atps algebra

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Introdução.................................................................................................5
Etapa 1 Definição e ordem de matrizes ...................................................6
Tipos de Matrizes....................................................................................,.7
Etapa 02 Determinantes............................................................................9
Etapa 02 Matrizes de 2ª e 3ª ordem.........................................................10
Método da linha ou coluna.......................................................................11
Etapa 03 Definição de equação linear......................................................12
Classificação dos sistemas lineares..........................................................13
Definição dos coeficientes de matriz e matriz ampliada.........................14
Etapas 4 lei de Kirchhoff.........................................................................15
Montando a situação Problema................................................................16
Etapa 5 resolução por Cramer..................................................................17
Etapa 6 resolução por Gauss Jordan........................................................19
Conclusão................................................................................................21
Referências..............................................................................................22
INTRODUÇÃO
Nossa expectativa é desenvolver a aprendizagem explorando temas já abordados em sala de aula bem como exemplos dos mesmos para complementar as atividades decorrentes em sala de aula ao decorrer do curso
Esperamos aprender e desenvolver cálculos referentes ao assunto abordado bem como praticá-los no decorrer do semestre seja em sala de aula, pesquisas, palestras, verificar se está de acordo o plano de ensino e aprendizagem da instituição assim buscando suprir nossos conhecimentos.
ETAPA 1
Aula-tema Matrizez
PASSO 1
Livros escolhidos para resolução dos problemas
PLT Programa livro-Texto
Alfredo Steinbruch
Paulo Winterle
Álgebra Linear
Lawson, T. Álgebra Linear.
Passo 2 e Passo 3
Definição de Matriz
As matrizes são estruturas matemáticas na forma de tabela com linhas e colunas. Nos assuntos ligados à álgebra, as matrizes são responsáveis pela solução de sistemas lineares. Elas podem ser construídas com M linhas e N colunas, podemos assim dizer que a matriz possui ordem M x N elementos (números, polinômios, funções etc.).
Ordem de Matriz
Se a matriz A é de ordem M por N, costuma-se escrever simplesmente A (m, n). Assim se uma matriz A tiver 3 linhas e 4 colunas, escreve-se simplesmente A(3,4) e diz-se matriz de ordem 3 por 4 seguem exemplos
: matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3 colunas)
: matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas)
: matriz de ordem 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna)
Principais tipos de matrizes
Matriz linha, matriz coluna, matriz nula, matriz quadrada, matriz diagonal, matriz identidade, igualdade de matrizes, matriz inversa.
PASSO 4
►Matriz linhas 
Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que possui apenas uma linha. O número de colunas é independente. Por exemplo: 
 1 x 3
►Matriz coluna 
Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna. O número de linhas é independente. Por exemplo: 
5 x 1 
►Matriz nula 
Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do número de linhas e colunas todos os seus elementos são iguais a zero. Por exemplo: 
►Matriz quadrada 
Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o mesmo do número de linhas. Por exemplo: 
Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a presença de uma diagonal secundária e uma diagonal principal. 
►Matriz diagonal 
Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada que os elementos que nãopertencem a diagonal principal sejam iguais à zero. Sendo que os elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero ou não. Por exemplo: 
►Matriz identidade 
Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser quadrada e os elementos que pertencerem à diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a zero. Veja o exemplo: 
►Matrizes iguais ou igualdade de matrizes 
Dada uma matriz A e uma matriz B, as duas poderão ser iguais se somente seus elementos correspondentes forem iguais. 
As matrizes A e B são iguais, pois seus elementos correspondentes são iguais.
►Matriz inversa
Dizemos que uma matriz terá uma matriz inversa se for quadrada e se o produto das duas matrizes for igual a uma matriz identidade quadrada de mesma ordem das outras.
A= B= =
	
	
 = 
 36+5B= 1	5B= -35 	B= -7
 45+9A= 0 9A= -45 	A= -5
 28+4B= 0	4B= -28	B= -7
 36+7A= 1	7A= -35	B= -5
ETAPA 2
PASSO 1
Determinante é uma matriz quadrada representada de uma forma diferente, pois calculamos o seu valor numérico, o que não acontece com a matriz. Nas determinantes aplicamos as quatro operações, ou seja , somamos, subtraímos, multiplicamos e dividimos obtendo outra matriz. Seguem exemplos
PASSO 2 E PASSO 3
Matriz de ordem 2ª ordem
Dada a matriz A de ordem dois A =   o seu determinante será calculado da seguinte forma:
O determinante de ordem dois possui uma diagonal principal e uma diagonal secundária.
 
