Impedância Complexa e Fasores

Prévia do material em texto

Capítulo 5 MB MAKRON IMPEDÂNCIA COMPLEXA E Books NOTAÇÃO DE FASORES Introdução A análise de circuito em estado estacionário senoidal é importante porque as tensões fornecidas pelos geradores de corrente alternada são, muito aproximadamente, funções senoidais puras e porque qualquer onda periódica pode ser substituída por um termo constante e uma série de termos senoidais e co-senoidais. Chama-se a isso Método de Fourier de Análise de Formas de Onda. Este método será estudado no Capítulo 15. No Capítulo 3, foram analisados diversos circuitos simples, em que a tensão e a corrente eram funções senoidais. Entretanto, o trabalho se tornou complicado, mesmo quando os circuitos eram relativamente simples. Empre- gando fasores para representar tensões e correntes, e uma impedância complexa para responder pelos elementos de circuito, ficará grandemente simplificada a análise em estado estacionário. É isto que veremos neste capítulo. Impedância Complexa Consideremos um circuito RL em série com uma tensão aplicada v(t) = Vm como mostra a Fig. 5-1. Pela fórmula de Euler, essa função inclui um termoImpedância complexa e notação de fasores 93 co-senoidal e um termo senoidal: Vm m cos wt sen wt. A lei de Kirchhoff para as tensões, no circuito fechado é: = i R L Figura 5-1 Esta equação diferencial linear de primeira ordem tem uma solução particular da forma i(t) = Substituindo, temos = onde K = R + Vm jwL Vm A relação entre a tensão e a cor- rente mostra que a impedância é um número complexo com uma parte real R e uma parte imaginária wL: = Vm m tensão Consideremos, aplicada, como agora, mostra um a circuito Fig. 5-2. RC Então, em série, com a mesma =94 Circuitos Elétricos R i C Figura 5-2 Fazendo e substituindo em (1), obtemos RK + jwC 1 K = donde K = = R - e i(t) = R j(1/wC) j(1/wC) Vm - Vm R j(1/wC) - Novamente, a impedância é um número complexo com uma parte real R e uma parte imaginária - Isso sugere que os elementos de circuito podem ser expressos em termos de sua impedância complexa Z, a qual pode ser colocada no diagrama elétrico, como mostra a Fig. R R Z Z jwL Figura 5-3 Como a impedância é um número complexo, pode ser situada no plano complexo. Entretanto, como a resistência nunca pode ser negativa, somente são utilizados o primeiro e o quarto quadrantes. Sua representação gráfica chama- se diagrama da impedância. Ver Fig. 5-4.Impedância complexa e notação de fasores 95 j R jX, Z Z R Figura 5-4 Diagrama da impedância. A resistência R está situada no semi-eixo real positivo. Uma reatância indutiva fica localizada no semi-eixo j positivo e uma reatância capacitiva se localiza no semi-eixo j negativo. Em geral, a impedância complexa Z localiza- se ou no primeiro ou no quarto quadrante, dependendo dos elementos que a constituem. Na forma polar, Z terá um ângulo compreendido entre + e - Exemplo 1 Um circuito RL série com ohms e L = 2 mH tem uma tensão aplicada = 150 sen Achar a impedância complexa Z (ver Fig. A reatância indutiva = 10 ohms. Então, Z=5+j10 Na forma polar, 5 j10 = ~ j10 5 Figura 5-5 Exemplo 2 Em um circuito RC em série, onde R = 20 ohms e a tensão aplicada é = 150 cos 10000t. Achar a impedância complexa Z (ver Fig. 5-6). A reatância capacitiva = wC = = 20 ohms; então, Z = 20 - j20. Na forma polar, Z = 28,396 Circuitos Elétricos 20 20 45° Z -j20 -j20 Z 20-j20 = 28,31-45° Figura 5-6 Em todos os circuitos, com exceção do resistivo puro, a impedância