TESTE DE HIPÓTESES - TESTE Z

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MÉTODOS QUANTITATIVOS
FLÁVIA CRISTINA FRANCO DE LIMA ROSA
JEFFERSON TADEU DE GODOI PEREIRA
1
UNIDADE 12
TESTE DE HIPÓTESES: TESTE Z
1. Avaliar soluções a partir da construção de modelos de representação 
do funcionamento de objetos e fenômenos de interesse em gestão e 
negócios, a partir de distribuições amostrais e intervalo de confiança.
2. Desenvolver testes de hipóteses, com capacidade de analisar estados 
anteriores e prever estados futuros de objetos e fenômenos de interes-
se em gestão e negócios.C
O
M
PE
TÊ
N
C
IA
S
1. INTRODUÇÃO AOS TESTES DE HIPÓTESES
O teste de hipóteses (TH) é uma das ferramentas utilizadas para a validação ou não de 
uma formulação sobre um parâmetro de interesse. Pelas informações obtidas com as 
amostras será possível confirmar ou rejeitar as hipóteses levantadas.
O teste de hipóteses pode ser utilizado quando nos deparamos com situações como a 
do exemplo a seguir:
Um consumidor deseja verificar se a quantidade média de um determinado produto é 
realmente de 1000 gramas como alega o fabricante. No entanto, após selecionar 45 
amostras deste produto, foi obtida média amostral igual a 998,5 gramas. Assim, com o 
teste de hipótese pode-se verificar se a informação dada pelo fabricante é verdadeira 
ou falsa com certo grau (nível) de confiança.
Chama-se hipótese, ou hipótese estatística uma afirmação a respeito de um deter-
minado parâmetro populacional. Por exemplo, seja adotada a população possível de 
embalagens do produto citado no exemplo anterior, sendo que a quantidade esperada 
em cada embalagem é de 1000 gramas. Sabe-se que estas embalagens apresentam 
diferenças em suas amostras, as quais espera-se que estejam dentro das tolerâncias 
estabelecidas pelas normas técnicas vigentes.
Sendo µ a média populacional da bitola observada, algumas hipóteses podem ser 
construídas:
1000µ =
1000µ ≠
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1000µ ≤
1000µ ≥
Um teste de hipóteses fará um procedimento de teste que possibilitará o confronta-
mento entre duas hipóteses contraditórias, tendo como objetivo decidir, com base em 
informações coletadas a partir de uma amostra, quais das duas hipóteses é mais coe-
rente.
Esta estatística teste que será desenvolvida partirá do seguinte preceito: tendo duas 
hipóteses, uma delas sempre será inicialmente favorecida, de forma que a sua não 
validade só será apontada se houver fortes indícios de que esta hipótese não pode se 
sustentar.
Desta forma, se terá: a hipótese nula, a qual será representada por 0H , que será 
caracterizada pela afirmação inicialmente assumida como verdadeira; e a hipótese al-
ternativa, a qual será representada por aH , que será a hipótese contraditória a 0H .
É importante destacar que 0H sempre deverá conter a igualdade, ou seja, esta po-
derá ser concretizar como:
0 :H µ θ=
0 :H µ θ≤
0 :H µ θ≥
Já aH pode ser:
:aH µ θ≠
:aH µ θ>
:aH µ θ . Ou seja, caso x obtida na 
amostra caia dentro destes intervalos, se terá indícios fortes o suficiente para afirmar 
que 1000µ ≠ , ou seja, deve-se rejeitar 0H em favor de aH .
2. TIPOS DE ERROS
Mesmo aplicando um teste de hipóteses, sempre se terá o risco de cometer um erro ao 
julgar as hipóteses analisadas. Na prática isso significa que: mesmo o teste fornecendo 
indícios que 0H deve ser rejeitada, pode acontecer disto estar ocorrendo apenas na 
amostra que foi coletada, ou seja, que esta não seja uma situação que se mantem para 
outras amostras. Ou ainda, pode ser que 0H seja aceita, porém em outras amostras se 
possa produzir indícios que esta deva ser rejeitada.
Considera-se um erro tipo 1 a situação de rejeitar 0H quando esta é verdadeira; e um 
erro tipo 2 a situação de não rejeição de 0H quando esta é falsa.
