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ANÁLISE DE
FINANCIAMENTOS
Aula 1
VALOR PRESENTE -
FINANCIAMENTO
Valor presente – financiamento
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você.
Nela, você irá aprender conteúdos importantes para a sua formação
profissional. Vamos assisti-la? Bons estudos!
Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u3a1_mat_fin_1p.pdf
Ponto de Partida
Nesta aula, você fará uma análise sobre financiamentos, sejam eles
de um veículo, um imóvel, entre outros, além de compreender sobre
características de um financiamento e a utilização da fórmula do
valor presente para seu cálculo. 
Para melhor compreender sobre o assunto, imagine que você
deseja financiar um veículo cujo valor à vista é R$ 38.000,00. Uma
loja apresentou uma proposta de 48 vezes mensais e iguais sob a
taxa efetiva de 1,51% a.m. 
Qual será o valor da parcela dessa proposta de financiamento e
como você faria para resolver essa situação? Para isso, vamos dar
início ao nosso estudo!
Vamos Começar!
Juros compostos no financiamento com
mais parcelas
Em nosso dia a dia, muitas vezes, somos colocados em situações
nas quais são oferecidas diversas formas de pagar alguma compra,
como parcelar em valores mensais e iguais uma geladeira, uma
casa, um carro, entre outros. Mas, afinal, como são realizados os
cálculos em diferentes financiamentos?
O financiamento tem como base de cálculo a série de juros
compostos, que também pode ser chamado de valor presente.
Utilizamos a série de juros compostos quando estamos fazendo
cálculos de parcelas e prestações, mas com quantidades pequenas
de parcelas, que não precisam ser periódicas e nem iguais. 
Já no caso de financiamento em juros compostos, com grande
quantidade de parcelas periódicas iguais, fazemos uso da fórmula
do valor presente, um caso particular de séries de juros compostos.
O valor presente refere-se ao financiamento em juros compostos e
por se tratar de uma relação financeira a longo prazo, geralmente,
suas parcelas ocorrem em relação mensal.
No cálculo do valor presente, ou seja, no financiamento, faz-se uso
da taxa de juros compostos, o que consequentemente nos leva ao
uso da taxa efetiva. Por isso, importante ressaltar que a taxa
nominal deve ser convertida para efetiva quando necessário fazer
esse tipo de cálculo. 
Um exemplo para compreender sobre o valor presente pode ser
situação de um financiamento imobiliário com 300 parcelas iguais e
mensais sob uma taxa efetiva de 7,8% a.a. Neste caso, temos uma
quantidade grande de parcelas periódicas e iguais, além de
trabalharmos com uma taxa efetiva.
Figura 1 | Juros. Fonte: Freepik.
Siga em Frente...
Financiamentos
Em nosso cotidiano é comum usar financiamentos para aquisição de
bens. Um financiamento é quando alguém empresta uma
determinada quantia em dinheiro a uma pessoa ou a uma empresa.
Quando acontece um empréstimo de dinheiro, por exemplo, quem
empresta cobra uma porcentagem de juros sobre o valor
emprestado, o que exige conhecimento para escolha da melhor taxa
de juros para cada situação. 
É muito comum fazer uso de empréstimos de instituições bancárias,
com um período pré-determinado para sua liquidação e nessas
situações o valor dos juros é calculado de acordo com o valor do
empréstimo, bem como conforme a taxa percentual aplicada pelo
banco.
Muito se fala na aquisição de bens sem a necessidade de
financiamentos, no entanto, tudo depende do cenário e contexto de
cada um, pois muitas vezes se realiza um financiamento para a
expansão de negócios lucrativos, financiamento de equipamentos,
instalações, entre outros, o que pode compensar no final das
contas. 
Existem diferentes tipos de financiamento, mas o exemplo a ser
estudado nesta seção é do cálculo de parcelas iguais e periódicas
no regime de capitação de juros compostos, ou seja, taxa efetiva.
Cálculo de prestações
Para o cálculo de financiamentos com parcelas periódicas e iguais,
podemos usar a fórmula do valor presente:
VP=parc .
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
1− (1+ i)−n
i
Onde:
VP: valor presente, capital, valor à vista.
parc: parcela, prestações iguais.
n: número total de parcelas, prestações iguais e periódicas.
i: taxa de juros compostos, taxa efetiva.
 
Tal fórmula apresenta uma vantagem em trabalhar com
parcelamentos de número muito grande de prestações iguais, como
60, 120, 180 parcelas. As parcelas sempre deverão ter vencimentos
periódicos, como mensais, bimestrais, semestrais, entre outros.
