Transmissão de Energia Elétrica

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Transmissão de Energia Elétrica
Profª. Maria Leonor Silva de Almeida
Goiânia, 
Semestre Letivo 2024-2
Escola de Engenharia Elétrica, 
Mecânica e Computação
Universidade 
Federal de Goiás
Nesta aula
◼ Capacitância e reatância capacitiva
 Conceitos e relações fundamentais
 Capacitância de uma linha monofásica a dois fios
 Capacitância de uma linha trifásica com espaçamento simétrico
 Capacitância de uma linha trifásica com espaçamento assimétrico
 Capacitância de linhas trifásicas com mais de um condutor por fase
 Capacitância de linhas trifásicas com circuitos paralelos
◼ Resistência 
 Conceitos e relações fundamentais
 Resistência em cc e em ca (efeitos pelicular e de proximidade)
 Densidade de corrente em um condutor cilíndrico considerando o efeito pelicular
 Impedância interna de um condutor cilíndrico
 Relação entre as resistências em ca e em cc de um condutor cilíndrico
 Relação entre as indutâncias em ca e em cc de um condutor cilíndrico
 Impedância equivalente de uma linha monofásica com retorno pela terra
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Capacitância de linhas bifásica
◼ A diferença de potencial entre os condutores de uma linha transmissão faz com que se 
carreguem da mesma maneira que as placas de um capacitor, quando entre elas existe 
uma diferença de potencial.
 A capacitância entre os condutores é a carga por unidade de diferença de potencial. 
 A capacitância entre os condutores paralelos é constante, depende da seção e da distância entre 
eles. 
◼ Analisa-se, primeiro, o cálculo de capacitância de linhas de transmissão sem considerar o 
efeito do solo.
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Capacitância de linhas bifásicas
◼ A aplicação de uma tensão alternada a uma linha faz com que, em qualquer ponto dos seus 
condutores, a carga aumente e diminua, com aumento e diminuição do valor instantâneo da 
tensão entre seus condutores, no ponto considerado. 
 Como existem cargas em movimento (fluxo de carga - 𝑄) e diferença 
de potencial (𝑉) entre condutores, então tem-se uma capacitância (𝐶)
 Corrente capacitiva da linha é uma corrente, correspondente ao fluxo de carga, causada pela carga e 
descarga de uma linha devido à tensão alternada
 Essa corrente capacitiva existe até mesmo quando 
a linha está em vazio e ela afeta a queda de tensão ao
longo da linha, seu rendimento e seu fator de potência, 
bem como a estabilidade do sistema, do qual ela faz 
parte.
◼ Com a capacitância, obtém-se uma relação entre 
tensão e corrente dada pela admitância capacitiva 
da linha.
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𝐶 =
𝑄
𝑉
ൗ𝐹 𝑚
𝐼 = 𝑗𝜔𝐶𝑉
Campo elétrico em um condutor cilíndrico isolado
◼ Considere um condutor cilíndrico, com raio 𝑅, com carga uniforme, longo e perfeito, isolado 
no espaço, carregado com densidade de carga 𝑄, por unidade de comprimento 
(resistividade 𝜌 = 0)
◼ Os pontos equidistantes do condutor (linha tracejada) são equipotenciais. Elas apresentam 
a mesma intensidade de campo elétrico, tal que possuem mesma densidade de fluxo.
◼ A intensidade de campo elétrico no interior do condutor pode ser considerada nula. 
Considere a lei de Ohm (eletrostática):
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𝑥
𝑅
Superfície equipotencial, de raio 𝑥
Linhas de campo elétrico: 
“o campo elétrico é radial”
𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝜌 ∙ 𝐽
𝐽: Densidade de corrente
𝜌: Resistividade do condutor →Como o condutor é perfeito, 𝜌 = 0. Logo, 𝐸𝑖𝑛𝑡 = 0
Os elétrons no interior do condutor tenderiam a se repelir até a superfície do condutor, onde encontrariam um meio isolante.
Campo elétrico em um condutor cilíndrico isolado
◼ O cálculo da intensidade de campo elétrico a uma certa distância 𝑥
do condutor é realizado utilizando a lei de Gauss: 
◼ Para a solução da equação de Gauss, considera-se uma superfície gaussiana, cilíndrica, 
concêntrica ao condutor e de raio igual a 𝑥:
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𝜀 ර
𝑆
𝐸𝑑𝑆 = 𝑄
→ 𝜀𝑜 é a permissividade do vácuo, 
equivalente a 8,85·10−12 F/m.
𝜀 = 𝜀𝑜 ∙ 𝜀𝑟
→ 𝜀𝑟 é a permissividade relativa do meio, sendo que para o 
ar seco vale 1,00054 e é normalmente aproximada para 1.
→ 𝐸 é a intensidade de campo elétrico
→ 𝑆 é a superfície gaussiana
→ 𝑄 é a carga total contida em 𝑆
𝑥
+𝑄
Campo elétrico em um condutor cilíndrico isolado
◼ Tomando uma faixa da superfície gaussiana de comprimento diferencial 𝑑𝑙 a equação fica:
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+𝑄
𝜀 න
𝑙
𝐸 ∙ 2𝜋𝑥 ∙ 𝑑𝑙 = 𝑄
Integrando e considerando que a faixa tem área 2𝜋𝑥 ∙ 𝑑𝑙
𝜀 ∙ 𝐸 ∙ 2𝜋𝑥 ∙ 𝑙 = 𝑄 𝐸 =
𝑄
2𝜋𝑥 ∙ 𝜀 ∙ 𝑙
ൗ𝑉 𝑚
Considerando a carga por 
unidade de comprimento 𝑞 =
𝑄
𝑙
𝐸 =
𝑞
2𝜋𝑥 ∙ 𝜀
ൗ𝑉 𝑚
Diferença de potencial entre dois pontos no espaço
◼ Fazendo uma analogia mecânica
diferença de potencial trabalho
campo elétrico força
◼ Caso particular – diferença de potencial (ddp) entre os pontos 𝑎 e 𝑏:
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A diferença de potencial representa o trabalho para mover uma 
carga unitária (1 C) entre dois pontos.
𝑉12 = 𝑉1 − 𝑉2
𝐸 =
𝑞
2𝜋𝑥 ∙ 𝜀
= න
𝐷1
𝐷2 𝑞
2𝜋𝑥 ∙ 𝜀
∙ 𝑑𝑥= න
𝐷1
𝐷2
𝐸𝑑𝑥
𝑉12 =
𝑞
2𝜋 ∙ 𝜀
𝑙𝑛
𝐷2
𝐷1
𝑉
=
𝑞
2𝜋 ∙ 𝜀
න
𝐷1
𝐷2 𝑑𝑥
𝑥
Considerando o ponto 𝑎 na superfície do 
condutor e que 𝐷 ≫ 𝑟, tem-se:
𝑉𝑎𝑏 =
𝑞
2𝜋𝜀
𝑙𝑛
𝐷
𝑟
𝑉
𝑟: Distância da carga 𝑞 ao pto 𝑎.
𝐷: Distância da carga 𝑞 ao pto 𝑏.
Diferença de potencial entre dois condutores
◼ A diferença de potencial entre os dois condutores é obtida 
usando-se o princípio da superposição
◼ Considera-se que:
 o campo interno ao condutor seja desprezível 
 a diferença de potencial total deve-se às contribuições de 𝑞𝑎 e 𝑞𝑏
 𝐷 ≫ 𝑟𝑎 e 𝐷 ≫ 𝑟𝑏, tal um observador em um condutor enxerga 
o outro condutor como um ponto
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+
Princípio da 
Superposição
𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎𝑏
𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑞𝑎 + 𝑉𝑎𝑏
𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑞𝑏
𝑉𝑎𝑏 =
𝑞
2𝜋𝜀
𝑙𝑛
𝐷
𝑟
𝑉𝑎𝑏 =
𝑞𝑎
2𝜋𝜀
𝑙𝑛
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑞𝑎 𝑎𝑜 𝑝𝑡𝑜 𝑏
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑞𝑎 𝑎𝑜 𝑝𝑡𝑜 𝑎
+
𝑞𝑏
2𝜋𝜀
𝑙𝑛
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑞𝑏 𝑎𝑜 𝑝𝑡𝑜 𝑏
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑞𝑏 𝑎𝑜 𝑝𝑡𝑜 𝑎
Lembrete, considerando carga 𝑞:
𝑟: Distância da carga 𝑞 ao pto 𝑎.
𝐷: Distância da carga 𝑞 ao pto 𝑏.
Ddp devido a 𝑞𝑏: referência no centro 
do condutor 𝑏, tal que o caminho de 
integração é de 𝑎 para 𝑏 (𝐷 para 𝑟𝑏).
Ddp devido a 𝑞𝑎: referência no centro 
do condutor 𝑎, tal que o caminho de 
integração é de 𝑎 para 𝑏 ( 𝑟𝑎 para 𝐷).
𝑉𝑎𝑏 =
𝑞𝑎
2𝜋𝜀
𝑙𝑛
𝐷
𝑟𝑎
+
𝑞𝑏
2𝜋𝜀
𝑙𝑛
𝑟𝑏
𝐷
𝑉𝑎𝑏 =
1
2𝜋𝜀
𝑞𝑎 ∙ 𝑙𝑛
𝐷
𝑟𝑎
+ 𝑞𝑏 ∙ 𝑙𝑛
𝑟𝑏
𝐷
𝑉
Capacitância de uma linha monofásica
◼ Considere uma linha para a qual:
 os raios dos condutores são iguais: 𝑟𝑎 = 𝑟𝑏 = 𝑟
 𝑞𝑎 = 𝑞𝑏 = 𝑞
◼ Aplicando o princípio da superposição, a diferença 
de potencial entre os dois condutores será:
◼ Utilizando a definição de capacitância e assumindo que para o ar tem-se:
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𝑉𝑎𝑏 =
𝑞
2𝜋𝜀
𝑙𝑛
𝐷
𝑟
−
𝑞
2𝜋𝜀
𝑙𝑛
𝑟
𝐷
Diferença de potencial entre os condutores a e b, 
devido apenas a carga do condutor b (−𝑞).
