Geometria Analítica e Álgebra Vetorial - Unidade I

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Geometria Analítica e Álgebra Vetorial
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19/04/2021
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Geometria Analítica e 
Álgebra Vetorial
Matrizes. 
Determinantes. 
Sistemas de equações Lineares. 
Vetores e Operações. 
Espaços vetoriais. 
Base e Dimensão. 
Transformações lineares em R² e R³. 
Mudança de Base. 
Autovalores e autovetores. 
Estudo das Retas. 
Estudo dos Planos. 
Circunferência. 
Cônicas.
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UNIDADE 1
Matrizes e sistemas lineares
TÓPICO 1 – Matrizes
TÓPICO 2 – Determinantes e inversão de matrizes
TÓPICO 3 – Sistemas Lineares
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UNIDADE 1
Matrizes e Sistemas Lineares
TÓPICO 1 – MATRIZES
O que é matriz?
Matriz é uma organização de dados em linhas e colunas e cada ente da matriz é denominado elemento. Uma matriz é representada por uma letra maiúscula e os elementos podem estar dispostos entre parênteses ou colchetes. A ordem de uma matriz é a informação da quantidade de linhas (m) e colunas (n).
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Um engenheiro que trabalha de segunda a sexta realizou a supervisão do seguinte número de projetos da sua equipe por dia em três semanas de trabalho:
• Semana 1 - 5, 2, 7, 8, 6.
• Semana 2 - 10, 7, 6, 8, 9.
• Semana 3 - 4, 7, 3, 8, 6.
Exemplo de uma matriz
Imagine uma matriz que represente nas linhas as semanas de trabalho e nas colunas os projetos supervisionados, nos cinco dias da semana em ordem cronológica. Como são três semanas de trabalho, teremos uma matriz com apenas três linhas. Já os dias trabalhados são cinco, portanto o número de colunas será de cinco. Assim, a matriz resultante deste fato ficará:
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Exemplo de uma matriz
a matriz será de ordem 3x5 (leia-se três por cinco), pois tem três linhas e cinco colunas. É importante lembrar que sempre escrevemos primeiro o número de linhas e depois o número de colunas. Observe que o elemento 5 está na primeira linha e na primeira coluna, o qual indicamos por a11 e lemos “o elemento a um um é igual a 5”. O elemento 10 está na segunda linha e na primeira coluna, o qual indicamos por a21 e lemos “o elemento a dois um é igual a 10”. O elemento 4 está na terceira linha e na primeira coluna, o qual indicamos por a31 e lemos “o elemento a três um é igual a 4”
Dessa forma, para representar o elemento de uma matriz, usamos uma letra com dois índices: o primeiro indica em que linha (i) o elemento se encontra e o segundo em que coluna (j), genericamente indicado por aij. Por exemplo: a23 é o elemento que está na segunda linha e na terceira coluna.
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Exemplo de uma matriz
Exemplo 1: Dada a seguinte matriz quadrada de ordem 2, escreva a matriz
A, com aij assumindo os seguintes valores:
Resolução: Como a matriz é 2x2, ela deverá ter quatro elementos, conforme
a matriz genérica:
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Exemplo de uma matriz
Desta forma, os elementos em que na sua posição o número de linhas (i) for maior ou igual ao número de colunas (j), serão determinados pela fórmula “i + 2j”, que é o que afirma a primeira condição, ij a = i + 2j, para i ≥ j . Assim:
a11 = 3 (sendo i = 1 e j = 1, então: i + 2j = 1 + 2·1 = 3)
a21 = 4 (sendo i = 2 e j = 1, então: i + 2j = 2 + 2·1 = 4)
a22 = 5 (sendo i = 2 e j = 2, então: i + 2j = 2 + 2·2 = 6)
Já os elementos em que na sua posição o número de linhas (i) for menor que o número de colunas (j), serão determinados pela fórmula “ aij = 0, para i < j”. Neste caso, apenas o elemento de posição a12 obedece este critério, assim: 
a12 = 0 (neste caso em que i = 1 e j = 2 (i < j), o valor deste elemento é 0)
Portanto, a matriz A será igual a:
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Exemplo de uma matriz
Matriz quadrada A de ordem 2:
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Elementos Correspondentes
Para Facchini (1996, p. 174, grifos do original), “quando temos duas matrizes A e B do mesmo tipo m x n, os elementos de mesma posição (mesma linha e mesma coluna) nas duas matrizes são chamados elementos correspondentes”. Genericamente, dadas duas matrizes de mesma ordem (ou tipo), A e B:
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Igualdade De Matrizes
Para Paiva (2013, p. 97), “duas matrizes do mesmo tipo são iguais quando todos os seus elementos correspondentes são iguais”. Simbolicamente, podemos escrever, sendo A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, temos A = B quando aij = bij para todo i (i = 1, 2, 3, ..., m) e todo j (j = 1, 2, 3, ..., n).
