Exercicios (1001)-mesclado-232

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Moderna PLUS MATEMÁTICA
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p
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MANOEL 
PAIVA
1
 III. Seja {a, b, c} - b. Se a e b são números pri-
mos entre si e a é divisor de bc, então a é 
divisor de c.
 IV. Seja {p, q, n} - b, com n . 0. Se p e q são pri-
mos entre si, então p e qn são primos entre si.
 V. Seja {p, a, b} - b. Se p é um número primo e 
p é divisor do produto ab, então p é divisor 
de a ou p é divisor de b.
 VI. O módulo do produto de dois números in-
teiros a e b é igual ao produto do mdc pelo 
mmc entre eles, isto é: 
 OadO 5 mdc(a, b) 3 mmc(a, b) 
222 (UFMT) Sobre o número natural n 5 240 2 1, con-
sidere as seguintes afirmativas:
 I. n é um múltiplo de 31.
 II. n é um múltiplo de 5.
 III. n é um número primo.
 IV. n é um número par.
Estão corretas as afirmativas:
a) III e IV. c) II e IV. e) I e II.
b) II e III. d) I e III.
223 (FGV-SP) Em uma divisão o quociente é 202 e o 
resto é 26. A soma do dividendo com o divisor é 
5.710. Então o dividendo é um número:
a) múltiplo de 11.
b) múltiplo de 5.
c) múltiplo de 7.
d) múltiplo de 3.
e) múltiplo de 4.
224 Considerando uma divisão em que o dividendo 
a, o divisor b, o quociente q e o resto r são intei-
ros, prove que:
a) a 2 r é múltiplo de b.
b) a 1 b 2 r é múltiplo de b.
225 (Fuvest-SP) Seja A o conjunto dos 1.993 primei-
ros números inteiros estritamente positivos.
a) Quantos múltiplos de 15 pertencem ao con-
junto A?
b) Quantos números pertencentes a A não são 
múltiplos nem de 3 nem de 5?
226 Sem efetuar divisões, demonstre que todo nú-
mero inteiro n de três algarismos iguais é múl-
tiplo de 111.
227 Prove que, se um número inteiro a é múltiplo 
de um número inteiro b, então a é múltiplo de 
qualquer divisor de b.
228 Em um número natural n de quatro algarismos, 
o algarismo que representa as unidades é a, o 
que representa as dezenas é b, o que representa 
as centenas é c e o que representa os milhares é 
d. Prove que n é divisível por 9 se, e somente se, 
a soma (a 1 b 1 c 1 d) é um múltiplo de 9.
229 Quais dos números abaixo são primos?
a) 101
b) 323
c) 401
d) 389
230 (Fuvest-SP) Sejam a e b números naturais e p 
um número primo.
a) Se p divide a2 1 b2 e p divide a, então p divide b.
b) Se p divide ab, então p divide a e p divide b.
c) Se p divide a 1 b, então p divide a e p divide b.
d) Se a divide p, então a é primo.
e) Se a divide b e p divide b, então p divide a.
(Nota: Dizer que x divide y equivale a dizer que 
x é divisor de y.)
231 (UFMG) Na divisão de um número inteiro n por 
7, o quociente é um inteiro e o resto é 3; então:
a) (n 1 3) é múltiplo de 7. 
b) (n 2 3) é múltiplo de 7. 
c) (n 2 4) é múltiplo de 7.
d) (n 1 4) é múltiplo de 7.
e) n __ 
3
 é múltiplo de 7.
232 Decompondo em fatores primos dois números 
x e y, obtemos:
x 5 29 3 310 3 7 e y 5 29 3 310 3 11. Qual é a decompo-
sição em fatores primos do número x 1 y?
233 Dê um exemplo numérico que ilustre cada uma 
das propriedades a seguir:
 I. Sejam a e b dois números inteiros positivos 
tais que:
 a 5 (p1) 
a1 3 (p2) 
a2 3 (p3) 
a3 3 ... 3 (pn) 
an e
 b 5 (p1) 
d1 3 (p2) 
d2 3 (p3) 
d3 3 ... 3 (pn) 
dn 
 em que p1, p2, p3, ..., pn são números primos 
positivos distintos e a1, a2, a3, ..., an, d1, d2, d3, 
..., dn são números inteiros positivos quais-
quer. Para que b seja divisor de a, é necessá-
rio e suficiente que: 
 a1 > d1, a2 > d2, a3 > d3, ..., an > dn
 II. Para que um número inteiro positivo a seja 
múltiplo de um inteiro positivo 
 b 5 b1 3 b2 3 b3 3 ... 3 bn, em que quaisquer dois 
números entre b1, b2, b3, ..., bn são números 
primos entre si, a deve ser divisível por cada 
um dos fatores b1, b2, b3, ... e bn.