Vejamos um exemplo:
Ana Alice comprou um aparelho celular em 10 parcelas mensais e
iguais de R$ 150,00 sob taxa efetiva de 2,5% a.m. Qual o valor à
vista do aparelho celular?
Primeiramente, vamos extrair os valores do problema:
VP=?
parc=150,00
n=10 parcelas mensais e iguais .
i=2,5% a .m=0,025 a .m
Substituindo os valores na fórmula, temos:
VP=parc
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
1− ( )1+ i −n
i
AV=VP=150
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
1− ( )1+0,025 −10
0,025
AV=VP=150
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
1− ( )1,025 −10
0,025
AV=VP=150
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
1−0,7812
0,025
AV=VP=150
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
0,2188
0,025
AV=VP=150 ·8,752
AV=VP=1 312,80
Logo, o valor à vista do aparelho celular é de R$ 1.312,80.
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, imagine que você
deseja financiar um veículo cujo valor à vista é R$ 38.000,00. Uma
loja apresentou uma proposta de 48 vezes mensais e iguais sob a
taxa efetiva de 1,51% a.m. Nesse cenário, qual é o valor da parcela
dessa proposta de financiamento? 
Primeiramente, vamos extrair os valores do problema:
VP=AV=R$38.000,00
parc=?
n = 48 parcelas mensais e iguais.
i=1,51% a .m=0,0151 a .m
Substituindo os valores na fórmula, temos:
VP=parc
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
1− ( )1+ i −n
i
Onde:
38.000=parc
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
1− ( )1+0,0151 −48
0,0151
38.000=parc
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
1−0,4871
0,0151
38.000=parc
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
0,5129
0,0151
38.000=parc ·33,9669
parc=
38.000
33,9669
=1.118,74
Logo, o financiamento proposto pelo vendedor resultará em 48
parcelas mensais e iguais a R$ 1.118,74.
Saiba Mais
Para saber mais sobre financiamentos, leia o artigo Matemática
financeira: uma abordagem sobre financiamentos de Nilo César
Costa Fernandes.
Referências Bibliográficas
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12 ed.
São Paulo: Editora Atlas, 2012.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática
financeira aplicada. Rio de Janeiro: FGV, 2009.
FERNANDES, N. C. C. Matemática financeira: uma abordagem
sobre financiamentos. Dissertação (Mestrado em Matemática em
Rede Nacional). Centro de Ciências, Universidade Federal do
Ceará, Fortaleza, 2014. 2014. Disponível em:
https://repositorio.ufc.br/handle/riufc/9588. Acesso em: 18 nov.
2023. 
PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em
sistema de informação contábil. 4 ed. São Paulo: Atlas, 2004.
Aula 2
VALOR PRESENTE -
FINANCIAMENTO COM
ENTRADA
https://repositorio.ufc.br/handle/riufc/9588
https://repositorio.ufc.br/handle/riufc/9588
https://repositorio.ufc.br/handle/riufc/9588
Valor presente – financiamento
com entrada
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você.
Nela, você irá aprender conteúdos importantes para a sua formação
profissional. Vamos assisti-la? Bons estudos!
Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.
Ponto de Partida
Nesta aula, você aprofundará ainda mais seus estudos sobre
financiamentos e empréstimos, bem como o regime de capitalização
de juros compostos com entrada. Tais conhecimentos são aplicados
em situações do nosso dia a dia, em financiamentos de habitação,
móveis, entre outros. 
Para melhor compreender sobre o assunto, imagine que você
deseja financiar um veículo cujo valor à vista é R$ 38.000,00 em 48
vezes mensais e iguais sob a taxa efetiva de 1,51% a.m. com
entrada de 20% do valor à vista.
Sendo assim, você deverá apresentar os valores da entrada e das
parcelas dessa proposta de financiamento. Para isso, vamos dar
início ao nosso estudo!
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u3a2_mat_fin_1p.pdfVamos Começar!
Juros compostos no financiamento com
entrada
Você já sonhou em comprar um carro novo ou casa própria? Muitas
pessoas almejam realizar tais sonhos, assim como outros, e para
isso optam pelo financiamento para viabilizar as compras. Porém, é
necessário tomar algumas decisões importantes nesse processo de
tomada de decisão e uma delas é escolher entre fazer um
financiamento com maior entrada ou mais parcelas. 
Essas decisões, assim como a escolha da taxa de juros, são
importantes porque influenciam o valor final do financiamento.
Dependendo do valor financiado, escolher entre uma maior entrada
ou mais parcelas pode economizar e muito seu dinheiro. 
