Unidade 1 - FASORES CONCEITOS E APLICAÇÕES

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CIRCUITOS ELÉTRICOSCIRCUITOS ELÉTRICOS
IIII
UNIDADE 1 – FASORES:UNIDADE 1 – FASORES:
CONCEITOS E APLICAÇÕESCONCEITOS E APLICAÇÕES
Autor: Guilherme SchnirmannAutor: Guilherme Schnirmann
Revisora: Sofia Maria Amorim Falco RodriguesRevisora: Sofia Maria Amorim Falco Rodrigues
INICIAR
Introdução
Caro estudante,
Na natureza, os mais variados tipos de sinais são encontrados na forma senoidal, ou
seja, são variantes no tempo e analisados por uma função seno ou cosseno com
propriedades: amplitude , frequência e fase (ALEXANDER; SADIKU, 2013). Na análise
de circuitos elétricos não é diferente, pois as principais fontes de tensão ou corrente são
variantes no tempo. Essa tensão, gerada por usinas de energia elétrica no mundo inteiro,
é conhecida por tensão CA (corrente alternada). Portanto a tensão que chega na tomada
de nossas casas e é a mesma utilizada na transmissão e distribuição de energia na forma
alternada senoidal. Estudaremos as ferramentas matemáticas para a análise de circuitos
CA, bem como revisaremos técnicas utilizadas em CC (corrente contínua) que são
1.1 Circuitos CA e notação senoidal
As funções senoidais são funções periódicas , ou seja, funções que variam no tempo,
mas se repetem em um intervalo, chamado de período . Considere a função senoidal:
Em que:
Nas abas a seguir, os gráficos apresentam a senoide em função do argumento ωt e em
função do tempo. Observa-se que a função se repete em intervalos constantes e fica
evidente que essa repetição acontece a cada T segundos, portanto, esse intervalo T é
chamado de período da senoide. A amplitude V é o valor máximo/mínimo (de pico) que
a senoide atinge.
também utilizadas no estudo em questão.
Iniciaremos a análise nos circuitos CA em que todos os princípios fundamentais das leis
de Kirchhoff e de Ohm, utilizados previamente nos circuitos CC, possam ser aplicados
(BOYLESTAD, 2012), mas com outras ferramentas matemáticas (consideradas com um
nível de complexidade mais alto), que são os objetos de estudo desse capítulo: senoides
e fasores .
#PraCegoVer : vt é igual à Vm seno de ômega t
#PraCegoVer : vm é igual à amplitude da sonoide em volts
#PraCegoVer : ômega é igual à frequência angular em radianos por
segundos
#PraCegoVer : ômega t é igual ao argumento da senoide
m 
Gráficos deVmsen(ωt)
» Clique nas setas ou arraste para visualizar as imagens
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 330. (Adaptado).
O argumento ωt é o termo que conduz a função seno e está associado à relação
trigonométrica angular da função seno com a frequência de oscilação da tensão
#PraCegoVer : gráfico ilustrando a função periódica senoidal, em
função do argumento da senoide, com intervalos de repetição
variando de zero até quatro pi na linha horizontal; e na linha vertical,
a amplitude da senoide em volts. O gráfico resulta em ondas devido
às variações.
alternada. Portanto é importante lembrar que π rad equivale a 180° e 2π rad equivale a
360°, ou seja, meia oscilação e uma oscilação completa, representando meio período
(T/2) e um período completo (T). Desse modo, entendemos que um período (T)
representa o tempo de uma oscilação completa (ou uma volta completa 360° = 2π rad)
(BOYLESTAD, 2012). Assim, podemos relacionar a frequência angular ( ω ) com o
período (T) do seguinte modo:
De modo simples, podemos verificar que v ( t ) se repete a cada T segundos. Basta
substituir t por t + T e utilizar o valor de T encontrado na Equação (1):
Portanto:
Ou seja, v apresenta o mesmo valor em t + T do que aquele em t , dizendo-se que v(t) é
periódica.
Sabe-se que o período é o tempo de uma oscilação completa. Assim, fazendo-se o
inverso, chegamos no número de oscilações por segundo, que é a definição de
#PraCegoVer : ômega vezes o período T é igual à 2 pi; portanto, o
período T é igual à 2 pi sobre ômega
#PraCegoVer : v em t mais o período T é igual à Vm seno de ômega t
mais o período T, que é igual à Vm seno de ômega t mais 2 pi sobre
ômega
#PraCegoVer : v em t mais o período T é igual à Vm seno de ômega t
mais 2 pi, que é igual à Vm seno de ômega t, que é igual à vt
#PraCegoVer : v em t mais o período T é igual à vt
frequência (IRWIN, 2000):
Em que:
Por exemplo, caso a senoide do gráfico (B), das abas, esteja completando uma oscilação
completa em 1 ms, teremos um período T = 1 ms e, portanto, uma frequência igual a:
Ou seja, essa senoide completará 1000 oscilações em um segundo.
#PraCegoVer : a frequência é igual a 1 sobre o período T
#PraCegoVer : a frequência angular ômega é igual a dois pi vezes f
#PraCegoVer : ômega é igual à frequência angular em radianos por
segundo
#PraCegoVer : f é igual à frequência em hertz
#PraCegoVer : f é igual a 1 sobre o período T, que é igual a 1 sobre 1
mili, que é igual a mil hertz
1.1.1 Excitação senoidal
Os circuitos CA são excitados por componentes senoidais periódicos e com elementos
que representam os valores de pico do sinal (amplitude), tempo de oscilação (período) e
oscilações por segundo (frequência). Além desses elementos, o sinal pode estar
deslocado em relação à origem (atrasado ou avançado). Para isso, acrescentamos no
argumento da senoide (que era wt ) o termo de fase ϕ (phi), chegando em uma
expressão mais genérica para a senoide:
Lembrando que o argumento da senoide ( ωt + ϕ ) (ômega t mais phi) pode ser em
radianos ou graus, portanto, a fase ϕ tem as mesmas unidades.
