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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS � �������� �������� ��������������������� ��� ELETRIZAÇÃO E FORÇA ELÉTRICA 1. Um corpo eletrizado positivamente apresenta a quantidade de carga de 480 Cµ . Calcule o número de elétrons perdidos pelo corpo, inicialmente neutro. DADO: 191,6 10e −= ⋅ C. Resolução 6 6 19 15 480 480 10 480 10 1,6 10 3 10 Q C C Q n e n n elétrons µ − − − = = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ � = ⋅ 2. Duas esferas idênticas de tamanhos desprezíveis, com cargas 3Q e Q, encontram-se no vácuo, separadas de uma distância d. Sobre cada uma delas age uma força F � , de interação eletrostática. Colocam-se as duas esferas em contato até que atinjam o equilíbrio eletrostático. Calcule a intensidade da força F � que age sobre as duas esferas quando separadas de uma distância d, em relação a intensidade de F � . Resolução: * Antes do contato: 2 2 2 3 3Q Q QF k F k d d ⋅ = � = * Após o contato: 2 ' ' 2 2 2 2 4Q Q QF k F k d d ⋅ = � = De 1 e 2 tem-se 2 ' '2 ' 2 4 4 4 3 3 3 QkF F Fd FQF Fk d ⋅ ⋅ = � = � = ⋅ 1 d F � F �3Q Q d 'F � 'F �2Q 2Q 2 ��� 3. Considere dois pontos materiais A e B no vácuo, afastados de qualquer outro corpo. O ponto A é fixo e possui carga elétrica positiva Q+ . O ponto B executa movimento circular e uniforme com centro A e raio r, ele tem massa m e carga elétrica negativa –q. Desprezando-se as ações gravitacionais, determine a velocidade de B. É dada a constante eletrostática K. Resolução Como o movimento é circular e uniforme, a força elétrica está voltada para o centro, decorrendo que ela é uma força centrípeta: Força elétrica = Força centrípeta 2 0 2 2 0 02 elet cp cp Q q VF k F m Q m r r Q q m V Q qk V k r r m r ⋅ = ⋅ � = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = � = ⋅ ⋅ 4. Nos vértices de um triângulo eqüilátero de 3m de lado, estão colocadas as cargas 7 1 2 4 10q q C − = = ⋅ e 73 1,0 10q C − = ⋅ . Calcule a intensidade da força resultante que atua em 3q . O meio é o vácuo. Resolução 7 1 2 7 3 9 2 2 0 4,0 10 1,0 10 9 10 / q q C q C k N m C − − = = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ 7 7 9 13 23 2 4 10 1 109 10 3 F F − − ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ 5 13 23 4 10F F N − = = ⋅ 2 2 2 13 23 13 232 cos 60F F F F F= + + ⋅ ⋅ ° 54 3 10F N−= ⋅ 23F � 13F � 3q 60º 3m 3m 3m 1q 2q 23F � 13F � F � 3q 60º A +Q B -q r v � eletF � ��� CAMPO ELÉTRICO 1. Duas cargas puntiformes são fixadas nos pontos A e B distantes de um metro. Sendo a carga em A, 610AQ C−= e a carga em B, 64 10BQ C−= ⋅ , determine um ponto P, onde o vetor campo elétrico resultante seja nulo. Resolução 2 2 6 6 2 2 2 2 (1 ) 10 4.10 (1 ) 4(1 ) A B A B E E Q Q k k X X X X X X − − = = − = � − = − 2 13 2 1 0 3 X X X m+ − = = (em relação ao ponto A sobre o segmento AB ), OBS: 1X m= − não convém, pois significa que o ponto P estaria à esquerda de A, onde AE � e BE � teriam mesma direção e sentidos iguais, não resultando um campo elétrico nulo. 2. A figura mostra duas partículas carregadas de intensidade q mas de sinais contrários, separadas de uma distância d. Supondo-se que Z d� , mostre que o campo elétrico deste dipolo elétrico, em um ponto P , uma distância Z do ponto médio do dipolo e sobre o eixo que passa pelo centro das partículas é dado pela expressão 3 0 1 1 2 F Zpiε = . Resolução A intensidade E do campo elétrico em P é ( ) ( ) 2 2 0 ( ) 0 ( ) 2 2 0 0 1 1 4 4 1 14 4 2 2 q qE E E E r r q qE z d z d piε piε piε piε + − + − = − � = − = − � � � � − +� � � � � � � � 2 2 2 0 1 1 4 2 2 q d dE Z z zpiε − −� � � � � = − − + �� � � � � � � � �� 1m P BE � AE � X 1-X AQ BQ A B 1 2 ��� A grandes distâncias como esta, temos 1 2 d z � Na equação 2 podemos então expandir as duas grandezas entre parênteses dessa equação pelo teorema binomial: 21(1 ) 1 2! n ny ny n y−� �+ = + + + − − − − −� � � � Obtendo-se para essas grandezas: 2 21 1 2 (1!) 