Neste sentido, lembre-se que o financiamento faz uso, na maioria
das vezes, do regime de capitalização de juros compostos e a
utilização do pagamento de uma entrada como parte do valor
financiado pode ajudar muito, diminuindo o valor dos juros a serem
pagos no financiamento como todo. 
Um exemplo pode ser o da compra de uma casa no valor de R$
200.000,00, em que a pessoa pode dar uma entrada de R$
50.000,00 no ato da contratação, restando financiar somente R$
150.000,00 para incidência de juros. 
Figura 1 | Financiamento de imóvel. Fonte: Freepik.
Siga em Frente...
Financiamento com entrada
Agora que você já compreendeu sobre a importância do pagamento
de uma entrada no ato da contratação de um financiamento, vamos
conhecer a fórmula que nos auxilia para o cálculo do valor das
parcelas, o valor a ser financiado, a taxa de juros e quantidade de
parcelas. Para isso, vamos utilizar a fórmula do valor presente. 
VP=parc
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
1− ( )1+ i −n
i
Substituindo “VP" por “AV-E" na equação passaremos a ter a
equação que nos auxiliará a resolver problemas de financiamento
com entrada, como apresentado a seguir:
AV−E=parc .
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
1− ( )1+ i −n
i
Em que:
VP: valor presente, capital, valor à vista.
parc: parcela, prestações iguais.
n: número total de parcelas, prestações iguais e periódicas.
i: taxa de juros compostos, taxa efetiva.
Um exemplo de utilização dessa fórmula pode ser para o cálculo das
prestações de um financiamento no valor X com taxa de 1,5% a.m.
em 48 parcelas mensais e iguais. 
 
Parcelamento
Quando realizamos um financiamento para adquirir algum bem,
estamos emprestando um capital para pagar em parcelas, nesse
caso específico, iguais e periódicas, com incidência de juros no
regime de capitalização composto. 
Observe um exemplo em que podemos utilizar a fórmula do valor
presente com entrada para cálculo de parcelamentos. 
Lucas vai comprar um computador cujo valor é R$ 5.400,00 em 10
parcelas mensais e iguais, sob regime de juros compostos de 3,2%
a.m. e entrada igual ao valor da parcela. Qual o valor da entrada?
Extraindo as informações do problema, temos:
AV :R$5.400,00
E :?
parc:E
n:10
i:3,2 % a .m=0,032
Substituindo os valores na fórmula do valor presente com entrada,
temos:
AV−E=parc .
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
1− (1+ i)−n
i
5.400−E=E ·
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
1− (1+0,032)−10
0,032
5.400−E=E ·
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
1− (1,032)−10
0,032
5.400−E=E ·
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
1−0,7298
0,032
5.400−E=E ·
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
0,2702
0,032
5.400−E=E · ⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦8,4438
5.400 - E = 8,4438E
5.400 = 8,4438E + 𝐸
5.400 = 9,4438E
5.400
9,4438
= E
𝐸 = 571,80
Logo, o valor da entrada será de R$ 571,80.
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, imagine que você
deseja financiar em 48 vezes mensais e iguais sob a taxa efetiva de
1,51% a.m. um veículo cujo valor à vista é R$ 38.000,00, com
entrada de 20% do valor à vista.
Sendo assim, você deverá apresentar os valores da entrada e das
parcelas dessa proposta de financiamento.
Primeiramente, vamos calcular o valor da entrada:
20% do valor à vista:
𝐸 = 20% · 38.000
𝐸 = 0,20 · 38.000
𝐸 = 𝑅$7.600,00
Agora que temos o valor da entrada, vamos substituir os valores na
fórmula do valor presente com entrada:
𝑉𝑃 = 𝑅$38.000,00
𝐸 = 𝑅$7.600,00
𝑝𝑎𝑟𝑐 = ?
𝑛 = 48
𝑖 = 1,51 % 𝑎 . 𝑚 = 0,0151 𝑎 . 𝑚
𝐴𝑉 - 𝐸 = 𝑝𝑎𝑟𝑐1 - 1 + 𝑖-𝑛
𝑖
38.000 - 7.600 = 𝑝𝑎𝑟𝑐1 - 1 + 0,0151-48
0,0151
30.400 = 𝑝𝑎𝑟𝑐1 - 0,4871
0,0151
30.400 = 𝑝𝑎𝑟𝑐 · 33,9669
𝑝𝑎𝑟𝑐 = 30.400
33,9669
= 894,99
Logo, o financiamento terá entrada de R$ 7.600,00 e 48 parcelas
mensais e iguais a R$ 894,99.
Saiba Mais
Para saber mais sobre parcelamento, leia a dissertação Matemática
Financeira: um conhecimento necessário e importante para as
pessoas de Ido José Schneider.