Para entendermos o que significa o atraso e avanço de fase, examinaremos as duas
senoides apresentadas no Gráfico 1.
Gráfico 1 – Duas senoides com fases distintas
VOCÊ SABIA?
A medida de frequência denominada hertz (Hz) é uma homenagem ao alemão Heinrich
Rudolf Hertz (1857-1894). O físico demonstrou a existência de radiação eletromagnética
por meio de aparelhos emissores e receptores de ondas de rádio, que ele mesmo criou.
O hertz é a unidade do Sistema Internacional (SI) de medidas e expressa a frequência de
um evento periódico por ciclos ou oscilações por segundo.
#PraCegoVer : vt é igual a Vm seno de ômega t mais phi
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 333. (Adaptado).
Repare que v não contém o elemento de fase no seu argumento ( ϕ = 0 ) (ϕ=0 phi igual
a zero) e parte da origem. Assim, como v 2 está na frente de v no tempo (começa
antes), dizemos que v está avançada em ϕ em relação a v e que v está atrasada em
ϕ (phi) em relação a v . Desse modo, podemos afirmar que v e v estão fora de fase (
ϕ ≠ 0 ) (ϕ ≠ 0 phi diferente de zero) . Vale ressaltar, também, que essa análise só é
possível porque operam na mesma frequência, mas não precisam ter a mesma
#PraCegoVer : Gráfico das tensões de pico de duas senoides com
uma diferença de fase Fi. As ondas resultantes do gráfico são
representadas por uma linha sólida saindo de zero e outra defasada
(adiantada) com linha pontilhada à esquerda por uma distância
ilustrativa Fi. O eixo y varia de da amplitude da senoide em volts
negativa até a positiva. E o eixo x, em função do argumento da
senoide, varia de 0 a 2pi.
1 
1 
2 1 1 
2 1 2 
amplitude. É importante sabermos a relação de fase entre as formas senoidais, podendo-
se converter a forma seno para cosseno e vice-versa:
De modo simples, com a tensão e a corrente variando periodicamente no tempo e fora de
fase por um ângulo de 90° temos a tensão representada por uma função senoidal e,
assim, a corrente seria cossenoidal:
As relações trigonométricas são fundamentais como ferramenta de análise de circuitos
CA. Serão sempre utilizadas as funções que representam sinais periódicos.
1.2 Notação fasorial
Para facilitar o modo de trabalhar com as senoides, utilizamos os fasores, pois são uma
forma mais conveniente, em termos de complexidade matemática, do que as funções
seno e cosseno. Assim, os fasores simplificam a análise de circuitos CA, caso contrário,
trabalharíamos com relações trigonométricas complexas para encontrarmos os
elementos dos circuitos e a análise seria impraticável. Os fasores são números
complexos que representam a amplitude e a fase de uma senoide (ALEXANDER;
SADIKU,2013).
#PraCegoVer : seno de ômega t mais ou menos 180 graus é igual a
menos seno de ômega t. E o cosseno de ômega t mais ou menos
180 graus é igual a menos cosseno de ômega t
#PraCegoVer : seno de ômega t mais ou menos 90 graus é igual a
cosseno de ômega t. E cosseno de ômega t mais ou menos 90 graus
é igual a menos seno de ômega t e seno de ômega t
#PraCegoVer : seno de ômega t mais ou menos 90 graus é igual à
mais ou menos cosseno de ômega t
Para trabalharmos com fasores, precisamos estar habituados com os números
complexos. Um número complexo possui dois componentes: real e imaginária .
Em que z é o número complexo, x é a parte real, y é a parte imaginária e j = √-1 . Assim,
pode-se representar as partes real e imaginária de z no plano complexo (Gráfico 2).
Repare que o número complexo z pode ser interpretado como um vetor com
componentes em x (real) e em y (imaginária), tendo o módulo e ângulo de fase
calculados como:
Gráfico 2 – Plano complexo: eixo dos números imaginários X eixo dos números
reais
#PraCegoVer : o número imaginário z é igual à x mais y imaginário
#PraCegoVer : r é igual à raiz quadrada de x ao quadrado mais y ao
quadrado
#PraCegoVer : phi é igual a x sobre y
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 333. (Adaptado).
O número complexo z também pode ser representado na forma polar ou exponencial
(ALEXANDER; SADIKU, 2013), além da forma retangular apresentada. A forma polar é
representada pelo módulo de z e pelo ângulo de fase ϕ :
Já a forma exponencial relaciona o módulo r e a fase da seguinte forma:
#PraCegoVer : Gráfico do plano complexo z, sendo y o eixo dos
números imaginários e x o dos números reais. É representado o
número complexo z com módulo r com ângulo Fi e variações de x
no eixo dos reais e y no eixo dos imaginários (variando de dois jota
negativos até dois jota).
#PraCegoVer : o número imaginário z é igual a r com fase phi
A partir do Gráfico 2, considerando as relações trigonométricas, podemos relacionar x e y
com r e ϕ do seguinte modo:
Portanto, z pode ser representado do seguinte modo:
Operações entre números complexos são utilizadas nas análises em circuitos. É
importante saber transitar entre as formas de representação apresentadas anteriormente,
pois cada tipo de operação é mais simples em determinada forma.
Operações básicas dos números complexos
Adição z + z = (x + x ) + j(y + y )
Subtração z - z = (x - x ) + j(y - y )
Multiplicação z z = r r ∠(ϕ + ϕ )
Divisão z /z = r /r ∠(ϕ - ϕ )
#PraCegoVer : o número imaginário z é igual a r vezes o exponencial
de phi imaginário
#PraCegoVer : x é igual a r cosseno de phi e y é igual a r em phi
#PraCegoVer : o número imaginário z é igual a x mais y imaginário,
que é igual a r com fase phi, que é igual a r vezes cosseno de phi
mais imaginário de seno de phi)
1 2 1 2 1 2 
1 2 1 2 1 2 
1 2 1 2 1 2 
1 2 1 2 1 2 
Inverso 1/z = 1/r∠-ϕ
Raiz quadrada √z = √r∠ϕ/2
Conjugado complexo z* = x - jy = r∠-ϕ = re 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 333. (Adaptado).
Lembrando que a notação fasorial é uma representação por meio da amplitude e da fase
da senoide. As transformações são muito importantes para realizar as operações, fica
claro nos exemplos das operações de soma e subtração na forma polar em que as fases
são diferentes. Nesses casos, o único modo de efetuar as referidas operações é na forma
retangular, em que se somam as respectivas partes reais e imaginárias para chegar no
-jϕ
#PraCegoVer : Quadro com 7 linhas e duas colunas. Na primeira
linha tem-se a adição, z1 mais z2 é igual a x1 mais x2 mais
imaginário de y1 mais y2.
Na segunda linha tem-se a subtração, com Z1 menos z2 é igual a x1
menos x2 mais imaginário de y1 menos y2.
Na terceira linha tem-se a multiplicação, com Z1 vezes z2 é igual a r1
vezes r2 com fase phi1 mais phi2.
Na quarta linha tem-se a divisão, com Z1 sobre z2 é igual a r1 sobre
r2 com fase phi1 menos phi2.
Na quinta linha tem-se o inverso, que é 1 sobre z é igual a 1 sobre r
com fase menos phi.
Na sexta linha tem-se a raiz de z, que é igual a raiz de r com fase phi
sobre 2.
Na sétima linha tem-se z conjugado, que é igual a x menos
imaginário y, que é igual a r com fase menos phi, que é igual a r
vezes exponencial de menos phi imaginário.
resultado e retornar para a forma polar. Resume-se à transformação do domínio do
tempo (senoidal) para o domínio fasorial, que pode ser vista a seguir.
Transformação senoidal-fasorial
V cos(ωt + ϕ)
V sen(ωt + ϕ)
V ∠ ϕ
I cos(ωt + ϴ)
V ∠ ϕ - 90°
I sen(ωt + ϴ)
I ∠ ϴ
I ∠ ϴ - 90°
DOMÍNIO DO TEMPO DOMÍNIO FASORIAL
O ponto-chave da análise fasorial, que é base de todas as relações
trigonométricas/fasoriais com o plano complexo, é a relação de Euler:
m 
m 
m 
m 
m 
m 
m 
m 
#PraCegoVer : quadro com 5 linhas e duas colunas. Na primeira
linha tem-se domínio do tempo e domínio fasorial. Na segunda linha
tem-se Vm cosseno de ômega t mais phi e Vm com fase phi. Na
terceira linha tem-se Vm seno de ômega t mais phi, e Vm com fase
phi menos 90 graus. Na quarta linha tem-se Im cosseno de ômega t
mais theta e Im com fase theta. Na quinta linha tem-se Im seno de
ômega t mais theta e Im com fase theta menos 90 graus
#PraCegoVer : e elevado a x imaginário é igual a cosseno de x mais
imaginário de seno de x
Vale lembrar que todas as operações e propriedades vistas são para senoides na mesma
frequência. Em resumo, é de suma importância estar familiarizado com as
transformações e operações no domínio da frequência, pois serão exigidas o tempo todo
na análise de circuitos CA, assim, além das propriedades e operações é importante
visualizar o que os elementos representam fisicamente nos circuitos elétricos.
Teste seus conhecimentos
Atividade não pontuada.
1.2.1 Notação fasorial em circuitos RLC
Entendemos como representar e interpretar corrente e tensão em circuitos em regime
permanente senoidal com a notação fasorial – domínio da frequência. Portanto, quando o
circuito está no domínio do tempo, deve-se o transformar para o domínio da frequência
para iniciar a análise. Assim, como feito para as correntes e tensões, representa-se os
capacitores e indutores por meio de fasores – reatância indutiva e capacitiva.
Relações tensão-corrente
ELEMENTO DOMÍNIO DO TEMPO
DOMÍNIO DA
FREQUÊNCIA
VOCÊ QUER LER?
Para um estudo mais aprofundado do histórico, propriedades, provas
matemáticas e exemplos de números complexos, sugere-se a leitura do livro
Números complexos e equações algébricas , de Anderson Roges Teixeira Góes e
Heliza Colaço Góes.
R v = Ri V = RI
L
C
V = jωLI
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 333. (Adaptado).
Escrevendo as equações em termos da razão tensão fasorial e corrente fasorial, temos:
#PraCegoVer : quadro com 4 linhas e 3 colunas. Na primeira linha
tem-se elemento, domínio do tempo e domínio da frequência. Na
segunda linha tem-se R, v igual a R i e V igual a R I. Na terceira linha
tem-se L, v igual a L di dt e V igual ao imaginário de ômega L i. Na
quarta linha tem-se C, i igual a C dv dt e V igual a I sobre o
imaginário de ômega c.
