Transmissao de Energia Eletrica - Indutância

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Transmissão de Energia Elétrica
Profª. Maria Leonor Silva de Almeida
Goiânia, Semestre Letivo 2024-2
Escola de Engenharia Elétrica, 
Mecânica e Computação
Universidade 
Federal de Goiás
Nesta aula
◼ Conceitos e relações fundamentais
◼ Indutância de um condutor retilíneo sólido
◼ Indutâncias de linhas monofásicas a dois condutores
◼ Indutâncias de linhas monofásicas a n+m condutores e conceitos de 
DMG e de RMG
◼ RMG de condutores em feixe típicos
◼ RMG de um cabo
◼ RMG de cabos em feixe típicos
◼ Reatância indutiva e emprego de tabelas de condutores
◼ Indutância de linhas monofásicas com retorno pela terra
◼ Outros parâmetros geométricos (vão, flecha, altura dos cabos, altura de segurança etc)
◼ Indutância de linhas trifásicas com espaçamento simétrico
◼ Indutância de linhas trifásicas com espaçamento assimétrico (transposição de linhas)
◼ Indutância de linhas trifásicas com mais de um condutor por fase
◼ Indutância de linhas trifásicas com circuitos paralelos
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 2
Imagens do 
Capítulo 1
◼ Resistência (R)
 Dissipação de potência ativa devido à passagem de corrente
◼ Condutância (G)
 Representação de correntes de fuga através dos isoladores (principal fonte de condutância) e do 
efeito corona. 
 Depende das condições de operação da linha (umidade relativa do ar, nível de poluição, etc.)
 É muito variável, em função dos fatores acima
 Seu efeito é em geral desprezado (sua contribuição no comportamento geral de operação da linha é 
muito pequena)
Parâmetros das linhas de transmissão –
Apresentação 
3Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida
◼ Indutância (L)
 Deve-se aos campos magnéticos criados pela passagem das correntes
◼ Capacitância (C)
 Deve-se aos campos elétricos: carga nos condutores causa diferença de potencial entre eles
◼ Com base nessas grandezas que representam fenômenos físicos que ocorrem na 
operação das linhas, obtem-se um circuito equivalente (modelo) para a mesma, por 
exemplo esse apresentado abaixo:
Parâmetros das linhas de transmissão –
Apresentação 
4Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida
Começaremos 
nossos estudos 
pela indutância.
Revisão Conceitos Fundamentais
◼ Quando uma bobina, que envolve um núcleo composto por material ferromagnético, é 
percorrida por corrente, haverá fluxo no núcleo.
 A passagem de corrente por um condutor gera campo magnético (Lei de Ampere)
 A indutância relaciona-se com os campos magnéticos produzidos pela passagem de corrente no 
condutor
 Se o aumento da corrente resulta no aumento do fluxo núcleo, trata-se de uma indutância (L) linear.
◼ Sendo o núcleo composto por material ferromagnético, em densidade de fluxo elevadas, 
pode ocorrer a saturação do núcleo. Nesse caso, após saturar, mesmo que a corrente 
aumente, o fluxo permanece o mesmo. Nesse caso, têm-se indutâncias não lineares, que 
variam com a intensidade da corrente.
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Revisão Conceitos Fundamentais
◼ Nos meios com permeabilidade magnética constante, por exemplo o ar, 
tem-se a relação constante entre fluxo (ϕ) e a corrente (𝑖)
◼ Nas linhas de transmissão aéreas, assume-se a indutância constante para qualquer nível 
de corrente
◼ Como a indutância é constante, tem-se um caso linear, no qual:
◼ Reatância indutiva do bipolo: 
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ϕ = 𝐿𝑖
𝑣 𝑡 = 𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
𝑋𝐿 = 𝜔𝐿 = 2𝜋𝑓𝐿
◼ Quando dois circuitos estão relativamente próximos, tem-se indutância mútua entre eles, 
definida pela relação entre fluxo concatenado com um circuito devido à corrente do outro.
◼ No cálculo de circuitos magnéticos, 
o fluxo ϕ 𝑡 concatenado com uma 
espira está confinado no material 
ferromagnético, conforme apresentado 
na Figura 1.9.
Sendo:
• ϕ12 o fluxo concatenado com o circuito 1, devido à 
corrente no circuito 2. 
o Observa-se que na Figura 1.8, ao lado, o fluxo 
concatenado com o circuito 1 corresponde às linhas de 
fluxo 2, 3 e 4.
• 𝑀12 a indutância mútua entre os circuitos 1 e 2
• 𝑋12 a reatância mútua entre os circuitos 1 e 2
Revisão Conceitos Fundamentais
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ϕ12 = 𝑀12𝐼2 𝑋12 = 𝜔𝑀12 𝑉1 = 𝑗𝜔𝑀12𝐼2
◼ Quando há 𝑁 espiras, todas conectadas em série, e sendo ϕ o fluxo
concatenado em uma única espira, o fluxo concatenado pela a bobina é:
◼ A tensão nos terminais de cada espira é obtida pela aplicação da Lei de Lenz:
 A tensão nos terminais da bobina 
(considerando todas as espiras) é:
◼ Lei de Faraday: Quando houver variação do fluxo magnético através de um circuito, surgirá 
nele uma força eletromotriz induzida. 
Revisão Conceitos Fundamentais
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𝐵 e 𝐻: Linhas de fluxo que envolvem 
completamente o condutor
λ = 𝑁ϕ
𝑣 𝑡 =
𝑑ϕ(𝑡)
𝑑𝑡
𝑣 𝑡 = 𝑁
𝑑ϕ(𝑡)
𝑑𝑡
𝑣 𝑡 =
𝑑λ(𝑡)
𝑑𝑡
Obs.: Caso exista um sinal de negativo na fórmula, ele indica que a força eletromotriz induzida é em oposição à variação do fluxo magnético.
𝐵: Densidade de fluxo magnético 
(indução magnética)
𝐻: Intensidade de campo magnético
◼ Das relações de tensão, tem-se:
◼ Dividindo a equação 1 pela 2 , obtém-se 
uma expressão para a indutância:
◼ O fluxo magnético é igual a densidade de fluxo 𝐵 vezes a área da seção transversal que o 
campo atravessa (𝐻 ⊥ 𝐴)
Revisão Conceitos Fundamentais
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𝑣 𝑡 =
𝑑λ(𝑡)
𝑑𝑡
𝑣 𝑡 = 𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
1 2
𝐿 =
𝑑λ
𝑑𝑖
ϕ = 𝐵 ∙ 𝐴
𝐵: Densidade de fluxo magnético (indução magnética)
𝐵 = 𝜇 ∙ 𝐻 𝐻: Intensidade de campo magnético
3
Equações em laranja já foram explicadas anteriormente.
◼ Lei de Ampère: A intensidade de campo magnético 𝐻 (A/m) ao 
longo de qualquer contorno é igual a corrente que atravessa a área 
(𝐴) delimitada por este contorno. 
◼ Em módulo: quando gerado por uma bobina cilíndrica, sendo 𝑁 o número de 
espiras da bobina e 𝑙 o comprimento da bobina.
◼ De e substituindo, tem-se:
◼ Se o circuito tem permeabilidade magnética constante, então:
Revisão Conceitos Fundamentais
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𝐻 =
𝑁𝑖
𝑙
3
𝐿 =
𝑑λ
𝑑𝑖
=
𝑑𝑁ϕ
𝑑𝑖
=
𝑑
𝑑𝑖
𝑁𝐵𝐴 = 𝑁𝐴
𝑑
𝑑𝑖
𝜇
𝑁𝑖
𝑙
= 𝑁𝐴
𝑑
𝑑𝑖
𝜇𝐻
𝐿 =
𝑁2𝐴
𝑙
∙
𝑑
𝑑𝑖
∙ 𝜇𝑖 =
𝑁2𝐴
𝑙
∙ 𝜇 ∙
𝑑𝑖
𝑑𝑖
=
𝑁2𝐴
𝑙
𝜇
Multiplicando 𝑖 no 
denominar e numerador
𝐿 =
𝑁𝑖
𝑙
∙
𝑁𝐴𝜇
𝑖
= 𝐻 ∙
𝑁𝐴𝜇
𝑖
= 𝐻𝜇 ∙
𝑁𝐴
𝑖
= 𝐵 ∙
𝑁𝐴
𝑖
= 𝐵𝐴 ∙
𝑁
𝑖
= ϕ ∙
𝑁
𝑖
𝐿 =
λ
𝑖
ර
𝐶
𝐻𝑑𝑙 = 𝑖𝑐
λ = 𝑁ϕ
𝐿 =
𝑑λ
𝑑𝑖
ϕ = 𝐵 ∙ 𝐴
𝐵 = 𝜇 ∙ 𝐻
◼ Se for considerado 𝐿 como a indutância
da bobina toda (N espiras em série), nos 
casos sem saturação, o fluxo concatenado é:
◼ Analogamente, quando dois condutores longos de comprimento 𝑙, espaçados por uma 
distância 𝐷 (com 𝑙 ≫ 𝐷), aplica-se o conceito de fluxo concatenado com uma espira
 Nesse caso, define-se a espira como o retângulo formado pelos dois condutores, desprezando o 
efeito do fluxo nas extremidades. No mais, as linhas de fluxo envolvem completamente o condutor.
 Do ponto de vista do circuito elétrico, 
é possível associar uma indutância ao 
circuito formado pelos dois condutores.
Revisão Conceitos Fundamentais
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λ = 𝐿𝑖
◼ Abstração necessária: supor que o outro
condutor, o de retorno, está muito distante(𝐷 → ∞)
◼ Nesse caso, considera-se o conceito de 
fluxo concatenado com um condutor
◼ Considera-se também que o condutor está
isolado, de forma que outros condutores estão
muito afastados e seus campos magnéticos
não afetam o condutor analisado.
◼ Para o cálculo da indutância do condutor, determina-se a indutância devido ao fluxo interno 
no condutor e devido ao fluxo externo ao condutor, para posteriormente definir o fluxo total.
