Arcos e ângulos - Matemática

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2a
1º bimestre
Aula 5
Ensino
Médio
Matemática
Arcos e ângulos – Parte 1
Série
2025_EM_V1
2a
1º bimestre
Aula 6
Ensino
Médio
Matemática
Arcos e ângulos – Parte 2
Série
2025_EM_V1
Arcos e ângulos; unidades de medidas de ângulos (grau e radiano).
Conceituar arco e ângulo central numa circunferência, diferenciando-os;
Definir grau como medida de 1/360 de uma circunferência;
Definir radiano numa circunferência.
Conteúdos
Objetivos
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Arcos e ângulos;
Unidades de medidas de ângulos (grau e radiano);
Resolução de problemas.
Resolver problemas relacionando as unidades de medidas grau e radiano.
Conteúdos
Objetivos
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Dois pontos distintos de uma circunferência a dividem em duas partes. Cada uma dessas partes é chamada de arco de circunferência. 
A todo arco de uma circunferência associamos um ângulo com vértice no centro da circunferência. Esse ângulo é dito ângulo central. 
Produzido pela SEDUC-SP.
Foco no conteúdo
12 minutos
Qual é o maior valor que o ângulo central α, no interior de uma circunferência, pode assumir?
Arcos e ângulos
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Foco no conteúdo
Assim, o comprimento da circunferência é igual ao comprimento do arco associado ao ângulo de 360°.
Quanto mede o ângulo central de um arco completo de circunferência?
Para medir ângulos, existe outra unidade de medida, além do grau?
Um arco completo de circunferência tem 360°. 
Fonte: GEOGEBRA/SEDUC, 2024 
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Outra unidade de medida de ângulos é o radiano, cujo símbolo é rad.
As unidades de medida grau e radiano podem ser relacionadas da seguinte forma:
Então:
A unidade de medida radiano
Foco no conteúdo
1 arco completo de circunferência: 360° ou 2π rad
 arco completo de circunferência: 180° ou π rad
180° = 1π rad
360° = 2π rad
Fonte: GEOGEBRA/SEDUC, 2024 
π é um número irracional, sendo π ≅ 3,14. 
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Para calcular o comprimento C de uma circunferência, utilizamos a relação: 
Em que é a medida do raio da circunferência.
Foco no conteúdo
Se o comprimento de um arco com ângulo de 360° é igual ao comprimento da circunferência completa, qual é o comprimento de um arco com ângulo central de 180°? E de 90°?
Comprimento da circunferência
 
8 minutos
O diâmetro d de uma circunferência tem o dobro da medida de seu raio.
𝑑 = 2∙𝑟
Fonte: GEOGEBRA/SEDUC, 2024 
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Na prática
Sabe-se que 180° equivale a π rad. 
Complete o quadro abaixo com as conversões dos ângulos de graus para radianos:
5 minutos
	GRAUS	RADIANOS
	30°	
	60°	
	210°	
Veja no livro!
Atividade 1
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Na prática
Correção
	GRAUS	RADIANOS
	30° = 	
	60° = 	
	210° = 7 ∙ 30° = 7 ∙ 	
Veja no livro!
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Para calcular o comprimento C de uma circunferência, utilizamos a relação: 
Em que é a medida do raio da circunferência.
Foco no conteúdo
Se o comprimento de um arco com ângulo de 360° é igual ao comprimento da circunferência completa, qual é o comprimento de um arco com ângulo central de 180°? E de 90°?
Comprimento da circunferência
 
8 minutos
O diâmetro d de uma circunferência tem o dobro da medida de seu raio.
𝑑 = 2∙𝑟
Fonte: GEOGEBRA/SEDUC, 2024 
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O comprimento de um arco de circunferência é diretamente proporcional à medida do ângulo central α: 
Onde está medido em graus. Assim:
O comprimento de um arco de 180° é igual à metade do comprimento da circunferência completa.
O comprimento de um arco de 90° é igual a um quarto do comprimento da circunferência completa.
Foco no conteúdo
Comprimento de um arco de circunferência
 
