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Matemática
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PIRATARIA 
É CRIME!
Todos os direitos autorais deste material são reservados e 
protegidos pela Lei nº 9.610/1998. É proibida a reprodução parcial 
ou total, por qualquer meio, sem autorização prévia expressa por 
escrito da Nova Concursos.
Pirataria é crime e está previsto no art. 184 do Código Penal, 
com pena de até quatro anos de prisão, além do pagamento 
de multa. Já para aquele que compra o produto pirateado 
sabendo desta qualidade, pratica o delito de receptação, punido 
com pena de até um ano de prisão, além de multa (art. 180 do CP).
Não seja prejudicado com essa prática. 
Denuncie aqui: sac@novaconcursos.com.br
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SUMÁRIO
MATEMÁTICA .........................................................................................................................5
NÚMEROS RELATIVOS INTEIROS E FRACIONÁRIOS, OPERAÇÕES E PROPRIEDADES ............... 5
MÚLTIPLOS E DIVISORES .................................................................................................................. 11
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ............................................................................................................................11
MÁXIMO DIVISOR COMUM ..............................................................................................................................12
NÚMEROS REAIS ................................................................................................................................ 14
EXPRESSÕES NUMÉRICAS ............................................................................................................... 16
EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE 1º GRAU .................................................................... 19
SISTEMAS DE MEDIDA DE TEMPO ................................................................................................... 23
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL .......................................................................................................... 24
NÚMEROS E GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS ...................... 24
REGRA DE TRÊS SIMPLES ................................................................................................................. 27
PORCENTAGEM .................................................................................................................................. 30
TAXAS DE JUROS SIMPLES E COMPOSTAS, CAPITAL, MONTANTE E DESCONTO ................... 33
PRINCÍPIOS DE GEOMETRIA: PERÍMETRO, ÁREA E VOLUME ....................................................... 38
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MATEMÁTICA
NÚMEROS RELATIVOS INTEIROS E FRACIONÁRIOS, OPERAÇÕES E 
PROPRIEDADES
NÚMEROS INTEIROS
Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos opostos (negativos). Veja:
Z = {..., -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
O símbolo desse conjunto é a letra Z. Uma coisa importante é saber que todos os números 
naturais são inteiros, mas nem todos os números inteiros são naturais. Logo, podemos repre-
sentar através de diagramas e afirmar que o conjunto de números naturais está contido no 
conjunto de números inteiros ou ainda que N é um subconjunto de Z. Observe: 
Z N
Podemos destacar alguns subconjuntos de números. Veja:
 z Números inteiros não negativos = {4,5,6...}. Veja que são os números naturais;
 z Números inteiros não positivos = {… -3, -2, -1, 0}; Veja que o zero também faz parte deste 
conjunto, pois ele não é positivo nem negativo;
 z Números inteiros negativos = {… -3, -2, -1}. O zero não faz parte;
 z Números inteiros positivos = {5, 6, 7...}. Novamente, o zero não faz parte.
OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS
Há quatro operações básicas que podemos efetuar com estes números. São elas: adição, 
subtração, multiplicação e divisão.
Adição
É dada pela soma de dois números. Ou seja, a adição de 20 e 5 é: 20 + 5 = 25
Veja mais alguns exemplos: 
Adição de 15 e 3: 15 + 3 = 18
Adição de 55 e 30: 55 + 30 = 85
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Principais propriedades da operação de adição:
 z Propriedade comutativa: a ordem dos números não altera a soma. 
Ex.: 115 + 35 é igual a 35 + 115. 
 z Propriedade associativa: quando é feita a adição de 3 ou mais números, podemos somar 
2 deles, primeiramente, e depois somar o outro, em qualquer ordem, que vamos obter o 
mesmo resultado. 
Ex.: 2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) = 10
 z Elemento neutro: o zero é o elemento neutro da adição, pois qualquer número somado a 
zero é igual a ele mesmo. 
Ex.: 27 + 0 = 27; 55 + 0 = 55.
 z Propriedade do fechamento: a soma de dois números inteiros sempre gera outro número 
inteiro. 
Ex.: a soma dos números inteiros 8 e 2 gera o número inteiro 10 (8 + 2 = 10).
Subtração
Subtrair dois números é o mesmo que diminuir, de um deles, o valor do outro. Ou seja, 
subtrair 7 de 20 significa retirar 7 de 20, restando 13: 20 – 7 = 13.
Veja mais alguns exemplos: 
Subtrair 5 de 16: 16 -5 = 11
30 subtraído de 10: 30 – 10 = 20
Principais propriedades da operação de subtração:
 z Propriedade comutativa: como a ordem dos números altera o resultado, a subtração de 
números não possui a propriedade comutativa.
Ex.: 250 – 120 = 130 e 120 – 250 = -130. 
 z Propriedade associativa: não há essa propriedade na subtração;
 z Elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao subtrair zero de qual-
quer número, este número permanecerá inalterado. 
Ex.: 13 – 0 = 13.
 z Propriedade do fechamento: a subtração de dois números inteiros sempre gera outro 
número inteiro.
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Ex.: 33 – 10 = 23.
Multiplicação
A multiplicação funciona como se fosse uma repetição de adições. Veja: 
A multiplicação 20 x 3 é igual à soma do número 20 três vezes (20 + 20 + 20), ou à soma do 
número 3 vinte vezes (3 + 3 + 3 + ... + 3). 
Algo que é muito importante e você deve lembrar sempre são as regras de sinais na mul-
tiplicação de números.
SINAIS NA MULTIPLICAÇÃO
Operações Resultados
+ + +
- - +
+ - -
- + -
Dica
z A multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo.
Ex.: 51 × 2 = 102; (-33) × (-3) = 99 
z A multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo.
Ex.: 25 × (-4) = -100; (-15) × 5 = -75
Principais propriedades da operação de multiplicação:
 z Propriedade comutativa: A x B é igual a B x A, ou seja, a ordem não altera o resultado.
Ex.: 8 x 5 = 5 x 8 = 40.
 z Propriedade associativa: (A x B) x C é igual a (C x B) x A, que é igual a (A x C) x B.
Ex.: (3 x 4) x 2 = 3 x (4 x 2)O volume da esfera é calculado usando a seguinte fórmula:
V = 3
4
r
3# r
E a área da superfície pela fórmula a seguir:
A = 4 × πr2
Cone
Observe a figura a seguir:
Altura
Geratriz
Base
Vamos extrair algumas informações: 
A base de um cone é um círculo, então a área da base é πr2.
Quando “abrimos” um cone, temos seguinte figura:
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R
G
Temos, também, a área lateral que é dada pela fórmula πrg , onde “g” é o comprimento da 
geratriz do cone.
Para calcularmos o volume de um cone, basta sabermos que equivale a 1/3 do produto 
entre a área da base pela altura. Veja: 
V = 
3
r h
2
r
Em um cone equilátero a sua geratriz será igual ao diâmetro, ou seja, 2r.
Pirâmides
A base de uma pirâmide poderá ser qualquer polígono regular, no caso estamos falando 
apenas de pirâmides regulares. 
Pirâmide 
Triangular
Pirâmide 
Quadrangular
Pirâmide 
Pentagonal
Pirâmide 
Hexagonal
Pirâmide 
Heptagonal
O segmento de reta que liga o centro da base a um ponto médio da aresta da base é denomi-
nado “apótema da base”. Por sua vez, indicaremos por “m” o apótema da base. E o segmento que 
liga o vértice da pirâmide ao ponto médio de uma aresta da base é denominado “apótema da 
pirâmide”. Indicaremos por m′ o apótema da pirâmide. Veja:
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m'
m
A área lateral da pirâmide é dada por:
Aℓ = pm′
A área total da pirâmide é dada por:
AT = Ab + Aℓ
O volume da pirâmide é calculado da mesma forma que o volume do cone: 1/3 do produto 
da área da base pela altura. Veja:
V = 
3
Ab h#
Exercite seus conhecimentos realizando os exercícios que seguem.
1. (VUNESP — 2018) Uma praça retangular, cujas medidas em metros, estão indicadas na figura, 
tem 160m de perímetro.
× + 20 
× 
Figura fora de escala
 Sabendo que 70% da área dessa praça estão recobertos de grama, então, a área não recoberta 
com grama tem
a) 450 m2.
b) 500 m2.
c) 400 m2.
d) 350 m2.
e) 550 m2.
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Foi dado o perímetro dessa praça, que corresponde à soma de todos os lados. Logo:
2x + 2(x + 20) = 160
2x + 2x + 40 = 160
4x = 120
x = 30 m
A área, portanto, será:
Área = 30 x (30 + 20)
Área = 30 x 50 = 1500 m²
Como 70% está recoberta por grama, 100 – 70 = 30% não é recoberta. Logo:
Área não recoberta = 0,3 x 1500 = 450 m². Resposta: Letra A.
2. (CEBRASPE-CESPE — 2018) Os lados de um terreno quadrado medem 100 m. Houve erro na 
escrituração, e ele foi registrado como se o comprimento do lado medisse 10% a menos que a 
medida correta. Nessa situação, deixou-se de registrar uma área do terreno igual a
a) 20 m2.
b) 100 m2.
c) 1.000 m2.
d) 1.900 m2.
e) 2.000 m2.
A área de um quadrado é L². Inicialmente os lados do quadrado deveriam medir L = 100 m, 
portanto a área seria A = 100² = 10000 m². Porém, L foi registrado com 10% a menos, ou seja, 
100 – 10% x 100 = 90 m. Logo, a área passou a ser 90² = 8100 m².
Então, a área que deixou de ser registrada foi de: 10000 – 8100 = 1900 m². Resposta: Letra D.
3. (IDECAN — 2018) A figura a seguir é composta por losangos cujas diagonais medem 6 cm e 4 
cm. A área da figura mede
a) 48 cm2.
b) 50 cm2.
c) 52 cm2.
d) 60 cm2.
e) 64 cm2. 