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Igualdade De Matrizes
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Tipologia das Matrizes
Matriz Transposta: Segundo Facchini (1996, p. 176), “dada uma matriz A = (aij)mxn, chamamos de matriz transposta de A (e indicamos a matriz do tipo nxm, que tem linhas ordenadamente iguais às colunas de A”.
A transposta de A = é a = 
Matriz Oposta: Dada uma matriz A = (, a sua matriz oposta será definida por –A = (. Isso significa que a matriz oposta da matriz A é aquela que possui elementos opostos correspondentes ao da matriz A.
A matriz oposta de A = é a –A = 
a11 = 2 = a’11
a21 = 8 = a’12
a12 = 4 = a’21
a22 = 6 = a’22
Observe que:
a11 = 2 e é oposto de (-a11) = - 2
a21 = 8 e é oposto de (-a21) = - 8
a12 = - 4 e é oposto de (-a12) = 4
a22 = 6 e é oposto de (-a22) = - 6
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Tipologia das Matrizes
Matriz Quadrada: Para Paiva (2013, p. 96), “matriz quadrada é toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas”, ou seja, quando m = n, dizemos que a matriz é quadrada de ordem nxn ou simplesmente de ordem n. 
A = é uma matriz quadrada de ordem 3 (m = n = 3)
Numa matriz quadrada de ordem n, os elementos formam a diagonal principal da matriz. A outra diagonal da matriz quadrada é denominada diagonal secundária.
A = 
Matriz Triangular; Matriz Diagonal; Matriz Identidade; Matriz Simétrica. 
Diagonal secundária
Diagonal principal
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Tipologia das Matrizes
Matriz Triangular: Quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos (iguais a zero), dizemos que a matriz é triangular.
 
Matriz Diagonal: Quando todos os elementos posicionados acima e abaixo da diagonal principal são nulos, denominamos de matriz diagonal. 
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Tipologia das Matrizes
Matriz Identidade: Quando todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero, denominamos de matriz identidade e seu símbolo é In (onde n representa a ordem da matriz).
Matriz Simétrica: Quando tiver o elemento aij igual ao elemento aji, a matriz é denominada de simétrica. 
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Operações entre matrizes
Adição e subtração de matrizes: só é possível somar matrizes que possuem a mesma ordem, isto é, o mesmo número de linhas e colunas.
Portanto, os seis elementos de C (2x3 = 6) deverão ser obtidos a partir da operação com cada termo correspondente em A e B. Vejamos como ficará a adição dessas duas matrizes.
c11 = a11 + b11 = 3 + 1 = 4
c21 = a21 + b21 = 4 + 6 = 10
c12 = a12 + b12 = 5 + (– 4) = 5 – 4 = 1
c22 = a22 + b22 = 7 + 3 = 10
c13 = a13 + b13 = (– 2) + (– 1) = – 2 – 1 = – 3
c23= a23 + b23 = (– 6) + 2 = – 4
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Operações entre matrizes
Somente é possível somar matrizes que possuem a mesma ordem, isto é, o mesmo número de linhas e colunas
podemos concluir:
• Denominamos de matriz C a soma da matriz A com a matriz B ou a soma das
matrizes A e B.
Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo mxn, a soma da matriz A com a matriz B, que representamos por A + B, é a matriz C do tipo mxn que é obtida adicionando cada elemento correspondente de A e B.