é função de pois e são funções de W. Conseqüentemente, uma impe- dância complexa só é válida para a frequência em que foi calculada. Notação de Fasores Consideremos a função f(t) = Trata-se de um número complexo que inclui a variável t. Seu valor absoluto, entretanto, está fixado em r. Se traçarmos sua representação gráfica, por exemplo, nos instantes t = 0, e como mostra a Fig. 5-7, evidencia-se a natureza da função. j j j r r r t 0 = t = 0 Figura 5-7 A função Se for constante, o segmento de reta girará no sentido anti-horário com velocidade angular constante. As projeções desse segmento rotativo sobre os eixos real e imaginário representam as partes co-senoidal e senoidal de dadas pela fórmula de Euler. Vimos, no Capítulo 3, que num circuito série RL submetido à tensão = sen wt circula uma corrente atrasada 0 graus em relação à tensão, ondeImpedância complexa e notação de fasores 97 0 = arc o ângulo de fase é função das constantes do circuito e da da tensão aplicada, mas não pode exceder 90° ou radianos. Na Fig. 5-9(b) e i estão representadas em função de wt. Na Fig. 5-9(a) estão representados, no plano complexo, dois segmentos de reta, orienta- dos, que giram no sentido anti-horário, com velocidade angular constante W. o ângulo de fase entre eles permanece constante, já que ambos giram com a mesma velocidade. Verifica-se, também, pelo sentido da rotação, que a corrente está atrasada de 0 graus, em relação à tensão. j r wt Função seno Função co-seno Figura 5-8 As projeções sobre o eixo j são, exatamente, as funções representadas, conforme a fórmula de Euler, pois a parte imaginária da função exponencial é a função seno. Seja uma função tensão de forma geral onde a é um ângulo de desvio inicial que possibilita a tensão estar a um ângulo a, quando t=0. Admitamos, além disso, essa tensão aplicada a um circuito de impedância A corrente será dada por98 isto Vm I'm sen (wt-0) wt (a) (b) Figura 5-9 Esta igualdade está no domínio do tempo, pois o tempo aparece explici- tamente nas expressões da tensão e da corrente. Faremos, agora, duas modi- ficações, para estabelecer os fasores. Primeira: multiplicamos a igualdade por para eliminar a função tempo. Segunda: multiplicamos ambos os membros por para ficarmos com os valores eficazes da corrente e da tensão: 2 eja (2) (3) V Z (4) A equação (2) é uma transformada e aparece, agora, no domínio da tempo não aparece nela ou nas seguintes. Deve-se conservar na lembrança, entretanto, a variação da equação (1) com o tempo. I e V em (3), sem índices, indicam os valores eficazes da corrente e da A equação (4), portanto, relaciona I, V e Z como quantidades complexas e, como tais, devem ser tratadas, levando-se em conta seus valores absolutos e seus argumentos.Impedância complexa e notação de fasores 99 Temos, assim, uma equivalente da lei de 0hm para fasores, também chamada forma complexa da lei de Na Fig. 5-10(a) as funções tensão e corrente são mostradas no plano complexo, expressas na forma exponencial. Trata-se de uma representação no domínio do tempo, pois t aparece explicitamente. Na Fig. 5-10(b) aparecem o fasor tensão e o fasor corrente. Os segmentos representativos, nesse caso, são vezes os da Fig. 5-10(a) e o tempo não aparece. Mas o ângulo 0 e o valor absoluto da corrente são funções da por isso diz-se que a Fig. 5-10(b) está no domínio da freqüência. 