Fluxo Concatenado com UM Condutor
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𝐼
𝐼
◼ Fluxo concatenado externo ao condutor
 A corrente (𝐼) produz fluxo magnético (ϕ)
 O fluxo externo concatenado com a 
corrente enlaça toda a corrente, portanto:
◼ Fluxo concatenado interno ao condutor: 
 O fluxo interno concatenado com a corrente a uma 
distancia 𝒙 do centro do condutor de raio 𝑹 (com x 𝐷1 e que o fluxo externo concatena a corrente de 
uma vez, de tal modo que dϕ = 𝑑λ
Indutância de um condutor –
Indutância devido ao fluxo externo
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𝑑𝑥
𝐼
λ12 =
𝜇𝑜𝐼
2𝜋
𝑙𝑛
𝐷2
𝐷1
𝐿 =
𝑑λ
𝑑𝑖
𝐿12 =
𝑑λ12
𝑑𝑖
=
𝑑
𝑑𝑖
𝜇𝑜𝐼
2𝜋
𝑙𝑛
𝐷2
𝐷1
𝐿12 =
𝜇𝑜
2𝜋
𝑙𝑛
𝐷2
𝐷1
Τ𝐻 𝑚
𝐿12 = 2 ∙ 10−7𝑙𝑛
𝐷2
𝐷1
Τ𝐻 𝑚 𝐿12 = 2 ∙ 10−4𝑙𝑛
𝐷2
𝐷1
Τ𝐻 𝑘𝑚OU
Permeabilidade do vácuo: 𝜇𝑜 = 4π ∙ 10−7[𝐻/𝑀]
◼ Dois fios: condutores cilíndricos sólidos e de seção circular
◼ Um condutor funciona como retorno para o outro
Indutância de uma linha monofásica 
a dois fios 
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𝑖′
𝑖′ = 𝑖 → sai do condutor
𝑖′′
𝑖′′ = −𝑖 → entra no condutor 
𝐵
𝐵
Hipótese simplificadora: 𝑟1 𝑒 𝑟2 ≪ 𝐷
◼ Inicialmente, considera-se apenas o fluxo concatenado com o circuito causado pela 
corrente no condutor 1.
Indutância de uma linha monofásica a dois fios – Indutância 
externa entre os condutores produzida pelo condutor 1
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𝐷
Na região 𝐷 + 𝑟2, o fluxo 
produzido pelo condutor 2 é 
igual e de sentido oposto ai 
fluxo produzido pelo condutor 1, 
logo, o fluxo resultante é zero.
linha de fluxo ↑
linha de fluxo ↓
resultante 𝑁𝑈𝐿𝐴
O fato da corrente no condutor 1 
ser 𝑖 e a corrente no condutor 2 
ser −𝑖, faz com que o cálculo de 
𝐻 para uma distância maior que 
a distância entre os condutores 
seja nula, pois neste caso a 
corrente total enlaçada será nula.
𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑖 + −𝑖 = 0
linha de fluxo ↓
linha de fluxo ↑
resultante 𝑁𝑈𝐿𝐴
Uma linha de fluxo com raio (a 
uma distância) igual ou maior 
que 𝐷 + 𝑟2, a partir do centro do 
condutor 1, não concatena o 
circuito, não induzindo, portanto, 
qualquer tensão. 
◼ Uma linha de fluxo externa ao condutor 1 e com raio menor ou igual a (𝐷 − 𝑟2) envolve 
uma vez a corrente total.
 A fração da corrente total envolvida por uma linha de fluxo externo ao condutor 1, a uma distância 
igual ou menor que (𝐷 − 𝑟2) é 1.
Indutância de uma linha monofásica a dois fios – Indutância 
externa entre os condutores produzida pelo condutor 1
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𝐷
linha de fluxo ↑
linha de fluxo ↑
resultante ↑
◼ As linhas de fluxo com raios entre (𝐷 − 𝑟2) e (𝐷 + 𝑟2) cortam o condutor 2 (sobre a 
superfície do condutor 2) → envolvem uma fração da corrente do condutor 2. Essa fração 
varia entre 0 e 1.
Indutância de uma linha monofásica a dois fios – Indutância 
externa entre os condutores produzida pelo condutor 1
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 28
𝐷
◼ O problema pode ser simplificado quando 𝐷 for muito maior do que 𝑟1 𝑒 𝑟2 e a densidade de 
fluxo for aproximadamente uniforme, considera-se que o fluxo produzido pelo condutor 1, 
compreendido até o centro do condutor 2, envolve toda a corrente 𝐼. 
 E que a porção de fluxo que ultrapassa esse ponto não envolve nenhuma corrente. 
 Essa aproximação é válida, mesmo quando 𝐷 é pequeno.
◼ Se convenciona como positivas as correntes que entram no plano, logo: 𝐼𝑎 = 𝐼 e 𝐼𝑏 = −𝐼.
 No plano transversal que corta o circuito (região externa ao circuito), a soma das correntes é nula.
Indutância de uma linha monofásica a dois fios – Indutância 
externa entre os condutores produzida pelo condutor 1
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𝐼𝑎 + 𝐼𝑏 = 0
◼ Simplificações:
 Admitir 𝐷 ≫ 𝑟1 e 𝑟2. Logo, 𝐷 − 𝑟1 ≈ 𝐷 − 𝑟2 ≈ 𝐷
 Considera-se condutor 2 como um ponto, localizado a uma distância 𝐷 do centro do condutor 1
◼ Então:
◼ Indutância externa entre os condutores produzida pelo condutor 2 
 Lembrar a hipótese simplificadora 𝐷 ≫ 𝑟2 e o condutor 1 é representado por um ponto localizado no 
centro do condutor:
Indutância de uma linha monofásica a dois fios – Indutância 
externa entre os condutores produzida pelo condutor 1
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𝐿1,𝑒𝑥𝑡 =
𝜇𝑜
2𝜋
𝑙𝑛
𝐷
𝑟1
Τ𝐻 𝑚
𝐿12 =
𝜇𝑜
2𝜋
𝑙𝑛
𝐷2
𝐷1
=
𝜇𝑜
2𝜋
𝑙𝑛
𝐷
𝑟1
𝐿1,𝑒𝑥𝑡 =
𝜇𝑜
2𝜋
𝑙𝑛
𝐷2
𝑟1
𝐿2,𝑒𝑥𝑡 =
𝜇𝑜
2𝜋
𝑙𝑛
𝐷
𝑟2
Τ𝐻 𝑚
◼ Indutâncias internas: como se considera que cada condutor “enxerga” o outro como um 
ponto, o fluxo externo de um condutor não afeta o fluxo interno do outro. 
◼ Indutância total devido ao condutor 1:
◼ Considerando que a permeabilidade relativa (𝜇𝑟) dos materiais mais comuns das linhas 
(cobre, alumínio) é unitária e a permeabilidade do vácuo 
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𝐿1,𝑖𝑛𝑡 =
𝜇𝑟𝜇𝑜
8𝜋
=
1
2
∙ 10−7 Τ𝐻 𝑚 𝐿2,𝑖𝑛𝑡 =
𝜇𝑟𝜇𝑜
8𝜋
=
1
2
∙ 10−7 Τ𝐻 𝑚
𝐿1 = 𝐿1,𝑖𝑛𝑡 + 𝐿1,𝑒𝑥𝑡 𝐿1 =
𝜇𝑟𝜇𝑜
8𝜋
+
𝜇𝑜
2𝜋
𝑙𝑛
𝐷
𝑟1
Τ𝐻 𝑚
𝜇𝑜 = 4π ∙ 10−7[𝐻/𝑀]
𝐿1 =
𝜇𝑜
2𝜋
1
4
+ 𝑙𝑛
𝐷
𝑟1
= 2 ∙ 10−7 𝑙𝑛 𝑒1Τ4 + 𝑙𝑛
𝐷
𝑟1
= 2 ∙ 10−7 𝑙𝑛
𝑒1Τ4 ∙ 𝐷
𝑟1
𝐿1 = 2 ∙ 10−7 𝑙𝑛
𝐷
𝑟1 ∙ 𝑒
−1Τ4
𝐿1 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷
𝑟1′
Τ𝐻 𝑚
Indutância de uma linha monofásica a dois fios – Indutância 
interna entre os condutores produzida pelo condutor 1
𝑟1′ = 𝑟1 ∙ 𝑒
−1Τ4
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 32
𝐿1,𝑒𝑥𝑡 =
𝜇𝑜
2𝜋
𝑙𝑛
𝐷
𝑟1
Expressão indutância 
devido fluxo externo
Expressão da indutância total 
𝐿1 = 𝐿1,𝑖𝑛𝑡 + 𝐿1,𝑒𝑥𝑡
𝐿1 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷
𝑟1′
Diferença 
𝑟1 e 𝑟1′
Semelhante a expressão de 𝐿1,𝑒𝑥𝑡, 
porém engloba também o fluxo interno.
A expressão 𝐿1 equivale à indutância 
devido ao fluxo externo de um condutor 
com raio 𝑟1′, sendo:
𝑟1′ = 𝑟1 ∙ 𝑒
−1Τ4 = 0,7788 ∙ 𝑟1
𝑟1′ é chamado de Raio efetivo OU
GMR – Geometric Mean Radius OU
RMG – Raio Médio Geométrico
Obs.: Para calcular a indutância do 
condutor, deve-se usar a fórmula da 
indutância externa, mas considerando 
𝑟1′, daí já contempla a indutância 
interna, além da externa.
Indutância de uma linha monofásica a dois fios – Indutância 
externa entre os condutores produzida pelo condutor 1
𝐿1,𝑒𝑥𝑡 =
4π ∙ 10−7
2𝜋
𝑙𝑛
𝐷
𝑟1
𝐿1,𝑒𝑥𝑡 = 2 ∙ 10−7𝑙𝑛
𝐷
𝑟1
◼ Indutância total devido ao condutor 2: o procedimento é o mesmo usado para o 
condutor 1, resultando em:
◼ Indutância total da linha monofásica: é a soma das indutâncias dos condutores 1 e 2
 Uma vez que a corrente do condutor 2 tem sentido oposto a do condutor 1 (defasado de 180°), o 
fluxo concatenado por ela produzido isoladamente penetra no circuito no mesmo sentido que o 
produzido, considerado isolado, penetra no circuito 1(na área S, os fluxos se somam). 
 Assim, o fluxo resultante para os dois condutores é determinado pela soma das respectivas forças 
magnetomotrizes. 
 Para permeabilidade constante, portanto, os fluxos concatenados (e também as indutâncias) de 
ambos os condutores, considerados separadamente, podem ser somados.
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 33
𝐿2 = 𝐿2,𝑖𝑛𝑡 + 𝐿2,𝑒𝑥𝑡 =
𝜇𝑟𝜇𝑜
8𝜋
+
𝜇𝑜
2𝜋
𝑙𝑛
𝐷
𝑟2
𝐿2 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷
𝑟2′
Τ𝐻 𝑚
Indutância de uma linha monofásica a dois fios
= 2 ∙ 10−7 𝑙𝑛
𝐷
𝑟2 ∙ 𝑒
−1Τ4
𝑟2′ = 𝑟2 ∙ 𝑒
−1Τ4 = 0,7788 ∙ 𝑟2
Raio efetivo = GMR = RMG do condutor 2
◼ Indutância total da linha monofásica
◼ A indutância depende da distância entre os fios (𝐷), dos raios dos condutores 
(𝑟1
′ e 𝑟2′) e do meio (𝜇𝑟 e 𝜇𝑜 estão embutidos no termo 4 ∙ 10−7)
◼ A indutância independe da corrente
◼ Se os condutores forem iguais e tiverem o mesmo raio
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Indutância de uma linha monofásica a dois fios
𝐿 = 4 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷
𝑟1′ ∙ 𝑟2′
Τ𝐻 𝑚
𝑟1
′ = 𝑟2
′ = 𝑟′
𝐿 = 4 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷
𝑟′
=
𝜇𝑜
𝜋
𝑙𝑛
𝐷
𝑟′
Τ𝐻 𝑚
𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷
𝑟1′
+ 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷
𝑟2′
= 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷2
𝑟1′ ∙ 𝑟2′Determine a indutância de uma linha monofásica, com dois condutores de raios iguais,
e cuja distância entre eles é de 1,5 m e o raio dos condutores é igual a 0,5 cm.
