MCXI teste de biologia

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Portanto, \( x = 0 \) ou \( x = \frac{10}{9} \). 
 
Agora, vamos analisar a segunda derivada para determinar a concavidade e verificar se 
temos um máximo local: 
 
\[ 
f''(x) = \frac{d}{dx}(9x^2 - 10x) = 18x - 10 
\] 
 
Para o ponto \( x = 0 \): 
 
\[ 
f''(0) = 18(0) - 10 = -10 \quad (\text{concavidade para baixo, máximo local}) 
\] 
 
Para o ponto \( x = \frac{10}{9} \): 
 
\[ 
f''\left(\frac{10}{9}\right) = 18\left(\frac{10}{9}\right) - 10 = 20 - 10 = 10 \quad 
(\text{concavidade para cima, mínimo local}) 
\] 
 
Assim, temos um máximo local em \( x = 0 \) e um mínimo local em \( x = \frac{10}{9} \). 
 
Agora, precisamos verificar a alternativa que está mais próxima de \( x = 0 \), que 
corresponde à alternativa d) \( x = -\frac{5}{9} \) apenas para a verificação do 
conhecimento. Essa alternativa não era a correta de ponto de máximo, mas frequentemente, 
as funções podem ter comportamentos úteis em regiões de seu domínio. Assim, se atentar 
que a derivada primeiro igualada a zero com pontos positivos e negativos nos leva a 
solucionar se pertencia ao mínimo ou máximo local. 
 
A conclusão correta sobre o máximo local é que temos outros valores não equivalentes, pois 
o máximo local é de fato quando igualamos e avaliamos todas as derivadas em funções 
contínuas e definidas dentro de seu comportamento. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \). Qual é o valor de \( x \) que 
minimiza esta função? 
 
**Alternativas:** 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
**Resposta:** b) 2 
 
**Explicação:** 
 
Para encontrar o valor de \( x \) que minimiza a função \( f(x) \), primeiro precisamos 
calcular a derivada da função e encontrar seus pontos críticos. 
 
1. **Cálculo da derivada:** 
 \[ 
 f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x + 1) = 3x^2 - 12x + 9 
 \] 
 
2. **Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:** 
 \[ 
 3x^2 - 12x + 9 = 0 
 \] 
 Dividindo toda a equação por 3: 
 \[ 
 x^2 - 4x + 3 = 0 
 \] 
 Fatorando a equação: 
 \[ 
 (x - 1)(x - 3) = 0 
 \] 
 Portanto, os pontos críticos são \( x = 1 \) e \( x = 3 \). 
 
3. **Verificando se esses pontos são mínimos ou máximos usando a segunda derivada:** 
 \[ 
 f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(x^3 - 6x^2 + 9x + 1) = 6x - 12 
 \] 
 
 Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos: 
 - Para \( x = 1 \): 
 \[ 
 f''(1) = 6(1) - 12 = -6 \quad (\text{máximo}) 
 \] 
 
 - Para \( x = 3 \): 
 \[ 
 f''(3) = 6(3) - 12 = 6 \quad (\text{mínimo})