MAT - AULA 01 - NÚMEROS REAIS

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Professor(a) Deiby Gouveia
MATEMÁTICA
AULA 01 – NÚMEROS REAIS
1 – Números Reais
1.1 Conjunto, elemento e pertinência
- Principais classificações
- Operações
Vamos praticar!
1.2 Conjuntos numéricos, representações e operações
- Naturais
- Inteiros
- Racionais
- Irracionais
- Reais
Vamos praticar!
1.3 Intervalos
SUMÁRIO
MATEMÁTICA
▪ Conjunto
Coleção ou Agrupamento de elementos
▪ Elemento
Cada item que compõe um conjunto
▪ Pertinência
Quando o elemento faz parte do conjunto
Notação matemática:  e 
▪Notação: Geralmente:
Conjunto - indicado por letra maiúscula
Elementos – indicado por letra minúscula
Conjunto, Elemento e Pertinência
Sistema Solar:
Conjunto: Planetas do Sistema Solar
Elemento: 
Pertinência: 
Ex.: Mercúrio
*Asteróide
*Asteróide = corpo rochosos e metálicos que possuem órbita definida ao redor do Sol
Conjunto, Elemento e Pertinência
Sistema Solar:
Conjunto: Planetas do Sistema Solar
Elemento: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, 
Júpiter, Saturno, Urano,Netuno;
Pertinência: 
Ex.: Mercúrio  ao Conjunto Planetas do Sistema Solar
*Asteróide  ao Sistema Solar
*Asteróide  ao Conjunto Planetas do Sistema 
Solar
*Asteróide = corpo rochosos e metálicos que possuem órbita definida ao redor do Sol
Conjunto, Elemento e Pertinência
Região Nordeste
Conjunto: Estados da Região Nordeste
Elemento: 
Pertinência: 
Ex.: SE 
SP
Conjunto, Elemento e Pertinência
Região Nordeste
Conjunto: Estados da Região Nordeste
Elemento: MA, PI, CE, RN, PB, PE, SE, AL, BA
Pertinência: 
Ex.: SE  aos Estados da Região Nordeste
SP  aos Estados da Região Nordeste
Conjunto, Elemento e Pertinência
▪ Diagrama de Venn - Euler
Exemplo:
A = {conjunto dos números de um dado}
C = {conjunto dos números pares}
▪ Por Enumeração
Exemplo:
A = Conjunto dos números ímpares positivos menores do que 12.
Representação
1) Finitos
Ex.: A = conjunto dos números de um dado
B = conjunto dos meses do ano
2) Infinitos
Ex.: C = conjunto dos números pares
Tipos de Conjuntos
A) Vazio:  ou { }
Ex.: M = Conjunto dos meses do ano que começam com a letra P
B) Unitário
Ex.: M = Conjunto dos meses do ano que começam com a letra F 
C) Universo
Ex.: M = Conjunto dos meses do ano
Classificação
Exemplo: Classifique os conjuntos em (U) Unitário, (V) Vazio considerando 
como conjunto Universo o conjunto dos Números Naturais. 
A = { x | x é menor do que 1} 
B = { x | x é maior que 5 e menor que 6} 
D = { x | x é um número par maior que 30 e menor que 32}
E = { x | x + 3 = 8}
( )
( )
( )
( )
Exemplo: Classifique os conjuntos em (U) Unitário, (V) Vazio considerando 
como conjunto Universo o conjunto dos Números Naturais. 
A = { x | x é menor do que 1} 
B = { x | x é maior que 5 e menor que 6} 
D = { x | x é um número par maior que 30 e menor que 32}
E = { x | x + 3 = 8}
( U )
( V )
( U )
( U )
▪ Observe os conjuntos A e B e também o diagrama de Venn
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {1, 2, 5}
B está contido em A ou B é um Subconjunto de A: B  A 
A contém B: A  B
3
4
A
2
1 
5
B
Subconjuntos
▪ Quando existir pelo menos um elemento de B que não está contido em A
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {1, 2, 6}
B Não está contido em A ou 
B Não é um Subconjunto de A
B  A 
3 4 1 
6 
5 2
A B
Subconjuntos
Exemplo: Dado os conjuntos A = {1, 2}, B = { 1, 2, 3, 4, 5}, C = {3, 4, 5} e D = 
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5}, classifique em V ou F cada informação a seguir:
a) ( ) A  B
b) ( ) C  D
c) ( ) D  A
d) ( ) C  A
e) ( )   A
Exemplo: Dado os conjuntos A = {1, 2}, B = { 1, 2, 3, 4, 5}, C = {3, 4, 5} e D = 
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5}, classifique em V ou F cada informação a seguir:
a) ( V ) A  B
b) ( V ) C  D
c) ( V ) D  A
d) ( F ) C  A
e) ( F )   A
▪ Igualdade 
▪ União 
▪ Intersecção
▪ Diferença 
Operações
A) Igualdade
▪ Notação: A = B.