2 (1!) d d z z � � � � � + + − − − − − − + − − − − �� � � � � � � �� Logo, 2 0 1 1 4 q d dE z z zpiε � � � � � = + + − − − − + + − − −� � � � � � � � �� Os termos omitidos nas duas expressões da equação anterior envolvem d/z elevado a potências progressivamente mais altas. Como / 1d z� , as contribuições desses termos são progressivamente menores e para aproximamos E a grandes distâncias, podemos desprezá-los. Assim, em nossa aproximação podemos prescrever a equação anterior, como 2 3 0 0 2 1 4 2 q d qdE z z zpiε piε = = O produto qd é a intensidade ρ de uma grandeza vetorial conhecida como o momento de dipolo elétrico ρ� do dipolo. Logo: 3 0 1 2 E z ρ piε = OBS: Adotamos como sentido de ρ� o da extremidade negativa para a extremidade positiva do dipolo. 3. A figura seguinte mostra um anel fino de raio R com uma densidade linear de carga positiva uniforme λ ao redor da sua circunferência. Podemos imaginar o anel feito de plástico ou de algum material isolante, de modo que as cargas possam ser consideradas fixas. Qual o campo elétrico E� no ponto P, a uma distância Z do plano do anel ao longo do seu eixo central? � � Resolução Seja ds o comprimento (de arco) de qualquer elemento diferencial do anel. Como λ é a carga por unidade de comprimento, o elemento possui uma intensidade de carga dq dsλ= ⋅ Esta carga diferencial cria um campo elétrico diferencial dE � no ponto P, que está a uma distância r do elemento. Tratando o elemento como um carga pontual, podemos expressar a intensidade de dE � como 2 2 0 0 1 1 4 4 dq dsdE r r λ piε piε = = Da figura, podemos reescrever a equação anterior como ( )2 20 1 4 dsdE Z R λ piε = + A figura nos mostra que dE � forma um ângulo com o eixo central (que tomamos como sendo o eixo Z) e possui componentes perpendiculares e paralelos a esse eixo. As componentes perpendiculares se cancelam e não precisamos mais considerá-las. Restam apenas as componentes paralelas. Todas elas possuem a mesma direção e sentido, portanto o campo elétrico resultante em P é a soma delas. A componente paralela de dE � mostrada na figura, possui intensidade cosdE θ . A figura também nos mostra que ( )1/22 2 2 cos Z r Z R θ = = + Logo: ( ) ( ) 3/22 2 0 2 3/22 2 00 cos 4 cos 4 R ZdE ds Z R ZE dE ds Z R pi λθ piε λθ piε = + = = + � � ( )3/22 20 (2 ) 4 Z RE Z R λ pi piε = + Como λ é a carga por comprimento do anel, o termo (2 )Rλ pi é a carga total q do anel. Então ( )3/22 204 qZE Z Rpiε = + (Anel Carregado) �!� 4. A figura seguinte mostra um disco circular de plástico com raio R que possui uma carga superficial positiva de densidade uniforme σ na sua superfície superior. Qual o campo elétrico no ponto P, a uma distância Z do disco ao longo do seu eixo central? Resolução O disco será dividido em anéis planos concêntricos e depois calcular o campo elétrico no ponto P somando (ou seja, integrando) as contribuições de todos os anéis. A figura mostra um destes anéis, com raio r e espessura radial dr. Como σ é a carga por unidade de área, a carga sobre o anelé (2 ),dq dA rdrσ σ pi= = Onde dA é a área diferencial do anel. A expressão para o campo elétrico dE em P devido ao nosso anel plano será: ( )3/22 20 2 4 Z rdrdE Z r σ pi piε = + Logo: ( )3/22 20 2 4 Z drdE Z r σ pi ε = + Integrando na variável r de 0r = até r R= . Observe que Z permanece constante durante este processo, assim ( ) 3/2 2 2 0 0 (2 ) 4 RZE dE Z r r drσ ε − = = +� � Para resolvermos esta