#PraCegoVer : V é igual a R i, V é igual ao imaginário de ômega L i e
V é igual a I sobre o imaginário de ômega C
Analogamente aos circuitos CC, em que os elementos eram puramente resistivos e a
resistência representava uma oposição ao fluxo de corrente, nos circuitos em regime
permanente senoidal, essa oposição é a impedância Z . Representamos Z na forma
retangular como:
Em que R é a parte real de Z (resistência) e X é a parte imaginária de Z (reatância).
Quando X for positiva, a reatância é indutiva, já quando X for negativa, a reatância é
capacitiva. Expressamos Z na forma polar como:
Em que |Z| é o módulo de Z:
#PraCegoVer : V sobre I é igual a R, V sobre I é igual ao imaginário
de ômega L, V sobre I é igual a 1 sobre o imaginário de ômega C
#PraCegoVer : Z é igual a V sobre I; portanto, V é igual a Z I
#PraCegoVer : Z é igual a R mais imaginário de X
#PraCegoVer : Z é igual ao módulo de Z com fase theta
ϴ ( theta ) é oângulo de fase entre a parte imaginária e real:
Por fim:
O inverso da impedância é conhecido como admitância (Y) e é medido em siemens (S)
(BOYLESTAD, 2012).
Relações tensão-corrente
ELEMENTO DOMÍNIO DO TEMPO
DOMÍNIO DA
FREQUÊNCIA
R Z = R
L
C
Z = jωL
Y = jωC
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 346. (Adaptado).
#PraCegoVer : o módulo de z é igual à raiz quadrada de r ao
quadrado mais x ao quadrado
#PraCegoVer : theta é igual a x sobre r
#PraCegoVer : R é igual ao módulo de z vezes cosseno de theta e X
é igual ao módulo de z vezes seno de theta
#PraCegoVer : quadro com 4 linhas e 3 colunas. Na primeira linha
tem-se elemento, impedância e admitância. Na segunda linha tem-se
Para analisarmos um circuito CA observamos inicialmente se os elementos são dados no
domínio do tempo ou da frequência. Agora, temos as ferramentas necessárias para
transformar tudo para a notação fasorial e aplicar as operações de análise, fazemos isso
para a fonte e para os elementos passivos do circuito (RLC) – que têm a característica de
interagir com a energia do circuito (corrente e tensão) – e, por fim, encontramos as
correntes e tensões no circuito em questão.
» Leis de Kirchoff no domínio da frequência
No exemplo a seguir, vamos aplicar as leis de Kirchhoff no domínio da frequência e
observaremos que, após a transformação de domínio, elas são aplicadas da mesma
forma que eram nos circuitos CC.
Deseja-se encontrar a tensão no indutor de 5H:
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 352. (Adaptada).
R, Z igual a R e Y igual a 1 sobre R. Na terceira linha tem-se L, Z
igual ao imaginário de ômega L e Y igual a 1 sobre o imaginário de
ômega L. Na quarta linha tem-se C, Z igual a 1 sobre o imaginário de
ômega c e Y igual ao imaginário de ômega c
#PraCegoVer : Imagem de um circuito com duas malhas em formato
retangular. Da esquerda para direita, há a fonte de tensão de dez
vezes coseno quatro tê menos trinta graus (representada por um
círculo) em série com um resistor (em forma de zigue-zague) de
cinquenta ômio chegando em nó com um capacitor (em forma de
Realizando a transformação para o domínio da frequência, começando com a fonte de
tensão:
Transforma-se os elementos passivos, sabendo que temos:
E ficamos com o circuito do seguinte modo, com as impedâncias calculadas:
suas linhas paralelas em horizontal) de dez emê efê em paralelo
com um indutor (em forma de mola) de cinco hertz.
#PraCegoVer : vs é igual a 20 cosseno de 4t menos 15 graus, ou
seja, vs é igual a 10 com -30 graus de fase volts
#PraCegoVer : a frequência em radianos é igual a 4 radianos por
segundo
#PraCegoVer : 10 mili farads é representado por 1 sobre o
imaginário de ômega c, que é igual a 1 sobre 4 imaginário vezes 10
vezes 10 elevado a menos 3, que é igual a menos 25 imaginário, em
ohms
#PraCegoVer : 5 henrys é representado por ômega L imaginário, que
é igual â 4 imaginário vezes 5, que é igual a 20 imaginário, em ohms
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 349. (Adaptada).
Observamos que Z1 e Z2 estão em paralelo e em série com o resistor de 50 Ω (cinquenta
ômio):, portanto, a expressão para impedância equivalente Z :
Como precisamos encontrar Vo, que é a tensão fasorial em Z2, a mesma calculada na
impedância paralelo Z1 | | Z2 = j100 , utilizamos o princípio da divisão de tensão
#PraCegoVer : Imagem de um circuito com duas malhas em formato
retangular. Da esquerda para direita, há a fonte de tensão dez com
fase de trinta graus negativo em série com um resistor (em forma de
zigue-zague) de cinquenta ômio chegando em nó com a impedância
(sinalizada por um retângulo menor) de zê um igual a menos vinte e
cinco imaginário ômio em paralelo com outra impedância de zê dois
igual a vinte imaginário ômio com a tensão procurada vê o (com
sinal positivo em cima e negativo embaixo).
e 
#PraCegoVer : Z e é igual a Z1 em paralelo com Z2 mais 50, que é
igual a menos 25 imaginário em paralelo com 20 imaginário mais 50,
que é igual a menos 25 imaginário vezes 20 imaginário sobre menos
25 imaginário mais 20 imaginário mais 50, que é igual a 100
imaginário mais 50, em ohms
(impedância em que se deseja determinar a tensão sobre a soma das impedâncias
multiplicado pela tensão oposta – no caso será a fonte):
Transformando o termo que está na forma retangular para polar:
Por fim, converte o resultado encontrado para o domínio do tempo:
As leis de Kirchhoff e de Ohm são aplicadas aos circuitos no domínio da frequência da
mesma forma que eram aplicadas nos circuitos CC. Bem como as associações de
impedâncias são equivalentes às associações de resistores. Assim, tem-se como
impedâncias em série :
Sendo a divisão de tensão equivalente a:
#PraCegoVer : v o é igual a 100 imaginário sobre 100 imaginário
mais 50, vezes 10 com fase menos 30 graus
#PraCegoVer : v o é igual a 100 com fase 90 graus sobre 111,8 com
fase 63,43 graus vezes 10 com fase 30 graus, é igual a 0,89 com fase
26,57 graus, vezes 10 com fase 30 graus, é igual a 8,9 com fase
menos 3,43 graus, em volts
#PraCegoVer : v o de t é igual a 8,9 cosseno de 4t menos 3,43 graus,
em volts
#PraCegoVer : z equivalente é igual ao somatório de todas as n
impedâncias
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 349. (Adaptada).
» Impedâncias/admitâncias em paralelo
Quando a associação é em paralelo, calcula-se a soma dos inversos das impedâncias e
iguala-se ao inverso da impedância equivalente. Uma boa opção é utilizar as admitâncias
em paralelo, em que a admitância equivalente é igual a soma das admitâncias individuais
(ALEXANDER e SADIKU, 2013):
#PraCegoVer : v1 é igual a z1 sobre z1 mais z2 vezes V, v2 é igual a
z2 sobre z1 mais z2 vezes v
#PraCegoVer : Imagem de um circuito com uma malha em formato
retangular. Da esquerda para direita, há a fonte de tensão Vê, com
sinal positivo em cima e negativo embaixo. Ela está ligada em série
com uma impedância (sinalizada por um retângulo menor), indicada
por uma seta, de zê um, com a tensão vê um destacada (tendo os
sinal positivo à esquerda e o negativo à direita). Esta, por sua vez,
está em série com zê dois com a tensão vê dois destacada, tendo o
sinal positivo em cima e o negativo embaixo.
Dessa forma, a divisão de corrente é dada por:
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 349. (Adaptada).
#PraCegoVer : 1 sobre z equivalente é igual ao somatório dos
invernos das n impedâncias equivalentes, portanto, a admitância
equivalente, que é igual ao somatório das n admitâncias
equivalentes
#PraCegoVer : i1 é igual a z2 mais z1 mais z2 vezes I, I2 é igual a z1
sobre z1 mais z2 vezes I
#PraCegoVer : Imagem de um circuito com duas malhas.
Representado em um retângulo, na extrema esquerda, há a fonte de
corrente I com Vê destacada (sinal positivo em cima e negativo
embaixo) em paralelo com uma impedância zê um (em formato de
um retângulo menor), com a corrente i um descendo, indicada por
uma seta. Em série, há zê dois com a corrente i dois descendo,
também indicada por uma seta.
Em muitos casos, torna-se possível a análise e a simplificação das associações em
série-paralelo para encontrar os elementos desejados em circuitos. Entretanto, à medida
que os circuitos contêm mais elementos e ficam mais complexos, com muitos ramos e
malhas, precisamos, além dessas ferramentas, aplicarmos outros métodos de análise.
1.3 Análise nodal
Nos itens anteriores, vimos que os circuitos excitados por componentes senoidais são
analisados por meio da notação fasorial. O objetivo do presente item é aplicar a análise
nodal nesses circuitos no domínio da frequência. Portanto, seguimos na mesma ordem
que iniciamos nos itens anteriores: transformar o circuito para o domínio da frequência
(fasores), realizar a análise do circuito (utilizando as leis de Kirchhoff e de Ohm) e, por
fim, converter o resultado fasorial para o domínio do tempo.
Inicialmente, encontram-se os nós essenciais do circuito, ou seja, os nós em que há mais
elementos do circuito conectados para depois escolher um nó de referência para as
tensões que serão calculadas.Utiliza-se da lei de Kirchhoff das correntes – a soma
algébrica das correntes que entram no nó é igual a soma das correntes que saem. Vamos
aplicar a análise nodal em um caso prático.No exemplo a seguir, deseja-se encontrar I 
no circuito a seguir utilizando análise nodal:
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 369. (Adaptada).
x
#PraCegoVer : Imagem de um circuito com três malhas em forma
retangular, dividida em três partes. Na extrema esquerda, há fonte
de tensão vinte coseno quatro tê vezes Vê em série com um
resistor, indicado por um zigue-zague, de dez ômio chegando em
Desse modo, o primeiro passo é converter o circuito para o domínio da frequência:
Assim, obtém-se o circuito mostrado a seguir. Repare que os nós escolhidos ( V e V )
são os com mais elementos conectados e com as informações de interesse envolvidas e
que a referência é o ponto em que há o maior número de ramos conectados.
um nó bifurcando com um capacitor de zero vírgula um efê para
baixo, com a corrente i x descendo, e um indutor de um hertz,
representado por uma forma de mola, para direita. Em paralelo, há
uma fonte de corrente dependente de dois ix (para cima) em
paralelo com um indutor, também em forma de mola, de zero vírgula
cinco hertz.
#PraCegoVer : ômega é igual a 4 radianos por segundo
#PraCegoVer : 20 cosseno de 4t é igual a 20 com fase 0
#PraCegoVer : o imaginário ômega L é igual a 4 imaginário vezes 1,
que é igual a 4 imaginário em ohms
#PraCegoVer : imaginário ômega L é igual a 4 imaginário vezes 0,5,
que é igual a 2 imaginário em ohms
#PraCegoVer : 1 sobre imaginário de ômega c é igual a 1 sobre 4
imaginário vezes 0,1 que é igual a menos 2,5 imaginário, em ohms
1 2 
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 371. (Adaptada).