Ex.: A o conjunto das vogais em ordem crescente: A = {a, e, i, o, u},
B o conjunto das vogais em ordem decrescente: B = {u, o, i, e, a}.
Todos os elementos do conjunto A são iguais aos do conjunto B 
Ex.: Dado os conjuntos: C = {x | x + 5 = 12} e D = {7}, verificar se há ou não igualdade entre 
os conjuntos
“Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais quando todos os 
elementos de A são também elementos de B e vice-versa.” 
Operações
B) União
Dado dois conjuntos A e B quaisquer
Notação: A  B = {x | x  A ou x  B} 
Ex.: Dados os conjuntos A=1,4,8 e B=7,8,
A  B = 
“Conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B”
Operações
C) Intersecção
Dado dois conjuntos A e B quaisquer
Notação: A  B = {x | x  A e x  B} 
Ex.:Dados os conjuntos A=1,4,8 e B=7,8
A  B =
“Conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B”
Operações
▪ Obs.: Se A  B = , dizemos que A e B são conjuntos DISJUNTOS:
Operações
A B
D) Diferença
Dado dois conjuntos A e B quaisquer
Notação: A - B = {x | x  A e x  B} 
B – A = {x | x  B e x  A} 
Ex.:Dados os conjuntos A=1,4,8 e B=7,8
A - B = 
B – A =
“Conjunto de todos os elementos de A que não pertencem ao conjunto B”
Operações
E) Complementar
Dado dois conjuntos A e B quaisquer
Notação: B  A → BC = A – B = {x | x  A e x  B}
CAB - Lê-se: complementar de B em relação à A.
“Se B é subconjunto de A, a diferença entre os conjuntos A e B é 
denominada subconjunto de B”
Operações
Vamos praticar!
1. Seja A = { 0, 1, 2, 3} e B = {0, 2}, determine:
A  B = A  B =
A – B = B – A =
CAB = A – B = CBA = B - A =
1. Seja A = { 0, 1, 2, 3} e B = {0, 2}, determine:
A  B = {0, 1, 2, 3) A  B = {0, 2)
A – B = {1, 3) B – A = 
CAB = A – B = { 1, 3) CBA = B - A = 
2. Num grupo de 29 pessoas , sabe-se que 10 são sócias de um clube A, 13 são sócias de 
um clube B e 6 são sócias de A e B. Pergunta-se:
a) Quantas são sócias de A?
b) Quantas são sócias de B?
c) Quantas pessoas do grupo não são sócias de A e nem B?
2. Num grupo de 29 pessoas , sabe-se que 10 são sócias de um clube A, 13 são sócias de 
um clube B e 6 são sócias de A e B. Pergunta-se:
a) Quantas são sócias de A?
b) Quantas são sócias de B?
c) Quantas pessoas do grupo não são sócias de A e nem B?
A B
2. Num grupo de 29 pessoas , sabe-se que 10 são sócias de um clube A, 13 são sócias de 
um clube B e 6 são sócias de A e B. Pergunta-se:
a) Quantas são sócias de A? 
b) Quantas são sócias de B?
c) Quantas pessoas do grupo não são sócias de A e nem B?
R = a) 4 b) 7 c)12
A B
3. Se A e B são dois conjuntos não vazios tais que:
A  B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} , A –B = {1, 3, 6, 7} e B – A = {4, 8} então A  B é o conjunto: 
3. Se A e B são dois conjuntos não vazios tais que:
A  B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} , A –B = {1, 3, 6, 7} e B – A = {4, 8} então A  B é o conjunto: 
A B
1 3 2 4
6
7 5 8
A) Naturais
B) Inteiros
C) Racionais
D) Irracionais
Conjuntos Numéricos
A) Números Naturais - N
▪ Obs.: N* = N - {0}
N* = {1, 2, 3, 4, ....}
N é um subconjunto de Z
▪ Todos os elementos N pertencem ao conjunto de Z 
 N  Z
B) Números Inteiros – Z
▪ Obs.: Z* = Z - {0}
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ....}
Z+ = { 0, 1, 2, 3, 4}
Z- = {-3, -2, -1, 0}
N = {0,1, 2, 3, 4,....} Z = {...-4, -3, -2, -1, 0,1, 2, 3, 4,....}
Conjuntos Numéricos
C) Números Racionais - Q
Q = a/b, a  Z , b  Z* e b  0
Conjuntos Numéricos
C) Números Racionais - Q
Ex.: Decimal inteiro: 4 = 4 -3 = -3 0 = 0
1 1 1
Decimal exato: 5 = 1 = 0,5 -1 = -0,25
10 2 4
Decimal infinito periódico: 1 = 0,333... = 0,33
3
1 = 0,04545....= 0,045
22
Q = a/b, a  Z , b  Z* e b  0
Conjuntos Numéricos
D) Números Irracionais – I
▪ Representação decimal: infinita e não periódica.
Ex.: 3 = 1,73205... 
π = 3,14159...
Conjuntos Numéricos
Números Reais – R
▪ Diagrama de Venn
▪ Representação geométrica deR
R = Q  I R = N  Z  Q  I
Conjuntos Numéricos
▪ Intervalos: são subconjuntos do conjunto dos números reais. 
▪ Podem ser expressos diretamente na reta dos reais ou pelos delimitadores [ ].
▪ Tipos de Intervalos: 
Aberto: ] [ ou 
Fechado: [ ] ou 
▪ Representação
a) Intervalo Aberto
b) Intervalo Fechado
c) Intervalo Aberto à Direita
d) Intervalo Fechado à esquerda
e) Intervalos Infinitos
Intervalos
R
R
R
R
R
▪ Representar os Intervalos:
a) [3,5[ = {x ∈ R | 3  x < 5}
b) ]–∞,5] = {x ∈ R | x < 5}
c) ]3,5] = {x ∈ R | 3 < x  5}
d) ]3, ∞[={x ∈ R | x > 3}
R
R
R
R
Intervalos
Vamos praticar!
1. Classifique V ou F as seguintes sentenças:
a)( ) 5  
b)( ) 2,5  
c)( ) – 10 /5 
d)( ) 0,666  Q
e)( ) -11/12  Q
2. Analise os dois retângulos abaixo, calcule a diagonal de cada um deles e, em seguida, 
classifique os números encontrados em racional ou irracional. 
Cálculo da Diagonal (I)
𝐷2 = 52 + 42
𝐷2 = 25 + 16
𝐷2 = 41
𝐷 = 41
𝐷 = 5,56776. .
Cálculo da Diagonal:
D2 = a2 + b2
Cálculo da Diagonal (I)
𝐷2 = 42 + 32
𝐷2 = 16 +9
𝐷2 = 25
𝐷 = 25
𝐷 = 5
4
5
(I)
4
3
(II)
Irracional Racional
3. Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 200 consumidores por três produtos P1,
P2 e P3, mostrou que, dos entrevistados:
▪ 20 consumiam os três produtos;
▪ 30 os produtos P1 e P2;
▪ 50 os produtos P2 e P3;
▪ 60 os produtos P1 e P3;
▪ 120 os produtos P1;
▪ 75 os produtos P2;
Se todas as 200 pessoas entrevistadas deram preferência a pelo menos um dos produtos,
pergunta-se:
a) Quantas consumiam somente o produto P3? 
b) Quantas consumiam pelo menos dois dos produtos? 
c) Quantas consumiam os produtos P1 e P2 e não P3? 
Resposta:
▪ 20 consumiam os três produtos;
▪ 30 os produtos P1 e P2;
▪ 50 os produtos P2 e P3;
▪ 60 os produtos P1 e P3;
▪ 120 os produtos P1;
▪ 75 os produtos P2;
Se todas as 200 pessoas entrevistadas deram preferência a pelo menos um dos produtos,
pergunta-se:
a) Quantas consumiam somente o produto P3? 35
b) Quantas consumiam pelo menos dois dos produtos? 100
c) Quantas consumiam os produtos P1 e P2 e não P3? 10
REFERÊNCIAS
Bibliografia
BONORA Jr., D. et al. Matemática – complementos e aplicações nas áreas de Ciências Contábeis, 
Administração e Economia. 4ª ed. São Paulo: Ícone, 2006.
SILVA, F. c. m.; ABRÃO, M. Matemática básica para decisões administrativas. 2ª ed. São Paulo: ATLAS, 
2008.
SILVA, S. M. et al. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2001.
Material elaborado por:
Prof.ª Dra. Deiby Santos Gouveia
Prof. Júlia Petta
Profº Raul Messias Neto
Até a próxima Aula!