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3. TIPOS DE TESTE DE HIPÓTESES
Como já visto, antes de se definir o tipo de teste de hipótese a ser utilizado, é necessário 
construir as hipóteses que serão testadas. Para isto, algumas possibilidades podem ocorrer:
a. Verificar se a alteração de um processo diminui determinado parâmetro:
0 0:H θ θ=
0:aH θ θ
c. Verificar se a alteração de um processo difere determinado parâmetro:
0 0:H θ θ=
0:aH θ θ≠
Onde θ represente o parâmetro estatístico de está sendo testado (média, variância ou 
proporção populacional).
A partir das três possibilidades citadas, pode-se classificar o teste de hipótese como 
teste bilateral ou teste unilateral:
0 0
0
:
 
:a
H
Testebilateral
H
θ θ
θ θ
=
→ ≠
0 0 0 0
0 0
: :
 
: :a a
H H
ou Testeunilateral
H H
θ θ θ θ
θ θ θ θ
= = 
→  
Nesta unidade serão abordados os testes de hipóteses para a média de uma popula-
ção. Vale ressaltar que também podem ser desenvolvidos testes para variância de uma 
população, para a proporção de uma população, assim como testes relacionados ao 
comparativo entre duas populações quanto a média e variância.
Frente a isso, é importante definir alguns possíveis tipos de aplicação do teste de hipó-
teses. Dentre estas possibilidades, destacam-se as seguintes situações:
 ` Teste da média de uma população
 ` Teste da variância de uma população
 ` Teste de proporção de uma população
 ` Teste comparativo das médias de duas populações
 ` Teste comparativo da variância de duas populações
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Cada um destes testes parte de uma metodologia específica para a definição de região 
de rejeição, a qual partirá de um modelo matemático definido com base em uma distri-
buição de probabilidade.
Para introduzir o conceito de teste de hipótese, nesta unidade, será trabalhado apenas 
o teste da média de uma população.
4. APLICAÇÃO TESTE DE HIPÓTESES – Z
Este tipo de teste de hipóteses se aplica quando o desvio padrão populacional σ for co-
nhecido. Sabe-se que, na maioria das situações, σ nãoé conhecido, porém o estudo 
deste tipo de teste hipótese se faz necessário para a compreensão dos próximos.
Neste tipo de teste, será utilizada a estatística Z , a qual é definida como:
0
calc
xz
n
µ
σ
−
=
Onde:
x → média amostral observada
0µ → o valor da média populacional apresentado como parâmetro pelas hipóteses
σ → desvio padrão populacional 
n → quantidade de elementos da amostra.
Utilizando os conceitos até aqui definidos, para se realizar um Teste de Hipóteses, de-
ve-se seguir os seguintes passos:
1º) Identificar e construir as hipóteses nula ( 0H ) e alternativa ( aH )
A hipótese nula deverá sempre conter o sinal de igualdade, ou seja, = , ≤ ou ≥ . E a hi-
pótese alternativa deverá sempre conter a negação da hipótese nula (aquela que difere 
da hipótese nula).
Para se explorar cada passo indicado, faça-se uso exemplo citado anteriormente: em-
balagens do produto, para o qual a quantidade esperada em cada embalagem é de 
1000 gramas.
Nesta situação se terá:
0 : 1000H µ =
: 1000aH µ ≠
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A partir das hipóteses construídas, pode-se afirmar que este Teste de Hipóteses é Bi-
lateral.
2º) Calcular a estatística do teste com a fórmula
0
calc
xz
n
µ
σ
−
=
O valor obtido com este cálculo será utilizado na tomada de decisão para comparação 
com o valor tabelado. Distribuição de probabilidade de z correspondente a 0H e a 
distribuição normal padrão.
Vejamos o cálculo com a situação apresentada acima, supondo que o desvio padrão 
populacional seja igual a 25 gramas, a média amostral (obtida a partir de uma amostra 
composta por 45 embalagens) é 998,5 gramas:
0 998,5 1000 25
45
calc calc
xz z
n
µ
σ
− −
= → =
1,5 0, 40
3,7267calc calcz z−
= → ≅ −
…
3º) Determinar o nível de significância ( á )
É a probabilidade máxima de rejeitar H0, quando ela for verdadeira. Os valores 
mais comuns usados para o nível de significância são 1%, 5% e 10%. Para este 
exemplo, adotaremos α = 5%.
4º) Determinação da região crítica (RC)
A área de região crítica é igual ao nível de significância α . A região crítica também de-
termina onde 0H será rejeitada. Os extremos dessa região serão dados pelos valores 
encontrados na Tabela de Distribuição Normal.
A seguir, serão mostradas as regiões críticas conforme os testes a serem utilizados.