Sendo D e d as diagonais de um losango, sua área é dada por:
Área = D x d / 2 = 6 x 4 / 2 = 12cm2
Como ao todo temos 5 losangos, a área total é:
5 x 12 = 60cm2. Resposta: Letra D.
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4. (IBFC — 2017) A alternativa que apresenta o número total de faces, vértices e arestas de um 
tetraedro é:
a) 4 faces triangulares, 5 vértices e 6 arestas.
b) 5 faces triangulares, 4 vértices e 6 arestas.
c) 4 faces triangulares, 4 vértices e 7 arestas.
d) 4 faces triangulares, 4 vértices e 6 arestas.
e) 4 faces triangulares, 4 vértices e 5 arestas.
Um tetraedro é uma figura formada por 4 faces apenas, veja:
A
B
C
V
a
a
a
a
Temos 4 vértices A, B, C e V. Também sabemos que temos 4 faces. O número de arestas pode 
ser contado ou, então, obtido pela relação:
V + F = A + 2
4 + 4 = A + 2
A = 6 arestas . 
Resposta: Letra D.
5. (VUNESP — 2018) Em um reservatório com a forma de paralelepípedo reto retângulo, com 2,5 m 
de comprimento e 2 m de largura, inicialmente vazio, foram despejados 4 m³ de água, e o nível da 
água nesse reservatório atingiu uma altura de x metros, conforme mostra a figura.
2,5
2
h
×
 Sabe-se que para enchê-lo completamente, sem transbordar, é necessário adicionar mais 3,5 m³ 
de água. Nessas condições, é correto afirmar que a medida da altura desse reservatório, indicada 
por h na figura, é, em metros, igual a
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a) 1,25.
b) 1,5.
c) 1,75.
d) 2,0.
e) 2,5.
O volume total do reservatório é de 4 + 3,5 = 7,5m3. Usando a fórmula para calcular o volume, 
ou seja,
Volume = comprimento x largura x altura
7,5 = 2,5 x 2 x h
3 = 2 x h
h = 1,5m
Resposta: Letra B. 
 HORA DE PRATICAR! 
1. (CEBRASPE-CESPE — 2021) Três técnicas em enfermagem trabalham em regime de plantão. 
Uma delas faz plantão a cada quatro dias; outra, de oito em oito dias; e a terceira, a cada cinco 
dias.
 Se hoje todas fizerem plantão juntas, farão juntas novamente em, no mínimo,
a) 17 dias.
b) 20 dias.
c) 40 dias.
d) 32 dias.
2. (CEBRASPE-CESPE — 2021) Considere que Arnaldo, em 2020, tenha completado a idade que sua mãe 
tinha em 1985, e que, em 2025, ele terá 
3
1 da idade de seu pai. 
 Admitindo-se que o pai de Arnaldo tenha 5 anos de idade a mais que a mãe de Arnaldo, é correto 
afirmar que Arnaldo completou em 2020
a) 10 anos de idade.
b) 30 anos de idade.
c) 15 anos de idade.
d) 20 anos de idade.
e) 25 anos de idade.
3. (CEBRASPE-CESPE — 2021) Um vídeo filmado no formato 4:3 (largura de 640 pixels × altura de 
480 pixels) foi reproduzido em um equipamento cujo tela tem o formato 16:9 (largura de 1.280 
pixels × altura de 720 pixels), sem a utilização de um conversor de formato de vídeo, de modo que 
a imagem preencheu a tela completamente, mas ficou ligeiramente deformada.
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 Nessa situação, o aumento proporcional da largura da imagem em relação à altura foi de
a) 1/3.
b) 1/6.
c) 2/3.
d) 3/4.
e) 4/3.
4. (CEBRASPE-CESPE — 2021) O carro de Aldo faz 15 quilômetros com um litro de gasolina, que custa 
R$ 5, ou 10 quilômetros com um litro de etanol, que custa R$ 3,50. 
 Considerando essas informações, julgue os itens seguintes.
I. O custo do litro do etanol é igual a 70% do custo do litro de gasolina.
II. Se Aldo dispõe de R$ 70 para abastecer o seu carro, ele poderá adquirir 14 litros de gasolina ou 20 
litros de etanol.
III. Considerando-se apenas o custo dos combustíveis e o desempenho do carro, anteriormente mencio-
nados, é financeiramentemais vantajoso para Aldo abastecer o seu carro com gasolina do que com 
etanol.
 Assinale a opção correta.
a) Apenas o item II está certo.
b) Apenas os itens I e II estão certos.
c) Apenas os itens I e III estão certos.
d) Apenas os itens II e III estão certos.
e) Todos os itens estão certos.
5. (CEBRASPE-CESPE — 2021) Em determinada região
12
5 dos crimes cometidos anualmente ficam sem 
solução, novas medidas técnicas foram implementadas no final de 2020, o que acarretou um aumen-
to percentual de 40% em 2021, em relação ao ano anterior, na quantidade de crimes solucionados. 
 Nessa situação hipotética, se 180 crimes tiverem sido cometidos nessa região no ano de 2021, então 
a quantidade desses crimes que ficaram sem solução nesse ano foi igual a
a) 3.
b) 30.
c) 33.
d) 42.
e) 45.
6. (CEBRASPE-CESPE — 2021) No contexto da pandemia que teve início no ano de 2020, como for-
ma de conter o impacto em seu fluxo de caixa, a pousada Boa Estadia, que antes de 1.º de março 
de2020 vendia pacotes para fins de semana (pensão completa, das 14 h de sexta feira às 13 h de 
domingo) por R$ 1.490, passou, a partir desta data, a oferecer omesmo serviço por R$ 1.000 para 
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os clientes usufruírem a qualquer tempo, durante o ano de 2020. Acreditando poder usufruir desse 
serviço no período de 9 a 11 deoutubro de 2020, Cláudio o adquiriu em 9 de março de 2020, pelo valor 
promocional.
 Considere que, no texto, a pousada Boa Estadia, apesar de seus esforços para conter o impacto da 
pandemia em seu fluxo de caixa, tenha visto seu faturamento despencar 20% no primeiro mês, 30% 
no segundo e 40% no terceiro, com leve recuperação de 10% no quarto mês, sempre em relação ao 
mês anterior, após as autoridades relaxarem um pouco as regras de isolamento. 
 Nesse caso, a queda acumulada no faturamento no período considerado, em comparação com aque-
le pré- pandemia, foi
a) inferior a 70%.
b) superior a 70% e inferior a 75%.
c) superior a 85%.
d) superior a 75% e inferior a 80%.
e) superior a 80% e inferior a 85%.
7. (CEBRASPE-CESPE — 2021) Em certa localidade, o número de crimes registrados por mês é 
inversamente proporcional ao número de agentes de segurança em atuação no mês, e a cons-
tante de proporcionalidade depende de fatores como recursos disponíveis para uso da força 
policial, tamanho populacional e desigualdade social. Se, em dado mês, nessa localidade, havia 
um efetivo de 2.100 agentes de segurança e foram registrados 600 crimes, então, para atingir a 
meta de 450 registros de crimes por mês, o número de agentes de segurança em atuação deve 
ser igual a
a) 1.575.
b) 3.150.
c) 2.550.
d) 2.700.
e) 2.800.
8. (CEBRASPE-CESPE — 2021) Bianca precisou estimar a distância entre o ponto A — correspon-
dente a um domicílio — e o ponto B — correspondente a um estabelecimento comercial — e, para 
isso, utilizou a seguinte estratégia:
I. ela caminhou do ponto A até o ponto B contando os passos e contabilizou 1.280 passos entre esses 
dois pontos;
II. em seguida, sabendo que a distância entre os pontos C e D era de 15 metros, ela caminhou do 
ponto C até o ponto D contando os passos e contabilizou 20 passos;
III. por fim, ela utilizou uma regra de três simples para estimar a distância, em metros, entre os pontos A e 
B. Com base nessas informações, considerando-se que Bianca tenha executado seus cálculos corre-
tamente, a estimativa para a distância entre A e B por ela encontrada foi de
a) 15 metros.
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b) 20 metros.
c) 300 metros.
d) 960 metros.
e) 1.280 metros.
9. (CEBRASPE-CESPE — 2021) Em um sistema de controle de incêndios, a vazão de uma manguei-
ra é de 300 litros por minuto. 
 Esse valor corresponde a
a) 5 cm3/seg.
b) 200 cm3/seg.
c) 5.000 cm3/seg.
d) 18.000 cm3/seg.
10. (CEBRASPE-CESPE — 2021) A empresa Vila Real comercializa três tipos de vinho: Real Prata, 
Real Ouro e Real Premium. O preço de uma garrafa de Real Ouro é igual ao dobro do preço de 
uma garrafa de Real Prata. Além disso, uma garrafa de Real Ouro é também igual à metade do 
preço de uma garrafa de Real Premium. No ano passado, essa empresa vendeu mil garrafas de 
cada um dos três tipos de vinho, tendo obtido uma receita de 350 mil reais.
 A partir dessas informações, conclui-se que o preço de
a) uma garrafa de vinho Real Prata é superior a R$ 62,00.
b) três garrafas de vinho de tipos diferentes é superior a R$ 387,00.
c) uma garrafa de vinho Real Ouro é inferior a R$ 93,00.
d) uma garrafa de vinho Real Premium é superior a R$ 187,00.
e) duas garrafas de vinho, sendo uma do Real Prata e outra de Real Premium, é inferior a R$ 245,00.
11. (CEBRASPE-CESPE — 2021) O número total de médicos, enfermeiros e técnicos de saúde trabalhan-
do em determinado hospital é igual a 400. O número total de médicos e enfermeiros supera o número 
de técnicos em 60, e o triplo do número de médicos é igual ao número total de enfermeiros e de técni-
cos de enfermagem.