Referências Bibliográficas
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática
financeira aplicada. Rio de Janeiro: FGV, 2009.
PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em
sistema de informação contábil. 4 ed. São Paulo: Atlas, 2004.
SANTOS, J. C. Matemática financeira. Londrina: Editora e
Distribuidora Educacional S/A, 2016, 216 p.
SCHNEIDER, I. J. Matemática financeira: um conhecimento
importante e necessário para a vida das pessoas. Dissertação.
Mestrado em Educação. Universidade de Passo Fundo, 2008.
Aula 3
https://secure.upf.br/pdf/2008IdoJoseSchneider.pdf
https://secure.upf.br/pdf/2008IdoJoseSchneider.pdf
https://secure.upf.br/pdf/2008IdoJoseSchneider.pdf
VALOR PRESENTE -
CONDIÇÕES ESPECIAIS
Valor presente – condições
especiais
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você.
Nela, você irá aprender conteúdos importantes para a sua formação
profissional. Vamos assisti-la? Bons estudos!
Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.
Ponto de Partida
Nesta aula, você aprofundará ainda mais nosso estudo sobre
financiamentos, mais especificamente, quando temos condições
especiais, ou seja, período de carência. 
Com intuito de aprofundar e aplicar os conceitos vistos, considere
que Joana pretende financiar um veículo no valor de R$ 38.000,00
em 48 vezes mensais e iguais sob a taxa efetiva de 1,51% a.m. com
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u3a3_mat_fin_1p.pdf
entrada de R$ 7.600,00, pagando a primeira parcela somente após
3 meses.
Considerando tal situação, agora, você deve calcular as parcelas
que Joana pagará. Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!
Vamos Começar!
Juros compostos no financiamento com
condições especiais
Muitas pessoas acabam optando pelo financiamento para aquisição
de algum bem, seja ele um carro, uma casa ou apartamento, entre
outros. Porém, a escolha do financiamento pode influenciar muito no
valor final pago. Depende do valor da taxa de juros, quantidade de
parcelas e em alguns casos até financiamentos com condições
especiais. 
Um exemplo disso é o financiamento com período de carência, em
que o início dos pagamentos das parcelas ocorre após determinado
tempo (k).
Os juros cobrados no período de carência ocorrem quando a pessoa
não paga nenhuma parcela durante um determinado tempo e depois
tal valor é diluído nas demais parcelas. Observe o esquema a
seguir, em que temos o AV como valor à vista e ele é reajustado em
função de k -1, em que k é o período de carência. Após esse
período, temos o VP que é o novo valor à vista reajustado.
Um exemplo disso é quando uma pessoa contrata um financiamento
para pagar a primeira parcela após 90 dias, ou seja, os juros
cobrados nesses 3 meses serão diluídos nas próximas parcelas
mensais. 
Siga em Frente...
Parcelamento
Podemos ter financiamentos com período de carência também com
valor de entrada no início da sua contratação. Assim, além do
pagamento da primeira parcela iniciar em um prazo maior, também
deve-se dar uma entrada. Para isso, usamos a seguinte fórmula:
𝐴𝑉 - E1 + 𝑖𝑘 - 1 = 𝑝𝑎𝑟𝑐 . 1 - ( 1 + 𝑖 ) -𝑛
𝑖
Em que,
VP: valor presente, capital, valor à vista.
parc: parcela, prestações iguais.
n: número total de parcelas, prestações iguais e periódicas.
i: taxa de juros compostos, taxa efetiva.
k: período em que ocorrerá o início do pagamento do
financiamento (período de carência).
E: entrada.
Um exemplo dessa situação seria de uma pessoa que necessita
fazer um empréstimo para comprar uma motocicleta e dará um valorde entrada, mas pagará a primeira parcela mensal somente após 2
meses, como período de carência. 
 
Período de carência
Para o cálculo de parcelas, valor à vista, taxa e período em um
financiamento com período de carência, ou seja, considerando juros
compostos desde o ato da compra até a primeira parcela, temos:
 
𝐴𝑉 ( 1 + 𝑖 ) 𝑘 - 1 = 𝑝𝑎𝑟𝑐 . 1 - ( 1 + 𝑖 ) -𝑛
𝑖
 
VP: valor presente, capital, valor à vista.
parc: parcela, prestações iguais.
n: número total de parcelas, prestações iguais e periódicas.
i: taxa de juros compostos, taxa efetiva.
k: período em que ocorrerá o início do pagamento do
financiamento (período de carência).
