Aula 1 - Conj. Numéricos, Intervalos e Módulos

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Cieˆncia e Tecnologia
Aula 1 - Conjuntos Nume´ricos, Intervalos e Mo´dulo
Jose´ Crisanto
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 1 / 27
Refereˆncias Bibliogra´ficas:
1. Genson Iezzi. Fundamentos de Matema´tica Elementar. Vol.
1. 7a ed, Sa˜o Paulo: Atual, 1993. (Cap´ıtulo 3).
2. Genson Iezzi. Fundamentos de Matema´tica Elementar. Vol.
1. 7a ed, Sa˜o Paulo: Atual, 1993. (Cap´ıtulo 8).
3. Diva Mar´ılia Flemming, Mirian Buss Gonc¸alves. Ca´lculo A.
Sa˜o Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. (Cap´ıtulo 1 -
Interpretac¸a˜o geome´trica de valor absoluto).
4. Hamilton Luiz Guidorizzi. Um curso de Ca´lculo. Volume 1.
5a ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. (Cap´ıtulo 1 - Exemplo de
eliminac¸a˜o de mo´dulo).
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Conjuntos Nume´ricos
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Conjuntos Nume´ricos
Definic¸a˜o 1
Chama-se conjunto dos nu´meros naturais, denotado por N, o conjunto dos
nu´meros 0, 1, 2, 3, . . . .
N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}
Definic¸a˜o 2
Chama-se conjunto dos nu´meros inteiros, denotado por Z, o seguinte
conjunto
Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
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Conjuntos Nume´ricos
Definic¸a˜o 3
Chama-se conjunto dos nu´meros racionais, denotado por Q, o conjunto
das frac¸o˜es
a
b
, em que a ∈ Z e b ∈ Z∗.
No conjunto Q adotaremos as seguintes definic¸o˜es:
(a) igualdade:
a
b
=
c
d
⇔ ad = bc
(b) adic¸a˜o:
a
b
+
c
d
=
ad + bc
bd
(c) multiplicac¸a˜o:
a
b
· c
d
=
ac
bd
(d) Divisa˜o:
a
b
c
d
=
a
b
÷ c
d
=
a
b
· d
c
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Conjuntos Nume´ricos
Um nu´mero racional pode ter as seguintes representac¸o˜es:
Representac¸a˜o decimal
(a) finitas casas decimais;
(b) infinitas casas decimais.
Representac¸a˜o fraciona´ria
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Conjuntos Nume´ricos
Na representac¸a˜o fraciona´ria do nu´mero decimal finito o numerador e´ o numeral
decimal sem a v´ırgula e o denominador e´ o algarismo 1 seguido de tantos zeros
quantas forem as casas decimais do numeral dado.
Exemplo 1
Determine a representac¸a˜o fraciona´ria dos decimais abaixo:
(a) 0, 37 =
37
100
(b) 2, 6131 = 26311000
(c) 63, 4598 = 63459810000
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Conjuntos Nume´ricos
Exemplo 2
Determine a frac¸a˜o geratriz que deu origem a` d´ızima perio´dica 1, 12121212 · · · .
Crite´rio para determinar a frac¸a˜o geratriz
(1o) Identificar o per´ıodo da d´ızima: 1, 12121212 · · · = 1, 12.
(2o) Escrever a equac¸a˜o x=d´ızima perio´dica, isto e´ x = 1, 12.
(3o) Deixar a v´ırgula antes do per´ıodo. Se necessa´rio multiplique por
uma poteˆncia de 10.
x = 1, 12 (1)
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Conjuntos Nume´ricos
(4o) Multiplicar a equac¸a˜o (1) por uma poteˆncia de 10 para deixar a
v´ırgula apo´s os primeiros nu´meros do per´ıodo.
x = 1, 121212 · · ·
100x = 100× 1, 121212 · · ·
100x = 112, 12 · · · (2)
(5o) Fac¸a a subtrac¸a˜o das equac¸o˜es (1) e (2).
100x − x = 112, 12− 1, 12⇒ 99x = 111, 1⇒ x = 111
99
.
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Conjuntos Nume´ricos
Exemplo 3
Encontre a frac¸a˜o geratriz da d´ızima perio´dica 2, 5791919191 . . .
Fac¸a como exerc´ıcio.
Dicas:
x = 2, 5791
(1) 100x = 257, 91
(2) 10000x = 25791, 91
fac¸a (2)-(1)
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Conjuntos Nume´ricos
Observac¸a˜o 1
Os nu´meros decimais infinitos sem per´ıodo (na˜o perio´dicos) na˜o admitem
representac¸a˜o fraciona´ria e sa˜o chamados de nu´meros irracionais (R−Q).
Como exemplo temos os seguintes nu´meros irracionais:
√
2 = 1, 4142136 . . .
pi = 3, 1415926 . . .
e = 2, 718281828459045235360287 . . ..
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Conjuntos Nume´ricos
Definic¸a˜o 4
O conjunto dos nu´meros reais, denotado por R, e´ constitu´ıdo pelos
nu´meros naturais, inteiros, racionais e irracionais.
Abaixo destacamos treˆs subconjuntos de R:
R+ = conjunto dos reais na˜o negativos
R− = conjuto dos reais na˜o positivos
R∗ = conjunto dos reais na˜o nulos
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Conjuntos Nume´ricos
Exemplo 4
Coloque os nu´meros −52 ,−53 ,−43 , 12 , 32 , 94 e 114 em ordem crescente e
represente-os na reta real.
Primeiramente e´ necessa´rio escrever os nu´meros dados na representac¸a˜o decimal: − 5
2
= −2, 5;
− 5
3
= −1, 66666667; − 4
3
= −1, 33333333; 1
2
= 0, 5; 3
2
= 1, 5; 9
4
= 2, 25; 11
4
= 2, 75.
Logo, − 5
2
< − 5
3
< − 4
3
< 1
2
< 3
2
< 9
4
< 11
4
.
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Conjuntos Nume´ricos
Ao resolver a equac¸a˜o x2 + 1 = 0 chegamos nos valores x = ±√−1 que
na˜o pertencem ao conjunto dos nu´meros reais. Define-se por i =
√−1 a
unidade imagina´ria e o conjunto dos nu´meros complexos por
C = {a + ib|a, b ∈ R}.
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Intervalos
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Intervalos
Como na reta real os nu´meros esta˜o ordenados, um nu´mero a e´ menor que
qualquer nu´mero x colocado a` sua direita e maior que qualquer nu´mero x
colocado a` sua esquerda.
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Intervalos
Definic¸a˜o 5 (Intervalos limitados)
Dados dois nu´meros reais a e b, com a < b, definimos:
(a) ]a, b[= {x ∈ R|a < x < b}.
(b) [a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}.
(c) [a, b[= {x ∈ R|a ≤ x < b}.
(d) ]a, b] = {x ∈ R|a < x ≤ b}.
Os nu´meros a e b sa˜o denominados, respectivamente, extremo inferior e extremo
superior do intervalo.
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Intervalos
Representac¸a˜o gra´fica dos intervalos limitados:
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Intervalos
Definic¸a˜o 6 (Intervalos infinitos)
Dados um nu´mero real a, definimos:
(a) ]−∞, a[= {x ∈ R|x < a}.
(b) ]−∞, a] = {x ∈ R|x ≤ a}.
(c) ]a,+∞[= {x ∈ R|x > a}.
(d) [a,+∞[= {x ∈ R|x ≥ a}.
(e) ]−∞,+∞] = R.
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Intervalos
Representac¸a˜o gra´fica dos intervalos infinitos:
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Mo´dulo
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Mo´dulo
Definic¸a˜o 7
O mo´dulo ou valor absoluto de um nu´mero real x, denotado por |x |, e´
definido por |x | =
 x , se x ≥ 0−x , se x < 0
Isso significa que:
(a) o mo´duloou valor absoluto de um nu´mero real na˜o negativo e´ igual ao
pro´prio nu´mero.
(b) o mo´dulo ou valor absoluto de um nu´mero real negativo e´ igual ao
oposto desse nu´mero.
Podemos interpretar o mo´dulo ou valor absoluto como a distaˆncia do
nu´mero a` origem.
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Mo´dulo
Exemplo 5
(a) |2| = 2
(b) | − 2| = 2
(c) |√3| = √3
(d) | − √3| = √3
(e) |32 | = 32
(f) | − 32 | = 32
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Mo´dulo
Propriedades: Sejam x , y ∈ R, temos:
|x | = a⇔ x = a ou x = −a.
|x | < a⇔ −a < x < a, onde a > 0.
|x | > a⇔ x > a ou x < −a, onde a > 0.
|x + y | ≤ |x |+ |y | (Desigualdade triangular)
√
x2 = |x | (Esta propriedade e´ justificada na interpretac¸a˜o geome´trica
dada em seguida)
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Mo´dulo
Interpretac¸a˜o Geome´trica
Geometricamente, o valor absoluto de a, tambe´m chamado mo´dulo de a,
representa a distaˆncia entre a e 0.
Calculando a distaˆncia entre os pontos A(a, 0) e O(0, 0), temos:
|a| = d(A,O) =
√
(a− 0)2 + (0− 0)2
⇒ |a| =
√
a2
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Mo´dulo
Exemplo 6
Elimine o mo´dulo em |x − 1|+ |x + 2|.
Soluc¸a˜o: Pela definic¸a˜o de mo´dulo, temos que:
|x − 1| =
 x − 1 se x − 1 ≥ 0−(x − 1) se x − 1 < 0 =
 x − 1 se x ≥ 1−x + 1 se x < 1
e
|x + 2| =
 x + 2 se x + 2 ≥ 0−(x + 2) se x + 2 < 0 =
 x + 2 se x ≥ −2−x − 2 se x < −2
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Mo´dulo
Vamos calcular a soma |x − 1|+ |x + 2| substituindo os valores dos mo´dulos para os
intervalos x < −2, −2 ≤ x < 1 e x ≥ 1:
|x − 1|+ |x − 2| =

(−x + 1) + (−x − 2) se x < −2
(−x + 1) + (x + 2) se −2 ≤ x < 1
(x − 1) + (x + 2) se x ≥ 1
=

−2x − 1 se x < −2
3 se −2 ≤ x < 1
2x + 1 se x ≥ 1
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