Diferença de potencial entre os condutores a e b, 
devido apenas a carga do condutor a (𝑞).
=
𝑞
2𝜋𝜀
𝑙𝑛
𝐷
𝑟
2
𝑉𝑎𝑏 =
𝑞
𝜋𝜀
𝑙𝑛
𝐷
𝑟
𝑉
𝜀 = 𝜀0 ∙ 𝜀𝑟
𝐶𝑎𝑏 =
𝑞
𝑉𝑎𝑏
ൗ𝐹 𝑚
𝐶𝑎𝑏 =
𝜋𝜀0
𝑙𝑛𝐷
𝑟
ൗ𝐹 𝑚 𝐶𝑎𝑏 =
8,85 ∙ 10−12 ∙ 𝜋
𝑙𝑛
𝐷
𝑟
ൗ𝐹 𝑚
𝜀𝑟 = 1 ൗ𝐹 𝑚
𝜀𝑜 = 8,85 ∙ 10−12 ൗ𝐹 𝑚
a
b
-
Capacitância de uma linha monofásica
◼ Considere a seguinte situação:
◼ A capacitância entre cada condutor e a terra vale:
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Esse circuito pode ser representado por:
𝐶𝑎𝑛 =
2𝜋𝜀0
𝑙𝑛
𝐷
𝑟
=
17,7𝜋 ∙ 10−12
𝑙𝑛
𝐷
𝑟
ൗ𝐹 𝑚
𝜀𝑜 = 8,85 ∙ 10−12 ൗ𝐹 𝑚
2𝐶𝑎𝑏 em série com 2𝐶𝑎𝑏, tem-se: 2𝐶𝑎𝑏//2𝐶𝑎𝑏=𝐶𝑎𝑏
𝐶𝑎𝑏 =
𝜋𝜀0
𝑙𝑛
𝐷
𝑟
𝐶𝑎𝑛 = 𝐶𝑏𝑛 = 2𝐶𝑎𝑏
Capacitância de uma linha monofásica
◼ A reatância capacitiva fase-terra é dada por:
◼ Da mesma forma que para as reatâncias indutivas, a expressão da reatância capacitiva 
fase-terra pode ser escrita como:
◼ 𝑟 é o raio externo do condutor (se for encordoado, é uma aproximação que resulta em erros 
desprezíveis). O valor de 𝑟 é obtido na tabela de dados dos condutores.
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𝐶𝑎𝑛 =
2𝜋𝜀0
𝑙𝑛
𝐷
𝑟
=
17,7𝜋 ∙ 10−12
𝑙𝑛
𝐷
𝑟
ൗ𝐹 𝑚
𝑋𝐶𝑎𝑛 =
1
2𝜋𝑓 ∙ 𝐶𝑎𝑛
𝑋𝐶𝑎𝑛 =
2,8622
𝑓
109 ∙ 𝑙𝑛
𝐷
𝑟
Ω ∙ 𝑚 𝑂𝑈 𝑋𝐶𝑎𝑛 =
1,7789
𝑓
106 ∙ 𝑙𝑛
𝐷
𝑟
Ω ∙ 𝑚𝑖
𝑋𝐶𝑎𝑛 =
1,7789
𝑓
106 ∙ 𝑙𝑛
1
𝑟
+
1,7789
𝑓
106 ∙ 𝑙𝑛𝐷
𝑋𝑎
′ 𝑋𝑑
′
𝑋𝐶𝑎𝑛 = 𝑋𝑎
′ + 𝑋𝑑
′
Reatância capacitiva para um pé de afastamento
Fator de afastamento Esses valores são tabelados:
𝑋𝑎
′: tabela A.3
𝑋𝑑
′: tabela A.5
Exemplo 1
Determine a capacitância, reatância capacitiva e susceptância capacitiva (fase-terra) por milha de 
uma linha monofásica que opera a 60 Hz. O condutor é o Partridge e o espaçamento entre centros 
dos condutores é de 20 ft. Para o condutor especificado, o diâmetro externo é de 0,64200in.
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1 𝑝𝑜𝑙𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎 = 1𝑖𝑛 = 1′′
Para o condutor especificado, o diâmetro externo é de 0,642’’.
1 𝑝é = 1𝑓𝑡 = 1′ 1 𝑝é = 12𝑝𝑜𝑙𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠
Raio externo é:
𝑟 =
0,642′′
2
∙
1′
12′′
= 0,0268′
Capacitância entre condutores:
𝐶𝑎𝑏 =
𝜋𝜀0
𝑙𝑛
𝐷
𝑟
𝜀𝑜 = 8,85 ∙ 10−12 ൗ𝐹 𝑚 1 𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎 = 1609,34𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
𝐶𝑎𝑏 = 4,2030 ∙ 10−12
𝐹
𝑚
∙
1609,34𝑚
1𝑚𝑖
𝐶𝑎𝑏 = 6,764 ∙ 10−9 ൗ𝐹 𝑚𝑖
=
𝜋 ∙ 8,85 ∙ 10−12
𝑙𝑛
20
0,0268
= 4,2030 ∙ 10−12 ൗ𝐹 𝑚
Exemplo 1
Determine a capacitância, reatância capacitiva e susceptância capacitiva (fase-terra) por milha de 
uma linha monofásica que opera a 60 Hz. O condutor é o Partridge e o espaçamento entre centros 
dos condutores é de 20 ft. Para o condutor especificado, o diâmetro externo é de 0,64200.
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A reatância capacitiva fase-terra é:
A capacitância fase-terra é: 𝐶𝑎𝑛 = 𝐶𝑏𝑛 = 2𝐶𝑎𝑏 𝐶𝑎𝑛 = 𝐶𝑏𝑛 = 2 ∙ 6,764 ∙ 10−9
𝐶𝑎𝑛 = 𝐶𝑏𝑛 = 1,3528 ∙ 10−8 ൗ𝐹 𝑚𝑖
𝑋𝐶𝑎𝑛 =
1
2𝜋𝑓 ∙ 𝐶𝑎𝑛
= 0,196𝑀 Ω ∙ 𝑚𝑖=
1
2𝜋 ∙ 60 ∙ 1,3528 ∙ 10−8
Susceptância capacitiva fase terra é: 𝐵𝐶 =
1
𝑋𝐶𝑎𝑛
= 5,099 ∙ 10−6 𝑆/𝑚𝑖
Determine a capacitância, reatância capacitiva e susceptância capacitiva (fase-terra) por milha de 
uma linha monofásica que opera a 60 Hz. O condutor é o Partridge e o espaçamento entre centros 
dos condutores é de 20 ft. Para o condutor especificado, o diâmetro externo é de 0,64200in.
Exemplo 1
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Resolução por 
meio dos dados 
das Tabelas:
𝑋𝐶𝑎𝑛 = 𝑋𝑎
′ + 𝑋𝑑
′
Da tabela A.3, 
𝑋𝑎
′ = 0,1074𝑀 Ω ∙ 𝑚𝑖
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
Da tabela A.5, 𝑋𝑑
′ = 0,0889𝑀 Ω ∙ 𝑚𝑖
A reatância capacitiva fase-terra, com 
base nos dados das tabelas, é:
𝑋𝐶𝑎𝑛 = 0,1074𝑀 + 0,0889𝑀
𝑋𝐶𝑎𝑛 = 0,1963𝑀 Ω ∙ 𝑚𝑖
Capacitância de uma linha monofásica
◼ Normalmente, objetiva-se determinar a capacitância fase-neutro. Para tanto, considera-se a 
capacitância entre dois condutores 1 e 2 como a composição série de duas capacitâncias 
iguais dos condutores para o neutro (ponto n considerado com potencial de zero). 
◼ Essa corrente capacitiva 𝐼 ocorre nas linhas de transmissão, quando aplica-se tensão em 
seus terminais, sendo essa operação conhecida na prática como energização da linha. 
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𝐶𝑓𝑛 = 𝐶1𝑛 = 𝐶2𝑛 = 2𝐶12 =
2𝜋𝜀0
𝑙𝑛
𝐷
𝑟
ൗ𝐹 𝑚
Alimentando essa linha, mesmo que ela esteja à 
vazio (sem carga), determina-se uma corrente 
capacitiva calculada como:
𝐼 = 𝑗𝜔𝐶12𝑉12
CARGA
𝑉12 =
𝑞
𝜋𝜀
𝑙𝑛
𝐷
𝑟
𝑉
Capacitância de uma linha monofásica
◼ A admitância da linha, ou mais corretamente a susceptância,
pois se despreza a condutância, é definida como:
◼ Aumentando o comprimento da linha (𝑙), aumenta-se a capacitância total da linha e, 
consequentemente, a admitância 𝑌𝐶, que são proporcionais ao comprimento da linha. 
 Logo, aumenta-se também a corrente 𝐼, a qual aumenta com a elevação da tensão de alimentação.
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𝐼 = 𝑗𝜔𝐶12𝑉12
CARGA
𝑌𝐶 = 𝜔𝐶12 ൗ𝑆 𝑚 𝑜𝑢 ൗ1 Ω𝑚
𝑌𝐶12𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜔𝐶12 ∙ 𝑙 𝑆
𝑋𝐶12𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
1
𝑌𝐶12𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
1
𝑌𝐶 ∙ 𝑙
=
1
𝜔𝐶12 ∙ 𝑙
Ω𝑚
Reatância total capacitiva (entre condutores) para a linha 
é inversamente proporcional ao comprimento
Exemplo 2
Considere o condutor Grosbeak formando uma linha monofásica, na qual os condutores estão 
afastados 20pés. Considerando um comprimento de 100mi e uma tensão entre condutores de 
200kV e 60Hz, qual o valor da corrente que circula pela linha durante a energização?
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Para o condutor especificado, o diâmetro externo é de 0,990’’.
