Iniciação à análise geoespacial

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284 MARCOS CÉSAR FERREIRA
A regularidade geométrica das formas construídas é uma das imagens
geográficas expressas pela sociedade e impressas em seu espaço. Essas
imagens captadas pelos sensores imageadores orbitais e representadas em
mapas nos permitem efetuar leituras do desenho de diferentes organizações
espaciais, e compara-las de acordo com a fragmentação de suas bordas.
Função fuzzy
O modelo de objetos considera que os limites entre categorias repre-
sentadas em mapas de polígonos, por exemplo, são bruscos e exatos; não
considera, portanto, a existência de incertezas na transição espacial entre
polígonos ou categorias vizinhas. Quando se trata de uma superfície, tal
pressuposto pode omitir as condições reais de vizinhança e contiguidade .
da informação digital processada em SIG. A representação dos limites
geográficos, por meio de linhas exatas separando duas ou mais categorias,
é mais adequada a dados censitários e cadastrais que utilizam polígonos
como base geográfica de limites administrativos e regionais. Este processo
decisório booleano pode ser reescrito a partirde ideias simples abstraídas da
teoria dos conjuntos, como veremos a seguir.
Processo decisório booleano
Considere que X seja um conjunto (mapa) e os elementos que a ele
pertençam (pixels ou polígonos) sejam identificados por x. Então dizemos
que X= (x], ou seja, todos os elementos x pertencem ao universo X. Seja A
um subconjunto (uma categoria ou classe deste mapa) contido emX, isto é,
A C X. Existe uma funçãof (XA (x)), denominada função de afinidade, que
determina o grau de afinidade de um pixel x a uma determinada classeA.
Esta função obedece às seguintes condições:
se x e A, f(XA (x)) = 1 (Verdadeiro)
se x e A, f(XA (x)) = O (Falso)
(611)
Segundo as condições postuladas acima, só existem duas possibilidades
para um pixel x pertencer a uma categoria A: ou ele pertence (verdadeiro) a
esta categoria e entãof(XA (x) = 1, ou ele não pertence (falso) à tal categoria, e
INICIAÇÃOAANÁLISEGEOESPACIAL 285
assim, f(XA (x)) = 0. Quandouma linha limítrofe entre duas categorias é tra—
çada, ela está agrupando pixels a uma entre duas possibilidades (pertencer
ou não), presentes nas condições estabelecidas para f(XA (x)) (Wang, 1990).
Portanto, a função de afinidade f(XA (X)) é booleana e pode ser visualizada
em qualquermapa binário, por exemplo. Neste contexto, não há condições
para a representação gradual da afinidade de um pixel pertencer O, 6 & ca—
tegoria A e 0,40 à categoria B — haja vista que a função f(XA (x)) só assume
dois valores: O ou 1
.
Entretanto, quando trabalhamos com informações espaciais contínuas
(temperatura, precipitação, geoquímica, inclinação do terreno, entre ou—
tras), em que as propriedades mudam espacialmentede forma suave, o
uso de um processo de classificação pode resultar em perdas no nível de
detalhamento dessas informações. Por exemplo, em um mapa convencional
de inclinação do terreno (também denominado de mapa de declividades),
as classes clinométricas se constituem em objetos poligonais, cuja extensão
no mapa dependerá dos valores estabelecidos como limites inferiores e
superiores das classes e do número de classesescolhido. As classesclinomé-
tricas são geradas com base na lógica booleana, que determina se um pixel
pertence à classeA ou à classeB, a depender do valor em graus de inclina-
ção no terreno registrado neste pixel e do valor utilizado como limite entre
estas duas classes. Observe na Figura 6.13 uma sequência hipotética de
oito valores de inclinação do terreno (em graus) de um mapa clinométrico
classificado em três categorias (A, B, e C)
ClasseA ClasseE ClasseC
10,5º [ 11,1º | 13,8º 14,3º |15,7º 18,9º 19,1º 19,8º
Figura 6.13 — Esquema hipotético de classificação de uma série de dados clinométricos em
três classes.
Segundo o processo classificatório convencional booleano adotado na
Figura 6.13, o valor 18, 9 º pertence à classeB e não pertence à classe C, assim
como os valores 14,3 ºe 15, 7º. Portanto, podemos dizer que 14, 3 º, 15, 7 ºe
.
18, 9 º igualmente pertencem à classe B e, por isso, apresentam identidade
entre si. Contudo, ao observarmos esta série de dados com mais atenção,
notaremos que o valor 18, 9 º está muito mais próximo do valor 19,1 º que
do valor 15, 7º. Este fato nos levaria a concluir que 18, 9º pertence mais à
classe C que à classe B, e não exclusivamente à classe B. Tal afirmativa re-
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vela que há maior afinidadedo valor 18, 9 º com a classe C, que com a classe
B — embora a esta última ele pertença. Em outras palavras, estamos falando
aqui da necessidade de um processo classificatório gradual, transitório e
probabilístico. Neste processo decisório, cada elemento tem maior proba-
bilidade de pertencer comomembro (membership) da classe C e menor pro—
babilidade de pertencer, como membro da classeB, e probabilidade menor
ainda de pertencer à classe C — e assim por diante, para todas as 71 classes de
um mesmo mapa. Esta é, em síntese, a lógica de decisão fuzzy ou nebulosa.
