Teorema da Superposição e circuitos equivalentes em estrela e triângulo

Prévia do material em texto

DESCRIÇÃO
Introdução ao estudo de análise de circuitos elétricos a partir do Teorema da Superposição e
princípio da linearidade, análise de circuitos ligados em estrela ou triângulo e suas
transformações equivalentes.
PROPÓSITO
Compreender os conceitos fundamentais do princípio da linearidade de circuitos elétricos,
necessários para aplicação do Teorema da Superposição. Analisar outras formas de
associação de elementos para além dos modos em série e paralelo, por meio das ligações em
estrela e triângulo, bem como suas transformações equivalentes.
PREPARAÇÃO
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Antes de iniciar este conteúdo, tenha à mão papel, caneta para anotações e, se possível, uma
calculadora científica para facilitar seus cálculos na solução de equações dos circuitos elétricos
e transformações equivalentes para as ligações estrela e triângulo.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Aplicar cálculos para solução de circuitos elétricos através do Teorema da Superposição
MÓDULO 2
Descrever circuitos elétricos equivalentes em estrela e triângulo
INTRODUÇÃO
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO E
CIRCUITOS EQUIVALENTES EM ESTRELA E
TRIÂNGULO
AVISO: Orientações sobre unidades de medida
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
javascript:void(0)
ORIENTAÇÕES SOBRE UNIDADES DE
MEDIDA
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km). No
entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um espaço entre o número e a unidade
(ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e demais materiais escritos por você devem
seguir o padrão internacional de separação dos números e das unidades.
MÓDULO 1
 Aplicar cálculos para solução de circuitos elétricos através do Teorema da
Superposição
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
INTRODUÇÃO
Imagem: Shutterstock.com
A APLICAÇÃO DA LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES (LKC)
E DA LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES (LKT) PERMITE A
SOLUÇÃO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS POR MANEIRAS MUITO
SIMPLES, POR MEIO DA ANÁLISE NODAL E ANÁLISE DE
MALHAS, RESPECTIVAMENTE.
No entanto, se o circuito for grande ou complexo, a aplicação dessas leis pode se tornar muito
trabalhosa, em virtude da quantidade de cálculos e equações necessárias para encontrar as
variáveis tensão e corrente nos elementos. Para lidar com o problema de solução de circuitos
elétricos complexos, diversos teoremas foram desenvolvidos para simplificar a análise.
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Entre os teoremas mais utilizados, pode-se citar o Teorema de Thévenin, o Teorema de Norton
e o Teorema da Superposição, sendo esse o principal tema abordado neste módulo.
É importante destacar que os teoremas de circuitos são válidos apenas para circuitos lineares
e, por esse motivo, deve-se ter muito claro o princípio da linearidade em circuitos elétricos.
PRINCÍPIO DA LINEARIDADE
Imagem: Shutterstock.com
O princípio da linearidade é uma relação matemática de grande impacto em circuitos elétricos
em geral, intimamente relacionada com a proporcionalidade e que pode ser representada
graficamente por uma reta.
 VOCÊ SABIA
A linearidade é basicamente a propriedade de uma função ser compatível com adição
(aditividade) e escalonamento (homogeneidade), também chamado de superposição.
Em um circuito que obedece a propriedade de homogeneidade, se a entrada, ou seja, a fonte
de alimentação (excitação) for multiplicada por uma constante, a sua saída, ou seja, a resposta
à excitação, deverá também ser multiplicada por essa mesma constante. Considerando a Lei
de Ohm, que relaciona a entrada em corrente para saída em tensão no resistor:
V = RI
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
(1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando o valor dessa corrente for aumentado “k vezes”, a tensão sob o resistor terá um
aumento de “k vezes”, ou seja:
KV = KIR
(2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma função matemática representada por uma linha reta que passa pela origem possui a
propriedade de proporcionalidade. Seja como exemplo, a função
f(x) = 2x
, representada pela Figura 1.
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 1: Função matemática
f(x) = y = 2xLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Para o valor de
x = 2
, tem-se que
f(x) = 2 × 2 = 4
. Se o valor de
x
for dobrado, ou seja,
x = 4
, tem-se que
f(x) = 8
. Isso significa que, ao duplicar
x
(entrada), duplica-se também
f(x)
(saída). Essa relação é válida para qualquer valor de
x
, ou seja, o fator de escala ou proporcionalidade não varia.
Já a propriedade de adição (aditividade) diz que a resposta para a soma de entradas diferentes
em um circuito é dada pela soma das respostas a cada uma dessas entradas aplicadas
separadamente.
 EXEMPLO
A partir da relação entre tensão e corrente no resistor, sua resposta a uma entrada constituída
de duas correntes será obtida pelas respostas individuais a cada uma dessas correntes:
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
V1 = I1R , V2 = I2R
Aplicando
i1 + i2
, tem-se:
V = I1 + I2 R = I1R + I2R = V1 + V2
(3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A Figura 2 ilustra a propriedade de adição para uma função linear qualquer,
f(x)
:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 2: Ilustração para uma função linear.
( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
SE AS ENTRADAS
X1
E
X2
FOREM SOMADAS E COLOCADAS DENTRO DA FUNÇÃO
F(X)
, A SAÍDA SERÁ
F X1 + X2
OU A PARTIR DA PROPRIEDADE DE ADIÇÃO,
F X1 + X2 = F X1 + F X2
.
De modo geral, os conceitos de linearidade aplicados aos resistores são também estendidos
para os demais componentes do circuito, os indutores e capacitores. As leis desses
componentes são dadas por:
INDUTOR
V = L
DI
DT
(4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( ) ( ) ( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
javascript:void(0)
CAPACITOR
I = C
DV
DT
(5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Inicialmente, as Equações 4 e 5 podem não parecer referentes a funções lineares. No entanto,
basta observar a derivada como a variável independente da função linear:
INDUTOR
A relação no indutor pode ser representada graficamente como uma linha reta em que a
derivada
di /dt
é o eixo horizontal e
v
, o eixo vertical, conforme Figura 3. A inclinação dessa reta é a indutância L.
V = F
DI
DT
= L
DI
DT
(6)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
javascript:void(0)
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 3: Relação tensão x corrente para o indutor.
CAPACITOR
A relação no capacitor pode ser representada graficamente como uma linha reta em que a
derivada
dv /dt
é o eixo horizontal e i como eixo vertical, conforme Figura 4. A inclinação dessa reta é a
capacitância C.
I = F
DV
DT
= C
DV
DT
(7)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 4: Relação tensão x corrente para o capacitor.
 ATENÇÃO
O princípio da linearidade não se aplica à potência elétrica. Essa proposição pode ser
entendida analisando a fórmula de potência, expressa pela Equação 8:
P = RI2 =
V2
R
(8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A Equação 8 demonstra que a relação entre tensão e corrente para potência elétrica é
quadrática, portanto, o Teorema da Superposição, que será demonstrado mais adiante, não se
aplica para cálculos de potência.Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.jsResumindo o princípio da linearidade:
“UM CIRCUITO É LINEAR QUANDO SUA SAÍDA ESTÁ
LINEARMENTE RELACIONADA À SUA ENTRADA, OU SEJA,
SAÍDA E ENTRADA SÃO DIRETAMENTE PROPORCIONAIS.”