234 Qual dos números abaixo é divisor de 2 3 35 3 53 3 7?
a) 25 3 34 3 54 3 7 b) 34 3 52 3 7
235 Considere o número x 5 25 3 36 3 57 e o número 
y 5 2n 3 32 3 54. Determine o maior número natu-
ral n de modo que x seja divisível por y.
236 (PUC-SP) Qual é o menor número natural não 
nulo pelo qual se deve multiplicar 2.310 para se 
obter um múltiplo de 1.300?
237 Mostre que, se m é um número ímpar, então 
m2 2 1 é divisível por 4.
238 (Fuvest-SP) Mostre que, se m é um número ím-
par, então m2 2 1 é divisível por 8.
239 (Unicamp-SP) Mostre que 3 divide n3 2 n, qual-
quer que seja o número inteiro n.
240 Prove que 10n 1 10n 2 1 é múltiplo de 11, qualquer 
que seja o número natural não nulo n.
241 O processo descrito a seguir para o cálculo do 
mdc entre dois números inteiros positivos a e b,
com a > b, é conhecido por “algoritmo de 
Euclides”.
Divide-se a por b. 
• Se a divisão é exata, b é o mdc entre a e b. 
• Se a divisão não é exata, divide-se b pelo resto r1 
da divisão anterior.
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q1 q2 ... ... qn 1 1
a b r1 ... rn 2 1 rn
r1 r2 ... rn 0
Quocientes p 
Restos p 
Por exemplo, vamos calcular o mdc(92, 84):
1 10 2
92 84 8 4
8 4 0
Quocientes p 
Restos p 
Logo: mdc(92, 84) 5 4
Aplicando esse algoritmo, calcule:
a) mdc(324, 144)
b) mdc(150, 35)
c) mdc(240, 177)
d) mdc(128, 105, 42)
(Nota: Vale a propriedade associativa no cálculo 
do mdc, isto é: mdc(128, 105, 42) 5 mdc[mdc(128, 
105), 42] 5 mdc[128, mdc(105, 42)])
242 A propriedade P.1 dos múltiplos e divisores 
garante-nos que se a e b são números inteiros, 
não ambos nulos, existem números inteiros m e 
n tais que ma 1 nb 5 mdc(a, b). Note que existe 
mais de um par de números m e n que satis-
faz esse tipo de igualdade; por exemplo, para o 
mdc(8, 6) 5 2, temos:
2 5 1 3 8 1 (21) 3 6
2 5 22 3 8 1 3 3 6
2 5 25 3 8 1 7 3 6
etc.
O algoritmo de Euclides fornece-nos um méto-
do para encontrar um par de números inteiros 
m e n tal que ma 1 nb 5 mdc(a, b). Por exemplo, 
mdc(60, 42) 5 6, que pelo algoritmo de Euclides 
é obtido da seguinte maneira:
1 2 3
60 42 18 6
18 6 0
Quocientes p 
Restos p 
De (I), temos: 
18 5 60 2 42 (IV)
Substituímos (IV) em (III):
6 5 42 2 (60 2 42) 3 2 [ 6 5 3 3 42 1 (22) 3 60
Assim, uma possibilidade para m e n é: m 5 3 e 
n 5 22
Aplique esse método para a obtenção de m e n 
nos seguintes casos:
a) mdc(6, 4) 5 m 3 6 1 n 3 4
b) mdc(88, 32) 5 m 3 88 1 n 3 32
c) mdc(93, 66) 5 m 3 93 1 n 3 66
d) mdc(252, 198) 5 m 3 252 1 n 3 198
243 Consideremos as decomposições em fatores 
primos de dois ou mais números inteiros po-
sitivos. O mínimo múltiplo comum entre esses 
números é o produto de todos os fatores primos 
desses números, de modo que, se um fator pri-
mo é comum a dois ou mais números, toma-se 
esse fator com o maior expoente com que ele 
aparece nas decomposições. Por exemplo, se-
jam a e b os números:
a 5 22 3 3 3 53 3 7
b 5 24 3 5 3 11
O mmc entre eles é: 24 3 3 3 53 3 7 3 11
Aplicando esse processo, calcule:
a) mmc(288, 378)
b) mmc(980, 825, 273)
244 O cálculo do mmc entre dois ou mais números 
pode ser agilizado por meio do dispositivo prá-
tico apresentado a seguir no cálculo do mmc(60, 
18, 189).
Dispõem-se os números 60, 18 e 189 alinhados à es-
querda de uma barra vertical.