 
Vejamos um exemplo: uma bicicleta no valor de R$ 3.000,00 foi
financiada por Lucas em 5 parcelas mensais e iguais, sob taxa
efetiva de 3% a.m., iniciando os pagamentos após 5 meses do ato
da compra. Sendo assim, qual o valor das parcelas do
financiamento realizado pelo Lucas?
Extraindo as informações do problema, temos:
𝐴𝑉 = 𝑅$3 000,00
𝑘 = 5 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
𝑛 = 5 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠
𝑖 = 3 % 𝑎 . 𝑚 = 0,03 𝑎 . 𝑚
Substituindo os valores na fórmula do financiamento com período de
carência, temos:
𝐴𝑉1 + 𝑖𝑘 - 1 = 𝑝𝑎𝑟𝑐1 - 1 + 𝑖-𝑛
𝑖
3.0001 + 0,035 - 1 = 𝑝𝑎𝑟𝑐1 - 1 + 0,03-5
0,03
3.0001,035 - 1 = 𝑝𝑎𝑟𝑐1 - 1,03-5
0,03
3.0001,034 = 𝑝𝑎𝑟𝑐1 - 1,03-5
0,03
3.000 · 1,1255 = 𝑝𝑎𝑟𝑐1 - 0,8626
0,03
3.000 · 1,1255 = 𝑝𝑎𝑟𝑐0,1374
0,03
3.376,5 = 𝑝𝑎𝑟𝑐 · 4,58
𝑝𝑎𝑟𝑐 = 3.376,5
4,58
𝑝𝑎𝑟𝑐 = 737,23
Logo, o valor de cada parcela será R$ 737,23.
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, considere que Joana
pretende financiar um veículo no valor de R$ 38.000,00 em 48 vezes
mensais e iguais sob a taxa efetiva de 1,51% a.m. com entrada de
R$ 7.600,00, pagando a primeira parcela somente após 3 meses.
Considerando tal situação, agora, você deve calcular as parcelas
que Joana pagará. 
Extraindo as informações do problema, temos:
𝐴𝑉 = 𝑅$38.000,00
𝐸 = 𝑅$7.600,00
𝑘 = 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
n= 48 parcelas
𝑖 = 1,51 % 𝑎 . 𝑚 = 0,0151 𝑎 . 𝑚
Substituindo na fórmula do valor presente com condições especiais:
� 𝐴𝑉 - 𝐸 � 1 + 𝑖𝑘 - 1 = 𝑝𝑎𝑟𝑐1 - 1 + 𝑖-𝑛
𝑖
38.000 - 7.6001 + 0,01513 - 1 = 𝑝𝑎𝑟𝑐1 - 1 + 0,0151-48
0,0151
30.400 · 1,0304 = 𝑝𝑎𝑟𝑐1 - 0,4871
0,0151
31.324,16 = 𝑝𝑎𝑟𝑐 · 33,9669
𝑝𝑎𝑟𝑐 = 31.324,16
33,9669
= 922,20
Logo, esse financiamento terá entrada de R$ 7.600,00 e 48 parcelas
mensais e iguais de R$ 922,20.
Saiba Mais
Para saber mais sobre financiamentos, acesse o livro Matemática
Financeira e Comercial de Ulysses Sodré. 
Referências Bibliográficas
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática
financeira aplicada. Rio de Janeiro: FGV, 2009.
PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em
sistema de informação contábil. 4 ed. São Paulo: Atlas, 2004.
PUCCINI, A. L. Matemática financeira. Projeto Universidade
Aberta, p. 8, 2007.
SODRÉ, U. Matemática comercial e financeira. Universidade
Estadual de Londrina, Londrina, 2008.
Aula 4
DETERMINAÇÃO DA TAXA
DE JUROS DO VALOR
PRESENTE
http://uel.br/projetos/matessencial/superior/matfin/MatComFin.pdf
http://uel.br/projetos/matessencial/superior/matfin/MatComFin.pdf
Determinação da taxa de juros do
valor presente
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você.
Nela, você irá aprender conteúdos importantes para a sua formação
profissional. Vamos assisti-la? Bons estudos!
Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.
Ponto de Partida
Nesta aula, você aprenderá como determinar a taxa de juros num
financiamento no regime de capitalização de juros compostos com
parcelas iguais e periódicas, tanto pelo método de Newton-Raphson
como pelo uso da calculadora HP12C. 
Para melhor compreender sobre o assunto, suponha que você
pretenda financiar um veículo com a mesma taxa de juros que seu
amigo usou para comprar um veículo no valor de R$ 30.000,00 em
48 vezes mensais e iguais de R$ 789,89. Sendo assim, qual a taxa
de juros compostos que foi aplicada a esse financiamento? 
Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!
Vamos Começar!
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u3a4_mat_fin_1p.pdf
Valor presente
Quando estamos trabalhando com financiamentos no regime de
capitalização nos juros compostos com uma quantidade maior de
parcelas periódicas e iguais, fazemos uso da fórmula do valor
presente. Porém, pode haver situações em que temos que
determinar a taxa de juros imposta num financiamento. 
Para determinar a taxa de juros compostos de um financiamento,
fazemos uso das séries uniformes que têm como base os Métodos
Numéricos, ou seja, Métodos Iterativos, pois obtemos a resposta
esperada a partir da repetição de cálculos algumas vezes. 
Um exemplo disso pode ser um financiamento em que se tem o
valor financiado, o valor das parcelas, quantidade das parcelas
periódicas e iguais, mas não se sabe a taxa de juros imposta. 
Figura 1 | Financiamento de um imóvel. Fonte: Freepik.
Siga em Frente...
Método para cálculo de taxa no
financiamento
Um dos métodos numéricos que utilizamos para determinação da
taxa num financiamento, que apresentam o menor número de
repetições, é o Método de Newton-Raphson. Para sua aplicação,
fazemos uso de uma série de funções, em que:
 
VP: Valor presente
parc: Valor da parcela periódica e igual
𝑖𝑗:Taxa de juros (chute)
 
Função da taxa de juros compostos:
𝑓 ( 𝑖𝑗 � = 𝑉𝑃
𝑝𝑎𝑟𝑐
𝑖𝑗 + � 1 + 𝑖𝑗 �
-𝑛
- 1
Função marginal da taxa de juros compostos: 
𝑓' ( 𝑖𝑗 � = 𝑉𝑃
𝑝𝑎𝑟𝑐
- 𝑛 � 1 + 𝑖𝑗 �
-𝑛 - 1
Função de Newton-Raphson:
𝑖𝑗 + 1 = 𝑖𝑗 -
𝑓𝑖𝑗
𝑓'𝑖𝑗
A partir das funções acima, vamos conhecer o mecanismo do
método:
1º passo: estipular uma taxa de juros compostos inicial em
valor relativo (𝑖𝑗).
2º passo: substituir i_j na função da taxa de juros compostos f (
𝑖𝑗).
Se �𝑓𝑖𝑗 | ≤ 0,0001 então 𝑖𝑗 é a taxa de juros compostos
imposta no financiamento.
Se �𝑓 � 𝑖𝑗 � | > 0, 0001 então 𝑖𝑗 não é a taxa de juros
compostos imposta no financiamento, vá para o 3º passo.
3º passo: usando o valor da taxa de juros compostos 𝑖𝑗, calcule
o valor da função marginal da taxa de juros compostos 𝑓' ( 𝑖𝑗 � .
4º passo: usando os valores da taxa de juros compostos (𝑖𝑗), da
função da taxa de juros compostos f (𝑖𝑗) e da função marginal
da taxa de juros compostos 𝑓' ( 𝑖𝑗 � , calcule a próxima taxa de
juros compostos (ij + 1).
5º passo: com a nova taxa (ij + 1), determinada no passo
anterior, volte ao 2º passo e refaça os cálculos como se essa
fosse a taxa inicial, esquecendo-se da taxa anterior.
Os passos deverão ser repetidos até que �f � ij � | ≤ 0,0001.
 
Utilização da calculadora HP para cálculo da taxa
de financiamento
Além do método de Newton-Raphson, podemos calcular a taxa de
um financiamento com parcelas iguais e periódicas a partir da
utilização da calculadora HP-12C. 
Observe o passo a passo na HP12C para cálculo da taxa de juros
num financiamento. 
Digita valor presente → Tecla CHS e Tecla PV
Digita quantidade de parcelas → Tecla n
Digita valor da parcela → Tecla PMT
Tecla i
Vejamos um exemplo: um computador custa R$ 2.000,00 e foi
parcelado em 12 vezes mensais e iguais a R$ 260,00, sob taxa de
juros compostos. Determine a taxa de juros compostos aplicada
nesse financiamento. 
Podemos seguir o passo a passo abaixo para resolver pela HP12C:
Digita o valor presente → 2000 → Tecla CHS e Tecla PV
Digita quantidade de parcelas → 12 → Tecla n
Digita valor da parcela → 260→ Tecla PMT
Tecla i
https://www.vichinsky.com.br/hp12c/hp12c.php
Logo, teremos o valor da taxa igual a 7,6062% a.m.