Raio externo é:
𝑟 =
0,990′′
2
∙
1′
12′′
= 0,04125′
𝐶12 =
𝜋𝜀0
𝑙𝑛
𝐷
𝑟
𝐶12 = 7,235 ∙ 10−9 ൗ𝐹 𝑚𝑖
Capacitância da linha (entre condutores) :
Admitância total da linha (entre condutores) :
𝑌𝐶12𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜔𝐶12 ∙ 𝑙
𝑌𝐶12𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2,7275 ∙ 10−4 𝑆
= 2𝜋 ∙ 60 ∙ 7,235 ∙ 10−9 ∙ 100
𝐼 = 𝑗𝜔𝐶12𝑙𝑉12 = 𝑌𝐶12𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑉12
𝐼 = 2,7275 ∙ 10−4 ∙ 200 ∙ 103= 54,55𝐴Comprimento 
da linha
=
𝜋 ∙ 8,85 ∙ 10−12
𝑙𝑛
20
0,04125
= 4,496 ∙ 10−12 ൗ𝐹 𝑚
Diferença de potencial entre condutor e o solo
◼ O solo terrestre é condutor de eletricidade.
◼ Os condutores das linhas aéreas de transmissão de energia encontram-se suspensos a 
uma altura finita sobre o solo ficando, portanto, isolados dele. 
◼ Dessa forma, seu campo elétrico também é influenciado pela proximidade do solo. 
◼ Um condutor nessas condições comporta-se como um capacitor composto de um eletrodo 
cilíndrico longo, paralelo a um eletrodo plano.
◼ A carga +𝑞 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏/𝑚 existente na superfície 
do condutor, corresponde a uma carga −𝑞 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏/𝑚
distribuída sobre a superfície do solo, onde terminam
as linhas de fluxo, que emanam da superfície do 
condutor.
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Diferença de potencial entre condutor e o solo
◼ Sobre o eixo 𝑌𝑌′, imagine outro condutor 𝐴′ a uma profundidade −ℎ 𝑚 da superfície do 
solo, tal que esteja a uma distância 2ℎ 𝑚 do condutor. Imagine que nesse condutor 𝐴′
esteja concentrada toda a carga −𝑞 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏/𝑚 . Logo, o campo elétrico é indicado na 
figura abaixo:
◼ O plano correspondente ao solo, que contém o eixo de simetria 𝑋𝑋, terá, portanto, 
potencial nulo. O condutor 𝐴′ recebe o nome de condutor imagem 𝐴.
◼ Nos estudos das linhas de transmissão, os potenciais 
dos condutores são normalmente referidos a um neutro, de
potencial nulo (solo). Daí decorre o conceito de condutor-
-imagem, útil no estudo das capacitâncias das linhas de 
transmissão.
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Influência do solo
◼ Considere a seguinte linha monofásica isolada:
◼ As linhas de campo elétricosão normais às 
equipotenciais.
◼ Caso a linha esteja suficientemente perto do 
solo, tem-se:
◼ O solo também é uma superfície equipotencial, 
causando uma distorção nas linhas de campo 
elétrico, que serão normais a ele
◼ A proximidade do solo altera o formato das 
linhas de campo elétrico, alterando a capacitância
◼ O efeito é maior quanto mais próxima a linha 
estiver do solo
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Influência do solo
◼ Imagine uma continuação das linhas de campo elétrico abaixo do solo e simétrica ao 
plano do solo (como em um espelho), terminando em cargas sob o solo:
◼ As cargas sob o solo são denominadas cargas imagem
◼ Pode-se remover a linha do solo e 
calcular a diferença de potencial e a
capacitância da maneira usual (método 
das imagens)
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Exemplo 3
No exemplo do slide 14, foi determinada a capacitância entre condutores de uma linha monofásica
que opera a 60 Hz com condutores Partridge e espaçamento entre centros dos condutores de 20
ft. Foi obtido o valor 𝐶𝑎𝑏 = 4,2030 ∙ 10−12 Τ𝐹 𝑚 , desconsiderando o efeito do solo.
Obtenha a expressão da capacitância considerando o efeito do solo e calcule a capacitância da
linha, supondo que ela esteja a 30 pés (≈ 10 metros) e 90 pés (≈ 30 metros) acima da terra.
◼ A expressão da capacitância considerando o efeito do solo será obtida através do método das 
imagens. Para tanto, considere a superfície do solo como um espelho. Assim, tem-se uma 
linha idêntica à original, localizada abaixo da terra, e com carga oposta à primeira:
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Exemplo 3
◼ A tensão 𝑉𝑎𝑏 considera o 
efeito de todas as quatro cargas:
◼ Capacitância entre condutores:
◼ O efeito da terra pode ser desconsiderado se 𝐻 → ∞:
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𝑉𝑎𝑏 =
1
2𝜋𝜀𝑜
𝑞𝑙𝑛
𝐷
𝑟
+ −𝑞𝑙𝑛
𝑟
𝐷
+ −𝑞𝑙𝑛
𝑀
2𝐻
+ 𝑞𝑙𝑛
2𝐻
𝑀
devido 
a 𝑞𝑎
devido 
a 𝑞𝑏
devido 
a 𝑞𝑎
′
devido 
a 𝑞𝑏
′
𝑉𝑎𝑏
𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑞𝑏 =
𝑞𝑏
2𝜋𝜀
𝑙𝑛
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑞𝑏 𝑎𝑜 𝑝𝑡𝑜 𝑏
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑞𝑏 𝑎𝑜 𝑝𝑡𝑜 𝑎
Lembrete:
𝑀 = 𝐷2 + 2𝐻 2
𝑉𝑎𝑏 =
𝑞
2𝜋𝜀𝑜
𝑙𝑛
𝐷2
𝑟2
+ 𝑙𝑛
2𝐻 2
𝑀2
=
𝑞
2𝜋𝜀𝑜
𝑙𝑛
𝐷2
𝑟2
∙
2𝐻 2
2𝐻 2 + 𝐷2
𝐶𝑎𝑏 =
𝑞
𝑉𝑎𝑏
=
2𝜋𝜀𝑜
𝑙𝑛
𝐷2
𝑟2
∙
2𝐻 2
2𝐻 2 + 𝐷2
ൗ𝐹 𝑚
𝐶′𝑎𝑏 = lim
𝐻→∞
𝐶𝑎𝑏
𝐶′𝑎𝑏 =
𝜋𝜀𝑜
𝑙𝑛
𝐷
𝑟
Que é uma expressão já obtida anteriormente
Exemplo 3
No exemplo do slide 14, foi determinada a capacitância entre condutores de uma linha monofásica que opera a
60 Hz com condutores Partridge e espaçamento entre centros dos condutores de 20 ft. Foi obtido o valor 𝐶𝑎𝑏 =
4,2030 ∙ 10−12 Τ𝐹 𝑚 , desconsiderando o efeito do solo.
Obtenha a expressão da capacitância considerando o efeito do solo e calcule a capacitância da linha, supondo
que ela esteja a 30 pés (≈ 10 metros) e 90 pés (≈ 30 metros) acima da terra.
◼ Para este exemplo, tem-se 𝑟 = 0,0268′ e 𝐷 = 20′.
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𝐶𝑎𝑏 =
2𝜋𝜀𝑜
𝑙𝑛
202
0,0268 2 ∙
2 ∙ 90 2
2 ∙ 90 2 + 902
= 4,2069 ∙ 10−12 ൗ𝐹 𝑚
𝐶𝑎𝑏 =
2𝜋𝜀𝑜
𝑙𝑛
𝐷2
𝑟2
∙
2𝐻 2
2𝐻 2 + 𝐷2
𝐶𝑎𝑏 =
2𝜋𝜀𝑜
𝑙𝑛
202
0,0268 2 ∙
2 ∙ 30 2
2 ∙ 30 2 + 302
= 4,2367 ∙ 10−12 ൗ𝐹 𝑚
Para uma distância de 90′:
Para uma distância de 30′:
A figura a seguir mostra o valor da capacitância 
em função da altura da linha em relação ao solo:
Cabos
◼ Linha área = condutor (sem isolante)
◼ Cabo = condutores com camada isolante
 A permissividade relativa do meio corresponde à permissividade da camada isolante
 Como os condutores possuem camada isolante, a distância é menor entre as fases
 A capacitância atinge valores altos
 Cabos geram uma quantidade significativa de potencia reativa:
 Resultando em restrições nos comprimentos das linhas, devido 
a limitações térmicas (temperatura de operação) dos cabos. 
Exemplos de comprimentos críticos:
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→ 𝜀𝑜 é a permissividade do vácuo, 
equivalente a 8,85·10−12 F/m.
𝜀 = 𝜀𝑜 ∙ 𝜀𝑟
→ 𝜀𝑟 é a permissividade relativa do meio, sendo que para o 
ar seco vale 1,00054 e é normalmente aproximada para 1.
𝜀𝑟 ≫ 1
Então, para condutores: 𝜀 ≈ 𝜀0
Logo ε ≫ 𝜀𝑜
→ 132𝑘𝑉: 40𝑚𝑖
→ 220𝑘𝑉: 25𝑚𝑖
→ 400𝑘𝑉: 15𝑚𝑖
→ 132𝑘𝑉: 2000𝑘𝑉𝑎𝑟/𝑚𝑖
→ 220𝑘𝑉: 5000𝑘𝑉𝑎𝑟/𝑚𝑖
→ 400𝑘𝑉: 15000𝑘𝑉𝑎𝑟/𝑚𝑖
Cabos
◼ Solução: colocar reatores shunt ao longo da linha 
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 27
Compensação shunt
Capacitância de Linhas Trifásicas com 
espaçamento simétrico
◼ Considere a transmissão trifásica ao lado:
 com espaçamento equilátero
 condutores idênticos: 𝑟𝑎 = 𝑟𝑏 = 𝑟𝑐 = 𝑟
 linha equilibrada: 𝑞𝑎 + 𝑞𝑏 + 𝑞𝑐 = 0
◼ Para obter a capacitância fase-neutro, é necessário calcular, inicialmente, as diferenças 
de potencial fase-fase.