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Exemplo 1
𝐿 = 4 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷
𝑟′
𝑟′ = 0,7788 ∙ 𝑟 𝑟1
′ = 𝑟2
′ = 0,7788 ∙ 0,5 ∙ 10−2 𝑟1
′ = 𝑟2
′ = 0,0039𝑚
𝐿 = 4 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
1,5
0,0039
𝐿 = 2,38𝜇 Τ𝐻 𝑚
A corrente pela linha de transmissão monofásica do exemplo anterior é igual a 120 A (rms), 60
Hz. Uma linha telefônica, cuja distância entre condutores é de 10 cm, está situada no mesmo
plano dessa linha, afastada de 1 m, conforme mostra a figura a seguir. Considerando que o raio
dos condutores da linha telefônica é muito menor que as distâncias entre condutores do
problema, calcule a tensão induzida na linha telefônica em Volts por metro de condutor.
◼ A tensão induzida na linha telefônica é o resultado de um fluxo concatenado entre os dois condutores da
linha, produzido pelas correntes nos condutores da linha de transmissão
◼ Neste caso, o fluxo concatenado com a linha telefônica tem duas componentes, uma devido à corrente do
condutor 1 (𝑖) e a outra devido à corrente no condutor 2 (−𝑖).
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Exemplo 2
𝑑λ = 𝜇𝑜
𝐼
2𝜋𝑥
𝑑𝑥
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 37
Exemplo 2
1,5 + 1,0 + 0,1 = 2,6𝑚
1,5 + 1,0 = 2,5𝑚
1,0𝑚
1,0 + 0,1 = 1,1𝑚
𝑑λ = 𝜇𝑜
𝐼
2𝜋𝑥
𝑑𝑥
Considerando as componentes de fluxo 
concatenado λ1 e λ2, tem-se:
λ1 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼 ∙ න
2,5
2,6 1
𝑥
𝑑𝑥
λ2 = 2 ∙ 10−7 ∙ −𝐼 ∙ න
1,0
1,11
𝑥
𝑑𝑥 = −2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼 ∙ 𝑙𝑛
1,1
1,0
= 2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼 ∙ 𝑙𝑛
2,6
2,5
Note que a corrente no condutor 2 tem sentido contrário a do condutor 1.
O fluxo concatenado total é:
λ = λ1 + λ2 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼 ∙ 𝑙𝑛
2,6
2,5
− 𝑙𝑛
1,1
1,0
= −1,1218 ∙ 10−8 ∙ 𝐼 𝑊𝑏/𝑚
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Exemplo 2
λ = λ1 + λ2 = −1,1218 ∙ 10−8 ∙ 𝐼 𝑊𝑏/𝑚
A corrente pelos condutores vale: 𝑖 𝑡 = 120 ∙ 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑓𝑡 𝐴
Logo a expressão do fluxo fica:
Sendo que 𝑓 é a frequência e 
considerou-se o ângulo de fase da 
corrente nulo (referência angular).
λ = −1,3462 ∙ 10−6 ∙ 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑓𝑡 𝑊𝑏/𝑚
λ = −1,1218 ∙ 10−8 ∙ 120 ∙ 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑓𝑡
A tensão induzida na linha por unidade de comprimento vale:
𝑣 𝑡 =
𝑑λ(𝑡)
𝑑𝑡
𝑣 𝑡 = 2𝜋𝑓 ∙ −1,3462 ∙ 10−6 ∙ 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑓𝑡
60Hz
𝑣 𝑡 = −5,0750 ∙ 10−4 ∙ 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑓𝑡 𝑉/𝑚 Valor de pico
Valor eficaz: 𝑉𝑒𝑓 = 5,0750 ∙ 10−4 𝑉/𝑚 = 0,5075 𝑉/𝑘𝑚
Este é o valor da tensão induzida na linha telefônica por 
unidade de comprimento da linha de transmissão.
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 → 𝑓′ 𝑥 = cos(𝑥)
◼ Considere o grupo de condutores n.
◼ A soma algébrica das correntes nos
condutores é nula:
◼ Como a soma das correntes nos condutores é nula,
considera-se que um dos condutores do grupo corres-
ponde ao retorno de corrente (a ideia de circuito elétrico). 
◼ Ideia: calcular o fluxo concatenado com um condutor do grupo de condutores, por 
exemplo, o condutor 1. O fluxo concatenado dependerá das contribuições das correntes 
𝐼1 (do próprio condutor), 𝐼2, 𝐼3 ... 𝐼𝑛.
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 39
Fluxo concatenado por um fluxo de condutores
𝐼1
1
𝐼2
2
𝐼3
3
𝐼𝑛
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝐼𝑖 = 0
Quando estão presentes vários condutores, retilíneos e paralelos, percorridos por diferentes correntes, 
considera-se o fluxo concatenado com um condutor causado pela passagem de corrente nos condutores do 
grupo analisado. Essas correntes são convencionadas como como positivas, penetrando o corte transversal 
do circuito. O condutor de retorno é definido muito distante do grupo de condutores analisados.
◼ O fluxo concatenado com o condutor 1 devido à
corrente 𝐼1 é composto por duas parcelas: a do fluxo
interno e a do fluxo externo.
◼ O fluxo externo será calculado até o ponto P somente
 É um ponto de localização arbitrária e não influencia
no resultado final
 De acordo com os resultados obtidos anteriormente:
como 𝑟1′ é o raio efetivo, λ1,𝑃1 já inclui os fluxos interno
e externo do condutor 1 até o ponto P
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 40
𝐿 =
λ
𝑖
𝐿1 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷
𝑟1′
λ1,𝑃1 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼1 ∙ 𝑙𝑛
𝐷1𝑃
𝑟1′
Τ𝑊𝑏 𝑚
Fluxo concatenado por um grupo de condutores
◼ O fluxo concatenado com o condutor 1 devido à 
corrente 𝐼2
 O fluxo concatenado λ1,𝑃2 com o condutor 1, 
devido à corrente 𝐼2 (excluindo o fluxo além de P), 
é igual ao fluxo produzido por 𝐼2 entre o ponto P e 
o condutor 1(limitado pelas distâncias 𝐷2𝑃 e 𝐷12)
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Fluxo concatenado por um fluxo de condutores
λ1,𝑃2 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼2 ∙ 𝑙𝑛
𝐷2𝑃
𝐷12
Τ𝑊𝑏 𝑚
◼ A expressão geral para o fluxo concatenado com o condutor 𝑖 devido à corrente 𝐼𝑗 é:
◼ Então, o fluxo concatenado com o condutor 1, devido às correntes de todos os condutores é:
◼ Como 𝐼1 + 𝐼2 +⋯+ 𝐼𝑛 = 0, tem-se: 𝐼𝑛 = −(𝐼1+𝐼2 +⋯+ 𝐼𝑛−1)
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 42
Fluxo concatenado por um fluxo de condutores
λ𝑖,𝑃𝑗 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼𝑗 ∙ 𝑙𝑛
𝐷𝑗𝑃
𝐷𝑖𝑗
Τ𝑊𝑏 𝑚
λ1,𝑃 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼1 ∙ 𝑙𝑛
𝐷1𝑃
𝑟1′
+ 𝐼2 ∙ 𝑙𝑛
𝐷2𝑃
𝐷12
+⋯+ 𝐼𝑛 ∙ 𝑙𝑛
𝐷𝑛𝑃
𝐷1𝑛
λ1,𝑃 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼1 ∙ 𝑙𝑛𝐷1𝑃 + 𝐼2 ∙ 𝑙𝑛𝐷2𝑃 +⋯+ 𝐼𝑛 ∙ 𝑙𝑛𝐷𝑛𝑃 +⋯
2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼1 ∙ 𝑙𝑛
1
𝑟1′
+ 𝐼2 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷12
+⋯+ 𝐼𝑛 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷1𝑛
◼ Rearranjando:
◼ Se consideramos que 𝑃 → ∞ (condutor neutro no infinito), os termos 𝐷𝑘𝑃 e 𝐷𝑛𝑃 tendem a
infinito. Logo, a razão
𝐷𝑘𝑃
𝐷𝑛𝑃
tende a 1 e, portanto, seu logaritmo tenderá a zero.
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 43
Fluxo concatenado por um fluxo de condutores
λ1,𝑃 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼1 ∙ 𝑙𝑛𝐷1𝑃 + 𝐼2 ∙ 𝑙𝑛𝐷2𝑃 +⋯− 𝐼1 ∙ 𝑙𝑛𝐷𝑛𝑃 − 𝐼2 ∙ 𝑙𝑛𝐷𝑛𝑃 −⋯− 𝐼𝑛−1 ∙ 𝑙𝑛𝐷(𝑛−1)𝑃 +⋯
2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼1 ∙ 𝑙𝑛
1
𝑟1′
+ 𝐼2 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷12
+⋯+ 𝐼𝑛 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷1𝑛
2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼1 ∙ 𝑙𝑛
1
𝑟1′
+ 𝐼2 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷12
+⋯+ 𝐼𝑛 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷1𝑛
λ1,𝑃 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼1 ∙ 𝑙𝑛
𝐷1𝑃
𝐷𝑛𝑃
+ 𝐼2 ∙ 𝑙𝑛
𝐷2𝑃
𝐷𝑛𝑃
+⋯+ 𝐼𝑛−1 ∙ 𝑙𝑛
𝐷 𝑛−1 𝑃
𝐷𝑛𝑃
+⋯
◼ O fluxo concatenado que o condutor 1 (λ1,𝑃)
◼ λ1,𝑃 corresponde a todo o fluxo concatenado que o condutor 1 vai “sentir” em função da
passagem de corrente pelos outros condutores (menos o condutor neutro). Como o neutro
está no infinito, a parcela de corrente negativa vai tender a zero. Logo, a soma das correntes
nos condutores (menos o neutro) estão todas no mesmo sentido e devem ser somadas.