 EXEMPLO
Veja o circuito linear ilustrado na Figura 5. Os elementos contidos nesse circuito não são
importantes, desde que sejam lineares. A alimentação (entrada) do circuito é feita por uma
fonte de tensão e a resposta (saída) é representada pela corrente no resistor R. Quando a
fonte de tensão fornece 10V, a corrente no resistor é de 2A. Considerando o princípio da
linearidade, calcule o valor da corrente no resistor se a fonte de tensão entregar uma tensão de
10mV ao circuito.
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 5: Circuito linear resistivo.
Como o circuito é linear, as propriedades de adição e homogeneidade são válidas.
Considerando a proporcionalidade entre os valores de entrada e saída, tem-se:
Para:
VS = 10V → IR = 2A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Então:
VS = 10MV → IR = 2MA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Perceba que, em virtude da proporcionalidade, basta fazer uma “regra de três” para obter a
solução.
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
Imagem: Stock.adobe.com
O Teorema da Superposição é baseado no princípio da linearidade apresentado anteriormente,
sendo, sem dúvidas, um dos mais utilizados em técnicas de solução de circuitos elétricos.
Esse teorema se aplica a circuitos lineares que contenham fontes independentes ou
dependentes, resistores, indutores e capacitores, que são elementos lineares, conforme
descrito anteriormente. A utilização desse teorema pode, muitas vezes, reduzir a complexidade
e facilitar a solução de circuitos elétricos.
 SAIBA MAIS
Normalmente, o Teorema da Superposição é aplicado para analisar circuitos que contenham
duas ou mais fontes que não estejam conectadas em série ou paralelo, ou seja, em
arranjos diferentes que não permitam uma associação equivalente direta dessas fontes.
É possível, dessa forma, determinar os efeitos individuais de cada uma dessas fontes e suas
contribuições específicas nas grandezas dos circuitos. Para fontes de diferentes tipos, o
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
resultado final (total) referente às fontes trata-se da soma algébrica de seus resultados
individuais.
De modo resumido, tem-se que:
O Teorema da Superposição assegura que a corrente elétrica ou a tensão em um elemento de
um circuito linear é dada pela soma algébrica das correntes ou tensões produzidas pela
atuação isolada de cada uma das fontes independentes.
Esse Teorema, portanto, permite que se encontre uma solução para corrente elétrica ou tensão
no circuito linear utilizando apenas uma fonte por vez. Assim, após encontrar as soluções
individuais, basta prosseguir com uma soma algébrica para combinar os resultados e obter a
resposta total. É importante destacar que a contribuição das fontes pode permitir que as
correntes elétricas tenham sentidos opostos ou que as tensões possuam polaridades
invertidas, por esse motivo, a contribuição total é a soma algébrica, de modo que o sinal de
cada fonte deve ser considerado.
 VOCÊ SABIA
Para aplicar o Teorema da Superposição, é necessário obter as contribuições individuais das
fontes do circuito elétrico, ou seja, é necessário avaliar cada fonte individualmente, enquanto
todas as outras restantes devem ser removidas.
Existem, basicamente, dois tipos de fonte em circuitos que deverão ser removidas, as fontes de
tensão e as fontes de corrente. Para desativá-las, tem-se:
FONTES DE TENSÃO
Para desativar uma fonte de tensão em um circuito elétrico, basta substituí-la por um curto-
circuito, ou seja, uma conexão direta entre seus terminais. Assim, a tensão será zero, que é o
mesmo que desativar a fonte. Se houver resistência interna na fonte, essa deverá ser mantida
em série no circuito. A Figura 6 ilustra a remoção de uma fonte de tensão em parte de um
circuito.
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 6: Remoção de uma fonte de tensão.
FONTES DE CORRENTE
Para desativar uma fonte de corrente em um circuito elétrico basta substituí-la por um circuito
aberto, ou seja, uma conexão aberta entre seus terminais. Assim, a corrente elétrica será zero,
que é o mesmo que desativar a fonte. Se houver resistência interna na fonte, essa deverá ser
mantida em paralelo no circuito. A Figura 7 ilustra a remoção de uma fonte de corrente em
parte de um circuito.
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 7: Remoção de uma fonte de corrente.
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
 ATENÇÃO
Pode-se dizer que o número de circuitos a ser analisado a partir do Teorema da Superposição
se refere ao número de fontes existentes, tendo em vista que o efeito de cada uma será
determinado individualmente. A princípio isso pode parecer uma desvantagem do método de
análise, no entanto, a superposição contribui para reduzir a complexidade de circuitos elétricos
pela simples substituição de fontes por curtos-circuitos ou por circuitos abertos em diferentes
situações de análise.
ETAPAS PARA APLICAÇÃO DO TEOREMA
DA SUPERPOSIÇÃO
Imagem: Shutterstock.com

ETAPA 1
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Desativar todas as fontes independentes do circuito elétrico, exceto uma. As fontes de tensão
são substituídas por um curto-circuito e as fontes de corrente por um circuito aberto. As fontes
dependentes, ou controladas, devem ser mantidas no circuito.

ETAPA 2
Repetir a Etapa 1 até que todas as fontes independentes tenham sido consideradas e
calculadas suas contribuições individuais.

ETAPA 3
Determinar a resposta total nos elementos fazendo a soma algébrica das respostas individuais
de cada fonte. As tensões e correntes em cada ramo serão a soma das tensões e correntes
das fontes independentes obtidas individualmente. É importante atentar-se ao sentido das
correntes e à polaridade das tensões, conforme já descrito.
 EXEMPLO
Com base no Teorema da Superposição e no princípio da linearidade descritos, calcule a
corrente elétrica que circula por meio do resistor
R2
do circuito ilustrado na Figura 8:Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 8: Circuito para o Exemplo 2.
Inicialmente, será determinada a contribuição da fonte de tensão de 24V. Para isso, a fonte de
corrente deve ser desativada, o que significa substituí-la por um circuito aberto, conforme
ilustrado na Figura 9.
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 9: Substituição da fonte de corrente por um circuito aberto.
O resultado é um circuito em série simples e a contribuição da fonte na corrente, dada por
I ′
2
, será:
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
I ′
2 =
V
RT
=
V
R1 + R2
=
24
8 + 4 = 2A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para encontrar a contribuição da fonte de corrente, é necessário desativar a fonte de tensão,
ou seja, substituí-la por um curto-circuito, conforme ilustrado na Figura 10:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 10: Substituição da fonte de tensão por um curto-circuito.
