Modulo 01 - Teoria dos conjuntos

Prévia do material em texto

Matemática 
 
 
 1 
 
1. TEORIA 
 
 
1.1 NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS E RACIONAIS 
Chamamos de conjuntos numéricos as principais 
classificações dos números conhecidos. Nos próximos 
tópicos veremos algumas informações importantes sobre 
cada um deles. 
 
NÚMEROS NATURAIS 
Os números naturais têm esse nome por serem 
aqueles mais intuitivos, de “contagem natural”. Isto é, são 
aqueles construídos com os algarismos de 0 a 9. O símbolo 
desse conjunto é a letra N, e podemos escrever os seus 
elementos entre chaves: 
N={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20;...} 
 
As reticências indicam que este conjunto não tem 
fim, ou seja, existem infinitos números naturais. 
Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é 
um número natural propriamente dito (pois não é um 
número de “contagem natural”). Por isso, utiliza-se o 
símbolo N* para designar os números naturais positivos, isto 
é, excluindo o zero. 
Vejam: N* = {1, 2, 3, 4…} 
 
Alguns conceitos básicos relacionados aos números naturais 
 
a) Sucessor: é o próximo número natural. Isto é, o sucessor 
de 2 é 3, e o sucessor de 21 é 22. E o sucessor do número 
“n” é o número “n+1”. 
 
b) Antecessor: é o número natural anterior. Isto é, o 
antecessor de 2 é 1, e o antecessor de 21 é 20. E o 
antecessor do número “n” é o número “n-1”. 
Observe que o número natural zero não possui antecessor, 
pois é o primeiro número desse conjunto. 
 
c) Números consecutivos: são números em sequência. 
Assim, {2,3,4} são números consecutivos, porém {2, 5,4} não 
são. E {n-1, n e n+1} são números consecutivos. 
 
d) Números naturais pares: {0, 2, 4...}. Número par é aquele 
que, ao ser dividido por 2, não deixa resto. Por isso o zero 
também é par. 
 
e) Números naturais ímpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos 
por 2, deixam resto 1. 
 
Sobre pares e ímpares, vale a pena perceber que: 
- a soma ou subtração de dois números pares tem resultado 
par. Ex.: 12 + 6 = 18; 
12 – 6 = 6. 
- a soma ou subtração de dois números ímpares tem 
resultado par. Ex.: 13 + 5 = 18; 
13 – 5 = 8. 
- a soma ou subtração de um número par com outro ímpar 
tem resultado ímpar. Ex.: 
12 + 5 = 17; 12 – 5 = 7. 
- a multiplicação de números pares tem resultado par: 4 x 6 
= 24. 
- a multiplicação de números ímpares tem resultado ímpar: 
3 x 5 = 15. 
- a multiplicação de um número par por um número ímpar 
tem resultado par: 2 x 3 = 6 
 
 
NÚMEROS INTEIROS 
Os números inteiros são os números naturais e 
seus respectivos opostos 
(negativos). Isto é, 
Z = {...-12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12...} 
 
Observem que todos os números Naturais são 
também Inteiros, mas nem todos os números inteiros são 
naturais. Assim, podemos dizer que o conjunto de números 
naturais está contido no conjunto de números inteiros, isto 
é, N Z, ou ainda que N é um subconjunto de Z. O diagrama 
abaixo explicita esta relação entre 
N e Z: 
 
 
 
Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns 
subconjuntos de números. 
Vejam que os nomes dos subconjuntos são auto explicativos: 
 
a) Números Inteiros não negativos = {0,1,2,3...}. Veja que 
são os números naturais. 
b) Números Inteiros não positivos = {… -3, -2, -1, 0}. Veja que 
o zero também faz parte deste conjunto, pois ele não é 
positivo nem negativo. 
c) Números inteiros negativos = { … -3, -2, -1}. O zero não faz 
parte. 
d) Números inteiros positivos = {1, 2, 3...}. Novamente, o 
zero não faz parte. 
 
 
NÚMEROS RACIONAIS 
Os números racionais são aqueles que podem ser 
representados na forma da divisão de dois números inteiros. 
Isto é, são aqueles números que podem ser escritos na 
A
B
 
forma (A dividido por B), onde A e B são números inteiros. 
Exemplos: 
 
5
4
 é Racional, pois é a divisão do número inteiro 5 pelo 
número inteiro 4. 
 
−
15
9
 é Racional, pois é a divisão do número inteiro -15 pelo 
número inteiro 9, ou a divisão de 15 por -9. 
 
Matemática 
 
 
 2 
73 e -195 são Racionais, pois são a divisão dos números 73 e 
-195 pelo número 1. 
 
 
Observe este último exemplo. Já tínhamos visto que 
qualquer número natural é também inteiro. E agora vemos 
que todo número inteiro é também racional! Isto porque 
qualquer número inteiro é o resultado da divisão dele 
mesmo por 1, podendo ser representado na forma 
A
1
 (A 
dividido por 1, onde A é um número inteiro qualquer). Veja 
se este novo diagrama, contendo os números Naturais, 
Inteiros e Racionais, faz sentido para você: 
 
 
O zero também faz parte dos Números Racionais (pode ser 
escrito na forma 
0
1
 concorda?). Porém, quando escrevemos 
um número racional na forma 
A
B
 o denominador (isto é, o 
número B) nunca é zero. Isto porque a divisão de um 
número por zero é impossível (exceto 
0
0
 cujo valor é 
indeterminado). 
No conjunto dos Números Racionais, temos 
basicamente 3 tipos de números: 
 
a)Frações. Ex.: 
7
8
, 
5
3
, −
12
37
 
 
b)Números decimais. Ex.: 1,25 
 Veja que este número decimal tem escrita finita, isto é, 
um número definido de casas após a vírgula. Por isso, ele 
também poderia ser escrito na forma 
A
B
 Neste caso, 
poderíamos representá-lo como 
125
100
 , ou mesmo simplificá-lo 
para 
5
4
. 
 
c) Dízimas periódicas. Ex.: 0,33333... ou simplesmente 
(a barra indica que o algarismo 3 repete-se 
indefinidamente). As dízimas periódicas são consideradas 
racionais porque também podem ser escritas na forma 
A
B
 O 
número deste exemplo poderia ser escrito na forma 
1
3
 
Existem métodos que nos permitem encontrar qual fração 
A
B
 
é equivalente a uma determinada dízima periódica. Outro 
exemplo de dízima periódica: 
 
Antes de prosseguirmos, vejamos como obter as 
frações que dão origem a dízimas periódicas. Por exemplo, 
ao dividir 1 por 3 você obterá 0,333... , ou simplesmente 
 Assim, dizemos que a “fração geratriz” da dízima 
é igual a 
1
3
 Existem métodos que nos permitem, a partir de 
uma dízima periódica, chegar até a fração que deu origem a 
ela. 
Em alguns casos, a parte que se repete já começa 
logo após a vírgula. Isto é o caso em: 
0,333... 
0,353535... 
0,215215215... 
 
Em outros casos, existem alguns números entre a 
vírgula e o início da repetição. Veja esses números 
sublinhados nas dízimas abaixo: 
 
0,1333... 
0,04353535... 
0,327215215215... 
 
 Vamos começar trabalhando com os casos onde a 
repetição começa logo após a vírgula, para a seguir estender 
o método aos casos onde existem números entre a vírgula e 
o início da repetição. 
 
Casos onde a repetição começa logo após a vírgula: 
 
Vamos trabalhar com a dízima 0,333... . Chamemos 
de X a fração que dá origem a esta dízima. Ou seja, 
X = 0,333... 
 
 Como a repetição é formada por um único 
número (3), se multiplicarmos esta dízima por 10 
conseguimos passar, para o outro lado da vírgula, o primeiro 
número da repetição: 
10X = 10 x 0,333... = 3,333... 
 
Observe que 10X = 3 + 0,333... . Veja ainda a seguinte 
subtração: 
10X – X = 3,333... – 0,333... 
 
