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MATEMÁTICA
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS: NÚMEROS
NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS,
IRRACIONAIS E REAIS: OPERAÇÕES
FUNDAMENTAIS (ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO,
MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO,
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO)
PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES,
MÚLTIPLOS E DIVISORES, NÚMEROS
PRIMOS, MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM,
MÁXIMO DIVISOR COMUM.
Conjuntos Numéricos
Definição de Conjunto : Conjunto é uma
reunião de elementos, podemos dizer que essa
definição é bem primitiva, mas a partir dessa
ideia podemos relacionar outras situações. O
conjunto universo e o conjunto vazio são tipos
especiais de conjuntos.
Vazio: não possui elementos e pode ser
representado por { } ou Ø.
Universo: possui todos os elementos de acordo
com o que estamos trabalhando, pode ser
representado pela letra maiúscula U.
Representando conjuntos
A representação de um conjunto depende de
determinadas condições:
Exemplo 1
Condição: O conjunto dos números pares
maiores que zero e menores que
quinze. Representação através de seus
elementos.
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
Representação pela propriedade de seus
elementos.
A = {x / x é par e 0
862
16
8
12
6
4
2
6
c
4
b
3
a
2
13
26
643
cba
6
c
4
b
3
a
3
a
= 2 a = 6
4
b
= 2 b = 8
6
c
= 2 c = 12
36
9
24
6
20
5
8
2
= k
O valor comum das razões é k =
4
1
, uma constante não nula.
Então:
Resposta:
O valor de x é 14 e o valor de y é 4. O
coeficiente de proporcionalidade é .
NÚMEROS INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS
"Duas seqüências A e B de números reais são
inversamente proporcionais, quando o produto
entre qualquer termo da primeira seqüência e
seu correspondente na segunda, é sempre
uma constante k não nula".
Exemplo:
Sejam as seqüências: (20, 25, 40, 50) e
(10, 8, 5, 4). Essas seqüências apresentam
números inversamente proporcionais porque o
produto dos termos correspondentes é sempre
200.
Observe: 20 ´ 10 = 200; 25 ´ 8 = 200; 40 ´ 5 =
200; 50 ´ 4 = 200.
O produto k = 200 denomina-se
coeficiente de proporcionalidade.
Podemos escrever esses produtos,
também, da seguinte forma:
Logo 20, 25, 40, 50 são diretamente
proporcionais aos números:
DIVISÃO PROPORCIONAL
DIVISÃO ENTRE AS PARTES DIRETAMENTE
PROPORCIONAIS
Exemplo:
Vamos dividir o número 32 em parcelas que
sejam diretamente proporcionais aos números
3, 5, 8.
Resolução:
O problema consiste em encontrar três
parcelas cuja soma seja 32, e que sejam
proporcionais aos números 3, 5, 8.
Chamamos essas parcelas de x, y e z temos:
Pela propriedade da proporção:
substituindo os valores:
Exercício Resolvido
1) Dividir 153 em partes diretamente
proporcionais aos números e .
Resolução:
Neste caso, o número 153 deve ser dividido em
duas parcelas, x e y:
Uma vez que encontramos o coeficiente de
proporcionalidade:
x
7
=
2
1
x = 14
8
y
=
2
1
2y = 8 y = 4
2
1
4
1
50
5
1
40
8
1
25
10
1
20
= k
10
1
,
8
1
,
5
1
,
4
1
x + y + z = 32 e
853
zyx
853853
zyxzyx
=
16
32
= 2
3
x
= 2 x = 6
5
y
= 2 y = 10
8
z
= 2 z = 16
3
2
4
3
17
12153
12
17
153
12
98
153
4
3
3
2
4
3
3
2
yxyx
= 9 12 k = 108
Resposta:
Os números procurados são 72 e 81.
DIVISÃO ENTRE AS PARTES
INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Exemplo:
Vamos dividir o número 273 em partes
inversamente proporcionais a
O problema consiste em encontrar três
parcelas cuja soma seja 273, e que sejam
inversamente proporcionais aos números
Chamamos essas parcelas de x, y e z temos:
note que invertemos os número, no
denominador das razões. Pela propriedade da
proporção:
Substituindo os valores:
EXERCÍCIOS - PROPORÇÕES
P1) Calcular x e y, na proporção ,
sabendo que x + y = 45.
P2) Calcular x e y, na proporção ,
sabendo que x - y = 14.
P3) Calcular x, y e z na proporção
sabendo que 2x + 3y + 4z = 58.
P4) Calcular x, y e z sabendo que 2xy = 3xz =
4yz e que x + y + z = 18.
P5) Determinar o coeficiente de
proporcionalidade entre os seguintes grupos de
números proporcionais:
P6) Verificar se as seguintes seqüências (45,
60, 75) e (3, 4, 5) são proporcionais.
P7) Achar x nas sucessões proporcionais (2, 8,
3) e (4, 16, x).
P8) A grandeza x é diretamente proporcional a
y. Quando a grandeza y tem o valor 8, x tem o
valor 40. Determinar o valor da grandeza x,
quando y vale 10.
P9) Em 18 gramas de água, há 2 de hidrogênio
e 16 de oxigênio; em 45 gramas de água há 5
de hidrogênio e 40 de oxigênio. Verificar se há
proporcionalidade entre as massas de água e
hidrogênio, água e oxigênio, hidrogênio e
oxigênio. Em caso afirmativo determinar os
coeficientes de proporcionalidade.
P10) Dividir 180 em três partes, diretamente
proporcionais a 3, 4 e 5.
P11) Três sócios querem dividir um lucro de R$
13.500,00. Sabendo que participaram da
sociedade durante 3, 5 e 7 meses. Qual a
parcela de lucro de cada um?
P12) Um prêmio de R$ 152.000,00 será
distribuído aos cinco participantes de um jogo
de futebol de salão, de forma inversamente
proporcional às faltas cometidas por cada
jogador. Quanto caberá a cada um, se as faltas
foram 1, 2, 2, 3 e 5?
P13) Distribuir o lucro de R$ 28.200,00 entre
dois sócios de uma firma, sabendo que o
primeiro aplicou R$ 80.000,00 na sociedade
durante 9 meses e que o segundo aplicou R$
20.000,00 durante 11 meses.
108
3
2
x
x =
3
2
.108 x = 72
108
4
3
y
y =
4
3
108 y = 81
3
1
,
4
1
e
7
2
.
3
1
,
4
1
,
7
2
.
x + y + z = 273 e
2
743
zyx
26K
21
2273
2
21
273
2
714
273
2
7
43
2
743
zyxzyx
3
x
= 26 x = 78
4
y
= 26 y = 104
2
7
z
= 26 z =
2
7
. 26 z =
91
5
y
4
x
3
y
5
x
4
z
3
y
2
x
7
1
,
56
8
,
35
5
,
14
2
P14) Um comerciante deseja premiar, no
primeiro dia útil de cada mês, os três primeiros
fregueses que chegarem ao seu
estabelecimento com a quantia de R$
507.000,00 divididas em partes inversamente
proporcionais a e 1,2. Nessas
condições, qual o prêmio de menor valor a ser
pago?
P15) Uma pessoa deseja repartir 135 balas para
duas crianças, em partes que sejam ao mesmo
tempo diretamente proporcionais a 2/3 e 4/7 e
inversamente proporcionais a 4/3 e 2/21.
Quantas balas cada criança receberá?
P16) Um pai distribuiu 284 bombons entre os
filhos Hudson, Larissa e Carol, em partes
diretamente proporcionais à nota de
Matemática e inversamente proporcional a
idade dos filhos. Calcule o número de bombons
recebidos de acordo com os dados:
Hudson: 10 anos e nota 7;
Larissa: 12 anos e nota 5;
Carol: 8 anos e nota 10.
GABARITO - PROPORÇÕES
P1) x = 20; y = 25
P2) x = 35; y = 21
P3) x = 4; y = 6; z = 8
P4) x = 8; y = 6; z = 4
P6) Sim, k = 15
P7) x = 6
P8) x = 50
P10) 45, 60, 75
P11) Sócio1: R$ 2.700,00; Sócio2: R$
4.500,00; Sócio 3: R$6.300,00
P12) R$ 60.000,00; R$ 30.000,00; R$
30.000,00; R$ 20.000,00; R$12.000,00
P13) R$ 21.600,00; R$6.600,00
P14) R$ 120.000,00
P15) 27 e 108
P16) Hudson: 84; Larissa: 50; Carol: 150.
REGRA DE TRÊS
É uma técnica de cálculo por meio da qual
são solucionados problemas sobre grandezas
proporcionais.
Estes problemas são de dois tipos:
1) Regra de Três Simples: quando se referem a
duas grandezas diretamente ou inversamente
proporcionais.
2) Regra de Três Composta: quando se
referem a mais de duas grandezas diretamente
ou inversamente proporcionais.
GRANDEZAS DIRETAMENTE
PROPORCIONAIS
Consideremos a seguinte situação:
Sobre uma mola são colocados corpos
de massa diferentes. A seguir, medindo o
comprimento da mola, que se modifica com a
massa do corpo colocado sobre ela, pode-se
organizar a seguinte tabela:
Massa do corpo (em kg) Comprimento da
mola (em cm)
10 50
20 100
30 150
Pela tabela pode-se notar que:
Se a massa do corpo duplica, o comprimento
da mola também duplica.
Se a massa do corpo triplica, o comprimento da
mola também triplica.
Note que a massa do corpo e o
comprimento da mola variam sempre na
mesma razão; dizemos, então, que a massa do
corpo é uma grandeza DIRETAMENTE
PROPORCIONAL ao comprimento da mola.
"Quando duas grandezas variam sempre na
mesma razão, dizemos que essas grandezas
4
1
2 ,
3
2
1
P5) k =
7
1
P9) Sim, k =
5
2
são diretamente proporcionais, ou seja, quando
a razão entre os valores da primeira é igual a
razão da segunda".
Veja outros exemplos de grandezas
diretamente proporcionais:
Quando vamos pintar uma parede, a
quantidade de tinta que usamos é diretamente
proporcional à área a ser pintada duplicando-se
a área, gasta-se o dobro de tinta;
triplicando-se
a área, gasta-se o triplo de tinta.
Quando compramos laranjas na feira, o preço
que pagamos é diretamente proporcional à
quantidade de laranjas que compramos;
duplicando-se a quantidade de laranjas, o
preço também duplica; triplicando-se a
quantidade de laranjas, o preço também
triplica.
GRANDEZAS INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS
Consideremos a seguinte situação:
A professora de Português da 6ª série tem 48
livros para distribuir entre seus melhores
alunos. Vamos observar que:
Se ela escolher apenas os dois melhores
alunos, cada um receberá 24 livros.
Se ela escolher os quatro melhores alunos,
cada um receberá 12 livros.
Se ela escolher os seis melhores alunos, cada
um receberá 8 livros.
Vamos colocar esses dados no quadro
seguinte:
Número de alunos Número de livros
escolhidos distribuído a cada
aluna
2 24
4 12
6 8
Pela tabela podemos notar que:
Se o número de alunos duplica, o número de
livros cai pela metade.
Se o número de alunos triplica, o número de
livros cai para a terça parte.
Usando os números que expressam as
grandezas, temos:
1-) Quando o número de alunos passa de 2
para 4, dizemos que o número de alunos varia
na razão: . Enquanto isso, o número de livros
passa de 24 para 12, variando na razão: .
Note que essas razões não são iguais, elas
são inversas, ou seja:
Nessas condições, o número de alunos
escolhidos e o número de livros distribuídos
variam sempre na razão inversa; dizemos
então que o número de alunos escolhidos é
INVERSAMENTE PROPORCIONAL ao
número de livros distribuídos.
"Quando duas grandezas variam sempre uma
na razão inversa da outra, dizemos que essas
grandezas são inversamente proporcionais, ou
seja, quando a razão entre os valores da
primeira é igual ao inverso da razão entre os
valores da segunda".
Veja outros exemplos de grandezas
inversamente proporcionais:
Quando vamos fazer uma construção, o tempo
que se gasta nessa construção é inversamente
proporcional ao número de operários que se
contrata; duplicando-se o número de operários
o tempo cai pela metade.
Quando fazemos uma viagem, o tempo que se
leva é inversamente proporcional à velocidade
do veículo usado: dobrando-se a velocidade do
veículo, o tempo gasto na viagem cai pela
metade.
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA.
Consideremos as seguintes situações:
1º) Um carro faz 180km com 15 litros de álcool.
Quantos litros de álcool este carro gastaria
para percorrer 210km?
O problema envolve duas grandezas: distância
e litros de álcool.
Indiquemos por x o número de litros de álcool a
ser consumido.
Coloquemos as grandezas de mesma espécie
em uma mesma coluna e as grandezas de
espécies diferentes que se correspondem em
uma mesma linha.
4
2
12
24
4
2
=
2
1
e
12
24
=
1
2
Distância
Litros de álcool
180 15
210 x
Na coluna "litros de álcool" vamos colocar uma
flecha apontada para o x.
Distância Litros de álcool
180 15
210 x
Observe que aumentando a distância, aumenta
também o consumo de álcool. Então, as
grandezas distância e litros de álcool, são
diretamente proporcionais. No esquema que
estamos montando, indicamos isso colocando
uma flecha no mesmo sentido da anterior.
Distância
Litros de
álcool
180 15
210 x
Resposta: O carro gastaria 17,5 litros de álcool.
2º) Um avião voando à velocidade de 800km
por hora vai de São Paulo a Belo Horizonte em
42 minutos. Se voar a 600km, por hora em
quanto tempo fará a mesma viagem?
As duas grandezas são: velocidade do avião e
tempo de vôo.
Observemos que, se a velocidade do avião
aumenta, o tempo de vôo diminui, logo a
velocidade e o tempo são grandezas
inversamente proporcionais.
Chamando de x o tempo necessário para voar
de São Paulo à Belo Horizonte a 600km por
hora, temos:
Tempo de vôo
Velocidade
42
800
X
600
Resposta:
O avião vai de São Paulo a Belo Horizonte em
56 minutos, voando a 600km/h.
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
A regra de três composta se refere a
problemas que envolvem mais de duas
grandezas. A grandeza cujo valor procuramos
pode ser diretamente ou inversamente
proporcional a todas as outras, ou até mesmo
diretamente proporcional a umas e
inversamente proporcional a outras.
1O) Em quatro dias oito máquinas produziram
160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas
iguais às primeiras produzirão 360 dessas
peças?
Resolução:
Indiquemos o número de dias por x.
Coloquemos as grandezas de mesma espécie
em uma só coluna, e as grandezas de espécies
diferentes que se correspondem em uma
mesma linha.
Na coluna "dias" coloquemos uma flecha
apontada para x.
Máquinas Peças Dias
8 160 4
6 360 x
Comparemos cada grandeza com aquela onde
está o x.
As grandezas, peças e dias são
diretamente proporcionais. No nosso esquema
isso será indicado colocando-se na coluna
"peças" uma flecha no mesmo sentido da
flecha da coluna "dias".
Máquinas Peças Dias
8 160 4
6 360 x
As grandezas máquinas e dias são
inversamente proporcionais (quanto maior o
número de máquinas, menos dias para se
efetuar o trabalho). No nosso esquema isso
x
15
210
180
x
15
7
6
6x = 105 x = 17,5 l
800
60042
x
4
342
x
3x = 168 x = 56 minutos
será indicado colocando-se na coluna
"máquinas" uma flecha no sentido contrario na
coluna "dias"
Máquinas Peças Dias
8 160 4
6 360 x
Agora vamos montar a proporção, igualando a
razão que contém o x, que é , como o
produto das outras razões, obtidas segundo
orientação das flechas:
Resposta: 12 dias.
2º) Trabalhando durante 6 dias, 5 operários
produzem 400 peças. Quantas peças desse
mesmo tipo serão produzidas por 7 operários
trabalhando durante 9 dias?
Resolução:
Inicialmente vamos organizar os dados
no seguinte quadro, indicando o número de
peças pedido pela letra x.
Operários Dias Peças
5 6 400
7 9 x
A B C
Fixando a grandeza A, vamos relacionar as
grandezas B e C, se aumentarmos o número
de dias, o número de peças também
aumentará; logo, as grandezas B e C são
diretamente proporcionais.
Fixando a grandeza B, vamos relacionar as
grandezas A e C, se aumentarmos o número
de operários, o número de peças também
aumentará, logo, as grandezas A e C são
diretamente proporcionais.
Então, a grandeza C é diretamente
proporcional às grandezas A e B; logo seus
valores são diretamente proporcionais aos
produtos dos valores das grandezas A e B, ou
seja:
Resposta:
Produzirão 840 peças.
EXERCÍCIOS
P1) Um automóvel gasta 10 litros de gasolina
para percorrer 65km. Quantos litros gastará
num percurso de 910km?
P2) Qual o tempo gasto por 12 homens para
executar um trabalho que 8 homens nas
mesmas condições executam em 9 dias?
P3) Um fonte dá 38 litros de água em 5
minutos; quantos litros dará em uma hora e
meia?
P4) Para tecer 19m de um tecido com 50cm de
largura são gastos 38kg de lã. Quantos metros
serão tecidos com 93kg da mesma lã, sendo a
largura de 60cm?
P5) Numa transmissão de correia, a polia maior
tem 30cm de diâmetro e a menor 18cm. Qual o
número de rotações por minuto da menor polia,
se a maior dá 45 no mesmo tempo?
P6) Com 9 há de gasto podem ser mantidas 20
cabeças de gado. Quantos há serão
necessários para manter 360 cabeças?
P7) Uma máquina, que funciona
4 horas por dia
durante 6 dias produz 2000 unidades. Quantas
horas deverá funcionar por dia para produzir
20.000 unidades em 30 dias?
P8) Um automóvel, com a velocidade de 80km
por hora, percorreu certa distância em 6 horas.
Que tempo gastará para percorrer a mesma
distância se reduzir a velocidade para 50km
por hora?
P9) Um automóvel percorreu certa distância em
4h, com a velocidade de 60km por hora. Qual o
tempo que gastará para percorrer a mesma
distância com a velocidade de 90km por hora?
