EP07_GP_Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Geometria Plana – EP07 – Gabarito 
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Prezado(a) aluno(a), 
O conteúdo desta semana conforme Cronograma é Aula 6: Pontos Notáveis de um Triangulo. 
- É importante desenvolver a visão geométrica. Habitue-se a representar suas próprias figuras antes 
de verificar a resposta. 
- Leia e resolva os exercícios da Aula 6 até página 128. 
- Faça um resumo do conteúdo abordado por aula. 
- Compare a sua justificativa com a solução do Gabarito. Preencher somente os valores na figura 
não é justificativa. 
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Errata: 
No exercício proposto 1 da página 126, do Livro texto, o 
triângulo ABC é retângulo em B. Figura correta: 
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Exercício: 
a) Defina lugar geométrico. 
b) Na aula 6 foram apresentados 2 teoremas. Enuncie os dois teoremas dessa aula. 
c) Defina baricentro, incentro, ortocentro e circuncentro de um triângulo. 
d) Defina triângulo órtico. 
e) A figura em Geogebra do exercício proposto 3 da Aula 6 está na Sala de aula dessa Semana. 
Arraste o vértice C. Segue a figura: 
 
 
Na figura acima observe que D não coincide com o ponto de tangência da circunferência inscrita! 
Geometria Plana EP07 - Gabarito 2 
 
 
Exercício proposto 2 - página 126: Considere um triângulo ABC, tal que as medianas BM e CN , 
que se cortam em G, sejam iguais. Mostre que: 
a) 𝐵𝐺̅̅ ̅̅ = 𝐶𝐺̅̅ ̅̅ , 
b) que os triângulos CGM e BGN são congruentes, 
c) que o triângulo ABC é isósceles. 
 
Solução: 
Seja o triângulo ABC, tal que as medianas BM e CN cortam-se em G (baricentro) e 𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅ = 𝐶𝑁̅̅ ̅̅ . 
 
a) 𝐵𝐺̅̅ ̅̅ = 
2
3
𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅ e 𝐶𝐺̅̅ ̅̅ = 
2
3
𝐶𝑁̅̅ ̅̅ , então 𝐵𝐺̅̅ ̅̅ = 𝐶𝐺̅̅ ̅̅ , já que 𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅ = 
𝐶𝑁̅̅ ̅̅ 
 
 
b) ΔCGM ≡ ΔBGN , pois 𝐵𝐺̅̅ ̅̅ = 𝐶𝐺̅̅ ̅̅ 
 
𝑁𝐺�̂� = 𝑀𝐺�̂� (ângulo oposto pelo vértice) e 
𝐺𝑁̅̅ ̅̅ = 𝐺𝑀̅̅̅̅̅ = 
1
3
𝐶𝑁̅̅ ̅̅ = 
1
3
𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅, pelo caso LAL. 
 
 
 
c) Do item b) temos 𝑁𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑀𝐶̅̅̅̅̅ = 𝐴𝑁̅̅ ̅̅ = 𝐴𝑀̅̅̅̅̅, onde M e N são 
pontos médios de AC e AB. 
 
Daí 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , portanto o triângulo ABC é isósceles. 
 
 
 
 
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Exercício 1: Quais pontos notáveis de um triângulo nunca se posicionam externamente em relação 
a sua região triangular? 
a) Baricentro e ortocentro. 
b) Incentro e circuncentro. 
c) Baricentro e circuncentro. 
d) Incentro e ortocentro. 
e) Baricentro e incentro. 
 
Solução: Resposta é o item (e). Justificativa: 
 
 
 
 
Geometria Plana EP07 - Gabarito 3 
 
 
 
Se G é o baricentro do Δ ABC, temos que AG = 
2
3
 AM1, BG = 
2
3
 BM2 e CG = 
2
3
 BM3. 
Se I é o incentro, então I é o centro do círculo inscrito no triângulo. 
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Exercício 2: Na figura, as medianas 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐹̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ são 
concorrentes em Q. 
 
a) Defina mediana de um triângulo. 
b) Se 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ = 9 cm, quanto vale 𝐴𝑄̅̅ ̅̅ ? 
c) Se 𝑄𝐷̅̅ ̅̅ = 5 cm, quanto vale 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ? 
d) Se 𝐵𝑄̅̅ ̅̅ = 12 cm, quanto vale 𝑄𝐹̅̅ ̅̅ ? 
e) Se 𝑄𝐸̅̅ ̅̅ = 4 cm, quanto vale 𝐴𝑄̅̅ ̅̅ ? 
 
 
Solução: 
a) Veja definição na página 31 do material didático. 
 