Os dois números à direita da igualdade acima possuem 
infinitas casas decimais idênticas. Portanto, o resultado 
desta subtração é: 
9X = 3 
 
X= 
𝟑
𝟗
 = 
𝟏
𝟑
 
Assim, descobrimos que a fração geratriz da dízima 0,333... é 
x= 
1
3
 . 
 
Vejamos um segundo exemplo: vamos buscar a 
fração geratriz da dízima 0,216216216... . Repare que temos 
a repetição de 216, e não há nenhuma casa separando a 
vírgula e o início da repetição. Chamando de X a fração 
geratriz da dízima, temos: 
X = 0,216216216... 
Para passar a primeira repetição (216) para a 
esquerda da vírgula, precisamos multiplicar X por 1000: 
1000X = 216,216216216... 
 
Efetuando a subtração 1000X – X podemos obter a 
fração geratriz: 
1000X – X = 216,216216216... – 0,216216216... 
 
999X = 216 
X=
𝟐𝟏𝟔
𝟗𝟗𝟗
 = 
𝟐𝟒
𝟏𝟏𝟏
 
 
 
Matemática 
 
 
 3 
Assim, a geratriz de 
 
 
 
 Casos onde existem números entre a vírgula e o início da 
repetição: 
Vejamos como obter a fração geratriz da dízima1,327215215215... . Veja que, neste caso, temos a repetição 
do termo 215. Entre a vírgula e o início da repetição temos 3 
números (327). Deste modo, chamando de X a fração 
geratriz, temos: 
X = 1,327215215215... 
 
Multiplicando X por 1000 conseguimos deixar, à 
direita da vírgula, apenas os termos que se repetem: 
1000X = 1327,215215215... 
 
E multiplicando X por 1000000 conseguimos passar a 
primeira repetição “215” para o lado esquerdo da vírgula: 
1000000X = 1327215,215215215... 
 
Assim, podemos efetuar a seguinte subtração: 
1000000X – 1000X = 1327215,215215215... - 
1327,215215215... 
 
999000X = 1327215 – 1327 
999000X = 1325888 
X=
𝟏𝟑𝟐𝟓𝟖𝟖𝟖
𝟗𝟗𝟗𝟎𝟎𝟎
 
 
Temos, portanto, a fração geratriz da dízima 
1,327215215215... . Poderíamos ainda simplificá-la, se 
quiséssemos. 
 
 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS E 
RACIONAIS 
As quatro operações básicas que podemos efetuar 
com estes números são: adição, subtração, multiplicação e 
divisão. Vejamos em detalhes cada uma delas. 
 
A) ADIÇÃO: A adição de dois números é dada pela soma 
destes dois números. Isto é, a adição de 15 e 6 é: 
15 + 6 = 21 
 
Você se lembra do método para se efetuar a soma 
de dois números? Vamos exercitar efetuando a soma 728 + 
46. Primeiramente, você deve posicionar estes números um 
abaixo do outro, alinhados pela direita (casa das unidades): 
728 
+46 
 
 
A seguir devemos começar a efetuar a soma pela 
direita. Somando 8 + 6 obtemos 14. Com isto, devemos 
colocar o algarismo das unidades (4) no resultado e 
transportar o algarismo das dezenas (1) para a próxima 
soma: 
 1 
 728 
 +46 
 4 
 
Agora, devemos somar os dois próximos números 
(2 + 4), e adicionar também o número que veio da soma 
anterior (1). Assim, obtemos 7. Devemos colocar este 
número no resultado: 
728 
+46 
 74 
Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas 
do número 728. Como o segundo número (46) não possui 
casa das unidades, podemos simplesmente levar este 7 para 
o resultado, obtendo: 
728 
+46 
 
774 
 
 Chegamos ao nosso resultado final. Antes de 
conhecermos a próxima operação, vejamos as principais 
propriedades da operação de adição. 
 
- propriedade comutativa: dizemos que a adição de 
números inteiros ou racionais possui a propriedade 
comutativa, pois a ordem dos números não altera a soma. 
Isto é, 728 + 46 é igual a 46 + 728. 
 
- propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais números, 
podemos primeiramente somar 2 deles, e a seguir somar o 
outro, em qualquer ordem, que obteremos o mesmo 
resultado. Logo, esta propriedade está presente na adição. 
Ex.: 2 + 5 + 7 = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 14. 
 
- elemento neutro: dizemos que o zero é o elemento neutro 
da adição, pois qualquer número somado a zero é igual a ele 
mesmo. Ex.: 2 + 0 = 2; 45 + 0 = 45. 
 
- propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que 
a soma de dois números racionais SEMPRE gera outro 
número racional, e a soma de dois números inteiros 
SEMPRE gera outro número inteiro. Ex: a soma dos números 
inteiros e racionais 2 e 5 gera o número inteiro e racional 7 
(2 + 5 = 7). 
 
 
B) SUBTRAÇÃO: efetuar a subtração de dois números 
significa diminuir, de um deles, o valor do outro. Isto é, 
subtrair 5 de 9 significa retirar 5 unidades de 9, restando 4 
unidades: 
9 – 5 = 4 
 
Acompanhe a subtração abaixo para relembrar o 
método para a subtração de números. Vamos efetuar a 
operação 365 – 97: 
365 
- 97 
 
 
Observe que o primeiro passo é posicionar um 
número abaixo do outro, alinhando as casas das unidades. 
Começamos a efetuar a subtração a partir da casa das 
unidades. Como 5 é menor do que 7, não podemos subtrair 
5 – 7. Devemos, portanto, “pegar” uma unidade da casa das 
dezenas de 365. Levando este valor para a casa das 
Matemática 
 
 
 4 
unidades, temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam a 15 
unidades. Agora sim podemos subtrair 15 – 7 = 8, e anotar 
este resultado: 
365 
- 97 
 
 8 
Devemos agora subtrair as casas das dezenas. 
Devemos subtrair 5 – 9, e não 6 – 9, pois já utilizamos uma 
unidade na primeira subtração acima. Como 5 é menor que 
9, devemos novamente “pegar” uma unidade da casa das 
centenas de 365, e somar ao 5. Assim, teremos 15 – 9 = 6. 
Vamos anotar este resultado: 
365 
- 97 
 
 68 
 
 
Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja 
que não temos mais um 3 na casa das centenas de 365, e 
sim 2, pois já usamos uma unidade na operação anterior. 
Como 97 não tem casa das centenas, basta levarmos este 2 
para o resultado: 
365 
- 97 
 
268 
 
 E se quiséssemos efetuar a subtração 97 – 365? 
Neste caso, como 97 é menor que 365, devemos: 
 
- subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a 
operação 365 – 97; 
- colocar o sinal negativo (-) no resultado. 
 
Desta forma, 97 – 365 = -268. Vejamos as principais 
propriedades da operação de subtração. 
 
- propriedade comutativa: dizemos que a subtração de 
números NÃO possui a propriedade comutativa, pois a 
ordem dos números ALTERA o resultado. Como vimos acima, 
365 – 97 = 268, já 97 – 365 = -268. 
 
- propriedade associativa: a subtração NÃO possui essa 
propriedade, pois (A – B) – C pode ser diferente de 
(C – B) – A 
 
- elemento neutro: o zero é o elemento neutro da 
subtração, pois, ao subtrair zero de qualquer número, este 
número permanecerá inalterado. Ex.: 2 – 0 = 2. 
 
- propriedade do fechamento: a subtração de números 
inteiros ou racionais possui essa propriedade, pois a 
subtração de dois números racionais SEMPRE gera outro 
número racional, e a subtração de dois números inteiros 
SEMPRE gera outro número inteiro. 
 