0 : 1000H µ =
: 1000aH µ ≠
Como o teste é bilateral a região de rejeição deve estar distribuída nas duas extremida-
des do gráfico da distribuição normal, da forma como indicado na figura a seguir:
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a. distribuição de probabilidade. Tal situação se observará quando 0:aH µ µ≠ .
Figura 01. Distribuição normal e a região de rejeição bilateral
Fonte: elaborada pelos autores.
Nesta situação, sabe-se que a região de rejeição é defina a partir o valor crítico encon-
trado a partir de 
2
α . Ou seja, deve-se buscar qual o valor de z que retorna (na tabela 
de Distribuição Normal Padrão) 1
2
α
− . Neste caso:
0,051 1 0,975
2 2
α
− = − =
Ao buscar na Tabela de Distribuição Normal Padrão o valor de z que retorna esta área 
se encontrará 1,96.
Observação: caso não se encontre na tabela o valor exato procurado, deve-se utilizar 
o mesmo critério utilizado para o cálculo do intervalo de confiança.
Sabendo que a curva normal é simétrica, pode-se afirmar que, se o valor crítico é 1,96, 
se terá a definição da região de rejeição para todos os valores 1,96z 
Figura 02. Definição região de rejeição – comparação com calcz
Fonte: elaborada pelos autores.
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5º) Regra de decisão
Aceitar ou rejeitar H0. Ao rejeitar a hipótese nula, há uma forte evidência de sua falsida-
de. Ao aceitar, entendemos que não houve evidência amostral significativa para permitir 
sua rejeição.
Observa-se a figura que calcz está fora da região de rejeição. Assim, não há evidências 
de que a média do conteúdo das embalagens seja diferente de 1000 gramas, ou seja, 
deve-se aceitar 0H e rejeitar aH .
Exercício resolvido 1
Uma empresa produtora de parafusos garante que determinado tipo de parafuso de aço 
com tensão admissível à tração de 1200 kgf/cm² suporta uma carga de pelo menos 350 
kgf. Um possível comprador, interessado em uma grande quantidade desse produto, de-
cidiu fazer ensaios de carga com 50 desses parafusos, e obteve média amostral de 347,8 
kgf. Verifique a informação da empresa fabricante do produto com nível de significância 
igual a 1% e supondo que o desvio padrão populacional da carga seja igual a 12 kgf.
RESOLUÇÃO
Na situação investigada, deseja-se provar se 350 kgfµ ≥ (força de tensão que o pa-
rafuso admite). Esta será a 1ª hipótese. Como esta hipótese possui a igualdade ( )≥ , 
deve ser considerada 0H , ou seja:
0 : 350H µ ≥
Para construir aH , deve-se partir da negativa de 0H , ou seja:
: 350aH µ 
RESOLUÇÃO
Encontrando o valor de :calcz
23,7 23 2,412,6
80
calcz −
= ≅
Como este teste é unilateral - a direta, deve-se utilizar 1 α− para determinar o valor 
crítico, que dará origem à região de rejeição. 
1 0,1 0,9− =
Encontra-se o valor de z que retorna a área 0,90 na tabela de Distribuição Normal Padrão:
Figura 04. Definição região de rejeição – exercício resolvido 2
Fonte: elaborada pelos autores.
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Como o valor de calcz está dentro da região de rejeição, o Teste de Hipóteses nos forne-
ce argumentos para afirmar que o tempo médio de atendimento nesta agência bancária 
é superior a 23 minutos, ou seja, rejeita-se 0 : 23H µ = , e aceita-se : 23aH µ > .
5. USO DE SOFTWARE PARA UTILIZAÇÃO DE TESTE DE 
HIPÓTESE - Z
Para explorar a elaboração de um Teste de Hipóteses por meio do Excel, vamos utilizar 
o seguinte exercício:
Exercício resolvido 3
Durante o ano de 2018 foi realizada uma grande pesquisa para investigar o gasto médio 
mensal com instrução por indivíduo pertencente à um determinado setor de uma empre-
sa. A partir destes estudos, verificou-se um valormédio de $280,00 (considerar como 
parâmetro populacional). No ano de 2022, buscando verificar a validade dos dados obti-
dos pela pesquisa na atualidade, por meio de uma amostra composta por 60 indivíduos, 
obteve-se o valor médio mensal de 253,28. Adotando como desvio padrão populacional 
83,5σ = , para 5%α = , elabore um Teste de Hipóteses, buscando apontar indícios 
de que a média mensal com gastos de instrução diminuiu de 2018 a 2022.
RESOLUÇÃO
Elaborando as hipóteses:
0 : 280,00H µ =
: 253,28aH µ