04_Transitórios Eletromagnéticos - Elementos Distribuídos-Parte 2 - New

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TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS EM SISTEMAS DE POTÊNCIA - 2017 
TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS 
EM SISTEMAS DE POTÊNCIA 
Sandro de Castro Assis 
Sete Lagoas - 2017 
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TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS EM SISTEMAS DE POTÊNCIA - 2017 
• No período inicial da transmissão de energia elétrica 
foram usados condutores de cobre; 
• Posteriormente foram completamente substituídos 
pelos de alumínio. 
• Para uma resistência desejada, o condutor de 
alumínio custa e pesa menos do que o de cobre. Do 
ponto de vista elétrico, o condutor de alumínio possui 
a vantagem de ter um diâmetro maior do que o 
condutor de cobre equivalente. 
• Maior diâmetro, a densidade de fluxo elétrico na 
superfície do condutor é menor para a mesma 
tensão. 
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• A grande maioria das simulações geralmente 
envolve linhas de transmissão como um de seus 
componentes básicos. 
 
• Necessidade de obter os parâmetros das linhas 
de transmissão que fazem parte do sistema a ser 
estudado. 
 
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• Os símbolos utilizados para identificar os diversos 
tipos de condutores de alumínio são: 
– CA condutores de alumínio puro - Homogêneo 
– AAC - all-aluminum conductors - Homogêneo 
 
– CAA condutores de alumínio com alma de aço 
– ACSR - aluminum conductor steel-reinforced 
 
– AAAC condutores de liga de alumínio pura (all-
aluminum-alloy conductors) - Homogêneo 
 
– ACAR condutores de alumínio com alma de liga 
de alumínio (aluminum conductor, alloy-reinforced) 
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 Fio 
 
 Condutor homogêneo 
 
 Condutor não- homogêneo 
 
 
 Condutor reforçado com 7 fios de aço e 
 24 fios de alumínio 
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Examples of high-temperature conductor designs 
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• As linhas aéreas têm resistência e reatância que 
limitam o fluxo de corrente. Esses valores de 
impedância permitem o cálculo para queda de 
tensão, fluxo de energia, curto-circuito e cálculos de 
perda de linha, etc; 
• A resistência dc é inversamente proporcional a área 
do conductor; 
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• A resistência dos condutores é a principal causa da 
perdas de energia nas linhas aéreas. 
 
• A resistência efetiva de um condutor é: 
 
 
 
 
• A resistência em corrente contínua é igual à: 
 
 ou W 
 
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• Temperatura e freqüência altera a resistência de um 
condutor; 
• Um condutor mais quente fornece mais resistência 
ao fluxo de corrente; 
• Uma maior freqüência aumenta os campos 
magnéticos internos. A corrente flui mais facilmente 
perto das bordas.  Efeito de skin (pele)  força a 
corrente a fluir em uma área menor do condutor. 
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• A condutividade padrão internacional é a do cobre 
recozido. O fio de cobre têmpera dura tem 97,3% e o 
alumínio tem 61% da condutividade do cobre 
recozido padrão. Para a temperatura de 20°C: 
– Para o cobre têmpera dura - r =1,77 x 10-8 W.m. 
– Para o alumínio - : r =2,83 x 10-8 W.m. 
 
• Na faixa normal de operação, a variação da 
resistência de um condutor metálico com a 
temperatura é praticamente linear. 
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• Num gráfico da resistência em função da temperatura, 
um prolongamento da porção retilínea do gráfico permite 
a correção da resistência para variações de temperatura. 
O ponto de interseção do prolongamento da reta com o 
eixo da temperatura para resistência zero é uma 
constante do material. 
T é a constante determinada pelo gráfico. 
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• Para uma ampla gama de temperaturas, a resistência 
sobe quase linearmente com temperatura no alumínio e 
cobre. O efeito da temperatura é simplificado como uma 
equação linear : 
 