- elemento oposto: para todo número A, existe também o 
seu oposto, com sinal contrário, isto é, -A. Exemplos de 
números opostos: 5 e -5, 29 e -29 etc. Também podemos 
dizer que o elemento oposto de A é aquele número que, 
somado a A, resulta em zero: 
A + (-A) = 0 
 
C) MULTIPLICAÇÃO: a multiplicação nada mais é que uma 
repetição de adições. Por exemplo, a multiplicação 15 x 3 é 
igual à soma do número 15 três vezes (15 + 15 + 15), ou à 
soma do número 3 quinze vezes (3 + 3 + 3 + ... + 3). Vejamos 
como efetuar uma multiplicação: 
 
 
57 
x 13 
 
 
Novamente alinhamos os números pela direita. 
Começamos multiplicando os números das unidades: 3 x 7 = 
21. Deixamos o algarismo das unidades (1) no resultado, e 
levamos o algarismo das dezenas (2) para a próxima 
operação: 
2 
57 
x 13 
 
 1 
 Agora devemos multiplicar os número das 
unidades do segundo número (3) pelo número das dezenas 
do primeiro número: 3 x 5 = 15. Antes de colocar este valor 
no resultado, devemos adicionar o 2 que veio da operação 
anterior: 15 + 2 = 17. Assim, temos: 
 
57 
x 13 
 
171 
 
 Agora devemos multiplicar o algarismo das 
dezenas do segundo número (1) pelo algarismo das unidades 
do primeiro número (7): 1 x 7 = 7. Devemos levar este 
número para o resultado, entretanto devemos colocá-lo logo 
abaixo do algarismo das dezenas do segundo número (1). 
Veja: 
57 
x 13 
 
171 
7 
 A seguir, devemos multiplicar o algarismo das 
dezenas do segundo número (1) pelo algarismo das dezenas 
do primeiro número (5): 1 x 5 = 5. Assim, temos: 
57 
x 13 
 
171 
57 
 
 Por fim, devemos somar as duas linhas de 
resultado, obtendo: 
57 
x 13 
 
171 
570 
 
741 
 
Matemática 
 
 
 5 
 Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um 
zero à direita do 57, transformando-o em 570. Fazemos isto 
porque este resultado (57) surgiu da multiplicação do 
algarismo das dezenas do multiplicador (13). Se fosse do 
algarismo das centenas do multiplicador, colocaríamos 2 
zeros, e assim por diante. 
 É importante relembrar as regras de sinais na 
multiplicação de números. Você deve se lembrar que: 
 
- a multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado 
positivo. 
Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = 25. 
- a multiplicação de números de sinais diferentes tem 
resultado negativo. 
Ex.: 5x(-5) = -25. 
 
 Portanto, se tivéssemos multiplicado (-57) x 13, ou 
então 57 x (-13), deveríamos obter -741.E se tivéssemos 
multiplicado (-57) x (-13) deveríamos obter 
741. 
 
 Vejamos as principais propriedades da operação 
de multiplicação: 
 
- propriedade comutativa: a multiplicação possui essa 
propriedade, pois A x B é igual a B x A, isto é, a ordem não 
altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 x 3 = 15). 
 
- propriedade associativa: a multiplicação possui essa 
propriedade, pois (A x B) x C é igual a (C x B) x A, que é igual 
a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x 3) x 2 = 24. 
 
- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da 
multiplicação, pois ao multiplicar 1 por qualquer número, 
este número permanecerá inalterado. Ex.: 5 x 1 = 5. 
 
- propriedade do fechamento: a multiplicação possui essa 
propriedade, pois a multiplicação de números racionais 
SEMPRE gera um número racional, e a multiplicação de 
números inteiros SEMPRE gera outro número inteiro (ex.: 5 x 
7 = 35). 
 
- propriedade distributiva: apenas a multiplicação possui 
essa propriedade. Esta propriedade nos permite dizer que: 
 
Ax(B+C) = (AxB) + (AxC) 
 
Exemplificando: 
 
5x(3+7) = 5x(10) = 50 
ou, usando a propriedade: 
5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = 15+35 = 50 
 
 
D) DIVISÃO: quando dividimos A por B, queremos repartir a 
quantidade A em partes de mesmo valor, sendo um total de 
B partes. Ex.: Ao dividirmos 10 por 2, queremos dividir 10 em 
2 partes de mesmo valor. No caso, 10 2 5 ÷ = . Vamos 
relembrar como efetuar divisões com o caso abaixo, onde 
dividimos 715 por 18: 
715 |18 
 
 
 Neste caso, chamamos o 715 de dividendo 
(número a ser dividido) e o 18 de divisor (número que está 
dividindo o 715). Como o divisor possui 2 casas (18), 
devemos tentar dividir as primeiras duas casas da esquerda 
do dividendo (71). Veja que 18x4 = 72 (que já é mais que 71). 
Já 18x3 = 54. Assim, temos: 
715 |18 
 3 
 
 
 Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado 
abaixo de 71, e a seguir efetuar a subtração: 
 
715|18 
-54 3 
 
17 
 
 Agora devemos “pegar” o próximo algarismo 
do dividendo (5): 
 
715|18 
 -54 3 
 
 175 
 
 Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. 
Devemos anotar o 9 no resultado, à direita, e anotar o 
resultado da multiplicação 9 x 18 abaixo do 175, para 
efetuarmos a subtração: 
 
715|18 
-54 39 
 
 175 
 -162 
 
 13 
 
 Agora temos o número 13, que é inferior ao divisor 
(18). Portanto, encerramos a divisão. Obtivemos o quociente 
(resultado) 39 e o resto igual a 13. 
Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela deixou um 
resto. 
 Observe que o dividendo (715) é igual à 
multiplicação do divisor (18) pelo quociente (39), adicionada 
do resto (13). Isto é: 
715 = 18 x 39 + 13 
 
Como regra, podemos dizer que: 
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto 
 As regras de sinais na divisão são as mesmas da 
multiplicação: 
 
- a divisão de números de mesmo sinal tem resultado 
positivo. 
 
- a divisão de números de sinais diferentes tem resultado 
negativo. 
 
 Portanto, se tivéssemos dividido (-10) por 2, ou 
então 10 por (-2), deveríamos obter -5. E se tivéssemos 
dividido (-10) por (-2) deveríamos obter 5. 
 
Matemática 
 
 
 6 
 Vejamos as principais propriedades da operação 
de divisão: 
 
- propriedade comutativa: a divisão NÃO possui essa 
propriedade, pois A / B pode ser diferente de B / A. Ex.: 2 / 5 
= 0,4; e 5 / 2 = 2,5. 
 
- propriedade associativa: a divisão NÃO possui essa 
propriedade, pois (A / B) / C pode ser diferente de (C / B) / A. 
Ex.: (2/5)/3 é diferente de (3/5)/2. 
 
- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da 
divisão, pois ao dividir qualquer número por 1, o resultado 
será o próprio número. Ex.: 5 / 1 = 5. 
 
- propriedade do fechamento: aqui está a grande diferença 
entre números inteiros e números racionais. A divisão de 
números racionais possui a propriedade do fechamento, 
pois ela SEMPRE gera um número racional (ex.: 2 / 100 = 
0,02; que é racional). Já a divisão de números inteiros NÃO 
POSSUI essa propriedade, pois ao dividir números inteiros 
podemos obter resultados fracionários ou decimais (como 
no exemplo 2 / 100 = 0,02), que não pertencem ao conjunto 
dos números inteiros. 
 
 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS 
 Os números decimais são, em regra, aqueles que resultam 
da divisão não exata de dois números inteiros. São os 
números que possuem “casas após a vírgula”. A 
manipulação deles é essencial para a resolução de diversas 
questões, motivo pelo qual você precisa saber somá-los, 
subtraí-los, multiplicá-los, dividi-los, elevá-los a potências e 
extrair raízes dos mesmos. Vejamos cada uma dessas 
operações em detalhes. 
 
A) ADIÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS: 
 A adição de dois números decimais segue a mesma lógica 
da adição comum. 
Isto é: 
- os números devem ser posicionados um embaixo do outro, 
com a vírgula logo abaixo da vírgula do outro, e as casas 
correspondentes uma embaixo da outra 
- as casas correspondentes devem ser somadas, começando 
da direita para a esquerda. 
- à medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem 
ser transferidas para a próxima adição (das casas logo à 
esquerda). 
 
