Aula 2 - Apostila e Questões Resolução (8)

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Relações e funções  Matemática PVO 1
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Relações e funções - 
Matemática (PVO)
Apostila teórica 
� Par ordenado:
a� Consiste em uma representação de dois números em ordem que precisam 
ser diferenciados;
i� Notação: (a, b) ou (a; b).
� a: abscissa;
� b: ordenada.
b� Exemplo:
i� Imagine um par ordenado que represente a nota do menino e a nota da 
menina em uma prova.
� Notação: (nota do menino, nota da menina).
a� 9, 8 menino teve nota igual a 9 e menina teve nota igual a 8;
b� 7, 5 menino teve nota igual a 7 e menina teve nota igual a 5.
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� Produto cartesiano:
a� Para dois conjuntos A e B, o produto cartesiano A X B é formado por todos 
os pares ordenados possíveis (x, y), em que x é elemento de A e y é 
elemento de B.
i� A X B  {x, y l x ∈ A e y ∈ B.
b� Exemplo:
i� A  1, 2, 3 e B  3, 4.
� A X B  1, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 4, 3, 3, 3, 4;
� B X A  3, 1, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 4, 2, 4, 3;
� B X B  3, 3, 3, 4, 4, 3, 4, 4.
c� Representação por diagrama de flechas:
i� A  1, 2 e B  3, 5, 7.
� A X B  1, 3, 1, 5, 1, 7, 2, 3, 2, 5, 2, 7.
d� Representação no plano cartesiano:
i� A  1, 2 e B  1, 2, 3;
� A X B  1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 2, 2, 3.
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ii� Produto entre intervalos de números reais;
� Exemplo: 2, 5 X 1, 3.
iii� Observações:
� O produto cartesiano envolvendo mais de dois conjuntos pode 
originar uma tripla ordenada, uma quádrupla ordenada, uma 
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quíntupla ordenada, entre outros possíveis resultados;
� O produto cartesiano de um mesmo conjunto pode ser escrito na 
forma de potência.
a� Exemplo 01 A X A  A²;
b� Exemplo 02 B³  B X B X B.
e� Número de elementos do produto cartesiano:
i� n A X B  n(A) . n(B).
� Relação:
a� Uma relação de A em B é qualquer subconjunto do produto cartesiano A X 
B, geralmente associado a alguma propriedade específica.
i� Exemplo: A  1, 2, 3, 4 e B  2, 3, 4.
� Relações de A em B
a� R₁ = {(x, y) ∈ A X B l y  2.x}  R₁ = 1, 2, 2, 4;
b� R₂ = {(x, y) ∈ A X B l y > x}  R₂ = 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 
2, 4, 3, 4;
c� R₃ = {(x, y) ∈ A X B l x + y  5  R₃ = 1, 4, 2, 3, 3, 2.
b� Representação de uma relação no diagrama de flechas:
i� Exemplo: A  1, 2, 3, 4 e B  2, 3, 4.
� Relações de A em B
a� R₂ = {(x, y) ∈ A X B l y > x}  R₂ = 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 
2, 4, 3, 4.
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� Função:
a� Uma relação de A em B é chamada de função quando cada um dos 
elementos de A, sem exceção, estiver relacionado a um único elemento de 
B;
b� Exemplos:
i� R₁ é uma função de A em B;
ii� R₂ não é uma função de A em B, pois há um elemento de A que não se 
relaciona com nenhum elemento de B;
iii� R₃ não é uma função de A em B, pois há um elemento de A que se 
relaciona com dois elementos de B;
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iv� Uma relação que associa cada pessoa à sua idade é uma função, pois 
cada pessoa terá uma única idade de modo específico;
v� Uma relação que associa cada pessoa a seus filhos não é uma função, 
pois cada pessoa pode ter mais de um filho.
c� Nomenclaturas:
i� Considere uma função f de A em B
� A conjunto de partida (domínio da função);
a� Representado por D ou por D(f).
� B conjunto de chegada (contradomínio da função);
a� Representado por CD ou CD(f).
� Imagem de uma função f: Im ou Im(f).
a� Conjunto imagem é formado pelos elementos do 
contradomínio que estão associados aos elementos do 
domínio (resultados da função).