Vamos aplicar a lei de Kirchhoff das correntes (LKC) no circuito. Atente-se aos sentidos
das correntes definidos em cada nó pela polaridade arbitrária da fonte. Assim, para o nó
V , temos a corrente que passa no resistor de 10 Ω entrando e as outras duas correntes
saindo do nó:
#PraCegoVer : Imagem de um circuito com três malhas no domínio
da frequência, representado em um retângulo dividido em três
partes. Na esquerda, há fonte de tensão de vinte com fase zero volts
em série com um resistor de dez ômio chegando em um nó vê um.
Ele bifurca com um capacitor, representado por duas linhas
paralelas em horizontal, de menos dois vírgula cinco imaginário
ômio para baixo, com a corrente I x descendo, sendo esta
representada por uma seta. Há um indutor, em formato de mola, de
quatro imaginário ômio para a direita em paralelo com uma fonte de
corrente dependente de dois i x (para cima) em paralelo com um
indutor, também em formato de mola, de 2 imaginário em ohms.
1 
#PraCegoVer : no nó v1 tem-se 20 menos v1 sobre 10 é igual a v1
menos zero sobre menos 2,5 imaginário, mais v1 menos v2 sobre 4
imaginário
Cada corrente é calculada utilizando a lei de Ohm ( V = RI ), mas atente-se para calcular
a diferença de tensão do nó em questão até o nó que é conectado pelo ramo que a
corrente segue, como fica implícito na Equação do nó V acima.
Fazendo o MMC e simplificando:
Para o nó dois:
1 
#PraCegoVer : 40 imaginário menos 2v1 imaginário sobre 20
imaginário é igual a menos 8 v1 sobre 20 imaginário mais 5v1
menos 5v2 sobre 20 imaginário, resultando em 40 imaginário menos
2v1 imaginário que é igual a menos 8v1 mais 5v1 menos 5 v2, que
resulta em v1 vezes 3 mais 2 imaginário mais 5v2, igual a 40
imaginário
#PraCegoVer : no nó v2 tem-se v1 menos v2 sobre 4 imaginário
mais 2Ix é igual a v2 sobre 2 imaginário
#PraCegoVer : v1 menos v2 é igual a 4 imaginário mais 2 v1 sobre
menos 2,5 imaginário, que é igual a v2 sobre 2 imaginário
Obtemos uma equação para cada nó e agora temos condições para resolver um sistema
e encontrar os valores das tensões nodais. Coloca-se as equações na forma matricial:
Obtemos os determinantes para resolver pela regra de Cramer:
#PraCegoVer : 5 v1 menos 5v2 sobre 20 imaginário menos 16 v1
sobre 20 imaginário, que é igual a 10 v2 sobre 20 imaginário, que
equivale a 11 v1 mais 15 v2 igual a zero
#PraCegoVer : 3 mais imaginário de 2, 5, 11 e 15 vezes v1 e v2, é
igual a 40 imaginário e 0
#PraCegoVer : o determinante é igual a 3 mais 2 imaginário 5 11 15,
que é igual a menos 10 mais 30 imaginário
#PraCegoVer : o determinante 1 é 40 imaginário, 5, 0 e 15, que é
igual a 600 imaginário. O determinante 2 é 3 imaginário 2 imaginário
40 imaginário 11 e 0, que é igual a 440 imaginário
#PraCegoVer : v1 é igual ao determinante 1 sobre o determinante,
que é igual a 600 imaginário sobre menos 10 mais 30 imaginário,
que é igual a 600 com 90 graus de fase sobre 31,62 com menos
71,56 graus de fase, que é igual a 18,97 com 161,56 graus de fase
Por fim, a corrente I :
E no domínio do tempo:
No exemplo anterior, aplicamos a análise de nós que é a lei de Kirchoff para
correntes (LKC) e é exatamente a mesma vista nos circuitos CC, entretanto, as
operações realizadas foram com a notação fasorial e ao final podemos chegar,
aplicando as transformações vistas na unidade, na resposta no domínio do tempo.
Para resolver os sistemas, utilizamos a regra de Cramer, que utiliza determinantes
para chegar na solução.
Regra de Cramer para resolução de sistemas
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#PraCegoVer : v2 é igual ao determinante 2 sobre o determinante,
que é igual a 440 imaginário sobre menos 10 mais 30 imaginário,
que é igual a 440 com fase menos 90 graus sobre 31,62 com fase
menos 71,56 graus, que é igual a 13,91 com fase menos 18,44 graus
x 
#PraCegoVer : Ix é igual a v1 sobre menos 2,5 imaginário, que é
igual a 18,97 com fase 161,56 graus sobre 2,5 com fase menos 90
graus, que é igual a 7,59 com fase 251,56 graus
#PraCegoVer : ix é igual a 7,59 cosseno de 4t mais 251,56 graus
O método de Cramer: é um teorema que resulta na solução de
um sistema de equações lineares através de determinantes.
Calcula-se:
Circuitos elétricos : Geralmente, nos métodos de análise
chegamos em duas ou três equações em função das tensões ou
correntes. Assim, uma boa forma é colocar na forma matricial.