 Vamos aplicar estes passos na adição de 13,47 e 
2,9. Colocando os números um embaixo do outro, com a 
vírgula uma embaixo da outra, temos todas as casas 
correspondentes em uma mesma vertical: 
13,47 
+ 2,9 
 
 Veja que a casa das unidades do primeiro número 
(3) está logo acima da casa das unidades do segundo 
número (2). A primeira casa decimal do primeiro número (4) 
está logo acima da primeira casa decimal do segundo (1). E 
assim por diante. Como não há casa decimal abaixo do 7, 
podemos considerá-la igual a 0. Agora, basta começar a 
somar as casas correspondentes, começando pelas da 
direita, anotando o resultado. Quando houver a formação de 
dezenas (ex.: 4 + 9 = 13), a dezena (1) deve ser transferida 
para a próxima operação (3 + 2). Com isso, temos: 
 
 
13,47 
+ 2,9 
 
16,37 
 
 
 
 
B) SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS: 
 Aqui também devemos posicionar os 
números um abaixo do outro, com a vírgula do primeiro na 
mesma vertical da vírgula do segundo número. A seguir 
devemos subtrair as casas correspondentes, da direita para 
a esquerda. Vejamos: 
13,47 
- 2,9 
 
10,57 
 
 Repare, neste exemplo, que no momento 
de efetuar a subtração 4 – 9 foi preciso pegar uma unidade 
da casa à esquerda do 4 (no caso, o 3) e “transformá-la” em 
uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraímos 14 – 9, 
obtendo o resultado 5. A seguir, ao invés de subtrair 3 – 2, 
tivemos que subtrair 2 – 2 pois uma unidade do “3” já havia 
sido utilizada. 
 
 
C) MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS: 
 
Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação 
comum, com duas observações: 
- devemos posicionar os números assim como fizemos na 
adição e na subtração, isto é, com a vírgula de um logo 
abaixo da vírgula do outro. 
- o número de casas decimais do resultado será igual à soma 
do número de casas decimais dos dois números sendo 
multiplicados. Assim você saberá posicionar a vírgula. 
Vejamos o nosso exemplo: 
 
13,47 
x 2,9 
 
12123 
+ 26940 
 
 39,063 
 
 Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se 
à multiplicação de 13,47 por 9. Já a segunda linha refere-se à 
multiplicação de 13,47 por 2. Nesta linha há um 0 à direita 
porque o 2 está uma casa decimal à frente do 9. Efetuando a 
soma das duas linhas, obtém-se 39063. E, lembrando que 
existem 3 casas decimais nos números sendo multiplicados 
(duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas decimais 
no resultado, o que leva ao número 39,063. 
 
 
D) DIVISÃO DE NÚMEROS DECIMAIS: 
Matemática 
 
 
 7 
 Para efetuar a divisão de números decimais, 
devemos inicialmente multiplicar ambos os números (divisor e 
dividendo) por uma potência de 10 (10, 100, 1000, 10000 etc.) 
de modo a retirar todas as casas decimais presentes. Após 
isso, é só efetuar a operação normalmente. 
 Para exemplificar, vamos dividir3,5 por 0,25. 
Observe que o número que possui mais casas decimais é o 
divisor (0,25), possuindo 2 casas decimais. Assim, devemos 
multiplicar ambos os números por 100, de modo a retirar 
ambas as casas decimais: 
3,5 x 100 = 350 
0,25 x 100 = 25 
 
Agora, basta efetuar a divisão de 350 por 25, que 
você sabe fazer, tendo como resultado o número 14. 
 
 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO – (NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o 
que foi visto aqui, efetue as seguintes operações, cujo 
gabarito é fornecido em seguida. 
 
 
a) 2,25 + 1,7 
b) 2,25 – 1,7 
c) 2,25 x 1,7 
d) 2,25 / 1,5 
e) 0,898 + 1,12 
f) 0,898 – 1,12 
g) 0,898 x 1,12 
h) 0,898 / 0,01 
 
 
Respostas: 
a) 3,95 
b) 0,55 
c) 3,825 
d) 1,5 
e) 2,018 
f) -0,222 
g) 1,00576 
h) 89,8 
 
 
 
NÚMEROS IRRACIONAIS 
 Os Números Irracionais são aqueles que, ao 
contrário dos Racionais, não podem ser obtidos da divisão de 
dois inteiros, ou seja, não podem ser escritos na forma 
A
B
 
(onde A e B são números inteiros). Isto porque esses números 
são formados por uma sequência infinita de algarismos. 
 
Exemplo: na obtenção da raiz quadrada do algarismo 2, nos 
deparamos com um número irracional: √2 =1,41421356... 
 
(as reticências indicam que este número é composto por 
infinitos algarismos) 
 
 Da mesma forma, o conhecido número π (“pi”), 
muito utilizado na trigonometria, possui infinitas casas 
decimais que não se repetem como em uma dízima periódica, 
o que faz dele um número irracional: 
 
π=3,141592653... 
 
 
NÚMEROS REAIS 
 O conjunto dos Números Reais é formado pela união 
dos números Racionais e Irracionais. Desta forma, podemos 
dizer que: 
 
 
 (O conjunto dos Números Naturais está contido no 
dos Inteiros, que está contido no dos Racionais, que está 
contido no dos Reais) E, além disso, 
 
(O conjunto dos Números Irracionais está contido no dos 
Números Reais) 
 
Complementando o diagrama que desenhamos nos 
tópicos acima, agora temos: 
 
 
 
 No diagrama acima, Q/R significa que aquele 
subconjunto pertence aos Números Racionais e Reais, e I/R 
significa que aquele subconjunto pertence aos Números 
Irracionais e Reais. 
 
 
1.1.1 NÚMEROS PRIMOS E FATORAÇÃO 
 Dizemos que um número é primo quando ele só 
pode ser dividido, sem deixar resto, por 1 e por si mesmo. 
Veja, por exemplo, o número 7. Como qualquer número, ele 
pode ser dividido por um, tendo como resultado 7 e não 
deixando resto algum. Entretanto, experimente dividi-lo por 2, 
3, 4, 5 ou 6, e verá que sempre há um resto diferente de zero. 
Apenas ao dividi-lo por 7 é que não encontraremos resto 
novamente. Portanto, 7 é um número primo, pois só é 
divisível por 1 e por ele mesmo. Diversos outros números 
possuem essa propriedade, como os listados abaixo: 
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...} 
 
A título de curiosidade, repare que o 2 é o único 
número primo par. Todos os demais são ímpares. 
Qualquer número natural pode ser representado 
como uma multiplicação de números primos. Por exemplo, 6 
pode ser representado por 2 x 3. Este processo de transformar 
um número qualquer em um produto de números primos é 
chamado de fatoração. 
Vamos fatorar o número 24. Devemos começar 
tentando dividi-lo por 2, que é o menor número primo 
(muitos autores não consideram que o 1 seja um número 
primo). Esta divisão é exata (não possui resto), e o resultado é 
12. Podemos dividir novamente por 2, tendo resultado 6, e 
dividir o 6 outra vez por 2, tendo resultado 3. Agora não é 
mais possível dividir por 2. Assim, devemos partir para o 
próximo número primo, que é o 3. Dividindo 3 por 3 temos 
resultado 1. Repare que para chegar no resultado 1 foi preciso 
dividir 24 por 2 em 3 etapas, e a seguir dividir por 3 em uma 
etapa. Portanto, 24 = 2 x 2 x 2 x 3, ou simplesmente 24 = 23 x 
3. Visualize este processo abaixo: 
 
Número Fator primo 
24 
12 
6 
2 
2 
2 
Matemática 
 
 
 8 
3 
1 
 
3 
Logo, 24 = 2³ x 3 
 
Para praticar, vejamos a fatoração do número 450: 
Número Fator primo 
450 
225 
75 
25 
5 
1 
 
2 
3 
3 
5 
5 
Logo, 450 = 2 x 3² x 
5² 
 
 Vejamos ainda a fatoração do número 1001. 
Observe que ele não é divisível (ou seja, deixa resto) por 2, 3 
ou 5. Apenas ao chegar o fator primo 7 é que conseguimos 
dividi-lo. Acompanhe abaixo: 
 
Número Fator primo 
1001 
143 
13 
1 
7 
11 
13 
Logo, 1001 = 7 x 11 x 13 
 
 A fatoração será muito útil na obtenção do Mínimo 
Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum entre dois 
números, como veremos a seguir. 
 
