MCCCLXIV linguagem 2

Prévia do material em texto

**Explicação:** 
 
Para que a função \( f(x) = ax^2 + bx + c \) tenha um mínimo em \( x = -1 \), devemos 
considerar que o vértice da parábola, dado pela fórmula \( x = -\frac{b}{2a} \), deve ser 
igual a -1. Assim, temos: 
 
\[ 
-\frac{b}{2a} = -1 \implies b = 2a 
\] 
 
Além disso, a função atinge seu valor mínimo em \( f(-1) \). Substituindo \( x = -1 \) na 
função, obtemos: 
 
\[ 
f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c 
\] 
 
Substituindo \( b = 2a \): 
 
\[ 
f(-1) = a - 2a + c = -a + c 
\] 
 
Sabemos que o valor mínimo da função é 5, portanto: 
 
\[ 
-f(-1) = 5 \implies -(-a + c) = 5 \implies -a + c = 5 \implies c = 5 + a 
\] 
 
Como estamos considerando uma parábola com um mínimo, isso significa que \( a \) deve 
ser maior que zero (\( a > 0 \)). Assim, as condições se reúnem como segue: 
 
- \( a > 0 \) garante que a parábola abre para cima e, portanto, existe um mínimo. 
- \( f(-1) = 5 \) confirma que o valor mínimo da função é 5. 
 
As alternativas a), b) e d) não satisfazem a condição de que \( a > 0 \) com \( f(-1) = 5 \). 
Portanto, a única correta é a alternativa c). 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 1 \). Determine o valor de \( x 
\) onde a função atinge seu ponto de máximo local. 
 
**Alternativas:** 
a) \( x = 1 \) 
b) \( x = 2 \) 
c) \( x = 3 \) 
d) \( x = 4 \) 
 
**Resposta:** b) \( x = 2 \) 
 
**Explicação:** Para encontrar o ponto de máximo local da função \( f(x) \), precisamos 
calcular a primeira derivada \( f'(x) \) e, em seguida, encontrar os valores de \( x \) onde \( 
f'(x) = 0 \). 
 
1. Calcule a derivada da função \( f(x) \): 
 \[ 
 f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 9x^2 + 12x - 1) = 6x^2 - 18x + 12. 
 \] 
 
2. Para encontrar os pontos críticos, resolvemos a equação \( f'(x) = 0 \): 
 \[ 
 6x^2 - 18x + 12 = 0. 
 \] 
 Dividindo toda a equação por 6, simplificamos para: 
 \[ 
 x^2 - 3x + 2 = 0. 
 \] 
 
3. Fatoramos a equação quadrática: 
 \[ 
 (x - 1)(x - 2) = 0. 
 \] 
 Portanto, temos os pontos críticos em \( x = 1 \) e \( x = 2 \). 
 
4. Para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos, devemos considerar a 
segunda derivada \( f''(x) \): 
 \[ 
 f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 18x + 12) = 12x - 18. 
 \] 
 
5. Avaliamos \( f''(x) \) nos pontos críticos: 
 - Para \( x = 1 \): 
 \[ 
 f''(1) = 12(1) - 18 = -6 \quad (\text{máximo local}) 
 \]