mostrado na Figura 88-(b).</p><p>A resistência vista pela fonte de tensão e da Figura 88-(a) é</p><p>R1+R2. Portanto a corrente é i=e/(R1+R2) e</p><p>21</p><p>1</p><p>111 RR</p><p>eRiRe</p><p>+</p><p>== (181)</p><p>e</p><p>21</p><p>2</p><p>222 RR</p><p>eRiRe</p><p>+</p><p>== (182)</p><p>Então,</p><p>,R/Re/e 2121 = (183)</p><p>mostrando que a tensão da fonte se divide entre R1 e R2</p><p>proporcionalmente às suas resistências, isto é, a tensão será maior no</p><p>resistor de maior resistência.</p><p>Com base na inspeção das Eqs. (181) e (182), podemos enunciar</p><p>a regra do divisor de tensão:</p><p>“A tensão numa dada resistência é igual ao produto dela pela tensão</p><p>total aplicada, dividido pela soma das resistências”.</p><p>Figura 88 – (a) Divisor de tensão, (b) divisor de corrente.</p><p>Na Figura 88-(b), a resistência vista pela fonte de corrente i é</p><p>1/(G1+G2)=R1R2/(R1+R2). Portanto a tensão é e=i/(G1+G2) e</p><p>“Circuitos Resistivos” 142</p><p>21</p><p>2</p><p>21</p><p>1</p><p>11 RR</p><p>iR</p><p>GG</p><p>iGe.Gi</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>== (184)</p><p>e</p><p>21</p><p>1</p><p>21</p><p>2</p><p>22 RR</p><p>iR</p><p>GG</p><p>iGe.Gi</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>== (185)</p><p>Então,</p><p>,R/RG/Gi/i 122121 == (186)</p><p>mostrando que a corrente se divide proporcionalmente às</p><p>condutâncias ou em proporção inversa às resistências. Assim, o</p><p>resistor que tiver a menor resistência drenará a maior corrente.</p><p>A inspeção das Eqs. (184) e (185) permite enunciar a regra do</p><p>divisor de corrente:</p><p>”A corrente na resistência de um ramo é igual ao produto da</p><p>resistência do ramo paralelo pela corrente total aplicada, dividido</p><p>pela soma das resistências”.</p><p>Quando existem mais de dois resistores no divisor de corrente, é</p><p>usualmente mais fácil aplicar a lei de Ohm diretamente, ao invés da</p><p>regra acima.</p><p>Exemplo 78: Determine a tensão de saída e0 no circuito da Figura</p><p>89-(a).</p><p>“Circuitos Resistivos” 143</p><p>4</p><p>3</p><p>Ω</p><p>Ω</p><p>Ω Ω</p><p>ΩΩ</p><p>Figura 89 – (a) Circuito do Exemplo 78, (b) mesmo</p><p>circuito, porém simplificado.</p><p>Solução: A parte do circuito à direita pode ser substituída por uma</p><p>resistência de (4)(2)/(4+2)=4/3[Ω], como mostrado na Figura 89-(b).</p><p>Pela regra do divisor de tensão,</p><p>]V[2e.</p><p>3/42</p><p>3/4e 12 =</p><p>+</p><p>=</p><p>Como a individualidade das resistências que foram combinadas</p><p>foi perdida, é necessário retomar a Figura 89-(a) para calcular e0.</p><p>Como e2 é a tensão através da combinação série de 1[Ω] e 3[Ω],</p><p>]V[5,1</p><p>4</p><p>6</p><p>13</p><p>e.3e 2</p><p>0 ==</p><p>+</p><p>=</p><p>Como solução alternativa, note que i1 = 5/(2+4/3) = 15/10 =</p><p>3/2[A]. Pela regra do divisor de corrente,</p><p>]V[5,1i3ee]A[5,0</p><p>42</p><p>i.2i 00</p><p>1</p><p>0 ===</p><p>+</p><p>=</p><p>Exemplo 79: Determine a tensão e0 no circuito da Figura 90.</p><p>“Circuitos Resistivos” 144</p><p>Ω</p><p>Ω</p><p>Ω</p><p>Ω</p><p>Figura 90 – Circuito do Exemplo 79.</p><p>Solução: Pela Eq. (182),</p><p>]V[4</p><p>3</p><p>12</p><p>12</p><p>e.2e 1</p><p>2 ==</p><p>+</p><p>=</p><p>]V[2</p><p>6</p><p>12</p><p>42</p><p>e.2e 1</p><p>3 ==</p><p>+</p><p>=</p><p>Por inspeção do circuito (lei das tensões de Kirchhoff),</p><p>]V[2eee 320 =−=</p><p>Exemplo 80: Determine a resistência equivalente do circuito da</p><p>Figura 91, que contém uma fonte de corrente controlada por corrente.</p><p>Figura 91 – Circuito com fonte controlada do Exemplo 80.</p><p>Solução: Observando minuciosamente a Figura 91, constatamos que,</p><p>na realidade, a resistência de 2[Ω], na parte superior do circuito, está</p><p>ligada entre os terminais de entrada e, assim, está em paralelo com o</p><p>restante do circuito. Portanto, podemos temporariamente omitir a</p><p>resistência de 2[Ω] mais em cima, como mostrado na Figura 92.</p><p>“Circuitos Resistivos” 145</p><p>ΩΩ</p><p>Ω</p><p>Figura 92 – Circuito da Figura 91 sem a resistência</p><p>superior de 2[Ω].</p><p>Pela regra do divisor de corrente, i1 = 2i/(2+1) = 2i/3. Então, i2</p><p>= 3i1-i = 2i-i = i, de modo que e = –2i2+i1 = –2i+2i/3 = –4i/3 e Req = e/i</p><p>= –4/3[Ω] para o circuito da Figura 92. Assim, a resposta final é</p><p>][4</p><p>)3/4()2(</p><p>)3/4)(2(Req Ω−=</p><p>−+</p><p>−</p><p>=</p><p>Exemplo 81: Um voltímetro indica que o ponto B está 4[V] positivo</p><p>em relação ao ponto D no circuito da Figura 93. Determine a tensão</p><p>ex do ponto B em relação ao ponto C.</p><p>Figura 93 – Circuito do Exemplo 81.</p><p>Solução: Introduzindo as tensões e2 e ey, como mostrado na Figura</p><p>94, e usando a regra do divisor de tensão,</p><p>4/e</p><p>93</p><p>e3e 2</p><p>2</p><p>x −=</p><p>+</p><p>−= (187)</p><p>“Circuitos Resistivos” 146</p><p>2/e</p><p>33</p><p>e3e 2</p><p>2</p><p>y =</p><p>+</p><p>= (188)</p><p>Do circuito da Figura 93, usando a lei das tensões de Kirchhoff,</p><p>,4/e2/e4/eee4eee 222yxBDDB =+−=+===− (189)</p><p>em face das Eqs. (187) e (188).</p><p>Então, da Eq. (189), e2=16[V] e ex=-4[V].</p><p>Figura 94 – Circuito da Figura 93 após a adoção das</p><p>tensões e2 e ey.