Processo decisório contínuo fuzzy
Na lógica fuzzy, os limites espaciais entre duas ou mais classes são re-
presentados por zonas transitórias e os valores da variável são distribuídos
de forma contínua. Leung (1987) apresentou um modelo clássico de zonas
fuzzy composto de duas regiões transitórias: a região core e a região limítrofe.
' região core — área da classe onde os pixels que a ela pertencem são mais
homogêneos possíveis, e, por isso, apresenta grande afinidade com as
características que definem objetivamente esta classe;
' região limítrofe — envolve um conjunto de pixels com características
não exatamente coerentes com a proposição da região core, pois cada
um desses pixels tem menor grau de afinidade com a região core, e, por
isso, esta zona é denominada também de zona transicional.
Vamos considerar que X seja um conjunto que contenha um subcon-
junto fuzzy B, isto e, B c X. Este subconjunto B é caracterizado por uma
função de afinidade fB(x), que associa cada x e X a um número real situado
no intervalo [O, 1] (Wang; Hall, 1996). Logo, fB representa o grau de afini-
dade de x em relação a B. Quantomais próximo o valor de fB(x) estiver da
região core de B — ou seja, fB(x) é próximo de 1,0 — mais x terá chance de
pertencer ao conj unto B (Zadeh, 1965). Exemplificando esta formalização
teórica no contexto do mapa clinométrico, já mencionado anteriormente,
podemos escrever que:
X é o mapa clinométrico ;
B e C são duas classes de declividade:B = [14 a 19º]; C = [19ºa 30 º];
x é o valor de inclinaçãono terreno de um pixel situado na zona transicio-
nalB—C;
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fB (x) e fc (x) são as funções de afinidade de x em relação às categorias
BeC.
Nota-se, portanto, que a função de afinidade fé o fator mais importante
da lógicafuzzy. Para entender como a funçãof é construída, observe aten-
tamente o raciocínio a seguir. A maioria dos algoritmos de reconhecimento
de padrões atribui um elemento x a um padrão ou classe, de acordo com
a distância entre o valor de x e o valor da média dos valores das classes às
quais ele pode ser atribuído. Se a distância entre x e a média dos valores
inseridos em uma classeA for menor que a distância entre este mesmo x e a
média dos valores de uma classe B, então x e A — isto é, x será classificado
como A. Este é princípio adotado pelos algoritmos do tipo cluster, entre
eles, 0 Classificador pela mínima distância.
a) Cálculo do grau de afinidade por meio dafunçao fuzzy (f)
S_ejaXC amédia dos valores da classeC, XB amédia dos valores da classe
B eXA a média dos valores da classeA. Seja também, xi o valor de uma va-
riávelX no pixel i. Definimos então Diº—(Ccomo a distância de i até a média
dos valores da classe C; D,XB como a distância de i até a média dos valores
da classeB; e D.,?Aa distância de1 até amédia dos valores da classeA, todas
calculadas da seguinte maneira:
Díª = (xi—XAY (6.12)
D&B = (xfx—By (6.13)
Dik : (xfx—Cy (6.14)
Com base nos parâmetros das Equações 6.12 a 6.14, podemosestimar a
afinidade de x com a classeA (e tambémcom as demais classes) a partirda
Equação 6.15, modificada deWang (1990):
1
D.-
f(zeA)=—1——'1—“—1— (6.15)
+ +
DIRE DIXC DRA
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A Equação 6.15 é a relação que define a função de afinidade. Para cal—
cularmos a afinidade de i em relação às classes B ou C, basta substituirmos
o índice P—(A, no numerador, pelos índices P_(B ou XC. A seguir, com base na
série de valores e suas respectivas classesdispostas na Figura 6.13, procede-
remos à aplicação das Equações 6.12 a 6.15, e calcularemos o valor da fun-
ção fuzzy para xl. = 18, 9 º com relação às classes A, B e C. Primeiramente,
calculamos as médias das classes (ver Figura 6.13):
XA : (10,5 + 11,1 + 13,8)/3 : 11,8
)?B = (14,3 + 15,7 + 18,9)/3 : 16,3
ÍC=(19,1+19,8)/2=19,4
Em seguida, por meio das Equações 6.12, 6.13 e 6.14, determinamos a -
distância entre o valor 18, 9º e cada uma das três médias calculadas (11,8;
16,3; 19,4):
D'? (1539-113)2 =7,1I.A
_ 2_DJE _,/(18,9-16,3) —2,6
D&G =,/(18,9-19,4)2=o,5
O último passo do processo é o cálculo da função fuzzy para o valor
18,9º, levando-se em conta a possibilidade de este pertencer a cada
uma das três classes. Para isso, substituímosos valores das distâncias na
Equação 6.15:
f(18,9eA)=17—'111=0,055 f(18,9eB)=+61—=0,152
+— —+—+—05 7,1 2,6 0,5
L 1
1
___+_
7,1 2,6
L
,5 _1_'1_Ҽ'792
7,1 2,6 0,5
O
f(18,9eC) =
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Portanto, podemos afirmar que o valor 18, 9 º tem uma afinidade de
O, 792 (região core) com a classe C; 0,152 com a classe B e de apenas 0, 055
de afinidade com classeA (região limítrofe). Note que esses valores da fun-
ção fuzzy indicam que esta classificação é continua, não havendo lugar para
afirmativas do tipo “não pertence à classe“ ou ”pertence somente à classe".