 Nesse caso, o número de médicos trabalhando nesse hospital é igual a
a) 100.
b) 110.
c) 120.
d) 130.
e) 140.
12. (CEBRASPE-CESPE — 2022) Para cortar uma árvore de 20 m de altura em determinado parque, 
duas cordas foram amarradas na árvore em um ponto P, situado a 16 m acima do solo, e a 
outrosdois pontos A e B no solo, situados respectivamente a 12 m e 30 m do ponto O. Este, por 
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sua vez, estava situado no solo exatamente abaixo do ponto P, conformerepresentado na figura 
a seguir. O terreno em questão é plano, o caule da árvore está posicionado de forma perpendicu-
lar ao terreno e a árvore será cortada rente aosolo.
θ
P
O
A
B
α
 Sejam α e θ, respectivamente, os ângulos nos vérticies O e P dos triângulos AOB e APB, Considere α θ e a área do triângulo AOB é menor do que a área do triângulo APB.
c) α > θ e a área do triângulo AOB é maior do que a área do triângulo APB.
d) αcompletamente 
da parte restante, já que esta havia permanecido unida às raízes. Considere, ainda, que as cordas 
haviam sido amarradas para que a árvore não caísse. 
 Nessa situação, se a árvore não tivesse sido amarrada, a área total que ela poderia atingir na 
queda seria
a) inferior a 500 m2.
b) superior a 2000 m2.
c) superior a 500 m2 e inferior a 1000 m2.
d) superior a 1000 m2 e inferior a 1500 m2
e) superior a 1500 m2 e inferior a 2000 m2.
15. (CEBRASPE-CESPE — 2022) Uma pessoa fez um investimento de R$ 2.500 em uma aplicação 
financeira remunerada a juros simples. Após 18 meses, o valor resgatado foi de R$ 2.860.
 A taxa de juros anual desse investimento foi de
a) 9,0%.
b) 9,38%.
c) 9,6%.
d) 14,4%.
e) 10,03%.
16. (CEBRASPE-CESPE — 2022) Se um empréstimo de R$ 100.000, feito à taxa de juros de 2% ao 
mês no regime de capitalização simples, for amortizado cinco meses após a contratação, então 
o valor a ser pago ao final desse período será
a) R$ 100.002.
b) R$ 102.000.
c) R$ 110.000.
d) R$ 120.000.
17. (CEBRASPE-CESPE — 2022) Se um investidor tiver aplicado R$ 1.000 em um título que rende 
10% ao ano em juros simples, então o prazo necessário para que o valor investido triplique será 
de
a) 5 anos.
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b) 10 anos.
c) 20 anos.
d) 25 anos.
18. (CEBRASPE-CESPE — 2021) Considere que um investidor deseje aplicar um capital (C) à taxa de 
juros fixa (i) ao ano, pelo período de um ano (n = 1). Nessa situação,
a) o rendimento será (1 + i)1.
b) se os juros forem simples, o rendimento será maior.
c) se os juros forem compostos, o rendimento será maior.
d) o rendimento será o mesmo seja no regime de juros simples ou compostos.
e) o rendimento será C(1 + i)1.
19. (CEBRASPE-CESPE — 2021) Considere que determinado consumidor tenha aplicado R$ 1.000,00 
na poupança pelo período de dois anos. 
 Supondo-se que a taxa de juros da poupança seja de 6% a.a. e que a capitalização ocorra em juros 
compostos, o saldo da aplicação será de
a) R$ 1.060,00.
b) R$ 1.120,00.
c) R$ 1.120,60.
d) R$ 2.120,00.
e) R$ 1.123,60.
20. (CEBRASPE-CESPE — 2021) Texto 5A7-I
 Há um relativo consenso entre especialistas no sentido de que, para enfrentamento da crise eco-
nômica decorrente do novo Coronavírus, será necessária volumosa aplicação de recursos públi-
cos por todas as esferas de governo. Nesse sentido, para prover uma fonte de recursos para os 
governos locais, o governo central autorizou os bancos oficiais a ofertarem uma linha de crédito 
nas condições a seguir:
z empréstimo com valor das prestações determinado pelo SAC no período de amortização;
z prestações mensais;
z carência de 12 meses;
z taxa nominal anual de 3%
 Considere que o estado do Ceará tomou um empréstimo de R$ 10 milhões nessa linha de crédito, 
para amortização em 25 anos.
 Assuma, quando necessário, que 1,002512 = 1,03041595.
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 Na situação descrita no texto 5A7-I, considere que o estado do Ceará não efetuou o pagamento 
de juros no período de carência e que estes foram incorporados ao saldo devedor segundo o 
regime de juros compostos. 
 Nesse caso, o valor dos juros a serem cobrados na ocasião do pagamento da primeira prestação 
da fase de amortizações será
a) inferior a R$ 25.500.
b) superior a R$ 25.500 e inferior a R$ 26.000.
c) superior a R$ 26.000 e inferior a R$ 26.500.
d) superior a R$ 26.500 e inferior a R$ 27.000.
e) superior a R$ 27.000.
 9 GABARITO
1 C
2 C
3 A
4 E
5 C
6 A
7 E
8 D
9 C
10 D
11 A
12 B
13 D
14 D
15 C
16 C
17 C
18 D
19 E
20 B
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ANOTAÇÕES
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reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.= (3 x 2) x 4 = 24.
 z Elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação, pois ao multiplicar 
1 por qualquer número, este número permanecerá inalterado. 
Ex.: 15 x 1 = 15.
 z Propriedade do fechamento: a multiplicação de números inteiros sempre gera um número 
inteiro.
Ex.: 9 x 5 = 45
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 z Propriedade distributiva: essa propriedade é exclusiva da multiplicação. Veja como fica: 
Ax(B+C) = (AxB) + (AxC)
Ex.: 3x(5+7) = 3x(12) = 36
Usando a propriedade:
3x(5+7) = 3x5 + 3x7 = 15+21 = 36
Divisão
Quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A em partes de mesmo valor, 
sendo um total de B partes. 
Ex.: Ao dividirmos 50 por 10, queremos dividir 50 em 10 partes de mesmo valor. Ou seja, 
nesse caso teremos 10 partes de 5 unidades, pois se multiplicarmos 10 x 5 = 50. Ou ainda 
podemos somar 5 unidades 10 vezes consecutivas, ou seja, 5+5+5+5+5+5+5+5+5+5=50.
Algo que é muito importante e você deve lembrar sempre são as regras de sinais na divi-
são de números.
SINAIS NA DIVISÃO
Operações Resultados
+ + +
- - +
+ - -
- + -
 z A divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo.
 Ex.: 60 ÷ 3 = 20; (-45) ÷ (-15) = 3 
 z A divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo.
 Ex.: 25 ÷ (-5) = -5; (-120) ÷ 5 = -24
Esquematizando:
30
0
5
6
Dividendo
Divisor
Resto Quociente
Dividendo = Divisor × Quociente + Resto 
30 = 5 · 6 + 0
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Principais propriedades da operação de divisão: 
 z Propriedade comutativa: a divisão não possui essa propriedade;
 z Propriedade associativa: a divisão não possui essa propriedade;
 z Elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da divisão, pois ao dividir qualquer 
número por 1, o resultado será o próprio número. 
Ex.: 15 / 1 = 15.
 z Propriedade do fechamento: aqui chegamos em uma diferença enorme dentro das operações 
de números inteiros, pois a divisão não possui essa propriedade, uma vez que ao dividir núme-
ros inteiros podemos obter resultados fracionários ou decimais.
Ex.: 2 / 10 = 0,2 (não pertence ao conjunto dos números inteiros).
A seguir, exercite seus conhecimentos realizando os exercícios que seguem.
1. (VUNESP — 2015) Dividindo-se um determinado número por 18, obtém-se quociente n e resto 15. Divi-
dindo-se o mesmo número por 17, obtém-se quociente (n + 2) e resto 1. Desse modo, é correto afirmar 
que n(n + 2) é igual a
a) 440.
b) 420.
c) 400.
d) 380.
e) 340.
Dividendo = 18 x n + 15
Dividendo = 17 x (n+2) + 1
18 x n + 15 = 17 x (n+2) + 1
18n + 15 = 17n + 34 + 1
18n – 17n = 35 – 15
n = 20
Logo, n.(n+2) = 20.(20+2) = 20.22 = 440. Resposta: Letra A. 
2. (FGV — 2019) O resultado da operação 2+3×4−1 é
a) 13.
b) 15.
c) 19.
d) 22.
e) 23. 
Primeiro vamos fazer a multiplicação e depois as demais operações: 
2 + 3 × 4 − 1 = 2 + 12 − 1 = 13
Resposta: Letra A
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FRAÇÕES 
Frações nada mais são do que operações de divisão. Podemos, por exemplo, tanto escrever 
4 ÷ 8 quanto 
8
4 . 
Agora, vamos estudar todas as operações que envolvem as frações. São elas: adição, sub-
tração, multiplicação e divisão.
Adição e Subtração de Fração
Para somar ou subtrair frações, é necessário olharmos para os denominadores, ou seja, 
para a “base” das frações. Há duas situações possíveis. Vejamos: 
 z Denominadores iguais (quando acontece essa situação, basta repetir as bases e operar os 
numeradores).
5
1
5
3
+ =
5
1 3
5
4+
=
3
4
3
2
- =
3
4 2
3
2-
=
 z Denominadores diferentes (quando acontece essa situação, é necessário achar o denomi-
nador comum, para operar as frações). Veja:
3
1
4
3
+
O número 12 é o primeiro múltiplo, ao mesmo tempo, de 3 e 4. Então, dividiremos 12 pelos 
denominadores e, depois, multiplicaremos o resultado pelos numeradores.