P10) Se três homens podem arar um campo de
8 há em 5 dias, trabalhando 8 horas diárias, em
quantos dias 8 homens poderão arar 192 há
trabalhando 12 horas diárias?
x
4
x
4
=
6
8
360
160
x
4
=
4
3
9
4
x
4
=
1
1
3
1
x
4
=
3
1
x
400
=
9
6
7
5
x
400
=
3
2
7
5
x
400
=
21
10
x
40
=
21
1
x = 40 . 21 x = 840
P11) Com 16 máquinas de costura aprontaram-
se 720 uniformes em 8 dias de trabalho.
Quantas máquinas serão necessárias para
confeccionarem 2160 uniformes em 24 dias?
P12) Se 54 operários trabalhando 5 horas por
dia levaram 45 dias para construir uma praça
de forma retangular de 225m de comprimento
por 150m de largura, quantos operários serão
necessários para construir em 18 dias,
trabalhando 12 horas por dia, outra praça
retangular de 195m de comprimento por 120m
de largura?
P13) Para construir um canal de 104m de
comprimento por 5m de profundidade e 7m de
largura, 100 operários, trabalhando 7 horas por
dia, levaram 2 meses e meio. Aumentando de
40 o número de operários e fazendo-os
trabalhar 10 horas por dia, pergunta-se: em
quanto tempo os operários construíram um
segundo canal, com o mesmo comprimento do
primeiro, porém de profundidade e largura
duplas da do primeiro?
P14) Se com 1000 litros de água se rega um
campo de 450 há durante 20 dias, qual é a
quantidade de água necessária para se regar
outro campo de 200 há durante 30 dias?
P15) Para o piso de uma sala empregam-se 750
tacos de madeira de 5cm de comprimento por
3cm de largura. Quantos tacos de 40cm de
comprimento por 7,5cm de largura são
necessários para um piso cuja superfície é
dupla da anterior?
P16) Se 10 operários, trabalhando 8 horas
diárias, levantam em 5 1/2 dias uma parede de
22m de comprimento por 0,45 de espessura
em quanto tempo 16 operários, trabalhando
também 8 horas por dia, levantam outra parede
de 18m de comprimento, 0,30 de espessura e
de altura duas vezes maior que a primeira?
P17) Um bloco de mármore de 3m de
comprimento, 1,50m de largura e 0,60 de altura
pesa 4350kg. Quanto pesará um bloco do
mesmo mármore cujas dimensões são:
comprimento 2,20 largura 0,75m e altura 1,20?
P18) Um navio tem viveres para 20 dias de
viagem. Porém um imprevisto deixou-o
ancorado em alto mar durante 10 dias, onde o
comandante do navio foi avisado da previsão
do atraso. Em quanto se deve reduzir a ração
diária da tripulação, para que não faltasse
comida até o fim da viagem?
P19) Uma pessoa calculou que o dinheiro que
dispunha seria suficiente para passar 20 dias
na Europa. Ao chegar, resolveu prolongar sua
viagem por mais 4 dias. A quanto teve de
reduzir o sue gasto diário médio?
P20) Alguns operários devem terminar certo
serviço em 36 dias, trabalhando 8 horas por
dia. O encarregado, após 20 dias, verifica que
só 0,4 da obra estava pronta. Para entregar o
serviço na data fixada; quantas horas por dia
devem os operários trabalhar nos dias
restantes?
GABARITO - REGRA DE TRÊS
P1) 140 litros
P2) 6 dias
P3) 684 litros
P4) 38,75 metros
P5) 75 rotações
P6) 162 há
P7) 8 horas por dia
P8) 9 horas e 36min
P9) 2 h e 45min
P10) 30 dias
P11) 12 máquinas
P12) 39 operários
P13) 5 meses
P14) 666,666 litros
P15) 75 tacos
P16) 3,15 dias
P17) 3190 kg
P18)
P19)
P20) 15 horas
3
1
6
1
SISTEMA DE MEDIDAS: COMPRIMENTO, CAPACIDADE, MASSA E TEMPO (UNIDADES,
TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES)
Medidas de Comprimento
As medidas de comprimento são mecanismos de medição eficazes, uma vez que utilizam como recurso
medidas convencionais, tais como milímetro, centímetro, metro, quilômetro.
Elas foram criadas justamente para mitigar a probabilidade de ocorrência de erros no momento em que era
necessário mensurar as coisas.
Aqui você vai conhecer essas unidades de medida e vai aprender como calcular cada uma delas.
Múltiplos Medida base Submúltiplos
km hm dam m dm cm mm
1.000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m
Metro
A medida base no Sistema Internacional de Medidas (SI) é o metro. O metro possui múltiplos, que
correspondem a grandes distâncias e submúltiplos, que por sua vez correspondem a pequenas distâncias.
Assim, são múltiplos do metro: quilômetro (km), hectômetro (hm) e decâmetro (dam).
Enquanto são submúltiplos do metro: decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).
Como vimos, os múltiplos do metro são as grandes distâncias. Eles são chamados de múltiplos porque
resultam de uma multiplicação que tem como referência o metro.
Os submúltiplos, ao contrário, como pequenas distâncias, resultam de uma divisão que tem igualmente
como referência o metro. Eles aparecem do lado direito na tabela acima, cujo centro é a nossa medida base
- o metro.
Exercícios
Os exercícios a seguir são facilmente resolvidos utilizando a tabela de conversor de medidas.
1. Quantos decímetros equivalem 3,50 quilômetros?
Primeiro, coloque o comprimento que você tem. O algarismo que é seguido de vírgula deve ficar abaixo da
sua unidade. Assim, como temos 3,50 km o 3, deve ficar na coluna do km.
Múltiplos
Medida
base
Submúltiplos
quilômetro
(km)
hectômetro
(hm)
decâmetro
(dam)
metro (m)
decímetro
(dm)
centímetro
(cm)
milímetro
(mm)
3, 5 0
De seguida, devemos preencher as colunas com 0 até chegar à unidade que queremos. Por fim, a vírgula se
desloca do local inicial e vai para o final (a vírgula no final, no entanto, não deve aparecer).
Múltiplos
Medida
base
Submúltiplos
quilômetro
(km)
hectômetro
(hm)
decâmetro
(dam)
metro
(m)
decímetro
(dm)
centímetro
(cm)
milímetro
(mm)
3 5 0 0 0,
Temos assim, o seguinte resultado:
3,50 km = 35000 dm
O mesmo esquema deve ser utilizado nos exercícios seguintes:
2. 105 hectômetros equivalem a quantos metros?
Múltiplos
Medida
base
Submúltiplos
quilômetro
(km)
hectômetro
(hm)
decâmetro
(dam)
metro (m)
decímetro
(dm)
centímetro
(cm)
milímetro
(mm)
105 0 0
105 hm = 10500 m
3. Converta 0,75 centímetros em hectômetros.
Múltiplos
Medida
base
Submúltiplos
quilômetro
(km)
hectômetro
(hm)
decâmetro
(dam)
metro (m)
decímetro
(dm)
centímetro
(cm)
milímetro
(mm)
0 0 0 0 0,75
0,75 cm = 0,000075 hm
4. Quantos decâmetros tem 37 quilômetros mais 45 decâmetros?
Múltiplos
Medida
base
Submúltiplos
quilômetro
(km)
hectômetro
(hm)
decâmetro
(dam)
metro (m)
decímetro
(dm)
centímetro
(cm)
milímetro
(mm)
37 0 0
37 km = 3700 dam
3700 dam + 45 dam = 3745 dam
3745 dam
5. A exposição de arte oriental conta com 33568 metros, enquanto a exposição de arte africana conta com
29 quilômetros e mais 5594 metros. Qual é a exposição mais curta?
Múltiplos
Medida
base
Submúltiplos
quilômetro
(km)
hectômetro
(hm)
decâmetro
(dam)
metro (m)
decímetro
(dm)
centímetro
(cm)
milímetro
(mm)
29 0 0 0
29 km = 29000 m
29000 m + 5594 m = 34594 m
A exposição de arte oriental é a mais curta.
Medidas de Massa
A unidade padrão de massa no sistema
internacional de unidades é o quilograma (kg).
A massa de um cilindro padrão de platina iridiada
representa a medida correspondente a 1
quilograma (1 kg).
Esse cilindro está guardado
na Bureau
Internacional de Pesos e Medidas (BIPM), em
Sèvres na França.
Quilograma padrão guardado no BIPM
Conversão de unidades
As unidades do sistema métrico decimal de massa
são: quilograma (kg), hectograma (hg), decagrama
(dag), grama (g), decigrama (dg), centigrama (cg),
miligrama (mg).
Como o sistema padrão de medida de massa é
decimal, as transformações entre os múltiplos e
submúltiplos são feitas multiplicando-se ou
dividindo-se por 10.
Para transformar as unidades de massa, podemos
utilizar a tabela abaixo:
Exemplos
a) Transforme 350 g em mg.
Para transformar de grama para miligrama
devemos multiplicar o valor dado por 1000 (10 x
10 x 10).
Assim:
350 g = 350 000 mg
b) Quantos quilogramas tem em 3 000 g?
Para transformar grama em quilograma, vemos na
tabela que devemos dividir o valor dado por 1
000. Isto é o mesmo que dividir por 10, depois
novamente por 10 e mais uma vez por 10.
Assim:
3 000 g = 3 kg
Outras unidades de massa
A tonelada é um múltiplo do grama, sendo que 1
tonelada equivale a 1 000 000 g ou 1 000 kg. Essa
unidade é muito usada para indicar grandes
massas.
A arroba é uma unidade de medida usada no
Brasil, para determinar a massa dos rebanhos
bovinos, suínos e de outros produtos. Uma arroba
equivale a 15 kg.
O quilate é uma unidade de massa, quando se
refere a pedras preciosas. Neste caso 1 quilate vale
0,2 g.
Atividades
1) Quantos dias irá durar um saco de 15 kg de
ração para cachorros, sabendo que um cão come
em média por dia 300 g?
Primeiro devemos transformar as unidades para
ficarem iguais.
Vamos passar 15 kg para gramas. Então vamos
multiplicar por 1000, então temos 15 000 kg.
Agora, podemos dividir 15 000 por 300 e assim,
descobrimos que a ração irá durar 50 dias.
2) Um fábrica produz comprimidos de 10
miligramas cada um. Quantos comprimidos serão
necessários para produzir 10 kg deste
medicamento?
10 kg correspondem a 10 000 000 mg. Dividindo
pela massa de 1 comprimido 10 mg, vamos
encontrar:
1 000 000 comprimidos.
3) A carga de um caminhão é de 3 toneladas. Se já
foram descarregados 850 kg, quantos quilogramas
ainda faltam ?
3 toneladas é igual a 3 000 kg.
Então: 3 000 - 850 = 2 150 kg
Medidas de Capacidade
As medidas de capacidade representam as
unidades usadas para definir o volume no interior
de um recipiente. A principal unidade de medida
da capacidade é o litro (L).
O litro representa a capacidade de um cubo de
aresta igual a 1 dm. Como o volume de um cubo é
igual a medida da aresta elevada ao cubo, temos
então a seguinte relação:
1 L = 1 dm3
Mudança de Unidades
O litro é a unidade fundamental de capacidade.
Entretanto, também é usado o quilolitro(kL),
hectolitro(hL) e decalitro que são seus múltiplos e
o decilitro, centilitro e o mililitro que são os
submúltiplos.
Como o sistema padrão de capacidade é decimal,
as transformações entre os múltiplos e
submúltiplos são feitas multiplicando-se ou
dividindo-se por 10.
Para transformar de uma unidade de capacidade
para outra, podemos utilizar a tabela abaixo:
Exemplo
Faça as seguintes transformações:
a) 30 mL em L
b) 5 daL em dL
c) 400 cL em L
Solução
a) Observando a tabela acima, identificamos que
para transformar de mL para L devemos dividir o
número três vezes por 10, que é o mesmo que
dividir por 1000. Assim, temos:
30 : 1000 = 0,03 L
Note que dividir por 1000 é o mesmo que "andar"
com a vírgula três casa diminuindo o número.
b) Seguindo o mesmo raciocínio anterior,
identificamos que para converter de decalitro para
decilitro devemos multiplicar duas vezes por 10,
ou seja, multiplicar por 100.
5 . 100 = 500 dL
c) Para passar de centilitro para litro, vamos
dividir o número duas vezes por 10, isto é, dividir
por 100:
400 : 100 = 4 L
Medida de Volume
As medidas de volume representam o espaço
ocupado por um corpo. Desta forma, podemos
muitas vezes conhecer a capacidade de um
determinado corpo conhecendo seu volume.
A unidade de medida padrão de volume é o metro
cúbico (m3), sendo ainda utilizados seus múltiplos
(km3, hm3 e dam3) e submúltiplos (dm3,cm3 e
mm3).
Em algumas situações é necessário transformar a
unidade de medida de volume para uma unidade
de medida de capacidade ou vice-versa. Nestes
casos, podemos utilizar as seguintes relações:
1 m3 = 1 000 L
1 dm3 = 1 L
1 cm3 = 1 mL
Exemplo
Um tanque tem a forma de um paralelepípedo
retângulo com as seguintes dimensões: 1,80 m de
comprimento, 0,90 m de largura e 0,50 m de
altura. A capacidade desse tanque, em litros, é:
a) 0,81
b) 810
c) 3,2
d) 3200
Solução
Para começar, vamos calcular o volume do tanque,
e para isso, devemos multiplicar suas dimensões:
V = 1,80 . 0,90 . 0,50 = 0,81 m3
Para transformar o valor encontrado em litros,
podemos fazer a seguinte regra de três:
Assim,
x = 0,81 . 1000 = 810 L
Portanto, a resposta correta é a alternativa b.
Exercícios Resolvidos
1) Enem - 2013
Uma torneira não foi fechada corretamente e ficou
pingando, da meia-noite às seis horas da manhã,
com a frequência de uma gota a cada três
segundos. Sabe-se que cada gota d'água tem
volume de 0,2 mL.
Qual foi o valor mais aproximado do total de água
desperdiçada nesse período, em litros?
a) 0,2
b) 1,2
c) 1,4
d) 12,9
e) 64,8
De acordo com a informação do problema, a
torneira ficou pingando durante 6 horas (da meia-
noite às seis da manhã).
Como sabemos que cai uma gota a cada 3
segundos, vamos transformar esse tempo para
segundos. Assim, poderemos calcular o número de
gotas que ocorreram neste período.
Sendo 1 hora igual a 3600 segundos, então 6 horas
será igual a 21 600 segundos. Dividindo esse valor
por 3 (1 gota a cada 3 s), descobrimos que caíram
7 200 gotas nesse período.
Considerado que o volume de cada gora é igual a
0,2 mL, teremos:
https://www.todamateria.com.br/unidades-de-medida/
7200 . 0,2 = 1440 mL
Para encontrar o resultado final, devemos
transformar de mililitro para litro. Assim, vamos
dividir esse resultado por 1000. Assim:
1440 : 1000 = 1,44 L
Alternativa: c) 1,4
2) FAETEC - 2013
Um pote tem a forma de um paralelepípedo
retângulo com largura de 10 cm, comprimento de
16 cm e altura de x cm. Se esse pote tem
capacidade para 2 litros, o valor de x é igual a:
a) 12,5
b) 13,0
c) 13,5
d) 14,0
e) 15,0
Para descobrir a medida da altura do pote,
podemos partir transformando a unidade de
medida de capacidade para volume, usando a
seguinte relação:
1 mL = 1 cm3
Como a capacidade do pote é igual a 2 L, que
equivalem a 2 000 mL, logo o volume do pote é
igual a 2 000 cm3.
Sendo o volume de um paralelepípedo retângulo
igual a multiplicação da largura, comprimento e
altura, temos:
10 . 16 . x = 2000
Alternativa: a) 12,5
Medidas de tempo
É comum em nosso dia a dia ouvirmos perguntas
do tipo:
Qual a duração dessa partida de futebol?
Qual o tempo dessa viagem?
Qual a duração desse curso?
Qual o melhor tempo obtido por esse corredor?
Todas essas perguntas serão respondidas tomando
por base uma unidade padrão de medida de tempo.
A unidade de tempo escolhida como padrão no
Sistema Internacional (SI) é o segundo.
Segundo
O Sol foi o primeiro relógio do homem: o
intervalo de tempo natural decorrido entre as
sucessivas passagens do Sol sobre um dado
meridiano dá origem ao dia solar.
O segundo (s) é o tempo equivalente a do
dia solar médio.
As medidas de tempo não pertencem ao Sistema
Métrico Decimal.
Múltiplos e submúltiplos do segundo
Quadro de unidades
Múltiplos
minutos hora dia
min h d
60 s
60 min
= 3.600
s
24 h = 1.440
min =
86.400s
São submúltiplos do segundo:
décimo de segundo
centésimo de segundo
milésimo de segundo
Cuidado: nunca escreva 2,40h como forma de
representar 2h40min, pois
o sistema de medidas
de tempo não é decimal. Observe:
3. CALCULO ALGÉBRICO: MONÔMIOS E
POLINÔMIOS
Monômios
Não Monômios
Partes de um monômio
Um monômio é dividido em duas partes, um
número, que é o coeficiente do monômio e
uma variável ou o produto de variáveis (letras),
inclusive suas potências, caso existam.
2x → 2 é o coeficiente desse monômio e x
é sua parte literal;
3xy2 → 3 é o coeficiente desse monômio e
xy2 é sua parte literal;
wz → 1 é o coeficiente desse monômio e
wz é sua parte literal.
Grau de um monômio
Para um monômio com coeficientes não nulos,
temos que seu grau se dará através da soma
entre os expoentes da parte literal.
1/2x2y3z4 → esse é um monômio do 9º
grau (2 + 3 + 4 = 9);
bcd → esse é um monômio do 3º grau
(1 + 1 + 1+ = 3).
25 → esse é um monômio de grau zero
(ausência da parte literal);
Entre os monômios 2x2, 1/3x3 e 0,5x5 o
de maior grau é 0,5x5, pois 5 > 2 > 1/3.
Pode-se também atribuir o grau de um
monômio em relação a uma de suas
incógnitas. Para isso é necessário fazer
menção a incógnita considerada. Vejam nos
exemplos:
ab2 → esse é um monômio do 2º grau
em relação a variável b;
wz3 → esse é um monômio do 1º grau
em relação a variável w;
4 → esse é um monômio de grau zero
pela ausência de variável (eis).
