exercicios para alem da prova MDCCXLII

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D) \( \frac{1}{x^2} e^{x^2} + C \) 
**Resposta:** A) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
**Explicação:** Utilizando a substituição \( u = x^2 \), \( du = 2x \, dx \) ou \( dx = 
\frac{du}{2x} \). Assim, temos \( \int x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \). 
 
**25. Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \).** 
A) 0 
B) 1 
C) \( \infty \) 
D) Não existe 
**Resposta:** B) 1 
**Explicação:** Este limite é uma aplicação da regra de L'Hôpital. Derivando o numerador 
e o denominador, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{1/(1+x)}{1} = 1 \). 
 
**26. Encontre o valor de \( \int_0^1 (x^3 - 2x^2 + x) \, dx \).** 
A) \( -\frac{1}{12} \) 
B) \( 0 \) 
C) \( \frac{1}{12} \) 
D) \( -\frac{1}{6} \) 
**Resposta:** A) \( -\frac{1}{12} \) 
**Explicação:** A antiderivada de \( x^3 - 2x^2 + x \) é \( \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 
\frac{1}{2}x^2 \). Avaliando de 0 a 1, temos \( \left(\frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2}\right) 
= \frac{3}{12} - \frac{8}{12} + \frac{6}{12} = -\frac{1}{12} \). 
 
**27. Determine a convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \).** 
A) Diverge 
B) Converge 
C) Não pode ser determinado 
D) Converge para 2 
**Resposta:** B) Converge 
**Explicação:** Essa é uma série geométrica com razão \( r = \frac{1}{2} \), que converge 
para \( \frac{a}{1 - r} = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1 \). 
 
**28. Qual é a integral \( \int \frac{1}{x} \, dx \)?** 
A) \( \ln|x| + C \) 
B) \( e^x + C \) 
C) \( x + C \) 
D) \( \frac{1}{x} + C \) 
**Resposta:** A) \( \ln|x| + C \) 
**Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x} \) é uma fórmula conhecida: \( \int \frac{1}{x} \, 
dx = \ln|x| + C \). 
 
**29. Qual é a derivada da função \( f(x) = x^4 + 3x^3 - x \)?** 
A) \( 4x^3 + 9x^2 - 1 \) 
B) \( 3x^4 + 4x^2 - 1 \) 
C) \( 4x^3 + 6x^2 - 1 \) 
D) \( 3x^2 + 9x - 1 \) 
**Resposta:** A) \( 4x^3 + 9x^2 - 1 \) 
**Explicação:** Aplicando a regra de potência em cada termo, obtemos \( f'(x) = 4x^3 + 
9x^2 - 1 \). 
 
**30. Qual é o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)} \)?** 
A) 0 
B) 1 
C) \( \infty \) 
D) Não existe 
**Resposta:** A) 0 
**Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, obtemos \( \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\cos(x)} = 0 
\) ao avaliar em \( x = 0 \). 
 
**31. Qual é o valor de \( \int_0^1 (4x^3) \, dx \)?** 
A) \( 1 \) 
B) \( \frac{1}{4} \) 
C) \( \frac{1}{5} \) 
D) \( \frac{1}{8} \) 
**Resposta:** A) \( 1 \) 
**Explicação:** A antiderivada de \( 4x^3 \) é \( x^4 \). Avaliando de 0 a 1, temos \( [1^4 - 
0^4] = 1 \). 
 
**32. Qual é a equação da reta que passa pelos pontos \( (1, 2) \) e \( (3, 4) \)?** 
A) \( y = x + 1 \) 
B) \( y = 2x \) 
C) \( y = x + 2 \) 
D) \( y = 2x - 2 \) 
**Resposta:** A) \( y = x + 1 \) 
**Explicação:** A inclinação \( m \) é \( \frac{4 - 2}{3 - 1} = 1 \). Usando a fórmula da reta, \( 
y - 2 = 1(x - 1) \) resulta em \( y = x + 1 \). 
 
**33. Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x}{2x^2 + 5} \).** 
A) \( \frac{1}{2} \) 
B) 1 
C) 2 
D) \( \infty \) 
**Resposta:** A) \( \frac{1}{2} \) 
**Explicação:** Dividindo os termos pelo maior grau de \( x \) no denominador, obtemos \( 
\lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x}}{2 + \frac{5}{x^2}} = \frac{1 + 0}{2 + 0} = \frac{1}{2} \). 
 
**34. Determine a integral \( \int (2x + 1) \, dx \).** 
A) \( x^2 + x + C \) 
B) \( 2x^2 + x + C \) 
C) \( x^2 + 2x + C \) 
D) \( 2x + 1 + C \) 
**Resposta:** A) \( x^2 + x + C \) 
**Explicação:** A antiderivada de \( 2x + 1 \) é \( x^2 + x + C \). 
 
**35. Qual é a derivada da função \( f(x) = 5x^4 - 2x^3 + x \)?** 
A) \( 20x^3 - 6x^2 + 1 \)