3
1
4
3
+ =
x
12 3
4 1
÷
+
x
12 4
3 3
12
4 9
÷
=
+
12
13
=
Achando o menor denominador comum (mmc):
3 – 4 2 (aqui vamos dividir sempre pelo menor número primo possível)
3 – 2 2
3 – 1 3
1 – 1 mmc: 2 · 2 · 3 = 12 
Todo número que é dividido apenas por ele mesmo e pelo número 1 é um número primo. 
Exemplo: 
3 (apenas por ser dividido por 1 e 3)
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13 (apenas por ser dividido por 1 e 13)
Multiplicação de Fração
Fazer a multiplicação entre frações é muito simples! Basta multiplicar o numerador de 
uma das frações pelo numerador da outra fração e fazer o mesmo processo entre os denomi-
nadores. Veja:
x x
x
3
2
4
5
3 4
2 5
=
12
10
=
Ainda não chegamos ao resultado final da operação, pois é necessário simplificar a fração 
o máximo possível. Para realizar esse procedimento, devemos achar um número que divide, 
ao mesmo tempo, o denominador e o numerador. No caso apresentado anteriormente, sabe-
mos que é o número 2. Aplicando, fica assim:
 12 2
10 2
6
5
÷
÷
=
Pronto! Chegamos no resultado final, pois não há mais como simplificar. 
Divisão de Fração
Vou te ensinar uma maneira bem simples para resolver esse tipo de operação. Para divi-
dir frações, deve-se repetir a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda fração. 
Depois, basta realizar a multiplicação normalmente, da mesma forma que aprendemos. Veja:
Importante!
Podemos simplificar frações, dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número.
MÚLTIPLOS E DIVISORES
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
Os múltiplos de um número X são aqueles números que podem ser obtidos multiplicando 
X por outro número natural. Agora, observe os múltiplos dos números 4 e 6:
M(4) = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...
M(6) = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ...
Quais são os múltiplos iguais (comuns) entre os números? São eles: 12, 24, 36. E qual o 
menor deles? É o número 12. Sendo assim, o número 12 é o menor múltiplo comum entre 4 e 
6, ou seja, o MMC entre 4 e 6 é igual a 12.
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Cálculo do MMC por Fatoração Simultânea
Podemos calcular o MMC entre 2 ou mais números, de maneira mais rápida, fazendo a 
fatoração simultânea dos dois números. Veja:
Ex.: calcule o MMC entre 6 e 8.
6 – 8 2 (aqui devemos colocar o menor número primo)
3 – 4 2 (nesse caso repetimos o número 3, pois ele não é dividido pelo 2)
3 – 2 2
3 – 1 3
1 – 1 MMC = 2 × 2 × 2 × 3 = 24.
Logo, o MMC (6 e 8) = 24.
Com esse método, é possível calcular o MMC entre vários números. Vamos exercitar nova-
mente, dessa vez com mais números.
Ex.: Calcule o MMC entre os números 10, 12, 20.
10 – 12 – 20 2 (aqui devemos colocar o menor número primo)
5 – 6 – 10 2 (nesse caso repetimos o número 3, pois ele não é dividido pelo 2)
5 – 3 – 5 3
5 – 1 – 5 5
1 – 1 – 1 MMC = 2 × 2 × 3 × 5 = 60.
Logo, o MMC (10, 12 e 20) = 60.
Passos para calcular o MMC (fatoração simultânea):
 z Montar uma coluna para os fatores primos e colunas para cada um dos números;
 z Começar a divisão dos números pelo menor fator primo (2) e só ir aumentando quando 
nenhumdos números puder ser dividido.
Se algum dos números não puder ser dividido, basta copiá-lo para a próxima linha. O obje-
tivo é fazer com que todos os números cheguem ao valor 1. O MMC será a multiplicação dos 
fatores primos utilizados.
MÁXIMO DIVISOR COMUM
O máximo divisor comum (MDC ou M.D.C.) corresponde ao maior número divisível entre 
dois ou mais números inteiros.
Os divisores comuns de 12 e 18 são 1, 2, 3 e 6. Dentre estes, o número maior é o 6. Sendo 
assim, o número 6 é o máximo divisor comum entre 12 e 18, ou seja, o MDC entre 12 e 18 é 
igual a 6.
Cálculo do MDC por Fatoração Simultânea
Podemos calcular o MDC entre 2 ou mais números fazendo a fatoração simultânea dos 
dois números (aqui, é importante ressaltar que a faremos a fatoração até o momento em que 
o número 1 for quem divide todos os números envolvidos ao mesmo tempo). Veja: 
Ex.: Calcule o MDC entre 60 e 45.
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60 – 45 3 (note que 3 é o número que divide o 60 e o 45 ao mesmo tempo)
20 – 15 5 (note que 5 é o número que divide o 20 e o 15 ao mesmo tempo)
4 – 3
1 (aqui, paramos a fatoração, pois o número 1 é quem divide tudo ao 
mesmo tempo
MDC = 3 × 5 × 1 = 15.
Logo, o MDC (60 e 45) = 15.
Passos para calcular o MDC (fatoração simultânea):
 z Montar uma coluna para os fatores primos e colunas para cada um dos números;
 z Começar a divisão dos números pelo número que divide todos os números ao mesmo 
tempo;
 z Parar a fatoração quando o número 1 for quem divide todo os números ao mesmo tempo;
 z O MDC será a multiplicação dos fatores primos utilizados.
NÚMEROS PRIMOS
São números divisíveis somente por 1 e por ele mesmo, distintamente.
Atenção: o número 1 não é primo.
Alguns números primos mais utilizados:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...
Exemplo: o número 7 é divido apenas por 1 e por ele mesmo, ou seja, é um número primo.
Dica
Um número primo tem apenas dois divisores (como dissemos, o 1 e ele mesmo).
INDUÇÃO FINITA
Esse Teorema é conhecido como o Princípio da Indução Finita (P.I.F.) Temos a seguinte 
relação:
Seja P(n) uma propriedade descrita em termos de números naturais n. Suponhamos que 
as afirmações abaixo estejam satisfeitas:
 z P(1) é válida;
 z Se P(k) vale, então P(k+1) também vale.
Nesse caso, então P(n) é válida para todo n ≥ 1.
Exemplo:
Soma dos n primeiros números ímpares é igual a um quadrado perfeito?
P(n)  1 + 3 + 5 + ... + 2n – 1 = n2, para qualquer n pertencente ao conjunto dos números 
naturais inteiros positivos com exceção do zero.
 z Vamos testar para P(1):
N0 = 1 
12 = 1 (verdade)
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 z Se P(k) é verdadeira, então P(k+1) é verdadeira:
1 + 3 + 5 + ... + 2k – 1 = k2 
1 + 3 + 5 + ... + 2k – 1 + 2(k + 1) – 1 = (k + 1)2 = k2 + 2k + 1
k2 + 2k + 2 – 1 = k2 + 2k + 1  k2 + 2k + 1 = (k + 1)2
Logo, é verdade que a soma dos n primeiros números ímpares é um quadrado perfeito.
NÚMEROS REAIS
REPRESENTAÇÃO NA RETA REAL
Na geometria plana, as retas são consideradas entidades primitivas, ou seja, não necessi-
tam de definição formal, pois são intuitivamente concebidas pelos seres humanos. Em geral, 
elas são representadas graficamente por meio de um traço contínuo sem lacunas e sem pon-
tos em suas extremidades.
O que se estipula para elas, no entanto, são as consequências de existirem, como colocam 
Dolce e Pompeo (2013, p. 2): “Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.”. Ora, bem 
assim são os números reais, infinitos, não só positiva e negativamente, como também entre 
si, pois entre e 2, por exemplo, temos o 1,5; 1,23; 1,0001; √2 = 1,412..., entre outros. Portanto, 
podemos representá-los graficamente em uma reta à qual daremos o nome de reta real. A 
seguir, acompanhe a representação básica desse elemento gráfico.
–3 –2
–
– –
–
5 
2
– √3 √2
5 
3
3 
2
9 
4
11 
44 
3
1 
2
1 
2
–1 1 2 30
π
Fonte: Iezzi e Murakami (2013).
Note a presença dos exemplos de números irracionais, √2 e π, mas também de números 
inteiros, 0, ,1 , –3 entre outros. Também podemos identificar alguns dos números racionais 
presentes entre dois inteiros quaisquer, como 1 
2 e 9 
4 , por exemplo.
RELAÇÃO DE ORDEM
A relação de ordem que incide sobre o conjunto dos números reais fornece-nos uma fer-
ramenta para podermos compará-los de forma direta quanto a sua magnitude. Sejam a e b 
números reais, dizer que a é maior que b (a > b) equivale a afirmar que b é menor que a (b 
 0,7, então a 1ª opção é a melhor escolha.
d) qualquer que seja x tal que 0,35 0,7. Resposta: Letra C.
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2. (CPCAR — 2017) Considere a = 1150, b = 4100 e e assinale a alternativa correta.
a) c 2150, ou seja, b > c. Como c = (22)75 = ((22)5)15 
= (((22)5)5)3 = (250)3 = (23)50 =850, portanto, c = 850. Não somente, como 11 > 8, teremos que 1150 
> 850, ou seja, a > c. Porfim, como b = (22)100 = ((22)4)25 = ((22)4)25 = (24)50 = 1650 , teremos que b = 
1650. Para tanto, como 16 > 11, teremos que 1650 > 1150, ou seja, b > a. Assim, c maior que
 0
ax + bem uma das equações;
 � Substituir esta variável na outra equação pela expressão achada no item anterior.
Vamos aplicar no nosso exemplo:
Isolando “x” na primeira equação
x = 10 – y
Substituindo “x” na segunda equação por “10-y”
4(10-y) – y = 5 (faz uma distributiva)
40 – 4y – y = 5
-5y = 5 – 40
-5y = -35 (multiplica por -1)
5y = 35
y = 7
Logo, voltando na primeira equação, acharemos o valor de “x”
x = 10 – y
x = 10 – 7
x = 3
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Assim, x = 3 e y = 7.