Semelhança entre monômios
Dois ou mais monômios são semelhantes
quando suas partes literais são iguais.
3xy e 2/5xy são iguais, pois possuem a
mesma parte literal xy;
0,5a3b2 e 10a3b2 são iguais, pois
possuem a mesma parte literal a3b2;
- 4vwz, 2,3vwz e 1/3vwz são iguais, pois
possuem a mesma parte literal vwz.
Adicionando e/ou subtraindo monômios
Na adição de monômios com a mesma parte
literal, adicionaremos os coeficientes entre si e
manteremos a parte literal.
2mn + 14mn + 5mn = 21mn (2 + 14 + 5
= 21);
2,5 x2y + 1,5x2y – 0,5x2y = 3,5x2y (2,5 +
1,5 – 0,5 = 3,5);
3/2cd3 – 1/2cd3 + 5/2cd3 = 7/2cd3 (3/2 –
1/2 + 5/2 = 7/2).
Um refrigerante custa x reais. Márcio comprou
3 refrigerantes, Aline comprou 2, Poliana
comprou 4 e Arthur comprou 1. Qual é o
monômio que representa quanto essas
pessoas gastaram? → 3 + 2 + 4 + 1 = 10,
portanto 10x.
Multiplicação de monômios
Antes de prosseguirmos nesse tópico,
devemos relembrar uma propriedade muito
importante da potenciação.
am . an = am+n
Na multiplicação de monômios, multiplicamos
entre si os coeficientes, assim como, a parte
literal.
6x2y . 2x4 . 3y → 6.2.3 = 36 e x2.x4.y.y =
x6y2, ou seja, 36x6y2;
4abc4 . 4ab2c → 4.4 = 16 e a.a.b.b2.c4.c
= a2b3c5, ou seja, 16a2b3c5;
1/2wz . 2/3z → 1/2.2/3 = 2/6 ou 1/3 e
w.z.z = wz2, ou seja, 1/3wz2.
Divisão de monômios
Convém relembrarmos mais uma propriedade
importante da potenciação.
am : an = am – n
Na divisão de monômios, dividimos entre si os
coeficientes, bem como, a parte literal.
12x4y : 3x2y → 12:3 = 4, x4:x2 = x2 e y:y
= 1, ou seja, 4x2;
50b6c8d4 : 25b2c4d4 → 50:25 = 2, b6:b2 =
b4, c8:c4 = c4 e d4:d4 = 1, ou seja, 2b4c4;
4mn10 : mn2 → 4 : 1 = 4, m:m = 1 e
n10:n2 = n8, ou seja, 4n8.
Potenciação de monômios
Antes de darmos continuidade ao tema, vale
lembrar as seguintes propriedades da potência
a fim de facilitarmos o cálculo de potências de
monômios.
(am)n = am.n
(a . b)m = am . bm
(4x3)2 → 42 = 16 e x3.2 = x6, ou seja,
16x6;
(-3 . wz3)3 → (-3)3 . w1.3 . z3.3 = -27w3z9;
Encontrar o quadrado do monômio -11a4
→ (-11a4)2 = (-11)2 . a4.2 = 121a8.
https://www.infoescola.com/matematica/potencias/
Ocorrência de polinômios
Perímetros de figuras planas
Cálculo de distâncias
Cálculo de áreas
Todo monômio é considerado
polinômio;
Os monômios integrantes de um
polinômio são chamados termos do
polinômio;
5x2 → é um polinômio de um único
termo (monômio);
2x – y → é um polinômio de dois termos:
2x e - y.
Redução de Polinômios
Em muitos casos nos deparamos com representações polinomiais extensivas que podem ser
reduzidas por meio das ideias relativas à adição e/ou subtração de monômios[1]. Para que a
redução seja possível é necessária à existência de monômios semelhantes na expressão.
Observações:
De acordo com a quantidade de termos resultantes das reduções polinomiais ou até mesmo da
representação inicial dos polinômios, podemos classifica-los das seguintes formas:
monômio, quando há apenas um termo;
binômio, quando há dois termos;
trinômio, quando há três termos;
acima de três termos, não há nome particular, sendo chamado apenas polinômio.
Grau de um polinômio
O grau de um polinômio reduzido, não nulo, é dado em função de seu termo de maior grau.
file:///C:/Users/LucasMS/Downloads/temp/Polinômios.docx%23_ftn1
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/11/polinomios1.jpg
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/11/polinomios1.jpg
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/11/polinomios1.jpg
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/11/polinomios2.jpg
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/11/polinomios3.jpg
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/11/reducao-polinomios.jpg
Da mesma forma que nos monômios, dado um polinômio reduzido, podemos estabelecer o seu
grau em relação a uma de suas variáveis.
8m3n + m4n → esse polinômio é do 4º grau em relação a variável m e do 1º grau em
relação à n.
x8y5 + x10y2 → esse é um polinômio do 10º grau em relação a variável x e do 5º grau em
relação à y.
Polinômio com uma só variável
A compreensão desse tópico é muito importante para estudos futuros a exemplo das funções.
Nos casos abaixo dizemos que são polinômios na incógnita x.
2x – 7 x2 + x + 3
Esse tipo de polinômio costuma-se ser escrito de forma decrescente, ou seja, do termo de maior
grau ao termo de menor grau. Quando falta uma ou mais potências na variável “x” dizemos ser
um polinômio incompleto.
7x3 + 2x + 3 x2 + 3
7x3 + 2x + 3 é incompleto, pois poderia ser escrito na forma 7x3 + 0x2 + 2x + 3;
x2 + 3 é incompleto, pois poderia ser escrito na forma x2 + 0x + 3.
Adição de polinômios
A adição de polinômios segue os critérios da redução, obedecendo às propriedades dos
monômios no que se refere a termos semelhantes. Devemos sempre agrupar os termos
semelhantes e realizar suas adições. Acompanhem:
Multiplicação de um monômio por um polinômio
Para desenvolver o produto de um monômio por um polinômio é primordial o conhecimento
sobre a propriedade distributiva da multiplicação, pois esta multiplicação é feita multiplicando-se
o monômio por cada termo do polinômio. Vejam nos exemplos:
Multiplicação de um polinômio por outro polinômio
Da mesma forma que o caso anterior, a multiplicação de um polinômio por outro polinômio é
feita utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, isto é, deveremos multiplicar cada
termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo.
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/11/grau-polinomios.jpg
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/11/adicao-polinomios.jpg
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/11/multiplicacao-polinomios1.jpg
Divisão de um polinômio por um monômio
O quociente de um polinômio por um monômio é dado através da divisão de cada termo do
polinômio pelo monômio, desde que este não seja nulo. Para isso deveremos conhecer bem as
propriedades da potenciação.
(10x4y6 + x3y4 + x2y2) : (x2y)
10x4y6 : x2y = 10x2y5; x3y4 : x2y = xy3 e x2y2 : x2y = y
Ou seja,
(10x4y6 + x3y4 + x2y2) : (x2y) = 10x2y5 + xy3 + y.
Divisão de um polinômio por outro polinômio
A divisão de polinômios em uma mesma variável “x” é muito semelhante ao algoritmo de divisão
abordado nas séries iniciais.
4. FUNÇÕES: IDEIA DE FUNÇÃO,
INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS, DOMÍNIO
E IMAGEM, FUNÇÃO DO 1º GRAU, FUNÇÃO
DO 2º GRAU– VALOR DE MÁXIMO E
MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU.
Uma determinada gráfica imprime
apostilas para concursos públicos. O custo de
cada apostila varia em função da quantidade
de páginas a serem impressas. Vamos supor
que cada página tenha o custo de R$ 0,07 e
para cada apostila confeccionada ainda há um
custo fixo de R$ 5,00 relacionado com a capa,
plastificação etc. Observe a tabela abaixo que
relaciona o preço de cada apostila montada
em função da quantidade de páginas
impressas:
Páginas Preço
50 R$ 8,50
70 R$ 9,90
100 R$
12,00
200 R$
19,00
É impossível até estabelecermos uma
fórmula que relacione a quantidade de páginas
impressas (x) e o preço (y) de cada apostila:
y = 0,07x + 5
Este é um exemplo de função, observe
que para cada valor de x encontramos um
único valor de y, podemos dizer então que y é
função de x, isto é, y está em função de x, e
outra forma de escrevermos a mesma fórmula
é:
f(x) = 0,07x + 5
Se uma pessoa interessada em editar suas
apostilas nesta gráfica quisesse saber o quanto
deveria desembolsar para confeccionar uma
https://www.infoescola.com/matematica/divisao-de-polinomios/
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/11/multiplicacao-polinomios2.jpg
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/11/divisao-polinomios.jpg
apostila com 300 páginas, ela poderia
simplesmente substituir x = 300, na expressão
acima:
f(300) = 0,07300 + 5 = 21 + 5 = 26
Logo, o valor que iria desembolsar seria de R$
26,00 por apostila impressa.
DEFINIÇÃO
Seja f uma relação entre dois conjuntos A e B,
diz-se que f é uma função de A em B e indica-
se por f: A B, se e somente se para cada
elemento de x A exista um único elemento y
B.
O conjunto A é chamado de domínio da função
e o conjunto B é chamado de contra-domínio e
os elementos de B que estão relacionados com
os de A fazem parte do conjunto imagem da
função.
RECONHECENDO UMA FUNÇÃO
PELOS DIAGRAMAS
Exemplo1:
Observe as relações abaixo entre os conjuntos
A e B dizendo em cada item se são ou não
função, em caso afirmativo, encontre o seu
domínio (Df), contra-domínio (CDf) e conjunto
imagem (Imf) das funções identificadas.
a)
Esta relação é uma função, pois cada elemento de A
está relacionado com apenas um de B.
Df = {0, 1}
CDf = {0, 5, 10, 20}
Imf = {0, 5}
b)
Esta relação não é uma função, pois existe um
elemento de A que não se relaciona com
nenhum de B.
c)
Esta relação é uma função, pois cada elemento de A
está relacionado com apenas um de B, e não existe
nenhuma elemento de A sobrando.
Df = {-1, -2, 2, 1}
CDf = {1, 2, 3, 6, 7}
Imf = {1, 7}
d)
Esta relação não é uma função, pois existe um
elemento de A que se relaciona com dois de B.
Observação:
Repare que podemos ter um elemento do
contra-domínio relacionado com dois do
domínio, e ainda, pode haver sobras de
elementos no contra-domínio.
PELOS GRÁFICOS
Exemplo2:
Identifique quais dos gráficos abaixo
representam funções, em caso afirmativo
determine o Domínio e a Imagem de cada uma
das funções identificadas.
a)
Este gráfico representa
uma função, as retas verticais pontilhadas "cortam"
o gráfico em apenas um ponto.
Logo, cada elemento x estará relacionado com
apenas um y.
Df = {x IR / 3 x 3} Eixo x
Imf = {y IR / 5 y 6} Eixo y
b)
Este gráfico não
representa uma função, pois observe que as retas
pontilhadas "cortam" em mais de um ponto o
gráfico.
c)
Este gráfico representa uma função, as retas
verticais pontilhadas "cortam" o gráfico em apenas
um ponto.
Logo, cada elemento x estará relacionado com
apenas um y.
Df = {xIR / -2
representa uma
função;
d) os gráficos I, II, III e IV representam funções;
e) apenas o gráfico II não representa função.
P12) As funções f e g são dadas por:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
P13) A função y = f(x) é representada
graficamente por:
Através da análise do gráfico, encontre:
a) Domínio da função (Df);
b) Imagem da função (Imf);
c) f(3);
d) o valor de x tal que a função seja nula.
P14) Uma função f de variável real satisfaz a
condição f(x + 1) = f(x) + f(1) qualquer que seja
o valor da variável x. Sabendo-se que f(2) = 1,
pode-se concluir que f(3) é igual a:
GABARITO - FUNÇÕES
P1) a) R$ 9,00 b) 5 c) c = n2d) 31
P2) a) 20 mil b) 48 989 c) 9 horas
P3) a) 90 km; 180 km b) 4 horas c) d = 90t
P4) a) Sim, pois a cada valor de x corresponde um
único valor de y.
b) x = 2 y = 60, x = 8 y = 15, x = 20 y = 6
x = 20 y = 6 e x = 25 y = 4,8
P5) a) f: IR IR
f(x) = 2x
b) g: IR IR
g(x) = x2
a) h: IR IR
h(x) = 3x 1
P6) a) f: IR* IR
b) g: IN IN
g(x) = (x + 1)2
P7) a) 3 b) 5 c) 1
f(x) =
5
3
x 1 e g(x) =
3
4
x + a
Sabe-se que f(0) g(0) =
3
1
.O valor de f(3) 3.g
5
1
é:
a)
4
1
b)
2
1
c)
2
3
d) 2 e)
2
5
c) 120 d) y =
x
120
f(x) =
x
1
P8) a) 0 b) 2 c) 10
d) 4p2 6p + 4
P10) I-) Não é função II-) Não é função
III-) é função: Df = {1, 2, 3}
CDf = {1, 2, 3, 4, 5}
Imf = {1, 2, 3}
IV-) é função: Df = {1, 2, 3}, CDf = {1, 2},
Imf = {1, 2}
V-) é função: Df = {1, 2, 3}, CDf = {0}
Imf = {0}
VI) Não é função.
P11) B
P12) E
P13) a) Df = {x IR / 2 0.
Gráfico 2: Gráfico de uma função decrescente
onde teremos o coeficiente a 0; para quais valores de x
a função é zero, ou seja, y = 0; e, para quais
valores de x a função é negativa, ou seja, y 0 Função Crescente
3x 9 = 0 3x = 9 x =
3
9
x = 3
2O. Caso) a 0 x >
a
b
y 0 x
a
b
x
2
7
S = {x IR / x
2
7
}
f(x) =
x
x
21
1
.
x
x
21
1
0
1 2x = 0 2x = 1 x =
2
1
D = { x IR / 1 x 7 - 11x
d) 3 - x -1 + x
P6) Resolva, em IR, as inequações:
P7) O gráfico abaixo representa
a de IR em IR dada
por f(x) = ax + b (a, b Î IR). De acordo com o gráfico,
conclui-se que:
a) a 0
b) a 0 e b > 0
d) a > 0 e b 0 e b = 0
P8) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos
pontos (-1, 3) e (2, 7).
O valor de m é:
P9) Numa escola é adotado o seguinte critério: a
nota da primeira prova é multiplicada por 1, a nota
da segunda prova é multiplicada por 2 e a nota da
terceira prova é multiplicada por 3. Os resultados,
após somados, são divididos por 6. Se a média
obtida por este critério for maior ou igual a 6,5 o
aluno é dispensado das atividades de recuperação.
Suponha que um aluno tenha tirado 6,3 na primeira
prova e 4,5 na segunda prova. Quanto precisará
tirar na terceira prova para ser dispensado da
recuperação?
GABARITO - FUNÇÃO DO 1O.GRAU
P1)
a) Sendo x a quantidade de passageiros
embarcados e Q a quantidade de dinheiro
arrecadado, temos Q = 1600x + 40 000
b) 120 000 dólares
c) 35 passageiros
P2)
a) p = 300 t
b) 1050 pães
P3) R$ 1,00
P4) 1
a)
2
12
x
x
> 0 b)
x
x
23
23
4
Para distâncias percorridas entre 2km e 4km o
táxi dá prejuízo:
2
18
23
}
c) S = {x IR x >
4
1
}
P6) a) S = {x IR x
2
1
}
b) S = {x IR x
2
3
}
c) S = {x IR
5
1
0) ou para baixo (a 0 - duas raízes distintas), ou em
um único ponto ( = 0 - uma única raiz) ou
ainda não interceptar o eixo x ( > 0 - a função
não possui raízes reais).
Exemplo1:
Façamos o esboço do gráfico da função y = 2x2
- 5x + 2:
Características:
concavidade voltada para cima: a = 2 > 0
zeros (ou raízes): 2x2 - 5x + 2 = 0
Resolvendo a equação, obtemos:
x1 = ou x2 = 2
intersecção com o eixo y: (0, c) = (0, 2)
Gráfico:
2a
b
vx
4a
Δ
vy
2
1
8
9
,
4
5
4a
Δ
,
2a
b
Vparábola da vértice
Exemplo 2:
Façamos agora, o esboço do gráfico da função
y = x2 - 2x + 1:
Características:
concavidade voltada para cima: a = 1 > 0
zeros (ou raízes): x2 - 2x + 1 = 0
Resolvendo a equação, obtemos:
x1 = x2 = 1 (raiz dupla)
Gráfico:
Exemplo3:
Façamos por fim, o esboço do gráfico da
função y = -x2 - x - 3:
Características:
concavidade voltada para baixo: a = 1 0),
função negativa (y 0 x 5
y = 0 x = - 2 ou x = 5
y 0 não existe xIR
y = 0 x = 3
y 3
c)
1O.) Raízes: x2 + 7x + 13 = 0 0 x IR
y = 0 não existe x real
y 0
Para a resolução desta inequação basta
considerarmos o estudo do sinal para a y > 0,
ou seja:
Geometricamente:
Observações:
Se tivéssemos uma inequação do tipo x2 3x
10 0, a solução seria S = {x IR / x 2 ou
x 5} e o esboço ficaria da seguinte forma:
Agora os valores -2 e 5 pertencem à solução da
inequação e por isso representamos no eixo
com uma "bolinha" fechada diferentemente da
inequação anterior.
Não há necessidade do eixo y na representação
do esboço.
EXERCÍCIOS
- FUNÇÃO DO 2O. GRAU
P1) Considere a função y = -x2 + 2x + 3.
a) Determine o ponto onde a parábola que
representa a função corta o eixo dos y.
b) Verifique se a parábola que representa a
função corta o eixo dos x; em caso afirmativo,
determine as coordenadas dos pontos onde
isso acontece.
c) Determine as coordenadas do vértice da
parábola que representa a função.
d) Desenhe o gráfico da função.