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 29
𝑉𝑎𝑏
𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑞𝑏 =
𝑞𝑏
2𝜋𝜀
𝑙𝑛
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑞𝑏 𝑎𝑜 𝑝𝑡𝑜 𝑏
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑞𝑏 𝑎𝑜 𝑝𝑡𝑜 𝑎
Lembrete:Para obtenção das tensões fase-fase, 
considera-se que cada tensão recebe 
contribuição das três cargas:
Raio do condutor = 𝑟
𝑉𝑎𝑏 =
1
2𝜋𝜀𝑜
𝑞𝑎𝑙𝑛
𝐷
𝑟
+ 𝑞𝑏𝑙𝑛
𝑟
𝐷
+ 𝑞𝑐𝑙𝑛
𝐷
𝐷
𝑉𝑏𝑐 =
1
2𝜋𝜀𝑜
𝑞𝑏𝑙𝑛
𝐷
𝑟
+ 𝑞𝑐𝑙𝑛
𝑟
𝐷
+ 𝑞𝑎𝑙𝑛
𝐷
𝐷
𝑉𝑐𝑎 =
1
2𝜋𝜀𝑜
𝑞𝑎𝑙𝑛
𝑟
𝐷
+ 𝑞𝑐𝑙𝑛
𝐷
𝑟
+ 𝑞𝑏𝑙𝑛
𝐷
𝐷
𝑙𝑛
𝐷
𝐷
= 0
Capacitância de Linhas Trifásicas com 
espaçamento simétrico
◼ Considerando os fasores de tensão:
◼ Substituindo ෠𝑉𝑎𝑏 por e ෠𝑉𝑐𝑎 por :
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 30
𝑉𝑎𝑏 =
1
2𝜋𝜀𝑜
𝑞𝑎𝑙𝑛
𝐷
𝑟
+ 𝑞𝑏𝑙𝑛
𝑟
𝐷
𝑉𝑏𝑐 =
1
2𝜋𝜀𝑜
𝑞𝑏𝑙𝑛
𝐷
𝑟
+ 𝑞𝑐𝑙𝑛
𝑟
𝐷
𝑉𝑐𝑎 =
1
2𝜋𝜀𝑜
𝑞𝑎𝑙𝑛
𝑟
𝐷
+ 𝑞𝑐𝑙𝑛
𝐷
𝑟
෠𝑉𝑎𝑛 = 𝑉∠0° 𝑉
෠𝑉𝑏𝑛 = 𝑉∠ − 120° 𝑉
෠𝑉𝑐𝑛 = 𝑉∠120° 𝑉
෠𝑉𝑎𝑏 = 3𝑉∠30° 𝑉
෠𝑉𝑏𝑐 = 3𝑉∠ − 90° 𝑉
෠𝑉𝑐𝑎 = 3𝑉∠150° 𝑉
Tal que: ෠𝑉𝑎𝑛 =
1
3
෠𝑉𝑎𝑏 − ෠𝑉𝑐𝑎
1 2 3
1 3
෠𝑉𝑎𝑛 =
1
3
∙
1
2𝜋𝜀𝑜
𝑞𝑎𝑙𝑛
𝐷
𝑟
+ 𝑞𝑏𝑙𝑛
𝑟
𝐷
− 𝑞𝑎𝑙𝑛
𝑟
𝐷
− 𝑞𝑐𝑙𝑛
𝐷
𝑟
𝑞𝑎 + 𝑞𝑏 + 𝑞𝑐 = 0
𝑞𝑐 = −(𝑞𝑎 + 𝑞𝑏)
= 𝑞𝑎𝑙𝑛
𝐷
𝑟
= −𝑞𝑏𝑙𝑛
𝑟
𝐷
෠𝑉𝑎𝑛 =
1
3
∙
1
2𝜋𝜀𝑜
𝑞𝑎𝑙𝑛
𝐷
𝑟
+ 𝑞𝑏𝑙𝑛
𝑟
𝐷
− 𝑞𝑎𝑙𝑛
𝑟
𝐷
+ 𝑞𝑎𝑙𝑛
𝐷
𝑟
+ 𝑞𝑏𝑙𝑛
𝐷
𝑟
Capacitância de Linhas Trifásicas com 
espaçamento simétrico
◼ Então, a capacitância fase-neutro vale:
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 31
෠𝑉𝑎𝑛 =
1
3
∙
1
2𝜋𝜀𝑜
𝑞𝑎𝑙𝑛
𝐷
𝑟
+ 𝑞𝑏𝑙𝑛
𝑟
𝐷
+ 𝑞𝑎𝑙𝑛
𝐷
𝑟
+ 𝑞𝑎𝑙𝑛
𝐷
𝑟
−𝑞𝑏 𝑙𝑛
𝑟
𝐷
෠𝑉𝑎𝑛 =
1
3
∙
1
2𝜋𝜀𝑜
3 ∙ 𝑞𝑎𝑙𝑛
𝐷
𝑟
෠𝑉𝑎𝑛 =
1
2𝜋𝜀𝑜
𝑞𝑎𝑙𝑛
𝐷
𝑟
ൗ𝑉 𝑚
𝐶𝑎𝑛 =
𝑞𝑎
𝑉𝑎𝑛
𝐶𝑎𝑛 =
2𝜋𝜀𝑜
𝑙𝑛
𝐷
𝑟
ൗ𝐹 𝑚
𝐶𝑎𝑛 =
2𝜋𝜀0
𝑙𝑛
𝐷
𝑟
ൗ𝐹 𝑚 Slide 11: Capacitância 
de uma linha monofásica
Capacitância de Linhas Trifásicas com 
espaçamento assimétrico
◼ Considere a transmissão trifásica ao lado:
 o espaçamento entre os condutores não é equilátero
 condutores idênticos: 𝑟𝑎 = 𝑟𝑏 = 𝑟𝑐 = 𝑟
◼ Para obter a capacitância fase-neutro dessa linha com espaçamento assimétrico, é 
necessário realizar a transposição, para obtenção da capacitância média 
 Conforme descrito para o cálculo da indutância média de uma linha trifásica assimétrica
 Considerando a transposição, a linha pode ser separada em três trechos distintos
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 32
fase a na posição 1
Trecho 1 fase b na posição 2 
fase c na posição 3
fase a na posição2
Trecho 2 fase b na posição 3 
fase c na posição 1
fase a na posição 3
Trecho 3 fase b na posição 1 
fase c na posição 2
Capacitância de Linhas Trifásicas com 
espaçamento assimétrico
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 33
fase a na posição 1
Trecho 1 fase b na posição 2 
fase c na posição 3
fase a na posição 2
Trecho 2 fase b na posição 3 
fase c na posição 1
fase a na posição 3
Trecho 1 fase b na posição 1 
fase c na posição 2
𝑉𝑎𝑏,1 =
1
2𝜋𝜀𝑜
𝑞𝑎𝑙𝑛
𝐷12
𝑟
+ 𝑞𝑏𝑙𝑛
𝑟
𝐷12
+ 𝑞𝑐𝑙𝑛
𝐷23
𝐷31
𝑉𝑎𝑏,2 =
1
2𝜋𝜀𝑜
𝑞𝑎𝑙𝑛
𝐷23
𝑟
+ 𝑞𝑏𝑙𝑛
𝑟
𝐷23
+ 𝑞𝑐𝑙𝑛
𝐷31
𝐷12
𝑉𝑎𝑏,3 =
1
2𝜋𝜀𝑜
𝑞𝑎𝑙𝑛
𝐷31
𝑟
+ 𝑞𝑏𝑙𝑛
𝑟
𝐷31
+ 𝑞𝑐𝑙𝑛
𝐷12
𝐷23
A tensão 𝑉𝑎𝑏 é a média das tensões nos três trechos:
𝑉𝑎𝑏 =
𝑉𝑎𝑏,1+𝑉𝑎𝑏,2+𝑉𝑎𝑏,3
3
=
1
2𝜋𝜀𝑜
𝑞𝑎𝑙𝑛
3 𝐷12𝐷23𝐷31
𝑟
+ 𝑞𝑏𝑙𝑛
𝑟
3 𝐷12𝐷23𝐷31
Capacitância de Linhas Trifásicas com 
espaçamento assimétrico
◼ Portanto, a capacitância fase-neutro pode ser calculada como:
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 34
Analogamente, 
𝑉𝑎𝑏 =
𝑉𝑎𝑏,1+𝑉𝑎𝑏,2+𝑉𝑎𝑏,3
3
=
1
2𝜋𝜀𝑜
𝑞𝑎𝑙𝑛
3 𝐷12𝐷23𝐷31
𝑟
+ 𝑞𝑏𝑙𝑛
𝑟
3 𝐷123𝐷23𝐷31
𝑉𝑐𝑎 =
𝑉𝑐𝑎,1+𝑉𝑐𝑎,2+𝑉𝑐𝑎,3
3
=
1
2𝜋𝜀𝑜
𝑞𝑎𝑙𝑛
𝑟
3 𝐷12𝐷23𝐷31
+ 𝑞𝑐𝑙𝑛
3 𝐷12𝐷23𝐷31
𝑟
Lembretes:
1 𝑝𝑜𝑙𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎 = 1𝑖𝑛 = 1′′
1 𝑝é = 1𝑓𝑡 = 1′
1 𝑝é = 12𝑝𝑜𝑙𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠
෠𝑉𝑎𝑛 =
1
3
෠𝑉𝑎𝑏 − ෠𝑉𝑐𝑎
𝑞𝑎 + 𝑞𝑏 + 𝑞𝑐 = 0
𝑞𝑐 = −(𝑞𝑎 + 𝑞𝑏)
𝑉𝑎𝑛 =
1
2𝜋𝜀𝑜
𝑞𝑎𝑙𝑛
𝐷𝑒𝑞
𝑟
𝑉
𝐷𝑒𝑞 =
3 𝐷12𝐷23𝐷31
Espaçamento equilátero da linha
𝐶𝑎𝑛 = 𝐶𝑏𝑛 = 𝐶𝑐𝑛 =
𝑞𝑎
𝑉𝑎𝑛
=
2𝜋𝜀𝑜
𝑙𝑛
𝐷𝑒𝑞
𝑟
𝐶𝑎𝑛 =
2𝜋𝜀𝑜
𝑙𝑛
𝐷𝑒𝑞
𝑟
ൗ𝐹 𝑚
Determine a capacitância e a reatância capacitiva por milha da linha trifásica
indicada ao lado. O condutor é CAA Drake, o comprimento da linha é de 175mi
e a tensão normal de operação é 220 kV a 60 Hz. Determine também a
reatância capacitiva total da linha e a potência reativa capacitiva.
