caderno de exercicios 4 FT

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CADERNO DE EXERCÍCIOS 4 
FENÔMENOS DE TRANSPORTE 
AULA 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. Marcos Baroncini Proença 
 
 
EXERCÍCIOS AULA 4 TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONVECÇÃO E POR 
RADIAÇÃO 
 
CONVERSA INICIAL 
Neste caderno de exercícios serão apresentados exercícios resolvidos e postados exercícios 
propostos, visando uma maior sedimentação dos conteúdos abordados na Aula 4 da Rota de 
Estudos. 
Trataremos tanto dos conceitos da Disciplina de forma aplicada, quanto de conhecimentos 
básicos necessários as resoluções dos exercícios, conceitos esses que, embora não façam parte 
da disciplina, já forma vistos nas disciplinas anteriores do Curso. 
A proposta será sempre de apresentar exercícios resolvidos passo a passo e depois propor a 
resolução de exercícios de sedimentação de conhecimento. 
Com isso acreditamos estar complementando o Material da Rota de Estudo, visando melhorar 
o desempenho do discente no que concerne ao aprendizado do conteúdo e a aplicação de 
conceitos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Exercícios resolvidos: 
 
1) Determinar a quantidade de calor transferida por convecção de um fluido para uma 
superfície de 50 m2 de um sólido, sabendo que a temperatura do fluido à montante da 
superfície é de 50°C e a temperatura da superfície do sólido é mantida a 20°C. 
Considerar o coeficiente de transferência de calor por convecção como 26 W/m2K. 
 
Resolução comentada: esse exercício trata de uma aplicação direta da Lei de Newton 
da Convecção. Para resolver este exercício deve primeiro resolver a integral definida 
entre os intervalos (T∞, TS), ou seja, com fluxo atribuído no sentido do fluido para o 
sólido. Neste caso a integral definida de dT = TS – T∞. 
Depois é sempre importante verificar se as unidades das variáveis estão no SI e as 
temperaturas em K. Caso contrário deve fazer a transformação das unidades, como já 
vimos anteriormente. 
 
Cabe observar que o coeficiente de transferência de calor por convecção (h) não é 
tabelado e que mais adiante, quando tratarmos da Aula 3, veremos as metodologias 
de obter valores deste coeficiente para diversas situações. 
 
 
 
𝑞 = ℎ. 𝐴. ∫ 𝑑𝑇
𝑇𝑆
𝑇∞
 ∴ 𝑞 = ℎ. 𝐴. (𝑇𝑆 − 𝑇∞) 
 q = 26. 50. (293 – 325) q = - 41600 W 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
2) Determinar o fluxo de calor transferida por convecção de um fluido para a superfície 
de um sólido, sabendo que a temperatura do fluido à montante da superfície é de 25°C 
e a temperatura da superfície do sólido é mantida a 70°C. Considerar o coeficiente de 
transferência de calor por convecção como 19 W/m2K. 
 
Resolução comentada neste caso é pedido o fluxo de calor (�̇�) e não a quantidade de 
calor(q). Devemos então lembrar que fluxo de calor é a quantidade de calor por unidade de 
área ( �̇� =
𝑞
𝐴
). Portanto, na expressão da Lei de Newton da Convecção deveremos passar a 
área dividindo a quantidade de calor, para obtermos o fluxo de calor, cuja expressão ficará: 
�̇� = ℎ . ∫ 𝑑𝑇
𝑇𝑆
𝑇∞
 
Portanto, a resolução ficará já resolvendo a integral definida e convertendo as unidades: 
 
 𝒒 ̇ = 19 . ( 343 – 298) �̇� = 855 𝑊/𝑚2 
 
 
 
 
Cabe novamente uma observação importante referente aos resultados obtidos nos 
exercícios 1 e 2 resolvidos. Reparem que usando o mesmo referencial, partindo do fluido 
para a superfície externa do sólido, no exercício 1 o resultado ficou negativo e no exercício 
2 ficou positivo. Isto implica que no exercício 1 o fluido está cedendo calor para a 
superfície do sólido e no exercício 2 o fluido está recebendo calor da superfície do sólido. 
 