P2) Resolva, em IR, as inequações:
a) x2 - 3x + 2 > 0
b) -x2 + x + 6 > 0
c) x2 - 4 = 0
d) -3x2 - 8x + 3 £ 0
e) -2x2 + 3x > 0
f) x2 + 10x > 0
GABARITO - FUNÇÃO DO 2º. GRAU
P1) a) y = 3
b) x1 = 1 ou x2 = 3
c) xv = 1 e yv = 4
a) Gráfico: a 0
P2) a) S = {x IR / x 2}
b) S = {x IR / 2 2}
d) S = {x IR / x 3 ou x }
e) S = {x IR / 0 0}
5. EQUAÇÕES DE 1º E 2º GRAUS.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE 1º GRAU
COM DUAS INCÓGNITAS.
Equação de Primeiro Grau
É possível definir uma equação de primeiro
grau como uma equação na qual a potência da
incógnita ou das incógnitas é de grau um. A
representação geral de uma equação de primeiro
grau é:
ax + b = 0
Sendo que: a,b ∈ ℝ e a ≠ 0
Lembrando que o coeficiente a que está na equação
é o coeficiente angular e o coeficiente b da equação
é o coeficiente linear. De maneira respectiva, seus
valores representam a tangente do ângulo de
inclinação e o ponto numérico no qual a reta passa
pelo eixo das ordenadas, o eixo y.
Para encontrar o valor da incógnita, valor da raiz, de
uma equação de primeiro grau é necessário que
se isole o x, dessa maneira:
ax + b = 0
ax = – b
x = -b / a
Então, de uma forma geral, o conjunto solução
(conjunto verdade) de uma equação de primeiro
grau sempre será representado por:
Para encontrarmos numa equação de 1º grau com
duas incógnitas, por exemplo,
4x + 3y = 0, os valores de x e de y é preciso
relacionar essa equação com outra ou outras com as
mesmas incógnitas. Essa relação é chamada de
sistema.
Um sistema de equação de 1º grau com duas
incógnitas é formado por: duas equações de 1º grau
com duas incógnitas diferentes em cada equação.
Veja um exemplo:
Para encontramos o par ordenado solução desse
sistema é preciso utilizar dois métodos para a sua
solução.
Esses dois métodos são: Substituição e Adição.
Método da substituição
Esse método consiste em escolher uma das duas
equações, isolar uma das incógnitas e substituir na
outra equação, veja como:
Dado o sistema , enumeramos as
equações.
3
1
2
3
Escolhemos a equação 1 e isolamos o x:
x + y = 20
x = 20 – y
Agora na equação 2 substituímos o valor de x = 20 –
y.
3x + 4 y = 72
3 (20 – y) + 4y = 72
60-3y + 4y = 72
-3y + 4y = 72 – 60
y = 12
Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de
x basta substituir 12 na equação
x = 20 – y.
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x = 20 – y
x = 20 – 12
x = 8
Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12)
Método da adição
Esse método consiste em adicionar as duas equações
de tal forma que a soma de uma das incógnitas seja
zero. Para que isso aconteça será preciso que
multipliquemos algumas vezes as duas equações ou
apenas uma equação por números inteiros para que a
soma de uma das incógnitas seja zero.
Dado o sistema:
Para adicionarmos as duas equações e a soma de
uma das incógnitas de zero, teremos que multiplicar
a primeira equação por – 3.
Agora, o sistema fica assim:
Adicionando as duas equações:
- 3x – 3y = - 60
+ 3x + 4y = 72
y = 12
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma
das duas equações e substituir o valor de y
encontrado:
x + y = 20
x + 12 = 20
x = 20 – 12
x = 8
Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12).
Se resolver um sistema utilizando qualquer um dois
métodos o valor da solução será sempre o mesmo.
Equação de Segundo Grau
É possível definir uma equação de segundo
grau como uma equação na qual a maior potência da
incógnita ou das incógnitas é de grau dois. De forma
geral:
ax2 + bx + c = 0
Sendo que: a,b e c ∈ ℝ e a ≠ 0
Raízes de uma Equação de Segundo
Grau
Em equações desse tipo é possível encontrar até
duas raízes reais, que podem distintas (quando o
discriminante é maior que zero) ou iguais (quando o
discriminante é igual a zero). É possível também que
se encontrem raízes complexas e isso ocorre nos
casos em que o discriminante é menor que
zero. Lembrando que o discriminante é dado pela
relação:
Δ = b² – 4ac
As raízes são encontradas pela chamada “Fórmula
de Bhaskara”, que é dada a seguir:
Então, de uma forma geral, o conjunto solução
(conjunto verdade) de uma equação de segundo
grau sempre será representado por:
S = {x1, x2}
Observações:
Quando Δ > 0, x1 ≠ x2;
Quando Δ = 0, x1 = x2;
Quando Δ
Assim, o Teorema de Pitágoras pode ser enunciado
como:
A hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos
quadrados dos catetos.
Exemplos
1) Encontre o valor de x e de y na figura abaixo:
Primeiro calcularemos o valor da hipotenusa, que na
figura está representado por y.
Usando a relação: a = m + n
y = 9 + 3
y = 12
Para encontrar o valor de x, usaremos a relação b2 =
a.n, assim:
x2 = 12 . 3 = 36
2) A medida da altura relativa à hipotenusa de um
triângulo retângulo é 12 cm e uma das projeções
mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos desse
triângulo.
Primeiro vamos encontrar o valor da outra projeção
usando a relação: h2 = m . n
Vamos encontrar o valor da hipotenusa, usando a
relação a = m + n
a = 16 + 9 = 25
Agora é possível calcular o valor dos catetos usando
as relações b2 = a . n e c2 = a . m
https://www.todamateria.com.br/teorema-de-pitagoras/
Fórmulas
Na tabela abaixo, reunimos as relações métricas no
triângulo retângulo.
TEOREMA DE PITÁGORAS E SUAS
APLICAÇÕES
O Teorema de Pitágoras está relacionado com o
comprimento dos lados do triângulo retângulo. Essa
figura geométrica é formada por um ângulo interno
de 90°, chamado de ângulo reto.
O enunciado desse teorema é: "a soma dos
quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado
de sua hipotenusa."
Fórmula
Segundo o enunciado do Teorema de Pitágoras, a
fórmula é representada da seguinte maneira:
a2 = b2 + c2
Sendo,
a: hipotenusa
b: cateto
c: cateto
A hipotenusa é o maior lado de um triângulo
retângulo e o lado oposto ao ângulo reto. Os outros
dois lados são os catetos. O ângulo formado por
esses dois lados tem medida igual a 90º (ângulo
reto).
Identificamos ainda os catetos, de acordo com um
ângulo de referência. Ou seja, o cateto poderá ser
chamado de cateto adjacente ou cateto oposto.
Quando o cateto está junto ao ângulo de referência,
é chamado de adjacente, por outro lado, se está
contrário a este ângulo, é chamado de oposto.
Triângulo Pitagórico
Quando as medidas dos lados de um triângulo
retângulo são números inteiros positivos, o triângulo
é chamado de triângulo pitagórico.
Neste caso, os catetos e a hipotenusa são
denominados de “terno pitagórico” ou “trio
pitagórico”. Para verificar se três números formam
um trio pitagórico, usamos a relação a2 = b2 + c2.
O mais conhecido trio pitagórico é representado
pelos números: 3, 4, 5. Sendo a hipotenusa igual a 5,
o cateto maior igual a 4 e o cateto menor igual a 3.
É interessante notar que, os múltiplos desses
números também formam um terno pitagórico. Por
exemplo, se multiplicarmos por 3 o trio 3, 4 e 5,
https://www.todamateria.com.br/triangulo-retangulo/
https://www.todamateria.com.br/triangulo-retangulo/
obtemos os números 9, 12 e 15 que também formam
um terno pitagórico.
Além do terno 3, 4 e 5, existe uma infinidade de
outros ternos. Como exemplo, podemos citar:
5, 12 e 13
7, 24, 25
20, 21 e 29
12, 35 e 37
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO
TRIANGULO RETÂNGULO
O triângulo retângulo é formado:
Catetos: são os lados do triângulo que formam o
ângulo reto. São classificados em: cateto
adjacente e cateto oposto.
Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto,
sendo considerado o maior lado do triângulo
retângulo.
Segundo o Teorema de Pitágoras, a soma dos
quadrado dos catetos de um triângulo retângulo é
igual ao quadrado de sua hipotenusa:
h2 = ca2 + co2
Relações Trigonométricas do
Triângulo Retângulo
As razões trigonométricas são as relações existentes
entre os lados de um triângulo retângulo. As
principais são o seno, o cosseno e a tangente.
Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.
Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.
Lê-se cateto oposto sobre o cateto adjacente.
Círculo trigonométrico e as razões trigonométricas
O círculo trigonométrico é utilizado para auxiliar
nas relações trigonométricas. Acima, podemos
encontrar as principais razões, sendo que o eixo
vertical corresponde ao seno e o eixo horizontal ao
cosseno. Além delas, temos as razões inversas:
secante, cossecante e cotangente.
Lê-se um sobre o cosseno.
Lê-se um sobre o seno.
Lê-se cosseno sobre o seno.
https://www.todamateria.com.br/teorema-de-pitagoras/
Ângulos Notáveis
Os chamados ângulos notáveis são aqueles que
aparecem com mais frequência, a saber:
Relações Trigonométricas 30° 45° 60°
Seno 1/2 √2/2 √3/2
Cosseno √3/2 √2/2 1/2
Tangente √3/3 1 √3
7. TEOREMA DE TALES
O Teorema de Tales é uma teoria aplicada na
geometria acerca do conceito relacionado entre retas
paralelas e transversais.
Exemplo
Para compreender melhor o teorema de tales,
observe a figura abaixo:
Na figura acima as retas transversais u e v
interceptam as retas paralelas r, s e t. Os pontos
pertencentes na reta u são: A, B e C; e na reta v, os
pontos: M, N e O. Logo, de acordo com o Teorema
de Tales:
Lê-se: AB está para BC, assim como DE está para
EF.
Teorema de Tales nos Triângulos
O teorema de Tales também é aplicado em situações
que envolvem triângulos. Veja abaixo um exemplo
em que se aplica o teorema:
De acordo com a semelhança de triângulos podemos
afirmar que: o triângulo ABC é semelhante ao
triângulo AED. É representado da seguinte forma:
Δ ABC ~ Δ AED
Exercícios Resolvidos
Determine o valor de x nas figuras abaixo:
Exercício 1
https://www.todamateria.com.br/angulos-notaveis/
https://www.todamateria.com.br/angulos-notaveis/
https://www.todamateria.com.br/retas-paralelas/
https://www.todamateria.com.br/semelhanca-de-triangulos/
Exercício 2
Exercício 3
8. GEOMETRIA PLANA: CÁLCULO DE
ÁREA E PERÍMETRO DE POLÍGONOS.
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO:
COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA,
ÁREA DO CÍRCULO.
A geometria plana estuda o comportamento de
estruturas no plano, a partir de conceitos básicos
primitivos como ponto, reta e plano. Estuda o conceito e
a construção de figuras planas como quadriláteros,
triângulos, círculos, suas propriedades, formas,
tamanhos e o estudo de suas áreas e perímetro.
Ponto
Segundo “Os Elementos”, de Euclides, um ponto é
definido como "o que não tem partes". É apenas uma
posição no espaço. É representado por letras
maiúsculas.
Reta
Uma reta é a reunião de infinitos pontos. É uma
“linha” com comprimento, mas sem largura. É
sempre representada por uma letra minúscula.
Se tivermos dois pontos, eles determinam uma reta.
Há apenas uma reta que passa por esses dois pontos.
Por um ponto passam infinitas retas.
Duas retas são concorrentes se, e somente se, elas
têm um único ponto em comum.
https://www.infoescola.com/matematica/ponto-reta-e-plano/
https://www.infoescola.com/livros/elementos-obra-de-euclides-de-alexandria/
https://www.infoescola.com/biografias/euclides/
Plano
Um plano é uma região onde há infinitos pontos e
infinitas retas. É um elemento com comprimento e
largura. Geralmente é representado por letras gregas.
Um plano é determinado por três pontos não
colineares (pontos não alinhados). Se uma reta tem
dois pontos distintos em um plano, então esta reta
está contida nesse plano.
Segmento de Reta
Dados dois pontos distintos A e B, a união desses
pontos com o conjunto de pontos compreendidos
entre A e B é chamado de segmento de reta.
Representamos esse segmento de reta AB por
overlineAB.
Semirreta
Dados dois pontos distintos A e B, a reunião do
segmento de reta overlineAB com o conjunto dos
pontos X tais que B está entre A e X é a semirreta
AB, indicada por overrightarrowAB.
Em resumo, temos:
Ângulos
Chama-se ângulo a região entre duas semirretas que
partem de uma mesma origem. Podemos dizer, ainda
que um ângulo é a medida da abertura de duas
semirretas que partem da mesma origem.
Indica-se: ∠AOB, ∠BOA, AÔB, BÔA ou Ô.
O ponto O é o vértice do ângulo e as semirretas
dos números Reais
O conjunto dos números reais surge para
designar a união do conjunto dos números
racionais e o conjunto dos números irracionais.
É importante lembrar que o conjunto dos
números racionais é formado pelos seguintes
conjuntos: Números Naturais e Números
Inteiros. Vamos exemplificar os conjuntos que
unidos formam os números reais. Veja:
Números Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, ....
Números Inteiros (Z): ..., –8, –7, –6, –5, –4, –3,
– 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, .....
Números Racionais (Q): 1/2, 3/4, 0,25, –5/4,
Números Irracionais (I): √2, √3, –√5,
1,32365498...., 3,141592....
Podemos concluir que o conjunto dos números
reais é a união dos seguintes conjuntos:
N U Z U Q U I = R ou Q U I = R
Os números reais podem ser representados
por qualquer número pertencente aos
conjuntos da união acima. Essas designações
de conjuntos numéricos existem no intuito de
criar condições de resolução de equações e
funções. As soluções devem ser dadas
obedecendo padrões matemáticos e de acordo
com a condição de existência da incógnita na
expressão.
Propriedades dos Conjuntos Numéricos
Diagrama dos conjuntos numéricos
Para facilitar os estudos sobre os conjuntos
numéricos, segue abaixo algumas de suas
propriedades:
O conjunto dos números naturais (N) é um
subconjunto dos números inteiros: Z (N ⊂ Z).
O conjunto dos números inteiros (Z) é um
subconjunto dos números racionais: (Z ⊂ Q).
O conjunto dos números racionais (Q) é um
subconjunto dos números reais (R).
Os conjuntos dos números naturais (N), inteiros
(Z), racionais (Q) e irracionais (I) são
subconjuntos dos números reais (R).
Operações com Conjuntos
As operações com conjuntos são as operações
feitas com os elementos que formam uma
coleção. São elas: união, intersecção e
diferença.
Lembre-se que na matemática os conjuntos
representam a reunião de diversos objetos.
Quando os elementos que formam o conjunto
são números, são chamados de conjuntos
numéricos.
Os conjuntos numéricos são:
Números Naturais (N)
Números Inteiros (Z)
Números Racionais (Q)
Números Irracionais (I)
Números Reais (R)
União de Conjuntos
A união de conjuntos corresponde a junção dos
elementos dos conjuntos dados, ou seja, é o
conjunto formado pelos elementos de um
conjunto mais os elementos dos outros
conjuntos.
Se existirem elementos que se repetem nos
conjuntos, ele aparecerá uma única vez no
conjunto união.
Para representar a união usamos o símbolo U.
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {c, a, r, e, t} e B = {a, e,
i, o, u}, represente o conjunto união (A U B).
Para encontrar o conjunto união basta juntar os
elementos dos dois conjuntos dados. Temos de
ter o cuidado de incluir os elementos que se
repetem nos dois conjuntos uma única vez.
Assim, o conjunto união será:
A U B = {c, a, r, e, t, i, o, u}
Intersecção de Conjuntos
A intersecção de conjuntos corresponde aos
elementos que se repetem nos conjuntos
dados. Ela é representada pelo símbolo ∩.
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {c, a, r, e, t } e B= B =
{a, e, i, o, u}, represente o conjunto intersecção
( ).
Devemos identificar os elementos comuns nos
conjuntos dados que, neste caso, são os
elementos a e e, assim o conjunto intersecção
ficará:
= {a, e}
Obs: quando dois conjuntos não apresentam
elementos em comum, dizemos que a
intersecção entre eles é um conjunto vazio.
Nesse caso, esses conjuntos são chamados de
disjuntos: A ∩ B = Ø
Diferença de Conjuntos
A diferença de conjuntos é representada pelos
elementos de um conjunto que não aparecem
no outro conjunto.
Dados dois conjuntos A e B, o conjunto
diferença é indicado por A - B (lê-se A menos
B).
Conjunto Complementar
Dado um conjunto A, podemos encontrar o
conjunto complementar de A que é
determinado pelos elementos de um conjunto
universo que não pertençam a A.
Este conjunto pode ser representado por
Quando temos um conjunto B, tal que B está
contido em A ( ), a diferença A - B é
igual ao complemento de B.
Exemplo:
Dados os conjuntos A= {a, b, c, d, e, f} e B = {d,
e, f, g, h}, indique o conjunto diferença entre
eles.
Para encontrar a diferença, primeiro devemos
identificar quais elementos pertencem ao
conjunto A e que também aparecem ao
conjunto B.
No exemplo, identificamos que os elementos d,
e e f pertencem a ambos os conjuntos. Assim,
vamos retirar esses elementos do resultado.
Logo, o conjunto diferença de A menos B sera
dado por:
A – B = {a, b, c}
Propriedades da União e da Intersecção
Dados três conjuntos A, B e C, as seguintes
propriedades são válidas:
Leis de Morgan
Considerando dos conjuntos pertencentes a
um universo U, tem-se:
1.º) O complementar da união é igual à
intersecção dos complementares:
2.º) O complementar da intersecção é igual à
união dos complementares:
Os conjuntos numéricos podem ser
representados de diversas maneiras, e uma
das mais importantes para a matemática é a
representação por intervalos. Ela é capaz de
mostrar em que ponto um conjunto começa e
termina, ou seja, seu menor e maior elemento.