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d� A construção de uma função exige 3 elementos: domínio, contradomínio e 
lei de formação;
e� Representação de uma função pode ser feita de três maneiras: diagrama 
de flechas, notação matemática e plano cartesiano;
i� Exemplo: considere uma função que calcula o quadrado de um 
número, com o domínio e o contradomínio sendo o conjunto dos 
números reais.
� Diagrama de flechas:
� Notação matemática: usamos x para elementos do domínio e y 
para imagens da função.
a� f: lR  lR.
i� y = x².
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� Plano cartesiano:
a� O eixo x é a localização do domínio, enquanto que eixo y é a 
localização do contradomínio.
ii� A notação f(x) é usada para representar a lei de formação da função;
� Exemplo 01 considere uma função real y = x²;
a� f: lR  lR, de modo que f(x) = x².
i� Para x  5, teremos y  5²  25, ou f(5)  25;
ii� Para x  2, teremos y  2²  4, ou f(2)  4.
� Exemplo 02 considere f: lR  lR, f(x)  2.x²  3.x  1;
a� f(1)  2.1²  3.1  1  2  3  1  0;
b� f(2)  2.2²  3.2  1  2.4  6  1  3.
� Exemplo 03 f(x  2  3x  1.
a� f(3) = f 1  2  3.1  1  4;
i� f(3)  4.
b� f(4) = f(2  2  3.2  1  7.
i� f(4)  7.
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iii� Observe que, a não ser que a questão especifique isso, não é possível 
afirmar, para uma função f qualquer, que f (a + b) = f(a) + f(b).
f� Determinação do domínio de uma função:
i� Se a questão não especificar o domínio, será preciso encontrá-lo por 
meio do maior subconjunto possível de lR que respeite condições de 
existência.
g� Determinação do contradomínio de uma função:
i� Se a questão não especificar o contradomínio, consideramos o 
conjunto dos números reais ou igualamos ao conjunto imagem.
h� Determinação da imagem da função:
i� Em uma representação gráfica, realizamos a projeção da 
representação da função no eixo das ordenadas para determinar o 
conjunto imagem.
� Exemplo: Im = {y ∈ lR l 1  y  2 ou 4  y  7  1, 2 U 4, 7.
Anotações complementares 
Preencha o campo abaixo com suas anotações complementares 
sobre a aula.
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Questões 
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Questão 02
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Questão 03
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Questão 05
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Questão 07
Questão 08
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Questão 09
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Gabarito e resolução da lista 
sobre Relações e funções - 
Matemática (PVO)
Gabarito e resolução 
Questão 01
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Gabarito e resolução da lista sobre Relações e funções  Matemática PVO 2
Gabarito: letra D.
Resolução: se o ponto P, de coordenadas3, 42, pertence ao gráfico de f, 
podemos afirmar que f(3)  42. 
Substituindo isso na equação da função, teremos que: f(3)  42  a.3  12  3.a 
 12  42  3.a  30  a  30/3  a  10.
Questão 02
Gabarito: letra C.
Resolução: podemos destrinchar os dados do enunciado.
É dito que g(2) = m. Logo, temos que:
m = 2¹² ⁻ ¹⁰)  2²  4.
O enunciado afirma que h(m) = k, ou seja, é possível afirmar que h(4) = k. 
Logo, temos que:
k  8⁴ ⁻ ⁴  8⁰  1.
Dessa maneira, a letra C é a resposta correta, pois k vale 1.
Questão 03
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Gabarito e resolução da lista sobre Relações e funções  Matemática PVO 3
Gabarito: letra D.
Resolução: podemos desenvolver a questão por etapas.
É possível determinarmos, inicialmente, o valor de p. Para isso, vamos 
determinar quais são os valores de x para os quais f(x)  0;
f(x)  0  x²  5.x  6;
Δ  b²  4.a.c → Δ  5²  4.1.6  Δ  25  24  Δ  49.
x = -b ± √(Δ) / 2.a → x = 5  √49 / 2.1  x  5  7 / 2. 
x₁  5  7 / 2  12/2  6;