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, suponha que você
pretenda financiar um veículo com a mesma taxa de juros que seu
amigo usou para comprar um veículo no valor de R$ 30.000,00 em
48 vezes mensais e iguais de R$ 789,89. Sendo assim, qual a taxa
de juros compostos que foi aplicada ao financiamento de seu amigo
considerando uma taxa para chute inicial de 2%a.m.? 
Primeiramente, vamos utilizar o Método de Newton-Raphson, em
que:
𝑉𝑃 = 30000,00
𝑝𝑎𝑟𝑐 = 789,89
𝑖𝑗 = 2%𝑎 . 𝑚 = 0,02 𝑎 . 𝑚
Substituindo na função taxa de juros, temos:
𝑓'𝑖𝑗 = 𝑉𝑃
𝑝𝑎𝑟𝑐
- 𝑛1 + 𝑖𝑗
-𝑛 - 1
𝑓𝑖𝑗 = 37,98 - 481 + 𝑖𝑗
-49
Agora, vamos considerar a função de Newton-Raphson a seguir:
𝑖𝑗 + 1 = 𝑖𝑗 - 𝑓𝑖𝑗
𝑓'𝑖𝑗
Na sequência fazer as iterações até que tenhamos a condição de 
�𝑓𝑖𝑗 | ≤ 0,0001, então 𝑖𝑗 é a taxa de juros compostos imposta no
financiamento:
De acordo com o quadro, a taxa utilizada na 4ª iteração é
aproximadamente 0,01, ou seja, 1% a.m. 
Podemos também seguir o passo a passo abaixo para resolver pela
HP12C:
Digita o valor presente → 30 000 → Tecla CHS e Tecla PV
Digita quantidade de parcelas → 48 → Tecla n
Digita valor da parcela → 789,89→ Tecla PMT
Tecla i
Logo, teremos o valor aproximado da taxa igual a 1% a.m.
Saiba Mais
 1º 2º 3º 4º
Iterações 𝑖𝑗 𝐹 � 𝑖𝑗 � 𝐹’ � 𝑖𝑗 � 𝑖𝑗 + 1
1ª 0,02 0,01461 19,7880 0,0126
2ª 0,0126 0,0268 11,9914 0,0104
3ª 0,0104 0,0039 9,0687 0,0100
4ª 0,0100 0,0001 FIM 
Para saber mais sobre negociação, leia o artigo Utilização do
método de Newton-Raphson para análise de planos de
financiamento no centro comercial de Abaetetuba-PA de Manuel
Costa. 
Referências Bibliográficas
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática
financeira aplicada. Rio de Janeiro: FGV, 2009.
COSTA, M.; LIMA, R. C.; COSTA, J. F. S. Utilização do método de
Newton-Raphson para análise de planos de financiamento no centro
comercial de Abaetetuba-PA. Conjecturas, v. 21, n. 6, p. 99-114,
2021.
GUERRA, F.; TANEJA, I. J. Matemática financeira. Curso de
graduação em Administração a Distância, v. 1, 2014.
PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em
sistema de informação contábil. 4 ed. São Paulo: Atlas, 2004.
Encerramento da Unidade
ANÁLISE DE
FINANCIAMENTOS
Videoaula de Encerramento
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você.
Nela, você irá aprender conteúdos importantes para a sua formação
profissional. Vamos assisti-la? Bons estudos!
http://conjecturas.org/index.php/edicoes/article/view/291
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Ponto de Chegada
Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender
os diferentes tipos de financiamento com o intuito de auxiliar na
tomada de decisão que requer a escolha de um tipo de
financiamento é necessário abordar os seguintes conceitos:
O financiamento no regime de capitalização de juros compostos,
com grande quantidade de parcelas periódicas iguais, deve-se
utilizar a seguinte fórmula do valor presente:
𝑉𝑃 = 𝑝𝑎𝑟𝑐 . 1 - ( 1 + 𝑖 ) -𝑛
𝑖
 
Onde:
VP: valor presente, capital, valor à vista.
parc: parcela, prestações iguais.
n: número total de parcelas, prestações iguais e periódicas.
i: taxa de juros compostos, taxa efetiva.
Se substituirmos o “VP" por “AV-E" na equação, temos a fórmula
para resolução de financiamentos com entrada:
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u3enc_mat_fin_1p.pdf
𝐴𝑉 - 𝐸 = 𝑝𝑎𝑟𝑐 . 1 - 1 + 𝑖-𝑛
𝑖
Podemos também ter financiamentos com período de carência, em
que o pagamento da primeira parcela iniciará em um prazo maior e
os juros serão diluídos nas demais parcelas. Nesse caso, temos a
fórmula para cálculo com entrada: 
𝐴𝑉 - E1 + 𝑖𝑘 - 1 = 𝑝𝑎𝑟𝑐 . 1 - ( 1 + 𝑖 ) -𝑛
𝑖
Em que,
VP: valor presente, capital, valor à vista.
parc: parcela, prestações iguais.
n: número total de parcelas, prestações iguais e periódicas.
i: taxa de juros compostos, taxa efetiva.
k: período em que ocorrerá o início do pagamento do
financiamento (período de carência).