R2 = R1 [1+a(t2 – t1)] 
 
a  coeficiente de ajuste da resistência devido temperatura 
a = 0.00404 para 61.2% IACS alumínio à 20º C 
a = 0.00347 para 6201-T81 liga de alumínio à 20º C 
a = 0.00383 para cobre à 20º C 
a = 0.0036 para aço aluminizado à 20 º C 
* Assim, a resistência do alumínio com uma condutividade de 61,2% 
aumenta 4% por cada aumento de temperatura de 10% C. 
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• Com corrente alternada, os efeitos skin elevam a 
resistência de um condutor em relação à sua 
resistência à CC. 
• A 60 Hz, a resistência de um condutor é muito 
próxima da sua resistência a CC, com exceção de 
condutores muito grandes. 
• Os efeitos de pele são muito mais importantes para a 
análise de alta freqüência, como sobretensões 
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• A resistência interna de um condutor redondo sólido 
que inclui efeitos de pele é : 
Onde: 
 
 
 
f = frequência em Hz 
 = permeabilidade relativa 
 = 1 para condutores não magnéticos (incluindo aluminio e cobre) 
Rdc = resistência dc do condutor (ohms/unidade de comprimento) 
ber, bei, ber‘ e bei‘ = funções de Bessel, real e imaginária e suas derivadas. 
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• Para x maior que 3 (freqüências na faixa de kilohertz), a 
resistência aumenta linearmente com x aproximadamente 
como 
 
 
• Onde: 
 
f = frequência em Hz 
 = permeabilidade relativa 
 = 1 para condutores não magnéticos (incluindo aluminio e 
cobre) 
Rdc = resistência dc do condutor (ohms/unidade de comprimento) 
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• Cálculo dos parâmetros de linha 
– Matriz de capacitância shunt 
• Depende do geometria física – silhueta dos cabos 
 
v = Pq 
• v é o vetor das tensões no 
no condutor 
• q é o vetor de cargas elétricas 
para produzir a tensão v 
• P é a matriz de potencial de 
Maxwell 
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– Para baixas frequências |gcrc|pelo 
elemento resulta no enlace de fluxo: 
 
Integrando o enlace do centro à 
periferia do condutor: 
 
y=L.i  Zint = w 
 
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σe, μe, and εe são a condutividade (S/m), 
permeabilidade (H/m), and permissividade (F/m) do 
solo, respectivamente. 
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Multiplicando cada elemento 
da matriz por Dij/Dij obtemos: 
 
Zg – Impedância geométrica Ze – Impedância envolvendo a terra 
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 7.85 m
tower : 21.63 m
12 m
tower : 30.5 m
midspan : 23.2 m
midspan : 9.83 m
nb = 2
separ = 0.4 m
alpha = 0 graus
Com base nos dados 
indicados acima é possível 
montar o seguinte arquivo 
para entrada no ATP 
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 ----+----1----+----2----+----3----+----4----+----5----+----6----+----7----+----8 
 BEGIN NEW DATA CASE 
 LINE CONSTANTS 
 METRIC 
 C 
 C opção para entrada dos cabos de forma individual 
 C 
 10.231 0.0522 4 3.18 -12.2 21.63 9.83 
 10.231 0.0522 4 3.18 -11.8 21.63 9.83 
 20.231 0.0522 4 3.18 -0.2 21.63 9.83 
 20.231 0.0522 4 3.18 0.2 21.63 9.83 
 30.231 0.0522 4 3.18 11.8 21.63 9.83 
 30.231 0.0522 4 3.18 12.2 21.63 9.83 
 00.5 0.36 4 1.46 -7.85 30.50 23.2 
 00.5 0.36 4 1.46 7.85 30.50 23.2 
 BLANK card ending conductor cards 
 250.0 50.0 1 111 111 1 
 BLANK card ending frequency cards 
 ----+----1----+----2----+----3----+----4----+----5----+----6----+----7----+----8 
 C 
 C opção para entrada com redução automática dos cabos geminados 
 C 
 10.231 0.0522 4 3.18 -12.0 21.63 9.83 40. 0.0 2 
 20.231 0.0522 4 3.18 0.0 21.63 9.83 40. 0.0 2 
 30.231 0.0522 4 3.18 12.0 21.63 9.83 40. 0.0 2 
 00.5 0.36 4 1.46 -7.85 30.50 23.2 
 00.5 0.36 4 1.46 7.85 30.50 23.2 
 BLANK card ending conductor cards 
 250.0 50.0 1 111 111 1 
 BLANK card ending frequency cards 
 BLANK card ending line constants case 
 BEGIN NEW DATA CASE 
 BLANK card ending all cases 
 ----+----1----+----2----+----3----+----4----+----5----+----6----+----7----+----8 
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TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS EM SISTEMAS DE POTÊNCIA - 2017 
 