Essa representação também pode indicar os
números que não pertencem a esse conjunto,
caso eles existam. Toda essa representação
dos conjuntos numéricos é feita por símbolos.
Geralmente, a representação por intervalos é
usada para demonstrar subconjuntos dos
números reais, entretanto, ela também é
igualmente útil quando envolve qualquer outro
conjunto numérico.
Por exemplo: O subconjunto S dos números
reais maiores que 5 e menores ou iguais a 10
é representado da seguinte maneira:
S = {x ε N/5
overlineOA e overlineOB são os lados do
ângulo.
Ângulos consecutivos
Dois ângulos são consecutivos se eles compartilham
um mesmo lado, ou seja, se o lado de um, for
também o mesmo lado do outro.
Ângulos adjacentes
Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e
somente se, não compartilham pontos internos, ou
seja, não estão sobrepostos um ou outro.
Congruência (≅)
Para que ângulos possam ser considerados
congruentes (iguais), devem satisfazer os seguintes
postulados:
1. reflexiva: todo ângulo é congruente a si mesmo
(aôb ≅ aôb)
2. simétrica: se aôb ≅ côd, então côd ≅ aôb
3. transitiva: se aôb ≅ côd e côd ≅ eôf então
aôb ≅ eôf
https://www.infoescola.com/matematica/angulos/
Adição de ângulos
Se a semirreta OB é interna ao ângulo AÔC, o
ângulo AÔC é a soma dos ângulos AÔB e BÔC.
Assim:
AÔC = AÔB + BÔC
Bissetriz de um ângulo
A bissetriz de um ângulo é a semirreta que parte do
vértice do ângulo e o divide em dois ângulos
congruentes (iguais).
Formalmente falando, uma semirreta ob interna ao
ângulo aôc, é bissetriz desse ângulo se, e somente
se, aôb ≅ bôc.
Ângulos opostos pelo vértice
Dizemos que dois ângulos são opostos pelo vértice
se as semirretas que os formam partem do mesmo
vértice e são opostas aos lados do outro.
α=β
Medida de um ângulo - amplitude
A medida de um ângulo é um número real positivo
associado a ele, de forma que:
1. Ângulos congruentes têm medidas iguais e
ângulos iguais são congruentes.
2. Se um ângulo α é maior que um ângulo β, então
a medida de α será maior que a medida de β.
3. A soma de dois ou mais ângulos é a soma das
medidas de cada um desses ângulos.
Chamamos a medida de um ângulo de amplitude.
Unidades de medida de um ângulo
Grau (°)
A unidade principal de medida de um ângulo é o
grau (°).
1° (um grau) equivale a 1360 de uma circunferência,
ou seja, 1° corresponde a uma das 360 partes em que
uma circunferência foi dividida. Assim, uma
circunferência inteira possui 360°.
Minuto ( ‘ )
Quando queremos expressar medidas de ângulos
menores que 1°, utilizamos a medida minuto ( ‘ ).
Um minuto corresponde a 160 de um grau, ou seja, 1
minuto (1’) corresponde a uma das 60 partes em que
um ângulo de 1° foi dividido.
1′=1o60
https://www.infoescola.com/geometria-plana/circunferencia/
Um grau possui 60 minutos (1º = 60').
Segundo ( '' )
Quando queremos expressar medidas de ângulos
menores que 1°, utilizamos a medida segundo ( '' ).
Um segundo corresponde a 160 de um minuto, ou
seja, 1 segundo (1'') corresponde a uma das 60 partes
em que um ângulo de 1' foi dividido.
1′′=1′60
Um minuto possui 60 segundos (1' = 60'').
Grado
Esta medida não é muito usual.
Um grado corresponde a 910 de um grau, ou seja, 1
grado (1 gr) corresponde a 9 das 10 partes em que
um ângulo de 1° foi dividido.
Classificação de ângulos
Os ângulos podem ser classificados de acordo com a
sua medida.
Ângulo agudo: ângulo com medida menor que 90º
(0°
de
comprimento das dimensões sejam as mesmas.
Vários objetos possuem o formato de um
paralelepípedo, por exemplo, uma caixa, uma
piscina, um aquário entre outros.
Nos cálculos envolvendo volume precisamos
conhecer as unidades usuais de volume e sua
correspondência com as medidas de capacidade.
Observe as principais medidas:
1 m³ (metro cúbico) = 1000 L (litros)
1 dm³ (decímetro cúbico) = 1 L
1 cm³ (centímetro cúbico) = 1 mL (mililitro)
Exemplo 1
Um aquário possui o formato de um paralelepípedo
com as seguintes dimensões:
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Determine quantos litros de água são necessários
para encher o aquário.
V = comprimento x largura x altura
V = 50 cm x 20 cm x 15 cm
V = 15000 cm³ (centímetros cúbicos)
Como foi informado que 1 cm³ corresponde a 1 ml,
temos que 15000 cm³ é igual a 15000 ml ou 15
litros.
Exemplo 2
O degrau de uma escada lembra a forma de um
paralelepípedo com as seguintes dimensões: 1 m de
comprimento, 0,5 m de largura e 0,4 m de altura.
Determine o volume total de concreto gasto na
construção dessa escada sabendo que ela é
constituída de 20 degraus.
Volume do degrau
V = 1 m x 0,5 m x 0,4 m
V = 0,20 m³
Volume total da escada
0,20 x 20
4 m³ ou 4 mil litros de concreto.
Área do cilindro
Em um cilindro, consideramos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL)
Podemos observar a área lateral de um cilindro
fazendo a sua planificação:
Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h
e cujos raios dos círculos das bases são r é um
retângulo de dimensões :
b) área da base (AB): área do círculo de raio r.
c) área total (AT): soma da área lateral com as áreas
das bases.
Volume do cilindro
Para obter o volume do cilindro, vamos usar
novamente o princípio de Cavalieri. Dados dois
sólidos com mesma altura e um plano , se todo
plano , paralelo ao plano , intercepta os sólidos
e determina secções de mesma área, os sólidos têm
volumes iguais:
Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh.
Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e
de todo cilindro é o produto da área da base pela
medida de sua altura:
Vcilindro =
ABh
No caso do cilindro circular reto, a área da base é a
área do círculo de raio r: . Portanto, seu
volume é:
10. MATEMÁTICA FINANCEIRA:
PORCENTAGEM, JURO SIMPLES
O termo porcentagem é muito utilizado no
cotidiano, principalmente em situações ligadas à
Matemática Financeira, correção monetária,
investimentos, cálculo de juros, descontos,
determinação de valores de impostos entre outras
situações. Dado um número qualquer x, temos que
x% corresponde à razão centesimal x/100. O
símbolo % significa porcento ou divisão por cem.
Observe:
15% (quinze porcento) = 15/100 = 3/20 = 0,15
20% (vinte porcento) = 20/100 = 1/5 = 0,20
25% (vinte e cinco porcento) = 25/100 = 1/4 = 0,25
40% (quarenta porcento) = 40/100 = 2/5 = 0,40
120% (cento e vinte porcento) = 120/100 = 6/5 =
1,2
Um número que possui a característica de
porcentagem pode ser expresso das seguintes
formas: fração centesimal ou número decimal, a
forma ficará a critério do estudante.
Exemplo 1
Uma determinada loja de eletrodomésticos vende
seus produtos em até 10 vezes, incluído os juros. No
caso de pagamento à vista a loja oferece um
desconto de 15% sobre o preço da mercadoria. Na
compra à vista de uma geladeira que custa R$
1.200,00, qual o valor do desconto?
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15% = 15/100 = 3/20 = 0,15
Podemos resolver o problema de duas maneiras.
Observe:
Multiplicando o valor de R$1200 por 15 e depois
dividindo por 100.
1200 x 15/100 = 18000/100 = 180
Multiplicando o valor de R$1200 por 0,15.
1200 x 0,15 = 180
O desconto na compra à vista da geladeira é de R$
180,00, dessa forma, o preço seria de 1200 – 180 =
R$ 1.020,00.
Exemplo 2
O atraso no pagamento de qualquer imposto ou até
mesmo de prestações particulares gera multas que
são calculadas com base em índices percentuais,
regularizados pelos órgãos competentes. Qual o
valor de uma prestação de R$ 550,00 que foi paga
com atraso de 10 dias, sabendo que sobre o valor
deverá ser acrescentado 4% de multa?
4% = 4/100 = 1/25 = 0,04
Resolvendo de duas maneiras:
1º) 550 x 4/100 = 2200/100 = 22
2º) 550 x 0,04 = 22
O acréscimo em razão do atraso será de R$22,00,
portanto, a prestação passará de R$ 550,00 para R$
572,00.
Juros simples
O regime de juros será simples quando o percentual
de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre
os juros gerados a cada período não incidirão novos
juros. Valor principal ou simplesmente principal é o
valor inicial emprestado ou aplicado, antes de
somarmos os juros. Transformando em fórmula,
temos:
J = P . i . n
Onde:
J = juros
P = principal
(capital)
i = taxa de juros
n = número de
períodos
Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que
deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de
juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os
juros que pagarei serão:
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal, temos o
montante.
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + (Principal x Taxa de juros x
Número de períodos)
M = P . ( 1 + ( i . n ) )
Exemplo: Calcule o montante resultante da
aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a.
durante 145 dias.
SOLUÇÃO:
M = P . ( 1 + (i.n) )
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] =
R$72.960,42
Observe que expressamos a taxa i e o período n na
mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter
dividido 145 dias por 360, para obter o valor
equivalente em anos, já que um ano comercial
possui 360 dias.
Exercícios sobre juros simples:
1) Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13
% a.t. por 4 meses e 15 dias.
Se a taxa é 13% (ou seja, 0,13) ao trimestre, vamos
dividi-la por 6 para encontrar a taxa a cada 15 dias
(visto que um trimestre tem 6 períodos de 15 dias):
0.13 / 6 = 0.02167
Logo, para 4 meses e 15 dias, a taxa é 0.02167 x 9 =
0.195. Portanto:
J = 1200 x 0.195 = R$ 234,00
2) Calcular os juros simples produzidos por R$
40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante
125 dias.
Temos: J = P.i.n
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001
a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à
mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos
calcular diretamente:
J = 40000.0,001.125 = R$ 5.000,00
3) Qual o capital que aplicado a juros simples de
1,2% a.m. rende R$ 3.500,00 de juros em 75
dias?
Temos imediatamente:
J = P.i.n
3500 = P.(1,2/100).(75/30)
Observe que expressamos a taxa i e o período n em
relação à mesma unidade de tempo, meses. Logo,
3500 = P. 0,012 . 2,5
3500 = P . 0,030;
Daí, vem:
P = 3500 / 0,030 = R$ 116.666,67
4) Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano,
quantos meses serão necessários para dobrar um
capital aplicado através de capitalização simples?
Objetivo: M = 2.P
Dados: i = 150/100 = 1,5
Fórmula: M = P (1 + i.n)
Desenvolvimento:
2P = P (1 + 1,5 n)
2 = 1 + 1,5 n
n = 2/3 ano = 8 meses
11. ESTATÍSTICA: CÁLCULO DE MÉDIA
ARITMÉTICA SIMPLES E MÉDIA
ARITMÉTICA PONDERADA
A média aritmética ponderada é calculada
multiplicando cada valor do conjunto de dados pelo
seu peso.
Depois, encontra-se a soma desses valores que será
dividida pela soma dos pesos.
Fórmula
Onde,
Mp: Média aritmética ponderada
p1, p2,..., pn: pesos
x1, x2,...,xn: valores dos dados
Exemplo:
Considerando as notas e os respectivos pesos de
cada uma delas, indique qual a média que o aluno
obteve no curso.
Disciplina Nota Peso
Biologia 8,2 3
Filosofia 10,0 2
Disciplina Nota Peso
Física 9,5 4
Geografia 7,8 2
História 10,0 2
Língua Portuguesa 9,5
3
Matemática 6,7 4
www.todamateria.com.br
www.google.com.br/search?ei
http://www.todamateria.com.br/
http://www.google.com.br/search?ei
número
na reta numérica e sinalizá-lo com bola aberta.
Caso o subconjunto possua um ponto além de
suas extremidades, basta marcar esse ponto
com bola fechada.
Para melhor compreensão dessas regras e de
suas variações, observe os exemplos a seguir.
1º Exemplo: Intervalo [0, 5]
Perceba que os números 0 e 5 pertencem ao
intervalo, por isso foram marcados com uma
bola fechada.
2º Exemplo: Intervalo [–5, – 2[ ou [–5, –2).
Observe que números que não pertencem ao
intervalo são representados com uma bola
aberta.
3º Exemplo: Nesse exemplo, observe que é
possível excluir pontos dentro do intervalo e
adicionar pontos fora dele.
EXERCÍCIOS - CONJUNTOS NUMÉRICOS
P1) Que restos pode dar na divisão por 5, um
número que não seja divisível por 5 ?
P2) Qual o menor número que se deve somar a
4831 para que resulte um número divisível por
3 ?
P3) Qual o menor número que se deve somar a
12318 para que resulte um número divisível por
5 ?
P4) Numa caixa existem menos de 60 bolinhas.
Se elas forem contadas de 9 em 9 não sobra
nenhuma e se forem contadas de 11 em 11
sobra uma. Quantas são as bolinhas?
P5) O conjunto A é formado por todos os
divisores de 10 ou 15 ; então podemos afirmar
que o conjunto A tem :
a) 5 elementos b) 6 elementos
c) 7 elementos d) 8 elementos
P6) Qual o menor número pelo qual se deve
multiplicar 1080 para se obter um número
divisível por 252?
P7) Qual o menor número pelo qual se deve
multiplicar 2205 para se obter um número
divisível por 1050?
P8) Assinalar a alternativa correta.
a) O número 1 é múltiplo de todos os números
primos
b) Todo número primo é divisível por 1
c) Às vezes um número primo não tem divisor
d) Dois números primos entre si não tem
nenhum divisor
P9) Assinalar a alternativa falsa:
a) O zero tem infinitos divisores
b) Há números que tem somente dois
divisores: são os primos;
c) O número 1 tem apenas um divisor: ele
mesmo;
d) O maior divisor de um número é ele próprio
e o menor é zero.
P10) Para se saber se um número natural é
primo não:
a) Multiplica-se esse número pelos sucessivos
números primos;
b) Divide-se esse número pelos sucessivos
números primos;
c) Soma-se esse número aos sucessivos
números primos;
d) Diminuí-se esse número dos sucessivos
números primos.
P11) Determinar o número de divisores de 270.
P12) Calcule o valor das expressões abaixo:
a) (12 - 6) + (14 - 10) x 2 - (3 + 7)
b) 103 - [ 23 + (29 - 3 x 5) ] + 14 x 2
c) 22 - { 14 + [ 2 x 10 - (2 x 7 - 3) - (2 + 4) ] } + 7
d) [ 60 - (31 - 6) x 2 + 15] ¸ [ 3 + (12 - 5 x 2) ]
e) [150 ¸ (20 - 3 x 5) + 15 x (9 + 4 x 5 x 5) ] ¸ 5 +
12 x 2
f) ( 4 + 3 x 15) x ( 16 - 22 ¸ 11) - 4 x [16 - (8 +
4 x 1) ¸ 4] ¸ 13
P13) Calcular os dois menores números pelos
quais devemos dividir 180 e 204, a fim de que
os quocientes sejam iguais.
a) 15 e 17 b) 16 e 18
c) 14 e 18 d) 12 e16
P14) Deseja-se dividir três peças de fazenda
que medem, respectivamente, 90, 108 e 144
metros, em partes iguais e do máximo tamanho
possível.
Determinar então, o número das partes de
cada peça e os comprimentos de cada uma.
9, 8, 6 partes de 18 metros
8, 6, 5 partes de 18 metros
9, 7, 6 partes de 18 metros
10, 8, 4 partes de 18 metros
e) e) e)
P15) Quer-se circundar de árvores, plantadas à
máxima distância comum, um terreno de forma
quadrilátera. Quantas árvores são necessárias,
se os lados do terreno tem 3150,1980, 1512 e
1890 metros?
a) 562 árvores b) 528 árvores
c) 474 árvores d) 436 árvores
P16) Numa república, o Presidente deve
permanecer 4 anos em seu cargo, os
senadores 6 anos e os deputados 3 anos. Em
1929 houve eleições para os três cargos, em
que ano deverão ser realizadas novamente
eleições para esses cargos?
P17) Duas rodas de engrenagens tem 14 e 21
dentes respectivamente. Cada roda tem um
dente esmagador. Se em um instante estão em
contato os dois dentes esmagadores, depois
de quantas voltas repete-se novamente o
encontro?
P18) Dois ciclistas percorrem uma pista circular
no mesmo sentido. O primeiro percorre em 36
segundos, e o segundo em 30 segundos.
Tendo os ciclistas partido juntos, pergunta-se;
depois de quanto tempo se encontrarão
novamente no ponto de partida e quantas
voltas darão cada um?
P19) Uma engrenagem com dois discos
dentados tem respectivamente 60 e 75 dentes,
sendo que os dentes são todos numerados. Se
num determinado momento o dento nº 10 de
cada roda estão juntos, após quantas voltas da
maior, estes dentes estarão juntos novamente?
P20) Sabendo-se que o M.M.C. entre dois
números é o produto deles, podemos afirmar
que:
a) os números são primos
b) eles são divisíveis entre si
c) os números são primos entre si
d) os números são ímpares
P21) Da estação rodoviária de São Paulo
partem para Santos, ônibus a cada 8 minutos;
para Campinas a cada 20 minutos e para
Taubaté a cada 30 minutos. Às 7 horas da
manhã partiram três ônibus para essas
cidades. Pergunta-se: a que horas do dia, até
às 18 horas haverá partidas simultâneas?
P22) No aeroporto de Santos Dumont partem
aviões para São Paulo a cada 20 minutos, para
o Sul do país a cada 40 minutos e para Brasília
a cada 100 minutos; às 8 horas da manhã á um
embarque simultâneo para partida. Quais são
as outras horas, quando os embarques
coincidem até as 18 horas.
P23) Para ladrilhar 5/7 de um pátio
empregando-se 46.360 ladrilhos. Quantos
ladrilhos iguais serão necessários para ladrilhar
3/8 do mesmo pátio?