3) Determinar o fluxo de calor por convecção natural que ocorre sobre placa plana, 
sabendo que água a 32°C está contida entre duas placas verticais, sendo que a da 
esquerda está a 55 °C e a da direita está a 32°C. Observar que há uma velocidade crítica 
de circulação de 0,5m/s a uma distância crítica de 328 mm da superfície da placa 
aquecida. 
𝒒
𝑨
= 𝐪′ = 𝒉. (𝑻𝒔 − 𝑻∞) 
 
𝑵𝒖 =
𝒉. 𝒙
𝒌
 
 
 
5 
 
Nu=C (Gr.Pr)a 𝑅𝑒 = 
𝜌 .𝑣.𝑥
𝜇
 
 
onde: 
 
 
 𝑮𝒓 =
𝒈.𝜷.(𝑻𝒔−𝑻∞).𝒙𝟑
𝝑𝟐
 e 𝑷𝒓 =
𝝑
𝜶
=
𝒄𝒑.𝝁
𝒌
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução comentada: 
Trata-se de um problema típico de Convecção Natural. Para a resolução é necessário 
conhecer o coeficiente de transferência de calor por convecção. 
Como este coeficiente não é tabelado, sua obtenção é feita por relações entre ele e o 
coeficiente de transferência de calor por condução, pois este último é tabelado. 
A expressão de correlação mais usada é a proposta por Nusselt: 
𝑵𝒖 =
𝒉.𝒙
𝒌
 , sendo k obtido de tabela para o fluido e o x normalmente conhecido. 
Para este problema, obteremos o k da água a uma temperatura de 305K (32+273=305). 
Como a temperatura é de 32°C, a água estará no estado fluido, de onde pegaremos na 
tabela o valor de kf. Mas na tabela não temos o valor de kf. Temos o valor de kf . 103. 
 Assim, 
𝑘𝑓 . 103 = 620 ∴ 𝑘𝑓 = 
620
103
 ∴ 𝑘𝑓 = 0,620 𝑊/𝑚𝐾 
 
O valor de x é o da distância crítica. Como deve ser em metros: 
 
x = 328mm = 0,328m 
 
Para a obtenção de h falta apenas o valor de Nu. 
O valor de Nu não é tabelado. Portanto deve ser obtido. 
A expressão empírica mais usada para determinar Nu na condição de transferência de 
calor por convecção natural é: 
 
 Nu=C (Gr. Pr) a 
 
 
7 
Nesta expressão os valores das constantes C e a são obtidas da tabela para o tipo de 
escoamento (laminar ou turbulento) e para o perfil do sólido. Para determinar o tipo de 
escoamento recorreremos ao número de Reynolds, que é visto na disciplina mecânica 
dos fluidos: 𝑅𝑒 = 
𝜌 .𝑣.𝑥
𝜇
 . Para seu cálculo temos os valores de v = 0,5 m/s, 
x = 0,328 m. O valor da viscosidade dinâmica μ é obtido da tabela, usando o mesmo 
raciocínio usado para k. 
Assim: 𝜇𝑓 . 106 = 769 ∴ 𝜇𝑓 = 
769
106 ∴ 𝜇𝑓 = 769 . 10−6 𝑁𝑠/𝑚2 
O valor da massa específica ρ também é obtido da tabela, só que indiretamente. 
Observe que na tabela não tem o valor de ρ. Porém tem o valor do volume específico ϑ, 
que é o inverso de ρ. 
Ou seja, para obter ρ basta fazer 𝜌 = 
1
𝜗
 . 
Para obter ϑ usaremos também o mesmo raciocínio usado para obter k e μ. 
Assim: 𝜗𝑓 . 103 = 1,005 ∴ 𝜗𝑓 = 
1,005
103 ∴ 𝜗𝑓 = 1,005 . 10−3 𝑚3
𝑘𝑔
 
Portanto: 𝜌𝑓 = 
1
𝜗𝑓
 ∴ 𝜌𝑓 = 
1
1,005 .10−3 ∴ 𝜌𝑓 = 995 
𝑘𝑔
𝑚3 
A velocidade é a velocidade crítica fornecida no enunciado: v = 0,5 m/s 
A distância é a distância crítica fornecida no enunciado, tendo em mente que deve ser 
transformada para metros: x = 0,328 m 
 
Assim: 𝑅𝑒 = 
𝜌 .𝑣.𝑥
𝜇
 ∴ 𝑅𝑒 = 
995 .0,5 .0,328
769 .10−6 ∴ 𝑅𝑒 = 212197,66 
Para líquidos este valor de Re indica escoamento turbulento. 
Assim, os valores de C e de a para calcular Nu serão obtidos para placas verticais em 
regime turbulento, de onde: C = 0,13 e a = 1/3. 
Faltam o número de Gr e o número de Pr, para calcular Nu. 
Pr é obtido da tabela, com o mesmo raciocínio usado até agora: Prf = 5,2. 
β também é obtido da tabela : β = 320,6 . 10-6 K-1 
A viscosidade cinemática não é obtida do gráfico. Mas é obtida da relação : 𝜗 = 
𝜇
𝜌
 