Como 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐹̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ são medianas, temos que: 
b) Se 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ = 9 cm, 𝐴𝑄̅̅ ̅̅ = 
2
3
𝐴𝐸̅̅ ̅̅ logo 𝐴𝑄̅̅ ̅̅ =
2
3
. 9 = 6 cm. 
c) Se 𝑄𝐷̅̅ ̅̅ = 5 cm, 𝑄𝐷̅̅ ̅̅ = 
𝐶𝐷̅̅ ̅̅
3
 então 5 =
CD̅̅̅̅
3
 ⇒ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 3 ∙ 5 = 15 cm 
d) Se 𝐵𝑄̅̅ ̅̅ = 12 cm, 𝐵𝑄̅̅ ̅̅ = 2 ∙ 𝑄𝐹̅̅ ̅̅ , então 12 = 2 ∙ 𝑄𝐹̅̅ ̅̅ ⇒ 𝑄𝐹̅̅ ̅̅ = 
12
2
 = 6 cm. 
e) Se 𝑄𝐸̅̅ ̅̅ = 4 cm, 𝐴𝑄̅̅ ̅̅ = 2 ∙ 𝑄𝐸̅̅ ̅̅ , então 𝐴𝑄̅̅ ̅̅ = 2 ∙ 4 = 8 cm. 
 
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Exercício 3: ABC é um triângulo retângulo no qual a medida do ângulo �̂� é 58° e AH, AM e AD são, 
respectivamente, altura, mediana e bissetriz interna traçadas pelo vértice A do ângulo reto. 
a) Defina bissetriz e altura de um triângulo. 
b) Faça a figura do enunciado. 
c) Calcule as medidas dos ângulos 𝐵𝐴�̂�, 𝑀𝐴�̂�, 𝐷𝐴�̂�, e 𝐻𝐴�̂�. 
 
Solução: 
 
a) Definições nas páginas 31 e 32 do material didático. 
Geometria Plana EP07 - Gabarito 4 
 
 
b) e c) Considere um triângulo ABC retângulo no qual a medida do ângulo �̂� é 58° e AH, AM e AD 
são, respectivamente, altura, mediana e bissetriz interna traçadas pelo vértice A do ângulo reto. 
 
Do enunciado podemos concluir que: 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ = 𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅ = 𝐶𝑀̅̅̅̅̅ 
 
Δ AMC é isósceles pois 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ = 𝐶𝑀̅̅̅̅̅ . Logo m(𝑀𝐴�̂�) = 58°. 
Então m(𝐵𝐴�̂�) = 90° − 58° = 32°. 
Como o triângulo AHC é retângulo, então m(𝐻𝐴�̂�) = 90° − 58° = 32°. 
 
Como AD é bissetriz, m(𝐷𝐴�̂�) = 
90°
2
 = 45°, então 
m(𝑀𝐴�̂�) = 58° − 45° = 13° e m(𝐷𝐴�̂�) = 45° − 32° = 13° 
 
 
 
 
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Exercício 4: Na figura, M é o ponto médio do lado BC 
e CN é bissetriz interna. 
Determine a medida de α, em graus. 
 
Exercício: 
Reescreva o enunciado desta questão de tal forma 
que a figura não é dada. 
 
 
 
Solução: 
Considere os dados da questão, temos que 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ = 
BC̅̅̅̅
2
 = 𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅ = 𝑀𝐶̅̅̅̅̅ já que ΔABC é retângulo em A e 
M é o ponto médio de BC. 
Daí Δ AMB é isósceles e m(𝐵𝐴�̂�) = m(𝑀𝐵�̂�)= 40°, então m(𝑀𝐴�̂�) = 90°− 40° = 50° = m(𝑀𝐶�̂�). 
Como CN é bissetriz de 𝐴𝐶�̂�, temos que m(𝐴𝐶�̂�) = 
50°
2
 = 25°. 
Logo α = 50°− 25° = 75°, usando o ângulo externo. 
 
Enunciado sem figura: Considere o triângulo ABC, retângulo em A. Determine a medida, em 
graus, do menor ângulo formado pela bissetriz interna CN e a mediana AM do triângulo retângulo 
ABC, onde a medida do ângulo 𝐴𝐵�̂� é de 40°. 
 
Exercício: Tente escrever um outro enunciado para essa questão no qual a figura não é dada. 
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Exercício 5: Seja H o ortocentro de um triângulo ABC. Determine, quando possível, o ortocentro dos 
triângulos ABH, BCH e CAH. 
 
Obs: Analise os triângulos classificando os quanto aos ângulos. 
 
Geometria Plana EP07 - Gabarito 5 
 
 
Solução: 
Inicialmente vamos analisar os triângulos acutângulos e obtusângulos. 
Para os triângulos acutângulos e obtusângulos: 
 
Observe que no triângulo ABH temos as seguintes retas perpendiculares aos lados desse triângulo: 
𝐹𝐻 ⃡ , 𝐵𝐷 ⃡ e 𝐴𝐸 ⃡ , cujo ponto de interseção é o ortocentro desse triângulo, que ocorre em C. 
 