P24) A soma de dois números é 120. O menor é
2/3 do maior. Quais são os números?
P25) Sueli trabalha após as aulas numa loja de
fazendas. Uma tarde recebeu uma peça de
linho de 45 metros para vender. Nesta mesma
tarde vendeu 3/5 da peça, depois 1/3 do que
sobrou. Quantos metros restaram por vender?
P26) Uma senhora repartiu R$273,00 entre
seus três filhos. O primeiro recebeu 3/4 do que
tocou ao segundo e este, 2/3 do que tocou ao
terceiro. Quanto recebeu cada um ?
P27) Um negociante vendeu uma peça de
fazenda a três fregueses. O primeiro comprou
1/3 da peça e mais 10 metros. O segundo
comprou 1/5 da peça e mais 12 metros e o
terceiro comprou os 20 metros restantes.
Quantos metros tinha a peça ?
P28) Dois amigos desejam comprar um terreno.
Um deles tem 1/5 do valor e outro, 1/7.
Juntando ao que possuem R$276.000,00,
poderiam comprar o terreno. Qual o preço do
terreno ?
P29) Paulo gastou 1/3 da quantia que possuía
e, em seguida, 3/5 do resto. Ficou com
R$80,00. Quanto possuía?
P30) Qual é o número que multiplicado por 1/5
dá 7 3/4?
P31) Um alpinista percorre 2/7 de uma
montanha e em seguida mais 3/5 do restante.
Quanto falta para atingir o cume?
P32) Qual é o número que aumenta 1/8 de seu
valor quando se acrescentam 3 unidades?
P33) Um trem percorre 1/6 do caminho entre
duas cidades em 1 hora e 30 minutos. Quanto
tempo leva de uma cidade a outra uma viagem
de trem?
P34) Lia comeu 21/42 de uma maçã e Léa
comeu 37/74 dessa mesma maçã. Qual das
duas comeu mais e quanto sobrou?
P35) Dividindo os 2/5 de certo número por 2/7
dá para quociente 49. Qual é esse número?
P36) Um pacote com 27 balas é dividido
igualmente entre três meninos. Quantas balas
couberam a cada um, se o primeiro deu 1/3 do
que recebeu ao segundo e o segundo deu ½
do que possuía ao terceiro?
P37) Uma herança de R$70.000,00 é distribuída
entre três herdeiros. O primeiro recebe ½, o
segundo 1/5 e o terceiro o restante. Qual
recebeu a maior quantia?
P38) Uma torneira leva sete horas para encher
um tanque. Em quanto tempo enche 3/7 desse
tanque?
P39) R$120,00 são distribuídos entre cinco
pobres. O primeiro recebe ½, o segundo 1/5 do
que recebeu o primeiro e os restantes recebem
partes iguais. Quanto recebeu cada pobre?
P40) Em um combate morrem 2/9 de um
exército, em novo combate morrem mais 1/7 do
que restou e ainda sobram 30.000 homens.
Quantos soldados estavam lutando?
P41) 2/5 dos 3/7 de um pomar são laranjeiras;
4/5 dos ¾ são pereiras; há ainda mais 24
árvores diversas. Quantas árvores há no
pomar?
P42) Um corredor depois de ter decorrido os 3/7
de uma estrada faz mais cinco quilômetros e
assim corre 2/3 do percurso que deve fazer.
Quanto percorreu o corredor e qual o total do
percurso, em quilômetros?
P43) Efetuar as adições:
1º) 12,1 + 0,0039 + 1,98
2º) 432,391 + 0,01 + 8 + 22,39
P44) Efetuar as subtrações:
1º) 6,03 - 2,9456
2º) 1 - 0,34781
P45) Efetuar as multiplicações
1º) 4,31 x 0,012
2º) 1,2 x 0,021 x 4
P46) Calcular os seguintes quocientes
aproximados por falta.
1º) 56 por 17 a menos de 0,01
2º) 3,9 por 2,5 a menos de 0,1
3º) 5 por 7 a menos de 0,001
P47) Em uma prova de 40 questões, Luciana
acertou 34. Nestas condições:
Escreva a representação decimal do número de
acertos;
Transformar numa fração decimal;
Escreva em % o número de acertos de Luciana.
d) d) d)
P48) Calcular o valor da seguinte expressão
numérica lembrando a ordem das operações:
0,5 + ( 0,05 ¸ 0,005).
P49) Quando o professor pediu a Toninho que
escrevesse a fração decimal que representa o
número 0,081 na forma de fração decimal,
Toninho escreveu ; Ele acertou ou errou a
resposta.
P50) Dentre os números 2,3; 2,03; 2,030; 2,003
e 2,0300, quais tem o mesmo valor ?
P51) É correto afirmar que dividir 804 por 4 e
multiplicar o resultado por 3 dá o mesmo
resultado que multiplicar 804 por 0,75?
P52) Um número x é dado por x = 7,344 ¸ 2,4.
Calcule o valor de 4 - x .
P53) Uma indústria A, vende suco de laranja em
embalagem de 1,5 litro que custa R$ 7,50.
10
81
Uma indústria B vende o mesmo suco em
embalagem de 0,8 litro que custa R$ 5,40.
Qual das duas vende o suco mais barato?
P54) Em certo dia, no final do expediente para
o público, a fila única de clientes de um banco,
tem um comprimento de 9 metros em média, e
a distância entre duas pessoas na fila é 0,45m.
Responder:
a) Quantas pessoas estão na fila?
b) Se cada pessoa, leva em média 4 minutos
para ser atendida, em quanto tempo serão
atendidas todas as pessoas que estão na fila?
GABARITO - CONJUNTOS NUMÉRICOS
P1) 1,2,3,4
P2) 2
P3) 2
P4) 45
P5) B
P6) 7
P7) 10
P8) B
P9) D
P10) B
P11) 16
P12) a) 4 b) 94 c) 12 d) 5 e) 357
f) 682
P13) A
P14) B
P15) C
P16) 1941
P17) Duas voltas da menor ou três voltas da
menor
P18) Os ciclistas se encontraram depois de
180 segundos
P19) Após 4 voltas
P20) C
P21) 9h; 11h; 13h; 15h; 17h
P22) 11h e 20min; 11h e 40min; 18h
P23) 24.339
P24) 72 e 48
P25) 12 metros
P26) R$63,00 ; R$84,00 ; R$126,00
P27) 90 metros
P28) R$420.000,00
P29) R$300,00
P30) 155/4
P31) 2/7
P32) 24
P33) 9 h
P34) Cada comeu ½ e não sobrou nada
P35) 35
P36) 6,6,15
P37) R$35.000,00
P38) 3horas
P39) 1º- R$60,00 , 2º- R$12,00 ,
3º 4º e 5º R$16,00
P40) 45.000
P41) 105
P42) 14 quilômetros e 21 quilômetros
P43) 1º) 14,0839; 2º) 462,791
P44) 1º) 3,0844; 2º) 0,65219;
P45) 1º) 0,05172; 2º) 0,1008;
P46) 1º) 3,29; 2º) 1,5; 3º) 0,714;
P47) a) 0,85 b) c) 85%
P48) 0,05
P49) Errou, a resposta é 81/1000
P50) 2,03; 2,030 e 2,0300
P51) Nos dois casos é correto afirmar, pois o
resultado é 603
P52) 13,6256
P53) a indústria A
P54) a) 20 pessoas b) 80 minutos.
Operações com números racionais
Adição e Subtração
Para simplificar a escrita, transformamos a
adição e subtração em somas algébricas.
Eliminamos os parenteses e escrevemos os
números um ao lado do outro, da mesma forma
como fazemos com os números inteiros.
Exemplo 1: Qual é a soma:
Exemplo 2: Calcule o valor da expressão
1º caso
Quando não ocorrer a presença de parênteses
nas operações, devemos proceder da seguinte
maneira:
Quando os sinais dos números são iguais,
devemos adicionar mantendo o sinal dos
números.
+ 9 + 9 = + 18
100
85
–1 – 1 = – 2
+ 4 + 6 = +10
–7 – 8 = – 15
– 9 – 10 = – 19
+ 15 + 16 = + 31
+ 64 + 6 = + 70
– 54 – 34 = – 88
Quando os sinais são diferentes, devemos
subtrair os números mantendo o sinal do
número de maior módulo.
– 4 + 6 = + 2
– 10 + 5 = – 5
– 20 + 36 = + 16
– 60 + 80 = + 20
– 21 + 5 = – 16
– 91 + 10 = – 81
– 100 + 12 = – 88
+ 15 – 30 = – 15
2º caso
Caso ocorra a presença de parênteses nas
operações entre os números inteiros, devemos
eliminá-los, utilizando o jogo do sinal.
(–8) + (–2) + (–7)
– 8 – 2 – 7
– 17
(+81) + (–12) – (+ 7)
+ 81 – 12 – 7
+ 81 – 19
+ 62
Multiplicação e divisão
Na multiplicação de números racionais,
devemos multiplicar numerador por numerador,
e denominador por denominador, assim como
é mostrado nos exemplos abaixo:
A multiplicação é uma operação que vêm da
soma, sendo utilizada quando possuímos
parcelas repedidas na adição. Veja:
12 + 12 + 12 = 36 (Operação de adição)
12 x 3 = 36 (Operação de multiplicação)
Observe que o resultado na soma e na
multiplicação são iguais, isso acontece porque
quando multiplicamos termos numéricos, um
valor representa o número que se quer somar e
o outro representa a repetição desse número
que foi somado.
Existem alguns truques que possibilitam a
realização do cálculo da multiplicação de
forma rápida. Veja estas 5 dicas:
Primeira Dica: Multiplicando números
terminados em 0
Para multiplicar números terminados em zero
devemos conservar o algarismo que compõe o
número que tem zero e multiplicar esse
algarismo pelo outro número que não possui
zero. No final, adicionamos o zero retirado
depois do último algarismo que compõe o
resultado da multiplicação. Veja:
23 x 10 = (23 x 1) = 23 → Acrescente o zero
retirado depois do último algarismo 23 → 230
35 x 30 = (35 x 3) = 105 → Acrescente o zero
retirado depois do último algarismo 105 →
1050
12 x 200 = (12 x 2) = 24 → Acrescente os dois
zeros retirados depois do último algarismo 24
→ 2400
Segunda Dica: Multiplicando por 9.
Para multiplicar um número por nove devemos
acrescentar um 0 no número que não é 9, em
seguida subtraímos desse valor o valor inicial.
85 x 9 = ?
850 → Acrescente 0 no número 85.
850 – 85 = 765 → Subtraímos de 850 o valor
inicial que é 85.
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Sendo assim: 85 x 9 = 765
186 x 9 = ?
1860 → Acrescente 0 no número 186.
1860 – 186 = 1674 → Subtraímos de 1860 o
valor inicial que é 186.
Sendo assim: 186 x 9 = 1674
Terceira Dica: Multiplicando por 15.
Adicione ao número que é diferente de quinze
a sua metade e multiplique a soma obtida por
10.
32 x 15 = ?
A metade de 32 é 16.
Some 32 com 16 → 32 + 16 = 48.
Multiplique 48 por 10 → 48 x 10 = 480
32 x 15 = (32 + 16) x 10 = 480
Sendo assim, 32 x 15 = 480
286 x 15 = ?
A metade de 286 é 143
Some 286 com 143 → 286 + 143 = 429
Multiplique 429 por 10 → 429 x 10 = 4290
286 x 15= (286 + 143) x 10 = 4290
Sendo assim: 286 x 15 = 4290
Quarta Dica: Multiplicando por 10
Na multiplicação por 10, basta deslocar a
vírgula uma casa para a direita.
2569 x 10 = ?
A vírgula está depois do algarismo 9 → 2569,0
Devemos deslocar a vírgula uma casa para a
direita → 25690,0
Sendo assim: 2569 x 10 = 25690
276 x 10 = ?
A vírgula está depois do algarismo 6 → 276,0
Devemos deslocar a vírgula uma casa para a
direita → 2760,0
Sendo assim: 276 x 10 = 2760
NA DIVISÃO de números racionais, devemos
multiplicar a primeira fração pelo inverso da
segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:
A divisão é uma das quatro operações básicas
da matemática, juntamente à adição, subtração
e multiplicação. Essa operação é temida por
ser a mais difícil das quatro, porém, talvez, só
possua um algoritmo muito diferente das
outras.
Para apresentarmos o algoritmo da divisão,
devemos relembrar os elementos que
compõem uma divisão e, por consequência,
compõem também o seu algoritmo. São eles:
Dividendo (D): Número que será dividido.
Divisor
(d): número que divide.
Quociente (q): resultado da divisão.
Resto (r): algumas vezes, finalizada a
divisão, sobra uma quantidade que não
pode ser dividida. Essa quantidade recebe o
nome de resto.
A partir desses elementos, a divisão será
definida da seguinte maneira:
D = d·q + r
Para resolver a divisão D:d, procuramos um
número q que, multiplicado por d, tenha D
como resultado ou um número muito
próximo a D. O resto r forma-se pelo
resultado da subtração D – d·q.
Essa estratégia é utilizada para dividir números
próximos aos presentes nas tabuadas de
multiplicação de 1 a 10. Por exemplo, ao
realizar a divisão 80:9, procuramos um número
(q) que, multiplicado por 9, tenha como
resultado 80 (ou próximo a 80). Sabendo que
9·8 = 72, realizamos a subtração 80 – 72 = 8 e,
assim, estamos de posse de todos os
elementos que constituem uma divisão.
Observe:
D = d·q + r
80 = 9·8 + 8
O algoritmo da divisão é um método prático
para realizar divisões algarismo a
algarismo, assim como são realizadas as
adições, subtrações e multiplicações. Esse
algoritmo é comumente chamado de
“método da chave” e é definido da seguinte
maneira:
D | d
r q
Da mesma maneira, procuramos um número
q que, multiplicado por d, tenha como
resultado D. Se não for possível,
encontramos um valor aproximado a D e
escrevemos todos esses valores nas
posições descritas pelo esquema acima.
Esse esquema contribui para que a divisão
seja realizada de forma prática, algarismo a
algarismo. Por exemplo, para dividir 962 por 2
utilizando o método da chave, escreveremos:
Potenciação e radiciação
Na potenciação, quando elevamos um número
racional a um determinado expoente, estamos
elevando o numerador e o denominador a esse
expoente, conforme os exemplos abaixo:
POTÊNCIA
Podemos dizer que potenciação representa
uma multiplicação de fatores iguais, se temos a
seguinte multiplicação: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2,
podemos representá-la usando a potência 26,
onde 2 é a base e 6 o expoente (Leia: dois
elevado a sexta potência).
O expoente possui um papel fundamental na
potenciação, pois ele é quem define quantas
vezes a base será multiplicada por ela mesma.
Observe:
26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
42 = 4 x 4 = 16
53 = 5 x 5 x 5 = 125
102 = 10 x 10 = 100
122 = 12 x 12 = 144
35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
63 = 6 x 6 x 6 = 216
Casos de potenciação
Todo número diferente de zero e elevado a
zero é um.
20 = 1
30 = 1
100 = 1
40 = 1
1250 = 1
Todo número diferente de zero e elevado a um
é o próprio número.
21 = 2
31 = 3
151 = 15
201 = 20
121 = 12
Base zero e qualquer número no expoente, o
resultado será zero.
05 = 0
012 = 0
0100 = 0
07 = 0
025 = 0
Base negativa e expoente ímpar, resultado
negativo.
(-3)3 = (-3) x (-3) x (-3) = -27
(-4)5 = (-4) x (-4) x (-4) x (-4) x (-4) = -1024
(-2)7 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) =
-128
Base negativa e expoente par, resultado
positivo.
(-2)4 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = + 16
(-6)2 = (-6) x (-6) = + 36
(-7)2 = (-7) x (-7) = + 49
Base é um número racional (fração): devemos
elevar ao expoente indicado o numerador e o
denominador da fração.
Quando o expoente é um número negativo:
invertemos a base e mudamos o sinal do
expoente para positivo.
Uma importante aplicação de potenciação é a
notação científica, usada para expressar
valores muito grandes ou muito pequenos. A
notação é usada por cientistas, como
astrônomos, físicos, biólogos, químicos entre
outros.
Exemplos:
6 120 000, podemos representá-lo usando a
seguinte notação decimal 6,12 * 106
0,00012, pode ser representado por 1,2 * 10-4.
NA RADICIAÇÃO, quando aplicamos a raiz
quadrada a um número racional, estamos
aplicando essa raiz ao numerador e ao
denominador, conforme o exemplo abaixo:
A radiciação é a operação inversa à
potenciação. Podemos resolvê-la utilizando a
fatoração.
Você sabe qual é a raiz quadrada de 4?
Você já ouviu falar em números quadrados
perfeitos? Os quadrados perfeitos são o
resultado da multiplicação de qualquer número
por ele mesmo. Por exemplo, o 9 é um
quadrado perfeito, pois ele é o resultado de 3 x
3 ou, melhor ainda, porque ele é o resultado da
potência 32 (lê-se três elevado a dois ou três ao
quadrado).
Nós temos uma forma mais usual de
representar um número que é tido como
quadrado perfeito. Para representá-lo, nós
utilizamos a raiz quadrada. Por exemplo, se
procuramos a “raiz quadrada de 4”,
pretendemos descobrir qual é o número que,
ao quadrado (o número multiplicado por si
mesmo), resulta em 4. Facilmente podemos
dizer que o número que procuramos é o 2, pois
22 = 4. Por essa razão, dizemos que a
radiciação é a operação inversa à
potenciação. Vejamos como representar uma
raiz quadrada:
Os elementos que compõem a radiciação são o
radical, o índice, o radicando e a raiz
O radical (símbolo em vermelho) indica que se
trata de uma radiciação, e o índice caracteriza
a operação, isto é, o tipo de raiz que estamos
trabalhando. Em geral, o radicando é o
número sobre o qual somos questionados, e a
raiz é o resultado.
Nesse exemplo, estamos procurando a raiz
quadrada de 4, isto é, queremos saber qual é o
número que multiplicado por ele mesmo resulta
em quatro. Facilmente podemos concluir que
esse número é o 2, pois 22 = 4.