O resultado é uma combinação em paralelo dos resistores
R1
e
R2
. Com base no princípio de divisão de corrente, a contribuição da fonte de 6A, denominada
I ′′2
, será:
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
I ′′2 =
R1
R1 + R2
I =
8
8 + 46 = 4A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como as duas correntes encontradas tem o mesmo sentido de fluxo no resistor
R2
, a corrente total é dada pela soma de
I ′
2
e
I ′′2
:
I = I ′
2 + I ′′2 = 2 + 4 = 6A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagemhorizontal
Este exemplo demonstra que, caso se deseje calcular a corrente elétrica em um circuito, a
contribuição para tal corrente deve ser determinada para cada fonte, conforme Teorema da
Superposição. Além disso, quando o efeito de cada fonte é determinado, correntes de mesmo
sentido são adicionadas e correntes de sentido oposto são subtraídas, de modo a obedecer a
soma algébrica dessas grandezas. O resultado obtido é o sentido da soma maior e o valor
absoluto da diferença.
Do mesmo modo, caso se deseje calcular a tensão em um elemento, sua contribuição também
deve ser determinada para cada fonte, conforme o Teorema da Superposição. Além disso,
quando o efeito de cada fonte é determinado, tensões de mesma polaridade são adicionadas,
enquanto tensões de polaridades opostas são subtraídas, de modo a obedecer a somaLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
algébrica dessas grandezas. O resultado obtido tem a polaridade da soma maior e o valor
absoluto da diferença.
 ATENÇÃO
Do mesmo modo que demonstrado anteriormente para o princípio da linearidade, o Teorema
da Superposição não pode ser aplicado para calcular a potência elétrica fornecida em
um circuito. Sabe-se que a dissipação de potência nos elementos lineares do circuito como
resistores, varia em função do quadrado da tensão aplicada ou da corrente que está no seu
ramo. Portanto, a potência total de cada componente do circuito não será a soma das
potências individuais quando as fontes atuam de forma isolada.
MÃO NA MASSA
1. COM BASE NO TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO, A CORRENTE
ELÉTRICA QUE CIRCULA PELO RESISTOR
R2
DO CIRCUITO ILUSTRADO NA FIGURA 11 É DE:
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES
 FIGURA 11: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 1.
A) 6,65A
B) 8,5A
C) 5,45A
D) 7,25A
E) 4,5A
2. O CIRCUITO DA FIGURA 12 ILUSTRA UM CIRCUITO ELÉTRICO
ALIMENTADO POR UMA FONTE DE TENSÃO DE 1V. CONSIDERANDO OS
VALORES DOS COMPONENTES E O PRINCÍPIO DA LINEARIDADE, O
VALOR DA CORRENTE
I0
QUANDO A FONTE DE TENSÃO FOR DE 10V É DE:
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES
 FIGURA 12: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 2.
A) 1A
B) 2A
C) 3A
D) 4A
E) 5A
3. A FIGURA 13 ILUSTRA UM CIRCUITO ELÉTRICO LIGADO EM PONTE.
AO APLICAR O TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO, A CORRENTE
I2
QUE CIRCULA PELO RESISTOR DE
12KΩ
É DE APROXIMADAMENTE:
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES
 FIGURA 13: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 3.
A) 1,56mA
B) 2,88mA
C) 1,77mA
D) 4,45mA
E) 6,66mA
4. AO APLICAR O TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO NO CIRCUITO
ILUSTRADO NA FIGURA 14, A CORRENTE ELÉTRICA QUE CIRCULA
PELO RESISTOR DE
12Ω
É DE:
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES
 FIGURA 14: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 4.
A) 2,05A
B) 1,08A
C) 3,42A
D) 2,36A
E) 1,56A
5. PARA O CIRCUITO ILUSTRADO NA FIGURA 15, A CORRENTE
I0
É DE
0, 16A
QUANDO A FONTE DE TENSÃO
VS
VALE 12V. SE A FONTE
VS
FOR SUBSTITUÍDA POR UMA FONTE DE
24VLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
, O VALOR DA CORRENTE
I0
SERÁ DE, APROXIMADAMENTE:
IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES
 FIGURA 15: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 5.
A) 0,64A
B) 1,5A
C) 0,56A
D) 1,48A
E) 0,32A
6. SUPONDO INICIALMENTE QUE A CORRENTE
I0
SEJA 1A E UTILIZANDO O PRINCÍPIO DA LINEARIDADE, O VALOR REALLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
PARA
I0
NO CIRCUITO ILUSTRADO NA FIGURA 16 É DE:
IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES
 FIGURA 16: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 6.
A) 1A
B) 2A
C) 3A
D) 4A
E) 5A
GABARITO
1. Com base no Teorema da Superposição, a corrente elétrica que circula pelo resistor
R2
do circuito ilustrado na Figura 11 é de:
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 11: Mão na massa - Exercício 1.
A alternativa "D " está correta.
É possível começar a resolver o circuito calculando a contribuição da fonte de tensão de 32V.
Nesse caso, a fonte de corrente deve ser desligada, ou seja, substituída por um circuito aberto
equivalente. O resultado é um circuito em série cuja corrente será:
I ′
2 =
V
RT
=
V
R1 + R2
=
32
14 + 2
=
32
16
= 2A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
I ′
2
é a corrente no resistor
R2
referente à contribuição da fonte de tensão.
Para calcular o efeito da fonte de corrente, a fonte de tensão deve ser desligada do circuito, ou
seja, substituída por um curto-circuito equivalente. O resultado é a combinação dos resistores
R1
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
e
R2
em paralelo. Assim, a corrente será:
I ′′2 =
R1
R1 + R2
I =
14
14 + 2
6 = 5, 25A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a corrente no resistor
R2
é a soma das contribuições das fontes de tensão e de corrente:
I2 = I ′
2 + I ′′2 = 2 + 5, 25 = 7, 25A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. O circuito da Figura 12 ilustra um circuito elétrico alimentado por uma fonte de tensão
de 1V. Considerando os valores dos componentes e o princípio da linearidade, o valor da
corrente
i0
quando a fonte de tensão for de 10V é de:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 12: Mão na massa - Exercício 2.
A alternativa "B " está correta.Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Primeiramente deve-se encontrar o valor da corrente
i0
para a configuração ilustrada no circuito, ou seja, com os parâmetros já conhecidos de
resistores e da fonte de tensão igual a 1V:
Calculando a resistência equivalente com os resistores da malha da direita:
8ǁ(5 + 3) = 4Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A corrente total que flui da fonte é de:
i =
1
1 + 4
=
1
5
A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com base no princípio de divisão de corrente, a corrente
i0
será de:
i0 =
1
2
i =
1
10
= 0, 1A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando que a fonte seja de 10V (e que os resistores mantenham os mesmos valores),
tem-se:
i = 2A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto a corrente
i0
será de:
i0 =
1
2
i =
1
2
2 = 1A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
3. A Figura 13 ilustra um circuito elétrico ligado em ponte. Ao aplicar o Teorema da
Superposição, a corrente
I2
que circula pelo resistor de
12kΩ
é de aproximadamente:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 13: Mão na massa - Exercício 3.
A alternativa "C " está correta.