Exemplo 4
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 35
Diâmetro externo do condutor é 1,108′′. Logo, o raio externo em pés é: 𝑟 =
1,108′′
2
∙
1′
12′′
= 0,0462′
𝐷𝑒𝑞 =
3 𝐷12𝐷23𝐷31
Espaçamento equilátero da linha
𝐶𝑎𝑛 =
2𝜋𝜀𝑜
𝑙𝑛
𝐷𝑒𝑞
𝑟𝐷𝑒𝑞 =
3
20 ∙ 20 ∙ 38 = 24,7712′
𝐶𝑎𝑛 =
2𝜋 ∙ 8,85 ∙ 10−12
𝑙𝑛
24,7712
0,0462
= 8,8482 ∙ 10−12 ൗ𝐹 𝑚
𝐶𝑎𝑛 = 8,8482 ∙ 10−12
𝐹
𝑚
∙
1609,34𝑚
1𝑚𝑖
= 14,24 ൗ𝑛𝐹
𝑚𝑖
1 𝑚𝑖 = 1609,34𝑚
Capacitância fase-terra
Reatância fase-terra
𝑋𝐶𝑎𝑛 =
1
2𝜋𝑓 ∙ 𝐶𝑎𝑛
=
1
2𝜋60 ∙ 8,8482 ∙ 10−12
𝑋𝐶𝑎𝑛 = 299,7875 𝑀Ω ∙ 𝑚 𝑋𝐶𝑎𝑛 = 0,1863 𝑀Ω ∙ 𝑚𝑖
Determine a capacitância e a reatância capacitiva por milha da linha trifásica
indicada ao lado. O condutor é CAA Drake, o comprimento da linha é de 175mi
e a tensão normal de operação é 220 kV a 60 Hz. Determine também a
reatância capacitiva total da linha e a potência reativa capacitiva.
Exemplo 4 – Por meio das tabelas
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 36
𝑋𝑎
′ = 0,0912 𝑀Ω ∙ 𝑚𝑖Da tabela A.5:
Para 𝐷𝑒𝑞 = 24′ → 𝑋𝑑
′ = 0,0943𝑀Ω ∙ 𝑚𝑖
Para 𝐷𝑒𝑞 = 25′ → 𝑋𝑑
′ = 0,0955𝑀Ω ∙ 𝑚𝑖
O valor de 𝐷𝑒𝑞 é obtido por interpolação:
25′ − 24′
0,0955 − 0,0943
=
25′ − 24,7712′
0,0955 − 𝑋𝑑
′
𝑋𝑑
′ = 0,0953 𝑀Ω ∙ 𝑚𝑖
A reatância fase-terra (para 1 milha) vale:
𝑋𝐶 = 𝑋𝑎
′ + 𝑋𝑑
′ = 0,0912 + 0,0953 𝑋𝐶 = 0,1865 𝑀Ω ∙ 𝑚𝑖
Determine a capacitância e a reatância capacitiva por milha da linha trifásica
indicada ao lado. O condutor é CAA Drake, o comprimento da linha é de 175mi
e a tensão normal de operação é 220 kV a 60 Hz. Determine também a
reatância capacitiva total da linha e a potência reativa capacitiva.
Exemplo 4 – Por meio das tabelas
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 37
A reatância fase-terra total (para 175 milhas) vale:
𝑋𝐶𝑇 =
0,1865 𝑀Ω ∙ 𝑚𝑖
175 𝑚𝑖
= 1065,7143 Ω
𝐶𝑎𝑛 = 14,24 ൗ𝑛𝐹
𝑚𝑖
𝑋𝐶𝑎𝑛 =
1
2𝜋𝑓 ∙ 𝐶𝑎𝑛∙ 175
A reatância fase-terra total (para 175 milhas) vale:
OU
=
1
2𝜋 ∙ 60 ∙ 14,24 ∙ 10−6 ∙ 175
= 1064,43 Ω
Determine a capacitância e a reatância capacitiva por milha da linha trifásica
indicada ao lado. O condutor é CAA Drake, o comprimento da linha é de 175mi
e a tensão nominal de operação é 220 kV a 60 Hz. Determine também a
reatância capacitiva total da linha e a potência reativa capacitiva.
Exemplo 4 – Por meio das tabelas
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 38
Para o cálculo da corrente de carregamento, considere a seguinte situação:
𝐼𝑐𝑎𝑟 =
𝑉𝑎𝑛
𝑋𝐶𝑎𝑛
Potência reativa trifásica gerada na linha:
𝑄𝐶 = 3𝑉𝑎𝑛𝐼𝑐𝑎𝑟
=
220 ∙ 103
3
1065,7143
= 119,2 𝐴
= 3
𝑉𝑎𝑏
3
𝐼𝑐𝑎𝑟 = 3𝑉𝑎𝑏𝐼𝑐𝑎𝑟 = 3 ∙ 220 ∙ 103 ∙ 119,2
𝑄𝐶 = 45,4 𝑀𝑉𝑎𝑟 𝑄𝐶 =
45,4 ∙ 106
175
= 260 ൗ𝑘𝑉𝑎𝑟
𝑚𝑖
A potência gerada nessa linha é bem 
menor que a gerada em cabos, 
conforme valores indicados no slide 27
𝐶𝑎𝑏𝑜 𝑑𝑒 220𝑘𝑉: 𝑄𝐶 = 5000𝑘𝑉𝑎𝑟/𝑚𝑖
Efeito do solo sobre a capacitância de 
linhas trifásicas
◼ Utiliza-se o método das imagens para obtenção de 
uma expressão para a capacitância que considere: 
 as distâncias entre os condutores
 as distâncias entre os condutores e as imagens
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 39
𝐶𝑎𝑛 =
2𝜋𝜀𝑜
𝑙𝑛
𝐷𝑒𝑞
𝑟
∙
3 𝐻1𝐻2𝐻3
3 𝐻12𝐻23𝐻31
ൗ𝐹 𝑚
𝐷𝑒𝑞 =
3 𝐷12𝐷23𝐷31
Condutores múltiplos por fase
◼ Para 𝑛 condutores (encordoados) compondo a fase 𝑎 (carga total 𝑞𝑎), considera-se que a 
carga em cada um dos condutores é 
𝑞𝑎
𝑛
 O procedimento para a obtenção da capacitância é semelhante ao que já foi descrito para a 
indutância (slides 73 e 74 – Aula3_ParametrosLT_Indutancia), e o resultado final é:
 Os 𝐷𝑆𝐶
𝑏 são RMG modificados em relação aos RMG usados no 
cálculo das indutâncias, pois o raio externo substitui o raio efetivo (𝐷𝑆)
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 40
𝐷𝑒𝑞 =
3 𝐷12𝐷23𝐷31
𝐶𝑎𝑛 =
2𝜋𝜀𝑜
𝑙𝑛
𝐷𝑒𝑞
𝐷𝑠𝐶
𝑏
ൗ𝐹 𝑚
𝐷𝑆𝐶
𝑏 = 𝑟 ∙ 𝑑
𝐷𝑆𝐶
𝑏 =
3
𝑟 ∙ 𝑑2
Dois condutores por fase
Três condutores por fase
𝐷𝑆𝐶
𝑏 = 1,09 ∙
4
𝑟 ∙ 𝑑3
Quatro condutores por fase
Nos cabos encordoados, o 𝐷𝑆𝐶
𝑏
representa o RMG do feixe de 
cabos encordoados e depende 
da geometria dos espaçadores 
dos feixes. 
Determine a reatância capacitiva por fase da linha trifásica mostrada a seguir:
Condutor ACSR Pheasant
d = 45 cm
D = 8 m
Comprimento da linha = 160 km
Exemplo 5
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 41
Como cada fase é composta por dois condutores, 
então, deve-se calcular o RMG modificada do cabo:
𝐷𝑆𝐶
𝑏 = 0,089𝑚
Espaçamento equilátero equivalente para a configuração dada (DMG mútua) –
aproximação considerando-se apenas as distâncias entre os centros das fases:
𝐷𝑒𝑞 =
3
8 ∙ 8 ∙ 16 = 10,0794𝑚
Diâmetro externo do condutor é 1,382′′. Logo, o raio externo em metros é: 𝑟 =
1,382′′
2
∙
1′
12′′
∙
0,3048𝑚
1′
= 0,0176𝑚
𝐷𝑆𝐶
𝑏 = 𝑟 ∙ 𝑑 = 0,0176 ∙ 0,45
Determine a reatância capacitiva por fase da linha trifásica mostrada a seguir:
Condutor ACSR Pheasant
d = 45 cm
D = 8 m
Comprimento da linha = 160 km
Exemplo 5
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida 42
𝐷𝑆𝐶
𝑏 = 0,089𝑚𝐷𝑒𝑞 = 10,0794𝑚
𝐶𝑎𝑛 =
2𝜋𝜀𝑜
𝑙𝑛
𝐷𝑒𝑞
𝐷𝑠𝐶
𝑏
𝐶𝑎𝑛 =
2𝜋 ∙ 8,85 ∙ 10−12
𝑙𝑛
10,0794
0,089
= 11,757 ∙ 10−12 ൗ𝐹 𝑚
Capacitância fase-terra
Reatância fase-terra
𝑋𝐶𝑎𝑛 =
1
2𝜋𝑓 ∙ 𝐶𝑎𝑛
=
1
2𝜋60 ∙ 11,757 ∙ 10−12
𝑋𝐶𝑎𝑛 = 225,6173 𝑀Ω ∙ 𝑚
𝑋𝐶𝑎𝑛 = 225,6173 𝑀Ω ∙ 𝑚 ∙
1𝑚𝑖
1609,34𝑚
= 0,1402 𝑀Ω ∙ 𝑚𝑖
A reatância fase-terra total (para 160km) vale: 𝑋𝐶𝑇 =
𝑋𝐶𝑎𝑛
𝑙
=
225,6173 ∙ 103 𝑘Ω ∙ 𝑚
160 𝑘𝑚
= 1410,10Ω
Uma linha trifásica de circuito duplo é constituída de condutores ACSR 26/7 tipo Ostrich
de 300.000 CM dispostos de acordo com a figura a seguir. Determine a susceptância capacitiva
por fase da linha, a 60Hz.