Dica
Método da substituição
1: Isolar uma das variáveis em uma das equações;
2: Substituir essa variável na outra equação pela expressão achada no item anterior.
Há um outro método para resolver um sistema de equação do 1° grau, que é o método da 
adição (ou soma) de equações. Veja:
 � Multiplicar uma das equações por um número que seja mais conveniente para eliminar 
uma variável;
 � Somar as duas equações, de forma a ficar apenas com uma variável.
Veja o exemplo a seguir: 
x y 10
4x y 5
+ =
- =
*
Nesse exemplo, não vamos precisar fazer uma multiplicação, pois já temos a condição 
necessária para eliminarmos o “y” da equação. Então, devemos fazer apenas a soma das 
equações. Veja: 
x y 10
4x y 5
+ =
- =
*
5x = 15
x = 3
Substituindo o valor de “x” na primeira equação achamos o valor de “y”:
x + y = 10
3 + y = 10
y = 10 – 3
y = 7
Veja um outro exemplo que vamos precisar multiplicar: 
x y 10
x 2y 4
+ =
- =
*
Multiplicando por -1 a primeira equação, temos:
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x y 10
x 2y 4
- - = -
- =
(
Fazendo a soma:
x y 10
x 2y 4
- - = -
- =
(
-3y = -6
y = -6 / -3
y= 2
Substituindo o valor de “y” na primeira equação achamos o valor de “x”:
x + y = 10
x + 2 = 10
x = 10 – 2
x = 8
SISTEMAS DE MEDIDA DE TEMPO
Medindo intervalos de tempos temos (hora – minuto – segundo) que são os mais conheci-
dos. Veja como se faz a relação nessa unidade.
Para transformar de uma unidade maior para a unidade menor, multiplica-se por 60. Veja:
1 hora = 60 minutos
h = 4 x 60 = 240 minutos
Para transformar de uma unidade menor para a unidade maior, divide-se por 60. Veja:
20 minutos = 20 / 60 = 2/6 = 1/3 da hora ou 1/3h.
Para medir ângulos a unidade básica é o grau. Temos as seguintes relações:
1 grau equivale a 60 minutos (1º = 60’)
1 minuto equivale a 60 segundos (1’ = 60”)
Aqui vale fazer uma observação que os minutos e os segundos dos ângulos não são os mes-
mos do sistema (hora – minuto – segundo). Os nomes são semelhantes, mas os símbolos que 
os indicam são diferentes, veja:
1h32min24s é um intervalo de tempo ou um instante do dia.
1º 32’ 24” é a medida de um ângulo.
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SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
A unidade principal tomada como referência é o metro. Além dele, temos outras seis uni-
dades diferentes que servem para medir dimensões maiores ou menores. A conversão de 
unidades de comprimento segue potências de 10. Veja o esquema abaixo:
km
(quilômetro)
hm
(hectômetro)
dam
(decâmetro)
m
(metro)
dm
(decímetro)
cm
(centímetro)
MM
(milímetro)
Km hm dam m dm cm MM
×10 ×10 ×10 ×10 ×10 ×10
:10 :10 :10 :10 :10 :10
Exemplo: Converter 5,3 metros para centímetros:
Para sair do metro e chegar no centímetro devemos multiplicar por 100 (10x10), pois 
“andamos” duas casas até chegar em centímetro. Logo, 
5,3m = 5,3 x 100 = 530 cm.
NÚMEROS E GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE 
PROPORCIONAIS
DIRETAMENTE PROPORCIONAL
Um dos tópicos mais comuns em questões de prova é dividir uma determinada quantia em 
partes proporcionais a determinados números. Vejamos um exemplo para entendermos melhor 
como esse assunto é cobrado.
Exemplo:
A quantia de 900 mil reais deve ser dividida em partes proporcionais aos números 4, 5 e 6. 
A menor dessas partes corresponde a:
Primeiro vamos chamar de X, Y e Z as partes proporcionais, respectivamente a 4, 5 e 6. Sendo 
assim, X é proporcional a 4, Y é proporcional a 5 e Z é proporcional a 6, ou seja, podemos repre-
sentar na forma de razão. Veja:
4
X
5
Y
6
Z
= = = constante de proporcionalidade
Usando uma das propriedades da proporção, somas externas, temos:
4 5 6
X Y Z
+ +
+ +
 15
900.000 = 60.000
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M
AT
EM
ÁT
IC
A
25
A menor dessas partes é aquela que é proporcional a 4, logo:
4
X = 60.000
X = 60.000 x 4
X = 240.000
INVERSAMENTE PROPORCIONAL
É um tipo de questão menos recorrente, mas, não menos importante. Consiste em distri-
buir uma quantia X a três pessoas, de modo que cada uma receba um quinhão inversamente 
proporcional a três números. Vejamos um exemplo:
Suponha que queiramos dividir 740 mil em partes inversamente proporcionais a 4, 5 e 6.
Vamos chamar de X as quantias que devem ser distribuídas inversamente proporcionais 
a 4, 5 e 6, respectivamente. Devemos somar as razões e igualar ao total que dever ser distri-
buído para facilitar o nosso cálculo, veja:
4
X
 + 5
X
 + 6
X = 740.000
Agora vamos precisar tirar o M.M.C. (mínimo múltiplo comum) entre os denominadores 
para resolvermos a fração.
4 – 5 – 6 | 2
2 – 5 – 3 | 2
1 – 5 – 3 | 3
1 – 5 – 1 | 5
1 – 1 – 1 | 2 x 2 x 3 x 5 = 60
Assim, dividindo o M. M. C. pelo denominador e multiplicando o resultado pelo numera-
dor temos: 
60
15x
60
12x
+ + 60
10x = 740.000
60
37x = 740.000
X = 1.200.000
Agora basta substituir o valor de X nas razões para achar cada parte da divisão inversa. 
4
x
 = 4
1.200.000 = 300.000
5
x
 = 5
1.200.000 = 240.000
6
x
 = 6
1.200.000 = 200.000
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Logo, as partes dividas inversamente proporcionais aos números 4, 5 e 6 são, respectiva-
mente 300.000, 240.000 e 200.000. 
A seguir, realize algumas questões comentadas.
1. (FAEPESUL — 2016) Em uma turma de graduação em Matemática Licenciatura, de forma fictícia, 
temos que a razão entre o número de mulheres e o número total de alunos é de 5/8. Determine a quan-
tidade de homens desta sala, sabendo que esta turma tem 120 alunos.
a) 43 homens.
b) 45 homens.
c) 44 homens.
d) 46 homens.
e) 47 homens.
A razão entre o número de mulheres e o número total de alunos é de 5/8:
T
M
8
5
=
A turma tem 120 alunos, então: T = 120
Fazendo os cálculos:
T
M
8
5
=
120
M
8
5
=
8 x M = 5 x 120
8M = 600
M = 
8
600
M = 75
A quantidade de homens da sala:
120 - 75 = 45 homens. Resposta: Letra B.
2. (VUNESP — 2020) Em um grupo com somente pessoas com idades de 20 e 21 anos, a razão 
entre o número de pessoas com 20 anos e o número de pessoas com 21 anos, atualmente, é 4/5. 
No próximo mês, duas pessoas com 20 anos farão aniversário, assim como uma pessoa com 21 
anos, e a razão em questão passará a ser de 5/8. O número total de pessoas nesse grupo é
a) 30.
b) 29.
c) 28.
d) 27.
e) 26.
A razão entre o número de pessoas com 20 anos e o número de pessoas com 21 anos, atual-
mente, é 4/5.
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M
AT
EM
ÁT
IC
A
27
121
120
5x
4x
= Total de 9x
No próximo mês, duas pessoas com 20 anos farão aniversário, assim como uma pessoa com 
21 anos, e a razão em questão passará a ser de 5/8.
121
120
5x 2 1
4x 2
=
+ -
-
 
=
 8
5
5x 1
4x 2
8
5
+
-
=
8 (4x - 2) = 5 (5x + 1)
32x – 16 = 25x + 5
7x = 21
x = 3
Para sabermos o total de pessoas, basta substituir o valor de X na primeira equação:
9x = 9 x 3 = 27 é o número total de pessoas nesse grupo. Resposta: Letra D.
REGRA DE TRÊS SIMPLES
A Regra de Três Simples envolve apenas duas grandezas. São elas:
 z Grandeza Dependente: é aquela cujo valor se deseja calcular a partir da grandeza 
explicativa;
 z Grandeza Explicativa ou Independente: é aquela utilizada para calcular a variação da 
grandeza dependente.
Existem dois tipos principais de proporcionalidades que aparecem frequentemente em 
provas de concursos públicos. Veja a seguir:
 z Grandezas Diretamente Proporcionais: o aumento de uma grandeza implica o aumento 
da outra;
 z Grandezas Inversamente Proporcionais: o aumento de uma grandeza implica a redução da 
outra.
Vamos esquematizar para sabermos quando será direta ou inversamente proporcionais:
DIRETAMENTE 
PROPORCIONAL + / + OU - / -
Aqui as grandezas aumentam ou diminuem juntas (sinais iguais)
PROPORCIONAL + / - OU - / +
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Aqui uma grandeza aumenta e a outra diminui (sinais diferentes)
Agora vamos esquematizar a maneira que iremos resolver os diversos problemas:
DIRETAMENTE 
PROPORCIONAL
INVERSAMENTE 
PROPORCIONAL
Multiplica cruzado
Multiplica na horizontal
Vejamos alguns exemplos para fixarmos um pouco mais como isso tudo funciona.
Exemplo 1: Um muro de 12 metros foi construído utilizando 2 160 tijolos. Caso queira construir 
um muro de 30 metros nas mesmas condições do anterior, quantos tijolos serão necessários?