 
1.1.2 MÚLTIPLOS E DIVISORES DE NÚMEROS NATURAIS 
 Para a resolução de diversas questões que podem 
cair em sua prova, vale a pena você desenvolver a rapidez na 
obtenção de múltiplos e divisores de um dado número, 
calcular o mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum 
entre dois números, e conhecer regras práticas para saber se 
um número é ou não divisível por outro (critérios de 
divisibilidade). 
 
 Os múltiplos de um número X são aqueles 
números que podem ser obtidos multiplicando X por outro 
número natural. Por exemplo, os múltiplos de 3 são: 3, 6, 
9, 12, 15 etc. Repare que esses números podem ser obtidos 
multiplicando 3 por 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente. Quando 
temos 2 números X e Y, e listamos os múltiplos de cada um 
deles, podemos ter múltiplos em comum entre os dois. 
 
Exemplificando, vamos listar alguns múltiplos de 8 e de 12: 
Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 etc. 
Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 etc. 
 
 Observe que os seguintes números são múltiplos 
de 8 e também de 12: 24, 48, 72. Isto é, são múltiplos em 
comum desses 2 números. O menor deles, neste caso o 24, é 
chamado de mínimo múltiplo comum (MMC) entre 8 e 12. O 
cálculo do MMC se mostra útil na resolução de diversos 
exercícios, como veremos adiante. 
 
 Um método simples de se calcular o MMC entre 2 
números é dado pelos seguintes passos: 
1. Decompor cada número em uma multiplicação de fatores 
primos; 
2. O MMC será formado pela multiplicação dos fatores 
comuns e não comuns dos dois números, de maior 
expoente. 
 Decompondo 8 em fatores primos, temos que 8 = 
2x2x2 = 23. E decompondo 
12 em fatores primos, temos que 12 = 2x2x3 = 22 x3. 
 Assim, o MMC será formado pelos fatores comuns 
(2) e não comuns (3) de maior expoente (isto é, MMC = 23 
 x 3 = 24). 
 A título de exercício, vamos calcular o MMC entre 
15 e 9. Veja que 15 = 3x5, 
e 9 = 32. Portanto, MMC = 32 x5 = 45. 
 
 Para você entender como o MMC pode ser útil na 
resolução de questões, imagine o seguinte caso: dois colegas 
de trabalho, João e José, gostam de realizar festas em suas 
casas periodicamente. João costuma realizar festas de 9 em 
9 dias, enquanto José costuma realizar festas de 15 em 15 
dias. Sabendo que hoje houve festa na casa de ambos, daqui 
a quanto tempo as datas das festas de ambos coincidirão 
novamente? 
 Ora, se João dá festas de 9 em 9 dias, sua próxima 
festa será daqui a 9 dias, a seguinte daqui a 18, a outra daqui 
a 27, e assim por diante. Já a próxima festa de José será 
daqui a 15 dias, depois daqui a 30, depois 45 etc. Observe 
que os dias em que ambos darão festas devem ser um 
múltiplos de 9 e também de 15, isto é, múltiplos comuns de 
9 e 15. A próxima festa ocorrerá no menor desses múltiplos, 
isto é, no mínimo múltiplo comum entre 9 e 15. Como 
calculamos acima, MMC (9, 15) = 45. Portanto, a próxima 
vez em que as festas coincidirão ocorrerá daqui a 45 dias. 
 
 Dizemos que um número é divisível por outro 
quando esta divisão é exata, não deixando resto nem casas 
decimais. Para saber se um número é divisível por outro, 
basta efetuar a divisão e verificar se existe resto. Ex.: 25÷5=5 
, portanto 25 é divisível por 5. O problema surge quando 
queremos julgar, por exemplo, se o número 1765830275 é 
divisível por 5. Efetuar esta divisão à mão consome muito 
tempo. Para identificarmos rapidamente essa divisibilidade, 
existem os critérios de divisibilidade. Os principais deles 
encontram-se na tabela abaixo: 
 
 
*7 e 8 foram omitidos intencionalmente, pois possuem 
critérios muitodifíceis, motivo pelo qual praticamente não 
são cobrados. 
Matemática 
 
 
 9 
 Chamamos de máximo divisor comum (MDC) entre 
dois números A e B o maior número pelo qual tanto A 
quanto B podem ser divididos de maneira exata, isto é, sem 
deixar resto. 
 Podemos calcular o máximo divisor comum entre 2 
números listando os divisores de cada um deles. 
Exemplificando, vamos listar os divisores de 32 e 40: - 32 
pode ser dividido por: 1, 2, 4, 8, 16, 32. 
- 40 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. 
- Divisores comuns entre 32 e 40: 1, 2, 4, 8. 
 
 Vejam que 8 é o máximo divisor comum (MDC) 
entre 32 e 40. 
Para calcular o MDC sem precisar listar todos os divisores de 
cada número (como fizemos acima), basta seguir 2 passos: 
1. Decompor cada um dos números em fatores primos (ex.: 
32 = 2 5 ; 40 = 2³ ×5) 
2. O MDC será formado pela multiplicação dos fatores 
comuns de menor expoente (neste caso, apenas o 2 é 
comum, e seu menor expoente é 3. Logo, MDC = 2³ = 8); 
 
 Para você visualizar uma aplicação prática do MDC, 
imagine o seguinte caso: temos um conjunto de 20 cães e 30 
gatos. Queremos criar grupos de gatos e grupos de cães, 
sem misturá-los, porém todos os grupos devem ter o mesmo 
número de integrantes. Qual o menor número de grupos 
possível? 
 Para obter o menor número de grupos possível, 
precisamos dividir 20 e 30 pelo maior número possível. Este 
maior número que divide tanto 20 quanto 30, sem deixar 
resto, é justamente o MDC entre 20 e 30. 
Decompondo 20 em fatores primos, temos que 20 = 2²x5. 
Temos também que 30 = 2x3x5. Portanto, MDC(20,30) = 2x5 
= 10. Portanto, devemos formar grupos de 10 elementos. 
Isto é, 2 grupos com 10 cães em cada, e 3 grupos com 10 
gatos em cada. Assim, o menor número de grupos possível é 
5. 
 
 Podemos ainda calcular o MMC e o MDC mais 
rapidamente, fatorando os números simultaneamente. 
Vejamos como fazer isso com exemplos: 
 
A) CÁLCULO DO MMC ENTRE 30 E 40: 
 Inicialmente escrevemos os dois números, um em 
cada coluna. Na terceira coluna vamos escrever os fatores 
primos que dividem os números. Devemos começar pelos 
menores fatores primos (2, 3, 5...), em ordem crescente. 
Nosso objetivo é dividir os números até ambos ficarem 
iguais a 1. Veja: 
 
30 40 Fator 
Primo 
30/2=15 40/2=20 2 
15(Não dá p/ dividir por 2) 20/2=10 2 
15(Não dá p/ dividir por 2) 10/2=5 3 
15/3=5 5 não dá p/ 
dividir por 3 
3 
5/5=1 5/5=1 5 
 
 MMC=2³x 3x5= 120 
 
B) CÁLCULO DO MDC ENTRE 30 E 40: 
 Inicialmente escrevemos os dois números, um em 
cada coluna. Na terceira coluna vamos escrever os fatores 
primos que dividem os números. Devemos começar pelos 
menores fatores primos (2, 3, 5...), em ordem crescente. 
Aqui o nosso objetivo é dividir os números apenas pelos 
fatores que sejam capazes de dividir ambos os números 
simultaneamente: 
 