 O afastamento do ponto 𝑃 → ∞ equivale à inclusão de todo o fluxo concatenado com o condutor 1
 A expressão do fluxo concatenado λ1,𝑃 é a de um condutor pertencente a um grupo de condutores, cuja
soma das correntes seja nula
 A expressão é válida tanto para valores instantâneos (usar correntes instantâneas) como para fasores
(usar fasores das correntes)
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 44
Fluxo concatenado por um fluxo de condutores
2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼1 ∙ 𝑙𝑛
1
𝑟1′
+ 𝐼2 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷12
+⋯+ 𝐼𝑛 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷1𝑛
λ1,𝑃 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼1 ∙ 𝑙𝑛
𝐷1𝑃
𝐷𝑛𝑃
+ 𝐼2 ∙ 𝑙𝑛
𝐷2𝑃
𝐷𝑛𝑃
+⋯+ 𝐼𝑛−1 ∙ 𝑙𝑛
𝐷 𝑛−1 𝑃
𝐷𝑛𝑃
+⋯
zero zero zero
λ1,𝑃 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼1 ∙ 𝑙𝑛
1
𝑟1′
+ 𝐼2 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷12
+⋯+ 𝐼𝑛 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷1𝑛
Τ𝑊𝑏 𝑚
◼ Os condutores acordoados (compostos) estão compreendidos na denominação geral de
condutores compostos, que estão formados por dois ou mais elementos ou fios em
paralelo.
◼ Considere a seguinte linha monofásica, formada por dois condutores, nos quais os fios
todos são iguais, paralelos, cilíndricos e a corrente estáigualmente dividida entre eles
◼ A fase X é composta por n fios idênticos em paralelo e conduz uma corrente 𝐼
uniformemente distribuída pelos fios. A corrente em cada fio é Τ𝐼 𝑛.
◼ A fase Y é composta por 𝑛′ fios idênticos em paralelo e conduz uma corrente −𝐼
uniformemente distribuída pelos fios. A corrente em cada foi é Τ−𝐼
𝑛′ .
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 45
Indutância de linhas com condutores compostos 
(mais de um fio por condutor)
Fase X Fase Y
A fase Y 
constitui o 
retorno da 
fase X. 
◼ As distâncias entre os elementos são definidas pela
letra 𝐷 com os subíndices correspondentes:𝐷𝑎𝑏 , 𝐷𝑏𝑐 , 𝐷𝑎𝑐
◼ Obtenção do fluxo concatenado com o fio a da fase X:
Deve-se considerar o efeito de todas as correntes por todos
os fios, inclusive o próprio fio a.
◼ Dos resultados anteriores:
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 46
Indutância de linhas com condutores compostos 
(mais de um fio por condutor)
λ𝑎 = 2 ∙ 10−7 ∙
𝐼
𝑛
𝑙𝑛
1
𝑟𝑎′
+ 𝑙𝑛
1
𝐷𝑎𝑏
+⋯+ 𝑙𝑛
1
𝐷𝑎𝑛
−2 ∙ 10−7 ∙
𝐼
𝑛′
𝑙𝑛
1
𝐷𝑎𝑎′
+ 𝑙𝑛
1
𝐷𝑎𝑏′
+⋯+ 𝑙𝑛
1
𝐷𝑎𝑛′
fase X
fase Y →Condutor de neutro corresponde ao retorno, logo, o sinal é negativo.
λ1,𝑃 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼1 ∙ 𝑙𝑛
1
𝑟1′
+ 𝐼2 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷12
+⋯+ 𝐼𝑛 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷1𝑛
◼ Dedução matemática:
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 47
Indutância de linhas com condutores compostos 
(mais de um fio por condutor)
λ𝑎 = 2 ∙ 10−7 ∙
𝐼
𝑛
𝑙𝑛
1
𝑟𝑎′
+ 𝑙𝑛
1
𝐷𝑎𝑏
+⋯+ 𝑙𝑛
1
𝐷𝑎𝑛
−2 ∙ 10−7 ∙
𝐼
𝑛′
𝑙𝑛
1
𝐷𝑎𝑎′
+ 𝑙𝑛
1
𝐷𝑎𝑏′
+⋯+ 𝑙𝑛
1
𝐷𝑎𝑛′
λ𝑎 = 2 ∙ 10−7 ∙
𝐼
𝑛
𝑙𝑛
1
𝑟𝑎′
∙
1
𝐷𝑎𝑏
∙ ⋯ ∙
1
𝐷𝑎𝑛
− 2 ∙ 10−7 ∙
𝐼
𝑛′
𝑙𝑛
1
𝐷𝑎𝑎′
∙
1
𝐷𝑎𝑏′
∙ ⋯ ∙
1
𝐷𝑎𝑛′
λ𝑎 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼 ∙ 𝑙𝑛
1
𝑟𝑎′
∙
1
𝐷𝑎𝑏
∙ ⋯ ∙
1
𝐷𝑎𝑛
1
𝑛
−2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷𝑎𝑎′
∙
1
𝐷𝑎𝑏′
∙ ⋯ ∙
1
𝐷𝑎𝑛′
1
𝑛′
λ𝑎 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼 ∙ 𝑙𝑛
1
𝑟𝑎′
∙
1
𝐷𝑎𝑏
∙ ⋯ ∙
1
𝐷𝑎𝑛
1
𝑛
1
𝐷𝑎𝑎′
∙
1
𝐷𝑎𝑏′
∙ ⋯ ∙
1
𝐷𝑎𝑛′
1
𝑛′
1
𝑎
1
𝑛
1
𝑏
1
𝑛′
=
1
𝑎
1
𝑛
∙
1
𝑏
−
1
𝑛′
=
1
𝑎
1
𝑛
∙
𝑏
1
1
𝑛′
=
𝑏
1
𝑛′
𝑎
1
𝑛
◼ A indutância do fio a (fase X) é:
◼ A indutância do fio b é:
(fase X)
◼ Para os outros fios da fase X é semelhante.
◼ A indutância da fase X é calculada verificando-se
que os fios a, b, . . . , n estão em paralelo:
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Indutância de linhas com condutores compostos 
(mais de um fio por condutor)
λ𝑎 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼 ∙ 𝑙𝑛
𝑛′ 𝐷𝑎𝑎′ ∙ 𝐷𝑎𝑏′ ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑎𝑛′
𝑛
𝑟𝑎′ ∙ 𝐷𝑎𝑏 ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑎𝑛
Τ𝑊𝑏 𝑚
Em geral: 𝑟𝑎
′ = 𝐷𝑎𝑎 = 0,7788 ∙ 𝑟𝑎
𝐿𝑎 =
λ𝑎
ൗ𝐼 𝑛
𝐿𝑎 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑛 ∙ 𝑙𝑛
𝑛′ 𝐷𝑎𝑎′ ∙ 𝐷𝑎𝑏′ ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑎𝑛′
𝑛
𝑟𝑎′ ∙ 𝐷𝑎𝑏 ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑎𝑛
Τ𝐻 𝑚
𝐿𝑏 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑛 ∙ 𝑙𝑛
𝑛′ 𝐷𝑏𝑎′ ∙ 𝐷𝑏𝑏′ ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑏𝑛′
𝑛 𝐷𝑏𝑎 ∙ 𝐷𝑏𝑏 ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑏𝑛
Τ𝐻 𝑚
𝐷𝑏𝑏 = 𝑟𝑏′
1
𝐿𝑋
=෍
𝑖=1
𝑛
1
𝐿𝑖
Fase X
◼ Utiliza-se também uma forma aproximada, que fornece
resultados suficientes e simplifica bastante as deduções.
Primeiro, calcula-se a indutância média da fase X:
◼ Assume-se agora que a fase X é composta por n fios de indutância 𝐿𝑚𝑒𝑑 em paralelo.
Portanto, a indutância da fase X vale:
◼ Esta expressão é mais conveniente pois, substituindo os valores de 𝐿𝑎, 𝐿𝑏, etc. Obtém-se:
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 49
Indutância de linhas com condutores compostos 
(mais de um fio por condutor)
𝐿𝑚𝑒𝑑 =
𝐿𝑎 + 𝐿𝑏 +⋯+ 𝐿𝑛
𝑛
𝐿𝑋 =
𝐿𝑚𝑒𝑑
𝑛
=
𝐿𝑎 + 𝐿𝑏 +⋯+ 𝐿𝑛
𝑛2
Τ𝐻 𝑚
𝐿𝑋 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝑛′∙𝑛
𝐷𝑎𝑎′ ∙ 𝐷𝑎𝑏′ ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑎𝑛′ 𝐷𝑏𝑎′ ∙ 𝐷𝑏𝑏′ ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑏𝑛′ ⋯ 𝐷𝑛𝑎′ ∙ 𝐷𝑛𝑏′ ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑛𝑛′
𝑛2
𝐷𝑎𝑎 ∙ 𝐷𝑎𝑏 ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑎𝑛 𝐷𝑏𝑎 ∙ 𝐷𝑏𝑏 ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑏𝑛 ⋯ 𝐷𝑛𝑎 ∙ 𝐷𝑛𝑏 ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑛𝑛
◼ Numerador (𝑫𝒎): produto das distâncias entre os fios da fase X e da fase Y
◼ Denominador (𝑫𝑺𝑿): produto das distâncias entre os fios da fase X
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Indutância de linhas com condutores compostos 
(mais de um fio por condutor)
𝐿𝑋 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝑛′∙𝑛
𝐷𝑎𝑎′ ∙ 𝐷𝑎𝑏′ ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑎𝑛′ 𝐷𝑏𝑎′ ∙ 𝐷𝑏𝑏′ ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑏𝑛′ ⋯ 𝐷𝑛𝑎′ ∙ 𝐷𝑛𝑏′ ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑛𝑛′
𝑛2
𝐷𝑎𝑎 ∙ 𝐷𝑎𝑏 ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑎𝑛 𝐷𝑏𝑎 ∙ 𝐷𝑏𝑏 ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑏𝑛 ⋯ 𝐷𝑛𝑎 ∙ 𝐷𝑛𝑏 ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑛𝑛
𝐿𝑋 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷𝑚
𝐷𝑆𝑋
Τ𝐻 𝑚
𝐷𝑚 =
𝑛′∙𝑛
𝐷𝑎𝑎′ ∙ 𝐷𝑎𝑏′ ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑎𝑛′ 𝐷𝑏𝑎′ ∙ 𝐷𝑏𝑏′ ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑏𝑛′ ⋯ 𝐷𝑛𝑎′ ∙ 𝐷𝑛𝑏′ ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑛𝑛′
𝐷𝑆𝑋 =
𝑛2
𝐷𝑎𝑎 ∙ 𝐷𝑎𝑏 ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑎𝑛 𝐷𝑏𝑎 ∙ 𝐷𝑏𝑏 ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑏𝑛 ⋯ 𝐷𝑛𝑎 ∙ 𝐷𝑛𝑏 ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑛𝑛
𝐷𝑚 = Distância Média Geométrica – DMG = Geometric Mean Distance – GMD = DMG mútua
𝐷𝑆𝑋 = Raio Médio Geométrico – RMG = Geometric Mean Radius – GMR = DMG própria da fase X
distância do fio a (fase X) 
até os outros fios fase Y
distância do fio b (fase X) 
até os outros fios fase Y
distância do fio n (fase X) 
até os outros fios fase Y
◼ Numerador (𝑫𝒎): produto das distancias dos fios da fase X e da fase Y
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Indutância de linhas com condutores compostos 
(mais de um fio por condutor)
𝐿𝑋 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷𝑚
𝐷𝑆𝑋
𝐷𝑚 =
𝑛′∙𝑛
𝐷𝑎𝑎′ ∙ 𝐷𝑎𝑏′ ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑎𝑛′ 𝐷𝑏𝑎′ ∙ 𝐷𝑏𝑏′ ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑏𝑛′ ⋯ 𝐷𝑛𝑎′ ∙ 𝐷𝑛𝑏′ ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑛𝑛′
O numerador é a raiz 𝑛′𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 de 𝑛′𝑛 termos que são os produtos das distâncias de todos 
os 𝑛 condutores do cabo/fase X a todos os 𝑛′ condutores do cabo/fase Y. Para cada condutor 
da fase X existem 𝑛′ distâncias aos condutores do cabo/fase Y, sendo que no cabo/fase X 
existem 𝑛 condutores. O produto das 𝑛′distâncias para cada um dos 𝑛 condutores resulta em 
𝑛′𝑛 termos. 