Assim: 𝜗 = 
769.10−6
995
 ∴ 𝜗 = 7,73 . 10−7𝑚2/𝑠 
Falta então determinar Gr: 
Devemos lembrar de transformar as temperaturas em K . 
 𝑮𝒓 =
𝒈.𝜷.(𝑻𝒔−𝑻∞).𝒙𝟑
𝝑𝟐
 ∴ 𝑮𝒓 =
9,81 . 320,6.10−6 . (328−305). 0,3283
7,73.10−72 = 4,27 . 109 
 
OBS: Repare que este resultado confirma o regime turbulento, do qual obtivemos os 
valores de C e de a, pois Gr.Pr ficará entre 109 e 1012. 
 
 
8 
 
Uma vez determinados C, a, Gr ePr, pode ser determinado o Nu: 
𝑁𝑢 = 𝐶 . (𝐺𝑟 . 𝑃𝑟)𝑎 ∴ 𝑁𝑢 = 0,13 . (4,27. 109 . 5,2)1/3 ∴ 𝑁𝑢 = 365,4 
 
Assim, o h pode ser determinado: 
𝑁𝑢 = 
ℎ . 𝑥
𝑘
 ∴ 365,4 = 
ℎ . 0,328
0,620
 ∴ ℎ = 
365,4 . 0,620
0,328
= 690,7 
𝑊
𝑚2. 𝐾
 
 
Por fim, será possível determinar q’: 
q' = h (Ts - T∞) q’ = 690,7 . (328 – 305) q’ = 15,9 kW/m2 
 
4) Determinar o fluxo de calor por convecção forçada que ocorre sobre uma placa plana, 
sabendo que a placa está a 50°C e água está a 22°C. Observar que há uma velocidade 
crítica de circulação de 20 m/s a uma distância crítica de 279 mm da superfície da placa 
aquecida. 
 
𝒒
𝑨
= 𝒒′ = 𝒉. (𝑻𝒔 − 𝑻∞) 
 
𝑵𝒖 =
𝒉. 𝒙
𝒌
 
 

 xv=Re 
 
 
 
 
9 
 
Resolução comentada: 
Neste caso, não teremos mais convecção natural. Será convecção forçada e, como as 
placas estão a temperaturas diferentes, forçam um fluxo de calor. 
Assim, teremos que identificar como está ocorrendo esta convecção, para caracterizar 
uma das soluções propostas nos quadros abaixo: 
Escoamento externo: 
- Placa plana de comprimento L (geral): Nu = C RemPrn 
a. Convecção forçada sobre placa isotérmica (Ts) 
 - Nusselt médio: 
Nu = 0.664Re1/2Pr1/3 para regime laminar com: Re 5×105 
 
- Convecção forçada sobre cilindro de diâmetro D e de comprimento L: 
(𝑅𝑒 =
𝜌.𝜗.𝐷
𝜇
, D=diâmetro; Recrítico=2x105 ) 
𝑁𝑢 = 0,3 + {
0,63.𝑅𝑒
1
2⁄ .𝑃𝑟
1
3⁄
[1+(0,4/𝑃𝑟)
2
3⁄ ]
1
4⁄
. [1 + (
𝑅𝑒
28200
)
5
8⁄
]
4
5⁄
} para: Re.Pr>0,2 
- Convecção forçada sobre esfera de diâmetro D: 
𝑁𝑢 = 2 + [(0,4. 𝑅𝑒
1
2⁄ + 0,006. 𝑅𝑒
2
3⁄ ) . 𝑃𝑟
2
5⁄ . (
𝜇∞
𝜇𝑠
)
1
4⁄
] 
 
 
10 
para: 3.5 0,5 e Re10 000 e 0,7 ≤ Pr ≤160 
com: n = 0.4 aquecimento; n = 0.3 arrefecimento. 
 