x₂  5  7 / 2  2/2  1.
Desse modo, p = 6  1  5.
Podemos determinar, agora, o valor q, que corresponde a soma dos valores 
de x para os quais f(g(x))  0.
f(g(x)) = [g(x)]²  5.[g(x)]  6  (x  1²  5.(x  1  6  x²  2.x  1  5.x  5 
- 6  x² 3.x  10  0.
Δ  b²  4.a.c → Δ  3²  4.1.10  Δ  9  40  Δ  49.
x = -b ± √(Δ) / 2.a → x = 3  √49 / 2.1  x  3  7 / 2.
x₁  3  7 / 2  10/2  5;
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https://www.emojimore.com/pt/raiz-quadrada/
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https://www.emojimore.com/pt/raiz-quadrada/
https://www.emojimore.com/pt/raiz-quadrada/
Gabarito e resolução da lista sobre Relações e funções  Matemática PVO 4
x₂  3  7 / 2  4/2  2.
Assim, q = 5  2  3.
Portanto, a soma p + q corresponde a 5  3  8.
Questão 04
Gabarito: letra D.
Resolução: vamos avaliar cada situação isoladamente.
Parâmetro m igual a 1,99;
x  2.y  4;
x  1,99.y  5.
Multiplicando a segunda equação por 1 e somando o resultado 
dessa multiplicação com a primeira equação, teremos: x  2.y + (-x) + 
(1,99y)  4  5  0,01.y =  1  y = 1/ 0,01  y = 100.
Determinando o valor de x a partir da primeira equação: x  2.
100  4  x  4  200  x  204.
Parâmetro m igual a 1,999.
x  2.y  4;
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Gabarito e resolução da lista sobre Relações e funções  Matemática PVO 5
x  1,999.y  5.
Multiplicando a segunda equação por 1 e somando o resultado 
dessa multiplicação com a primeira equação, teremos: x  2.y + (-x) + 
(1,999y)  4  5  0,001.y = 1  y = 1/ 0,001  y = 1000.
Determinando o valor de x a partir da segunda equação: x  2.
1000  4  x  4  2000  x  2004.
Aumento no valor de x para tal variação no parâmetro m:
2004  204  1800.
Questão 05
Gabarito: letra B.
Resolução: o valor pago pelo aplicativo ao entregador envolve 3,2 reais para cada 
retirada de alimento e 1,4 reais por entrega realizada, além de 1,1 reais para cada 
quilômetro rodado. Assim, para um único processo completo, ou seja, para um ato 
completo de retirada de alimento e entrega desse alimento, haverá um ganho fixo 
de 3,2  1,4  4,6 reais. Considerando que o entregador percorreu ‘ʼxʼʼ 
quilômetros nesse processo, podemos determinar uma equação para relacionar 
‘ʼyʼʼ com ‘ʼxʼʼ do seguinte modo: y  4,6  1,1.x.
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Gabarito e resolução da lista sobre Relações e funções  Matemática PVO 6
Questão 06
Gabarito: letra B.
Resolução: podemos destrinchar os dados da questão a partir de informações do 
enunciado.
O ponto de coordenadas 2, 2 pertence à função:
f(2)  2  M.2 / 2  N  2  N.2  2.M  4  2.N  2.M  M  4  
2.N/2  M  2  N.
O ponto de coordenadas 6, 5 também pertence à função:
f(6)  5  M.6 / 6  N  6  N.5  6.M  30  5.N  6.M.
Substituindo o valor de M na equação acima, teremos: 30  5.N  6.2 
+ N  30  5.N  12  6.N  N  18.
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Gabarito e resolução da lista sobre Relações e funções  Matemática PVO 7
Obtendo M a partir da primeira equação, teremos: M  2  18  
M  20.
Desse modo, a lei de formação da função é dada por: f(x) = (20.x / (x  18.
Determinação do f(12): f(12) = 20.12 / 12  18  8.
Questão 07
Gabarito: letra A.
Resolução: precisamos obter f(x) a partir de f(2x  1. Para isso, precisaremos 
seguir 3 passos consecutivos.
Primeiro passo: devemos considerar que ‘ʼ2x  1'ʼ seja uma função, ou seja, 
que y  2x  1;
Segundo passo: devemos determinar a função inversa da função obtida no 
primeiro passo. Para isso, é necessário trocar ‘ʼxʼʼ e ‘ʼyʼʼ de lugar, isolando o 
‘ʼyʼʼ em seguida;
x  2.y  1  2.y = x  1  y = (x  1/2. 
Terceiro passo: devemos substituir o valor encontrado para ‘ʼyʼ ,̓ no segundo 
passo, no lugar de x da função real dada por f(2x  1.
f(2.(x  1/2  1  6.(x  1/2  7  f(x  1  1  3.x  3  7  f(x)  3.x  10.
Questão 08
D
i
s
p
o
n
i
b
i
l
i
z
a
d
o
 