Mas e se por acaso quisermos saber qual é o
número que multiplicado por si mesmo 3 vezes
resulta em 8? Precisamos então procurar o
número que, ao cubo, resulta em 8, isto é:
? 3 = 8
? x ? x ? = 8
Esse exemplo já exige um pouco mais de
raciocínio. Mas podemos afirmar que o número
que ocupa o lugar dos quadradinhos é o 2, pois
23 = 2 x 2 x 2 = 8. Veja que acabamos de
trabalhar com uma raiz cúbica, pois o índice da
raiz é três. Sua representação é:
3√8 = 2, pois 23 = 2 x 2 x 2 = 8
MÚLTIPLOS E DIVISORES
Múltiplos e divisores são números que
resultam da multiplicação por um número
natural e que dividem um número deixando
resto zero, respectivamente.
Os múltiplos e divisores de um número estão
relacionados entre si da seguinte forma:
Se 15 é divisível por 3, então 3 é divisor de 15,
assim, 15 é múltiplo de 3.
Se 8 é divisível por 2, então 2 é divisor de 8,
assim, 8 é múltiplo de 2.
Se 20 é divisível por 5, então 5 é divisor de 20,
assim, 20 é múltiplo de 5.
Múltiplos de um número natural
Denominamos múltiplo de um número o
produto desse número por um número natural
qualquer. Um bom exemplo de números
múltiplos é encontrado na tradicional tabuada.
Múltiplos de 2 (tabuada da multiplicação do
número 2)
2 x 0 = 0
2 x 1 = 2
2 x 2 = 4
2 x 3 = 6
2 x 4 = 8
2 x 5 = 10
2 x 6 = 12
2 x 7 = 14
2 x 8 = 16
2 x 9 = 18
2 x 10 = 20
É assim sucessivamente.
Múltiplos de 3 (tabuada da multiplicação do
número 3)
3 x 0 = 0
3 x 1 = 3
3 x 2 = 6
3 x 3 = 9
3 x 4 = 12
3 x 5 = 15
3 x 6 = 18
3 x 7 = 21
3 x 8 = 24
3 x 9 = 27
3 x 10 = 30
É assim sucessivamente.
Portanto, os múltiplo de 2 são: 0, 2, 4, 6, 8, 10,
12, 14, 18, 20, ...
NÚMEROS PRIMOS
Números primos são os números naturais que
têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e
ele mesmo.
Exemplos:
1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é
um número primo.
2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto
17 é um número primo.
3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10
não é um número primo.
Observações:
1 não é um número primo, porque ele tem
apenas um divisor que é ele mesmo.
2 é o único número primo que é par.
Os números que têm mais de dois divisores
são chamados números compostos.
Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15
é um número composto.
Reconhecimento de um número primo
Para saber se um número é primo, dividimos
esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7,
11, etc, até que tenhamos:
- ou uma divisão com resto zero (e neste caso
o número não é primo),
- ou uma divisão com quociente menor que o
divisor e o resto diferente de zero.
Neste caso
o número é primo.
Exemplos:
1) O número 161:
não é par, portanto não é divisível por 2;
1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
não termina em 0 nem em 5, portanto não é
divisível por 5;
por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo
161 é divisível por 7, e portanto não é um
número primo.
2) O número 113:
não é par, portanto não é divisível por 2;
1+1+3 = 5, portanto não é divisível por
3;
não termina em 0 nem em 5, portanto
não é divisível por 5;
por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O
quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).
por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O
quociente (10) é menor que o divisor (11), e
além disso o resto é diferente de zero (o resto
vale 3), portanto 113 é um número primo.
Decomposição em fatores primos
Todo número natural, maior que 1, pode ser
decomposto em um produto de dois ou mais
fatores.
Decomposição do número 24 em um produto:
24 = 4 x 6
24 = 2 x 2 x 6
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
No produto 2 x 2 x 2 x 3, todos os fatores são
primos.
Chamamos de fatoração de 24 a
decomposição de 24 em um produto de fatores
primos. Então a fatoração de 24 é 23 x 3.
De um modo geral, chamamos de fatoração
de um número natural, maior
que 1, a sua decomposição em um produto de
fatores primos.
Regra prática para a fatoração
Existe um dispositivo prático para fatorar um
número. Acompanhe, no exemplo, os passos
para montar esse dispositivo:
1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor
primo;
2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo
menor divisor primo desse quociente e assim
sucessivamente até obter o quociente 1.
A figura mostra a fatoração do número 630.
Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.
630 = 2 x 32 x 5 x 7.
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
O mínimo múltiplo comum (MMC)
corresponde ao menor número inteiro positivo,
diferente de zero, que é múltiplo ao mesmo
tempo de dois ou mais números.
Lembre-se que para encontrar os múltiplos de
um número, basta multiplicar esse número pela
sequência dos números naturais.
Note que o zero (0) é múltiplo de todos os
números naturais e que os múltiplos de um
número são infinitos.
Para saber se um número é múltiplo de um
outro, devemos descobrir se um é divisível pelo
outro.
Por exemplo, 25 é múltiplo de 5, pois ele é
divisível por 5.
Obs: Além do MMC, temos o MDC que
corresponde ao máximo divisor comum entre
dois números inteiros.
Como Calcular o MMC?
O cálculo do MMC, pode ser feito, através da
comparação da tabuada desses números. Por
exemplo, vamos descobrir o MMC de 2 e 3.
Para isso, vamos comparar a tabuada de 2 e 3:
Note que o menor múltiplo em comum é o
número 6. Portanto, dizemos que o 6 é o
mínimo múltiplo comum (MMC) de 2 e 3.
Essa forma de encontrar o MMC é bem direta,
mas quando temos números maiores ou mais
de dois números, não é muito prática.
Para essas situações, o melhor é usar o
método da fatoração, ou seja, decompor os
números em fatores primos. Acompanhe, no
exemplo abaixo, como calcular o MMC entre 12
e 45 usando esse método:
https://www.todamateria.com.br/tabuada/
https://www.todamateria.com.br/fatoracao/
Observe que nesse processo vamos dividindo
os elementos pelos números primos, ou seja,
aqueles números naturais divisíveis por 1 e por
ele mesmo: 2, 3, 5, 7, 11, 17, 19...
No final, multiplicam-se os números primos que
foram utilizados na fatoração e encontramos o
MMC.
Mínimo Múltiplo Comum e Frações
O mínimo múltiplo comum (MMC) é também
muito utilizado em operações com frações.
Sabemos que para somar ou subtrair frações é
necessário que os denominadores sejam
iguais.
Assim, calculamos o MMC entre os
denominadores, e este passará a ser o novo
denominador das frações.
Vejamos abaixo um exemplo:
Como os denominadores são diferentes, o
primeiro passo é encontrar o MMC entre 5 e 6.
Fatorando, temos:
Agora que já sabemos que o MMC entre 5 e 6
é 30, podemos efetuar a soma, fazendo as
seguintes operações, conforme indicado no
diagrama abaixo:
Propriedades do MMC
Entre dois números primos, o MMC será o
produto entre eles.
Entre dois números em que o maior é divisível
pelo menor, o MMC será o maior deles.
Ao multiplicar ou dividir dois números por um
outro diferente de zero, o MMC aparece
multiplicado ou dividido por esse outro.
Ao dividir o MMC de dois números pelo
máximo divisor comum (MDC) entre eles, o
resultado obtido é igual ao produto de dois
números primos entre si.
Ao multiplicar o MMC de dois números pelo
máximo divisor comum (MDC) entre eles, o
resultado obtido é o produto desses números.
Questões Resolvidas
1) Aprendiz de Marinheiro - 2016
Seja A = 120, B = 160, x = mmc (A,B) e y =
mdc (A,B), então o valor de x + y é igual a:
a) 460
b) 480
c) 500
d) 520
e) 540
Para encontrar o valor da soma de x com y, é
necessário primeiro encontrar esses valores.
Desta forma, vamos fatorar os números em
fatores primos e depois calcular o mmc e o
mdc entre os números dados.
https://www.todamateria.com.br/numeros-primos/
Agora que já conhecemos o valor de x (mmc) e
de y (mdc), podemos encontrar a soma:
x + y = 480 + 40 = 520
Alternativa: d) 520
2) Unicamp - 2015
A tabela abaixo informa alguns valores
nutricionais para a mesma quantidade de dois
alimentos, A e B.
Considere duas porções isocalóricas (de
mesmo valor energético) dos alimentos A e B.
A razão entre a quantidade de proteína em A e
a quantidade de proteína em B é igual a
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
Para encontrar porções isocalóricas dos
alimentos A e B, vamos calcular o mmc entre
os valores energéticos respectivos.
Então, devemos considerar a quantidade
necessária de cada alimento para obter o valor
calórico.
Considerando o alimento A, para ter um valor
calórico de 240 Kcal é necessário multiplicar as
calorias iniciais por 4 ( 60 . 4 = 240). Já para o
alimento B, é necessário multiplicar por 3 (80 .
3 = 240).
Assim, a quantidade de proteína do alimento A
será multiplicada por 4 e a do alimento B por 3:
Alimento A : 6 . 4 = 24 g
Alimento B : 1 . 3 = 3 g
Desta forma, temos que a razão entre essas
quantidades será dada por:
Alternativa: c) 8
3) UERJ - 2015
Na tabela abaixo, estão indicadas três
possibilidades de arrumar n cadernos em
pacotes:
Se n é menor do que 1200, a soma dos
algarismos do maior valor de n é:
a) 12
b) 17
c) 21
d) 26
Considerando os valores informados na tabela,
temos as seguintes relações:
n = 12 . x + 11
n = 20 . y + 19
n = 18 . z + 17
Note que se somássemos 1 livro ao valor de n,
deixaríamos de ter resto nas três situações,
pois formaríamos mais um pacote:
n+ 1 = 12 . x + 12
n+ 1 = 20 . x + 20
n+ 1 = 18 . x + 18
Sendo assim, n + 1 é múltiplo comum de 12, 18
e 20, então, se encontrarmos o mmc (que é o
menor múltiplo comum), podemos, a partir daí,
encontrar o valor de n+1.
Calculando o mmc:
Então, o menor valor de n + 1 será 180.
Entretanto, queremos encontrar o maior valor
de n menor que 1200. Assim, vamos procurar
um múltiplo que satisfaça essas condições.
Para isso, vamos multiplicar o 180 até
encontrar o valor desejado:
180 . 2 = 360
180 . 3 = 540
180 . 4 = 720
180 . 5 = 900
180 . 6 = 1 080
180 . 7 = 1 260 (esse valor é maior que 1 200)
Portanto, podemos calcular o valor de n:
n + 1 = 1 080
n = 1080 - 1
n = 1079
Sendo que a soma dos seus algarismos será
dada por:
1 + 0 + 7 + 9 = 17
Alternativa: b) 17
4) Enem - 2015
Um arquiteto está reformando uma casa. De
modo a contribuir com o meio ambiente, decide
reaproveitar tábuas de madeira retiradas da
casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30
de 810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma
largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro
que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo
comprimento, sem deixar sobras, e de modo
que as novas peças ficassem com o maior
tamanho possível, mas de comprimento menor
que 2 m.
Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro
deverá produzir
a) 105 peças.
b) 120 peças.
c) 210 peças.
d) 243 peças.
e) 420 peças.
Como é pedido que as peças tenham o mesmo
comprimento e o maior tamanho possível,
vamos calcular o mdc (máximo divisor comum).
Vamos calcular o mdc entre 540, 810 e 1080:
Entretanto, o valor encontrado não poderá ser
usado, pois existe a restrição do comprimento
ser menor que 2 m.
Assim, vamos dividir 2,7 por 2, pois o valor
encontrado também será um divisor comum de
540, 810 e 1080, visto que o 2 é o menor fator
primo em comum desses números.
Então, o comprimento de cada peça será igual
a 1,35 m (2,7 : 2). Agora, precisamos calcular
quantas peças teremos de cada tábua. Para
isso, faremos:
5,40 : 1,35 = 4 peças
8,10 : 1,35 = 6 peças
10,80 : 1,35 = 8 peças
Considerando a quantidade de cada tábua e
somando, temos:
40 . 4 + 30 . 6 + 10 . 8 = 160 + 180 + 80 = 420
peças
Alternativa: e) 420 peças
5) Enem - 2015
O gerente de um cinema fornece anualmente
ingressos gratuitos para escolas. Este ano
serão distribuídos 400 ingressos para uma
sessão vespertina e 320 ingressos para uma
sessão noturna de um mesmo filme. Várias
escolas podem ser escolhidas para receberem
ingressos. Há alguns critérios para a
distribuição dos ingressos:
1. cada escola deverá receber ingressos
para uma única sessão;
2. todas as escolas contempladas deverão
receber o mesmo número de ingressos;
3. não haverá sobra de ingressos (ou seja,
todos os ingressos serão distribuídos).
O número mínimo de escolas que podem ser
escolhidas para obter ingressos, segundo os
critérios estabelecidos, é
a) 2.
b) 4.
c) 9.
d) 40.
e) 80.
Para descobrir o número mínimo de escolas,
precisamos conhecer o número máximo de
ingressos que cada escola poderá receber,
considerando que este número deverá ser igual
nas duas sessões.
Desta maneira, iremos calcular o mdc entre
400 e 320:
O valor do mdc encontrado representa o maior
número de ingressos que cada escola irá
receber, de modo que não haja sobras.
Para calcular o número mínimo de escolas que
podem ser escolhidas, devemos ainda dividir a
quantidade de ingressos de cada sessão pelo
número de ingressos que cada escola
receberá, assim temos:
400 : 80 = 5
320 : 80 = 4
Portanto, o número mínimo de escolas será
igual a 9 (5 + 4).
Alternativa: c) 9.
6) Cefet/RJ - 2012
Qual é o valor da expressão numérica ?
a) 0,2222
b) 0,2323
c) 0,2332
d) 0,3222
Para encontrar o valor da expressão numérica,
o primeiro passo é calcular o mmc entre os
denominadores. Assim:
O mmc encontrado será o novo denominador
das frações.
Entretanto, para não mudar o valor da fração,
devemos multiplicar o valor de cada numerador
pelo resultado da divisão do mmc por cada
denominador:
Resolvendo a adição e a divisão, temos:
Alternativa: a) 0,2222
7) EPCAR - 2010
Um agricultor fará uma plantação de feijão em
canteiro retilíneo. Para isso, começou a marcar
os locais onde plantaria as sementes. A figura
abaixo indica os pontos já marcados pelo
agricultor e as distâncias, em cm, entre eles.
Esse agricultor, depois, marcou outros pontos
entre os já existentes, de modo que a distância
d entre todos eles fosse a mesma e a maior
possível. Se x representa o número de vezes
que a distância d foi obtida pelo agricultor,
então x é um número divisível por
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
Para resolver a questão, precisamos
encontrar um número que divide ao mesmo
tempo os números apresentados. Como é
pedido que a distância seja a maior possível,
vamos calcular o mdc entre eles.
Desta forma, a distância entre cada ponto será
igual a 5 cm.
Para encontrar o número de vezes que essa
distância foi repetida, vamos dividir cada
segmento original por 5 e somar os valores
encontrados:
15 : 5 = 3
70 : 5 = 14
150 : 5 = 30
500 : 5 = 100
x = 3 + 14 + 30 + 100 = 147
O número encontrado é divisível por 7, pois
21.7 = 147
Alternativa: d) 7
MÁXIMO DIVISOR COMUM
O máximo divisor comum (MDC ou M.D.C)
corresponde ao maior número divisível entre
dois ou mais números inteiros.
Lembre-se que os números divisores são
aqueles que ocorrem quando o resto da divisão
é igual a zero. Por exemplo, o número 12 é
divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Se dividirmos
esses números pelo 12 obteremos um
resultado exato, sem que haja um resto na
divisão.
Quando um número tem apenas dois divisores,
ou seja, ele é divisível somente por 1 e por ele
mesmo, eles são chamados de números
primos.
Vale notar que todo número natural possui
divisores. O menor divisor de um número será
sempre o número 1. Por sua vez, o maior
divisor de um número é o próprio número.
Obs: Além do MDC temos o MMC (mínimo
múltiplo comum) que corresponde ao menor
número inteiro positivo de dois ou mais
números inteiros.
Atenção!
O zero (0) não é divisor de nenhum número.
Propriedades do MDC
Quando fatoramos dois ou mais números, o
MDC deles é o produto dos fatores comuns a
eles, por exemplo o MDC de 12 e 18 é 6
Quando temos dois números consecutivos
entre si, podemos concluir que o MDC deles é
1, uma vez que eles serão sempre números
primos. Por exemplo: 25 e 26 (o maior número
que divide ambos é o 1)
Quando temos dois ou mais números e um
deles é divisor dos outros, podemos concluir
que ele é o MDC dos números, por exemplo, 3
e 6. (se 3 é divisor de 6, ele é o MDC de
ambos)
Como calcular o MDC?
Para calcular o máximo divisor comum (MDC)
entre números, devemos realizar a fatoração
por meio da decomposição dos números
indicados.
Para exemplificar, vamos calcular através da
fatoração o MDC do 20 e 24:
Para saber o MDC dos números, devemos
olhar a direita da fatoração e ver quais
números dividiram simultaneamente os dois e
multiplicá-los.
Assim, pela fatoração podemos concluir que o
4 (2x2) é o maior número que divide ambos e,
portanto, é o máximo divisor comum de 20 e
24.
Exemplos
1. Qual o MDC de 18 e 60?
Pela fatoração de ambos os números temos:
Ao multiplicar os números que dividem ambos,
temos que o MDC de 18 e 60 é 6 (2 x 3).
2. Qual o MDC de 6; 12 e 15?
Pela fatoração dos números temos:
Logo, temos que o MDC de 6; 12 e 15 é 3.