0 I (a) Domínio do tempo (b) Domínio da Figura 5-10 Problemas Resolvidos 5.1 Mostrar a variação de e com a representando graficamente cada uma delas em função de numa faixa de 400 a 4000 radianos por segundo. Supor L = 40 mH e uF. Nas expressões de = dando-se a (1) valores convenien- tes na faixa considerada, obtemos os valores de tabulados na Fig. 5-11(a). A Fig. 5-11(b) mostra as representações gráficas de X e Qualquer circuito que contenha L ou C terá uma impedância que é uma função da Conseqüentemente, qualquer diagrama de impe- dância, traçado para uma determinada só será válido nessa frequência específica.100 Circuitos Elétricos (ohms) 160 140 120 rad/sec ohms ohms 100 80 400 16 100 60 800 32 50 40 20 1000 40 40 800 1600 2400 3200 4000 1600 64 25 20 40 2000 80 20 60 3200 128 12,5 80 4000 160 10 100 120 (a) (ohms) (b) Figura 5-11 5.2 Dados V = 150 sen (5000t + (5000t-15°), - construir os diagramas de fasores e da impedância e determinar as constantes do circuito. Os fasores têm valores absolutos iguais a vezes os valores máximos. Portanto, 150 V2 = e = 2,12/-15° = 50/60° = 25 + j43,3 V j43,3 Z 50 45° -15° I 25 Diagrama de fasores Diagrama de impedância Figura 5-12Impedância complexa e notação de fasores 101 A corrente está atrasada 60° em relação à tensão, o que indica um circuito RL em série. Então: wL = 43,3 ohms e L = 43,3/5000 = 86,6 mH. As constantes do circuito são ohms e L = 86,6 mH. 5.3 Dados V = 311 sen (2500t + 170°) e sen (2500t - 145°), construir os diagramas de fasores e da impedância e determinar as constantes do circuito. = 311 /170° = 220 /170°, -145° = e Z = V I = 220/170° = = 14,14 j14,14 11 14,14 -45° -145° 20 I -j14,14 Z Diagrama de fasores Diagrama de impedância Figura 5-13 A corrente está adiantada em relação à tensão, o que indica um circuito RC. Então, ohms e C As constantes do circuito são R = 14,14 ohms e C = 28,3 5-4 Um circuito em série de R = 20 ohms e H tem uma impedância de 40 L ohms. Determinar o ângulo e a f em hertz. Impedância do circuito = Da Fig. 5-14, = arc cos 20/40 = 60°; então, 34,6 ohms 34,6 Logo, = wL = 2nfL ef = = = 275 Hz (0,02)102 Circuitos Elétricos Z 40 0 20 Figura 5-14 5.5 Em um circuito em série de ohms a tensão aplicada e a são tais que a corrente está adiantada de Qual a mudança de necessária para que a corrente fique avançada de 70°? Da Fig. 5-15, = 5,76 ohms. Então, = 1 = = F) (5,76 ohms) 10 -30° Z Figura 5-15 Na nova f2 a corrente deve estar adiantada 70°. Então, = - 2,74 ou = 27,4 = Hz. Como varia inversamente com o circuito RC tem maior ângulo de fase quanto mais baixa a 5.6 Sendo f = 500 Hz, determinar o elemento puro que, em série com R + 25 ohms, produza um atraso de da corrente, em relação à tensão. Repetir para um avanço deImpedância complexa e notação de fasores 103 Z, 20° 25 -20° Z2 Figura 5-16 Um ângulo de atraso de 20° exige que uma reatância indutiva esteja em série com R. A reatância capacitiva que proporciona o mesmo ângulo de avanço possui o mesmo valor ôhmico que Para atraso da corrente: tg = ou = 9,1 ohms. Então: L = = Para avanço 5.7 Pretende-se utilizar um circuito em série = = 0,01H nas de 100,500 e 1000Hz. Achar a impedância Z em cada uma dessas Na f = 100 Hz = = 6,28 ohms. Da mesma maneira, para f = 500 Hz, = 31,4 ohms e para f = 1000 Hz, = 62,8 ohms. Os valores correspondentes de Z estão na Fig. 5-17. j62,8 Z 67,7 j31,4 Z 40 j6,28 Z 25,8 25 25 25 Figura 5-17 5.8 Uma tensão (2500t - 20°) está aplicada a um circuito em série de R = 10 ohms e uF. Achar a corrente i.104 Circuitos Elétricos = 1/wC = 1/2 500 (40 X 10-6) = 10 ohms e a impedância complexa Z = I 25° V Figura 5-18 Convertendo-se a tensão para a notação de fasores, V = Então, cos (2500t + 25°) O diagrama de fasores da Fig. 5-18 mostra que a corrente I está avançada de em relação à tensão e esse é o ângulo da impedância. 