</p><p>Exemplo 82: Sob que condição será e0=0 no circuito da Figura 95.</p><p>Figura 95 – Circuito do exemplo 82.</p><p>Solução: Introduzindo as tensões ea, e2 e e4, como mostrado na Figura</p><p>96, a regra do divisor de tensão permite escrever que:</p><p>)RR/(eRe 21a22 +=</p><p>e</p><p>)RR/(eRe 43a44 +=</p><p>“Circuitos Resistivos” 147</p><p>Mas,</p><p>43</p><p>a4</p><p>21</p><p>a2</p><p>420 RR</p><p>eR</p><p>RR</p><p>eReee</p><p>+</p><p>−</p><p>+</p><p>=−=</p><p>Se e0 ≡ 0 , R2/(R1+R2) = R4/(R3+R4) ou R1R4+R2R4 = R2R3+R2R4.</p><p>Finalmente,</p><p>R1R4 = R2R3 (190)</p><p>É interessante notar que e0 permanecerá zero mesmo se uma</p><p>resistência adicional R6 for conectada entre a junção de R1 com R2 e a</p><p>junção de R3 com R4, desde que a Eq. (190) seja satisfeita. É lógico</p><p>que as soluções triviais seriam e1=0 ou R5→∞ (circuito aberto).</p><p>Figura 96 – Circuito da Figura 95 após a adoção das</p><p>tensões ea, e2 e e4.</p><p>Exemplo 83: Achar a tensão eab no circuito mostrado na Figura 97.</p><p>Ω Ω</p><p>Ω</p><p>Figura 97 – Circuito do Exemplo 83.</p><p>Solução: A tensão sobre o resistor de 10[Ω] é zero pois a corrente</p><p>nele é zero, pelo fato de estar em série com um circuito aberto.</p><p>Devido a esta tensão zero, a tensão eab é igual à</p><p>queda de tensão, de</p><p>cima para baixo, sobre o resistor de 60[Ω]. Pela regra da divisão de</p><p>tensão,</p><p>“Circuitos Resistivos” 148</p><p>]V[60100.</p><p>4060</p><p>60eab =</p><p>+</p><p>=</p><p>Exemplo 84: Ache a resistência equivalente R na entrada do circuito</p><p>da Figura 98, o qual contém uma ligação com um número infinito de</p><p>resistores de resistências R1 e R2.</p><p>∞</p><p>Figura 98 – Circuito de dois terminais de entrada e um</p><p>número infinito de resistores.</p><p>Solução: Separando o primeiro par de resistências colocado na</p><p>entrada do circuito da Figura 98, o circuito restante, à direita,</p><p>continua tendo uma resistência equivalente R, porque o (seu) número</p><p>de resistências continua infinito (∞–1=∞), permitindo construir a</p><p>configuração mostrada na Figura 99.</p><p>Figura 99 – Circuito equivalente ao da Figura 98.</p><p>Portanto,</p><p>2</p><p>2</p><p>1 RR</p><p>R.RRR</p><p>+</p><p>+=</p><p>ou</p><p>0RRRRR 211</p><p>2 =−− (191)</p><p>A solução da Eq. (191) fornece dois valores para R:</p><p>“Circuitos Resistivos” 149</p><p>=</p><p>+±</p><p>=</p><p>+±</p><p>=</p><p>2</p><p>)R/R41(RR</p><p>2</p><p>RR4RRR 12</p><p>2</p><p>1121</p><p>2</p><p>11</p><p>)R/R411(</p><p>2</p><p>R</p><p>12</p><p>1 +±= (192)</p><p>Como 0R/R411,1R/R41 1212 + , permitindo</p><p>concluir que o sinal menos na Eq. (192) não pode ser empregado.</p><p>Portanto,</p><p>2</p><p>RR4RRR 21</p><p>2</p><p>11 ++</p><p>= (193)</p><p>5.3 – Algumas conseqüências da linearidade</p><p>Sabemos que todo circuito composto de fontes independentes,</p><p>fontes controladas lineares e elementos passivos lineares é linear.</p><p>Vimos que um sistema linear é aquele que obedece aos princípios da</p><p>homogeneidade e da superposição. De acordo com o primeiro, se o</p><p>valor da fonte for multiplicado pela constante k, a resposta também</p><p>será multiplicada pelo mesmo valor k. Nos exemplos seguintes vamos</p><p>ilustrar como o princípio da homogeneidade pode ser aplicado, com</p><p>vantagem, na solução de circuitos contendo uma única fonte</p><p>independente.</p><p>Exemplo 85: Determine e0 quando e1=5[V] no circuito da Figura 100,</p><p>calculando primeiramente a tensão da fonte necessária para produzir</p><p>uma tensão de saída e0=3[V].</p><p>Ω Ω</p><p>ΩΩ</p><p>Figura 100 – Circuito do Exemplo 85.</p><p>Solução: Se e0=3[V], a aplicação sucessiva das leis de Kirchhoff e da</p><p>lei de Ohm, permite escrever que:</p><p>“Circuitos Resistivos” 150</p><p>i0 = e0/3 = 3/3 = 1[A]</p><p>e2 = e0+1.i0 = 3+1 = 4[V]</p><p>i2 = e2/2 = 4/2 = 2[A]</p><p>i1 = i0+i2 = 1+2 = 3[A]</p><p>e1 = e2+2i1 = 4+2.3 = 10[V]</p><p>Mas o valor dado da fonte de tensão foi e1=5[V]. Então, se a</p><p>entrada e1 for multiplicada por k=1/2, todas as outras tensões e</p><p>correntes do circuito serão multiplicadas pela mesma constante</p><p>k=1/2. Logo, para e1=5[V]=10/2, e0=3/2=1,5[V].</p><p>Na prática, os cálculos acima são tão simples que não precisam</p><p>nem ser escritos e podem simplesmente ser indicados sobre o circuito.</p><p>E o valor atribuído à e0 poderia ser qualquer outro diferente de 3[V],</p><p>pois ele é arbitrário.</p><p>Exemplo 86: Determine e0 e i1 para o circuito mostrado na Figura</p><p>101.</p><p>Figura 101 – Circuito referido no Exemplo 86.</p><p>Solução: Admitindo temporariamente que e0 = 2[V], então,</p><p>i0 = 1[A]</p><p>e4 = 5[V]</p><p>i4 = 1[A]</p><p>i3 = 2[A]</p><p>“Circuitos Resistivos” 151</p><p>e2 = 7[V]</p><p>i2 = 1/2[A]</p><p>i1 = 5/2[A]</p><p>e1 = 12[V]</p><p>Para a verdadeira tensão da fonte e1=2[V]=12/6, e0=2/6=1/3[V]</p><p>e i1=(5/2)/6=5/12[A]. Os circuitos das Figuras 100 e 101 são</p><p>exemplos dos chamados circuitos em cascata, que são facilmente</p><p>resolvidos pelo método da homogeneidade.</p><p>Exemplo 87: Determine a corrente i4 no circuito da Figura 102.