1. (VUNESP) Em um colégio de São Paulo, há
120 alunos na 1.ª série do Ensino Médio, 144
na 2.ª e 60 na 3.ª. Na semana cultural, todos
esses alunos serão organizados em equipes,
com o mesmo número de elementos, sem que
se misturem alunos de séries diferentes. O
número máximo de alunos que pode haver em
cada equipe é igual a:
a) 7
b) 10
https://www.todamateria.com.br/numeros-primos/
https://www.todamateria.com.br/numeros-primos/
https://www.todamateria.com.br/mmc-minimo-multiplo-comum/
https://www.todamateria.com.br/fatoracao/
c) 12
d) 28
e) 30
Alternativa c
2. (Enem-2015) Um arquiteto está reformando
uma casa. De modo a contribuir com o meio
ambiente, decide reaproveitar tábuas de
madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40
tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1 080
cm, todas de mesma largura e espessura. Ele
pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas
em peças de mesmo comprimento, sem deixar
sobras, e de modo que as novas peças
ficassem com o maior tamanho possível, mas
de comprimento menor que 2 m.
Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro
deverá produzir
a) 105 peças
b) 120 peças
c) 210 peças
d) 243 peças
e) 420 peças
Alternativa e
3. (Enem-2015) O gerente de um cinema
fornece anualmente ingressos gratuitos para
escolas. Este ano serão distribuídos 400
ingressos para uma sessão vespertina e 320
ingressos para uma sessão noturna de um
mesmo filme. Várias escolas podem ser
escolhidas para receberem ingressos. Há
alguns critérios para a distribuição dos
ingressos:
1) cada escola deverá receber ingressos para
uma única sessão;
2) todas as escolas contempladas deverão
receber o mesmo número de ingressos;
3) não haverá sobra de ingressos (ou seja,
todos os ingressos serão distribuídos).
O número mínimo de escolas que podem ser
escolhidas para
obter ingressos, segundo os
critérios estabelecidos, é:
a) 2
b) 4
c) 9
d) 40
e) 80
Alternativa c
2. RAZÕES E PROPORÇÕES – GRANDEZAS
DIRETA E INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS, DIVISÃO EM PARTES
DIRETA E INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS, REGRA DE TRÊS
SIMPLES E COMPOSTA. SISTEMA DE
MEDIDAS: COMPRIMENTO, CAPACIDADE,
MASSA E TEMPO (UNIDADES,
TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES),
SISTEMA MONETÁRIO BRASILEIRO.
Razões e proporções – grandezas direta e
inversamente proporcionais, divisão em
partes direta e inversamente proporcionais,
Grandeza: é tudo aquilo que pode ser
medido.
Razão: é a relação entre duas grandezas.
DEFINIÇÃO
"Chama-se razão de duas grandezas da
mesma espécie, ao quociente da divisão dos
números que medem essas grandezas numa
mesma unidade. Este quociente é obtido,
dividindo-se o primeiro número pelo segundo".
Conforme a definição, para
determinarmos a razão entre duas grandezas é
necessário que sejam da mesma espécie, e
medidas com a mesma unidade.
A razão é representada sob a forma ou a : b
(que se lê "a está para b"), sendo a e b dois
números racionais, com b 0.
Exemplo 1:
Num exame há 1200 candidatos disputando
400 vagas. Se compararmos esses dois
números através de uma divisão, obtemos:
Dizemos que há 3 candidatos para cada vaga
ou que a razão entre o número de candidatos e
o número de vagas é de 3 para 1.
Dizemos que para cada vaga há 3 candidatos
ou que a razão entre o número de vagas e o
número de candidatos é de 1 para 3.
Quando comparamos dois números
através de uma divisão, o resultado obtido
chama-se razão entre esses números.
Exemplo 2:
Admite-se como ideal, numa cidade, a
b
a
400
1200
= 3
1200
400
=
3
1
existência de 1 médico para cada 5000
habitantes. Nessas condições, quantos
médicos deverá ter uma cidade com 50.000
habitantes?
De acordo com o problema, a razão entre o
número de médicos e o número de habitantes
é .
Número de habitantes Número de médicos
5.000 1
10.000 2
15.000 3
...... ......
50.000 10
A cidade deverá ter 10 médicos.
Verificamos que as razões destacadas,
e são iguais.
Exercícios Resolvidos
1) Achar a razão entre dois segmentos de 1dm
e 25cm respectivamente.
Resolução:
Como é necessário medir as duas
grandezas com a mesma unidade, vamos
reduzir as duas medidas a cm, para obter a
razão
.
Assim: 1 dm = 10cm
2) Em uma competição esportiva participam
500 atletas, sendo 100 moças e 400 rapazes.
a) Qual a razão do número de moças para o
número de rapazes?
b) Qual a razão do número de rapazes para o
número de moças?
Resolução:
a) Dividindo-se o número de moças pelo
número de rapazes, encontramos a razão:
3) Determinar a razão entre e
Resolução:
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS
RAZÕES
"Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de
uma razão por um mesmo número, diferente de
zero, obtém-se um razão equivalente a uma
razão dada".
RAZÕES ESPECIAIS
VELOCIDADE MÉDIA
"Denomina-se velocidade média a razão
entre a distância percorrida e o tempo gasto
para percorrê-la".
Exemplo:
Vamos determinar a velocidade média de um
trem que percorreu a distância de 453km em 6
horas:
Resposta:
A velocidade média do trem foi de 75,5 km/h
5000
1
5000
1
50000
10
Logo,
cm
cm
25
10
simplificando-se
5
2
ou 2 : 5
400
100
=
4
1
b)
100
400
=
1
4
= 4
2
1
6
5
6
5
2
1
=
2
1
5
6
=
10
6
=
5
3
Exemplo:
3
3
5
3
=
15
9
Velocidade Média =
GastoTempo
PercorridaDistância
Vm =
t
d
=
6
453
= 75,5 km/h
ESCALA
"Denomina-se escala de um desenho a
razão entre o comprimento considerado no
desenho e o correspondente comprimento real,
medido com a mesma unidade".
As escalas têm grande aplicação nos
esboços de objetos (móveis, automóveis, etc),
nas plantas de casas e terrenos, nos mapas e
cartas cartográficas.
Exemplo1:
Em um mapa a distância entre duas cidades é
de 3 cm. Sabendo-se que a distância real entre
as cidades é de 300 km, qual a escala utilizada
no mapa?
Resolução:
Comprimento do desenho: 3 cm
Comprimento real: 300 km = (300 x 100.000) cm
= 30.000.000 cm
Resposta:
A escala utilizada foi de 1:10.000.000
Exemplo2:
Ao desenhar a sua sala de aula, Paula traçou
um segmento de 12 cm, que corresponde ao
comprimento total da sala. Sabendo-se que a
escala utilizada foi de 1:60, qual o comprimento
real da sala?
Logo, o comprimento de 12 cm no desenho
corresponde a um comprimento de 720 cm ou
7,2 m do real.
Resposta:
O comprimento real desta sala é 7,2m.
EXERCÍCIOS - RAZÕES
P1) A soma de dois números é 54 e a razão
7/11. Calcular os dois números.
P2) A diferença entre dois números é 15 e a
razão 8/5. Calcular os dois números.
P3) Num ginásio há ao todo 540 alunos
distribuídos em classes. A cada classe de 45
meninos corresponde uma classe de 30
meninas. Calcular o número de meninas do
ginásio.
P4) A razão entre a base e a altura de um
triângulo é de 5 para 2, e a área do triângulo é
de 45m2. Calcular a base e a altura.
P5) Uma barra feita com uma liga de
ouro/cobre tem a massa de 513g. Achar a
massa de cada metal sabendo que estão na
razão de 11 para 8.
P6) Um trapézio é isósceles. A base menor
está para a base maior na razão 2:5.
Determine a área, sabendo que:
1º) A altura do trapézio vale 12cm.
2º) A altura está para a base maior na razão
4:5.
P7) Qual a razão entre as áreas de dois
círculos se o raio de um deles é o quádruplo do
raio do outro.
P8) Numa prova de matemática, um aluno
acertou 12 questões sobre 20 que foram
dadas. Qual a razão entre o número de
questões que ele acertou para o número de
questões da prova?
P9) Uma mercadoria acondicionada numa
embalagem de papelão, possui 200g de peso
líquido e 250g de peso bruto. Qual a razão
entre o peso líquido e o peso bruto?
P10) Um retângulo A tem 10cm e 15cm de
dimensões, enquanto as dimensões de um
retângulo B são 10cm e 20cm. Qual a razão
entre a área do retângulo A e a área do
retângulo B?
P11) A razão entre a altura de Tarcísio e sua
sombra, em determinada hora do dia é de 3
para 2. Se a sombra mede 1,2m, qual a altura
de Tarcísio?
P12) A razão entre a velocidade de 2 móveis, A
e B é de 3/8. Encontre a velocidade do móvel
A, quando a velocidade do móvel B for igual a
20m/s
Escala =
RealoCompriment
DesenhooCompriment
Escala =
al
oDe
Re
senh
=
30000000
3
=
10000000
1
Escala =
al
oDe
Re
senh
60
1
=
x
12
x = 720 cm
P13) A razão entre as massas de enxofre e de
ferro que se combinam para formar o sulfeto de
ferro é de 4,7. Calcular:
a) A massa de ferro que deve combinar com 32
gramas de enxofre para formar o sulfeto de
ferro.
b) A massa de enxofre que se deve combinar
com 1,12g de ferro para formar o sulfeto de
ferro.
P14) Para pintar uma parede, um pintor deve
misturar tinta branca com tinta cinza na razão
de 5 para 3. Se ele precisar de 25 litros dessa
misturam, quantos litros de cada cor irá
utilizar?
P15) Qual é a escala de um desenho em que
um comprimento de 3m está representado por
um comprimento de 5cm?
P16) A largura de um automóvel é 2 metros,
uma miniatura desse automóvel foi construída
de modo que essa largura fosse representada
por 5cm. Qual foi a escala usada para construir
a miniatura?
P17) Em um mapa, a distância entre duas
cidades é de 3cm. Sabendo-se que a distância
real entre as cidades é de 300km. Qual a
escala utilizada no mapa?
P18) A distância entre São Paulo e Rio de
Janeiro é de aproximadamente 408km. Qual é
a escala de
um mapa onde esta distância está
representada por 20,4cm?
P19) Numa escala de 1:50, qual o comprimento
real em metros, correspondente a 8cm.
P20) Uma fotografia aérea mostra parte de uma
região cuja área é 480m2 (área da parte
fotografada). Sabendo que a foto tem 8cm por
15cm, qual foi a escala da foto.
GABARITO - RAZÕES
P1) 21 e 33
P2) 40 e 25
P3) 216
P4) 15m e 6 m
P5) 297g e 216g
P6) 126 cm2
P7)
P8)
P9)
P10)
P11) 1,80
P12) 7,5 m/s
P13)a) 56,00g b) 0,64g
P14) 15 litros de tinta branca e 9 litros de tinta
cinza
P15) 1:60
P16) 1:40
P17) 1:10.000.000
P18) 1:2.000.000
P19) 1:3000
P20) 1:200
PROPORÇÕES
Um posto de gasolina oferece um
desconto de 1 real para cada 10 litros
completos de gasolina. Se uma pessoa colocar
50 litros de gasolina no carro, que desconto irá
obter?
Com os dados do problema, podemos
montar uma tabela:
Litros Descontos (em R$)
10 1
20 2
30 3
40 4
50 5
O desconto será de R$ 5,00
Nesta tabela podemos destacar:
vRazão entre desconto e litros:
vRazão entre desconto e litros: .
DEFINIÇÃO DE PROPORÇÃO
16
1
5
3
5
4
4
3
10
1
50
5
Verificamos que as razões
10
1
e
50
5
são iguais (ou equivalentes).
"Proporção é a igualdade entre duas razões, ou
seja, quando duas razões apresentam o
mesmo quociente, sendo, portanto iguais".
Quatro números racionais a, b, c, d, diferentes
de zero, nessa ordem, formam uma proporção
quando a razão do primeiro número para o
segundo é igual a razão do terceiro para o
quarto.
Ou, ainda, podemos escrever:
a : b = c : d
que se lê:
"a está para b assim como c está para d"
Os quatro termos que formam a proporção são
denominados termos da proporção. O primeiro
e o quarto termo são chamados extremos da
proporção. O segundo e o terceiro são
chamados meios.
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS
PROPORÇÕES
"Em toda proporção o produto dos meios é
igual ao produto dos extremos".
Exemplo:
RECÍPROCA DA PROPRIEDADE
FUNDAMENTAL
"Quando o produto de dois números é igual ao
produto de dois outros, os quatro números
formam uma proporção".
Observação:
Para verificar se quatro números formam uma
proporção, efetuamos o produto do número
maior pelo menor e verificamos se esse
produto é igual aos outro dois. Assim, os quatro
números 4,10,16 e 40 formam uma proporção,
pois os produtos 4 ´ 40 e 10 ´ 16, tem como
resultado 160.
QUARTA PROPORCIONAL
"Chama-se Quarta Proporcional a três números
dados, um quarto número que forma com os
mesmos uma proporção".
Exemplo:
Vamos encontrar a quarta proporcional
aos números 16, 12 e 48.
Representando por x o termo procurado,
veremos que o problema admite três soluções,
correspondentes às proporções, pois a posição
do número x é arbitrária.
Só há três soluções porque em cada solução o
produto de um dos números dados por x é
igual ao produto dos outros dois. Em geral,
considera-se a solução obtida, conservando na
proporção a ordem dos números dados, e
considerando como incógnita o último termo.
PROPORÇÃO CONTÍNUA
"Proporção contínua é aquela em que os meios
e os extremos são iguais".
Na proporção contínua, o termo igual é
denominado média proporcional ou geométrica,
e qualquer um dos outros termos (4 ou 9) é
denominado terceira proporcional. No exemplo
acima, 4 é a terceira proporcional entre 9 e 6,
sendo 9 a terceira proporcional entre 4 e 6.
Exercícios Resolvidos
1) Achar a terceira proporcional a 5,6 e 0,84.
Resolução:
Observando que, se a média não for
previamente fixada, haverá duas soluções:
b
a
=
d
c
d
c
b
a
a.d = b.c
15
5
18
6
6 x 15 = 5 x 18 90 = 90
I-)
1
16
48
12
x
x1 = 64
II-)
4816
12 2x
x2 = 36
III-)
16
4812
3
x
x3 = 4
Exemplo:
9
4 6
6
(os meios são iguais)
Se, contudo, a média for previamente fixada,
só haverá uma das resoluções.
2) Achar a terceira proporcional a 3 e 9, sendo
9 a média.
Resolução:
PROPRIEDADES GERAIS DAS
PROPORÇÕES
PROPRIEDADE 1
"Em uma proporção, a soma dos dois primeiros
termos está para o primeiro termo, assim como
a soma dos dois últimos termos está para o
terceiro termo".
PROPRIEDADE 2
"Em uma proporção, a soma dos dois primeiros
termos está para o segundo termo, assim como
a soma dos dois últimos está para o quarto
termo".
PROPRIEDADE 3
"Numa proporção, a diferença dos dois
primeiros termos está para o primeiro termo,
assim como a diferença dos dois últimos
termos está para o terceiro termo".
PROPRIEDADE 4
"Numa proporção, a diferença dos dois
primeiros termos está para o segundo termo,
assim como a diferença dos dois últimos
termos está para o quarto termo".
PROPRIEDADE 5
"Numa proporção, a somados antecedentes
está para a soma dos conseqüentes, assim
como cada antecedente está para seu
conseqüente".
PROPRIEDADE 6
"Numa proporção, a diferença dos
antecedentes está para a diferença dos
conseqüentes, assim como cada antecedente
está para seu conseqüente".
PROPRIEDADE 7
"Em toda proporção, o produto dos
antecedentes está para o produto dos
conseqüentes assim como o quadrado de
qualquer antecedente está para o quadrado do
respectivo conseqüente".
Exercícios Resolvidos
1o Exercício
A diferença entre os antecedentes de uma
proporção é 10 e os conseqüentes 9 e 7. Achar
os antecedentes.
Resolução:
Representando por a e b os antecedentes,
formamos a proporção: aplicando-se a
propriedade relativa à diferença, vem que:
1
O
. Modo:
x
84,0
84,0
6,5
5,6x = (0,84)
2
x = 0,126
2
O
.Modo:
x
6,5
6,5
84,0
0,84x = (5,6)
2
x = 37,33
x
9
9
3
3x = 81 x = 27
d
c
b
a
c
dc
a
ba
d
c
b
a
d
dc
b
ba
d
c
b
a
c
dc
a
ba
d
c
b
a
d
dc
b
ba
d
c
b
a
d
c
db
ca
e
b
a
db
ca
d
c
b
a
d
c
db
ca
e
b
a
db
ca
d
c
b
a
2
2
2
2
d
c
db
ca
e
b
a
db
ca
7
b
9
a
logo, b = 35
Resposta:
Os antecedentes são, respectivamente 45 e
35.
2o Exercício
Resolução:
Aplicando-se a propriedade relativa à soma,
vem:
logo, y = 14
Resposta:
Os antecedentes procurados são
respectivamente 6 e 14.
PROPORÇÃO PROLONGADA
Proporção prolongada é a sucessão de
três ou mais razões iguais.
PROPRIEDADE DAS PROPORÇÕES
PROLONGADAS
"Numa proporção prolongada, a soma dos
antecedentes está para a soma dos
conseqüentes, assim como qualquer
antecedente está para seu conseqüente".
Exercício Resolvido
1) Achar a, b, c na seguinte proporção
sabendo-se que a soma é a + b + c =
26.
Resolução:
Aplicando-se a propriedade das proporções
prolongadas temos:
Logo,
NÚMEROS PROPORCIONAIS
NÚMEROS DIRETAMENTE
PROPORCIONAIS
"Duas seqüências A e B de números reais, não
nulos, são diretamente proporcionais se, e
somente se, a razão dos termos
correspondentes são todas iguais entre si".
Exemplo:
Sejam as seqüências: (2, 5, 6, 9) e (8, 20, 24,
36). Essas seqüências são diretamente
proporcionais porque:
"K é denominado fator constante ou coeficiente
de proporcionalidade".
Exercício Resolvido
1) Dada as seqüências proporcionais (3, 5, 7,
y) e (6, 10, x, 8). Determine o coeficiente de
proporcionalidade e os valores de x e y.
Resolução:
979
aba
92
10 a
2a = 90 a = 45
7
y
3
x
20yx
sistema o Resolver
373
xyx
310
20 x
x = 6
Exemplo:
16
8
12
6
4
2
Exemplo:
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