5.9 Um circuito em série de R=8 ohms e L = 0,02H tem uma tensão aplicada de 283 sen (300t + 90°). Achar a corrente i. = wL = 300(0,02) =6 ohms, Z=8 + j6 = 10/36,9° e V = = Então, 10/36,9 = 20/53,1° e i = sen (300t + V I Figura 5-19Impedância complexa e notação de fasores 105 5.10 Num circuito em série de R=5 ohms e 0,03H a corrente está atrasada de 80° em relação à tensão. Determinar a da fonte e a impedância com- plexa, Z, do circuito. Da Fig. 5-20, = 5 tg 80°=28,4 ohms. = 151Hz. A impedância complexa Z 80° 5 Figura 5-20 5.11 Um capacitor de 25 uF está em série com um resistor R na de 60 Hz. A corrente resultante está avançada de em relação à tensão. Determinar o valor de R. Como o ângulo de fase é 45°, 106 ohms. 106 -45° -j106 Z Figura 5-21 5.12 A tensão V1 = 70,7 sen é aplicada a um circuito em série de ohms e L = 0,06 H. Posteriormente, uma segunda tensão, V2 = 70,7 sen (300t + 30°) é aplicada no lugar da primeira. Achar i para cada fonte e construir os dois diagramas de fasores. (a) Com a tensão U1,106 Circuitos Elétricos = = Como = = e = (sen 200t - = = = Como V2 = 50/30°, e = sen (300t - 36°) V2 30° 30° -26,3° -36° I2 Diagrama de fasor, = 200 Diagrama de fasor, (1) = 300 Figura 5-22 5.13 Determinar a soma das correntes i = 14,14 sen + 13,2°) e i2 = 8,95 sen (wt + 121,6°), empregando fasores. Ver Fig. 5-23. = = 10/13,2° I2 = = = 3,32 j5,39 = = Então, =Impedância complexa e notação de fasores 107 I2 50° 132° Figura 5-23 I, I, I2 75° 60° 30° Figura 5-24 5.14 Calcular a diferença - sendo = COS (wt + 75°) e i2 = 35,4 (wt + 120°). Ver Fig. 5-24. = = = j34,2 I2 = /120° = 25/120° : - 5.15 Calcular a soma das três correntes i = 32,6 i2 = 32,6 sen 25°) = sen (wt + 95°).108 Circuitos Elétricos = = I2 = = 23/-25° = 20,8-j9,72 = = - 2 + j22,91 = 0 (zero) Dentro dos limites de precisão da calculadora, a soma é nula. diagrama de fasores da Fig. 5-25 mostra que as três correntes estão defasadas de 120° entre si, o que, por serem as amplitudes iguais, anula obviamente a soma. 5.16 Determinar a soma das duas tensões V1 = 126,5 sen (wt + 63,4°) e V2 = 44,7 cos - 161,5°). Exprimir a soma como função senoidal e, posteriormente, como função co-senoidal. 95° -25° -145° I2 Figura 5-25 Convertendo U2 em função senoidal, U2 = 44,7 sen + 90°) = 44,7 sen (wt - 71,5°). Então, = = 89,5/63,4° = = = = 50 + j50 = /45°Impedância complexa e notação de fasores 109 e Como - 5.17 Exprimir cada uma das tensões a seguir em notação de fasores e representar cada uma num diagrama 141,4 sen (wt-90°), V3 = + 180°). Para poderem ser expressas como fasores em um mesmo diagrama, as tensões devem, antes, ser expressas todas como funções senoidais ou todas como funções co-senoidais. Passemos V3 e V4 para funções senoi- dais: V3 = 127,3 sen (wt V1 V3 = V5 = 120° V5 45° V4 V2 Figura 5-26 Problemas Propostos Traçar os diagramas de fasores e da impedância em cada um dos problemas 5.18 a 5.22. Determinar, também, as constantes dos circuitos, admitindo circui- tos em série de dois elementos.110 Circuitos Elétricos 5.18 + 150°), i = 11,3 mH 5.19 = 50 sen (2000t-25°) i= 8 sen Resp.: R = 160 uF 5.20 (5000t 160°), i= 1,333 cos Resp.: R 5.21 sen i = 8 (1000t-90°). Resp.: 5.22 = Resp.: 5.23 Um circuito em série tem R = 8 ohms