integral, podemos reescrevê-la na forma mX dX� , fazendo 2 2 3( ); 2 X Z r m= + = − e (2 )dX r dr= . Para a integral reescrita temos 1 1 m m XX dX m + = +� Então, 2 2 1/2 0 0 ( ) 14 2 R Z Z rE σ ε − � �+ = � � − � Substituindo os limites desta equação e reordenando, obtemos 2 2 0 1 2 ZE Z R σ ε � � = −� � +� � (disco carregado) �"� OBS: Se fizermos R → ∞ mantendo Z finito, o segundo termo entre parênteses da equação anterior tende a zero e esta equação se reduz a 02 E σ ε = Este é o campo elétrico produzido por uma placa infinita com carga uniformemente distribuída sobre um dos lados de um isolante. FLUXO DE UM CAMPO ELÉTRICO – A LEI DE GAUSS 1. Um campo elétrico não-uniforme dado por ˆ ˆ3,0 4,0E xi j= +� atravessa o cubo gaussiano mostrado na figura seguinte. (E é dado em Newtons por Coulomb e x em metros.) Qual o fluxo elétrico através da face direita, da face esquerda e da face superior? Resolução FACE DIREITA: um vetor área A � é sempre perpendicular à sua superfície e sempre aponta para fora da superfície gaussiano. Assim, o vetor dA � para a face direita do cubo deve apontar no sentido positivo de x. Então, em notação com o vetor unitário, ˆdA dAi= � . Então 2 2 2 ˆ ˆ ˆ(3,0 4,0 ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ(3,0 )( ) (4,0)( ) ) (3,0 0) 3,0 3,0 (3,0) 9,0 1 9,0 4,0 9,0(4,0) 36 / d d d d E dA xi j dAi x dA i i dA j i xdA xdA dA A A A m m N m C Φ = ⋅ = + ⋅ � = ⋅ + ⋅� = + = = = Φ = = = = Φ == Φ == ⋅ � � � � � � � �� FACE ESQUERDA: O vetor de área diferencial dA � aponta no sentido negativo do eixo x, portanto ˆdA dAi= − � . Na face esquerda, 1,0x m= . Usando o mesmo procedimento da face direita, teremos 212 /e N m CΦ = − ⋅ �#� FACE SUPERIOR: O vetor de área diferencial dA � aponta no sentido positivo do eixo y, logo ˆdA dAj= � . O fluxo Φ através da superfície superior é então 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(3,0 4,0 ) ( ) (3 )(1 ) (4,0)( ) (0 4,0 ) 4,0 4 4(4 ) 16 / 16 / s s xi j dAj x A i j dA j j dA dA A m N m C N m C � Φ = + ⋅ = ⋅ + ⋅� + = = = � Φ = ⋅ = ⋅ � � � � 2. A figura seguinte mostra uma seção de uma barra cilíndrica de plástico infinitamente longa, com uma densidade linear de carga positiva uniforme λ . Determine uma expressão para a intensidade do campo elétrico E � a uma distância r do eixo da barra. Resolução Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica fechada, composta de um cilindro circular de raio r e comprimento h, coaxial com a barra e duas tampas nas suas extremidades como partes da superfície. Em todos os pontos da parte cilíndrica da superfície gaussiana, E � de ter a mesma intensidade E e deve estar dirigida radialmente para fora ( para uma barra positivamente carregada). O fluxo de E � através desta superfície cilíndrica é então cosEA θΦ = (2 )cos0º (2 )E rh E rhpi piΦ = = Não há fluxo através das bases do cilindro, pois E � , sendo dirigido radialmente, é paralelo às bases do cilindro em todos os pontos. A carga envolta pela superfície é hλ , então a Lei de Gauss, 0 ,envqε Φ = se reduz a 0 (2 )E rh hε pi λ= Então 02 E r λ piε = (linha de carga) �$�� POTENCIAL ELÉTRICO 1. A figura seguinte mostra dois pontos i e f em um campo elétrico uniforme E� . Determine a diferença de potencial f iV V− movendo a carga de teste positiva 0q de i até f ao longo da trajetória icf mostrada na figura. Resolução Linha ic : em todos os pontos ao longo da linha ic , o deslocamento ds� da carga de teste é perpendicular a E � . Assim, o ângulo θ entre E � e ds� é 90º e o produto escalar E ds⋅ � � é zero. A equação c c i i V V E ds− = − ⋅� � � Nos diz então que os pontos i e c estão no mesmo potencial: 0c iV V− = Para a Linha cf, temos 45ºθ = e da