𝐷𝑚 = Distância Média Geométrica – DMG = Geometric Mean Distance – GMD = DMG mútua
Essa raiz é denominada de distância geométrica entre as fases 
X e Y, sendo designada por 𝐷𝑚 = DMG = DMG mútua entre as 
duas fases.
Exemplo Fig 2.9: 𝐷𝑀𝐺 = 4 𝐷1𝐷2𝐷3𝐷4
◼ Denominador (𝑫𝑺𝑿): produto das distâncias dos fios da fase X
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Indutância de linhas com condutores compostos 
(mais de um fio por condutor)
𝐿𝑋 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷𝑚
𝐷𝑆𝑋
𝐷𝑆𝑋 =
𝑛2
𝐷𝑎𝑎 ∙ 𝐷𝑎𝑏 ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑎𝑛 𝐷𝑏𝑎 ∙ 𝐷𝑏𝑏 ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑏𝑛 ⋯ 𝐷𝑛𝑎 ∙ 𝐷𝑛𝑏 ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑛𝑛
O denominador é a raiz 𝑛2 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 de 𝑛2 termos. Existem 𝑛 condutores e para cada um deles, 
𝑛 termos que consistem no produto do 𝑟′ de um condutor pelas distâncias dele a todos os 
demais no cabo/fase X e são, portanto, 𝑛2 termos. 
𝑟′ pode ser denominado de distância do condutor a ele mesmo, especialmente quando 
designado por 𝐷𝑎𝑎.
𝐷𝑆𝑋 = Raio Médio Geométrico – RMG = Geometric Mean Radius – GMR = DMG própria da fase X
Assim, os termos sob radical no denominador são descritos como o produto das distâncias de 
cada condutor a ele mesmo e a todos os outros. 
Essa raiz é denominada de DMG do próprio cabo/fase = Raio Geométrico RMG 
𝑟′ é a DMG própria do condutor (qualquer um deles).
◼ Em extra-alta tensão (EAT ou EHV), ocorre o efeito corona excessivamente
◼ Uma maneira de combater o efeito corona, é reduzir o gradiente de potencial, por meio do
aumento do diâmetro do condutor.
 Todavia, isso provoca custos maiores e problemas estruturais desnecessários.
 Uma solução, na prática, é o emprego de vários cabos por fase, com distâncias pequenas se
comparadas com o espaçamento entre fases (cabos múltiplos – Bundled Conductors)
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53
Condutores múltiplos por fase
Efeito Corona: descargas atmosféricas que se formam na superfície do condutor quando a intensidade do campo 
elétrico ultrapassa o limite de isolação do ar.
Consequências: luz, ruído audível, ruído de rádio(interferência em circuitos de comunicação), vibração do condutor, 
liberação de ozônio, aumento das perdas de potência (deve ser suprida pela fonte).
◼ Vantagens das linhas de cabos múltiplos:
 Reduzidas reatâncias, devido ao valor elevado da DMG própria (RMG=GMR)
 Menos gradiente de tensão, causando redução do efeito corona
◼ Aumentando a quantidade de cabos por fases, essas vantagens são mais evidentes.
◼ O espaçamento entre os cabos de uma fase constitui um fator importante para controle do
gradiente de tensão. Usualmente, o espaçamento entre os cabos de uma fase é da ordem
de 8 a 10 vezes o diâmetro do cabo (de 20 a 50 cm aproximadamente)
◼ O cálculo da reatância de linhas cabos múltiplos segue os princípios usuais da distância
média geométrica.
 Cada fase é tratada como um condutor composto, possuindo um número de condutores
componentes (fios encordoados) igual ao número de cabos por fase.
 A única diferença entre um cabo múltiplo e um condutor composto é que os componentes do cabo
múltiplo estão separados um do outro.
 A DMG mútua entre fases é tratada da mesma maneira que para as linhas com vários circuitos.
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54
Condutores múltiplos por fase
Feixe com 2 cabos 
encordoados
Feixe com 3 cabos 
encordoados
Feixe com 4 
cabos 
encordoados
◼ Indutância do condutor composto
(mais de um condutor por fase):
◼ Indutância do condutor simples
(um único condutor por fase):
◼ Indutância do condutor simples encordoado:
55
Indutância de linhas com condutores compostos 
(mais de um condutor por fase)
𝐿𝑋 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷𝑚
𝐷𝑆𝑋
Linha monofásica formada por condutores compostos (encordoados) 
em paralelo. Portanto, sua indutância será o fluxo total concatenado 
com o cabo, por unidade de corrente de linha
𝐿 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷
𝑟′
Linha monofásica formada por condutores sólidos e de seção circular
Tabela 
Comparativa
𝐿 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷
𝐷𝑆Linha monofásica formada por dois 
condutores simples encordoados
Condutor x Condutor y
𝐷𝑆𝑋= 𝐷𝑆
◼ A indutância da fase Y é obtida de maneira idêntica à da fase X e resulta em 𝐿𝑌 :
◼ A indutância da linha é dada por:
◼ Caso as fases X e Y sejam idênticas, tem-se:
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Indutância de linhas com condutores compostos 
(mais de um condutor por fase)
𝐿𝑌 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷𝑚
𝐷𝑆𝑌
Τ𝐻 𝑚
𝐿 = 𝐿𝑋 + 𝐿𝑌
𝐿 = 4 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷𝑚
𝐷𝑆
Τ𝐻 𝑚
𝐿𝑋 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷𝑚
𝐷𝑆𝑋
Em que 𝐷𝑆 = 𝐷𝑆𝑋 = 𝐷𝑆𝑌
Calcule a indutância da linha monofásica (constituída por
vários cabos condutores) apresentada ao lado:
1. Cálculo da DMG ( DMG mútua) entre os lados X e Y
2. Cálculo do RMG (DMG própria) do lado X
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Exemplo 3
𝐷𝑚 = 3∙2 𝐷𝑎𝑑 ∙ 𝐷𝑎𝑒 ∙ 𝐷𝑏𝑑 ∙ 𝐷𝑏𝑒 ∙ 𝐷𝑐𝑑 ∙ 𝐷𝑐𝑒
𝐷𝑎𝑑 = 9𝑚
𝐷𝑎𝑒 = 92 + 62 = 10,82𝑚
𝐷𝑏𝑑 = 92 + 62 = 10,82𝑚 𝐷𝑐𝑒 = 92 + 62 = 10,82𝑚
𝐷𝑐𝑑 = 92 + 122 = 15𝑚
𝐷𝑏𝑒 = 9𝑚
𝐷𝑚 =
6
9 ∙ 10,82 ∙ 10,82 ∙ 9 ∙ 15 ∙ 10,82 𝐷𝑚 = 10,745𝑚
𝐷𝑆𝑋 =
32 𝐷𝑎𝑎 ∙ 𝐷𝑎𝑏 ∙ 𝐷𝑎𝑐 ∙ 𝐷𝑏𝑎 ∙ 𝐷𝑏𝑏 ∙ 𝐷𝑏𝑐 ∙ 𝐷𝑐𝑎 ∙ 𝐷𝑐𝑏 ∙ 𝐷𝑐𝑐
𝐷𝑎𝑎 = 0,7788 ∙ 0,25 ∙ 10−2 𝐷𝑎𝑎 = 0,001947𝑚
𝐷𝑎𝑎 = 𝐷𝑏𝑏 = 𝐷𝑐𝑐
𝐷𝑎𝑐 = 𝐷𝑐𝑎 = 12𝑚
𝐷𝑎𝑏 = 𝐷𝑏𝑎 = 𝐷𝑐𝑏 = 𝐷𝑏𝑐 = 6𝑚
𝐷𝑆𝑋 =
9
0,001947 ∙ 6 ∙ 12 ∙ 6 ∙ 0,001947 ∙ 6 ∙ 12 ∙ 6 ∙ 0,001947 𝐷𝑆𝑋 = 0,481𝑚
3. Cálculo do RMG (DMG própria) do lado Y
4. Indutâncias dos lados X e Y
5. Indutância completa da linha por unidade de comprimento:
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 58
Exemplo 3
𝐷𝑆𝑌 =
22 𝐷𝑑𝑑 ∙ 𝐷𝑑𝑒 ∙ 𝐷𝑒𝑒 ∙ 𝐷𝑒𝑑
𝐷𝑑𝑑 = 𝐷𝑒𝑒 = 0,7788 ∙ 0,05
𝐷𝑆𝑌 =
4
0,003894 ∙ 6 ∙ 0,003894 ∙ 6
𝐷𝑑𝑑 = 𝐷𝑒𝑒 = 0,003894𝑚
𝐷𝑑𝑒 = 𝐷𝑒𝑑 = 6𝑚
𝐷𝑆𝑌 = 0,1529𝑚
𝐿𝑋 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷𝑚
𝐷𝑆𝑋
𝐿𝑌 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷𝑚
𝐷𝑆𝑌
= 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
10,745
0,481
𝐿𝑋 = 6,27 ∙ 10−7 Τ𝐻 𝑚
= 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
10,745
0,1529
𝐿𝑌 = 8,5048 ∙ 10−7 Τ𝐻 𝑚
𝐿 = 𝐿𝑋 + 𝐿𝑌 = 6,27 ∙ 10−7 + 8,5048 ∙ 10−7 𝐿 = 1,47 ∙ 10−6 Τ𝐻 𝑚
𝐿 = 1,47𝜇 Τ𝐻 𝑚
Calcule a indutância e a reatância por unidade de comprimento a 60 Hz da linha monofásica
apresentada na figura a seguir. Verifique que a DMG é praticamente igual à distância entre os
centros das fases quando esta é muito maior que as distâncias entre os condutores de uma
mesma fase.
