9 Unidade - Medidas de Dispersão - Parte I

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17/10/2024
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Unidade 9
Medidas de dispersão para dados não agrupados 
Medidas de Dispersão
São medidas que tangenciam o grau de dispersão ou de variabilidade dos dados em
relação a média ( o valor esperado )
As principais medidas de dispersão :
a) Variância ( medida absoluta )
b) Desvio – padrão ( medida absoluta )
c) Coeficiente de variação (CV) – Medida relativa
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Por exemplo , temos duas amostras de dados (A e B) , conforme ilustra a tabela abaixo:
Q1
Q3
Md
ҧ𝑥 =13
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3
Média = 13
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4
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1 2
1 1
1 2
1
1 2
1 2 1 2
........
...........
.......
 = ....... . ....... . 0
n n
i n i
i i
n
i n
i
n
n n
D d d d d x x
D x x x x x x x x
x x x
x x x n x x x x n
n
= =
=
= = + + + = −
= − = − + − + + − =
+ + + 
+ + + − = + + + − = 
 
 

Consiste em trabalhar com o quadrado dos desvios . Isso nos leva a
definição da variância .
Variância 
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Inúmeros estudos realizados validam matematicamente que quando utilizamos a variância de uma amostra de
dimensões pequenas usando 𝒏 − 𝟏 , a variância obtida será a melhor estimativa da variância da população,
torna-se assim uma estimativa não tendenciosa e com menor erro médio. Omitiremos a dedução pela sua
complexidade .
Desvio – padrão
Suponhamos que os valores xi representem os pesos, em quilogramas, de um conjunto de pessoas.
Então, o valor médio x representa o peso médio dessas pessoas e sua unidade também é quilogramas, o
mesmo acontecendo com as diferenças ( ). Ao elevarmos essas diferenças ao quadrado, passamos a
ter a variância medida em quilogramas ao quadrado, uma unidade que não tem interpretação física. Uma
solução é tomar a raiz quadrada da variância na qual definimos como sendo o desvio – padrão.
O desvio padrão indica em média qual será o “erro” ( desvio) cometido ao tentar substituir cada
observação da série pela sua média .
xxi −
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Propriedades das medidas de dispersão
✓ Todas as medidas de dispersão são positivas
✓ Somando-se uma mesma constante a todas as observações, as medidas de dispersão não se
alteram.
✓ Ao multiplicarmos todos os dados por uma constante K , a variância será multiplicada pela
constante K2 e o desvio - padrão pela mesma constante K .
✓ Aumentar o tamanho da amostra ( n ) não garante a queda do desvio padrão
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Exemplo 2
Durante 14 dias, uma pessoa anotou o tempo de espera no ponto de ônibus, quando se dirigia ao
trabalho. Os valores obtidos são (em minutos): 15, 10, 2, 17, 6, 8, 8, 10, 2, 9, 6, 10, 13 ,10 . Calcule o
desvio padrão do tempo de espera. Resp. 4,28 minutos
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
média : 
15 10 2 17 6 8 8 10 2 9 6 10 13 10
 = = 9
14
Variância :
15 9 10 9 2 9 ......... 10 9 238
Var = = 18,3077
14 1 13
Desvio padrão :
dp = var = 18,3077 = 4,28 min. 
x
+ + + + + + + + + + + + +
− + − + − + + −
=
−
Exemplo 3
Calcule a média e o desvio padrão dados pluviométricos para o período resp : dp = 36,58 mm 
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( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
média : 
0 4,7 5,4 ......81,1 130
 = = 38,21 mm
14
Variância :
0 38,21 4,7 38,21 5,4 38,21 ......... 130 38,21 17398,6493
Var = = 1338,3576
13 13
Desvio padrão :
dp = var = 1338,3576 = 36,58 mm 
x
+ + + +
− + − + − + + −
=
Coeficiente de Variação (CV)
( )
desvio padrão
CV = .100 0 50 % alta dispersão relativa dos dados em torno da média 
 
  

Exemplo
Considere a seguinte situação: uma fábrica de enlatados comercializa seu produto em embalagens de
500 gramas e em embalagens de um quilo ou 1000 gramas. Para efeitos de controle do processo de
enchimento das embalagens, sorteia-se uma amostra de 10 embalagens de cada uma das máquinas,
obtendo-se os seguintes resultados:
CV = (5/495).100 = 1,01 %
CV = (5/996).100 = 0,50 %
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Interpretação dos dados :
✓ Na primeira máquina, as embalagens deveriam estar fornecendo peso de 500 g mas, devido a erros de ajuste da
máquina de preenchimento, o peso médio das 10 embalagens é de 495g. O desvio padrão de 5g significa que, em
média, os pesos das embalagens estão 5 gramas abaixo ou acima do peso médio das 10 latas. Uma interpretação
análoga vale para a segunda máquina.
✓ Em qual das duas situações a variabilidade parece ser maior ? ou seja, em qual das duas máquinas parece haver
um problema mais sério? Note que, em ambos os casos, há uma dispersão de 5 g em torno da média, mas 5g em
996 g é menos preocupante que 5 g em 495 g.
✓ Comparando os coeficientes de variação para as embalagens oriundas das duas máquinas pode – se afirmar
que a variabilidade na máquina de 500 g é relativamente maior.
Exemplo
Você esta indeciso em comprar uma TV e decide avaliar algumas informações estatísticas , fornecidas
pelo fabricante sobre a vida útil (h) da placa de imagem .
Qual a marca você compraria ? Justifique a sua resposta .
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Exercício Proposto 
Para se estudar o desempenho de 2 companhias corretoras de ações, selecionou – se de cada uma delas amostras
das ações negociadas. Para cada ação selecionada, computou-se a porcentagem de lucro apresentada durante um
período fixado de tempo, obtendo-se os dados abaixo.
a) Com base nos coeficientes de variação, qual companhia teve melhor desempenho?
a) 
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Referências consultadas :
FARIAS, A.M.L.F. e LAURENCEL , L.C. Apostila – Estatística Descritiva . Universidade Federal
Fluminense – Departamento de Estatística , RJ, 2006
MAGALHÃES, M.N. e LIMA , A.C. Noções de Probabilidade e Estatística . 3º edição .
Departamento de Estatística - IME – USP .
MORETTIN, L.G . e BUSSAB , W.O. Estatística Básica - volume único. Editora Saraiva, São Paulo -
SP , 2012.
OBRIGADO !!! Até a próxima aula