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Prova 1 - Álgebra

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DEMAT - ICEB - UFOP
1a. Prova –Int. à Álgebra Linear - turma 54
Aluno:
1. Considere o sistema de equações nas variáveis x, y e z:8<: x+ y + 2z = ax� by + z = 0
2x+ y + 3z = 0
Determine os valores de a e b para que o sistema tenha solução única, não
tenha solução ou tenha in…nitas soluções.
2. (a) Utilize OPERAÇÕES ELEMENTARES para encontrar a inversa,
caso exista, da seguinte matriz:
A =
24 1 0 12 0 3
�2 2 0
35
(b) Quantas soluções possui o sistema AX = B? Caso existam soluções,
encontre todas.
(c) Se C é uma matriz quadrada de ordem três tal que det(AC) = 0, o
que se pode a…rmar sobre a invertibilidade de C?
3. Seja A a seguinte matriz 0BBBB@
1 2 4 2 1
0 1 0 0 1
0 5 1 1 1
0 0 0 4 1
0 0 0 1 2
1CCCCA
(a) Utilize operações elementares e/ou cofatores para determinar detA;
(b) Determine det(ABA�1Bt); em que B é uma matriz triangular supe-
rior 5�5 tal que os elementos de sua diagonal são tais que aii = i, se
1 � i � 3 e a44 = a55 = 12 :
4. Coloque verdadeiro ou falso, justi…cando sua resposta:
( ) Se A é uma matriz quadrada de ordem n tal que todos os elementos
de sua diagonal principal são diferentes de zero então A é invertível
( ) SeA eB são matrizes quadradas de mesma ordem então
�
(A+B)2
�t
=
(At)
2
+ 2BtAt + (Bt)
2;
( ) Se A é quadrada de ordem 6 tal que AtA = 2In e a é um número
real tal que det(aA4) = 2; então a = 12 ou a = � 12 :.
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