5 minutos
Essa relação também pode ser aplicada para ângulos medidos em radianos, lembrando que 360° = 2π rad.
Imagens: Reprodução – QUEIROZ, 2024. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/qzvdeuks. Acesso em: 16 dez. 2024.
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Todos juntos
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Todos juntos
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EXERCÍCIOS PÁGINA 182,183
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Pagina 184
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Aprofundando
Devemos considerar inicialmente que o ponteiro das horas percorre, a cada hora, um ângulo de 30°, pois corresponde a graus. Utilizando uma regra de três temos:
 
Para a conversão em radianos, consideramos que . Sendo assim:
 
 
Veja no livro!
Correção
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Pagina 187,188
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Referências
BARICHELLO, L. Matemática Multimídia. Universidade Estadual de Campinas: Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, [s.d.]. Disponível em: https://m3.ime.unicamp.br/arquivos/1299/radiano-guia.pdf. Acesso em: 16 dez. 2024. 
CENTRAL EXATAS. Radiano, [s.d.]. Disponível em: https://www.centralexatas.com.br/matematica/radiano/. Acesso em: 16 dez. 2024. 
KILHIAN, K. O surgimento do grau na circunferência. O Baricentro da Mente, 7 fev. 2013. Disponível em: https://www.obaricentrodamente.com/2013/02/o-surgimento-do-grau-na-circunferencia.html. Acesso em: 16 dez. 2024.
LEMOV, D. Aula nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2023. 
QUEIROZ, J. Ângulos centrais e arcos. GeoGebra, 11 jul. 2024. Disponível em:  https://www.geogebra.org/m/qzvdeuks. Acesso em: 16 dez. 2024.
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Referências
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista: etapa Ensino Médio, 2020. Disponível em: https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2023/02/CURR%C3%8DCULO-PAULISTA-etapa-Ensino-M%C3%A9dio_ISBN.pdf. Acesso em: 16 dez. 2024.
VIANNA, C. R.; CURY, H. N. Ângulos: uma “História” escolar. História & Educação Matemática, v. 1, n. 1, p. 23-37, jan./jun. 2001. Disponível em: http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMATICA/Artigo_Carlos5.pdf. Acesso em: 16 dez. 2024.
ROSENSHINE, B. “Principles of instruction: research-based strategies that all teachers should know”. In: American Educator, v. 36, n. 1., Washington, 2012. pp. 12-19. Disponível em: https://www.aft.org/ae/spring2012. Acesso em: 12 ago. 2024.
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Para professores
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Slide 2
Habilidade: (EM13MAT306) Resolver e elaborar problemas em contextos que envolvem fenômenos periódicos reais (ondas sonoras, fases da lua, movimentos cíclicos, entre outros) e comparar suas representações com as funções seno e cosseno, no plano cartesiano, com ou sem apoio de aplicativos de álgebra e geometria. (SÃO PAULO, 2020)
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Slide 7
Dinâmica de condução: professor(a), caso não consiga acessar o aplicativo GeoGebra no slide anterior, utilize o vídeo deste slide.
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Slide 9
Aprofundamento: professor(a), recomenda-se a leitura do artigo "Ângulos: uma 'História' escolar", de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury. Esse texto oferece uma perspectiva histórica sobre o conceito de ângulo, explorando como diferentes definições foram formuladas ao longo do tempo e suas implicações. Ele pode ajudá-lo a refletir sobre a maneira como você apresenta esse conceito aos alunos, promovendo uma abordagem mais fundamentada e conectada com os interesses e o contexto deles. Além disso, o artigo incentiva uma análise crítica dos materiais didáticos, oferecendo ferramentas para que você repense e aperfeiçoe sua prática pedagógica, unindo história e matemática em suas aulas de forma mais significativa.
VIANNA, C. R.; CURY, H. N. Ângulos: uma “História” escolar. História & Educação Matemática, v. 1, n. 1, p. 23-37, jan./jun. 2001. Disponível em: http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMATICA/Artigo_Carlos5.pdf. Acesso em: 16 dez. 2024.
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