e 30 uF. Em que a corrente fica avançada de 30 em relação à tensão? Resp.: f = 1155 Hz. 5.24 Um circuito RL em série tem L = 21,2 mH. Na de 60 Hz a corrente está atrasada de em relação à tensão. Achar R. Resp.: R = 6 ohms. 5.25 Em um circuito em série de dois elementos, a tensão é = 240/0 e a corrente = 50/-60°. Determinar o fasor corrente que resultaria da mesma tensão aplicada, caso a resistência fosse reduzida para (a) (b) 30% de seu valor inicial. Resp.: (a) 54,7/-70,85°, (b) 5.26 A tensão e a corrente em um circuito série de dois elementos são, respectiva- mente, = 150/-120° e I = 7,5/-90°. Que percentagem de variação da resistência acarretará uma corrente de 12 ampères e qual o ângulo associado a essa corrente? Resp.: 56,8% de redução; -66,8°. 5.27 Um circuito em série RC, onde R = 10 ohms, tem para ângulo da impedância -45°, na Achar a em que o valor absoluto da impedância é (a) duas vezes o que tem em (b) metade do que tem em Resp.: (a) 189 Hz; (b) Impossível, pois o limite inferior de Z é 5.28 Um circuito RL em série em que R = 10 ohms tem para ângulo da impedân- cia, na f = 100 Hz. Qual a em que o valor absoluto da impedância é o dobro do que tem em f1? Resp.: 360 Hz.Impedância complexa e notação de fasores 111 5.29 Num circuito em série de dois elementos em que ohms a corrente está atrasada de em relação à tensão aplicada, na de 60 Hz. (a) Determinar o segundo elemento do circuito. (b) Achar o ângulo de fase que resultaria de um terceiro harmônico f Resp.: (a) 0,0496 H; (b) 0 = 530 Um circuito série consta de R = 5 ohms e uF. As tensões = 170 cos e (2000t + 20°) são aplicadas nele, uma de cada vez. Achar a corrente proveniente de cada fonte. Resp.: i = 8,25 (1000t + i2 = 15,2 cos 5.31 Em um circuito série de dois elementos, a tensão e a corrente, para = 2000 rad/s, são: V fonte acarreta um ângulo de entre tensão e corrente. Determinar para essa segunda fonte. Resp.: 385 rad/s. 5.32 Com relação ao Probl. 5.31, que variação na da fonte acarretaria um fasor corrente de 6 ampères? Supondo uma variação ilimitada da cia, qual o máximo valor possível para a corrente? Resp.: 23,6% de redução em f; 15,0 ampères. 5.33 Determinar a soma das tensões V1 = 50 sen + 90°) e V2 = 50 sen (wt + 30°), mostradas na Fig. 5-27. Que tensão seria lida em um voltímetro colocado nos dois terminais externos? Resp.: 86,6 sen + 60°); 61,2 volts. ~ Figura 5-27 5.34 Determinar a soma das tensões = 35 sen (wt + sen indicadas na Fig. 5-28. Supor o sentido positivo da soma coincidindo com o de 97 sen + 129,6°).112 Circuitos Elétricos ~ ~ Figura 5-28 5.35 Repetir o Probl. 5.34 para V2 em sentido oposto. Resp.: 114 sen (wt - 12,75°) 5.36 Determinar a leitura do voltímetro sobre o total das impedâncias mostradas na Fig. 5-29, sendo V1 = 70,7 sen (wt + sen (wt + 120°) (wt + 30°) as tensões nos terminais de cada uma. Resp.: 58,3 volts. v V Figura 5-29 5.37 Na Fig. 5-30, sendo = (wt + - 35°), achar Resp.: - U1 U2 Figura 5-30 5.38 Com relação ao Probl. 5.37, achar as leituras de um voltímetro aplicado a cada uma das impedâncias e ao conjunto. Como explicar esses resultados?Impedância complexa e notação de fasores 113 5.39 Determinar a indicação do amperímetro na Fig. 5-31, sendo as duas correntes i = 14,14 - (wt + 60°). Resp.: 11,9 ampères. A Figura 5-31 5.40 Determinar na Fig. 5-32, sendo sen + sen (wt- sen - 195°). l2 i, i3 Figura 5-32 5.41 Na Fig. 5-33, sendo achar o fasor corrente com sentido ali mostrado. Resp.: = 25 I2 Figura 5-33