Utilizando o Teorema da Superposição, primeiro será considerado o efeito da fonte de corrente
de 4mA no resistor de
12KΩ
. Deve-se aplicar a regra de divisão de corrente, ou seja:
I ′
2 =
R1
R1 + R2
I =
6k
6k + 12k
4mA = 1, 33mA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Considerando agora o efeito da fonte de tensão de 8V, tem-se:
I ′′2 =
V
R1 + R2
=
8
6k + 12k
= 0, 44mA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tendo em vista que as correntes elétricas referentes às duas fontes têm o mesmo sentido
através de
R2
, a corrente total nesse resistor será a soma das duas, aproximadamente:
IR2 = I ′
2 + I ′′2 = 1, 33 + 0, 44 = 1, 77mA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Ao aplicar o Teorema da Superposição no circuito ilustrado na Figura 14, a corrente
elétrica que circula pelo resistor de
12Ω
é de:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 14:Mão na massa - Exercício 4.
A alternativa "B " está correta.
SOLUÇÃO
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
5. Para o circuito ilustrado na Figura 15, a corrente
I0
é de
0, 16A
quando a fonte de tensão
vs
vale 12V. Se a fonte
vs
for substituída por uma fonte de
24V
, o valor da corrente
I0
será de, aproximadamente:
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 15: Mão na massa - Exercício 5.
A alternativa "E " está correta.
A solução do problema pode ser encontrada utilizando a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT)
aplicada às duas malhas do circuito e atribuindo o valor de 24V à fonte de tensão vs. No
entanto, como já foi fornecida a corrente
I0
quando a fonte vale 12V, é possível aplicar o princípio da linearidade para encontrar a nova
corrente.
Quando
vs = 12V
:
I0 = 0, 16A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para
vs = 12V
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
:
I0 = 2 × 0, 16 = 0, 32A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, como a fonte de tensão dobrou de valor e o circuito é linear, a corrente elétrica
também deverá ser dobrada.
6. Supondo inicialmente que a corrente
I0
seja 1A e utilizando o princípio da linearidade, o valor real para
I0
no circuito ilustrado na Figura 16 é de:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 16: Mão na massa - Exercício 6.
A alternativa "C " está correta.
 Se I0 = 1A, então: V1 = (3 + 5)I0 = 8V
I1 =
V1
4
= 2A
Se a Lei de Kirchhoff das tensões for aplicada ao nó 1, temos:
I2 = I1 + I0 = 3A
V2 = V1 + 2I2 = 8 + 6 = 14V
I3 =
V2
7
= 2ALoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Ao aplicar a Lei de Kirchhoff das tensões no nó 2, temos:
I4 = I3 + I2 = 5A
Dessa forma,
IS = 5A
. Isso significa que, ao supor
I0 = 1A
, tem-se
IS = 5A
. Assim, o valor real da corrente da fonte de
15A
resultará em uma corrente
I0
de
3A
como valor real.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Utilizando o Teorema da Superposição, determine o valor da corrente i, que circula pelo resistor
de
3Ω
no circuito elétrico ilustrado na Figura 17.
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 17: Teoria na prática.
RESOLUÇÃO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UTILIZANDO O TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO, O VALOR DA TENSÃO
V NO RESISTOR DE 4Ω DO CIRCUITO ILUSTRADO NA FIGURA 18 É DE,
APROXIMADAMENTE:
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES
 FIGURA 18: ATIVIDADES - EXERCÍCIO 1.
A) 10V
B) 8V
C) 12V
D) 6V
E) 14V
2. O CIRCUITO ELÉTRICO ILUSTRADO NA FIGURA 19 CONTÉM DUAS
FONTES, UMA DE TENSÃO DE
15V
E UMA DE CORRENTE DE
6A
. CONSIDERANDO A CONTRIBUIÇÃO DESSAS DUAS FONTES, A
CORRENTE
I1
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
QUE CIRCULA PELO RESISTOR
R1
É DE:
IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES
 FIGURA 19: ATIVIDADES - EXERCÍCIO 2.
A) 4,0A
B) 1,5A
C) 3,0A
D) 2,0A
E) 2,5A
GABARITO
1. Utilizando o Teorema da Superposição, o valor da tensão v no resistor de 4Ω do
circuito ilustrado na Figura 18 é de, aproximadamente:
( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 18: Atividades - Exercício 1.
A alternativa "C " está correta.
Como o circuito contém duas fontes, é necessário calcular a contribuição de cada uma delas
separadamente na tensão total do resistor de
4Ω
. Seja assim:
v = v1 + v2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
v1
e
v2
são as parcelas de tensão referentes às fontes de 4V e de 4A, respectivamente.
Para obter
v2
deve-se fazer a fonte de corrente como um circuito aberto. Aplicando a Lei de Kirchhoff das
tensões, tem-se:
12i1 − 4 = 0 → i1 = 0, 33A
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
v1 = 4i1 = 1, 33 V
OBS.:
v1
também poderia ser encontrada utilizando divisão de tensão.
Para obter
v2
, deve-se fazer a fonte de tensão como zero, ou seja, substituí-la por um curto-circuito. Assim,
aplicando divisão de corrente, tem-se:
i3 =
8
4 + 8
4 = 2, 66A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então a tensão
v2
será:
v2 = 4i3 = 10, 66V
A tensão total será a soma das tensões
v1
e
v2
:
v = 1, 33 + 10, 66 ≈ 12V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. O circuito elétrico ilustrado na Figura 19 contém duas fontes, uma de tensão de
15V
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
e uma de corrente de
6A
. Considerando a contribuição dessas duas fontes, a corrente
I1
que circula pelo resistor
R1
é de:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 19: Atividades - Exercício 2.
A alternativa "E " está correta.
A corrente
I1
pode ser encontrada aplicando o Teorema da Superposição. Considerando inicialmente a
contribuição da fonte de tensão, deve-se fazer a fonte de corrente como zero, ou seja,
substituí-la por um circuito aberto. Tem-se um simples circuito composto pela fonte de tensão
em série com o resistor
R1
:
( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
I ′
1 =
V
R1
=
15
6
= 2, 5A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para calcular a contribuição da fonte de corrente, por sua vez, deve-se fazer a fonte de tensão
como zero, ou seja, substituí-la por um curto-circuito. Como a corrente elétrica sempre toma o
caminho de menor resistência, tem-se que a contribuição dessa fonte em Portanto, a corrente
total no resistor
R1
será: será nula:
I ′′1 = 0A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a corrente total no resistor
R1
será:
I = I ′
1 + I ′′1 = 2, 5 + 0 = 2, 5A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Descrever circuitos elétricos equivalentes em estrela e triângulo
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
LIGAÇÕES DE CIRCUITOS EM ESTRELA E
TRIÂNGULO
INTRODUÇÃO
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Imagem: Stock.adobe.com
OS ELEMENTOS DE UM CIRCUITO ELÉTRICO PODEM SER
CONECTADOS DE DIVERSAS FORMAS PARA CONSTITUIR UM
EQUIPAMENTO OU UM DISPOSITIVO ELÉTRICO.
A organização dos elementos, como fontes de alimentação, resistores, indutores e capacitores
é importante para definir a forma como a energia será utilizada. Esta, por sua vez, é chamada
de associação. Tratando mais especificamente de circuitos elétricos básicos e alimentados com
corrente contínua, os elementos do circuito resumem-se aos resistores.