</p><p>Figura 102 – Circuito do Exemplo 87.</p><p>Solução: Adotando as outras tensões e correntes como mostrado na</p><p>Figura 103, temos:</p><p>Para e3 = 3[V], i3 = 1[A], i5 = 3/4[A], i6 = 7/4[A], e6 = 7/4[V], e7 =</p><p>19/4[V], i7 = 19/8[A] e i8 = 33/8[A]. Então e1 = e7+2i8 = 13[V] e i4 =</p><p>i5+i7 = 25/8[A]. Para o verdadeiro valor dado da fonte de 5[V], i4 =</p><p>(5/13)(25/8) = 125/104 = 1,20[A].</p><p>Figura 103 – Circuito da Figura 102, mostrando as</p><p>outras tensões e correntes adotadas.</p><p>“Circuitos Resistivos” 152</p><p>A segunda propriedade dos circuitos lineares é o princípio da</p><p>superposição, o qual estabelece que se um circuito linear for excitado</p><p>por duas ou mais fontes independentes, a resposta total será a soma</p><p>das respostas individuais a cada uma separadamente, como nas Eqs.</p><p>(06) e (07). Quando aplicada a circuitos, esta propriedade é chamada</p><p>de teorema da superposição, e é enunciado como segue:</p><p>Teorema da superposição – “A resposta a várias fontes</p><p>independentes é a soma das respostas a cada fonte independente com</p><p>as fontes independentes restantes em repouso.”</p><p>Na interpretação deste teorema temos que nos lembrar de que</p><p>uma fonte em repouso é uma fonte de valor zero e que fontes de</p><p>tensão e de corrente em repouso são equivalentes, respectivamente, a</p><p>curto-circuitos e a circuitos abertos. É necessário observar também</p><p>que o teorema trata somente de fontes independentes e não de fontes</p><p>controladas (dependentes). Ao contrário de uma fonte independente,</p><p>o valor de uma fonte controlada depende de outras tensões e correntes</p><p>no circuito e, portanto, não deve ser tratada como entrada (fonte)</p><p>externa. Em outras palavras, fontes controladas não devem ser</p><p>colocadas em repouso quando se for aplicar o teorema da</p><p>superposição.</p><p>Exemplo 88: Determine a tensão e2 no circuito da Figura 104-(a)</p><p>usando o teorema da superposição.</p><p>Ω</p><p>Ω</p><p>Ω</p><p>Ω</p><p>Ω</p><p>“Circuitos Resistivos” 153</p><p>Figura 104 – (a) Circuito do Exemplo 88, (b) com a fonte</p><p>de corrente em repouso (aberta) e (c) com a fonte de</p><p>tensão em repouso (curto).</p><p>Solução: Colocamos inicialmente a fonte independente de corrente</p><p>em repouso, substituindo-a por um circuito aberto, como mostrado na</p><p>Figura 104-(b). Pela regra do divisor de tensão, a resposta à fonte</p><p>independente de tensão e1 será</p><p>]V[8,1</p><p>10</p><p>18</p><p>64</p><p>e6e 1</p><p>2 ==</p><p>+</p><p>=</p><p>Na Figura 104-(c), a fonte de tensão, em repouso, é substituída</p><p>por um curto-circuito. Então, as duas resistências estão agora em</p><p>paralelo e terão uma resistência equivalente de (4)(6)/(4+6)=2,4[Ω] .</p><p>A resposta à fonte de corrente i3 será</p><p>4,8[V]- i 2,4- e 32 ==</p><p>Observe-se que o sinal negativo é necessário porque a seta de</p><p>corrente não entra no terminal da resistência para o qual está</p><p>dirigida a seta de tensão (as setas são concordantes na resistência).</p><p>Finalmente, a resposta total é</p><p>[V]3- 4,8 - 1,8 e2 ==</p><p>Esta resposta pode ser comprovada por análise direta da Figura</p><p>104-(a). Como i4+i2+i3 = 0, (e4/4)+(e2/6)+2 = 0. Se a substituição e4 =</p><p>e2–e1 = e2–3 for feita,</p><p>02</p><p>6</p><p>e</p><p>4</p><p>3</p><p>4</p><p>e 22 =++⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛ −</p><p>de onde e2 = –3[V] , confirmando o resultado obtido anteriormente.</p><p>Exemplo 89: Determine a tensão e0 através da resistência de 6[Ω] no</p><p>circuito da Figura 105-(a).</p><p>Solução: Quando a fonte independente de tensão é substituída por</p><p>um curto-circuito, as resistências de 3[Ω] e de 6[Ω] ficam em paralelo</p><p>e são, portanto, equivalentes a uma única resistência de 2[Ω], como</p><p>mostrado na Figura 105-(b). Então, pela regra do divisor de corrente,</p><p>i1=(5/8)(3)=15/8[A] e e0=(15/8)(2)=15/4[V].</p><p>“Circuitos Resistivos” 154</p><p>Quando a fonte de corrente é substituída por um circuito aberto,</p><p>as resistências 5[Ω] e 1[Ω] podem ser combinadas, como mostrado na</p><p>Figura 105-(c). As duas resistências de 6[��] ficam então em paralelo</p><p>e são equivalentes a uma única resistência de 3[Ω]. Pela regra do</p><p>divisor de tensão, e0=(3/6)(8)=4[V]. Finalmente, quando ambas as</p><p>fontes estão presentes, e0=4+15/4=31/4[V].</p><p>3A</p><p>e2</p><p>(a)</p><p>(b) (c)</p><p>5Ω 6Ω e0</p><p>8V</p><p>1Ω i1</p><p>3Ω</p><p>6Ω 6Ω e0</p><p>8V</p><p>1Ω</p><p>2Ω e0</p><p>i1</p><p>3A 5Ω</p><p>Figura 105 – (a) Circuito do Exemplo 89, (b) com a fonte</p><p>de tensão em curto-circuito e (c) com a fonte de corrente</p><p>em circuito aberto.</p><p>Exemplo 90: Determine a tensão e2 no circuito da Figura 106-(a), que</p><p>contém uma fonte de corrente controlada por corrente.</p><p>Solução: Com a fonte de corrente independente em repouso, como na</p><p>Figura 106-(b), i1 = 2/4 = 1/2[A], i3 = 2i1 = 1[A] e e2 = 2–3i3 = –1[V].</p><p>Quando a fonte de tensão independente está em repouso, como</p><p>na Figura 106-(c), i1=0, pois não há tensão nos terminais da</p><p>resistência de 4[Ω].</p><p>Então i3=3[A], porque a fonte controlada é um</p><p>circuito aberto, 2i1=0, e e2= – 3i3 = – 9[V].</p><p>Quando ambas as fontes independentes estão presentes, e2= –1–</p><p>– 9= –10[V].</p><p>“Circuitos Resistivos” 155</p><p>Figura 106 – (a) Circuito do Exemplo 90, (b) com a fonte</p><p>de corrente independente de corrente em repouso e (c)</p><p>com a fonte de tensão em repouso.</p><p>Exemplo 91: Determine a potência fornecida por cada uma das</p><p>fontes do circuito da Figura 107 usando o teorema da superposição.</p><p>Verifique que a potência total fornecida pelas fontes iguala-se à</p><p>potência dissipada pelas resistências.</p><p>7 V6 A 3 Ω</p><p>6 Ω3 Ω</p><p>12 A</p><p>Figura 107 – Circuito do Exemplo 91.</p><p>“Circuitos Resistivos” 156</p><p>Solução: Adotemos as correntes e tensões como mostrado na Figura</p><p>108.</p><p>Figura 108 – Circuito da Figura 107 mostrando as</p><p>correntes e tensões que foram adotadas.</p><p>a) Quando i12 = e7 = 0 e i6 = 6[A], então</p><p>i1 = 6[A], i2 = –(3)(6)/(3+6)=–2[A], i3 = i1+i2 = 6–2 = 4[A],</p><p>i7 = i2 = –2[A], e6 = 3i1+3i3 = 18+12 = 30[V], e12=–3i1+6i2 =</p><p>= –18 –12 = –30[V]</p><p>b) Quando e7 = i6 = 0 e i12 = 12[A], então</p><p>i1=–i12=–12[A], i2=(3)(12)/(3+6)=36/9=4[A],</p><p>i3=–(6)(12)/(3+6)=–8[A], i7= i3=–8[A], e6=3i1+3i3=</p><p>=–36–24=–60[V], e12 = – e6 = 60[V]</p><p>c) Quando i6 = i12 = 0 e e7 = 7[V], então</p><p>i1 = 0, i2 = i3 = i7 = 7/9[A], e6 = 3i3 = 7/3[V], e12 = –e6+e7 =</p><p>= –7/3+7 = 14/3[V]</p><p>Quando as três fontes estão presentes,</p><p>i1 = 6–12+0 = –6[A], i2 = –2+4+7/9=25/9[A], i3 =4–8+7/9=</p><p>= –29/9[A], i7 = –2–8+7/9 = –83/9[A], e6 = 30–60+7/3 =</p><p>= –83/3[V], e12 = –30+60+14/3 = 104/3[V]</p><p>“Circuitos Resistivos” 157</p><p>A potência total dissipada nas três resistências é</p><p>]W[4,1851,313,46108)9/29(3</p><p>)9/25(6)6(3i3i6i3p</p><p>2</p><p>222</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1R</p><p>=++=−+</p><p>++−=++=</p><p>A potência fornecida pelas fontes é</p><p>]W[4,1854166,64166)12)(3/104(</p><p>)9/83)(7()6)(3/83(ieieiep 12127766F</p><p>−=−+=−</p><p>−−−=−−−=</p><p>Portanto, pF + pR = 0.</p><p>Exemplo 92: Determine a tensão e0(t) no circuito da Figura 109.</p><p>Figura 109 – Circuito do Exemplo 92.</p><p>Solução: Se e1(t) é substituída por um curto-circuito, então, pela</p><p>regra do divisor de tensão,</p><p>5</p><p>e</p><p>62/3</p><p>e)2/3(e 22</p><p>ab =</p><p>+</p><p>=</p><p>e</p><p>]V[t10cos2)t(e</p><p>15</p><p>2</p><p>3</p><p>5/e.2</p><p>12</p><p>e2)t(e 2</p><p>2ab</p><p>0 ===</p><p>+</p><p>=</p><p>Se e2(t) é substituída por um curto-circuito,</p><p>)t(e</p><p>5</p><p>2</p><p>32</p><p>e.2e 1</p><p>1</p><p>ab =</p><p>+</p><p>=</p><p>e</p><p>]V[</p><p>3</p><p>8</p><p>15</p><p>40)t(e</p><p>15</p><p>4</p><p>12</p><p>e.2)t(e 1</p><p>ab</p><p>0 ===</p><p>+</p><p>=</p><p>“Circuitos Resistivos” 158</p><p>Por superposição, a resposta desejada é</p><p>]V[t2cos2</p><p>3</p><p>8)t(e0 +=</p><p>Equação 93: Determine a tensão entre os pontos A e B, ABe , no</p><p>circuito da Figura 110.</p><p>6 Ω</p><p>3 Ω</p><p>3 Ω12 Ω</p><p>6 A</p><p>36 V</p><p>A</p><p>B</p><p>Figura 110 – Circuito do Exemplo 93.</p><p>Solução: Se a fonte de tensão é substituída por um curto-circuito,</p><p>então a corrente da fonte de 6[A] divide-se igualmente entre a duas</p><p>resistências de 3[Ω], que estarão em paralelo, uma vez que não</p><p>passará corrente nenhuma pelas resistências de 6[Ω] e de 12[Ω].</p><p>Então, a tensão do ponto A em relação ao ponto B, e e-e ABB A = =</p><p>=(3)(3) = 9[V].</p><p>Se a fonte de corrente é substituída por um circuito aberto,</p><p>então, pela regra do divisor de tensão, ABe =(12)(36)/(12+6)–</p><p>(3)(36)/(3+3) = 6[V].</p><p>Pela superposição, a resposta completa é ABe = 15[V].</p><p>5.4 – Teoremas de Thévenin e Norton</p><p>Qualquer combinação de resistências e de fontes controladas</p><p>com somente dois terminais externos pode ser reduzida a uma única</p><p>resistência equivalente Req, como foi mostrado anteriormente.</p><p>Introduziremos, agora, dois circuitos equivalentes que substituem</p><p>uma combinação que, novamente, tem dois terminais externos</p><p>somente, mas que, agora, contém uma ou mais fontes independentes.</p><p>Como poderia ser esperado, uma tal combinação não pode, em geral,</p><p>“Circuitos Resistivos” 159</p><p>ser substituída por um único elemento. Eles são os circuitos</p><p>equivalentes de Thévenin e Norton, e que podem ser demonstrados</p><p>utilizando o teorema da superposição; consequentemente, eles</p><p>somente podem ser aplicados a circuitos lineares, ou somente à parte</p><p>linear dos circuitos com elementos não-lineares.</p><p>O teorema de Thévenin foi publicado em 1883 por</p><p>M.L.Thévenin, um engenheiro francês que trabalhava em telegrafia.</p><p>O segundo pode ser considerado um corolário do primeiro e é</p><p>creditado a E.L.Norton, um cientista dos laboratórios Bell.</p><p>Seja o circuito de dois terminais denominado A na Figura 111-</p><p>(a), onde “ativo” indica que o circuito contém fontes independentes.</p><p>Quando não houver ligações externas, de maneira que não haja</p><p>corrente saindo do circuito A, a tensão nos seus terminais será</p><p>denotada eoc, como na Figura 111-(d). O índice “oc” pretende sugerir</p><p>um par de terminais em circuito aberto (de open circuit em inglês). A</p><p>corrente que sai do circuito em condições de curto-circuito, ou seja,</p><p>quando os terminais externos são diretamente conectados, de</p><p>maneira que a tensão externa seja nula, é denotada isc, como na</p><p>Figura 111-(e). O índice “sc” sugere terminais em curto-circuito (de</p><p>short circuit em inglês). A notação “A (em repouso)” nas Figura 111-</p><p>(b) e 111(c) significa que todas as fontes independentes (mas não as</p><p>fontes controladas) dentro do circuito A foram colocadas em repouso.</p><p>Se A não contiver capacitâncias e/ou indutâncias, o circuito “A em</p><p>repouso” pode ser substituído por uma única resistência Req, também</p><p>denotada por THR . A tensão eoc , às vezes, também é chamada de</p><p>tensão de Thévenin e denotada THe . Da mesma forma, isc pode ser</p><p>denotada por Ni , conhecida como corrente de Norton.</p><p>O teorema de Thévenin estabelece que o circuito da Figura</p><p>111-(a) pode ser substituído pelo circuito equivalente da Figura 111-</p><p>(b) para calcular correntes e tensões externas (ao circuito A), não</p><p>importando o que esteja ligado aos terminais. O teorema de Norton</p><p>estabelece que o circuito da Figura 111-(a) é também equivalente ao</p><p>da Figura 111-(c).</p><p>“Circuitos Resistivos” 160</p><p>Figura 111 – (a) Circuito ativo A (com fontes</p><p>independentes), (b) equivalente Thévenin, (c) equivalente</p><p>Norton, (d) circuito A em aberto para o cálculo de eoc= THe</p><p>e (e) circuito em curto-circuito para o cálculo de isc</p><p>= Ni .</p><p>Como as fontes controladas não são colocadas em repouso na</p><p>aplicação do teorema da superposição, no qual se baseiam as</p><p>demonstrações dos teoremas de Thévenin e Norton, elas não deverão</p><p>ser alteradas durante a formação do circuito em repouso A.</p><p>Enfatizamos que a natureza geral dos dois teoremas permite a</p><p>sua aplicação em redes com indutores e capacitores.</p><p>Exemplo 94: Determine o circuito equivalente de Thévenin para o</p><p>circuito da Figura 112-(a).</p><p>Solução: Quando os dois terminais externos são deixados em aberto,</p><p>a mesma corrente passa pelas resistências R1 e R2, e a regra do</p><p>divisor de tensão, Eq. (182), pode ser usada para obtermos</p><p>21</p><p>12</p><p>ocTH RR</p><p>e.Ree</p><p>+</p><p>== (194)</p><p>O circuito em repouso da Figura 112-(b) consiste de duas</p><p>resistências em paralelo, de maneira que</p><p>“Circuitos Resistivos” 161</p><p>21</p><p>21</p><p>eq RR</p><p>RRR</p><p>+</p><p>= (195)</p><p>O circuito equivalente de Thévenin, de acordo com a Figura 111-</p><p>(b) e as Eqs. (194) e (195), é mostrado na Figura 112-(c).</p><p>R1</p><p>R2</p><p>R1</p><p>R2</p><p>(a) (b)</p><p>(c)</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>R R</p><p>R R+</p><p>2</p><p>1 2</p><p>R</p><p>R R+</p><p>e1Eoc = e2</p><p>e1</p><p>e2</p><p>Figura 112 – (a) Circuito do Exemplo 94, (b) o mesmo</p><p>circuito posto em repouso e (c) o circuito equivalente de</p><p>Thévenin.</p><p>Exemplo 95: Determine 2e no circuito da Figura 113-(a),</p><p>substituindo tudo, menos a resistência de 6[Ω], por um circuito</p><p>equivalente de Thévenin.</p><p>Solução: A tensão de circuito aberto eoc = THe é mostrada na Figura</p><p>113-(b), onde e4=4i3=(4)(2)=8[V] e eoc =e1–e4=3–8=–5[V]. O circuito em</p><p>repouso está mostrado na Figura 113-(c) e pode ser substituído por</p><p>Req=RTH=4[Ω]. O circuito equivalente de Thévenin aparece dentro do</p><p>retângulo tracejado no circuito completo da Figura 113-(d), de</p><p>maneira que e2=(6)(-5)/(4+6)=–3[V], o que concorda com o resultado</p><p>do Exemplo 88.</p><p>“Circuitos Resistivos” 162</p><p>4 Ω</p><p>6 Ωe1= 3 V e2</p><p>(a)</p><p>4 Ω</p><p>e1= 3 V</p><p>(b)</p><p>4 Ω</p><p>(c)</p><p>4 Ω</p><p>(d)</p><p>eoc= -5 V e2</p><p>i3= 2 A</p><p>i3= 2 A</p><p>e1</p><p>eoc</p><p>Req= 2 Ω</p><p>Figura 113 – (a) Circuito do Exemplo 95, (b) circuito para</p><p>o cálculo de THe = eoc , (c) circuito em repouso</p><p>correspondente e (d) circuito contendo o equivalente</p><p>Thévenin dentro do retângulo tracejado.</p><p>Exemplo 96: Determine e4 e i4 no circuito da Figura 114-(a).</p><p>Solução: Seja o circuito ativo A que inclui tudo, exceto a resistência</p><p>de 1[Ω], na qual a tensão e4 deve ser determinada. Sob a condição de</p><p>circuito aberto, A é idêntico ao circuito da Figura 90 e desta maneira,</p><p>pelo Exemplo 79, temos que eoc = THe =e0=2[V]. O circuito em repouso</p><p>mostrado na Figura 114-(b) pode ser redesenhado como na Figura</p><p>114-(c), pois todos os pontos na linha mais grossa estão no mesmo</p><p>potencial. Portanto,</p><p>][2</p><p>)2()4(</p><p>)2)(4(</p><p>)2()1(</p><p>)2)(1(RR THeq Ω=</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>==</p><p>“Circuitos Resistivos” 163</p><p>Figura 114 – (a) Circuito do Exemplo 96, (b) circuito em</p><p>repouso correspondente, (c) configuração equivalente de</p><p>(b) e (d) circuito contendo o equivalente de Thévenin para</p><p>o cálculo de e4 e i4.