30 40 Fator Primo 
15 20 2 
3 4 5 
 MDC = 2 x 5 = 10 
 
 
1.1.3 Frações e operações com frações 
 Ao trabalhar com números racionais, 
recorrentemente estaremos lidando com frações, que nada 
mais são que operações de divisão. Escrever 
2
5
 é equivalente 
a escrever 2÷5 . As frações estão constantemente presentes 
na resolução de exercícios, motivo pelo qual é essencial 
lembrar como efetuamos cada operação com elas: soma, 
subtração, multiplicação e divisão. 
 
a) Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-
las com o mesmo denominador, isto é, com um 
denominador comum. Este denominador é, simplesmente, 
um múltiplo comum entre os denominadores das frações 
originais. Falaremos sobre múltiplos adiante, de modo que 
aqui veremos apenas o básico. 
Vamos entender isto com o exemplo abaixo: 
1
6
 +
3
8
 
 
 Veja o número 24 é um múltiplo de 6 (pois 6x4 = 
24) e de 8 (pois 8x3 = 24). Para trocar o denominador da 
fração 
1
6
 para 24, é preciso multiplicar o denominador 6 por 
4. Assim, também devemos multiplicar o numerador 1 por 4, 
para manter a fração. Portanto, 
1
6
 = 
4
24
. 
 
 Já para trocar o denominador da fração 
3
8
 para 24, 
é preciso multiplicar o denominador 8 por 3. Assim, também 
devemos multiplicar o numerador 3 por 3, para manter a 
fração. Portanto, 
3
8
 = 
9
24
. 
Agora sim podemos efetuar a soma: 
 
1
6
+
3
8
=
4
24
+ 
9
24
 = 
4+9
24
 = 
13
24
 
 
b) Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de 
uma pelo numerador da outra, e o denominador de uma 
pelo denominador da outra. Veja nosso exemplo: 
 
1
6
x
3
8
= 
1∗3
6∗8
=
3
48
. 
 
c) Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo 
INVERSO da segunda. Veja isso em nosso exemplo: 
 
Matemática 
 
 
 10 
1
6
3
8
=
1
6
÷
3
8
=
1
6
x
8
3
=
8
18
 
 
 
*** DICA IMPORTANTÍSSIMA: trabalhando com frações, 
normalmente podemos substituir a expressão “de” pela 
multiplicação. Veja como: - quanto é um terço de 1000? Ora, 
simplesmente 
1
3
x1000! 
 
- e quanto é dois sétimos de 25? A resposta 
2
7
 x25. 
-quanto vale um quarto da soma do número de homens 
(700) e de mulheres (600) presentes em um evento? 
Simplesmente 
1
4
x(700 + 600). 
por fim, quanto vale 5/9 da diferença entre os números X e 
Y? Aqui, a resposta é dada pela expressão 
5
9
x(X − Y) 
 
Certifique-se de que você entendeu isso. Usaremos bastante 
ao longo dos exercícios! 
 
 
1.1.4 POTENCIAÇÃO 
 Já tivemos que trabalhar com potências nesta aula, 
ao abordar a fatoração, mas nesta seção veremos mais 
detalhes sobre esta operação matemática. Observe o 
exemplo abaixo: 
5³= 5x5x5= 125 
 
(lê-se: “cinco elevado à terceira potência é igual a cinco 
vezes cinco vezes cinco”) 
 Pelo exemplo dado, você pode perceber que elevar 
um número X a uma determinada potência “n” é 
simplesmente multiplicar X por ele mesmo, “n” vezes. 
Outro exemplo, para não deixar dúvida: 
 24=2x2x2x2= 16 
 
(“dois elevado à quarta potência é igual ao dois multiplicado 
por ele mesmo 4 vezes”) 
 Resumindo, quando tratamos sobre potências 
temos sempre uma base (número X) elevada a um expoente 
(“n”). Entendido o conceito básico, podemos analisar 
algumas propriedades das potências. Essas propriedades 
facilitarão bastante o manuseio de equações que envolvam 
potências: 
a) Qualquer número elevado a zero é igual a 1. 
Trata-se de uma convenção, isto é, uma definição. Assim, 
podemos dizer que: 
 
𝟓𝟎=1 
(−𝟐𝟓)𝟎=1 
𝟎, 𝟑𝟎=1 
 
b) Zero elevado a qualquer número é igual a zero. 
 Isso é bem lógico, pois zero elevado a “n” significa 
zero multiplicado por ele mesmo, “n” vezes. Ex.: 
03=0x0x0=0 
 
c) Multiplicação de potências de mesma base (X): 
 A questão aqui é como multiplicar 4²x4³. 
Normalmente você faria assim: 
4²x4³= (4x4) x (4x4x4) =1024 
 
 Veja que basta somar os expoentes (“n”), uma vez 
que as duas potências têm a mesma base 4: 
4²x4³= (4x4) x (4x4x4) =1024 
 
d) Divisão de potências de mesma base (X): 
Como você faria a divisão 
45
43
 ? Provavelmente seria assim: 
45
43
= 
4x4x4x4x4
4x4x4
 = 4x4=16 
 
 Entretanto, observe que basta subtrair os 
expoentes (“n”), pois o numerador e denominador da 
divisão tem a base 4. Veja: 
45
43
=45−3=4²=16 
 
Analogamente, observe que ¼3= 4−3.Isto porque 
¼3=
40
43
= 40−3= 4−3 
 
 O que vimos acima nos permitirá levar uma 
potência do numerador para o denominador de uma divisão, 
ou vice-versa, simplesmente trocando o sinal da potência. 
Exemplificando, vamos resolver a expressão 4−3x 45 . 
Temos duas formas: 
 Usar a propriedade de multiplicação de potências de 
mesma base, somando os expoentes: 
4−3x 45 = 4−3+5=4²=16 
 
 
 Usar a propriedade que acabamos de ver, levando 4−3 para 
o denominador e, a seguir, fazendo a divisão de potências de 
mesma base: 
4−3x 45= 
45
43= 45−3= 4²=16 
 
e) Potência de potência: 
 A questão agora é resolver (2²)³. Você poderia 
inicialmente elevar 2 à segunda potência (isto é, ao 
quadrado), e a seguir elevar o resultado à terceira potência 
(ao cubo): 
(2²)³= (4)³=64Entretanto, veja que basta você elevar 2 ao 
resultado da multiplicação entre os dois expoentes: 
(2²)³= 22∗3 =26 =64 
 
f) Raiz de potência: 
 Quando estudarmos radiciação (próximo tópico), 
veremos que trata-se de uma operação inversa à 
potenciação. Assim, obter a raiz quadrada de um número é 
equivalente a elevá-lo a 
1
2
 , obter a raiz cúbica é equivalente 
a elevá-lo a 
1
3
 e assim por diante. 
 Visto isso, vamos obter o valor de √25 Veja que poderíamos 
fazer simplesmente assim: 
 √26= √2x2x2x2x2x2= √64=8 
 
Matemática 
 
 
 11 
Entretanto, como obter a raiz quadrada é igual a elevar a 
1
2
 , 
podemos fazer: 
√26=(26)
1
2=2
6∗(
1
2
)
= 2³=8 
 
 Note que utilizamos a propriedade anterior 
(potência de potência) para resolver este caso. 
 
 
g) Potência de produto: 
 Se tivermos que resolver uma expressão como 
(2x3)² , podemos fazer de algumas formas: 
 (2x3)²= (6)²= 36 
(2x3)²=(2x3)x(2x3) = 36 
(2x3)²= 2² x 3² = 4x9= 36 
 
 Veja a última forma. Ela nos diz que um produto A 
B× elevado à uma potência “n” é igual ao produto das 
potências 
Ane Bn. 
 
h) Potência de base 10: 
 Quando a base da potência for 10 e o expoente for 
um número natural “n”, fica bem fácil resolver. O resultado 
será formado pelo número 1 seguido de “n” zeros: 
 
103=1000 
106=1000000 
 
 Da mesma forma, se o expoente for um número 
inteiro negativo, basta usar as propriedades que vimos 
acima. Veja exemplos: 
 
10−3= 
1
103=
1
1000
=0,001 
 
10−6=
1
106=
1
1000000
=0,000001 
 
i) Potência de base negativa: 
 Quando a base da potência é um número negativo, 
devemos analisar qual será o sinal do resultado. Por ex.: (-
2)³=8 ou -8? 
 