Primeiro vamos montar a relação entre as grandezas e depois identificar se é direta ou inver-
samente proporcional. 
12 m -------- 2 160 (tijolos)
30 m -------- X (tijolos)
Veja que de 12m para 30m tivemos um aumento (+) e que para fazermos um muro maior 
vamos precisar de mais tijolos, ou seja, também deverá ser aumentado (+). Logo, as grande-
zas são diretamente proporcionais e vamos resolver multiplicando cruzado. Observe:
12 m -------- 2.160 (tijolos)
30 m -------- X (tijolos)
12 · X = 30 . 2160
12X = 64800
X = 5400 tijolos
Assim, comprovamos que realmente são necessários mais tijolos. 
Exemplo 2: Uma equipe de 5 professores gastou 12 dias para corrigir as provas de um ves-
tibular. Considerando a mesma proporção, quantos dias levarão 30 professores para corrigir 
as provas?
Do mesmo jeito que no exemplo anterior, vamos montar a relação e analisar:
5 (prof.) --------- 12 (dias)
30 (prof.) -------- X (dias)
Veja que de 5 (prof.) para 30 (prof.) tivemos um aumento (+), mas como agora estamos 
com uma equipe maior o trabalho será realizado mais rapidamente. Logo, a quantidade de 
dias deverá diminuir (-). Dessa forma, as grandezas são inversamente proporcionais e vamos 
resolver multiplicando na horizontal. Observe:
5 (prof.) 12 (dias)
30 (prof.) X (dias)
30 · X = 5 · 12
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29
30X = 60
X = 2
A equipe de 30 professores levará apenas 2 dias para corrigir as provas.
Abaixo, exercite seus conhecimentos analisando as questões comentadas que seguem.
1. (CEBRASPE-CESPE — 2018) O motorista de uma empresa transportadora de produtos hospi-
talares deve viajar de São Paulo a Brasília para uma entrega de mercadorias. Sabendo que irá 
percorrer aproximadamente 1.100 km, ele estimou, para controlar as despesas com a viagem, o 
consumo de gasolina do seu veículo em 10 km/L. Para efeito de cálculos, considerou que esse 
consumo é constante.
 Considerando essas informações, julgue o item que segue.
 Nessa viagem, o veículo consumirá 110.000 dm3 de gasolina.
( ) CERTO  ( ) ERRADO
Com 1 litro ele faz 10 km.
Sabendo que 1 L é igual a 1dm³, então podemos dizer que com 1dm³ ele faz 10km 
Portanto,
10 km -------- 1dc³
1.100 km --------- x 
10x = 1.100
x = 110dm³ (a gasolina que será consumida).
Resposta: Errado.
2. (FUNDATEC — 2017) Cinco mecânicos levaram 27 minutos para consertar um caminhão. Supon-
do que fossem três mecânicos, com a mesma capacidade e ritmo de trabalho para realizar o 
mesmo serviço, quantos minutos levariam para concluir o conserto desse mesmo caminhão?
a) 20 minutos.
b) 35 minutos.
c) 45 minutos.
d) 50 minutos.
e) 55 minutos.
Mecânicos ------ Minutos
5 ---------------- 27
3 ---------------- x
Quanto menos mecânicos, mais minutos eles gastarão para finalizar o trabalho, logo a gran-
deza é inversamente proporcional. Multiplica na horizontal:
3x = 27.5
3x = 135
x = 135/3
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30
x = 45 minutos. 
Resposta: Letra C.
3. (IESES — 2019) Cinco pedreiros construíram uma casa em 28 dias. Se o número de pedreiros 
fosse aumentado para sete, em quantos dias essa mesma casa ficaria pronta?
a) 18 dias.
b) 16 dias.
c) 20 dias.
d) 22 dias.
5 (pedreiros) ---------- 28 (dias)
7 (pedreiros) ------------- X (dias)
Perceba que as grandezas são inversamente proporcionais, então basta multiplicar na 
horizontal.
5 . 28=7 . X 
7X = 140
X = 140/7
X = 20 dias. 
Resposta: Letra C.
PORCENTAGEM
A porcentagem é uma medida de razão com base 100. Ou seja, corresponde a uma fração 
cujo denominador é 100. Vamos observar alguns exemplos e notar como podemos represen-
tar um número porcentual.
30% =
 100
30 (forma de fração)
30% = 100
30 = 0,3 (forma decimal)
30% = 100
30
 = 10
3 (forma de fração simplificada)
Sendo assim, a razão 30% pode ser escrita de várias maneiras:
30% = 
100
30 = 0,3 = 
10
3
Também é possível fazer a conversão inversa, isto é, transformar um número qualquer 
em porcentual. Para isso, basta multiplicar por 100. Veja:
25 x 100 = 2500%
0,35 x 100 = 35%
0,586 x 100 = 58,6%
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reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
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NÚMERO RELATIVO
A porcentagem traz uma relação entre uma parte e um todo. Quando dizemos 10% de 
1000, o 1000 corresponde ao todo. Já o 10% corresponde à fração do todo que estamos especi-
ficando. Para descobrir a quanto isso corresponde, basta multiplicar 10% por 1000.
10% de 1000 = 
100
10 x 1000 = 100
Dessa maneira, 1000 é o todo, enquanto 100 é a parte que corresponde a 10% de 1000.
Quando o todo varia, a porcentagem também varia, veja um exemplo:
Roberto assistiu 2 aulas de Matemática Financeira. Sabendo que o curso que ele comprou 
possui um total de 8 aulas, qual é o percentual de aulas já assistidas por Roberto?
O todo de aulas é 8. Para descobrir o percentual, devemos dividir a parte pelo todo e obter 
uma fração.
8
2
4
1
=
Precisamos transformar em porcentagem, ou seja, vamos multiplicar a fração por 100:
4
1
 
x 100 = 25%
SOMA E SUBTRAÇÃO DE PORCENTAGEM
As operações de soma e subtração de porcentagem são as mais comuns. É o que acontecequando se diz que um número excede, reduziu, é inferior ou é superior ao outro em tantos 
por cento. A grandeza inicial corresponderá sempre a 100%. Então, basta somar ou subtrair 
o percentual fornecido dos 100% e multiplicar pelo valor da grandeza. 
Exemplo 1: Paulinho comprou um curso de 200 horas-aula. Porém, com a publicação do 
edital, a escola precisou aumentar a carga horária em 15%. Qual o total de horas-aula do 
curso ao final?
Inicialmente, o curso de Paulinho tinha um total de 200 horas-aula que correspondiam a 
100%. Com o aumento porcentual, o novo curso passou a ter 100% + 15% das aulas inicial-
mente previstas, portanto,, o total de horas-aula do curso será:
(1 + 0,15) x 200 = 1,15 x 200 = 230 horas-aula.
Dica
A avaliação do crescimento ou da redução percentual deve ser feita sempre em relação ao 
valor inicial da grandeza.
Variação percentual = 
Inicial
Final Inicial-
Veja mais um exemplo para podermos fixar melhor.
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Exemplo 2: Juliano percebeu que ainda não assistiu a 200 aulas do seu curso. Ele deseja reduzir o 
número de aulas não assistidas a 180. É correto afirmar que, se Juliano chegar às 180 aulas almejadas, 
o número terá caído 20%?
A variação percentual de uma grandeza corresponde ao índice:
Variação percentual =
Inicial
Final Inicial-
 = 200
180 200-
 = – 
200
20 = - 0,10
Como o resultado foi negativo, podemos afirmar que houve uma redução percentual de 
10% nas aulas ainda não assistidas por Juliano. O enunciado está errado ao afirmar que essa 
redução foi de 20%.
A seguir, analise mais algumas questões comentadas para praticar o que aprendeu.
1. (CEBRASPE-CESPE — 2019) Na assembleia legislativa de um estado da Federação, há 50 par-
lamentares, entre homens e mulheres. Em determinada sessão plenária estavam presentes 
somente 20% das deputadas e 10% dos deputados, perfazendo-se um total de 7 parlamentares 
presentes à sessão.
 Infere-se da situação apresentada que, nessa assembleia legislativa, havia
a) 10 deputadas.
b) 14 deputadas.
c) 15 deputadas.
d) 20 deputadas.
e) 25 deputadas.
50 parlamentares
Deputadas = X 
Deputados = 50-X
Compareceram 20% x e 10% (50-x), totalizando 7 parlamentares. Não sabemos a quantidade 
exata de cada sexo. Vamos montar uma equação e achar o valor de X.
20% x + 10% (50-x) = 7
20/100 . x + 10/100 . (50-x) = 7
2/10 . x + 1/10 . (50-x) = 7
2x/10 + 50 - x/10 = 7 (faz o MMC)
2x + 50 - x = 70
2x - x = 70 - 50
x = 20 deputadas fazem parte da Assembleia Legislativa. 
Resposta: Letra D.
2. (VUNESP — 2016) Um concurso recebeu 1500 inscrições, porém 12% dos inscritos faltaram no 
dia da prova. Dos candidatos que fizeram a prova, 45% eram mulheres. Em relação ao número 
total de inscritos, o número de homens que fizeram a prova corresponde a uma porcentagem de
a) 45,2%.
b) 46,5%.
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c) 47,8%.
d) 48,4%.
e) 49,3%.
Veja que se 12% faltaram, então 88% fizeram a prova. 
Pessoas presentes (88%) e dessas 45% eram mulheres e 55% eram homens. Portanto, basta 
multiplicar o percentual dos homens pelo total:
55% de 88% das pessoas que fizeram a prova; ou
0,55 x 0,88 = 0,484.
Transformando em porcentagem 
0,484 x 100 = 48,4%. 
Resposta: Letra D.