 
 
 
• IP - número de fase do condutor 
– todos os condutores com o mesmo número de 
fase serão considerados pertencentes a um 
conjunto de cabos geminados e substituidos por 
um único condutor equivalente. 
– a numeração deve ser 1,2,3,...etc.. para as fases e 
0 para os cabos para-raios. 
 
 
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• SKIN - "flag" para identificar a inclusão do efeito 
skin, associada ao parâmetro RESIS. 
• RESIS - resistência do condutor associada ao efeito 
skin 
– para não incluir o efeito skin, o parâmetro SKIN 
deve ser igual a 0.0. RESIS deve ser igual ao valor 
da resistência CA em ohm/km ou ohm/mi. 
– para incluir o efeito skin, o parâmetro SKIN deve 
ser igual a relação T/D, sendo T a espessura do 
condutor tubular e D o diâmetro externo do 
condutor, e o parâmetro RESIS deve ser 
igual ao valor da resistência CC do condutor. 
D
T
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• IX - é um "flag" para a indutância própria do 
condutor, estando associado ao parâmetro 
REACT 
• REACT - é um parâmetro que depende do "flag" IX 
e que define o tipo de cálculo que será realizado para 
a obtenção da reatância do condutor. 
– IX = 0 , deve ser especificado para REACT o 
valor da reatância do condutor (em ohm/km ou 
ohm/milha) para uma unidade de espaçamento (m 
ou foot), o qual será válido para a frequência 
especificada. A indutância interna não é corrigida 
para o efeito "skin". 
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– IX =1, deve ser especificado para REACT o valor 
da reatância do condutor (em ohm/km ou 
ohm/milha) para uma unidade de espaçamento (m 
ou foot), para a frequência de 60 Hz. Caso uma 
outra frequência seja especificada pelo usuário, a 
reatância será corrigida proporcionalmente. 
– IX = 2 , deve ser especificado para REACT o 
valor do RMG do condutor (GMR), em cm ou 
polegadas. 
– IX = 3 , deve ser especificado para REACT o 
valor da relação RMG/R. A indutância interna não 
é corrigida para o efeito "skin". A relação RMG/R é 
igual a 0.7788 para um condutor sólido. 
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TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS EM SISTEMAS DE POTÊNCIA - 2017 
– IX = 4 , REACT não deve ser especificado e o 
campo deve ser deixado em branco. A indutância 
interna será corrigida para o efeito "skin" e o 
cálculo da indutância própria será baseado na 
geometria tubular do condutor. Esta é a opção 
mais utilizada normalmente. 
• DIAM - é o diâmetro externo do condutor tubular, 
em cm ou polegada. 
• HORIZ - é a distância horizontal, em m ou "foot”, 
entre o centro do condutor, ou do conjunto de 
condutores geminados, e uma referência 
especificada pelo usuário. 
 
 
 
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• VTOWER - é a altura do centro do condutor, ou do 
conjunto de cabos geminados, medida na torre a 
partir do solo. 
• VMID - é a altura do centro do condutor, ou do 
conjunto de cabos geminados, em m ou "foot“, 
medida no meio do vão a partir do solo. 
Nota 1 : A altura equivalente dos condutores, a ser 
utilizada nos cálculos dos parâmetros da linha: 
 Veq = 2/3 VMID + 1/3 VTOWER 
Nota 2 : Quando somente VMID ou VTOWER é 
especificado, a altura equivalente é considerada igual 
ao valor do parâmetro especificado. 
 
