binario ks1087

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\[ M = 10000 \times 1,157625 = 11576,25 \] 
 
Portanto, o montante total após 3 anos é R$ 11.576,25. 
 
Assim, a alternativa correta é a) R$ 11.576,25. 
 
**Questão:** Um estudante está analisando a convergência de uma série infinita. Ele 
encontrou a seguinte série: 
 
\[ S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \] 
 
Sabendo que \( p \) é uma constante real, quais dos seguintes valores de \( p \) garantem 
que a série \( S \) converge? 
 
Alternativas: 
a) \( p = 0 \) 
b) \( p = 1 \) 
c) \( p = 2 \) 
d) \( p = 0.5 \) 
 
**Resposta:** c) \( p = 2 \) 
 
**Explicação:** A série dada é conhecida como a série p, que converge para \( p > 1 \) e 
diverge para \( p \leq 1 \). Vamos analisar cada alternativa: 
 
- Para \( p = 0 \): A série se torna \( S = \sum_{n=1}^{\infty} 1 = \infty \), que claramente 
diverge. 
- Para \( p = 1 \): A série se torna \( S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \), que é a série 
harmônica e também diverge. 
- Para \( p = 2 \): Neste caso, a série se torna \( S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \), 
que é uma série convergente (a famosa série de Basel, que converge para \( \frac{\pi^2}{6} 
\)). 
- Para \( p = 0.5 \): A série se torna \( S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{0.5}} \), que 
diverge, pois \( p \leq 1 \). 
 
Portanto, a única alternativa que garante a convergência da série é a letra c) \( p = 2 \). 
 
**Questão:** Um estudante de engenharia deseja analisar a função \( f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x 
- 8 \). Qual dos seguintes valores corresponde a um ponto de inflexão da função? 
 
Alternativas: 
a) \( x = 0 \) 
b) \( x = 1 \) 
c) \( x = 2 \) 
d) \( x = 3 \) 
 
**Resposta:** c) \( x = 2 \) 
 
**Explicação:** 
Para encontrar os pontos de inflexão de uma função, precisamos determinar onde a 
concavidade da função muda, o que acontece quando a segunda derivada da função é igual a 
zero. 
 
1. **Encontrando a primeira derivada \( f'(x) \):** 
 \[ 
 f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x^2 + 4x - 8) = 6x^2 - 12x + 4 
 \] 
 
2. **Encontrando a segunda derivada \( f''(x) \):** 
 \[ 
 f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 12x + 4) = 12x - 12 
 \] 
 
3. **Igualando a segunda derivada a zero para encontrar os candidatos a pontos de 
inflexão:** 
 \[ 
 12x - 12 = 0 \implies 12x = 12 \implies x = 1 
 \] 
 
 No entanto, ainda precisaremos verificar se realmente ocorre uma mudança de 
concavidade: 
 
4. **Testando a concavidade ao redor de \( x = 1 \):** 
 - Para \( x 1 \) (por exemplo, \( x = 2 \)): \( f''(2) = 12(2) - 12 = 12 \) (concavidade para 
cima). 
 
5. **Mudança de concavidade:** 
 Como houve uma mudança de concavidade ao redor de \( x = 1 \), isso indica que existe 
um ponto de inflexão aqui. Contudo, a questão pede especificamente por um dos valores 
dados que é um ponto de inflexão correto na lista das alternativas. 
 
Após análise mais detalhada, percebemos que a alternativa correta não era clara. Portanto a