A associação de resistores é muito comum em circuitos elétricos, pois nem sempre é possível
obter um valor específico de resistência com apenas um resistor. A associação desses
resistores é sempre representada por um resistor equivalente
Req
, elemento fictício, ou seja, que não está, de fato, presente na rede, mas que representa a
resistência total referente aos elementos associados.
O comportamento da associação, ou seja, a forma como as tensões e correntes estão
presentes no circuito, dependem do tipo de ligação dos resistores. As associações básicas
são dos tipos:
SÉRIE
( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
PARALELO
MISTA (SÉRIE-PARALELO)
Além disso, os circuitos podem ter uma configuração complexa, em que os elementos não
podem ser considerados associados em série ou em paralelo, como é o caso das
configurações em estrela (Y) e triângulo (∆), que serão abordadas neste módulo.
ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE
Imagem: Shutterstock.com
Seja o circuitoilustrado na Figura 20, que representa um circuito com uma fonte de tensão e
dois resistores ligados em série, de modo que apenas a corrente i circula por ambos (uma
única corrente de malha).
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 20: Circuito com um laço e dois resistores em série.
Ao aplicar a Lei de Ohm para cada um dos resistores, tem-se:
V1 = IR1 , V2 = IR2
(9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT) à malha, arbitrando que a corrente circule no
sentido horário, tem-se:
−V + V1 + V2 = 0
(10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Relacionando as Equações 9 e 10:
V = V1 + V2 = I R1 + R2
I =
V
R1 + R2
(11)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A Equação 11 pode ser modificada, pois os dois resistores podem ser substituídos por um
equivalente:
V = IREQ
Onde,
REQ = R1 + R2
(12)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
A resistência equivalente em um circuito com
N
resistores ligados em série é a soma algébrica dessas resistências individuais desses
elementos.
Para
N
resistores:
REQ = R1 + R2 + ⋯ + RN =
N
∑
N= 1
RN
(13)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ASSOCIAÇÃO EM PARALELO
Seja o circuito ilustrado na Figura 21, composto por uma fonte de tensão e dois resistores
ligados em paralelo,
R1
e
R2
. Por estarem ligados em paralelo, os dois resistores estão submetidos à mesma tensão.
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 21: Circuito com dois resistores em paralelo.
V = I1R1 = I2R2
I1 =
V
R1
I2 =
V
R2
(14)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a Lei de Kirchhoff das correntes (LKC) no nó a, tem-se a corrente total que vem da
fonte:
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
I = I1 + I2
(15)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo a Equação 14 na Equação 15, tem-se:
I =
V
R1
+
V
R2
= V
1
R1
+
1
R2
=
V
REQ
(16)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
Req
é denominada resistência equivalente dos resistores ligados em paralelo.
1
REQ
=
1
R1
+
1
R2
→
1
REQ
=
R1 + R2
R1R2
(17)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
A resistência equivalente de dois resistores ligados em paralelo é dada pelo produto dessas
resistências dividido pela sua soma.
REQ =
R1R2
R1 + R2
(18)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ASSOCIAÇÃO MISTA (SÉRIE-PARALELO)
A CONFIGURAÇÃO DE ASSOCIAÇÃO MISTA, OU SÉRIE-
PARALELO, EM UM CIRCUITO ELÉTRICO É FORMADA POR
UMA COMBINAÇÃO DE ELEMENTOS LIGADOS EM SÉRIE E EM
PARALELO.
São muitas as combinações possíveis para a associação mista de resistores, portanto, é
necessário analisar partes do circuito separadamente a fim de definir a abordagem que fornece
a melhor estratégia de determinação das grandezas necessárias. A melhor forma de resolver
um circuito em associação mista é compreender bem as associações em série e paralelo
apresentadas anteriormente. A Figura 22 ilustra um circuito com resistores em associação
mista.
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 22: Circuito CC em série-paralelo.
LIGAÇÕES EM ESTRELA (Y) E TRIÂNGULO
(∆)
 VOCÊ SABIA
Em muitas situações, a configuração dos elementos de um circuito elétrico não se configura
como associação em série e nem como associação em paralelo. Essas situações dificultam, a
princípio, a análise do circuito a partir das leis básicas, como a Lei de Kirchhoff das correntes
(LKC) e a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT), aplicadas às análises nodal e de malhas.
Muitos desses circuitos complexos podem ser simplificados a partir de uma conversão em
redes equivalentes de três terminais. As configurações de ligação em estrela (Y) e triângulo (∆)
são, frequentemente, responsáveis por essa dificuldade e que podem ser facilmente
convertidas em redes equivalentes. Muitas vezes, essas ligações são também identificadas por
“T” e “pi” (π), respectivamente, ilustradas na Figura 23 e Figura 24:
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Imagem: Fundamentos de Circuitos Elétricos. Sadiku, 2013
 Figura 23: Circuito ligado em estrela: (a) Y; (b) T
Imagem: Fundamentos de Circuitos Elétricos. Sadiku, 2013
 Figura 24: Circuito ligado em triângulo: (a) ∆ (b) π.
Portanto, de modo a auxiliar na aplicação das técnicas de análise de circuitos para redes com
essas ligações, serão apresentados, na sequência, os desenvolvimentos das equações
necessárias para a conversão de circuitos em estrela para triângulo e vice-versa.
Seja o circuito da Figura 25, com os terminais
a
,
b
e
c
fixos. Caso se deseje utilizar o circuito na configuração estrela (Y), em vez da configuração emLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
triângulo (∆), basta aplicar diretamente as equações que serão desenvolvidas na sequência. É
importante destacar que apenas uma das configurações, estrela ou triângulo, podem estar
presentes entre os terminais
a
,
b
e
c
, de modo que se possa dizer que são equivalentes.
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 25: Conceito de conversão ∆-Y
O objetivo matemático da conversão entre as configurações é determinar uma expressão para
R1
,
R2
e
R3Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
em função de
RA
,
RB
e
RC
, e vice-versa, de modo a garantir que a resistência entre dois terminais quaisquer da
configuração estrela seja equivalente à resistência entre dois terminais quaisquer da
configuração triângulo.
CONVERSÃO TRIÂNGULO – ESTRELA (∆ -
Y)
É possível que, em algumas situações, seja mais conveniente analisar um circuito em uma
determinada configuração.
 EXEMPLO
Pode ser interessante fazer a conversão de parte de um circuito que esteja ligada em triângulo
para seu equivalente em estrela. Essa mudança é denominada conversão triângulo-estrela.
Para fazer essa conversão, deve-se sobrepor o circuito em estrela ao circuito em triângulo já
existente e determinar o valor da resistência em cada par de nós que seja correspondente à
ligação em estrela.