◼ Cálculo conforme descrito no exemplo 4
1. Cálculo da DMG ( DMG mútua) entre os lados X e Y
2. Cálculo do RMG (DMG própria) do lado X
3. Cálculo do RMG (DMG própria) do lado Y
4. Indutâncias dos lados X e Y
5. Indutância completa da linha por unidade de comprimento
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Exemplo 4
Tente resolver dessa forma!
Gabarito:
𝐿 = 1,9409 𝜇 Τ𝐻 𝑚
𝑋𝐿 = 0,7317 𝑚 Τ𝐻 𝑚
◼ Existem tabelas com várias informações sobre os condutores: resistência, reatâncias,
RMG, etc.
◼ As tabelas fornecem a reatância para certas frequências, como 60Hz, ao invés da
indutância.
 A reatância de um condutor (simples ou composto) vale:
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Uso de Tabela
𝑋𝐿 = 2𝜋𝑓𝐿
𝐿 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷𝑚
𝐷𝑆𝑋
= 2𝜋𝑓 ∙ 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷𝑚
𝐷𝑆
1 𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎 = 1609 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
∙
Ω
1𝑚
∙
1609𝑚
1𝑚𝑖
𝑋𝐿 = 2,022 ∙ 10−3 ∙ 𝑓 ∙ 𝑙𝑛
𝐷𝑚
𝐷𝑆
Ω/𝑚𝑖
𝑋𝐿 = 2,022 ∙ 10−3 ∙ 𝑓 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷𝑆
+ 2,022 ∙ 10−3 ∙ 𝑓 ∙ 𝑙𝑛𝐷𝑚 Ω/𝑚𝑖
𝑋𝑎 𝑋𝑑
𝑿𝒂: reatância indutiva para espaçamento unitário
Exemplo, 1 pé se esta for a unidade utilizada
Depende da frequência e do raio do condutor
𝑿𝒅: fator de espaçamento da reatância indutiva
Depende da frequência e do espaçamento entre condutores
Determine a reatância indutiva por milha de uma linha monofásica com as seguintes
características:
frequência: 60 Hz
tipo dos cabos: Partridge
distância entre os centros dos cabos: 20 ft
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Exemplo 5
26 cabos de alumínio e 7 de aço
Lembrete: A área de 1 circular mil corresponde à área de um 
circular com diâmetro de um milésimo de polegada (10−3𝑖𝑛)
1𝐶𝑀 = 𝜋𝑟2= 𝜋
𝐷
2
2
= 𝜋
0,001
2
2
𝑖𝑛2 = 7,854 ∙ 10−7𝑖𝑛2
∴ 266800𝐶𝑀 = 266800 ∙ 7,854 ∙ 10−7 𝑖𝑛2 = 0,2095𝑖𝑛2
𝜋𝑟2 = 0,2095𝑖𝑛2 𝑟 =
0,2095
𝜋
= 0,2583𝑖𝑛
𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 2 ∙ 𝑟
𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 2 ∙ 0,2583𝑖𝑛 = 0,5165𝑖𝑛
Consultar arquivo Tabelas-de-condutores.pdf
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Exemplo 5
Diâmetro externo da tabela é maior que o calculado: 0,642in > 0,5165𝑖𝑛
A razão da diferença é que a área em CM fornecida na tabela refere-se à área de 
Alumínio e do Aço.
Portanto, o diâmetro calculado considera apenas o alumínio e o aço.
Todavia, o diâmetro externo da tabela inclui o espaçamento entre os condutores.
Raio calculado: 𝑟 = 0,2583𝑖𝑛
1 𝑖𝑛 = 0,0833𝑓𝑡
𝑟 = 0,2583 ∙ 0,0833𝑓𝑡 = 0,0215𝑓𝑡
GMR = DMG própria = RMG = 0,7788 ∙ 𝑟𝑎𝑖𝑜 GMR = 0,7788 ∙ 0,0215 = 0,01676𝑓𝑡
GMR da tabela ≠
GMR calculada
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Exemplo 5
GMR = DMG própria = RMG = 0,7788 ∙ 𝑟𝑎𝑖𝑜 GMR = 0,7788 ∙ 0,0215 = 0,01676𝑓𝑡
A razão para a diferença entre o RMG calculado e o RMG da tabela é que o RMG calculado como
0,7788 ∙ 0,0215 é definido considerando um condutor sólido. No entanto, o condutor Partridge é 
encordoado, e o RMG deve ser calculado por:
𝑅𝑀𝐺 = 26∙26 𝐷𝑎𝑎 ∙ 𝐷𝑎𝑏 ∙ 𝐷𝑎𝑐 ∙ ⋯
Utilizando os dados da tabela A.3, o RMG para o condutor é 𝐷𝑆 = 0,0217𝑓𝑡.
Pode-se utilizar diretamente a equação da indutância e obter a reatância por condutor:
Linha monofásica, portanto, são considerados a fase e o 
retorno como cabos idênticos. Então, a reatância total (𝑋𝑇): 𝑋𝑇 = 2 ∙ 𝑋 = 2 ∙ 0,8282 = 1,656Ω/𝑚𝑖≠
𝑋𝐿 = 2𝜋𝑓𝐿 = 2𝜋𝑓 ∙ 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷𝑚
𝐷𝑆
∙
Ω
1𝑚
∙
1609𝑚
1𝑚𝑖
𝑋𝐿 = 2,022 ∙ 10−3 ∙ 𝑓 ∙ 𝑙𝑛
𝐷𝑚
𝐷𝑆
Ω/𝑚𝑖
𝑋𝐿 = 2,022 ∙ 10−3 ∙ 𝑓 ∙ 𝑙𝑛
20
0,0217
𝑋𝐿 = 0,8282Ω/𝑚𝑖
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Exemplo 5 
Outra forma de resolver 
por meio das tabelas:
1) Da tabela A.3 a 
reatância indutiva para 
um pé de afastamento 
é 𝑋𝑎 = 0,465Ω/𝑚𝑖
2) Da tabela A.4, para um espaçamento de 
20ft, o fator de espaçamento é a reatância 
indutiva para um pé de afastamento é 
𝑋𝑑 = 0,3635Ω/𝑚𝑖
4) A reatância indutiva da linha (2 cabos):
𝑋𝑇 = 2 ∙ 𝑋 = 1,657Ω/𝑚𝑖
3) A reatância indutiva de um cabo será 
𝑋 = 𝑋𝑎 + 𝑋𝑑 = 0,8285Ω/𝑚𝑖
Uma linha monofásica de 2 km deve ser construída utilizando-se condutores ACSR Linnet. Por
motivos técnicos, a indutância total não deve exceder 4 mH. Obtenha o espaçamento máximo
entre condutores. Resolva o problema utilizando equações e tabelas, e compare os resultados.
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Exemplo Extra
𝜇𝑜 = 4𝜋 ∙ 10−7[𝐻/𝑚]
𝜇𝑟 = 1[𝐻/𝑚]
1 𝑝é = 0,3048𝑚
1𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎 = 1609,34 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
1 𝑝é = 12𝑝𝑜𝑙𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠
1 𝑓𝑡 = 1,894 ∙ 10−4 𝑚𝑖
1 𝑖𝑛 = 2,54𝑐𝑚
1 𝑝𝑜𝑙𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎 = 1𝑖𝑛 = 1′′
1 𝑝é = 1𝑓𝑡 = 1′
Relações úteis:
◼ Considere a linha trifásica, em que:
 os três condutores têm raios iguais, portanto o mesmo RMG, igual a 𝐷𝑆
 a distância entre condutores é 𝐷
 não há fio neutro ou o circuito é equilibrado, logo: 𝐼𝑎 + 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐 = 0
◼ Fluxo concatenado com o condutor da fase a
(há contribuições das três correntes):
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Indutância de uma linha trifásica com 
espaçamento simétrico
λ𝑎 = 2 ∙ 10−7 𝐼𝑎 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷𝑆
+ 𝐼𝑏 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷
+ 𝐼𝑐 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷
Sendo 𝐼𝑎 + 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐 = 0 ∴ 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐 = −𝐼𝑎
= 2 ∙ 10−7 𝐼𝑎 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷𝑆
+ 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷
λ𝑎 = 2 ∙ 10−7 𝐼𝑎 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷𝑆
− 𝐼𝑎 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷
= 2 ∙ 10−7 𝐼𝑎 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷𝑆
+ 𝐼𝑎 ∙ 𝑙𝑛𝐷
λ𝑎 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼𝑎 ∙ 𝑙𝑛
𝐷
𝐷𝑆
Τ𝑊𝑏 𝑚
◼ Indutância da fase a:
◼ Por simetria, para as outras fases tem-se 𝐿𝑏 = 𝐿𝑐 = 𝐿𝑎:
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Indutância de uma linha trifásica com 
espaçamento simétrico
λ𝑎 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼𝑎 ∙ 𝑙𝑛
𝐷
𝐷𝑆
𝐿𝑎 =
λ𝑎
𝐼𝑎
𝐿𝑎 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷
𝐷𝑆
Τ𝐻 𝑚
𝐿𝑏 = 𝐿𝑐 = 𝐿𝑎 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷
𝐷𝑆
Τ𝐻 𝑚
◼ Nesse caso, o fluxo concatenado e a indutância de cada fase são
diferentes, pois o circuito fica desequilibrado
◼ Como os cálculos com as linhas equilibradas são mais simples,
a seguinte análise será realizada no caso de linhas assimétricas:
 Para que o circuito se torne equilibrado, considera-se a realização da transposição, e a sua
indutância é definida como a média das indutâncias das fases
◼ Transposição: Troca de posições entre os condutores em intervalos regulares ao longo da
linha, de tal modo que cada condutor ocupe a posição original de cada um em distâncias
iguais. Com a transposição, verifica-se que cada em ocupa, em cada trecho, uma das três
possíveis posições distintas, resultando em um fluxo médio para cada condutor ao longo da
linha de transmissão.