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Operações entre matrizes
Para subtração de matrizes, utilizaremos a ideia de soma com a matriz oposta, ou seja, a soma da matriz A com a matriz oposta de B, isto é, A – B = A + (-B).
Vejamos, também, uma demonstração de subtração de matrizes. Dadas as matrizes A e B anteriores e vamos determinar a matriz D resultante da subtração A – B.
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Operações entre matrizes
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Operações entre matrizes
Multiplicação de uma matriz por um número real:
Considerando que A + A = 2·A, temos:
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Operações entre matrizes
Desta forma, observamos que a multiplicação é obtida a partir da multiplicação termo a termo de todos os elementos da matriz indicada, o que contempla a ideia de adição de parcelas iguais. Iremos formalizar esta operação com a definição dada a seguir:
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Operações entre matrizes23
Operações entre matrizes
Multiplicação de matrizes: Dada o produto A.B, só é possível multiplicar duas matrizes quando o número de colunas da matriz A, for igual ao número de linhas da matriz B. Dessa forma o produto AB possui o número de linhas de A e o número de colunas de B. 
Na multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa, isto é, podemos ter A . B B . A para duas matrizes quaisquer A e B.
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Operações entre matrizes
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Operações entre matrizes
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UNIDADE 1
Matrizes e Sistemas Lineares
TÓPICO 2 - Determinantes e inversão de matrizes
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O CÁLCULO DO DETERMINANTE
“o determinante é um número obtido por meio de multiplicações e adições dos coeficientes de um sistema linear”, ou seja, o determinante é um número real associado a uma matriz quadrada. É importante destacar que cada matriz possui um único determinante. Simbolicamente, o determinante de uma matriz A será denotado por |A|, det(A) ou por DA. Veja a ideia do determinante em um sistema com duas equações e duas variáveis:
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O CÁLCULO DO DETERMINANTE
Para resolver este sistema devemos escolher uma variável para zerar e após realizar a soma do sistema. Escolhendo a variável y para zerar, devemos multiplicar a primeira por 7 e a segunda por -3, obtendo:
Bastaria substituir este valor de x em uma das equações e descobrir que y = 21. De fato, ao resolver um sistema, procederíamos desta forma, mas resolvendo as multiplicações. O fato de não multiplicarmos é para que vejamos os valores presentes no numerador e no denominador da variável a ser descoberta. Perceba que o denominador e o numerador no caso do x estão ligados diretamente às respectivas matrizes:
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Determinante de uma matriz de ordem:
Determinante de uma matriz de ordem:
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O cálculo do determinante de 3ª ordem consegue ser resolvido utilizando-se um procedimento de cálculo bastante simples, denominado regra de Sarrus
Determinante de uma matriz de ordem – REGRA DE SARRUS
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Determinante de uma matriz de ordem – REGRA DE SARRUS
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Determinante de uma matriz de ordem – REGRA DE SARRUS
4º passo: Por fim, devemos operar a soma do produto da diagonal principal com suas paralelas, menos a soma do produto da diagonal secundária com suas paralelas. Desta forma:
det A = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) - (a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33)
Calcule o determinante da matriz B = .
Repetimos inicialmente as duas primeiras colunas após a terceira.
Det(B) = (3.1.4+4.5.0+2.2.7) – (2.1.0+3.5.7+4.2.4)
Det(B) = (12+0+28) – (0+105+32)
Det(B) = 40 – 137
Det(B) = -97
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O cálculo dos determinantes pode ser facilitado se analisarmos as características e propriedades de algumas matrizes, isto é, é possível fazer com que economizemos tempo na resolução desses cálculos. Vejamos, a seguir, quais são estas propriedades:
P1: Se os elementos de uma linha (ou uma coluna) de uma matriz quadrada forem todos iguais a zero, seu determinante será zero.
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
P2: Se os elementos de duas linhas ou colunas de uma matriz forem iguais, seu determinante será nulo.
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PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
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PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
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O método de eliminação de Gauss, mais conhecido como método do escalonamento, trata-se de converter a matriz indicada em outra equivalente, utilizando-se de processos matemáticos elementares sobre as linhas da matriz. 
As operações elementares se constituem de três operações básicas:
• Multiplicar: podemos multiplicar uma linha inteira por uma constante não nula. Simbolizamos por: Li = α ∙Li (α ∈R* ).