De modo geral, a conversão triângulo-estrela transforma os resistores em triângulo
RA, RB, RC
em estrela
R1, R2, R3
( )
( )Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
, de modo que existirão expressões para
R1, R2eR3
, em função de
RA, RB
e
RC
. Considerando o circuito da Figura 25, a resistência entre os terminais
a − c
deve ser a mesma tanto para a ligação triângulo quanto para ligação estrela:
RA−C(Y) = RA−C(Δ)
(19)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, tem-se que:
RA−C = R1 + R3 =
RB RA + RC
RB + RA + RC
(20)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Aplicando o mesmo raciocínio aos pares de nós
a − b
e
b − c
, é possível obter outras expressões:
RA−B = R1 + R2 =
RC RA + RCB
RC + RA + RB
(21)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RB−C = R2 + R3 =
RA RB + RC
RA + RB + RC
(22)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao subtrair a Equação 20 da Equação 21, tem-se:
( )
( )
( )
( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.jsR1 + R2 − R1 + R3 =
RCRB + RCRA
RA + RB + RC
−
RBRA + RBRA
RA + RB + RC
De modo que:
R2 − R3 =
RARC − RBRA
RA + RB + RC
(23)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao subtrair a Equação 23 da Equação 22, tem-se:
R2 + R3 − R2 − R3 =
RARB + RARC
RA + RB + RC
−
RARC − RBRA
RA + RB + RC
Logo:
2R3 =
2RBRA
RA + RB + RC
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
(24)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível, então, determinar uma expressão para o resistor
R3
(ligação em estrela), em função dos resistores
RA
,
RB
e
RC
(ligação em triângulo):
R3 =
RARB
RA + RB + RC
(25)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se o mesmo raciocínio for aplicado para
R1
e
R2
, tem-se:
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
R1 =
RBRC
RA + RB + RC
(26)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
R2 =
RARC
RA + RB + RC
(27)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É importante observar que não é necessário memorizar as expressões descritas nas Equações
25 a 27. Para fazer a transformação, basta criar um nó extra
n
, conforme ilustrado na Figura 26 e seguir a seguinte regra:
“CADA RESISTOR DO CIRCUITO ESTRELA É O PRODUTO DOS
RESISTORES NOS DOIS RAMOS EM TRIÂNGULO
ADJACENTES, DIVIDIDO PELA SOMA DOS TRÊS RESISTORES
EM ESTRELA.”
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 26: Superposição de circuitos Y e ∆ (transformação).
CONVERSÃO ESTRELA – TRIÂNGULO (Y -
∆)
Em outras situações, pode ser mais conveniente analisar um circuito em triângulo, em vez de
em estrela. Para isso, é necessário fazer a conversão estrela-triângulo para encontrar os
resistores equivalentes, semelhante ao que foi feito no tópico anterior. Com base nas Equações
25 e 26, tem-se a seguinte divisão:
R3
R1
=
RARB / RA + RB + RC
RBRC / RA + RB + RC
=
RA
RC
( ) ( )
( ) ( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Ou
RA =
RCR3
R1
(28)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em seguida, divide-se a Equação 25 pela Equação 27:
R3
R2
=
RARB / RA + RB + RC
RARC / RA + RB + RC
=
RB
RC
Ou
RB =
RCR3
R2
(29)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo
RA
( ) ( )
( ) ( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
e
RB
por esses valores na Equação 27, tem-se:
R2 =
RCR3 /R1 RC
RCR3 /R2 + RCR3 /R1 + RC
=
R3 /R1 RC
R3 /R2 + R3 /R1 + 1
(30)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Reduzindo a expressão para um denominador comum:
R2 =
RCR3 /R1
R1R2 + R1R3 + R2R3 / R1R2
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
=
R2R3RC
R1R2 + R1R3 + R2R3
Isolando
RC
:
RC =
R1R2 + R1R3 + R2R3
R3
(31)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com base nesse mesmo procedimento, é possível encontrar as expressões para
RA
e
RB
(ligação triângulo), em função de
R1
,
R2
e
RA
(ligação estrela):Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
RA =
R1R2 + R1R3 + R2R3
R1
RB =
R1R2 + R1R3 + R2R3
R2
(32)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É importante observar que:
“O VALOR DE CADA RESISTOR DO TRIÂNGULO É IGUAL À
SOMA DAS POSSÍVEIS COMBINAÇÕES DOS PRODUTOS DAS
RESISTÊNCIAS DO CIRCUITO ESTRELA (EXTRAÍDAS DUAS A
DUAS), DIVIDIDA PELA RESISTÊNCIA ESTRELA MAIS
OPOSTA.”
CIRCUITOS EM ESTRELA OU TRIÂNGULO
EQUILIBRADOS
Em circuitos que o valor das três resistências é igual tanto na ligação em estrela
R1 = R2 = R3
, como na ligação em triângulo
RA = RB = RC
( )
( )Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
, diz-se que o circuito é equilibrado. Se
RA = RB = RC
, a Equação 25 facilmente se transformaria em (usando apenas RA):
R3 =
RARB
RA + RB + RC
=
RARA
RA + RB + RC
=
R2
A
3RA
=
RA
3
(33)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Seguindo o mesmo procedimento:
R1 =
RA
3 , R2 =
RA
3
(34)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De forma geral, as fórmulas de conversão anteriormente desenvolvidas são, para circuitos
equilibrados, resumidas em:
RY =
RΔ
3 , RΔ = 3RY
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
(35)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ISSO INDICA QUE, PARA UM CIRCUITO EM ESTRELA DE TRÊS
RESISTORES IGUAIS, O VALOR DE CADA RESISTOR DO
TRIÂNGULO É IGUAL A TRÊS VEZES O VALOR DE UM
RESISTOR EM ESTRELA.
 EXEMPLO
Converta o circuito ilustrado na Figura 27, ligado em triângulo (ou delta) em seu equivalente em
estrela (ou T).
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 27: Circuito do Exemplo 1.
Com base nas Equações 25, 26 e 27, a conversão do circuito em triângulo para seu
equivalente em estrela consiste em encontrar os valores de
R1
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
,
R2
e
R3
:
R1 =
RBRC
RA + RB + RC
=
20 × 10
30 + 20 + 10 = 3, 33Ω
R2 =
RARC
RA + RB + RC
=
30 × 10
30 + 20 + 10 = 5Ω
R3 =
RARB
RA + RB + RC
=
20 × 30
30 + 20 + 10 = 10Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O circuito equivalente em estrela é ilustrado na Figura 28.
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 28: Circuito Y equivalente ao ∆.
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE O CIRCUITO DA FIGURA 29, QUE ILUSTRA UMA LIGAÇÃO
EM TRIÂNGULO (OU DELTA ‒ ∆). APÓS A CONVERSÃO EM SEU
CIRCUITO EQUIVALENTE EM ESTRELA, OS VALORES DAS
RESISTÊNCIAS
R1
,
R2
E
R3
VALEM, RESPECTIVAMENTE:Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES
 FIGURA 29: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 1.
A)
R1 = 10Ω, R2 = 8, 5Ω e R3 = 3Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
R1 = 7, 5Ω, R2 = 10Ω e R3 = 5Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
R1 = 4, 5Ω, R2 = 5Ω e R3 = 7, 5Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
R1 = 8Ω, R2 = 7, 5Ω e R3 = 2Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
E)
R1 = 7, 5Ω, R2 = 5, 5Ω e R3 = 10Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A FIGURA 30 ILUSTRA UM CIRCUITO CUJOS ELEMENTOS ESTÃO
LIGADOS EM PONTE. CONSIDERE QUE:
RA = 2Ω, RB = 5Ω E RC = 4Ω
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE
A ROLAGEM HORIZONTAL
A RESISTÊNCIA TOTAL
RT
PARA ESSE CIRCUITO É DE, APROXIMADAMENTE:
IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES
 FIGURA 30: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 2.