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68
Indutância de uma linha trifásica com 
espaçamento assimétrico
Trecho 2 
Τ𝑙 3
Trecho 1 
Τ𝑙 3
Trecho 3 
Τ𝑙 3
◼ Fluxo concatenado com fase a, trecho 1:
◼ Fluxo concatenado com fase a, trecho 2:
◼ Fluxo concatenado com fase a, trecho 3:
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69
Indutância de uma linha trifásica com 
espaçamento assimétrico
λ𝑎1 = 2 ∙ 10−7 𝐼𝑎 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷𝑆
+ 𝐼𝑏 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷12
+ 𝐼𝑐 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷31
Distância 
entre a e b
Distância 
entre a e c
λ𝑎2 = 2 ∙ 10−7 𝐼𝑎 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷𝑆
+ 𝐼𝑏 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷23
+ 𝐼𝑐 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷12
λ𝑎3 = 2 ∙ 10−7 𝐼𝑎 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷𝑆
+ 𝐼𝑏 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷31
+ 𝐼𝑐 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷23
◼ Fluxo médio concatenado com fase a (considerando os três trechos):
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70
Indutância de uma linha trifásica com 
espaçamento assimétrico
=
2 ∙ 10−7
3
3𝐼𝑎 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷𝑆
+ 𝐼𝑏 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷12𝐷23𝐷31
+ 𝐼𝑐 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷12𝐷23𝐷31
λ𝑎 =
λ𝑎1 + λ𝑎2 + λ𝑎3
3
λ𝑎1 = 2 ∙ 10−7 𝐼𝑎 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷𝑆
+ 𝐼𝑏 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷12
+ 𝐼𝑐 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷31
λ𝑎2 = 2 ∙ 10−7 𝐼𝑎 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷𝑆
+ 𝐼𝑏 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷23
+ 𝐼𝑐 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷12
λ𝑎3 = 2 ∙ 10−7 𝐼𝑎 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷𝑆
+ 𝐼𝑏 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷31
+ 𝐼𝑐 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷23
λ𝑎 =
2 ∙ 10−7
3
3𝐼𝑎 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷𝑆
+ 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷12𝐷23𝐷31
Sendo 𝐼𝑎 + 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐 = 0 ∴ 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐 = −𝐼𝑎
◼ Indutância média por fase da linha trifásica com transposição:
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71
Indutância de uma linha trifásica com 
espaçamento assimétrico
λ𝑎 =
2 ∙ 10−7
3
3𝐼𝑎 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷𝑆
+ 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷12𝐷23𝐷31
=
2 ∙ 10−7
3
3𝐼𝑎 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷𝑆
− 𝐼𝑎 ∙ 𝑙𝑛
1
𝐷12𝐷23𝐷31
λ𝑎 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝐼𝑎 ∙ 𝑙𝑛
3 𝐷12𝐷23𝐷31
𝐷𝑆
Τ𝑊𝑏 𝑚
𝐿𝑎 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷𝑒𝑞
𝐷𝑆
Τ𝐻 𝑚
𝐷𝑒𝑞 =
3 𝐷12𝐷23𝐷31
Sendo 𝐷𝑒𝑞 o espaçamento equilátero 
equivalente da linha
Determine a reatância indutiva por fase a 60 Hz da linha trifásica
ao lado, composta por condutores ACSR Drake.
Pela tabela A.3, o RMG do condutor tipo Drake é 𝐷𝑆 = 0,03730′
O espaçamento equilátero da linha é:
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72
Exemplo 6
𝐷𝑒𝑞 =
3 𝐷12𝐷23𝐷31 =
3
20 ∙ 20 ∙ 38 = 24,7712′
𝐿 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷𝑒𝑞
𝐷𝑆
= 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
24,7712′
0,03730′
𝐿 = 1,3𝜇 𝐻/𝑚
A indutância por fase vale: A reatância por fase vale:
𝑋𝐿 = 2𝜋𝑓𝐿 = 2𝜋 ∙ 60 ∙ 1,3 ∙ 10−6
𝑋𝐿 = 0,49𝑚 Ω/𝑚
𝑋𝐿 =
0,49 ∙ 10−3Ω
1𝑚
∙
1𝑚
0,0006213𝑚𝑖
1 𝑚 = 0,0006213𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎 𝑋𝐿 = 0,7888 Ω/𝑚𝑖
Determine a reatância indutiva por fase a 60 Hz da linha trifásica
ao lado, composta por condutores ACSR Drake.
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73
Exemplo 6 – Resolução alternativa por 
meio das tabelas
Da tabela A.4:
Para 𝐷𝑒𝑞 = 24′ → 𝑋𝑑 = 0,3856Ω/𝑚𝑖
Para 𝐷𝑒𝑞 = 25′ → 𝑋𝑑 = 0,3906Ω/𝑚𝑖
𝑋𝑎 = 0,399 Ω/𝑚𝑖
O valor de 𝐷𝑒𝑞 é obtido por interpolação:
25′ − 24′
0,3906 − 0,3856
=
24,7712′ − 24′
𝑋𝑑 − 0,3856
𝑋𝑑 = 0,3895 Ω/𝑚𝑖
A reatância por fase vale:
𝑋𝐿 = 𝑋𝑎+𝑋𝑑= 0,3895 + 0,399 = 0,7885 Ω/𝑚𝑖
◼ Dois condutores:
◼ Três condutores:
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74
Condutores múltiplos por fase
𝐷𝑆𝑋 =
𝑛2
𝐷𝑎𝑎 ∙ 𝐷𝑎𝑏 ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑎𝑛 𝐷𝑏𝑎 ∙ 𝐷𝑏𝑏 ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑏𝑛 ⋯ 𝐷𝑛𝑎 ∙ 𝐷𝑛𝑏 ∙ ⋯ ∙ 𝐷𝑛𝑛
𝐷𝑆𝑋 = Raio Médio Geométrico – RMG = Geometric Mean Radius – GMR = DMG própria da fase X
𝐷𝑆
𝑏 =
22
𝐷𝑆 ∙ 𝑑 𝐷𝑆 ∙ 𝑑
𝐷𝑆 = raio do condutor (RMG) e d distância entre condutores
=
4
𝐷𝑆
2 ∙ 𝑑2 𝐷𝑆
𝑏 = 𝐷𝑆 ∙ 𝑑
𝐷𝑆
𝑏 =
32
𝐷𝑆 ∙ 𝑑 ∙ 𝑑 𝐷𝑆 ∙ 𝑑 ∙ 𝑑 𝐷𝑆 ∙ 𝑑 ∙ 𝑑
𝐷𝑆
𝑏 =
9
𝐷𝑆
3 ∙ 𝑑6 𝐷𝑆
𝑏 =
3
𝐷𝑆 ∙ 𝑑
2
𝐷𝑆
𝑏= raio próprio (RMG) do condutor múltiplo
◼ Quatro condutores:
◼ As equações da indutância e reatância são as mesmas, substituindo-se o 𝐷𝑆 (raio RMG do 
condutor simples) pelo 𝐷𝑆
𝑏 raio RMG do condutor múltiplo) 
◼ A corrente não é distribuída uniformemente entre os condutores da fase, pois reatâncias por 
fase não são iguais. Essa diferença é pequena e geralmente é desprezada
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75
Condutores múltiplos por fase
𝐷𝑆
𝑏 =
42
𝐷𝑆 ∙ 𝑑 ∙ 2𝑑 ∙ 𝑑 𝐷𝑆 ∙ 𝑑 ∙ 2𝑑 ∙ 𝑑 𝐷𝑆 ∙ 𝑑 ∙ 2𝑑 ∙ 𝑑 𝐷𝑆 ∙ 𝑑 ∙ 2𝑑 ∙ 𝑑
𝐷𝑆
𝑏 =
16
𝐷𝑆
4 ∙ 𝑑12 ∙ 22 𝐷𝑆
𝑏 = 1,09 ∙
4
𝐷𝑆 ∙ 𝑑
3
2𝑑
Determine a reatância da linha trifásicamostrada a seguir:
Condutor ACSR Pheasant
d = 45 cm
D = 8 m
Comprimento da linha = 160 km
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76
Exemplo 7
𝐷𝑆 = 0,0466′1 𝑝é (′) = 0,3048𝑚 𝐷𝑆 = 0,0466 ∙ 0,3048 = 0,0142𝑚
Como cada fase é composta por dois condutores, 
portanto, deve-se calcular o RMG do cabo: 𝐷𝑆
𝑏 =
4
𝐷𝑆
2 ∙ 𝑑2=
4
0,01422 ∙ 0,452 𝐷𝑆
𝑏 = 0,0799𝑚
Espaçamento equilátero equivalente para a configuração dada (DMG mútua) –
aproximação considerando-se apenas as distâncias entre os centros das fases:
𝐷𝑒𝑞 =
3
8 ∙ 8 ∙ 16 = 10,0794𝑚
Determine a reatância da linha trifásica mostrada a seguir:
Condutor ACSR Pheasant
d = 45 cm
D = 8 m
Comprimento da linha = 160 km
◼ O cálculo correto (mais detalhado) do espaçamento equilátero equivalente neste caso seria:
 Cálculo da DMG mútua de a para b
 Cálculo da DMG mútua de b para c
 Cálculo da DMG mútua de c para a
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77
Exemplo 7
𝐷𝑀𝐺𝑎𝑏 =
2∙2 𝐷𝑎𝑏 ∙ 𝐷𝑎𝑏′ ∙ 𝐷𝑎′𝑏 ∙ 𝐷𝑎′𝑏′ =
4 8 ∙ 8,45 ∙ (8 − 0,45) ∙ 8 = 7,9937𝑚
𝐷𝑀𝐺𝑏𝑐 =
2∙2 𝐷𝑏𝑐 ∙ 𝐷𝑏𝑐′ ∙ 𝐷𝑏′𝑐 ∙ 𝐷𝑏′𝑐′ =
4 8 ∙ 8,45 ∙ (8 − 0,45) ∙ 8 = 7,9937𝑚
𝐷𝑀𝐺𝑎𝑐 =
2∙2 𝐷𝑎𝑐 ∙ 𝐷𝑎𝑐′ ∙ 𝐷𝑎′𝑐 ∙ 𝐷𝑎′𝑐′ =
4 16 ∙ 16,45 ∙ (16 − 0,45) ∙ 16 = 15,9968𝑚
Determine a reatância da linha trifásica mostrada a seguir:
Condutor ACSR Pheasant
d = 45 cm
D = 8 m
Comprimento da linha = 160 km
◼ Cálculo mais detalhado do espaçamento equilátero equivalente:
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78
Exemplo 7
𝐷𝑒𝑞 =
3 𝐷𝑀𝐺𝑎𝑏 ∙ 𝐷𝑀𝐺𝑏𝑐 ∙ 𝐷𝑀𝐺𝑎𝑐 =
3
7,9937 ∙ 7,9937 ∙ 15,9968 = 10,0734𝑚
Resultado anterior: 𝐷𝑒𝑞 = 10,0794𝑚
Praticamente o mesmo resultado anterior. Logo, o cálculo simplificado de 𝐷𝑒𝑞 fornece resultados 
suficientemente próximos do cálculo mais detalhado.
A reatância por metro por fase vale:
𝑋𝐿 = 2𝜋𝑓 ∙ 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷𝑒𝑞
𝐷𝑆
𝑋𝐿 = 2𝜋 ∙ 60 ∙ 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
10,0794
0,0799
𝑋𝐿 = 0,3647𝑚 Ω/𝑚
Precisa multiplicar por 2? Não!