equação , (cos 45º ) (cos 45º ) ; (cos 45º ) 45º 45º ( ) f f f i f i i c f f i c f f f i c c f i f i V V E ds V V E ds V V E ds V V E ds ds cf d d cf V V E sen sen V V Ed resposta − = − ⋅ − = − ⋅ − = − − = − = = − = − − = − � � � � � � �� � � �$$� CAPACITÂNCIA 1. Um capacitor 1C de 3,55 Fµ é carregado até que seus terminais fiquem à diferença de potencial 0 6,30V V= . A bateria utilizada para carregar o capacitor é então removida e o capacitor é ligado, como na figura, a um capacitor 2C descarregado, com 2 8,95C Fµ= . Depois que a chave S é fechada, a carga escoa de 1C para 2C até que o equilíbrio seja atingido, com ambos os capacitores à mesma diferença de potencial V. (a) Qual é esta diferença de potencial comum? (b) Qual a energia armazenada no campo elétrico, antes e depois de fecharmos a chave S na figura. Resolução (a) A carga original 0q está agora dividida entre os dois capacitores ou 0 1 2q q q= + Aplicando a relação q CV= a cada termo obtemos 1 0 1 2C V C V C V= + Ou 10 1 2 (6,30 )(3,55 ) 1,79 3,55 8,95 C V FV V V C C F F µ µ µ = = = + + (b) A energia armazenada inicialmente é 2 6 2 1 0 1 1 (3,55 10 )(6,30 ) 2 2 70,5 i i U C V F V U jµ − = = ⋅ = A energia final é 2 2 1 2 2 6 6 2 1 2 1 1 2 2 1 1( ) (3,55 10 8,95 10 )(1,79) 2 2 20 f f f U C V C V U C C V F F U jµ − − = + = + = ⋅ + ⋅ = C1 C2 q0 S �$�� 2. A figura seguinte mostra uma chapa dielétrica de espessura b e constante dielétrica k e introduzida entre as armaduras de um capacitor plano de área A e separação d. Antes da introdução do dielétrico, aplicou-se uma diferença de potencial 0V entre as armaduras do capacitor. A bateria foi então desligada e o dielétrico introduzido. Suponha que 2 0115 ; 1,24 ; 0,78 , 2,61; 85,5eA cm d cm b cm k V V= = = = = (a) Calcule a capacitância 0C antes da introdução do dielétrico. (b) Qual a carga livre que aparece nas placas? (c) Calcule a intensidade do campo no interior do dielétrico. (d) Calcule a intensidade do campo no interior do dielétrico (e) Calcule a diferença de potencial entre as armaduras. (f) Calcule o valor da capacitância após a introdução do dielétrico. Resolução (a) 12 4 2 120 0 02 (8,85 10 / ).(115 10 ) 8,2 10 1,24 10 A F m mC C F d m ε − − − − × × = = � = × × (b) Para a carga livre nas placas 12 10 0 0 (8,21 10 )(85,5 ) 7,02 10q C V F V C− −= = × = × (c) Aplicando a Lei de Gauss: 0 ek E dA qε ⋅ =� �� � 10 0 12 4 2 0 0 7,02 10 (8,85 10 / )(115 10 ) 6.900 / 6,90 / q CE A F m m E V m kV m ε − − − × = = × × = = (d) Aplicando a equação 0 ek E dA qε ⋅ =� �� � 0 0 0 0 , 6,90 / 2,64 / 2,61 e e e e k E dA q k EA q Eq kV mE kv m k A k ε ε ε ⋅ = − − = − = = = = � �� � �$�� (e) 0 (( ) ) (6.900 /)(0,012 0,0078 ) (2,640 / )(0,0078 ) 52,3 V E ds E d b Eb V V m m m V m m V V − + = = − + = − + = � (f) 10 117,02 10 1,34 10 13,4 52,3 q CC F pF V V − − × = = = × = DENSIDADE DE CORRENTE 1. Um fio de alumínio, cujo diâmetro é de 25mm, é soldado à extremidade de um fio de cobre cujo diâmetro é de 1,8mm. No fio resultante, circula uma corrente constante de 1,3 ampéres. Qual a densidade de corrente em cada caso? * Para o alumínio: ij A = 2 3 2 6 21 ( / 4)(2,5 10 ) 4,91 10 4 A d mpi pi − −= = × = × Logo: 5 26 2 1,3 2,6 10 / 4,91 10 Aj A m m− = = × × * Para cobre: 6 22,54 10A m−= × 5 2 6 2 1,3 5,1 10 / 2,54 10 i Aj A m A m− = = = × × CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA 1. Dada a rede elétrica seguinte, calcular: (a) E1; (b) E2; (c) A tensão entre A e B. 1r 1i 2i 2A 3A 2r 0,5Ω 0,5Ω 5,5Ω 1R 3R 2R 1E 3E 4,5V 2E 3,5Ω 1,0Ω BA 3i 3r α β0,5Ω �$�� Resolução (a) A rede apresentada possui n = 2 nós (A e B). Portanto, aplicando-se a 1º Lei de Kirchhoff para (n = 1)nós (= 2-1) =1 nó, tem-se: 1 2 3i i i+ = (Nó