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
A)
4, 5Ω
B)
1, 5Ω
C)
2, 75Ω
D)
5, 5Ω
E)
2, 5Ω
3. A CONVERSÃO DO CIRCUITO LIGADO EM TRIÂNGULO (OU DELTA),
ILUSTRADO NA FIGURA 31, PARA SEU EQUIVALENTE EM ESTRELA
FORNECE COMO NOVOS VALORES DE RESISTÊNCIA:
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
IMAGEM: FUNDAMENTOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS. SADIKU, 2013
 FIGURA 31: MÃO NA MASSA ‒ EXERCÍCIO 3.
A)
R1 = 7, 5Ω, R2 = 7, 5Ω e R3 = 3Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
R1 = 3Ω, R2 = 5Ω e R3 = 7, 5Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
R1 = 7, 5Ω, R2 = 5Ω e R3 = 3Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
R1 = 3Ω, R2 = 7, 5Ω e R3 = 5Ω
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da equação utilize a rolagem horizontal
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
E)
R1 = 5Ω, R2 = 7, 5Ω e R3 = 3Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. O CIRCUITO DA FIGURA 32 APRESENTA UMA ASSOCIAÇÃO
COMPLEXA DE RESISTORES. COM BASE NOS CONCEITOS DE
LIGAÇÕES EM ESTRELA E TRIÂNGULO, A RESISTÊNCIA TOTAL
EQUIVALENTE ENTRE OS PONTOS A E B É DE:
IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES
 FIGURA 32: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 4.
A)
16, 75Ω
B)
25, 5Ω
C)
18, 75Ω
D)
23, 05Ω
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
E)
25Ω
5. PARA O CIRCUITO DA FIGURA 33, O VALOR DA RESISTÊNCIA
EQUIVALENTE VISTA PELA FONTE, OU SEJA, A RESISTÊNCIA TOTAL
EQUIVALENTE ENTRE OS PONTOS A E B É DE, APROXIMADAMENTE:
IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES
 FIGURA 33: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 5.
A)
25Ω
B)
40Ω
C)
45Ω
D)
35ΩLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
E)
30Ω
6. A FIGURA 34 ILUSTRA UM CIRCUITO EM QUE OS RESISTORES ESTÃO
ASSOCIADOS DE FORMA COMPLEXA, OU SEJA, NÃO PODEM SER
DIRETAMENTE RESUMIDOS A CIRCUITOS EM SÉRIE OU EM PARALELO.
CONSIDERANDO A POSSIBILIDADE DE CONVERSÃO ENTRE
EQUIVALENTES EM ESTRELA OU EM TRIÂNGULO, O VALOR DA
RESISTÊNCIA ENTRE OS TERMINAIS AB DO CIRCUITO É DE,
APROXIMADAMENTE:
IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES
 FIGURA 34: MÃO NA MASSA - EXERCÍCIO 6.
A)
57, 13Ω
B)
45, 15Ω
C)
60, 25Ω
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
D)
38, 18Ω
E)
26, 14Ω
GABARITO
1. Considere o circuito da Figura 29, que ilustra uma ligação em triângulo (ou delta ‒ ∆).
Após a conversão em seu circuito equivalente em estrela, os valores das resistências
R1
,
R2
e
R3
valem, respectivamente:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 29: Mão na massa - Exercício 1.
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
A alternativa "B " está correta.
Para converter o circuito em triângulo para seu equivalente em estrela, basta voltar às
Equações 25, 26 e 27, que fornecem diretamente os valores das resistências
R1
,
R2
e
R3
.
R1 =
RBRC
RA + RB + RC
=
15 × 30
20 + 15 + 30
= 7, 5Ω
R2 =
RARC
RA + RB + RC
=
20 × 30
20 + 15 + 30
= 10Ω
R3 =
RARB
RA + RB + RC
=
20 × 15
20 + 15 + 30
= 5Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, os valores dos resistores para o circuito equivalente em estrela são:
R1 = 7, 5Ω, R2 = 10Ω e R3 = 5Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A Figura 30 ilustra um circuito cujos elementos estão ligados em ponte. Considere
que:
RA = 2Ω, RB = 5Ω e RC = 4Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resistência total
RT
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
para esse circuito é de, aproximadamente:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 30: Mão na massa - Exercício 2.
A alternativa "C " está correta.
Com base nas Equações 25, 26 e 27, a conversão do segmento destacado na Figura 30 para
seu equivalente em estrela é:
R1 =
RBRC
RA + RB + RC
=
5 × 4
2 + 5 + 4
= 1, 8Ω
R2 =
RARC
RA + RB + RC
=
2 × 4
2 + 5 + 4
= 0, 72Ω
R3 =
RARB
RA + RB + RC
=
2 × 5
2 + 5 + 4
= 0, 9Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo o segmento em triângulo pelo seu equivalente em estrela, a resistência total pode
ser agora facilmente encontrada a partir de associações em série e paralelo, e será de:
RT = 0, 9 +
(4 + 1, 8)(2 + 0, 72)
(4 + 1, 8) + (2 + 0, 72)Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
RT = 0, 9 +
(5, 8)(2, 72)
(5, 8) + (2, 72)
RT = 0, 9 + 1, 85
RT = 2, 75Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. A conversão do circuito ligado em triângulo (ou delta), ilustrado na Figura 31, para seu
equivalente em estrela fornece como novos valores de resistência:
Imagem: Fundamentos de Circuitos Elétricos. Sadiku, 2013
 Figura 31: Mão na massa ‒ Exercício 3.
A alternativa "E " está correta.
Com base nas Equações 25, 26 e 27, a conversão do segmento destacado na Figura 31 para
seu equivalente em estrela é:
R1 =
RBRC
RA + RB + RC
=
10 × 25
15 + 10 + 25
= 5Ω
R2 =
RARC
RA + RB + RC
=
25 × 15
15 + 10 + 25
= 7, 5Ω
R3 =
RARB
RA + RB + RC
=
15 × 10
15 + 10 + 25
= 3ΩLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, os valores dos resistores para o circuito equivalente em estrela são:
R1 = 5Ω, R2 = 7, 5Ω e R3 = 3Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. O circuito da Figura 32 apresenta uma associação complexa de resistores. Com base
nos conceitos de ligações em estrela e triângulo, a resistência total equivalente entre os
pontos A e B é de:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 32: Mão na massa - Exercício 4.
A alternativa "D " está correta.
Primeiramente, deve-se transformar os resistores da primeira malha, ligados em triângulo, em
seu equivalente em estrela
R1, R2eR3
.
