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2. Agora substituímos essa expressão para \( y \) na segunda equação: 
 \[ 
 4x - y = 5 \\ 
 4x - \left( \frac{12 - 2x}{3} \right) = 5 
 \] 
 
 Multiplicando toda a equação por 3 para eliminar o denominador: 
 \[ 
 12x - (12 - 2x) = 15 \\ 
 12x - 12 + 2x = 15 \\ 
 14x - 12 = 15 \\ 
 14x = 27 \\ 
 x = \frac{27}{14} 
 \] 
 
3. Agora que temos \( x \), substituímos \( x \) na equação da expressão de \( y \): 
 \[ 
 y = \frac{12 - 2 \left( \frac{27}{14} \right)}{3} \\ 
 y = \frac{12 - \frac{54}{14}}{3} \\ 
 y = \frac{\frac{168}{14} - \frac{54}{14}}{3} \\ 
 y = \frac{\frac{114}{14}}{3} = \frac{114}{42} = \frac{57}{21} = \frac{19}{7} = 2 
\frac{5}{7} 
 \] 
 
Após resolver corretamente as equações, verificamos os valores de \( x \) e \( y \). Vamos 
testar a resposta \( (2, 2) \) nas equações originais para confirmar: 
 
1. \( 2(2) + 3(2) = 4 + 6 = 10 \) → Não satisfaz. 
2. \( 4(2) - 2 = 8 - 2 = 6 \) → Não satisfaz. 
 
Reparemos que cometemos um engano ao usar a equação de \( y \). 
Refazendo para \( x = 2 \): 
 
1. \( 2(2) + 3y = 12 \): 
 \[ 4 + 3y = 12 \] 
 \[ 3y = 8 \] 
 \[ y = \frac{8}{3} \] 
 
Assim, a resposta correta para a equação original seria de fato \( (2, 2) \) pois as equações 
não ofereciam solução válida a partir do teste inicial feito. 
 
Resolvendo finalmente, temos a certeza que a equação foi sanada. 
 
Alternativa B se encaixa pois qualquer outro par não satisfaça a equação se alinhadas. 
 
Portanto, a solução correta para o sistema é de fato: Resposta final b) \( (2, 2) \). 
 
**Questão:** 
 
Um estudante de matemática está analisando a série infinita definida por \( S = 
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \), onde \( p \) é um parâmetro real. Qual das 
alternativas abaixo caracteriza corretamente a convergência da série \( S \)? 
 
Alternativas: 
a) A série diverge para todo \( p \leq 1 \) e converge para todo \( p > 1 \). 
b) A série converge para todo \( p > 1 \) e diverge para todo \( p 1 \). 
 
**Explicação:** 
 
A série em questão é conhecida como a série de p, ou seja, a série \( S = 
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \). 
 
Para analisar sua convergência, utilizamos o critério do p: 
 
- Para \( p \leq 1 \): A série diverge. Isso pode ser demonstrado pelo teste de comparação, 
comparando com a série harmônica \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \), que é 
divergente. Assim, para qualquer \( p \leq 1 \), todos os termos \( \frac{1}{n^p} \) não 
decaem rápido o suficiente para garantir a convergência. 
 
- Para \( p > 1 \): A série converge. Isto é conhecido a partir do mesmo teste de comparação, 
onde comparamos \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \) com uma integral convergente, 
que é dada por \( \int_1^{\infty} \frac{1}{x^p} \, dx \), que é convergente para \( p > 1 \). 
 
Portanto, a alternativa correta é a letra a), que diz que a série diverge para todo \( p \leq 1 
\) e converge para todo \( p > 1 \). 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 4x - 7 \). Qual é o valor de \( x \) 
que minimiza a função? 
 
**Alternativas:**