</p><p>Do circuito equivalente contendo o de Thévenin da Figura 114-</p><p>(d), i4=2/3[A] e e4=2/3[V].</p><p>É interessante observar que os circuitos das Figuras 114-(a) e 86</p><p>são idênticos. Como acabamos de determinar a tensão e a corrente</p><p>para uma das resistências, agora é possível determinar, sem grande</p><p>esforço, a relação e/i, que é a resistência equivalente vista pela fonte</p><p>de tensão e=6[V]. Na Figura 114-(a), i4+i5=i3. Portanto,</p><p>2/3+e5/4=e3/2. Como e5=6–e3,</p><p>2/3+6/4–e3/4=e3/2</p><p>de onde e3 = 26/9[V] e i3 = e3/2 = 13/9[A]. Logo e2 = e3+e4= 26/9+2/3=</p><p>32/9[V] e i2 = e2/2 = 16/9[A].</p><p>Então, ][86,1</p><p>29</p><p>54</p><p>9/29</p><p>6</p><p>9/139/16</p><p>6</p><p>ii</p><p>6</p><p>i</p><p>eR</p><p>32</p><p>eq Ω===</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>==</p><p>É oportuno observar que a relação e/i não depende do valor da</p><p>fonte de tensão e, pois multiplicar e por qualquer constante faz com</p><p>“Circuitos Resistivos” 164</p><p>que a corrente i seja multiplicada pela mesma constante, como, aliás,</p><p>acontece com todas as outras tensões e correntes do circuito.</p><p>Exemplo 97: Determine 0e no circuito da Figura 115-(a) aplicando o</p><p>teorema de Thévenin à parte do circuito limitada pela linha tracejada.</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>Figura 115 – (a) Circuito do exemplo 97, (b) circuito</p><p>aberto na carga para o cálculo de eoc = THe e (c) circuito</p><p>do exemplo 97 contendo o equivalente Thévenin.</p><p>Solução: A tensão de circuito aberto é determinada da Figura 115-</p><p>(b), onde i5=i1/3 e i4=0. Como i1=i2=e1/2=2[A], e5=3i5=(3)(2/3)=2[V] e</p><p>eoc = THe =e1+e5=6[V]. O circuito em repouso é formado pela</p><p>substituição da fonte de tensão independente por um curto-circuito,</p><p>mas deixando a fonte de corrente controlada por corrente inalterada.</p><p>Então a resistência de 2[Ω] pode ser omitida, pois não haverá tensão</p><p>entre os seus terminais e, portanto, não haverá corrente através dela.</p><p>“Circuitos Resistivos” 165</p><p>Ocorre, no entanto, que o circuito em repouso é o mesmo que o</p><p>circuito dentro do retângulo tracejado da Figura 87 e, portanto, do</p><p>Exemplo 77, vemos que Req=RTH=2[Ω]. Do circuito da Figura 115-(c),</p><p>0e =10eoc/(10+Req)=(10)(6)/12=5[V].</p><p>Exemplo 98: Sob que condição será 0e =0 no circuito da Figura 116?</p><p>Se R4=R1 e R3=R2, deduza (pelo teorema de Thévenin) uma expressão</p><p>geral para 0e .</p><p>Figura 116 – Circuito do Exemplo 98.</p><p>Solução: Exceto pelo resistor adicional de resistência R0 e a ausência</p><p>da resistência R5, a rede dada é idêntica ao circuito da Figura 95.</p><p>Assim, 0e =0 se R1R4 = R2R3. Estando ou não a ponte balanceada</p><p>(isto é, com 0e =0), todo o circuito, exceto R0, pode ser substituído por</p><p>um circuito equivalente de Thévenin, no qual</p><p>1</p><p>43</p><p>4</p><p>21</p><p>2</p><p>43</p><p>14</p><p>21</p><p>12</p><p>oc e</p><p>RR</p><p>R</p><p>RR</p><p>R</p><p>RR</p><p>eR</p><p>RR</p><p>eRe ⎟⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>+</p><p>−</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>−</p><p>+</p><p>= (196)</p><p>(veja exemplo 82),</p><p>e</p><p>43</p><p>43</p><p>21</p><p>21</p><p>eq RR</p><p>RR</p><p>RR</p><p>RRR</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>= (197)</p><p>(veja exemplo 75).</p><p>Com a resistência R0 conectada e R4=R1, R3=R2,</p><p>2121o</p><p>112o</p><p>eqo</p><p>oco</p><p>0 RR2)RR(R</p><p>e)RR(R</p><p>RR</p><p>eRe</p><p>++</p><p>−</p><p>=</p><p>+</p><p>= (198)</p><p>“Circuitos Resistivos” 166</p><p>Exemplo 99: A Figura 117-(a) mostra uma carga de resistência</p><p>variável R0 ligada aos terminais do circuito ativo A. Na Figura 117-</p><p>(b) o circuito A é representado pelo seu circuito equivalente de</p><p>Thévenin. Determine o valor de R0 ≥ 0 que resultará no fornecimento</p><p>do máximo de potência para R0.</p><p>A</p><p>ativo R0</p><p>eoc</p><p>Req</p><p>Ro</p><p>(a)</p><p>(b)</p><p>Figura 117 – (a) Circuito do Exemplo 99, (b) mesmo</p><p>circuito com o equivalente Thévenin de A.</p><p>Solução: A potência entregue a R0 é</p><p>2</p><p>oc2</p><p>oeq</p><p>o2</p><p>oo )e.(</p><p>)RR(</p><p>RiRp</p><p>+</p><p>== (199)</p><p>Então,</p><p>2</p><p>oc4</p><p>oeq</p><p>2</p><p>o</p><p>2</p><p>eq</p><p>o</p><p>)e.(</p><p>)RR(</p><p>RR</p><p>dR</p><p>dp</p><p>+</p><p>−</p><p>= (200)</p><p>onde foi utilizada a fórmula</p><p>2v</p><p>v.uu.v</p><p>)x(v</p><p>)x(u</p><p>dx</p><p>d ′−′</p><p>=⎥⎦</p><p>⎤</p><p>⎢⎣</p><p>⎡ (201)</p><p>A máxima potência ocorre quando dp/dRo=0, isto é, quando</p><p>Ro=Req. Neste caso dizemos que a carga está bem casada, e</p><p>pmáx = (eoc)2/(4Req) (202)</p><p>Como a potência fornecida pela fonte é</p><p>Fp =eoc .i=eoc .</p><p>oeq</p><p>oc</p><p>RR</p><p>e</p><p>+</p><p>=(eoc)2/(2Req), (203)</p><p>“Circuitos Resistivos” 167</p><p>então as Eqs. (202) e (203) permitem concluir que quando a potência</p><p>transferida é máxima, pmáx= Fp /2, ou seja, a eficiência é de 50%.</p><p>Exemplo 100: Determine e2 no circuito da Figura 113-(a) usando o</p><p>teorema de Norton.