◼ O cálculo correto (mais detalhado) do espaçamento equilátero equivalente neste caso seria:
 Cálculo da DMG mútua de a para b
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida
43
Linhas trifásicas de circuitos em paralelo –
Exemplo 6
Da mesma forma que no caso do cálculo da reatância indutiva, basta 
calcular a susceptância de um trecho da linha transposta. Considerando 
que a linha é transposta, a reatância capacitiva por fase da linha será a 
média das reatâncias dos trechos. Para o trecho 1, tem-se:
𝐷𝑎𝑏 = 102 + 1,52 = 10,1′
1,5’
𝐷𝑎𝑏 = 𝐷𝑏𝑐=𝐷𝑏′𝑐′=𝐷𝑎′𝑏′
𝐷𝑐𝑐′ = 182 + 202 = 26,9′
𝐷𝑎′𝑏 = 18 + 1,5 2 + 102 = 21,9′
𝐷𝑀𝐺𝑎𝑏 =
2∙2 𝐷𝑎𝑏 ∙ 𝐷𝑎𝑏′ ∙ 𝐷𝑎′𝑏 ∙ 𝐷𝑎′𝑏′=
4
10,1 ∙ 21,9 ∙ 21,9 ∙ 10,1 = 14,88′
Diâmetro externo do condutor é 0,680 ′′. 
Logo, o raio externo em pés é: 𝑟 =
0,680′′
2
∙
1′
12′′
= 0,0283′
 Cálculo da DMG mútua de b para c
 Cálculo da DMG mútua de c para a
◼ O espaçamento equilátero equivalente é:
◼ Cálculo da RMG:
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida
44
Linhas trifásicas de circuitos em 
paralelo – Exemplo 6
𝐷𝑎𝑏 = 10,1′
1,5’
𝐷𝑎𝑏 = 𝐷𝑏𝑐=𝐷𝑏′𝑐′=𝐷𝑎′𝑏′
𝐷𝑐𝑐′ = 𝐷𝑎𝑎′ = 26,9′
𝐷𝑎′𝑏 = 21,9′
𝐷𝑀𝐺𝑏𝑐 =
2∙2 𝐷𝑏𝑐 ∙ 𝐷𝑏𝑐′ ∙ 𝐷𝑏′𝑐 ∙ 𝐷𝑏′𝑐′ =
4
10,1 ∙ 21,9 ∙ 21,9 ∙ 10,1
𝐷𝑀𝐺𝑎𝑐 =
2∙2 𝐷𝑎𝑐 ∙ 𝐷𝑎𝑐′ ∙ 𝐷𝑎′𝑐 ∙ 𝐷𝑎′𝑐′ =
4
20 ∙ 18 ∙ 18 ∙ 20
𝐷𝑀𝐺𝑏𝑐 = 14,88′ Igual a 𝐷𝑎𝑏
𝐷𝑀𝐺𝑐𝑎 = 18,97′
𝐷𝑒𝑞 =
3 𝐷𝑀𝐺𝑎𝑏 ∙ 𝐷𝑀𝐺𝑏𝑐 ∙ 𝐷𝑀𝐺𝑐𝑎 =
3
14,88 ∙ 14,88 ∙ 18,97 = 16,1′
𝑅𝑀𝐺𝑎 =
2 𝑟 ∙ 𝐷𝑎𝑎′ = 0,0283 ∙ 26,9= 0,873′
𝑅𝑀𝐺𝑏 =
2 𝑟 ∙ 𝐷𝑏𝑏′= 0,0283 ∙ 21 = 0,771′
𝑅𝑀𝐺𝑐 =
2 𝑟 ∙ 𝐷𝑐𝑐′ = 0,0283 ∙ 26,9 = 0,873′
𝐷𝑆𝐶
𝑏 = 𝑅𝑀𝐺𝑎 ∙ 𝑅𝑀𝐺𝑏 ∙ 𝑅𝑀𝐺𝑐
1
3 =
3
0,873 ∙ 0,771 ∙ 0,873 = 0,837′
Esse valor é igual nos três trechos
Sendo: 𝑟 = 0,0283′
Uma linha trifásica de circuito duplo é constituída de condutores ACSR 26/7 tipo Ostrich
de 300.000 CM dispostos de acordo com a figura a seguir. Determine a susceptância capacitiva
por fase da linha, a 60Hz.
Transmissão Energia Elétrica 2024-2 Profª. Maria Leonor Silva de Almeida
45
Linhas trifásicas de circuitos em paralelo –
Exemplo 6
𝐷𝑆𝐶
𝑏 = 0,837′
𝐶𝑎𝑛 =
2𝜋𝜀𝑜
𝑙𝑛
𝐷𝑒𝑞
𝐷𝑠𝐶
𝑏
𝐶𝑎𝑛 =
2𝜋 ∙ 8,85 ∙ 10−12
𝑙𝑛
16,1
0,837
Capacitância fase-terra
Susceptância fase-terra
𝐵𝐶𝑎𝑛 = 2𝜋𝑓 ∙ 𝐶𝑎𝑛= 2𝜋60 ∙ 18,79 ∙ 10−12 𝐵𝐶𝑎𝑛 = 7,1 ൗ𝑛𝑆
𝑚
𝐶𝑎𝑛 = 18,79 ൗ𝑝𝐹
𝑚
𝐷𝑒𝑞 = 16,1′
𝐵𝐶𝑎𝑛 =
7,1𝑛𝑆
1𝑚
∙
1609,34
1𝑚𝑖
ൗ𝜇𝑆
𝑚𝑖
Repita o exemplo anterior para a configuração de linha apresentada a seguir e compare os
resultados obtidos.
◼ Cálculo DMG:
◼ Cálculo RMG:
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46
Exemplo 7
𝐷𝑀𝐺𝑏𝑐 =
4
10,1 ∙ 21,9 ∙ 21,9 ∙ 10,1
𝐷𝑀𝐺𝑎𝑐 =
4
20 ∙ 26,9 ∙ 26,9 ∙ 20
𝐷𝑀𝐺𝑏𝑐 = 14,88′
𝐷𝑀𝐺𝑐𝑎 = 23,19′
𝐷𝑒𝑞 =
3 𝐷𝑀𝐺𝑎𝑏 ∙ 𝐷𝑀𝐺𝑏𝑐 ∙ 𝐷𝑀𝐺𝑐𝑎 =
3
14,88 ∙ 14,88 ∙ 23,19 = 17,25′
𝑅𝑀𝐺𝑎 =
2 𝑟 ∙ 𝐷𝑎𝑎′ = 0,0283 ∙ 18 = 0,7137′
𝑅𝑀𝐺𝑏 =
2 𝑟 ∙ 𝐷𝑏𝑏′= 0,0283 ∙ 21 = 0,771′
𝑅𝑀𝐺𝑐 =
2 𝑟 ∙ 𝐷𝑐𝑐′ = 0,0283 ∙ 18 = 0,7137′
𝐷𝑆𝐶
𝑏 = 𝑅𝑀𝐺𝑎 ∙ 𝑅𝑀𝐺𝑏 ∙ 𝑅𝑀𝐺𝑐
1
3 =
3
0,7137 ∙ 0,771 ∙ 0,7137 = 0,7323′
Sendo: 𝑟 = 0,0283′
𝐷𝑀𝐺𝑎𝑏 =
4
10,1 ∙ 21,9 ∙ 21,9 ∙ 10,1 𝐷𝑀𝐺𝑎𝑏 = 14,88′
Repita o exemplo anterior para a configuração de linha apresentada a seguir e compare os
resultados obtidos.
Antes a capacitância fase-terra era de 18,79 Τ𝑝𝐹
𝑚 . Na nova configuração considerada, a a
capacitância fase-terra é de 17,60 Τ𝑝𝐹
𝑚 .
Logo, a nova configuração dos cabos resultou
em uma redução de 6,33% da capacitância fase-terra.
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47
Exemplo 7
𝐷𝑆𝐶
𝑏 = 0,7323′
𝐶𝑎𝑛 =
2𝜋𝜀𝑜
𝑙𝑛
𝐷𝑒𝑞
𝐷𝑠𝐶
𝑏
𝐶𝑎𝑛 =
2𝜋 ∙ 8,85 ∙ 10−12
𝑙𝑛
17,25
0,7323
Capacitância fase-terra
𝐶𝑎𝑛 = 17,60 ൗ𝑝𝐹
𝑚
𝐷𝑒𝑞 = 17,25′
◼ O condutores das linhas aéreas de transmissão são hoje raramente constituídos por fios
metálicos de seção cilíndrica maciça. Atualmente eles são compostos pelo
encordoamento de fios metálicos, visando à obtenção de condutores de seções
transversais maiores, sem perder a necessária flexibilidade.
 Os fios elementares são dispostos entre uma e até cinco camadas, enroladas helicoidamente umas
sobre as outras, sendo que a primeira camada fica sobre um fio central reto.
◼ A resistividade dos condutores das linhas pode ser considerada como representativa das
perdas de energia devido ao Efeito Joule nas linhas. Para uma determinada frequência
𝑓 𝐻𝑧 determina-se:
◼ Essa é a resistência efetiva do condutor, se ela for medida na mesma frequência com que
as perdas foram determinadas. Essa resistência pode ser decomposta em três parcelas:
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48
Resistência
𝑅 =
𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 ൗ𝑊
𝑚
𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐴 2
ൗΩ 𝑚
𝑅 = 𝑅𝑐𝑐 + 𝑅𝑎𝑐 + 𝑅𝑎𝑑
𝑅𝑐𝑐 ΤΩ 𝑚 − Resistência que o condutor apresenta à passagem de corrente contínua
𝑅𝑎𝑐 ΤΩ 𝑚 − Resistência aparente provocada pelos fluxos magnéticos 
no interior dos condutores (corrente alternada)
𝑅𝑎𝑑 ΤΩ 𝑚 − Resistência aparente adicional
A resistência de um condutor à corrente contínua depende essencialmente dos fatores:
◼ Dimensões:
◼ Natureza do material, o que fica caraterizado pela resistividade 𝜌
Ω∙𝑚2
𝑚
, que é afetada por:
 Têmpera do metal: Processo de tratamento térmico de aços para aumentar a dureza e a resistência
▪ A têmpera, de um modo geral, aumenta a resistividade do metal
▪ Um condutor de têmpera mole (recozido) apresenta resistividade menor do que um condutor com têmpera dura
(encruado)
 Pureza do material: A presença de impurezas aumenta sua resistência
 Encordoamento: A resistência de um cabo, composto pelo encordoamento de múltiplos fios, é
levemente maior do que um fio simples
▪ O espiralamento dos fios que compõem os cabos aumenta o comprimento a ser percorrido pela
corrente
▪ 𝑅𝑐𝑐 aumenta de 1 a 2% para os fios torcidos.