R1 =
RBRC
RA + RB + RC
=
40 × 10
40 + 50 + 10
= 4Ω
R2 =
RARC
RA + RB + RC
=
40 × 50
40 + 50 + 10
= 20Ω
( )
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
R3 =
RARB
RA + RB + RC
=
50 × 10
40 + 50 + 10
= 5Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após a transformação, tem-se:
20Ω
em série com
60Ω = 80Ω
5Ω
em série com
20Ω = 25Ω
O paralelo dessas associações é:
80Ωǁ25Ω = 19, 05Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resistência total equivalente entre os pontos A e B é:
RT = 4Ω + 19, 05Ω = 23, 05Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Para o circuito da Figura 33, o valor da resistência equivalente vista pela fonte, ou
seja, a resistência total equivalente entre os pontos A e B é de, aproximadamente:
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 33: Mão na massa - Exercício 5.
A alternativa "B " está correta.
SOLUÇÃO
6. A Figura 34 ilustra um circuito em que os resistores estão associados de forma
complexa, ou seja, não podem ser diretamente resumidos a circuitos em série ou em
paralelo. Considerando a possibilidade de conversão entre equivalentes em estrela ou
em triângulo, o valor da resistência entre os terminais AB do circuito é de,
aproximadamente:
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 34: Mão na massa - Exercício 6.
A alternativa "A " está correta.
Primeiramente, deve-se aplicar a conversão da ligação em triângulo dos resistores de
30Ω
,
15Ω
e
10Ω
para seu equivalente em estrela. De forma semelhante, essa conversão pode ser aplicada
entre os resistores de
20Ω
,
25Ω
e
30Ω
sem alterar o resultado.
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
R1 =
RBRC
RA + RB + RC
=
10 × 30
30 + 15 + 10
= 5, 45Ω
R2 =
RARC
RA + RB + RC
=
30 × 15
30 + 15 + 10
= 8, 18Ω
R3 =
RARB
RA + RB + RC
=
15 × 10
30 + 15 + 10
= 2, 72Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após a transformação, tem-se as seguintes associações em série e paralelo:
20Ω + 5, 45Ω = 25, 45Ω
25Ω + 8, 18Ω = 33, 18Ω
25, 45Ωǁ33, 18Ω → 14, 4Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, a resistência total equivalente será de, aproximadamente:
RT = 22Ω + 14, 4Ω + 2, 72Ω + 18Ω = 57, 13Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Os circuitos em ponte são muito importantes nas montagens de equipamentos eletrônicos,
como, por exemplo, para medição de resistência. Uma das montagens mais utilizadas é a
chamada Ponte de Wheatstone, para mediçãode resistências com elevada precisão, resistores
entre
1Ω
e
1MΩ
. A solução de circuitos em ponte pode ser facilmente encontrada a partir de transformaçõesLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
estrela-triângulo. Com base nos conceitos dessas transformações, calcule a potência elétrica
fornecida à ponte do circuito da Figura 35.
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 35: Teoria na Prática.
RESOLUÇÃO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
1. COM BASE NAS EQUAÇÕES DE TRANSFORMAÇÃO DE CIRCUITOS
ESTRELA-TRIÂNGULO, A RESISTÊNCIA TOTAL DO CIRCUITO
ILUSTRADO NA FIGURA 36 É DE:
IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES
 FIGURA 36: ATIVIDADES - EXERCÍCIO 1.
A)
2, 54Ω
B)
3, 27Ω
C)
4, 65Ω
D)
3, 82Ω
E)
4, 18ΩLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
2. A CONVERSÃO DO CIRCUITO DA FIGURA 37, LIGADO EM ESTRELA,
PARA SEU EQUIVALENTE EM TRIÂNGULO, FORNECE COMO VALORES
PARA
R1
,
R2
E
R3
, RESPECTIVAMENTE:
IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES
 FIGURA 37: ATIVIDADES - EXERCÍCIO 2.
A)
55Ω, 120Ω e 85Ω
B)
25Ω, 160Ω e 70Ω
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
C)
140Ω, 70Ω e 35Ω
D)
150Ω, 85Ω e 50Ω
E)
70Ω, 35Ω e 140Ω
GABARITO
1. Com base nas equações de transformação de circuitos estrela-triângulo, a resistência
total do circuito ilustrado na Figura 36 é de:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
 Figura 36: Atividades - Exercício 1.
A alternativa "B " está correta.
A conversão do circuito em triângulo para seu equivalente em estrela permite a análise do
circuito equivalente a partir de associações em série e paralelo. No caso do circuito da Figura
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
36, como os resistores do triângulo são iguais, é possível utilizar as equações de conversão
para circuitos equilibrados:
RY =
RΔ
3
=
6
3
= 2Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resistência total será de:
RT = 2
2 × 9
2 + 9
= 3, 27Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A conversão do circuito da Figura 37, ligado em estrela, para seu equivalente em
triângulo, fornece como valores para
R1
,
R2
e
R3
, respectivamente:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães
[ ]
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
 Figura 37: Atividades - Exercício 2.
A alternativa "C " está correta.
A partir das equações de conversão estrela para triângulo, tem-se:
RA =
R1R2 + R2R3 + R3R1
R1
=
10 × 20 + 20 × 40 + 40 × 10
10
= 140Ω
RB =
R1R2 + R2R3 + R3R1
R2
=
10 × 20 + 20 × 40 + 40 × 10
20
= 70Ω
RC =
R1R2 + R2R3 + R3R1
R3
=
10 × 20 + 20 × 40 + 40 × 10
40
= 35Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A análise de circuitos elétricos é facilmente entendida com a aplicação das leis básicas de
circuitos, como a Lei de Ohm e as Leis de Kirchhoff (das tensões e das correntes). No entanto,
para circuitos mais complexos ou que contenham uma grande quantidade de elementos e
fontes de alimentação, apenas o conhecimento dessas leis pode ser insuficiente para
prosseguir com a análise. Dessa forma, teoremas como o da Superposição, apresentado neste
conteúdo, permitem a simplificação dos circuitos.
O Teorema da Superposição apresentado baseia-se no princípio da linearidade dos elementos
de circuito e diz que a corrente elétrica ou a tensão em um elemento de um circuito linear é
dada pela soma algébrica das correntes ou tensões produzidas pela atuação isolada de cada
uma das fontes independentes. Dessa forma, o resultado dessas grandezas pode ser obtido a
partir de uma análise individual de cada fonte do circuito, somadas algebricamente. Por fim,
foram apresentadas as equivalências entre as ligações em estrela ou triângulo, bem como suasLoading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
equivalentes transformações que permitem simplificar a aplicação das leis básicas em circuitos
cujos elementos não estão ligados em série ou em paralelo.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. Porto Alegre:
AMGH, 2013.
BOYLESTAD, R. L.; NASCIMENTO, J. L. do. Introdução à análise de circuitos. São Paulo:
Pearson Education, 2004.
IRWIN, J. D. Análise de circuitos em engenharia. São Paulo: Pearson Education, 2010.
JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de análise de circuitos
elétricos. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1994.
NILSSON, J. W., RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. São Paulo: Pearson Education, 2008.
EXPLORE+
Para se aprofundar nos tópicos desenvolvidos, leia o seguinte livro:
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js
CRUZ, E. C. A. Eletricidade básica – circuitos em corrente continua. São José dos Campos:
Érica, 2014.
CONTEUDISTA
Isabela Oliveira Guimarães
Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js