A) 3 33 2 , 5i i A� + = = (b) Aplicando-se a 2ª Lei de Kirchhoff na malha alfa ( )α , no sentido do percurso adotado: 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 0 0,5 5 4,5 1 5 5,5 3 0,5 3 0 30 r i E r i R i E r i E E V ⋅ + + ⋅ + ⋅ − + ⋅ = ⋅ + + ⋅ + ⋅ − + ⋅ = = (c) Identicamente para a malha beta ( )β : 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 0 0,5 5 4,5 1 5 3,5 2 0,5 2 0 20 r i E R i R i E r i E E V ⋅ + + ⋅ + ⋅ − + ⋅ = ⋅ + + ⋅ + ⋅ − + ⋅ = = (d) Aplicando-se a Lei de Ohm generalizada no ramo central AB tem-se: 3 3 3 3( ) 0 5(0,5 1) 4,5 12 AB A B AB AB AB U V V i resistencias fcems fems U i r R E U U V = − = ⋅ + − = ⋅ + + − � = + + = � � � CIRCUITOS RC 1. Um resistor 6,2R M= Ω e um capacitor 2,4C Fµ= são ligados em série juntamente com uma bateria de 12V, de resistência interna desprezível. (a) Qual é a constante de tempo capacitiva deste circuito? (b) Em que instante depois de a bateria ser ligada a diferença de potencial nos terminais do capacitor é 5,6V? Resolução: (a) 6 6(6, 2 10 )(2,4 10 ) 15c cRC F sτ τ −= � × Ω × = (b) 1 ,cc VqV c ε ε � � = = −� � � � tirando o valor t, e usando , ln 1 cc c VRC tτ τ ε � � = = − −� � � � 5,6(15 ) ln 1 9,4 12 V t t s V � � = − Ω − =� � � � �$�� O CAMPO MAGNÉTICO CAMPO MAGNÉTICO DE UMA ESPIRA CIRCULAR 1. Duas espiras circulares, concêntricas e coplanares, de raios 4 mpi e 5 mpi , são percorridas por correntes de intensidades 2A e 5A, conforme a figura. Calcular a intensidade do vetor indução magnética no centro das espiras, sendo 74 10 /T m Aµ pi −= ⋅ ⋅ e caracterize o vetor indução magnética criado por cada espira no centro Resolução 1 1 2 24 , 2 , 5 , 5R m i A R m i Api pi= = = = Aplicando-se a regra da mão direita, vê-se que a corrente 1i , cria no centro das espiras um vetor indução magnética perpendicular ao plano da espira, com o sentido do plano para o observador, de intensidade 7 1 1 1 7 1 4 10 2 2 2 4 10 iB R B T µ pi pi − − ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ = A segunda espira cria, no centro das espiras, um vetor indução magnética perpendicular ao plano da espira com o sentido do observador para o plano, de intensidade 7 72 2 2 2 4 10 5 2 10 2 2 5 iB B T R µ pi pi − − ⋅ ⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅ O vetor indução magnética resultante, no centro será perpendicular ao plano das espiras, “entrando” no plano (do observador para o plano) pois a intensidade de 2B � , é maior que a de 1B � . 1 2B B B= + � � � ou 7 7 72 1 2 10 10 10B B B B T − − − = − = ⋅ − = I2 = 5A O R1 R2 i1 = 2A 2A 1B � 5A 2B � �$ � CAMPO MAGNÉTICO EM TORNO DE UM CONDUTOR RETO 1. Dois fios longos, retos e paralelos, situados no vácuo, são percorridos por correntes contrárias, com intensidade 2A e 4A , e separadas entre si de 0,20m. Calcule a intensidade do vetor indução magnética resultante no ponto P, indicado na figura. DADO: 74 10 /T m Aµ µ −= ⋅ ⋅ Resolução O fio 1, cria em P, um vetor campo magnético entrando no plano do papel, de intensidade: 7 61 1 1 1 4 10 2 4 10 2 2 0,1 iB B T d µ pi pi pi − − ⋅ ⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅ O fio 2 também cria, em P, um vetor indução magnética “entrando” no plano do papel, de intensidade: 7 62 2 2 2 4 10 4 8 10 2 2 0,1 iB B T d µ pi pi pi − − ⋅ ⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅ Portanto, a intensidade do vetor indução magnética resultante será: 6 6 5 1 2 4 10 8 10 1,2 10B B B B B T − − − = + � = ⋅ + ⋅ = ⋅ 10 cm 10 cm P 1i 2A 2 4i A= 1i 1B � 1 10d cm= P 2i2B � P 2 10d cm= �$!� FORÇA SOBRE UMA CARGA MÓVEL EM UM CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME 1. Uma carga 2q Cµ= , com velocidade 10 /v m s= , penetra numa região onde atua um CMU de intensidade 10B T= , conforme a figura. Os vetores v� e B � formam um ângulo de 30º e estão contidos no plano (XZ). Determine o módulo, a direção e sentido da força magnética. Resolução (a) A intensidade da força magnética é: 6 4 2 10 10 10 30º 10 MAG MAG MAG F q V B sen F sen F N θ − − = ⋅ ⋅ ⋅ � = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = (b) A direção da força magnética é perpendicular ao plano formado por v� e B� (plano XZ). (c) O sentido é determinado pela regra da mão esquerda FORÇA SOBRE UM CONDUTOR RETO EM UM CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME 1. Um condutor na forma retangular, de dimensões 10cm e 20cm (ver figura) está totalmente imerso em um campo magnético uniforme de intensidade 0,5B T= . Calcule a intensidade da força que atua em cada ramo do condutor e o momento de rotação a que ele fica submetido, quando a intensidade da corrente for de 2A. θ q Y X Z V � B � θ Y X Z V � MAGF � �$"� Resolução Aplicando-se a regra da mão esquerda para determinar o sentido da força magnética, em cada ramo, tem-se: nos ramos AB e CD, as forças magnéticas têm intensidades nulas, pois as direções das correntes são paralelas às de B � ; Nos ramos AD e BC, o ângulo entre B � e i é igual a 90º, então 90º 0,5 2 0, 2 0,2MAGF B i sen B i sen Nθ= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =� � Pode-se ver, através da figura, que o condutor fica sujeito a um BINÁRIO DE FORÇAS. MAGM F d= ⋅ , onde 0,1d AB m= = 20,2 0,1 2 10M M N m−= ⋅ � = ⋅ ⋅ B � D C i i 10 cm A B 20cm B � D C i i A B MAGF � MAGF � 0, 2m i i i �$#� FORÇA ENTRE DUAS CORRENTES PARALELAS 1. Dois fios longos, retos e paralelos, situados no vácuo, são percorridos por correntes contrárias, de intensidade 1 2i A= e 2 4i A= . A distância entre os fios é de 0,1m. (a) Os fios se atraem ou se repelem? (b) Com que força, para cada metro de comprimento do fio? (c) O que ocorrera se inverter o sentido da corrente 2i ? Resolução (a) Como as correntes têm sentido opostos, há repulsão. (b) A intensidade da força para cada metro do fio é: 7 50 1 2 4 10 2 4 1 1,6 10 2 2 0,1MAG MAG i iF F N d µ pi pi pi − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = = ⋅ ⋅ �(c) Invertendo o sentido da corrente 2i , têm-se ambas as correntes no mesmo sentido, ocasionando atração entre os fios. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA * Força eletromagnética induzida - ( )femi Ω 1. Um condutor retilíneo e horizontal, C, de resistividade 61,6 10 cmρ −= ⋅ Ω ⋅ , área 20, 2A cm= de secção transversal constante e comprimento 10cm=� , move-se sem atrito sobre dois condutores paralelos e horizontais, 'A e 'B , de resistência elétrica desprezível, interligados por um amperímetro ideal. O conjunto está imerso num campo magnético uniforme e vertical, de intensidade 510B T−= . O condutor C tem velocidade constante 8 /V m s= . Determine: (a) A fe mi ; (b) A intensidade da corrente no amperímetro; (c) O peso do corpo suspenso, conforme a figura, que mantém a velocidade constante. ���� Resolução: (a) 5 1 610 10 1 8 10e B V e e V− − −= ⋅ ⋅ � = ⋅ ⋅ = ⋅� (b) 6 5 6 5 101,6 10 8 10 0, 2 8 10 0,1 8 10 R R R A U eU Ri i i A R R ρ − − − − = � = ⋅ ⋅ = ⋅ Ω ⋅ = � = = = = ⋅ � (c) Para que a velocidade seja constante, 0RF = ou seja: 5 1 7 7 10 0,1 10 10 10 MAGF T B i T T T N P T Peso N − − − − = ⋅ ⋅ = � ⋅ ⋅ = = � = = � LEI DE FARADAY 1. A figura mostra uma espira condutora formada por um semicírculo de raio 0,20r m= e três segmentos retos, o semicírculo está localizado em um campo magnético uniforme B � que estar orientado para fora da página. A intensidade do campo é dada por A 'A 'B B � Corpo suspenso MAGF � T � ��$� 24,0 2,0 3,0B