Do enunciado temos as informações de que é um escoamento externo a uma placa 
plana. Também temos que esta placa está a uma temperatura de 50°C, ou seja, é uma 
placa isotérmica. 
 Assim, está caraterizado dentro do item a do Escoamento externo para placa plana de 
comprimento L (convecção forçada sobre placa isotérmica). 
Como não foi especificado um ponto específico onde está ocorrendo a transferência de 
calor, trabalharemos com Nu médio. Resta agora definir se é escoamento laminar, 
turbulento ou de transição, pelo Re. Para isso devemos obter a massa específica ρ e a 
viscosidade dinâmica μ para a temperatura da água de 295K (22°C). 
Usaremos o mesmo raciocínio da questão anterior. Assim: 
μf = 959 . 10-4 N.m/s2 
ϑf = 1,002 . 10-3 m3/kg de onde ρf = 998 kg/m3 
 
𝑅𝑒 = 
𝜌 . 𝑉 . 𝑥
𝜇
 ∴ 𝑅𝑒 = 
998 . 20 .0,279
959. 10−4
 ∴ 𝑅𝑒 = 58069 = 5,81 . 104 
Também da tabela obteremos Pr: Prf = 6,62 
Portanto, como Recm. Determinar o calor 
transferido por radiação entre as duas superfícies considerando ambos como 
corpos cinzentos com εi=0,3 e εj=0,7 e sem nenhuma outra radiação presente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução comentada: Este é um exercício típico de transferência de calor envolvendo 
radiação para a troca térmica entre corpos cinzentos. 
Novamente iniciamos com a obtenção do valor do fator de forma F. Assim, devemos 
determinar os valores de X/L e de Y/L. 
Começamos transformando as unidades de X, Y e L: X = 60 cm = 0,6 m; Y = 120 cm = 1,2 m; 
L = 100 cm = 1 m. 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 
Do gráfico: Fij = 0,17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 qj = 679,36 W 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
Exercícios propostos: 
1) Determinar a quantidade de calor transferida por convecção de um fluido para 
uma superfície de 30 m2 de um sólido, sabendo que a temperatura do fluido à 
montante da superfície é de 20°C e a temperatura da superfície do sólido é 
mantida a 50°C. Considerar o coeficiente de transferência de calor por 
convecção como 51 W/m2K. 
 
 Resposta: q = 45900 W 
 
2) Determinar o fluxo de calor transferida por convecção de um fluido para a 
superfície de um sólido, sabendo que a temperatura do fluido à montante da 
superfície é de 120°C e a temperatura da superfície do sólido é mantida a 30°C. 
Considerar o coeficiente de transferência de calor por convecção como 29 
W/m2K. 
 
Resposta: 𝒒 ̇ = - 2610 W/m2 
 
3) Determinar o fluxo de calor por convecção natural que ocorre sobre placa 
plana, sabendo que água a 42°C está contida entre duas placas verticais, sendo 
que a da esquerda está a 70 °C e a da direita está a 42°C. Observar que há uma 
velocidade crítica de circulação de 0,025m/s a uma distância crítica de 228 mm 
da superfície da placa aquecida. 
 
 
 
17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4Resposta: 24,044 kW/m2 
 
 
 
 
 
 
 
18 
4) Determinar o fluxo de calor por convecção forçada que ocorre sobre uma 
placa plana, sabendo que a placa está a 62°C e água está a 27°C. Observar que 
há uma velocidade crítica de circulação de 0,5 m/s a uma distância crítica de 
279 mm da superfície da placa aquecida. 
 
 
 
Resposta: 37,1 kW/m2 
 
 
19 
5) Considerando que uma parede de concreto de 50 m2 esteja a uma 
temperatura aproximada de 38°C e tendo como valor de emissividade do 
concreto da ordem de 0,56, determinar a quantidade de calor por radiação 
emitida pela parede em questão. 
 
Resposta: q = - 14851,13 W 
 
6) Dois retângulos paralelos alinhados de X=60cm por Y=120cm são paralelos e 
diretamente opostos. O retângulo inferior está a Ti=300 K. O superior está a 
Tj=473K. A distância entre os retângulos é de L=100 cm. Determinar o calor 
transferido por radiação entre as duas superfícies considerando ambos como 
corpos negros e sem nenhuma outra radiação presente. 
qij = F.Ai.σ. (T1 4- T2 4) 
 qij = F.Ai.σ. (T2 4- T1 4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: qij = - -291.15 W qji =291.15 W 
 
 
 
 
 
 
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7) Dois discos concêntricos são paralelos e diretamente opostos. O disco inferior 
tem diâmetro de 3 ” e está a T1=373K. O superior tem diâmetro de 2 ” e está a 
T2=573K. A distância entre os retângulos é de 1“. Determinar o calor 
transferido por radiação entre as duas superfícies considerando ambos como 
corpos cinzentos com εi=0,45 e εj=0,55 e sem nenhuma outra radiação 
presente. 
 
 
 
Resposta: qi = -4.68 W qj = 3.11 W