▪ Logo, Para se ter x metros de cabo, necessita-se de 1,01x a 1,02x metros de fios para depois agrupá-
los e torcê-los
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49
Resistência à corrente contínua (𝑅𝑐𝑐)
𝑅𝑐𝑐 = 𝜌
𝑙
𝑆
ΤΩ 𝑚
é diretamente proporcional ao seu comprimento 𝑙 𝑚
inversamente proporcional à área de sua seção transversal 𝑆 𝑚2
◼ Natureza do material, o que fica caraterizado pela resistividade 𝜌
Ω∙𝑚2
𝑚
, que é afetada por:
 Temperatura: é o fator que mais afeta a resistividade dos condutores metálicos, que cresce com o
aumento da temperatura.
▪ Para linhas de transmissão, o intervalo de variações na resistividade resulta em uma variação linear
da resistência, conforme indicado na Figura abaixo.
▪ Se 𝜌 aumenta, então 𝑅𝑐𝑐 aumenta também
▪ Em temperaturas extremamente baixas, as resistências podem alcançar um milésimo do seu valor à
temperatura ambiente normal. Nesse caso os metais adquirem a “supercondutividade”
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50
Resistência à corrente contínua (𝑅𝑐𝑐)
Temperatura na qual o condutor possui, 
teoricamente, resistividade nula.
𝑅2
𝑅1
=
𝑇 + 𝑡2
𝑇 + 𝑡1
Se o valor de 𝑅1 na temperatura 
𝑡1 é conhecido, calcula-se 𝑅2 na 
temperatura 𝑡2
𝑇 é uma constante que depende do material:
𝑇 = 234,5 → para o cobre recozido com 100% de condutividade
𝑇 = 241,0 → para o cobre encruado com 97,3% de condutividade
𝑇 = 228,0 → para o alumínio têmpera dura com 61% de condutividade
t1
t2
◼ Resistência associada a passagem das correntes parasitas, que surgem no circuito
formado pelos cabos para-raios,estruturas de suporte e o solo. Essa correntes parasitas
são induzidas pelas correntes que percorrem os condutores de fase.
◼ Devido à ausência de simetria do posicionamento dos para-raios ligados normalmente a
cada estrutura, há sempre um fluxo residual enlaçando-os, que é resultante da somatória,
em cada instante, dos fluxos individuais de cada uma das fases.
◼ Esse fluxo resultante produz uma f.e.m. que impulsiona uma corrente na malha formada
pelos para-raios, os suportes a seus aterramentos e o solo. Essa corrente, por sua vez,
provoca perdas de potência, e cujo efeito é o mesmo que o de aumento na resistência dos
condutores
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51
Resistência aparente adicional (𝑅ad) 
◼ Quando uma corrente contínua de intensidade constante percorre um condutor, ela se
distribui por toda a área de sua seção transversal, de modo que sua densidade é uniforme
◼ Quando uma corrente alternada percorre um condutor, verifica-se a rarefação (diminuição)
da corrente nas partes mais internas do condutor, enquanto na periferia do condutor, a
corrente aumenta. Esse efeito se intensifica com o aumento da frequência.
 Assim, a distribuição de corrente pelo condutor não é uniforme: a densidade de corrente é menor
no interior do condutor, aumentando para a periferia
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52
Resistência à corrente alternada (𝑅𝑎𝑐) –
Efeito Pelicular (Skin Effect)
Condutor percorrido 
por corrente alternada
fluxo magnético 
alternado
Fluxo concatenado em um 
fio junto à superfície do 
condutor é menor 
(a resistência e reatância 
na superfície são menores)
gera
Queda de tensão ou força 
eletromotriz (f.e.m.) em cada fio
induz
Fluxo concatenado em um 
fio mais próximo do eixo 
do condutor é maior
(a resistência e reatância 
no interior são maiores)
Para que as quedas de tensão 
sejam iguais em todos os fios:
No interior, a densidade 
de corrente é menor
Na periferia, a densidade 
de corrente é maior
◼ Efeito pelicular: a distribuição desuniforme da corrente provoca uma alteração do fluxo
magnético no interior dos condutores, afetando igualmente os valores das indutâncias e
das resistências em seu interior
◼ Esse efeito é mais significativo quanto maior o raio do condutor e maior a frequência
 Mesmo para 60Hz, esse efeito já é notado em condutores de maior seção
◼ É como se o condutor sofresse uma redução em sua seção transversal
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53
Resistência à corrente alternada (𝑅𝑎𝑐) –
Efeito Pelicular (Skin Effect)
Área útil para passagem de
corrente diminui
Logo, há um aumento em
sua resistividade
O aumento da corrente é
gradual, do centro do
condutor para a superfície
externa, não ocorrendo as
descontinuidades indicadas
ao lado (ilustrativo apenas).
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54
Efeito Pelicular (Skin Effect)
O efeito pelicular altera a resistência e a indutância internas do condutor.
Logo, eles tem implicações nas avaliações das perdas.
Existem valores tabelados de resistência.
Devem-se realizar correções devido à temperatura. Além disso, o
incremento da resistência provocado pelo efeito pelicular é calculado como
𝑅
𝑅0
Resistência em corrente alternada
Resistência em corrente contínua
◼ A área da seção transversal de um condutor normalmente é dada em milímetro quadrado
𝑚𝑚2 ou circular mil 𝐶𝑀
◼ A área de um circular mil (1𝐶𝑀) corresponde a área de um círculo com diâmetro de um
milésimo de polegada (10−3𝑖𝑛)
◼ A área de mil circular mil (1𝑀𝐶𝑀) corresponde a 1000 vezes a área de 1𝐶𝑀
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55
Informações extras
𝑆𝑚𝑚2 = 5,067 ∙ 10−4 ∙ 𝑆𝐶𝑀 𝑆𝑚𝑚2 = 0,55 ∙ 𝑆𝑀𝐶𝑀
𝜌𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 = 1,77 ∙ 10−8 Ω ∙ 𝑚
Para 20°
𝜌𝑎𝑙𝑢𝑚í𝑛𝑖𝑜 = 2,83 ∙ 10−8 Ω ∙ 𝑚
Para 20°
Determine a área de alumínio e a área externa total do condutor ACSR 26/7 Linnet em 𝑐𝑚2.
◼ A área de um circular mil (1𝐶𝑀) corresponde a área de um círculo com diâmetro de um
milésimo de polegada (10−3𝑖𝑛)
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56
Exemplo 8
Área do alumínio: 
𝑆𝑎𝑙𝑢𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝐶𝑀 = 336400 𝐶𝑀
1𝐶𝑀 = 𝜋𝑟2= 𝜋
𝐷
2
2
= 𝜋
0,001
2
2
𝑖𝑛2 1𝐶𝑀 = 7,854 ∙ 10−7 𝑖𝑛2
∴ 𝑆𝑎𝑙𝑢𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝑖𝑛2 = 336400 ∙ 7,854 ∙ 10−7 𝑖𝑛2
𝑆𝑎𝑙𝑢𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝑖𝑛2 = 0,2642 𝑖𝑛2 1 𝑖𝑛 = 2,54 𝑐𝑚
1 𝑖𝑛2 = 6,4516𝑐𝑚2
𝑆𝑎𝑙𝑢𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝑐𝑚2 = 0,2642 ∙ 6,4516𝑐𝑚2 = 1,7 𝑐𝑚2
Determine a área de alumínio e a área externa total do condutor ACSR 26/7 Linnet em 𝑐𝑚2.
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57
Exemplo 8
Diâmetro externo do condutor é 0,721′′
= 𝜋
𝐷
2
2
𝑆𝑎𝑙𝑢𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝑐𝑚2 = 1,7 𝑐𝑚2
Logo diâmetro externo: 0,721 ∙ 2,54 𝑐𝑚 = 1,83 𝑐𝑚
1,7 = 𝜋
𝐷2
4
𝐷 = 1,47 𝑐𝑚 de diâmetro do alumínio
1 𝑖𝑛 = 2,54 𝑐𝑚
Considere um cabo Grosbeak, determine:
a) Se a temperatura for 50°C, qual a resistência cc (𝑅𝑐𝑐) do condutor?
b) Quais os valores de 𝑅𝑎𝑐 para cada temperatura?
c) Qual o aumento percentual da resistência devido ao efeito pelicular?
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58
Exemplo 9
𝑅𝑐𝑐 = 0,0268 ΤΩ 1000𝑓𝑡 a 20°C
1 𝑓𝑡 = 1,894 ∙ 10−4 𝑚𝑖
Corrigindo para uma temperatura a 50°C
𝑅𝑐𝑐 =
0,0268Ω
1000𝑓𝑡
∙
1𝑓𝑡
1,894 ∙ 10−4𝑚𝑖
= 0,141 ΤΩ 𝑚𝑖 𝑎 20°𝐶
𝑅𝑐𝑐(50°𝐶)
𝑅𝑐𝑐(20°𝐶)
=
𝑇 + 𝑡2
𝑇 + 𝑡1
=
228 + 50
228 + 20
𝑅𝑐𝑐(50°𝐶) =
228 + 50
228 + 20
∙ 𝑅𝑐𝑐(20°𝐶)
𝑅𝑐𝑐(50°𝐶) =
228 + 50
228 + 20
∙ 0,141 = 0,158 ΤΩ 𝑚𝑖
Considere um cabo Grosbeak, determine:
a) Se a temperatura for 50°, qual a resistência cc (𝑅𝑐𝑐) do condutor?
b) Quais os valores de 𝑅𝑎𝑐 para cada temperatura?
c) Qual o aumento percentual da resistência devido ao efeito pelicular?