Dividem-se por um fator primo, colocado à direita da 
barra, os números da esquerda da barra que tiverem 
esse fator, pondo então o resultado da divisão sob 
cada número que atuou como dividendo. Os números 
que não têm esse fator primo são repetidos na linha 
seguinte. Repete-se o procedimento com cada nova 
linha de números à esquerda da barra até que se ob-
tenha uma linha formada apenas por “1” à esquerda 
da barra. O mmc é o produto de todos os fatores pri-
mos da direita da barra.
• Se a divisão é exata, r1 é o mdc entre a e b. 
• Se a divisão não é exata, divide-se r1 pelo resto r2 
da divisão anterior.
• E assim sucessivamente, até se obter um resto 
zero. O último número considerado divisor é o mdc 
entre a e b.
Esse processo pode ser apresentado pelo se-
guinte dispositivo:
Aplicando o algoritmo da divisão para cada 
número da linha do meio, da esquerda para a 
direita, até conseguir relacionar 60, 42 e 6, obte-
mos um par de números m e n. Observe:60 5 42 3 1 1 18 (I)
42 5 18 3 2 1 6 (II)
Observe que essas igualdades já relacionam os 
números que nos interessam: 60, 42 e 6. Isola-
mos o mdc na igualdade (II): 
6 5 42 2 18 3 2 (III)
 60, 18, 189
 30, 9, 189
 15, 9, 189
 5, 3, 63
 5, 1, 21
 5, 1, 7
 1, 1, 7
 1, 1, 1
2
2
3
3
3
5
7
] mmc(60, 18, 189) 5 
 5 22 3 33 3 5 3 7 5 3.780
Aplicando esse processo, calcule:
a) mmc(720, 2.100)
b) mmc(450, 264, 126, 750)
245 Os números a1, a2, a3, ..., an, d e k envolvidos 
nas propriedades a seguir são inteiros. Dê um 
exemplo numérico que ilustre cada uma delas. 
(Dê os exemplos considerando o mdc de apenas 
dois ou três números.)
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1 cm
A medida, em centímetro, de um dos lados do 
retângulo é um número primo maior que 3. 
Qual é esse número?
248 Com 60 cubinhos de 1 cm de aresta, colocados 
um ao lado ou acima do outro, formou-se um 
paralelepípedo.
1 cm
249 Usando 36 quadradinhos com 1 cm em cada 
lado, quero formar um retângulo colocando um 
quadradinho junto do outro. Um retângulo pos-
sível é:
9 cm
4 cm
Quais são as medidas, em centímetro, dos lados 
de todos os retângulos que posso formar?
250 Dois trens de carga, trafegando em linhas dife-
rentes, passam várias vezes ao dia por um cru-
zamento P.
P
 I. Se mdc(a1, a2, a3, ..., an) 5 d, então todo di-
visor comum aos números a1, a2, a3, ... e an 
também é divisor de d. 
 II. Se mdc(a1, a2, a3, ..., an) 5 d, então mdc(ka1, 
ka2, ka3, ..., kan) 5 kd
 III. Se mdc(a1, a2, a3, ..., an) 5 d e k é um fator 
comum a a1, a2, a3, ... e an, então
 mdc(a1 4 k, a2 4 k, a3 4 k, ..., an 4 k) 5 d 4 k
 IV. Se em um conjunto de números inteiros o 
menor número positivo divide todos os de-
mais, então esse menor número é o mdc 
entre todos os números do conjunto.
 V. Dividindo dois ou mais números inteiros 
pelo mdc entre eles, os quocientes obtidos 
serão primos entre si.
246 Os números a1, a2, a3, ..., an, p e k envolvi-
dos nas propriedades a seguir são inteiros. 
Dê um exemplo numérico que ilustre cada 
uma delas. (Dê os exemplos considerando o 
mmc de apenas dois ou três números.)
 I. Se mmc(a1, a2, a3, ..., an) 5 p, então todo múl-
tiplo comum aos números a1, a2, a3, ..., an 
também é múltiplo de p. 
 II. Se mmc(a1, a2, a3, ..., an) 5 p, então mmc(ka1, 
ka2, ka3, ..., kan) 5 kp
 III. Se mmc(a1, a2, a3, ..., an) 5 d e k é um fator 
comum a a1, a2, a3, ..., an, com k % 0, então 
mmc(a1 4 k, a2 4 k, a3 4 k, ..., an 4 k) 5 p 4 k
 IV. Se em um conjunto de números inteiros 
o maior número positivo é múltiplo de 
todos os demais, então esse maior núme-
ro é o mmc entre todos os números do 
conjunto.