t t= + + , com B em teslas e t em segundos. Uma bateria ideal com 2,0bat V=� está ligada à espira. A resistência da espira é de 2,0Ω . (a) Qual a intensidade e o sentido da indfem� induzida ao redor da espira pelo campo B � em 10t s= . (b) Qual a corrente na espira em 10t s= Resolução ( )B ind d d BA dBA dt dt dt Φ = = =� 2 2 rA pi= [ ] 2 2 2 2 (4,0 2,0 3,0) 2 (0,20 )(8,0 2,0) 8,0(10) 2,0 2 2 10 5,2 ind ind ind r d t t dt r m t em t s V pi pi pi = + + = + = + = ≈ � � � (b) 5,152 2,0 1,6 2 res ind bat Vi i A R R − − = = = ≈ Ω � � � CIRCUITOS RL 1. Um solenóide possui uma indutância de 53mH e uma resistência de 0,37Ω . Se ele for ligado a uma bateria, quanto tempo levará para que a corrente alcance metade do seu valor final de equilíbrio? / 2r bat� ���� Resolução A equação 1 L t i e R τε −� � = −� � � � � � (subida da corrente) Nós mostra que a corrente i aumenta exponencialmente de zero até o seu valor final de equilíbrio / R� . Seja 0t o tempo que a corrente i leva para alcançar metade do seu valor de equilíbrio, então, a equação anterior nos dá 0 /1 1 2 Lte R R τ− = − � � Explicitamos 0t cancelando R � , isolando A exponencial e tomando o logaritmo natural de cada lado. Encontramos 3 0 0 53 10ln 2 ln 2 ln 2 0,37 0,10 L L H t R t s τ −× = = = Ω = 2. Uma bobina tem uma indutância de 53mH e uma resistência de 0,35Ω . a. Se uma fem de 12V for aplicada entre as extremidades da bobina, quanta energia é armazenada no campo magnético depois de a corrente atingir o seu valor de equilíbrio? b. Após quantas constantes de tempo, metade desta energia de equilíbrio estará armazenada no campo magnético? Resolução (a) A corrente máxima é 12 34,3 0,35m Vi A R = = = � A energia armazenada será: 2 2 3 21 1 1 (53 10 ) (34,3 ) 2 2 2 31 B B m B U Li U Li H A U j − = � = = ⋅ ⋅ = (b) Queremos saber em que instante t a relação 1 2B B U U ∞ = ( ) 2 2 / 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 Lt Li Li i i e R R τ ∞ ∞ − � �� � = � =� � � � � � � � − = ⋅ � � Cancelando / R� teremos / 11 2 Lte τ− = − ���� Então: ln 0,293 1,2 L L t t τ τ = − ≈ Portanto: A energia armazenada atinge a metade do seu valor máximo depois de decorridos 1,2 constante de tempo. CORRENTE ALTERNADA 1. Um resistor cuja resistência vale 50Ω é percorrido por uma corrente alternada que obedece a função: 8 2 120i sen tpi= ⋅ ⋅ (unidades do SI) Determine: (a) A freqüência da corrente alternada; (b) A máxima intensidade de corrente; (c) O valor eficaz da corrente alternada; (d) O valor eficaz da ddp aplicada nos terminais do registro; (e) A potência dissipada pelo resistor. Resolução Comparando com MAXi i sen tω= ⋅ , temos: (a) 2120 / 2rad s f T pi ω pi ω pi= = = (pulsação da corrente) 120 / 2 60 rad s f f Hz ω pi pi= = = (b) 8 2MAXi A= (c) 8 2 8 2 2 MAX ef ef ef i Ai i i A= � = = (d) 50 8 400ef ef ef efU R i U A U V= ⋅ � = Ω⋅ = (e) 2 400 8 3200 ef ef ef ef ef ef U P U i R i R P U i P V A P W = ⋅ = ⋅ = = ⋅ = ⋅ = P = Potência média dissipada ���� CARGA PURAMENTE RESISTIVA 1. Na figura seguinte, a resistência R é de 200 Ω e o dispositivo de fem alternada senoidal opera a uma amplitude 36m V=� e uma freqüência 60,0df Hz= . (a) Qual a diferença de potencial ( )RV t entre os terminais da resistência em função do tempo t, e qual é a amplitude RV de ( )RV t ? (b) Qual a corrente ( )Ri t na resistência e qual a amplitude RI de ( )Ri t ? Resolução: (a) ( ) ( ) 36,0R R mV t t V V= � = =� � Cálculo de ( ) : ( ) ( ) 2 2 (60 ) 120 (36,0 ) (120 ) R R m d d d R m d R V t V t t sen t f Hz V sen t V V sen t ω ω pi pi pi ω pi = = = = = = � = � � � (b) ( ) 1 36,0 0,180 200 ( ) (0,180 ) (120 ) R R d R R R R R R R d R d r i I sen t I sen t V VI I I A R i I sen t I sen t