p
o
r
 
M
i
n
e
r
v
a
.
B
y
 
M
i
n
e
r
v
a
.
Gabarito e resolução da lista sobre Relações e funções  Matemática PVO 8
Gabarito: letra A.
Resolução: temos duas condições de existência a serem satisfeitas na função 
g(x).
Primeira condição: (x  1 precisa ser um valor maior ou igual a zero, pois esse 
número está agindo como radicando de uma raiz quadrada no numerador;
(x  1  0  x  1.
Segunda condição: (x²  4 precisa ser um valor diferente de zero, pois esse 
número está agindo como radicando de uma raiz cúbica no denominador.
Observe que, no denominador, a condição de existência é apenas que (x² 
 4 seja diferente de zero. Ou seja, (x²  4 pode ser um valor negativo, já 
que a raiz do denominador possui índice igual a 3.
(x²  4  0  x²  4  x ≠ 2.
x₁ ≠ 2;
Observe, contudo, que, como x precisa ser um valor maior ou 
igual a 1 de acordo com a primeira condição, nem 
precisaremos usar a restrição de que x₁ ≠ 2, pois isso está 
implícito na primeira condição.
x₂  2.
Juntando as duas condições para determinação do domínio, teremos que: D  
{x ∈ lR l x  1 e x  2.
Questão 09
D
i
s
p
o
n
i
b
i
l
i
z
a
d
o
 
p
o
r
 
M
i
n
e
r
v
a
.
B
y
 
M
i
n
e
r
v
a
.
Gabarito e resolução da lista sobre Relações e funções  Matemática PVO 9
Gabarito: letra C.
Resolução: vamos determinar o valor de f(√2).
f(√2) = √2 / 2.√2  1  √2.2.√2  1/ 2.√2  1.2.√2  1  2.√2.√2  √2.1 / 
2.√2²  1² = 2.√4  √2/ 4.2  1  2.2  √2 / 8  1  4  √2/ 7.
Questão 10
Gabarito: letra A.
Resolução: é possível substituir, na lei de formação da função, os dados 
apresentados no enunciado.
Temos que f(2a)  0;
f(2.a)  0  2.2.a  2/ 2.a  0  4.a  2  4.a = 2  a = 1/2.
D
i
s
p
o
n
i
b
i
l
i
z
a
d
o
 
p
o
r
 
M
i
n
e
r
v
a
.
B
y
 
M
i
n
e
r
v
a
.