Para isso, fica aqui uma regra: se o expoente for par, o 
resultado é positivo. 
Se o expoente for ímpar, o resultado será negativo. Neste 
caso, como 3 é ímpar, o resultado correto é -8. Você pode 
visualizar isso melhor fazendo a conta em etapas: 
 
(-2)³=(-2)x(-2)x(-2) = (4)x(-2) = -8 
 
Veja um exemplo com expoente par: 
 (−2)4= (-2)x(-2)x(-2)x(-2)=(4)x(4) = 16 
 
j) Fração elevada a um expoente: 
 Uma fração elevada a um expoente é igual a outra 
fração onde numerador e denominador estão elevados 
àquele expoente. Veja: 
 
(
𝟐
𝟑
)
𝟑
= 
𝟐𝟑
𝟑𝟑 
 
Isto pode ser visto fazendo a conta em etapas: 
(
𝟐
𝟑
)
𝟑
=
𝟐
𝟑
x
𝟐
𝟑
x 
𝟐
𝟑
 = 
𝟐𝐱𝟐𝐱𝟐
𝟑𝐱𝟑𝐱𝟑
= 
𝟐𝟑
𝟑𝟑= 
𝟖
𝟐𝟕
 
 
 
1.1.5 RADICIAÇÃO 
 Como já disse acima, a radiciação é uma operação 
inversa à potenciação. 
Quando dizemos que a raiz quadrada de 9 é 3, isso significa 
que 3 elevado ao quadrado será igual a 9. A operação de 
radiciação pode ser escrita usando-se o símbolo ou 
elevando o número em questão ao expoente 
1
n
 Veja alguns 
exemplos: 
 
√27
3
= 27
1
3=3, pois 3³ = 27 
√16 = 16
1
2= 4, pois 4² =16 
 
Veja que, quando se trata de raiz quadrada, podemos usar o 
símbolo √. 
 
As principais propriedades da radiciação são: 
a) Qualquer raiz de zero é igual a zero: 
 
 
 
 Veja que essa propriedade só vale se ambas as 
raízes tiverem o mesmo radical “n”. Ilustrando, temos que: 
√25x16= √25x √16 =5x4=20 
 
e) Raiz da divisão é igual à divisão das raízes: 
A raiz de A/B é igual à raiz de A dividida pela raiz de B: 
 
Veja esse exemplo: 
√
25
16
= 
√25
√16
=
5
4
 
 
f) Raiz de raiz: 
Por essa propriedade, temos que 
Exemplificando: 
Matemática 
 
 
 12 
 
Isso pode ser visto usando-se as propriedades de potência: 
 
 Vamos estudar um método para extrair a raiz de 
um número. Ele consiste em 2 passos: 
1. Decomposição do número em fatores primos 
2. Aplicação da propriedade 
 A título de exemplo, vamos calcular ∛216. Lembre-
se que os números primos são aqueles divisíveis apenas por 
1 e por si mesmos, ou seja: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 etc. 
Assim, iremos começar dividindo 216 pelo menor número 
primo (2) e, quando não mais for possível, passamos para o 
número primo seguinte (3), e assim sucessivamente. 
Teremos: 
 
 Feito isso, podemos aplicar a propriedade da 
radiciação da seguinte forma: 
 
 
 Se você ficou em dúvida, talvez precise voltar na 
seção de Potenciação e revisar as propriedades que 
estudamos. 
 Vamos resolver mais um caso:√7056.Decompondo 7056 
em fatores primos, temos: 
 
 
Portanto: 
 
 Várias vezes você irá se deparar com números que 
não possuem raiz exata. Apesar disso, é possível simplificar o 
resultado. Vamos calcular, por exemplo, a raiz quadrada de 
32. 
Fazendo a decomposição em fatores primos, temos que: 
32= 2x2x2x2x2= 25 
Assim, 
√32 = √25 
 
 Podemos simplificar esta expressão lembrando-se 
que 25 = 24x2: √32 = √25 = √24x2 = √24x√2 = 4x√2 ou 
simplesmente. 4√2. 
 
 Finalizando, é bom lembrar que no conjunto dos 
números racionais não existe raiz par de números negativos 
(ex.: não existe √−16 mas existe raiz ímpar ∛(−27) = −3 , 
pois (-3)³ = -27 
 
 
1.2 EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
Uma expressão numérica é uma sequência de números 
dispostos de acordo com sinais matemáticos, que indicam as 
operações a serem efetuadas. Veja um exemplo: 
 
 A resolução desse tipo de expressão é muito 
simples, desde que você se lembre das seguintes regras: 
1. Primeiro resolver o que está dentro dos parênteses, 
depois o que está entre colchetes, e a seguir o que está 
entre chaves. 
2. Primeiro resolver operações de radiciação ou potenciação, 
a seguir multiplicação ou divisão, e a seguir resolver 
operações de soma ou subtração. 
 Utilizando o nosso exemplo, veja que devemos 
inicialmente resolver as duas operações que encontram-se 
entre parênteses. Dentro desses parênteses, veja que há 
uma operação de radiciação √25 que é a primeira a ser 
resolvida: 
 
A seguir, resolvemos as demais operações dentro dos 
parênteses, obtendo: 
 
 
Em seguida resolvemos a subtração dentro das chaves: 
 35÷4= 
Por fim, resolvemos a divisão que se encontrava fora das 
chaves, obtendo: 
35÷4= 8,75 
 
 Vale a pena lembrar aqui que uma fração é uma 
operação de divisão como outra qualquer, e se houver uma 
fração em sua expressão numérica, basta resolvê-la no 
momento que você resolveria aquela operação de divisão. 
 
 
1.3 PORCENTAGEM 
 A porcentagem nada mais é do que uma divisão 
onde o denominador é o número 100. Você certamente 
deve estar bem habituado a ver porcentagens nas notícias 
da imprensa. Dizer que 12% (leia “cinco por cento”) dos 
brasileiros são desempregados é igual a dizer que 12 a cada 
grupo de 100 brasileiros não tem emprego. Veja outros 
exemplos: 
 
Matemática 
 
 
 13 
- “11% do seu salário deve ser pago a título de contribuição 
previdenciária”: de cada 100 reais que você recebe como 
salário, 11 devem ser pagos para a previdência. 
 
- “a taxa de analfabetismo de adultos no Brasil é de 20%”: de 
cada 100 adultos no Brasil, 20 são analfabetos. 
 
- “o número de adolescentes grávidas cresceu 10% em 2011, 
em relação ao ano anterior”: para cada 100 adolescentes 
grávidas que existiam em 2010, passaram a existir 10 a mais 
em 2011, isto é, 110 adolescentes grávidas. 
- “o número de fumantes hoje é 5%menor que aquele do 
início da década”: para cada 100 fumantes existentes no 
início da década, hoje temos 100 – 5, isto é, 95 fumantes. 
 