 diagonal Diagonal
Secundária Principal
O cálculo do seu valor numérico é feito pela diferença do produto da diagonal principal com o produto da diagonal secundária.
 A =
(multiplica-1) (-10)(-3)
A= - 3 – (- 10) = - 3 + 10 = 7
Matriz de 3ª ordem utilizando método de Sarrus
Essa regra diz que para encontrar o valor numérico de um determinante de ordem 3, basta repetir as duas primeiras colunas à direita do determinante e mutiplicar os elementos do determinante da seguinte forma:
Dado o determinante de ordem 3x3 , veja como aplicar a Regra de Sarrus.
Repetimos as duas primeiras colunas: .
Multiplicamos os elementos das diagonais secundárias e os elemetos das diagonais principais.
Sendo que os produtos das diagonais secundárias devem ter seus sinais invertidos, ficando da seguinte forma o valor numérico desse determinante:
= +5 – 2 – 6 = -3
Pelo método de Sarrus só é possível calcular matrizes de 3ª ordem.
Método da Linha ou Coluna
Esse método consiste em multiplicar cada elemento da linha ou coluna pelo seu cofator pode selecionar-se indiferentemente qualquer linha ou coluna da matriz para aplicar o teorema, pois todas obtémo mesmo resultado. Nota todos os números contem um sinal secreto que deve ser seguido na seguinte forma ( na 1ª linha + - + - + na 2º linha o contrario e assim sucessivamente)
B=B=B=
O determinante desta matriz pode ser calculado aplicando à 1ª linha:
O mesmo resultado pode ser obtido aplicando o teorema à 2ª coluna
ETAPA 03
PASSO 2
Equação Linear é uma equação da forma:
a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b , na qualx1,x2,x3,...,xn são variáveis ;a1,a2,a3,...,na são os respectivos coeficientes das variáveis, e b é o termo independente .
Os valores das variáveis que transformam uma equação linear em identidade, isto é, que satisfazem á equação, constituem sua solução. Esses valores são denominados raízes da equação linear.
Os valores das variáveis que transformam simultaneamente as equações de um sistema linear em identidade, isto é, que satisfazem todas as equações do sistema, constitui sua solução. Esses valores são denominados raízes do sistema de equações lineares.
PASSO 3
Um sistema linear pode ter 3 soluções :
Possível: Determinado (contendo solução única) e Indeterminado: ( podendo ter infinitas soluções).Impossível (não ter nenhuma solução).
Ex:
Sistema Determinado
2X + 3Y= 18
3X + 4Y= 25
É compatível e determinado, pois tem como raízes unicamente
X= 3
Y=4
Sistema indeterminado
É quando admite mais de uma solução (na verdade, admite infinitas soluções).
Exemplo: 4X + 2Y=100
 8X + 4Y=200
Y=0 ∕ 2 ∕ 4 ∕ 6
X=25∕ 24∕ 23∕ 22∕
Sistema incompatível
Um sistema de equação linear é incompatível quando não admite solução
Exemplo: 3X+9Y = 12
 3X+9Y = 15
É incompatível, pois a expressão 3X + 9Y não pode ser simultaneamente igual a 12 e igual a 15.
Passo 4
Matriz dos coeficientes de um sistema linear. É a matriz formada pelos coeficientes das variáveis do sistema.
Matriz ampliada de um sistema linear é a matriz formada pelos coeficientes das variáveis do sistema acrescida de uma coluna formada pelos termos independentes.
ETAPA 4
Primeira lei de Kirchhoff (lei dos nós)
Em qualquer nó, a soma das correntes  que o deixam(aquelas cujas apontam para fora do nó) é igual a soma das correntes que chegam até ele. A Lei é uma consequência da conservação da carga total existente no circuito. Isto é uma confirmação de que não há acumulação de cargas nos nós.
Segunda lei de Kirchhoff (lei das malhas)
A soma algébrica das forças eletromotrizes (f.e.m) em qualquer malha é igual a soma algébrica das quedas de potencial ou dos produtos iR contidos na malha.
Modelando a situação Problema
Malha 1 (A B C D )
VCC1= V4+V2+V2
VCC1= 4*(I1-I2) +2 * (I1-I3) + 2*(I1) – 10=0
VCC1= 4I1-4I2+2I1-2I1-2I3+2I1 – 10=0
VCC1= 8I1- 4I2-2i3 – 10=0
Malha 2 ( C E F D )
VCC2= V3 + V1 + V2 + V4
VCC2= 3*(i2) +1(i2) + 2x(i2-i3) + 4*(i2-i1)=0
VCC2= 3i2 + 1i2 + 2i2 – 2I3 + 4i2 – 4i1=0
VCC2= -4i1 +10i2 – 2i3=0
Malha 3 (F G H A )
VCC3= V3 + V3 +V2 + V2
VCC3= 3*(i3) + 3*(i3) +2*(i3-i1) + 2*(i3-i2) – 4=0
VCC3= 3i3+ 3i3 +2i3 – 2i1 + 2i3 – 2i2 – 4=0
VCC3= –2i1 – 212 + 10i3 – 4=0
Matriz dos coeficientes
I1 	+8i1 – 4i2 – 2i3 = 10
I2 	– 4i1 + 10i2 – 2i2 = 0
I3	– 2i1 – 2i2 + 10i3 =4
Etapa 5
Matriz Ampliada agrupamento dos elementos
 8 -4 -2 10
 -4 10 -2 0
 -2 -2 10 4
Resolução da Matriz utilizando método de Cramer
Portanto, ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas para a sua resolução devemos calcular o determinante (D) da equação incompleta do sistema e depois substituirmos os termos independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes e assim aplicar a regra de Cramer
Os valores das incógnitas são calculados da seguinte forma: 
x1 = D1 
         D 
x2 = D2 
         D 
x3 = D3   ...   xn = Dn 
         D                    D  
Devemos encontrar a matriz incompleta desse sistema linear que será chamada de D. 
I= Determinante de I =536
 I1= Determinante de I1 = 1072
 I2= Determinante de I2 = 536
 I 3= Determinante de I3 =536
Depois de ter substituído todas as colunas da matriz incompleta pelos termos independentes, iremos colocar em prática a regra de Cramer. 
I 1=  I1 I 1 = 1072 = 2 Amperes
         I  536
I 2=  I2 I 2 = 536 =1Ampér
         I  536
I 3=  I3 I3 = 536 =1Ampér
         I  536
    