 
De maneira análoga, temos que o ortocentro do triângulo BCH é A e o ortocentro do triângulo 
CAH é B. 
De maneira análoga faça no caso do triângulo obtusângulo, e conclua o mesmo. 
 
Para o caso do triângulo retângulo ABC, observe que H, F e E coincidem com A, e portanto podemos 
considerar somente o triângulo BCH, cujo ortocentro é A. 
 
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Exercício 6: Na figura, o ponto C é o centro da circunferência 
circunscrita ao triângulo DEF. 
 
Qual é a denominação de C e como obtê-lo? 
 
 
 
 
 
 
 
Pergunta: Num triângulo obtusângulo o circuncentro é interior ou exterior ao triângulo? Justifique 
e faça uma figura. Defina mediatriz de um triângulo. 
 
Geometria Plana EP07 - Gabarito 6 
 
 
 
Solução: A denominação de C é circuncentro. 
 
Para obter C trace as mediatrizes de dois lados do 
triângulo DEF. 
Observe na figura que as mediatrizes r es se interceptam 
em C. 
 
 
 
Pergunta: Num triângulo obtusângulo o circuncentro é 
interior ou exterior ao triângulo? Faça uma figura. 
No triângulo obtusângulo o circuncentro é exterior ao 
triângulo, observe que o circuncentro é equidistante aos vértices do triângulo. Veja figura da página 
120 do material didático. 
 
A definição de mediatriz de um triângulo está na página 32 do material didático. 
 
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Exercício 7: Dado um triângulo ABC, cujos ângulos medem: 
m(�̂�) = 60°, m(�̂�) = 70° e m(�̂�) = 50°. 
 
a) Faça o desenho da figura do triângulo ABC e seu baricentro. 
b) Faça o desenho da figura do triângulo ABC e seu incentro, bem como a circunferência 
inscrita. 
c) Faça o desenho da figura do triângulo ABC e seu ortocentro. 
d) Faça o desenho da figura do triângulo ABC e seu circuncentro, bem como a circunferência 
circunscrita. 
e) Calcule os ângulos internos do triângulo formado pelas interseções das alturas com o círculo 
circunscrito. 
 
Atenção: Use o Geogebra para desenhar as figuras dos itens a) ao d). 
 
Solução: Seguem as figuras dos itens a) ao d), onde os pontos G, I, H e K são, respectivamente, 
baricentro, incentro, ortocentro e circuncentro do triângulo AB, em que m(�̂�) = 60°, m(�̂�) = 70° e 
m(�̂�)= 50°. Veja as definições no material didático. 
Geometria Plana EP07 - Gabarito 7 
 
 
 
 
e) Seja o triângulo ABC, cujos ângulos medem m(�̂�) = 60°, m(�̂�) = 70° e m(�̂�) = 50°. 
Considere PQR conforme enunciado. Sejam HA, HB e HC os pés das alturas AHA, BHB e CHC: 
 
Observe que: 
 
m(𝐻𝐶𝐶�̂�) = 180° − 90° − 60° = 30° 
m(𝐻𝐴𝐴�̂�) = 180° − 90° − 50° = 40° 
m(𝐻𝐵𝐵�̂�) = 180° − 90° − 50° = 40° 
Então m(𝑅𝑃�̂�) = 
m(𝑅𝐶�̂�)+m(𝐵𝐴�̂�)
2
 = 
80°
2
 = 40° 
m(𝑅𝑄�̂�) = 
m(𝐴𝐶�̂�)+m(𝐴𝐵�̂�)
2
 = 
120°
2
 = 60° 
m(𝑃𝑅�̂�) = 180° − 40° − 60° = 80°. 
 
 
 
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Geometria Plana EP07 - Gabarito 8 
 
 
Exercício 8: Construa um triângulo ABC conhecendo dois de seus vértices A e B e o seu ortocentro 
H. 
 
 
Solução: 
Sejam os vértices A e B e o seu ortocentro H dados. Ligue os pontos A a H e B a H. 
Do ponto A trace a perpendicular AH2 em relação a BH e do ponto B trace a perpendicular BH1 em 
relação a AH. 
 
 
 
Da interseção das retas A𝐻2 ⃡ e B𝐻1 ⃡ obtém-se o ponto C, construindo, assim, o triângulo ABC. 
 
 
Observe que no exercício 8, o ortocentro H está na região triangular de Δ ABC. 
Faça o mesmo para a figura abaixo, agora no caso em que o ortocentro H não pertence a sua região 
triangular.