 Para calcular qual a porcentagem que uma certa 
quantia representa de um todo, basta efetuar a seguinte 
divisão: 
 
 Por exemplo, se queremos saber qual o percentual 
que 3 crianças representam em um total de 4 crianças, 
temos: 
 
 
 Podemos transformar um número porcentual (ex.: 
75%) em um número decimal (ex.: 0,75), e vice-versa, 
lembrando que o símbolo % significa “dividido por 100”. Isto 
é, 75% é igual a 75 dividido por 100, que é igual a 0,75: 
 
 Da mesma forma, se temos um número decimal 
(ex.: 0,025) e queremos saber o valor percentual 
correspondente, basta multiplicá-lo por 100%: 
 
 
Por fim, se Porcentagem então 
também podemos dizer que: 
 
 
 Esta fórmula acima nos diz que, se queremos saber 
quanto é 20% de 300, basta multiplicar 20% por 300: 
20% de 300 = 20% x 300 = 0,2 x 300 = 60 
 
 Istoé, 60 pessoas correspondem a 20% de um 
total de 300 pessoas. Portanto, grave isso: em matemática, o 
“de” equivale à multiplicação. Portanto, 20% de 300 é igual a 
20% x 300, e assim por diante. Ainda no tema porcentagens, 
se queremos reduzir um preço de 100 reais em 12% 
devemos subtrair 12% de 100, ou seja: 
 
Preço final = 100 – 12% x 100 
Preço final = 100 – 12 
Preço final = 88 reais 
 
 Assim, observe que uma redução de 12% 
corresponde a multiplicar o valor inicial por 0,88, ou seja, 
por 88%. Da mesma forma, um aumento de 25% levaria os 
100 reais a: 
Preço final = 100 + 25% x 100 = 125 reais 
 
 Ou seja, aumentar em 25% corresponde a 
multiplicar o valor inicial por 1,25. Em termos gerais: 
 
- para aumentar um valor em x%, basta multiplicá-lo por (1 + 
x%); 
- para reduzir um valor em x%, basta multiplicá-lo por (1 – 
x%) 
 
Exemplificando, imagine uma blusa que custa 250 reais. Se 
na semana anterior à Black Friday elevarmos o preço em 
25%, o novo preço será: 
250 x (1 + 25%) = 250 x 1,25 = 312,50 reais 
 
 
 Se na Black Friday dermos um “mega desconto” de 
30%, chegamos a: 312,50 x (1 – 30%) = 312,50 x 0,70 = 
218,75 reais (veja que podemos anunciar: de R$312,50 por 
R$218,75!!) Veja que poderíamos ter feito as duas 
operações de uma vez, para chegar diretamente no preço 
final, assim: 
250 x (1,25) x (0,70) = 250 x 0,875 = 218,75 reais 
 
 Repare que, no fim das contas, vendemos por 
0,875 vezes o preço inicial, ou 87,5% do preço inicial. Assim, 
o desconto real foi de apenas 12,5%. 
 
Vamos exercitar um pouco? 
 
 
2. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES 
 
(FCC – MPE/RS – 2010) Devido a uma promoção, um 
televisor está sendo vendido com 12% de desconto sobre o 
preço normal. Cláudio, funcionário da loja, está interessado 
em comprar o televisor. Sabendo que, como funcionário da 
loja, ele tem direito a 25% de desconto sobre o preço 
promocional, o desconto que Cláudio terá sobre o preço 
normal do televisor, caso decida adquiri-lo, será de 
a) 37% b) 36% c) 35% 
d) 34% e) 33% 
 
RESOLUÇÃO: 
Se o preço normal do televisor é T, com o desconto de 12% 
ela está sendo vendida pelo preço promocional abaixo: 
 
Preço Promocional = T – 12%T = T – 0,12T = 0,88T 
 
Como Cláudio tem desconto de 25% sobre o preço 
promocional, ele deve pagar: 
 
Preço para Cláudio = Preço Promocional – 25% do Preço 
Promocional 
Preço para Cláudio = 0,88T – 25% x 0,88T 
Preço para Cláudio = 0,88T – 0,25 x 0,88T = 0,66T 
 
Matemática 
 
 
 14 
Isto é, Cláudio pagará apenas 66% do preço normal da 
televisão, tendo um desconto de 100% - 66% = 34%. 
 
Resposta: D 
 
 (FGV – CAERN – 2010) Analise as afirmativas a seguir: 
I – √6 é maior do que 
5
2
. 
II – 0,555... é um número racional 
III – Todo número inteiro tem um antecessor 
Assinale: 
a) Se somente as afirmativas I e III estiverem corretas 
b) Se somente a afirmativa II estiver correta 
c) Se somente as afirmativas I e II estiverem corretas 
d) Se somente a afirmativa I estiver correta 
e) Se somente as afirmativas II e III estiverem corretas 
 
RESOLUÇÃO: 
Vamos comentar cada alternativa: 
I-√6 é maior do que 
5
2
. 
Vamos assumir que essa afirmativa é verdadeira e testá-la. 
Se √6 >
5
2
 então, elevando os dois lados ao quadrado: 
 
Veja que 24 > 25 é um absurdo. Portanto, só se pode 
concluir uma coisa: √6 >
5
2
 ou seja, a alternativa I é falsa. 
 
II – 0,555... é um número racional 
 0,555... ou 0,5 é uma dízima periódica. Como vimos, as 
dízimas periódicas também são números racionais, pois 
podem ser escritos na forma 
A
B
 onde A e B são números 
inteiros. Essa alternativa está correta. 
 
III – Todo número inteiro tem um antecessor 
 De fato, todo número inteiro tem um antecessor. Basta 
visualizar a reta numérica, e veremos que para cada número 
inteiro n, existe um número inteiro n-1, que é o seu 
antecessor: 
 
 
Assim, essa alternativa também está correta. 
Resposta: E 
 
 
(CEPERJ – PREFEITURA DE ITABORAÍ – 2011) Considere a 
expressão onde x > 0. O número máximo de valores 
inteiros de x que tornam a expressão dada também um 
número inteiro é: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
RESOLUÇÃO: 
Chamemos de z um dos números inteiros dados pela 
expressão do enunciado. Portanto, sabemos que: 
 
 
Como queremos saber quantas possibilidades existem para 
x, vamos isolar essa variável. Acompanhe a manipulação 
algébrica abaixo: 
 
Sendo assim, vamos testar alguns valores de z, lembrando 
que z deve ser um número inteiro, e x deve ser inteiro e 
positivo. 
- Se z = 0, Como x não pode ser 
negativo, essa não é uma possibilidade válida. 
 
- Se z = 1, Entretanto a divisão de um número 
inteiro por zero é impossível (exceto 
0
0
 , que é um valor 
indeterminado). Logo, x = 1 não nos serve. 
 
- Se z = 2, x = 5, o que é uma possibilidade válida. 
- Se z = 3, x = 0, o que não vale, pois x deve ser maior que 
zero. 
- Se z = 4 ou mais, veja que x será negativo, pois 15-5z será 
negativo e z-1 será positivo. 
 
 Faltou testar valores negativos para z (lembre-se 
que apenas x precisa ser >0). Entretanto, veja que se z for 
negativo, x será também negativo (o que não é válido). Isso 
porque o numerador (15-5z) será um valor positivo, e divisor 
(z-1) será negativo, o que resulta em um número negativo. 
Para ilustrar, vamos testar z = -2: 
 
Assim, temos apenas 1 possibilidade válida para x, que é 5. 
Resposta: B. 
 
 
 (FCC – BANESE – 2012) O departamento de informática de 
um banco dividiu as agências de um município em grupos de 
três, de modo que cada técnico ficasse responsável por dar 
suporte às agências de um desses grupos. Nessa divisão, 
porém, sobrou uma agência, tendo um dos técnicos de ficar 
responsável por quatro agências. Já o setor de apoio ao 
crédito, que dividiu as mesmas agências em grupos de cinco 
para designar um assessor que atendesse as agências de 
cada grupo, não teve esse problema: não sobraram agências 
na divisão. Dentre os números abaixo, o único que pode 
representar o total de agências desse município é 
(A) 15. (B) 19. (C) 20. (D) 24. (E) 25. 
 
RESOLUÇÃO: 
 O número de agências deve ser tal que: 
- seja múltiplo de 5 (pois não deixa resto ao ser dividido por 
5); 
- dividido por 3, tenha resto 1. 
 Os múltiplos de 5 encerram em 0 ou 5. Portanto, 
podemos eliminar a alternativas B e D. Analisando as demais 
Matemática 
 
 
 15 
alternativas, veja que 15 é divisível por 3 (não deixa resto), e 
20 dividido por 3 deixa resto 2. Já 25 dividido por 3 deixa 
resto 1, sendo este o nosso gabarito. 
 
Resposta: E