Por exemplo:
[a a a a ] [V V ] = [c c ]11 21 12 22 1 2 1 2 
#PraCegoVer : a11 a21 a12 a22 vezes v1 v2 é
igual a c1 c2
Determinantes : O cálculo dos determinantes é realizado para
matrizes quadradas (n x n). Para matrizes 2x2, fazemos a
diferença entre o produto dos termos da diagonal principal com
o produto dos termos da diagonal secundária. Já, quando a
matriz for 3x3, normalmente utilizamos a regra de Sarrus:
duplicam-se as duas primeiras colunas ao final da matriz, para
calcular as somas dos produtos das três diagonais no sentido da
diagonal principal e as somas dos produtos das três diagonais
no sentido da diagonal secundária, e, por fim, calcular a
diferença.
A técnica : Inicialmente calcula-se o determinante da matriz
principal ∆. Após isso, para cada coluna da matriz, deve-se
substituir essa coluna pelos termos independentes ( c , c , …,
c ) para encontrar ( ∆ , ∆ , …, ∆ ). No exemplo:
[a a a a ] [V V ] = [c c ]
#PraCegoVer : a11 a21 a12 a22 vezes v1 v2 é
igual a c1 c2
1 2 
n 1 2 n 
11 21 12 22 1 2 1 2 
Por fim, para calcular os valores procurados, calculamos a razão de cada ( ∆ , ∆ ,
…, ∆ ) calculado pelo determinante principal ∆. No caso:
A análise nodal, então, é a aplicação da lei de Kirchhoff para correntes em que se chega
a sistemas de equações em função das tensões envolvidas nos circuitos.
1.4 Análise de malha
Vamos estudar outro método de análise nos circuitos CA: a lei de Kirchhoff para tensão
(LKT), ou lei das malhas, que diz que a soma algébrica das tensões em uma malha
fechada vale zero (ALEXANDER; SADIKU, 2013). Do mesmo modo que foi apresentado
para análise nodal, vamos diretamente para exemplos de análise de circuitos com análise
de malhas.
No exemplo a seguir, queremos determinar a corrente I , que está saindo da fonte de
tensão senoidal. Nesse exemplo, não precisamos realizar o primeiro passoque vem
sendo realizado, pois o circuito já é dado no domínio da frequência.
#PraCegoVer : determinante é a11 a21 a12 a22, que é igual a a11
vezes a22 menos a21 vezes a12
#PraCegoVer : determinante 1 é igual a c1 a21 c2 a22, que é igual a
c1 vezes a22 menos a21 vezes c2
#PraCegoVer : determinante 2 é igual a a11 c1 a12 c2, que é igual a
a11 vezes c1 menos c1 vezes a12
1 2 
n 
#PraCegoVer : v1 é igual ao determinante 1 sobre o determinante, v2
é igual ao determinante 2 sobre o determinante
0 
É muito importante arbitrar um sentido para as correntes de malha e entender que em
outros livros e referências o sentido pode ser diferente, mas o resultado será o mesmo
com a representação do sentido correto da corrente no sinal do resultado. Caso o sinal
ao final do exercício seja negativo, quer dizer que a corrente no circuito tem um sentido
contrário da arbitrada. A partir do momento que a análise foi iniciada com um sentido de
corrente nas malhas (mesmo sentido em todas as malhas), deve-se manter esse sentido
até o final. No nosso caso, o sentido arbitrado é o sentido horário.
Considerando que se deseja encontrar I no circuito a seguir, utilizando análise nodal:
Fonte: ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 373.
0 
#PraCegoVer : Imagem de circuito com três malhas em formato
retangular, estando divididas em duas malhas à esquerda e uma
malha à direita. Da esquerda da direita de baixo para cima, temos:
malha com a corrente no sentido horário i um com resistor (em
forma de zigue-zague) de oito ômio bifurcando em um nó para a
direita em um indutor (em forma de mola) de dez imaginário ômio e,
para cima, em uma fonte de corrente de cinco com ângulo de zero
graus A. Essas duas configurações, debaixo para cima, estão em
paralelo com capacitores (em forma de duas linhas paralelas em
horizontal, de menos dois imaginário ômio, que estão em série com
Para a malha 1:
Para a malha 2:
Temos a informação da malha 3 que I = 5A , portanto, substituindo nas equações da
malha 1 e 2:
um resistor de quatro ômio e uma fonte de tensão (com sinal
positivo em cima e negativo embaixo) de 20 com fase de noventa
graus Vê e com uma corrente I o saindo dela para cima, na extrema
direita.
#PraCegoVer : 8 vezes i1 mais 10 imaginário vezes i1 menos i3
menos 2 imaginário vezes i1 menos i2 é igual a zero.
#PraCegoVer : i1 vezes 8 mais 8 imaginário mais 2i2 imaginário
menos 10 i3 imaginário é igual a 0
#PraCegoVer : 2 imaginário negativo vezes i2 menos i1 menos 2
imaginário vezes i2 menos i3 mais 4i2 mais 20 com noventa graus
de fase é igual a zero.