Portanto, a solução desse sistema será ( I1=2, I2=1, I3=1 )
Etapa 6 
Dizemos que dois sistemas de equações lineares são equivalentes quando têm as mesmas soluções, ou seja, toda solução do primeiro é também a solução do segundo e reciprocamente, cada solução do segundo é também solução do primeiro.
Vamos utilizar o método de Gauss Jordan para resolver a situação problema
 L1= Faça o pivô na primeira coluna, dividindo a primeira linha por 8
 L2= L1 (4) + L2
 L3= L1 (2) +L3
1 -1/2 -1/4 5/4 
0 8 -3	 5 L2= L2 dividido por 8
0 -3 19/2 13/2 
1 -1/2 -1/4 5/4
0 1	 -3/8	 5/8 L3= L2 (3) + L3
0 -3	 19/2 13/2 Pag. seguinte
 
1 -1/2 -1/4	 5/4
0 1	 -3/8	 5/8 L3= L3 dividido por 67/8
0 0	 67/8 67/8
1 -1/2 -1/4 5/4
0 1	 -3/8	 5/8 L2= L2 (3/8) + L2
0 0	 1	 1
1 -1/2 -1/4	 5/4
0 1	 0	 1 L1= L3 (1/4) + L1
0 0	 1	 1
1 -1/2 0	 3/2
0 1	 0	 1 L1= L2(1/2) + L2
0 0	 1	 1 
1 0	 0 2
0 1	 0 1 
0 0	 1 1
Portanto, a solução desse sistema será ( I1=2, I2=1, I3=1 )
As soluções encontradas da resolução da situação problema utilizando os métodos de Cramer e Gauss Jordan são iguais, conclusão os sistemas são equivalentes
CONCLUSÃO
Através desse trabalho chegamos á conclusão da importância da aprendizagem de matrizes e determinantes como base para os métodos de resoluções de situações e problemas.
As definições de sistemas e equações lineares, contribuindo para o conhecimento e aprendizagem dos alunos.
Aprendemos como calcular matrizes e seus determinantes utilizando métodos da linha ou coluna método de Sarrus, ordens e principais tipos de matrizes, determinantes e resolução de equações lineares.
O grupo se mostrou comprometido e entrosado nas pesquisas feitas ao decorrer do trabalho
Estamos satisfeitos com o trabalho proposto, ele respondeu bem nossas expectativas nos ajudou na aprendizagem e corresponde ao plano de ensino e aprendizagem proposto pela instituição Anhanguera.
REFERÊNCIAS
1. STEINBRUCH, F. Winterle P. PLT Álgebra Linear e Geometria analítica, 
2.LAWSON, T Algebra linear. Editora Edgard Blucher LTDA,1996
3. KOLMAN, B. Introdução à Álgebra Linear com aplicações LTC editora, 2001
4. BOLDRINI, J. L Álgebra Linear. 	São Paulo: Harbra Editora
5. www.vestibulandoweb.com.br/matematica/teoria/tipos-de-matrizes.asp
6. www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes2.php
7. www.brasilescola.com/matematica/equacao-linear.htm
8. www.infoescola.com/eletromagnetismo/lei-de-gauss/
9. www.infoescola.com/eletricidade/leis-de-kirchhoff/