</p><p>Solução: A Figura 118 mostra o circuito obtido quando se substitui a</p><p>resistência de 6[Ω], onde se deseja calcular 2e , por um curto-circuito,</p><p>no qual circula a corrente Nsc ii = .</p><p>3</p><p>4</p><p>Figura 118 – Circuito da Figura 113-(a) com a resistência</p><p>de 6[Ω] substituída por um curto-circuito.</p><p>Como as duas fontes independentes e1=3[V] e i3=2[A]</p><p>alimentam o curto-circuito, como indicado na Figura 118, isc = i4-i3</p><p>= 3/4–2 = –5/4[A] . A resistência equivalente foi calculada no</p><p>Exemplo 95, e vale Req = 4[Ω] . O circuito equivalente de Norton,</p><p>consistindo de uma fonte de corrente em paralelo com Req, está</p><p>mostrado dentro do retângulo tracejado na Figura 119, sobre a qual</p><p>está calculada a tensão ]V[3ee 20 −== .</p><p>“Circuitos Resistivos” 168</p><p>5</p><p>4</p><p>ioc A= −</p><p>4 5 14</p><p>10 4 2</p><p>i A⎛ ⎞⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟</p><p>⎝ ⎠⎝ ⎠</p><p>( ) 16 3</p><p>2</p><p>V⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟</p><p>⎝ ⎠</p><p>Figura 119 – Circuito da Figura 113-(a) depois da</p><p>introdução do equivalente Norton.</p><p>Exemplo 101: Resolva o Exemplo 96 usando o teorema de Norton.</p><p>Solução: O circuito correspondente ao da Figura 114-(a), para o</p><p>cálculo de isc , está mostrado na Figura 120.</p><p>Figura 120 – Circuito para o cálculo da corrente de</p><p>Norton do Exemplo 101.</p><p>A resistência total (de entrada) vista pela fonte é</p><p>][</p><p>5</p><p>9</p><p>22</p><p>)2)(2(</p><p>41</p><p>)4)(1(</p><p>Ω=</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>de maneira que i=(6)/(9/5)=30/9[A]. Pela regra do divisor de</p><p>corrente, i1=(4/5)(30/9)=24/9[A] e i2=(2/4)(30/9)=15/9[A], de modo</p><p>que isc =i1–i2=1[A]. A resistência equivalente, calculada no Exemplo</p><p>96, vale Req=2[Ω] . Na Figura 121 é mostrado o circuito contendo o</p><p>equivalente Norton, do qual, pela regra do divisor de corrente, se</p><p>determina que i4=2/3[A] e e4=2/3[V] .</p><p>“Circuitos Resistivos” 169</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>Figura 121 – Circuito do Exemplo 101 após a introdução</p><p>do equivalente Norton.</p><p>Exemplo 102: Resolva o Exemplo 97 usando o equivalente Norton.</p><p>Solução: O circuito correspondente para o cálculo de isc está</p><p>mostrado na Figura 122.</p><p>1</p><p>3</p><p>Figura 122 – Circuito para o cálculo de isc do Exemplo</p><p>102.</p><p>Na Figura 122, i2=4/2=2[A] e i3=4/3[A] , pois a tensão nos</p><p>terminais de cada resistência é de 4[V]. De acordo com a lei das</p><p>correntes de Kirchhoff, aplicada ao nó superior esquerdo,</p><p>i1=i2+i3+i1/3, o que dá i1=(3/2)(i2+i3)=5[A] . Portanto,</p><p>isc =i3+i1/3=4/3+5/3=3[A]</p><p>Com a resistência equivalente Req=2[Ω], achada no Exemplo 97,</p><p>pode-se construir o circuito contendo o equivalente Norton mostrado</p><p>na Figura 123, do qual se obtém que 0e =5[V].</p><p>“Circuitos Resistivos” 170</p><p>ioc = 3 A Req = 2 Ω e0 = 5 v</p><p>( )2 13</p><p>12 2</p><p>io A⎛ ⎞= =⎜ ⎟</p><p>⎝ ⎠</p><p>Figura 123 – Circuito do Exemplo 102 depois da</p><p>introdução do equivalente Norton.</p><p>Exemplo 103: Determine a corrente i através da resistência de 2[Ω]</p><p>no circuito da Figura 124-(a).</p><p>3 Ω</p><p>6 Ω</p><p>2 Ω2 Ω</p><p>2 Ω</p><p>3 Ω</p><p>3 Ω</p><p>6 V</p><p>4 V 9 V</p><p>i</p><p>i</p><p>(a)</p><p>(b)</p><p>3 A</p><p>Figura 124-(a) – Circuito do Exemplo 103; (b) mesmo</p><p>circuito após duas aplicações do teorema de Thévenin.</p><p>Solução: O teorema de Thévenin pode ser aplicado mais de uma vez</p><p>no mesmo problema. Substituir as partes limitadas por linhas</p><p>tracejadas na Figura 124-(a) por seus equivalentes Thévenin produz o</p><p>circuito da Figura 124-(b), do qual i=(9-4)/(2+2+3)=5/7[A].</p><p>“Circuitos Resistivos” 171</p><p>Nota 13: Se um mesmo circuito resistivo pode ser substituído tanto</p><p>por um equivalente Thévenin, com uma fonte de tensão eoc em série</p><p>com Req, como na Figura 125-(a), quanto por um equivalente Norton,</p><p>com uma fonte de corrente isc em paralelo com Req , como na Figura</p><p>125-(b), então eles também são equivalentes um do outro. Isto</p><p>significa que</p><p>eq</p><p>oc</p><p>sc R</p><p>ei = (204)</p><p>(a)</p><p>i</p><p>e</p><p>Req</p><p>eoc</p><p>Reqisc</p><p>i</p><p>e</p><p>(b)</p><p>Figura 125 – (a) Equivalente Thévenin e (b) equivalente</p><p>Norton de um circuito resistivo.</p><p>A Eq. (204) também significa que uma fonte de tensão em</p><p>série com uma resistência pode sempre ser substituída por</p><p>uma fonte de corrente em paralelo com a mesma resistência.</p><p>Em alguns problemas, a Eq. (204) é o método mais fácil de determinar</p><p>a resistência equivalente Req do circuito em repouso, ou seja, Req é</p><p>obtida de</p><p>sc</p><p>oc</p><p>eq i</p><p>eR = (205)</p><p>O exemplo seguinte ilustra este procedimento.</p><p>Exemplo 104: Use os teoremas de Thévenin e Norton para</p><p>determinar o ganho de corrente i0/i1 no circuito da Figura 126, que</p><p>é um modelo simplificado de um amplificador com realimentação</p><p>a transistor.