i A sen t ω φ ω ω φ ω pi = − = = � = = Ω = − = = CARGA PURAMENTE CAPACITIVA 1. Na figura seguinte, a capacitância C é de 150 Fµ e o dispositivo de fem alternada senoidal opera a uma amplitude 36,0m V=� e a uma freqüência 60,0df Hz= . (a) Qual a diferença de potencial ( )CV t entre os terminais do capacitor e qual a amplitude CV de ( )CV t ? (b) Qual a corrente ( )ci t no circuito em função do tempo e qual a amplitude CI de ( )CI t ? ���� Resolução (a) ( )( ) 36,0 ( ) ( ) 2 2 (60,0 ) 120 (36,0 ) (120 ) C t C m C m C m d d d C V t e V V V V t t sen t f Hz V V sen t ω ω pi pi pi pi = = = = = = ⋅ = = = = ⋅ � � � � � (b) 6 1 1 2 (2 ) (60,0 )(150 10 ) 177 36,0 0,203 177 ( / 2) (0,203 ) (120 / 2) C d C C C C C C C C d C X f C Hz F X V VI I I A X I I sen t I A sen t pi pi ω pi pi pi − = = ⋅ ⋅ ⋅ = Ω = � = = Ω = ⋅ + = + CARGA PURAMENTE INDUTIVA 1. Na figura a seguir, a indutância L vale 230mH e o dispositivo de fem alternada senoidal opera a uma amplitude 36,0m V=� e a uma freqüência 60,0df Hz= . (a) Qual a diferença de potencial ( )LV t entre os terminais do indutor e qual a amplitude LV de ( )LV t ? (b) Qual a corrente ( )Li t no circuito em função do tempo e qual a amplitude LI de '( )LI t ? Resolução (a) ( ) ( ) 36,0 ( ) ( ) 2 120 : (36,0 ) (120 ) L L m L m L m d d d L V t t e V V V V t t sen t f Logo V V sen t ω ω pi pi pi = = � = = = = ⋅ = = = ⋅ � � � � � �� � (b) 32 (2 )(60,0)(230 10 ) 36,086,7 0,415 86,7 ( / 2) (0,415 ) (120 / 2) L d L L L L L L L d L X f L Hz H V VX I I A X I I sen t i A sen t pi pi ω pi pi pi − = = × = Ω = = = Ω = ⋅ − = − O CIRCUITO RLC EM SÉRIE 1. Um circuito RLC em série, excitado por uma fem 120 rms V=� a uma freqüência 60,0df Hz= , contém uma resistência 200R = Ω , uma indutância com 800LX = Ω e uma capacitância com 150CX = Ω . (a) Qual o fator de potência cosφ e qual a constante de fase φ do circuito? (b) Qual a taxa média MEDP com que se dissipa energia na resistência? Resolução (a) 2 2 2 2( ) (200 ) (80 150 ) 211,90 200 cos cos 0,944 211,90 cos 0,944 19,3º 19,3º L CZ R X X Z R Z arc φ φ φ φ = + − = Ω + Ω − Ω = Ω Ω = = ≈ Ω = = ± = ± Tanto 19,3º+ quando 19,3º− possuem um cosseno de 0,944. Para determinamos qual sinal é o correto, temos que considerar se a corrente está adiantada ou atrasada em relação à fem aplicada. Como C LX X> , este circulo é principalmente capacitivo, com a corrente adiantada em relação fem. Assim, φ tem que ser negativa: 19,3ºφ = − A equação: L CX Xtg R φ −= nos dá a resposta completa, com o sinal negativo. ��!� (b) 2 2(120 ) (0,9438) cos 211,90 64,1 rms MED MED VP Z P W φ= = Ω = � TRANSFORMADOR 1. Um transformador em um poste de uma concessionária de energia opera com 8,5PV kV= no enrolamento primário e fornece a energia a um certo número de casas próximas com 120SV V= ; sendo estas duas tensões em valores eficazes. Suponha um transformador abaixador ideal, uma carga puramente resistiva e um fator de potência igual à unidade. (a) Qual razão entre o número de voltas /P SN N do transformador? (b) A taxa média de consumo de energia (ou dissipação) nas casas servidas pelo transformador é de 78kW. Quais as correntes eficazes no primário e no secundário do transformador? (c) Qual a carga resistiva SR no circuito secundário? Qual a carga resistiva correspondente PR no circuito primário? Resolução (a) S S P P V N V N = ou 38,5 10 7,083 71 120 71 P P S S P S N V V N V V N N × = = = ≈ ≈ (b) 3 3 78 10 9,176 8,5 10 9,2 MED P P P P WI A V V I A × = = × ≈ 378 10 650 650 120 MED S S S P WI A I A V V × = = = = (c) 3 120 0,1846 0,18 650 8,5 10 926 930 9,176 S S S S p p p p V VR R I A V VR R I A = = = Ω ≈ Ω × = = = Ω ≈ Ω
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