Lista de Exerciciso - algebra Linear (84)

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Álgebra Moderna Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Prova da transitividade
Dado x, y e z ∈ E de modo que xRy e yRz então:
x+ |x| = y + |y| e y + |y| = z + |z|
combinando as igualdades acima chega-se à:
x+ |x| = z + |z|
⇒ xRz
Provando a transitividade.
Como a relação é reflexiva, transitiva e simétrica então é uma relação de equivalência.
Solução de B:
Como E = {x ∈ Z | |x| ≤ 3} então os elementos de E são os números −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.
Por definição o conjunto quociente é o conjunto das classes de equivalência de cada um dos
elementos de E. Que no caso são:
−3 = {x ∈ E | (xR− 3)} = {−3,−2,−1, 0}
−2 = {−3,−2,−1, 0}
−1 = {−3,−2,−1, 0}
0 = {−3,−2,−1, 0}
1 = {1}
2 = {2}
3 = {3}
Como os elementos de −3 a 0 geram a mesma classe então:
E/R = {{−3,−2,−1, 0}, {1}, {2}, {3}}
29. Considere o conjunto E = {x ∈ Z | |0 ≤ x ≤ 10} e sobre ele a relação de congruência
módulo 4, que é de equivalência.
a) Descreva as classes de equivalência 0 e 1.
b) Descreva o conjunto-quociente E/R.
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