O sistema está equilibrado, logo, não há passagem 
de corrente no neutro (retorno). Por isso não é 
necessário considerar a indutância do neutro.
Como a linha tem 160km, a reatância total por 
fase da linha é: 𝑋𝑇 = 𝑋𝐿 ∙ 160000 = 58,35 Ω
◼ Duas linhas trifásicas idênticas em paralelo
possuem a mesma reatância indutiva.
◼ A reatância equivalente será igual à metade de cada reatância individual, desde
que a distância entre as linhas seja tão grande que a indutância mútua entre
elas possa ser desprezada
◼ Se a distância entre as linhas trifásicas não puder ser desprezada, por exemplo
em linhas trifásicas paralelas ou na mesma torre (circuito duplo), haverá
indutância mútua entre os circuitos, que deverá ser considerada.
◼ O método de cálculo é semelhante ao que foi apresentado anteriormente.
Considera-se que haja a transposição, resultando em cálculos mais simples e
resultados suficientemente precisos.
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79
Linhas trifásicas de circuitos em paralelo
Uma linha trifásica de circuito duplo é constituída de condutores ACSR 26/7 tipo Ostrich
de 300.000 CM dispostos de acordo com a figura a seguir. Determine a reatância
indutiva por fase a 60Hz em Ω/mi.
◼ Cálculo do espaçamento equilátero equivalente neste caso seria:
 Cálculo da DMG mútua de a para b
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80
Exemplo 8
Pela tabela A.3, o RMG do condutor do tipo Ostrich é GMR = 0,0229′
Considerando que a linha é transposta, calcula-se a reatância 
indutiva de cada trecho, e a reatância indutiva da linha será a 
média das reatâncias dos trechos. Para o trecho 1, tem-se:
𝐷𝑎𝑏 = 102 + 1,52 = 10,1′
1,5’
𝐷𝑎𝑏 = 𝐷𝑏𝑐=𝐷𝑏′𝑐′=𝐷𝑎′𝑏′
𝐷𝑐𝑐′ = 182 + 202 = 26,9′
𝐷𝑎′𝑏 = 18 + 1,5 2 + 102 = 21,9′
𝐷𝑀𝐺𝑎𝑏 =
2∙2 𝐷𝑎𝑏 ∙ 𝐷𝑎𝑏′ ∙ 𝐷𝑎′𝑏 ∙ 𝐷𝑎′𝑏′=
4
10,1 ∙ 21,9 ∙ 21,9 ∙ 10,1 = 14,88′
 Cálculo da DMG mútua de b para c
 Cálculo da DMG mútua de c para a
◼ O espaçamento equilátero equivalente é:
◼ Cálculo da RMG:
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81
Exemplo 8
𝐷𝑎𝑏 = 10,1′
1,5’
𝐷𝑎𝑏 = 𝐷𝑏𝑐=𝐷𝑏′𝑐′=𝐷𝑎′𝑏′
𝐷𝑐𝑐′ = 26,9′
𝐷𝑎′𝑏 = 21,9′
𝐷𝑀𝐺𝑏𝑐 =
2∙2 𝐷𝑏𝑐 ∙ 𝐷𝑏𝑐′ ∙ 𝐷𝑏′𝑐 ∙ 𝐷𝑏′𝑐′ =
4
10,1 ∙ 21,9 ∙ 21,9 ∙ 10,1
𝐷𝑀𝐺𝑎𝑐 =
2∙2 𝐷𝑎𝑐 ∙ 𝐷𝑎𝑐′ ∙ 𝐷𝑎′𝑐 ∙ 𝐷𝑎′𝑐′ =
4
20 ∙ 18 ∙ 18 ∙ 20
𝐷𝑀𝐺𝑏𝑐 = 14,88′ Igual a 𝐷𝑎𝑏
𝐷𝑀𝐺𝑐𝑎 = 18,97′
𝐷𝑒𝑞 =
3 𝐷𝑀𝐺𝑎𝑏 ∙ 𝐷𝑀𝐺𝑏𝑐 ∙ 𝐷𝑀𝐺𝑐𝑎 =
3
14,88 ∙ 14,88 ∙ 18,97 = 16,1′
𝑅𝑀𝐺𝑎 =
2 𝐷𝑎𝑎 ∙ 𝐷𝑎𝑎′ = 𝐷𝑆 ∙ 𝐷𝑎𝑎′ = 0,0229 ∙ 26,9= 0,785′
𝑅𝑀𝐺𝑏 =
2 𝐷𝑏𝑏 ∙ 𝐷𝑏𝑏′ = 0,0229 ∙ 21 = 0,6935′
𝑅𝑀𝐺𝑐 =
2 𝐷𝑐𝑐 ∙ 𝐷𝑐𝑐′ = 0,0229 ∙ 26,9 = 0,785′
𝑅𝑀𝐺 = 𝑅𝑀𝐺𝑎 ∙ 𝑅𝑀𝐺𝑏 ∙ 𝑅𝑀𝐺𝑐
1
3 =
3
0,785 ∙ 0,6935 ∙ 0,785= 0,753′
◼ A indutância do trecho 1 vale:
◼ A reatância do trecho 1 é:
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82
Exemplo 8
𝐿1 = 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
𝐷𝑒𝑞
𝐷𝑆
= 2 ∙ 10−7 ∙ 𝑙𝑛
16,1′
0,753′
𝑋𝐿1 = 2𝜋𝑓𝐿1 = 2𝜋 ∙ 60 ∙ 6,12 ∙ 10−7
𝐷𝑒𝑞 = 16,1′ 𝑅𝑀𝐺 = 0,753′
= 6,12 ∙ 10−7 𝐻/𝑚
= 2,3 ∙ 10−4 Ω/𝑚
Para o trecho 2, a configuração dos cabos é:
c
a
b
b’
a'
c'
Para o trecho 3, a configuração dos cabos é:
b
c
a
a’
c'
b'
Faça os cálculos para os trechos 2 e 3, 
conforme foi descrito para o trecho 1, 
determinando:
𝑋𝐿2 = 2,3 ∙ 10−4 Ω/𝑚
𝑋𝐿3 = 2,3 ∙ 10−4 Ω/𝑚
Como as reatâncias dos três trechos da transposição são iguais, a reatância indutiva equivalente das linhas 
em paralelo, definida como média das reatâncias dos três trechos, é igual a reatância de cada trecho
𝑋𝐿 = 2,3 ∙ 10−4 Ω/𝑚
Dúvidas?
Obrigada pelo interesse!
Até a próxima aula!
Escola de Engenharia Elétrica, 
Mecânica e Computação
Universidade 
Federal de Goiás
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	Slide 13: Fluxo Concatenado com UM Condutor
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	Slide 23: Indutância de um condutor – Indutância devido ao fluxo externo
	Slide 24: Indutância de um condutor – Indutância devido ao fluxo externo
	Slide 25: Indutância de uma linha monofásica a dois fios 
	Slide 26: Indutância de uma linha monofásica a dois fios – Indutância externa entre os condutores produzida pelo condutor 1
	Slide 27: Indutância de uma linha monofásica a dois fios – Indutância externa entre os condutores produzida pelo condutor 1
	Slide 28: Indutância de uma linha monofásica a dois fios – Indutância externa entre os condutores produzida pelo condutor 1
	Slide 29: Indutância de uma linha monofásica a dois fios – Indutância externa entre os condutores produzida pelo condutor 1
	Slide 30: Indutância de uma linha monofásica a dois fios – Indutância externa entreos condutores produzida pelo condutor 1
	Slide 31: Indutância de uma linha monofásica a dois fios – Indutância interna entre os condutores produzida pelo condutor 1
	Slide 32: Indutância de uma linha monofásica a dois fios – Indutância externa entre os condutores produzida pelo condutor 1
	Slide 33: Indutância de uma linha monofásica a dois fios
	Slide 34: Indutância de uma linha monofásica a dois fios
	Slide 35: Exemplo 1
	Slide 36: Exemplo 2
	Slide 37: Exemplo 2
	Slide 38: Exemplo 2
	Slide 39: Fluxo concatenado por um fluxo de condutores
	Slide 40: Fluxo concatenado por um grupo de condutores
	Slide 41: Fluxo concatenado por um fluxo de condutores
	Slide 42: Fluxo concatenado por um fluxo de condutores
	Slide 43: Fluxo concatenado por um fluxo de condutores
	Slide 44: Fluxo concatenado por um fluxo de condutores
	Slide 45: Indutância de linhas com condutores compostos (mais de um fio por condutor)
	Slide 46: Indutância de linhas com condutores compostos (mais de um fio por condutor)
	Slide 47: Indutância de linhas com condutores compostos (mais de um fio por condutor)
	Slide 48: Indutância de linhas com condutores compostos (mais de um fio por condutor)
	Slide 49: Indutância de linhas com condutores compostos (mais de um fio por condutor)
	Slide 50: Indutância de linhas com condutores compostos (mais de um fio por condutor)
	Slide 51: Indutância de linhas com condutores compostos (mais de um fio por condutor)
	Slide 52: Indutância de linhas com condutores compostos (mais de um fio por condutor)
	Slide 53: Condutores múltiplos por fase
	Slide 54: Condutores múltiplos por fase
	Slide 55: Indutância de linhas com condutores compostos (mais de um condutor por fase)
	Slide 56: Indutância de linhas com condutores compostos (mais de um condutor por fase)
	Slide 57: Exemplo 3
	Slide 58: Exemplo 3
	Slide 59: Exemplo 4
	Slide 60: Uso de Tabela
	Slide 61: Exemplo 5
	Slide 62: Exemplo 5
	Slide 63: Exemplo 5
	Slide 64: Exemplo 5 
	Slide 65: Exemplo Extra
	Slide 66: Indutância de uma linha trifásica com espaçamento simétrico
	Slide 67: Indutância de uma linha trifásica com espaçamento simétrico
	Slide 68: Indutância de uma linha trifásica com espaçamento assimétrico
	Slide 69: Indutância de uma linha trifásica com espaçamento assimétrico
	Slide 70: Indutância de uma linha trifásica com espaçamento assimétrico
	Slide 71: Indutância de uma linha trifásica com espaçamento assimétrico
	Slide 72: Exemplo 6
	Slide 73: Exemplo 6 – Resolução alternativa por meio das tabelas
	Slide 74: Condutores múltiplos por fase
	Slide 75: Condutores múltiplos por fase
	Slide 76: Exemplo 7
	Slide 77: Exemplo 7
	Slide 78: Exemplo 7
	Slide 79: Linhas trifásicas de circuitos em paralelo
	Slide 80: Exemplo 8
	Slide 81: Exemplo 8
	Slide 82: Exemplo 8
	Slide 83: Dúvidas?