#PraCegoVer : 2i1 imaginário mais i2 vezes 4 menos 4 imaginário
mais 2i3 imaginário mais 20 com noventa graus de fase é igual a 0
3 
Na equação da malha 2, sabe-se que 20∠90° (vinte com noventa graus de fase) é um
imaginário puro, portanto, foi substituindo por j20 (vinte imaginário) e simplificado na
expressão. Assim, com duas equações e duas incógnitas, encontram-se os valores das
correntes pela regra de Cramer.As equações de malha são escritas na forma matricial:
Resolvendo os determinantes para encontrar I (-I = I ) (i2 vezes menos i2 é igual a
i0):
#PraCegoVer : i1 vezes 8 mais 8 imaginário mais 2i2 imaginário é
igual a 50 imaginário
#PraCegoVer : 2i2 imaginário mais i2 vezes 4 menos 4 imaginário
mais 10 imaginário mais 20 com 90 graus de fase é igual a 0, que é
equivalente a 2i1 imaginário mais i2 vezes 4 menos 4 imaginário,
que é igual a menos 30 imaginário
#PraCegoVer : 8 mais 8 imaginário, 2 imaginário 2 imaginário e 4
menos 4 imaginário, vezes i1 i2 é igual a 50 imaginário menos 30
imaginário
2 2 0 
#PraCegoVer : o determinante é 8 mais 8 imaginário, 2 imaginário 2
imaginário e 4 menos 4 imaginário, que é igual a 8 mais 8 imaginário
vezes 4 menos 4 imaginário mais 4, que é igual a 68
#PraCegoVer : o determinante 2 é igual a 8 mais 8 imaginário, 50
imaginário 2 imaginário menos 30 imaginário, que é igual a 340
menos 240 imaginário, que é igual a 416,17 com fase menos 35,22
graus. I2 é igual ao determinante 2 sobre o determinante, que é
Como -I = I , basta somar 180° no ângulo de fase:
Temos alguns casos que exigem uma análise um pouco diferente, são os casos em
que há uma fonte de corrente entre duas malhas e/ou uma fonte de tensão entre
dois nós. A princípio, o sistema de equações seria indeterminado, mas entendendo
esses problemas como supernós e supermalhas, a análise fica possível e simples.
Teste seus conhecimentos
Atividade não pontuada.
Síntese
Em circuitos CA, estudamos fontes de excitação Senoidal (na forma da função seno ou
cosseno), que possuem amplitude, frequência angular fase. A análise desses circuitos
fica viável utilizando a ferramenta matemática que nos leva para o domínio da frequência:
os fasores. Estudamos os circuitos RLC, assim, conseguimos relacionar elementos que
são afetados pela frequência de excitação da fonte no circuito. Em circuitos CA, os
fasores de tensão e corrente sempre têm uma relação fixa entre eles. Quando temos um
resistor, a fase entre a tensão e corrente não é alterada. Quando temos um capacitor, a
corrente está avançada 90° em relação à tensão e, por fim, para o indutor a fase da
corrente está atrasada em 90° em relação a tensão (ALEXANDER; SADIKU, 2013).
Vimos o conceito de impedância: razão entre a tensão fasorial e a corrente fasorial.
Revisamos que as leis básicas aplicadas nos circuitos CC, bem como as associações de
resistores – CC – e impedâncias – CA – são aplicadas também nos circuitos CA.
Estudamos as análises de nó e de malha: LKC e LKT.
igual a 416,17 com fase menos 35,22 graus sobre 68, que é igual a
6,12 com fase menos 35,22 graus
2 0 
#PraCegoVer : i0 é igual a menos i2, que é igual a 6,12 com fase
144,78 graus
VOCÊ SABIA?
Formato : Livro
Título : Introdução a análise de circuitos
Autor : Robert L. Boylestad
Editora : PearsonAno: 2012
Comentário : Sugerimos a leitura dos capítulos 12 e 13 para aprofundar nos conceitos e
aplicações dos circuitos CA. O autor traz diversas aplicações, bem como o histórico da
segurança e usabilidade dos circuitos de corrente alternada.
Onde encontrar? Biblioteca Virtual da
Formato : Livro
Título : Circuitos de corrente alternada: fundamentos e prática
Autores(as) : Gilmar Barreto, Carlos Alberto de Castro Junior, Carlos Alberto Favarin
Murari e Fujio Sato
Editora : Oficina de Textos
Ano : 2012
Comentário : Sugerimos a leitura do capítulo 2 para uma análise aprofundada das
formas de onda de corrente alternada. Os autores trazem exemplos e a visualização dos
sinais no osciloscópio.
Onde encontrar? Biblioteca Virtual da
SAIBA MAIS
Formato : Livro
Título : Introdução a análise de circuitos
Autor : Robert L. Boylestad
Editora : PearsonAno: 2012
Comentário : Sugerimos a leitura dos capítulos 12 e 13 para aprofundar
nos conceitos e aplicações dos circuitos CA. O autor traz diversas
aplicações, bem como o histórico da segurança e usabilidade dos circuitos
de corrente alternada.
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Título : Circuitos de corrente alternada: fundamentos e prática
Autores(as) : Gilmar Barreto, Carlos Alberto de Castro Junior, Carlos
Alberto Favarin Murari e Fujio Sato
Editora : Oficina de Textos
Ano : 2012
Comentário : Sugerimos a leitura do capítulo 2 para uma análise
aprofundada das formas de onda de corrente alternada. Os autores
trazem exemplos e a visualização dos sinais no osciloscópio.
Onde encontrar? Biblioteca Virtual da
Título: Circuitos de corrente alternada: fundamentos e prática
Autores(as): Gilmar Barreto, Carlos Alberto de Castro Junior, Carlos
Alberto Favarin Murari e Fujio Sato
Editora: Oficina de Textos
Ano: 2012
Comentário: Sugerimos a leitura do capítulo 2 para uma análise
aprofundada das formas de onda de corrente alternada. Os autores
trazem exemplos e a visualização dos sinais no osciloscópio.
Onde encontrar? Biblioteca Virtual da Laureate
Referências bibliográficas
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos . São
Paulo: Editora Bookman,2013.
BARRETO, G. et al. Circuitos de corrente alternada : fundamentos e prática. São
Paulo: Oficina de Textos, 2012.
BOYLESTAD, R. I. Introdução a análise de circuitos . São Paulo: Pearson, 2012.
GÓES, A. R. T.; GÓES, H. C. Números complexos e equações algébricas . Curitiba:
Intersaberes, 2015.
IRWIN, J. D. Análise de circuitos em engenharia . São Paulo: Makron Books, 2000.