Embora pelo método booleano o 18, 9 º não esteja originalmente atribuído
à classeA, pela lógicafuzzy há ao menos a remota possibilidade (0, 055) de
ele pertencer a esta classe. Na Figura 6.14 representamos a curva da função
fuzzy com base nos valores de f obtidos pelo desenvolvimento da Equa-
ção 6.15 e a curva da função booleana, cujas condições estão explícitas na
Equação 6.11. Para ambas as funções, utilizamos os valores de clinometria
dispostos na Figura 6.13.
b) Tipos de curvas defunções fuzzy
A forma da curva da função fuzzy observada na Figura 6.14 se asseme-
lha à curva fuzzy padrão do tipo ”]", caracterizada por um topo suave —
onde se localizam valores iguais ou próximos a 1,0 — e um vale onde estão
os valores iguais ou próximos a 0,0. Encontramos na literatura pelo menos
três tipos de curvas da função de afinidade fuzzyf: a função do tipo “S"; a
função do tipo “]" e a função linear. As duas primeiras funções apresentam
curvas que se assemelham às respectivas letras que as identificam e a última
.tem a forma de segmentos de linhas conectados (Figura 6.15). Observe que
em todas as curvas da Figura 6.15 há indicação das letras a, b, c, d. Estas
letras localizam os pontos de inflexão associados a valores da funçãofuzzy.
A partir do posicionamento relativo desses pontos, um mesmo tipo de fun-
ção pode apresentar distintas formas em suas curvas. Tomando-secomo
exemplo a curva da Figura 6.14 e assumindo-se que ela se ajuste à função ]
(Figura 6.15), constata—seque os valores dos pontos a, b, c, d, serão respec-
tivamente: a = 0,055; b = 0,152; c = 0,792; d = 0,792.
No mapeamento de distribuições espaciais, as funções do tipo S e ] são
as mais adequadas, haja vista que têm forma que se aproximam das funções
de descaimento com a distância — as que melhor se ajustam a situações
geográficas onde há dependência espacial entre valores vizinhos (ver Seção
”Princípio do descaimento com a distância”). Se a dependência espacial se
mantém por um raio maior em torno de um pixel de referência (o valor da
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função e de descaimento corn a distância é pequeno), dizemos que a função
S é a que melhor se ajusta ao modelo fuzzy; se esta dependência diminui
bruscamente a curtas distâncias do pixel de referência (o valor da função de
descaimento com a distância e é grande), sugerimos o uso da função ].
função booleana
1
1.00 -
0.80
0.60 -
f
0.40
0.20 -
O 0
0.00 -
A (10º-14º) B (14º—19º) C (19º-30º)
Claw:
(A)
função fuzzy
1.00
0792
0.80 /0.60
f /0.40 /0.20 “5
o.oo . ,
A (wº-14") B (14º-19º) c (19º-3oº)
(B) Classes
Figura 6.14—Representação gráficadas funçõesde afinidade booleana (a) efuzzy (b) traçadas
com relação à possibilidade (f) de o valor 18,9º pertencer a uma das três classes (A, B e C)
de inclinação do terreno.
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Ib
.º'.ºn. n a' o
n.
b.c> Função S
b.c,d a.b.c% Pb.c
Função ]h% p% Wb.c
Função Linear
Figura 6.15 —Principais tipos de curvas de função de afinidadefuzzy (O e respectivasposições
dos parâmetros de inflexão a, b,c,d.
Fonte: modificadode Eastman (1995).
0) Aplicaçãodafunção fuzzy ao mapeamentode dados em superfícies
Resta-nos mostrar agora como atua uma função fuzzy em superfícies
de dados geográficos. Tomaremos como referencial hipotético & superfície
matricial contínua da Figura 6.163, onde cada pixel registra as distâncias
dele próprio até um determinado objeto geográfico e, também, o mapa