TAXAS DE JUROS SIMPLES E COMPOSTAS, CAPITAL, MONTANTE E 
DESCONTO
JUROS SIMPLES
A premissa, base da matemática financeira é a seguinte: as pessoas e as instituições do mercado 
preferem adiantar os seus recebimentos e retardar os seus pagamentos. Do ponto de vista estri-
tamente racional, é melhor pagar o mais tarde possível caso não haja incidência de juros (ou caso 
esses juros sejam inferiores ao que você pode ganhar aplicando o dinheiro).
“Juros” é o termo utilizado para designar o “preço do dinheiro no tempo”. Quando você 
pega certa quantia emprestada no banco, o banco te cobrará uma remuneração em cima do 
valor que ele te emprestou, pelo fato de deixar você ficar na posse desse dinheiro por um 
certo tempo. Essa remuneração é expressa pela taxa de juros.
Nos juros simples, a incidência recorre sempre sobre o valor original. Veja um exemplo 
para melhor entender. 
Exemplo 1:
Digamos que você emprestou 1000,00 reais, em um regime de juros simples de 5% ao mês 
para um amigo,, o qual ficou de quitar o empréstimo após 5 meses. Dessa forma, teremos o 
seguinte:
CAPITAL EMPRESTADO (1000,00) VALOR REAJUSTADO
1° mês = 1000,00 1000,00 + (5% de 1000,00) = 1050,00
2° mês = 1050,00 1050,00 + (5% de 1000,00) = 1100,00
3° mês = 1100,00 1100,00 + (5% de 1000,00) = 1150,00
4° mês = 1150,00 1150,00 + (5% de 1000,00) = 1200,00
5° mês = 1200,00 1200,00 + (5% de 1000,00) = 1250,00
Ao final do 5° mês você terá recebido 250,00 reais de juros.
Fórmulas utilizadas em juros simples:
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J = C · i · t
M = C + J
M = C · (1 + i ·J)
Onde,
 z J = juros;
 z C = capital;
 z i = taxa em percentual (%);
 z t = tempo;
 z M = montante.
TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES
Para aplicar corretamente uma taxa de juros, é importante saber a unidade de tempo 
sobre a qual a taxa de juros é definida. Isto é, não adianta saber apenas que a taxa de juros é 
de “5%”, é preciso saber se essa taxa é mensal, bimestral, anual etc. Dizemos que duas taxas 
de juros são proporcionais quando guardam a mesma proporção em relação ao prazo. Por 
exemplo, 12% ao ano é proporcional a 6% ao semestre, e também é proporcional a 1% ao mês.
Basta efetuar uma regra de três simples. Para obtermos a taxa de juros bimestral, por 
exemplo, que é proporcional à taxa de 12% ao ano:
12% ao ano ----------------------- 1 ano
Taxa bimestral ------------------ 2 meses
Podemos substituir 1 ano por 12 meses, para deixar os valores da coluna da direita na 
mesma unidade temporal, temos:
12% ao ano ---------------------- 12 meses
Taxa bimestral ------------------ 2 meses
Efetuando a multiplicação cruzada, temos:
12% x 2 = Taxa bimestral x 12
Taxa bimestral = 2% ao bimestre.
Duas taxas de juros são equivalentes quando são capazes de levar o mesmo capital inicial 
C ao montante final M após o mesmo intervalo de tempo.
Uma outra informação importante e que você deve memorizar é que o cálculo de taxas 
equivalentes quando estamos no regime de juros simples pode ser entendido assim: 1% ao 
mês equivale a 6% ao semestre ou 12% ao ano e levarão o mesmo capital inicial C ao mesmo 
montante M após o mesmo período de tempo.
É relevante também você saber que no regime de juros simples, taxas de juros proporcio-
nais são, também, taxas de juros equivalentes.
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Abaixo, exercite seus conhecimentos realizando os exercícios que seguem.
1. (FEPESE — 2018) Uma TV é anunciada pelo preço de R$ 1.908,00 para pagamento em 12 parce-
las de 159,00. A mesma TV custa R$ 1.410,00 para pagamento à vista. Portanto o juro simples 
mensal incluído na opção parcelada é:
a) Menor que 2%.
b) Maior que 2% e menor que 2,5%.
c) Maior que 2,5% e menor que 2,75%.
d) Maior que 2,75% e menor que 3%.
e) Maior que 3%.
1.908 - 1.410 = 498 (juros durante 12 meses)
J = C · I · t
498 = 1410 · 12 · i / 100
49800 = 16920i
i = 49800/16920
i = 2,94%.Resposta: Letra D.
2. (CESPE — 2018) Uma pessoa atrasou em 15 dias o pagamento de uma dívida de R$ 20.000, cuja 
taxa de juros de mora é de 21% ao mês no regime de juros simples.
 Acerca dessa situação hipotética, e considerando o mês comercial de 30 dias, julgue o item 
subsequente.
 No regime de juros simples, a taxa de 21% ao mês é equivalente à taxa de 252% ao ano.
( ) CERTO  ( ) ERRADO
No regime simples, sabemos que taxas proporcionais são também equivalentes. Como temos 
12 meses no ano, a taxa anual proporcional a 21%am é, simplesmente:
21% x 12 = 252% ao ano
Esta taxa de 252% ao ano é proporcional e também é equivalente a 21% ao mês. Portanto, o 
item está certo. 
Resposta: Certo.
JUROS COMPOSTOS
Imagine que você pegou um empréstimo de R$10.000,00 no banco, cujo pagamento deve 
ser realizado após 4 meses, à taxa de juros de 10% ao mês. Ficou combinado que o cálculo de 
juros de cada mês será feito sobre o total da dívida no mês anterior, e não somente sobre o 
valor inicialmente emprestado. Neste caso, estamos diante da cobrança de juros compostos. 
Podemos montar a seguinte tabela:
MÊS DO EMPRÉSTIMO 10.000,00
1º MÊS 11.000,00
2º MÊS 12.100,00
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3º MÊS 13.310,00
4º MÊS 14.641,00
Logo, ao final de 4 meses você deverá devolver ao banco R$14.641,00 que é a soma da dívi-
da inicial (R$10.000,00) e de juros de R$4.641,00.
Fórmula utilizada em juros compostos:
M = C · (1 + i)t
Poderíamos ter utilizado a fórmula no nosso exemplo. Veja:
M = 10000 x (1 + 10%)4
M = 10000 x (1 + 0,10)4
M = 10000 x (1,10)4
M = 10000 x 1,4641
M = 14.641,00 reais
Podemos fazer a comparação entre juros simples e compostos. Observe a tabela abaixo:
JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS
Mais onerosos se t 1
Mesmo valor se t = 1 Mesmo valor se t = 1
Juros capitalizados no final do prazo Juros capitalizados periodicamente (“juros sobre 
juros”)
Crescimento linear (reta) Crescimento exponencial
Valores similares para prazos e taxas curtos Valores similares para prazos e taxas curtos
JUROS COMPOSTOS – CÁLCULO DO PRAZO
Nas questões em que é preciso calcular o prazo, você deverá utilizar logaritmos, visto que 
o tempo “t” está no expoente da fórmula de juros compostos. A propriedade mais importante 
a ser lembrada é que, sendo dois números A e B, então:
log AB = B × log A
Significa que o logaritmo de A elevado ao expoente B é igual a multiplicação de B pelo 
logaritmo de A.
Uma outra propriedade bastante útil dos logaritmos é a seguinte:
log 
B
Ab l = 𝑙𝑜𝑔𝐴 − 𝑙𝑜𝑔B
Isto é, o logaritmo de uma divisão entre A e B é igual à subtração dos logaritmos de cada número.
Também, é importante ter em mente que “logA” significa “logaritmo do número A na base 
10”.
Observe um exemplo:
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reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
M
AT
EM
ÁT
IC
A
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No regime de juros compostos com capitalização mensal à taxa de juros de 1% ao mês, a quan-
tidade de meses que o capital de R$100.000 deverá ficar investido para produzir o montante de 
R$120.000 é expressa por:
log1,01
log2,1
Temos a taxa j=1%am, capital C=100.000 e montante M=120.000. Na fórmula de juros 
compostos:
M = C x (1+j)t
120000 = 100000 x (1+1%)t
12 = 10 x (1,01)t
1,2 = (1,01)t
Podemos aplicar o logaritmo dos dois lados:
log1,2 = log (1,01)t
log1,2 = t · log 1,01
t = 
log1,01
log1,1
Logo, questão errada.
Exercite seus conhecimentos realizando os exercícios que seguem.
1. (FCC — 2017) O montante de um empréstimo de 4 anos da quantia de R$ 20.000,00, do qual se 
cobram juros compostos de 10% ao ano, será igual a
a) R$ 26.000,00.
b) R$ 28.645,00.
c) R$ 29.282,00.
d) R$ 30.168,00.
e) R$ 28.086,00.
Temos um prazo de t = 4 anos, capital inicial C = 20000 reais, juros compostos de j = 10% ao 
ano. O montante final é:
M = C x (1+j)t
M = 20000 x (1+0,10)4
M = 20000 x 1,14
M = 20000 x 1,4641
M = 2 x 14641
M = 29282 reais
Resposta: Letra C.
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2. (CEBRASPE-CESPE — 2018) Um indivíduo investiu a quantia de R$ 1.000 em determinada apli-
cação, com taxa nominal anual de juros de 40%, pelo período de 6 meses, com capitalização 
trimestral. Nesse caso, ao final do período de capitalização, o montante será de
a) R$ 1.200.
b) R$ 1.210.
c) R$ 1.331.
d) R$ 1.400.
e) R$ 1.100.
Temos a taxa de 40% a. a. com capitalização trimestral, o que resulta em uma taxa efetiva 
de 40%/4 = 10% ao trimestre. Em t = 6 meses, ou melhor, t = 2 trimestres, o montante será:
M = C x (1+j)t
M = 1.000 x (1+0,10)2
M = 1.000 x 1,21
M = 1.210 reais
Resposta: Letra B.