 V. O mmc entre dois ou mais números primos 
entre si é o produto desses números.
247 Quadriculando um retângulo, obtemos 84 qua-
dradinhos de lado 1 cm:
Duas das arestas desse paralelepípedo têm 
como medidas, em centímetro, números pri-
mos maiores que 2. Quais são essas medidas?
Os horários foram programados para que nunca 
os trens estejam simultaneamente no ponto P, 
o que acarretaria um acidente. Se esses trens só 
trafegam das 5 h às 17 h, qual das alternativas 
abaixo apresenta uma programação de horários 
que não põe em perigo os comboios?
a) Um dos trens deve passar por P em horários di-
visores de 18 h e o outro em divisores de 24 h.
b) Um dos trens deve passar por P em horários di-
visores de 18 h e o outro em divisores de 16 h.
251 Em uma granja foram recolhidos três balaios 
de ovos: um com 270, outro com 72 e o terceiro 
com 126 ovos. Esses ovos serão embalados em 
caixas com o mesmo número de ovos e com o 
maior número possível. Quantos ovos terá cada 
caixa? 
252 Três barras de ferro têm comprimento 12 m, 8 m 
e 16 m. Cortando-as em pedaços de mesmo ta-
manho e de maior comprimento possível, qual 
será o comprimento de cada pedaço? Quantos 
pedaços serão obtidos? 
253 Uma escola promoverá uma excursão para 
uma visita às cavernas de Iporanga. Para isso, 
devem ser alugados ônibus, todos com a mes-
ma capacidade de passageiros. Os 210 alunos 
do Ensino Médio viajarão em ônibus separados 
dos 462 alunos do Ensino Fundamental. Saben-
do que todos os ônibus devem partir lotados e 
com todos os passageiros sentados, qual deve 
ser a capacidade máxima de cada ônibus? Com 
essa capacidade, quantos ônibus serão neces-
sários para transportar os alunos do Ensino 
Fundamental?
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257 Um moinho produz 45 kg de farinha de trigo por 
minuto. A farinha é embalada em sacos com 
35 kg cada um. Qual é o menor número possível 
de minutos que o moinho deve trabalhar para 
que toda a farinha produzida seja embalada? 
258 Dois satélites artificiais A e B têm órbita cir-
cular ao redor da Terra. O satélite A completa 
uma volta em torno da Terra em 9 h, enquanto 
B completa uma volta em 12 h. Neste instante, 
ambos estão exatamente sobre a cidade de Belo 
Horizonte. O próximo encontro dos satélites so-
bre essa cidade se dará daqui a quanto tempo?
P A
B
259 O planeta Mercúrio completa uma volta em 
torno do Sol em 88 dias e o planeta Vênus, em 
224 dias. Neste instante Mercúrio e Vênus estão, 
respectivamente, nos pontos A e B de suas órbi-
tas. O próximo instante em que esses planetas 
estarão simultaneamente nessas mesmas posi-
ções se dará daqui a quanto tempo?
260 Todos os dias, pela manhã, Pedro e seu pai cor-
rem em uma pista circular de 1.200 m de com-
primento. Pedro percorre 6 m em cada segundo 
e seu pai percorre 8 m em cada segundo. Se nes-
te momento ambos passaram juntos pelo pon-
to de partida da pista, a próxima vez que eles 
passarão novamente juntos por esse ponto será 
daqui a quantos minutos?
9 cm
27 cm
18 cm
Quero cortar esse paralelepípedo em cubinhos 
de mesmo tamanho e de maior aresta possí-
vel, de modo que todo o isopor seja aprovei-
tado. Qual deve ser a medida de cada aresta 
desses cubinhos?
255 Três navios cargueiros, A, B e C, fazem viagens 
do porto de Santos ao porto de Vitória. O navio 
A parte do porto de Santos a cada 6 dias, o navio 
B a cada 8 dias e o navio C a cada 9 dias. Hoje 
eles partiram juntos do porto de Santos. Daqui 
a quanto tempo se dará a próxima partida dos 
três navios juntos do porto de Santos?
256 Da estação rodoviária de uma grande cidade, 
partem ônibus para o Rio de Janeiro de três com-
panhias diferentes, A, B e C. Da companhia A 
partem ônibus a cada 45 minutos, da B partem 
a cada 30 minutos e da C, a cada 54 minutos. Sa-
bendo que exatamente às 7 h os ônibus das três 
companhias partiram juntos com destino ao Rio 
de Janeiro, a que horas desse mesmo dia eles par-
tirão juntos novamente com esse destino?
254 Um paralelepípedo de isopor tem dimensões 
9 cm, 27 cm e 18 cm.