</p><p>“Circuitos Resistivos” 172</p><p>Figura 126 – Modelo simplificado de amplificador com</p><p>realimentação a transistor.</p><p>Solução: Quando a resistência R0 é desconectada, como na Figura</p><p>127, i1=ib+β ib=(β+1)ib. Então, ib=i1/(β+1) e</p><p>1</p><p>21</p><p>b212bb1oc i</p><p>1</p><p>RRi)RR(RiiRe</p><p>+β</p><p>β−</p><p>=β−=β−= (206)</p><p>Figura 127 – Circuito da Figura 126, sem a resistência</p><p>R0, para o cálculo de eoc .</p><p>Figura 128 – Circuito da Figura 126 com R0 substituída</p><p>por um curto-circuito, para o cálculo de isc.</p><p>Quando a resistência R0 é substituída por um curto-circuito,</p><p>como mostrado na Figura 128, b1iR =R2(isc +β ib). Então,</p><p>“Circuitos Resistivos” 173</p><p>sc2b21 iRi)RR( =β− (207)</p><p>Por outro lado, i1=ib+β ib+isc =(1+β )ib+isc, e</p><p>1</p><p>iii sc1</p><p>b +β</p><p>−</p><p>= (208)</p><p>Substituindo ib na Eq. (207) pelo valor dado na Eq. (208), resulta</p><p>que</p><p>sc2sc121 iR)1()ii)(RR( +β=−β−</p><p>donde obtemos que</p><p>1</p><p>21</p><p>21</p><p>sc i.</p><p>RR</p><p>RRi</p><p>+</p><p>β−</p><p>= (209)</p><p>Das Eqs. (204), (206) e (209),</p><p>1</p><p>RRR</p><p>i</p><p>e 21</p><p>eq</p><p>sc</p><p>oc</p><p>+β</p><p>+</p><p>== (210)</p><p>Portanto, usando o circuito equivalente de Thévenin, com a</p><p>resistência R0 conectada em seus extremos, podemos escrever que</p><p>1</p><p>021</p><p>21</p><p>0eq</p><p>oc</p><p>0 i.</p><p>R)1(RR</p><p>RR</p><p>RR</p><p>ei</p><p>+β++</p><p>β−</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>Finalmente, o ganho de corrente é</p><p>210</p><p>21</p><p>1</p><p>0</p><p>RRR)1(</p><p>RR</p><p>i</p><p>i</p><p>+++β</p><p>β−</p><p>= (211)</p><p>Exemplo 105: Demonstre o teorema de Thévenin.</p><p>Solução: Na Figura 129, as ligações externas ao circuito A são</p><p>representadas pelo circuito B, que pode consistir de qualquer</p><p>combinação de elementos. Para simplificar a prova do teorema, no</p><p>entanto, admitiremos inicialmente que B não contém fontes de</p><p>nenhuma espécie, uma restrição que removeremos logo em seguida.</p><p>Quando B não contém nenhuma fonte, então as correntes e tensões no</p><p>seu interior são completamente determinadas pela corrente que nele</p><p>entra; assim, para provar o teorema de Thévenin, é suficiente mostrar</p><p>que a corrente i1 na Figura 129-(a) e a corrente i2 na Figura 129-(b)</p><p>são iguais.</p><p>“Circuitos Resistivos” 174</p><p>Como eoc é a única fonte independente no circuito da Figura 129-</p><p>(b), inverter sua direção (polaridade) resultará na inversão dos</p><p>sentidos de todas as outras tensões e correntes, como ilustrado na</p><p>Figura 129-(c). Finalmente, considere a Figura 129-(d), que contém</p><p>uma fonte independente de tensão e2, adicionalmente às fontes</p><p>contidas no circuito original (ativo) A. Se e2 for ajustada de tal</p><p>maneira que e2=e1, então e3=0. Como não há fontes contidas em B e</p><p>não há tensões nos seus terminais, i3 deve ser nula, o que, por seu</p><p>lado, indica que nenhuma corrente é retirada (drenada) de A e,</p><p>consequentemente, e2=e1=eoc. (Ou seja, o circuito A não sabe que</p><p>alguma coisa está ligada a ele). Pelo teorema da superposição, a</p><p>corrente i3 é a soma da corrente produzida por e2=eoc com a corrente</p><p>produzida pelas fontes independentes de A, de maneira que</p><p>i3=i1+(–i2). Como i3=0, i1=i2, o que prova o teorema para o caso em que</p><p>o circuito B não contém fontes de nenhuma espécie.</p><p>A</p><p>Em</p><p>repouso</p><p>A</p><p>ativo</p><p>A</p><p>Em</p><p>repouso</p><p>A</p><p>ativo</p><p>e3</p><p>- i2</p><p>eoc</p><p>e1</p><p>e2</p><p>i1 i2</p><p>eoc</p><p>(a) (b)</p><p>(c) (d)</p><p>i3</p><p>Figura 129 – Configurações utilizadas na demonstração</p><p>do teorema de Thévenin.</p><p>Na demonstração do teorema de Thévenin admitidos que o</p><p>circuito B não continha nenhuma fonte. Esta hipótese permitiu-nos</p><p>dizer, por exemplo, que se e3=0, na Figura 129-(d), então i3=0. Se o</p><p>circuito B contiver fontes controladas, isto e também todas as</p><p>outras etapas da demonstração permanecem válidas, a menos que B</p><p>contenha uma fonte controlada por uma tensão ou por uma corrente</p><p>de A. No último caso, o teorema não pode ser usado. Em análise de</p><p>circuitos, entretanto, uma fonte controlada nunca é isolada da tensão</p><p>“Circuitos Resistivos” 175</p><p>ou corrente que a controla, de maneira que usualmente não se</p><p>mencionam exceções ao teorema. Em outras palavras, a fonte</p><p>controlada e a variável que a controla devem permanecer</p><p>ambas no circuito A ou ambas no circuito B.</p><p>A demonstração de que o teorema de Thévenin é válido, mesmo</p><p>quando o circuito B contém fontes independentes, resulta da Figura</p><p>130, onde é suficiente mostrar que i1=i2. Pelo teorema da superposição</p><p>i1=i3+i4 e i2=i4+i5. Como a demonstração anterior do teorema mostrou</p><p>que i3=i5, então i1=i2, como necessário.</p><p>O teorema de Norton não será demonstrado em face da</p><p>dualidade existente entre ele e o teorema de Thévenin.</p><p>Figura 130 – Teorema de Thévenin quando o circuito B</p><p>contém fontes independentes.</p>