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59
Exemplo 9
𝑅𝑎𝑐(20°𝐶) = 0,1454 ΤΩ 𝑚𝑖 a 20°C
Considerando a temperatura de 20°C
𝑅
𝑅0
=
𝑅𝑎𝑐(20°𝐶)
𝑅𝑐𝑐(20°𝐶)
=
0,1454
0,141
= 1,031
Efeito pelicular provoca aumento de 
3,1% no valor de 𝑅𝑎𝑐 em relação a 𝑅𝑐𝑐
𝑅𝑎𝑐(50°𝐶) = 0,1596 ΤΩ 𝑚𝑖 a 50°C
Considerando a temperatura de 50°C
𝑅
𝑅0
=
𝑅𝑎𝑐(50°𝐶)
𝑅𝑐𝑐(50°𝐶)
=
0,1596
0,158
= 1,0101
Efeito pelicular provoca aumento de 
1,01% no de 𝑅𝑎𝑐 em relação a 𝑅𝑐𝑐
𝑅𝑐𝑐(50°𝐶) = 0,158 ΤΩ 𝑚𝑖 (slide anterior)𝑅𝑐𝑐(20°𝐶) = 0,141 ΤΩ 𝑚𝑖 (slide anterior)
Considerando o condutor Ortolan, calcule:
a) a resistência 𝑅𝑐𝑐 ΤΩ 𝑘𝑚 a 20°C, usando a equação e resistência.
Compare o resultado obtido com o valor da tabela.
b) a resistência 𝑅𝑐𝑐 ΤΩ 𝑘𝑚 a 50°C e comparar o resultado com a resistência 𝑅𝑐𝑐 ΤΩ 𝑘𝑚 a
60Hz, apresentada na tabela.
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60
Exemplo 10
𝑅𝑐𝑐 = 𝜌
𝑙
𝑆
ΤΩ 𝑚
𝜌𝑎𝑙𝑢𝑚í𝑛𝑖𝑜(20°𝐶) = 2,83 ∙ 10−8 Ω ∙ 𝑚
𝑅𝑐𝑐(20°𝐶)
𝑙
=
𝜌
𝑆
Área do alumínio: 𝑆𝑎𝑙𝑢𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝐶𝑀 = 1033500 𝐶𝑀
1 𝐶𝑀 = 7,854 ∙ 10−7 𝑖𝑛2
1 𝑖𝑛2 = 6,4516 𝑐𝑚2
𝑆𝑎𝑙𝑢𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝑐𝑚2 = 1033500 𝐶𝑀 ∙
7,854 ∙ 10−7 𝑖𝑛2
1 𝐶𝑀
∙
6,4516 𝑐𝑚2
1 𝑖𝑛2
Sendo
𝑆𝑎𝑙𝑢𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝑐𝑚2 = 5,237 𝑐𝑚2 𝑆𝑎𝑙𝑢𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝑚2 = 5,237 ∙ 10−4 𝑚2
=
2,83 ∙ 10−8
5,237 ∙ 10−4
𝑅𝑐𝑐(20°𝐶)
𝑙
= 0,054038 ΤΩ 𝑘𝑚
Considerando o condutor Ortolan, calcule:
a) a resistência 𝑅𝑐𝑐 ΤΩ 𝑘𝑚 a 20°C, usando a equação e resistência.
Compare o resultado obtido com o valor da tabela.
b) a resistência 𝑅𝑐𝑐 ΤΩ 𝑘𝑚 a 50°C e comparar o resultado com a resistência 𝑅𝑐𝑐 ΤΩ 𝑘𝑚 a
60Hz, apresentada na tabela.
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61
Exemplo 10
A resistência 𝑅𝑐𝑐 a 50°C, deve ser calculada como:
𝑅𝑐𝑐 = 𝜌
𝑙
𝑆
ΤΩ𝑚
𝑅𝐶𝐶 20°𝐶 = 0,0167 ΤΩ 1000𝑓𝑡
Sendo 1 𝑘𝑚 = 3280,84 𝑓𝑡
𝑅𝑐𝑐(20°𝐶)
𝑙
= 0,054038 ΤΩ 𝑘𝑚
𝑅𝐶𝐶 20°𝐶 =
0,0167Ω
1000𝑓𝑡
∙
3280,84𝑓𝑡
1𝑘𝑚
Do slide anterior:
Ok
𝑅𝐶𝐶 20°𝐶 = 0,05479 ΤΩ 𝑘𝑚
Considerando o condutor Ortolan, calcule:
a) a resistência 𝑅𝑐𝑐 ΤΩ 𝑘𝑚 a 20°C, usando a equação e resistência.
Compare o resultado obtido com o valor da tabela.
b) a resistência 𝑅𝑐𝑐 ΤΩ 𝑘𝑚 a 50°C e comparar o resultado com a resistência 𝑅𝑎𝑐 ΤΩ 𝑘𝑚 a
60Hz, apresentada na tabela.
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62
Exemplo 10
A resistência 𝑅𝑐𝑐 a 50°C, deve ser calculada como:
𝑅𝑎𝐶 50°𝐶 = 0,1011 ΤΩ 𝑚𝑖
Sendo 1 𝑚𝑖 = 1,609 𝑘𝑚
𝑅𝑎𝑐 50°𝐶 =
0,1011Ω
1𝑚𝑖
∙
1𝑚𝑖
1,609𝑘𝑚
= 0,062834 ΤΩ 𝑘𝑚
𝑅𝑐𝑐(50°𝐶)
𝑅𝑐𝑐(20°𝐶)
=
𝑇 + 𝑡2
𝑇 + 𝑡1𝑅𝑐𝑐 20°𝐶 = 0,05479 ΤΩ 𝑘𝑚
Do slide anterior, a 
resistência 𝑅𝑐𝑐 20°𝐶 é: 𝑅𝑐𝑐(50°𝐶) =
228 + 50
228 + 20
∙ 𝑅𝑐𝑐(20°𝐶)= 0,06057 ΤΩ 𝑘𝑚
𝑅
𝑅0
=
𝑅𝑎𝑐(50°𝐶)
𝑅𝑐𝑐(50°𝐶)
=
0,062834
0,06057
= 1,0373
Efeito pelicular provoca aumento de 
3,73% no valor de 𝑅𝑎𝑐 em relação a 𝑅𝑐𝑐
Dúvidas?
Obrigada pelo interesse!
Até a próxima aula!
Escola de Engenharia Elétrica, 
Mecânica e Computação
Universidade 
Federal de Goiás
	Slide 1: Transmissão de Energia Elétrica
	Slide 2: Nesta aula
	Slide 3: Capacitância de linhas bifásica
	Slide 4: Capacitância de linhas bifásicas
	Slide 5: Campo elétrico em um condutor cilíndrico isolado
	Slide 6: Campo elétrico em um condutor cilíndrico isolado
	Slide 7: Campo elétrico em um condutor cilíndrico isolado
	Slide 8: Diferença de potencial entre dois pontos no espaço
	Slide 9: Diferença de potencial entre dois condutores
	Slide 10: Capacitância de uma linha monofásica
	Slide 11: Capacitância de uma linha monofásica
	Slide 12: Capacitância de uma linha monofásica
	Slide 13: Exemplo 1
	Slide 14: Exemplo 1
	Slide 15: Exemplo 1
	Slide 16: Capacitância de uma linha monofásica
	Slide 17: Capacitância de uma linha monofásica
	Slide 18: Exemplo 2
	Slide 19: Diferença de potencial entre condutor e o solo
	Slide 20: Diferença de potencial entre condutor e o solo
	Slide 21: Influência do solo
	Slide 22: Influência do solo
	Slide 23: Exemplo 3
	Slide 24: Exemplo 3
	Slide 25: Exemplo 3
	Slide 26: Cabos
	Slide 27: Cabos
	Slide 29: Capacitância de Linhas Trifásicas com espaçamento simétrico
	Slide 30: Capacitância de Linhas Trifásicas com espaçamento simétrico
	Slide 31: Capacitância de Linhas Trifásicas com espaçamento simétrico
	Slide 32: Capacitância de Linhas Trifásicas com espaçamento assimétrico
	Slide 33: Capacitância de Linhas Trifásicas com espaçamento assimétrico
	Slide 34: Capacitância de Linhas Trifásicas com espaçamento assimétrico
	Slide 35: Exemplo 4
	Slide 36: Exemplo 4 – Por meio das tabelas
	Slide 37: Exemplo 4 – Por meio das tabelas
	Slide 38: Exemplo 4 – Por meio das tabelas
	Slide 39: Efeito do solo sobre a capacitância de linhas trifásicas
	Slide 40: Condutores múltiplos por fase
	Slide 41: Exemplo 5
	Slide 42: Exemplo 5
	Slide 43: Linhas trifásicas de circuitos em paralelo – Exemplo 6
	Slide 44: Linhas trifásicas de circuitos em paralelo – Exemplo 6
	Slide 45: Linhas trifásicas de circuitos em paralelo – Exemplo 6
	Slide 46: Exemplo 7
	Slide 47: Exemplo 7
	Slide 48: Resistência
	Slide 49: Resistência à corrente contínua (maiúscula R inferior à linha c c )
	Slide 50: Resistência à corrente contínua (maiúscula R inferior à linha c c )
	Slide 51: Resistência aparente adicional (maiúscula R inferior à linha ad) 
	Slide 52: Resistência à corrente alternada (maiúscula R inferior à linha a. c ) – Efeito Pelicular (Skin Effect)
	Slide 53: Resistência à corrente alternada (maiúscula R inferior à linha a. c ) – Efeito Pelicular (Skin Effect)
	Slide 54: Efeito Pelicular (Skin Effect)
	Slide 55: Informações extras
	Slide 56: Exemplo 8
	Slide 57: Exemplo 8
	Slide 58: Exemplo 9
	Slide 59: Exemplo 9
	Slide 60: Exemplo 10
	Slide 61: Exemplo 10
	Slide 62: Exemplo 10
	Slide 63: Dúvidas?