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TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS EM SISTEMAS DE POTÊNCIA - 2017 
• SEPAR - é a distância de separação, em cm ou 
polegada, entre os centros de dois condutores 
adjacentes de um conjunto de condutores geminados 
• ALPHA - é a posição angular do centro 
de um dos condutores do conjunto de 
condutores geminados em relação ao 
eixo horizontal, que é tomado como 
referência. Os ângulos positivos são 
definidos no sentido anti-horário. 
• NBUND - é o número de condutores que fazem 
parte de um conjunto de cabos geminados. 
 
 
a
SEPAR
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• RHO - é a resistividade em ohm.metro do solo 
homogêneo. 
• FREQ - é a frequência em Hz na qual os 
parâmetros da linha de transmissão serão 
calculados. 
 
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• FCAR - é um "flag" usado para controlar a 
quantidade de termos na fórmula de Carson que 
corrige a impedância considerando o retorno pelo 
solo. 
– FCAR= 0 - nehuma parcela é acrescentada para 
considerar o retorno pelo solo. 
– FCAR = 1 na coluna 28 - os cálculos são 
efetuados com a máxima precisão, considerando 
todos os termos da fórmula de Carson 
– FCAR = branco - os cálculos são efetuados com a 
máxima precisão, considerando todos os termos 
da fórmula de Carson 
 
 
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•  ICPR - é um "flag" para controlar o tipo de 
impressão para a matriz de capacitâncias da linha de 
transmissão, associado ao parametro ICAP. 
 
•  ICAP - é um "flag" para controlar o tipo de matriz 
que deverá ser impressa para a matriz de 
capacitância da linha de transmissão,associado ao 
parametro ICPR. 
• Há duas opções básicas para o parametro ICAP : 0 
ou 1. Dependendo da opção selecionada e do valor 
de ICPR as seguintes matrizes de capacitâncias são 
impressas: 
 
 
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• Para ICAP = 0 : 
 
 
 
 
 
• Para ICAP = 1 : 
 
 
ICAP ICPR Matriz Impressa 
0 100000 
inversa de w [ C ] 
0 010000 inversa de w [ Ce ] 
0 001000 inversa de w [ C s] 
0 000100 w [ C ] 
0 000010 w [ Ce ] 
0 000001 w [ Cs ] 
ICAP ICPR Matriz Impressa 
1 100000 
inversa de [ C ] 
1 010000 inversa de [ Ce ] 
1 001000 inversa de [ C s] 
1 000100 [ C ] 
1 000010 [ Ce ] 
1 000001 [ Cs ] 
[ C ] é a matriz de capacitâncias 
para o conjunto completo de cabos 
da linha de transmissão, sem 
nenhuma redução, incluindo todos 
os cabos físicos. 
 
[ Ce ] é a matriz de capacitâncias é 
para o conjunto de fases da linha de 
transmissão, depois da eliminação 
dos cabos geminados e dos para-
raios. 
 
[ Cs ] é a matriz de capacitâncias em 
componentes simétricas e para o 
conjunto de fases da linha de 
transmissão, depois da eliminação 
dos cabos geminados e dos 
para-raios. 
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TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS EM SISTEMAS DE POTÊNCIA - 2017 
• DIST - este parâmetro geralmente não tem 
nenhuma utilidade, uma vez que todos os valores 
são expressos em unidades de comprimento. 
Exceção deve ser feita ao caso onde se deseja 
calcular um pi-equivalente porque, neste caso, seria 
necessário especificar o seu comprimento 
• IZPR - é um parâmetro para controlar a impressão 
dos vários tipos das matrizes de 
impedâncias da linhha de 
transmissão, com a 
correspondência ao lado: 
• ISEG = 0 - para-raios contínuos 
• ISEG = 1 - para-raios segmentados 
 
 
IZPR Matriz Impressa 
1 [ Z ] 
010000 [ Ze ] 
001000 [ Zs ] 
000100 inversa de [ Z ] 
000010 inversa de [ Ze] 
000001 inversa de [ Zs ] 
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TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS EM SISTEMAS DE POTÊNCIA - 2017 
• Modelos ATP 
– Dois fatores dificultam a solução das equações 
de linha no domínio do tempo quando as 
perdas no solo e nos condutores são levadas 
em consideração: 
• Variação dos parâmetros do solo e do condutor com 
a frequência. 
• Existe solução analítica para as equações de linha 
de transmissão com perdas constantes, porém com 
validade e aplicabilidade restritas. 
 