PRINCÍPIOS DE GEOMETRIA: PERÍMETRO, ÁREA E VOLUME
GEOMETRIA PLANA
Retângulo
Chamamos de retângulo um paralelogramo (polígono que tem 4 lados opostos paralelos) 
com todos os ângulos internos iguais à 90°. 
b
b
h h
Chamamos o lado “b” maior de base, e o lado menor “h” de altura.
Área do Retângulo 
Para calcularmos a área, vamos fazer a multiplicação de sua base (b) pela sua altura (h), 
conforme a fórmula:
A = b × h
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M
AT
EM
ÁT
IC
A
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Exemplo: um retângulo com 10 centímetros de lado e 5 centímetros de altura, a área será:
A = 10cm × 5cm = 50cm2
Quando trabalhamos o conceito e cálculo de áreas das figuras geométricas, usamos a unidade ao 
quadrado que no nosso exemplo tínhamos centímetros e passamos para centímetros quadrados, que 
neste caso é a unidade de área.
Quadrado
Nada além de um retângulo no qual a base e a altura têm o mesmo comprimento, ou seja, 
todos os lados do quadrado têm o mesmo comprimento, que chamaremos de L. Veja:
L
L
L L
A área também será dada pela multiplicação da base pela altura (b x h). Como ambas 
medem L, teremos L x L, ou seja:
A = L2
Trapézio
Temos um polígono com 4 lados, sendo 2 deles paralelos entre si, e chamados de base maior (B) 
e base menor (b). Temos, também, a sua altura (h) que é a distância entre a base menor e a base 
maior. Veja na figura a seguir
b
B
h
Conhecendo b, B e h, podemos calcular a área do trapézio por meio da fórmula abaixo:
A = 
2
(B b) h#+
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Losango
É um polígono com 4 lados de mesmo comprimento. Veja a seguir:
L L
LL
Para calcular a área de um losango, vamos precisar das suas duas diagonais: maior (D) e 
menor (d) de acordo com a figura a seguir:
L L
LL
d
D
Assim, a área do losango é dada pela fórmula a seguir:
A = 
2
D d#
Paralelogramo
É um quadrilátero (4 lados) com os lados opostos paralelos entre si. Esses lados opostos 
possuem o mesmo tamanho. 
h
b
b
A área do paralelogramo também é dada pela multiplicação da base pela altura:
A = b × h
Triângulo
Trata-se de uma figura geométrica com 3 lados. Veja-a a seguir:
b
ca
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M
AT
EM
ÁT
IC
A41
Para calcular a área do triângulo, é preciso conhecer a sua altura (h):
b
ca
h
O lado “b”, em relação ao qual a altura foi dada, é chamado de base. Assim, calcula-se a 
área do triângulo utilizando a seguinte fórmula:
A = 
2
b h#
Vamos conhecer os tipos de triângulos existentes:
 z Triângulo isósceles: é o triângulo que tem dois lados iguais. Consequentemente, os 2 ângulos 
internos da base são iguais (simbolizados na figura pela letra A):
a a
c
C
A A
 z Triângulo escaleno: é o triângulo que possui os três lados com medidas diferentes, tendo 
também os três ângulos internos distintos entre si:
a c
b
C A
B
 z Triângulo equilátero: é o triângulo que tem todos os lados iguais. Consequentemente, ele 
terá todos os ângulos internos iguais:
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A
AA
a
a
a
h
Podemos calcular a altura usando a seguinte fórmula: 
h = 
2
a 3
Para calcular a área do triângulo equilátero usando apenas o valor da medida dos lados 
(a), usamos a fórmula a seguir: 
A = 
4
a 3
2
 z Triângulo retângulo: possui um ângulo de 90°. 
B
A
c
b
a
Temos as seguintes nomenclaturas para cada lado do triângulo. Veja:
O ângulo marcado com um ponto é o ângulo reto (90º). Oposto a ele temos o lado “c” do 
triângulo, que chamaremos de hipotenusa. Já os lados “a” e “b”, que são adjacentes ao ângulo 
reto, são chamados de catetos.
O Teorema de Pitágoras nos dá uma relação entre a hipotenusa e os catetos, dizendo que a 
soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa: a2 = b2 + c2.
Agora vamos falar sobre algumas métricas interessantes que estão presentes no triângulo 
retângulo.
b ch
n
a
m
C BH
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M
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EM
ÁT
IC
A
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Devemos nos atentar em relação a algumas fórmulas que são extraídas do triângulo acima que 
poderão nos ajudar com a resolução de algumas questões. Veja quais são:
h2 = m×n
b2 = m×a
c2 = n×a
b×c = a×h
Essas fórmulas são chamadas de relações métricas do triângulo retângulo.
Círculo
Todos os pontos estão a uma mesma distância em relação ao centro do círculo ou circunfe-
rência. Chamamos de raio e geralmente é representada por “r”. Veja na figura a seguir:
r
A área de um círculo é dada pela fórmula: A = π × r2. Na fórmula, a letra π (“pi”) representa 
um número irracional que é, aproximadamente, igual a 3,14.
Vejamos um exemplo para calcular a área de um círculo com 10 centímetros de raio:
A = π × r2
A = π × (10)2
A = π × 100
Substituindo π por 3,14, temos:
A = 3,14×100 = 314cm2
O perímetro de uma circunferência que é a mesma coisa que o comprimento da circunferên-
cia é dado por:
C = 2 × π × r
Para exemplificar, vamos calcular o perímetro daquela circunferência com 10cm de raio:
C = 2 × 3,14 × 10
C = 6,28 × 10 = 62,8 cm
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O diâmetro (D) de uma circunferência é um segmento de reta que liga um lado ao outro da 
circunferência, passando pelo centro. Veja que o diâmetro mede o dobro do raio, ou seja, 2r. 
D = 2r
Repare na figura a seguir: 
A
BC
α
Note que formamos uma região delimitada dentro do círculo. Essa região é chamada de setor 
circular. Temos ainda um ângulo central desse setor circular simbolizado por α. Com base neste 
ângulo, conseguimos determinar a área do setor circular e o comprimento do segmento de círcu-
lo compreendido entre os pontos A e B. Sabemos que o ângulo central de uma volta completa no 
círculo é 360º. E também sabemos a área desta volta completa, que é a própria área do círculo ( π 
× r2). Vejamos como calcular a área do setor circular, em função do ângulo central “α”:
360° ---------------------- π × r2
α ------------------------- Área do setor circular
Logo, área do setor circular = 
360
a r
2# r
c
Usando a mesma ideia, podemos calcular o comprimento do segmento circular entre os 
pontos A e B, cujo ângulo central é “α” e que o comprimento da circunferência inteira é 2 πr. 
Confira abaixo: 
360° --------------------- 2 πr
α -------------------------- Comprimento do setor circular
Logo, comprimento do setor circular = 
360
a 2 r# r
c
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EM
ÁT
IC
A
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GEOMETRIA ESPACIAL
Poliedros
São figuras espaciais formadas por diversas faces, cada uma delas sendo um polígono 
regular. Vamos conhecer os principais poliedros, destacando alguns pontos importantes 
como área e volumes.
Paralelepípedo Reto-Retângulo e Cubo 
a
c
b
a
a
O cubo é um caso particular do paralelepípedo reto-retângulo, ou seja, basta que igualemos os valores de a = 
b = c. 
Para calcular o volume de um paralelepípedo reto-retângulo, devemos multiplicar suas três dimensões. Veja: 
V = a × b × c
No caso do cubo, o volume fica:
V = a × a × = a3
As faces do paralelepípedo são retangulares, enquanto as faces do cubo são todas quadradas.
A área total do cubo é a soma das 6 faces quadradas. Ou seja,
AT = 6a2
Agora, no paralelepípedo reto-retângulo, temos 2 retângulos de lados (a, b), dois retângulos 
de lados (b, c) e dois retângulos de lados (b, c). Portanto, a área total de um paralelepípedo é:
AT = 2ab + 2ac + 2bc
Prismas
Vamos estudar os prismas retos, ou seja, aqueles que têm as arestas laterais perpendicula-
res às bases. Os prismas são figuras espaciais bem parecidas com os cilindros. O que os difere 
é que a base de um prisma não é uma circunferência. 
O prisma será classificado de acordo com a sua base. Por exemplo, se a base for um pentá-
gono, o prisma será pentagonal.
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Prisma triangular Prisma
Pentagonal
Prisma
Hexagonal
Prisma
Quadrangular
O volume para qualquer tipo de prisma será sempre o produto da área da base pela altura. 
Veja: 
V = Ab × h
A área total de um prisma será a soma da área lateral com duas bases.
AT = Al + 2Ab
Cilindro
Vamos estudar o cilindro reto cujas geratrizes são perpendiculares às bases. Observe a 
figura a seguir:
base (círculo)
Geratriz
A distância entre as duas bases é chamada de altura (h). Quando a altura do cilindro é 
igual ao diâmetro da base, o cilindro é chamado de equilátero.
Cilindro equilátero: h = 2r
A base do cilindro é um círculo. Portanto, a área da base do cilindro é igual a πr2.
Perceba que se “desenrolarmos” a área lateral e ““abrirmos” todo o cilindro, temos o 
seguinte:
H H
R C
R
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M
AT
EM
ÁT
IC
A
47
A área da superfície lateral do cilindro é igual a 2πℎ e o volume do cilindro é o produto da 
área da base pela altura: V = πr2 × ℎ.
Esfera
Quando estamos estudando a esfera, precisamos lembrar que tudo depende e gira em tor-
no do seu raio, ou seja, é o sólido geométrico mais fácil de trabalhar. 
O raio é simplesmente a distância do centro da esfera até qualquer ponto da sua superfície.