E: entrada.
Para o cálculo de parcelas, valor à vista, taxa e período em um
financiamento com período de carência, temos a seguinte fórmula:
 
Continuando os estudos sobre financiamento também podemos ter
situações que necessitam do cálculo da taxa de juros. Nesse caso,
um dos métodos numéricos que utilizamos, que apresentam o
menor número de repetições, é o Método de Newton-Raphson. 
 
Função da taxa de juros compostos:
𝑓 ( 𝑖𝑗 � = 𝑉𝑃
𝑝𝑎𝑟𝑐
𝑖𝑗 + � 1 + 𝑖𝑗 �
-𝑛
- 1
Função marginal da taxa de juros compostos: 
𝑓' ( 𝑖𝑗 � = 𝑉𝑃
𝑝𝑎𝑟𝑐
- 𝑛 � 1 + 𝑖𝑗 �
-𝑛 - 1
Função de Newton-Raphson:
𝑖𝑗 + 1 = 𝑖𝑗 - 𝑓𝑖𝑗
𝑓'𝑖𝑗
A partir das funções acima, deve-se seguir os passos do método até
encontrar a taxa adequada ao problema. 
Além do método de Newton-Raphson podemos calcular a taxa de
um financiamento com parcelas iguais e periódicas a partir da
utilização da calculadora HP-12C. Observe o passo a passo na
HP12C para cálculo da taxa de juros num financiamento. 
Digita valor presente → Tecla CHS e Tecla PV
Digita quantidade de parcelas → Tecla n
Digita valor da parcela → Tecla PMT
Tecla i
Logo, nesta unidade abordamos sobre tipos de aplicações da
fórmula do valor presente em financiamentos, bem como suas
principais características. 
É Hora de Praticar!
Agora, você colocará em prática os conceitos vistos nesta unidade.
Vamos lá!
Raquel e Luís estão reformando sua casa e realizaram uma compra
de materiais de construção que foi financiada em 12 parcelas
mensais e iguais de R$ 370,50, com taxa de juros compostos de
4,3% a.m. e entrada de R$ 300,00. Sendo assim, qual é o valor à
vista da compra desse casal?
Reflita
Após os estudos realizados, responda:
Você consegue identificar qual fórmula utilizar em cada
situação-problema?
Você extrai as informações de forma correta dos problemas?
Você consegue identificar situações do seu dia a dia em nossa
disciplina e como ela pode te ajudar?
 
Clique aqui e acesse os slides do Dê o play!
Resolução do estudo de caso
Primeiramente, vamos extrair as informações do problema:
𝐴𝑉 = ?
𝐸 = 300,00
𝑝𝑎𝑟𝑐: 370,50
𝑛: 12
𝑖: 4,3 % 𝑎 . 𝑚 = 0,043
Substituindo os valores na fórmula do valor presente com entrada:
𝐴𝑉 - 𝐸 = 𝑝𝑎𝑟𝑐1 - 1 + 𝑖-𝑛
𝑖
𝐴𝑉 = 𝑝𝑎𝑟𝑐1 - 1 + 𝑖-𝑛
𝑖
+ 𝐸
𝐴𝑉 = 370,501 - 1 + 0,043-12
0,043
+ 300
𝐴𝑉 = 370,501 - 0,6034
0,043
+ 300
𝐴𝑉 = 370,500,3966
0,043
+ 300
𝐴𝑉 = 370,500,3966
0,043
+ 300
𝐴𝑉 = 370,50 · 9,2233 + 300
𝐴𝑉 = 3.417,23 + 300
𝐴𝑉 = 3.717,23
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u4_de_o_play_mat_fin_1p.pdf
Logo, o valor à vista da compra foi de R$ 3.717,23.
Dê o play!
Assimile
Figura 1 | Mapa mental - análise de financiamentos
Referências
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática
financeira aplicada. Rio de Janeiro: FGV, 2009.
MOREIRA, Fernando Ricardo et al. Juros: conceitos e aplicações.
Enciclopédia Biosfera, v. 6, n. 9, 2010.
OLIVEIRA, W. Sistema de juros compostos. Revista Processus
Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 11-22, 2020.

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