Alternativa  Solução através de métodos numéricos 
 
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• O ATP dispõe de modelos de linhas de transmissão 
com perdas: 
– Modelos com parâmetros distribuídos 
• parâmetros constantes 
• parâmetros variáveis com a frequência 
– Modelos com parâmetros concentrados (pi-
equivalente e pi-nominal) 
 
 Como são modelos, cada um adota 
simplificações que podem ser mais ou menos 
relevantes, dependendo do caso em analise 
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TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS EM SISTEMAS DE POTÊNCIA - 2017 
• Parâmetros distribuídos constantes 
– Se desprezarmos as perdas nos condutores e no 
solo, é possível partir da solução geral de linhas 
de transmissão e obter uma solução exata para a 
propagação dos pulsos de tensão e corrente no 
domínio do tempo. 
r = 0 W.m 
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TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS EM SISTEMAS DE POTÊNCIA - 2017 
– Considerando as perdas 
• Difícil solução das equações de linha de 
transmissão quando consideramos as perdas no 
solo e nos condutores: 
– Os parâmetros do solo e do condutor variam com a 
frequência. 
– Não há transformada inversa de Laplace para as 
equações de linhas de transmissão com parâmetros 
variáveis com a frequência. 
• Solução : Método de Bergeron 
– Desprezar a variação dos parâmetros com a frequência; 
– Utilizar resistências artificialmente distribuídas 
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TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS EM SISTEMAS DE POTÊNCIA - 2017 
 
 
 
 
 
• Parâmetros calculados em uma única frequencia 
definida pelo usuário 
r = 0 W.m 
Sem perdas 
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TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS EM SISTEMAS DE POTÊNCIA - 2017 
RESUMO DE CARACTERÍSTICAS FUNDAMENTAIS 
• Uma vez que as resistências estão concentradas em 
3 pontos da seção da linha e os parâmetros da linha 
por unidade de comprimento em uma frequência 
específica (fenômenos transitórios que englobem 
uma gama de frequências podem resultar em erros): 
– Erros associados à uma única velocidade de 
propagação na linha; 
– Erros associados à uma relação V/I invariante na 
frequência; 
– Erros associados à não consideração da natureza 
distribuída de R. 
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TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS EM SISTEMAS DE POTÊNCIA - 2017 
• Considerações de variáveis na frequência 
– As equações de linha de transmissão não 
possuem solução analítica fechada no domínio do 
tempo quando considerado a variação dos 
parâmetros com a frequência 
– É possível obter solução numérica através de 
operação de convolução. 
 
• O modelo JMARTI obtém uma solução numérica 
aproximada supondo a síntese da impedância 
característica e da função de propagação por 
meio de funções racionais (diagrama de Bode)- 
pólos e zeros. 
Degrau sofre atenuação e 
distorção 
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• Possui no entanto importante simplificação no caso 
de linhas polifásicas 
 
 Utiliza de uma matriz de transformação modal real e 
constante na frequência. 
 
 Isto pode levar a erros no caso de configurações de 
condutores com assimetria acentuada 
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TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS EM SISTEMAS DE POTÊNCIA - 2017 
• Modelo PI 
– Solução exata para um determinada frequência 
– Utiliza as equações hiperbólicas de LT 
– É utilizado pelo ATP na solução de regime 
permanente que antecede simulações de 
transitórios 
– Não há uma real propagação dos surtos, pois 
os elementos são concentrados. As amplitudes 
sugerem um tempo de atraso entre um ponto e 
outro; 
– A cascata com de n seções pi-nominais atua 
como um filtro de ordem elevada; 
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Sistemas Polifásicos 
com “n” fases 
“n” Sistemas 
Monofásicos 
Autovalores 
Autovetores 
Cálculo de 
parâmetros 
da linha 
Transição 
Frequência 
-tempo 
Simulação com 
transformações 
modais 
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TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS EM SISTEMAS DE POTÊNCIA - 2017 
Programas tipo EMTP utiliza matriz de 
transformação real e constante com a 
frequência 
Domínio 
de Fases 
Domínio 
de Modos 
Modelos Modais 
 
Matriz 
Transformação 
Modal