• Trocar ou permutar: podemos trocar duas linhas inteiras entre si. Simbolizamos
por: Li = Lk.
• Somar ou subtrair: um múltiplo de uma linha a outra linha. Simbolizamos por:
Li = Li + α ∙Lk (α ∈R* ).
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Escalonamento de matrizes: Método de eliminação de Gauss
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UNIDADE 1
Matrizes e Sistemas Lineares
TÓPICO 3 – Sistemas Lineares
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Sistemas de Equações Lineares
Classificação de um Sistema Linear:
Sistemas Possíveis e Determinados (SPD): Um sistema apresentar uma única solução significa que as equações que o compõem são retas concorrentes cujo ponto de intersecção é a solução do sistema.
Sistemas Possíveis e Indeterminados (SPI): Nesse tipo de sistemas há infinitas possibilidades de combinações para x1, x2, x3,…, xn que satisfazem o sistema linear. Logo, este sistema é possível, mas é indeterminado, pois não há uma única e determinada solução, mas infinitas.
Sistemas Impossíveis (SI): Como o próprio nome diz, são os sistemas que não têm soluções, ou seja, não há combinação possível para x1, x2, x3,…, xn de modo a satisfazer, simultaneamente, todas as m equações do sistema.
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3.1 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO
Como o próprio nome sugere, o método consiste em isolar uma das incógnitas em qualquer uma das equações do sistema e substituir o valor isolado na outra equação. Para relembrar esse método, acompanhe os passos indicados nos exemplos a seguir:
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Passo 5: Por fim, escrevemos a solução do sistema: S = {(4,3)}.
Na sua representação gráfica, podemos observar a solução na intersecção das retas, S ={4, 3}. Geometricamente representa retas concorrentes, onde há um ponto (x, y) de intersecção que é solução única do sistema, ou seja, o sistema é Possível e Determinado.
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MÉTODO DA ADIÇÃO
Segundo Iezzi et al. (2013, p. 108), o método da adição “consiste em somar, convenientemente, duas equações, a fim de que se obtenha uma equação com apenas uma incógnita”, ou seja, de modo a eliminar uma das variáveis na nova equação obtida. Para que isso ocorra, é necessário que existam termos opostos nas duas equações (em relação a uma mesma incógnita...).
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REGRA DE CRAMER
Esse método consiste em utilizar determinantes das matrizes formadas pelos coeficientes dos sistemas lineares para determinar sua solução. Porém, antes de apresentarmos o método propriamente dito, é necessário aprender sobre como representar um sistema linear na forma matricial.
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Regra de Cramer:
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Regra de Cramer:
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3.5 SISTEMAS ESCALONADOS – MÉTODO DE GAUSS
Você deve ter percebido que a Regra de Cramer não nos permite determinar soluções para sistemas que não tenham o mesmo número de equações e incógnitas. Para estes casos e quando queremos resolver sistemas lineares cujo número de equações (e de incógnitas) excede três, é indicado que utilizemos o Método de Gauss, que utiliza o escalonamento de matrizes na sua resolução.
Para escalonar o sistema, vamos utilizar as três operações sobre linhas de matrizes já conhecidas, visto que verificamos, com as propriedades do item 3.2, que ao realizar estas operações, obtemos sistemas equivalentes.
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Por fim, façamos a leitura das linhas das matrizes, iniciando pela última linha:
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5 APLICAÇÕES DE SISTEMAS LINEARES
Conforme visto na introdução deste tópico, os sistemas lineares são a chave para resolver diversos problemas nas mais variadas áreas. Desta forma, trazemos a resolução de algumas aplicações.
Exemplo 23: (FGV-2005) Um motorista abasteceu seu carro Flex num posto com 10 litros de álcool e 30 litros de gasolina, pagando R$ 90,00. Na semana seguinte, no mesmo posto, abasteceu com 30 litros de álcool e 20 litros de gasolina pagando R$ 102,00. Se não houve alteração nos preços, calcule o preço do álcool nesse posto.
Resolução: Utilizando as variáveis “x” e “y” para preços, respectivamente, do álcool e da gasolina, montamos o sistema com as informações: