Discretização da Equação de Condução do Calor Unidimensional via Método das Diferenças Finitas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS-UFAL
CAMPUS ARAPIRACA
MATEMÁTICA - LICENCIATURA
JOÃO PAULO DA SILVA
DISCRETIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DO CALOR UNIDIMENSIONAL
VIA MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
ARAPIRACA
2019
João Paulo da Silva
Discretização da Equação de Condução do Calor Unidimensional via Método das Diferenças
Finitas
Monografia apresentada como requisito parcial para
obtenção do grau de Licenciado em Matemática -
Licenciatura da Universidade Federal de Alagoas -
UFAL, Campus Arapiraca.
Orientador: Prof. Dr. Rinaldo Vieira da Silva
Junior
Arapiraca
2019
À minha família.
AGRADECIMENTOS
É realmente difícil descrever os tantos sentimentos que vêm a tona ao terminar essa etapa
tão importante da vida. Porém, é muito bom refletir sobre toda a caminhada, os dias de luta e os
dias de glória, sobre as pessoas especiais que tanto te ajudaram e, sobretudo, aquelas que são
motivo e que te dão motivo para não desistir. Por isso, permito que a emoção tome conta e que
escreva meus singelos agradecimentos a todos os que fizeram e fazem parte da minha vida.
- Primeiramente a Deus pela vida, saúde e pelas pessoas que pôs em meu destino até
aqui;
- À Minha querida Mãe, Dona Zefinha, agradeço imensamente por ser motivo e me dar
motivo, por todo o amor, carinho e sacrifícios feitos para que eu pudesse estudar. Te amo muito
mãe, por tudo!
- Ao meu querido e falecido pai, Deusdado, em sua memória e por ter notado que eu me
dava bem nas continhas e calculadora. Valeu, cara!
- Aos meus queridos irmãos Gil, Joyce e Joseane e meu primo Natanel por serem motivo
e me darem motivo, por todo apoio, confiança e irmandade. Amo vocês!
- À minha querida namorada Rayssa Mayara, por ser motivo e me dar motivo, por todo o
companheirismo, amizade e felicidade que me proporciona. Te amo, moça!
- Aos meus sobrinhos Arthur e Mayara, por serem motivo e me darem motivo, por me
contagiarem com seus sorrisos de criança. Amo vocês!
- Ao meu tio Lucas e demais parentes pelos incentivos dados nos momentos difíceis;
- Ao meu prezado orientador, professor Rinaldo, pelas discussões e orientações, pelos
conselhos pessoais e por todo o conhecimento e incentivos compartilhados desde a disciplina de
Cálculo 3 até os projetos de iniciação científica do PIBIC;
- A todos os professores do curso de Matemática, em especial àqueles que participaram
da minha formação e contribuíram para a construção de meu conhecimento;
- Aos valiosos amigos que fiz ao longo dos anos de Universidade, pessoas pela quais criei
profunda admiração e cujo apoio foi indispensável para que conseguisse enfrentar os momentos
mais complicados da trajetória. "Cultivem amor para colher as mais belas verdades, cultivem-o
para colher as mais belas saudades!"Amo vocês, galera, obrigado por todos os momentos!
RESUMO
Em meio as muitas inovanções e avanços tecnológicos ocorridos nos últimos tempos, a mate-
mática se renova e impulsiona cada vez mais o progresso de estudos e pesquisas que permeiam
outras áreas do conhecimento. Na física computacional, por exemplo, é possível destacar o
emprego da linguagem das equações diferenciais junto a métodos de aproximação numérica na
análise de previsões sobre uma variedade de fenômenos, dentre os quais está a conhecida condu-
ção de calor. Nessa perspectiva, este trabalho aborda um problema de valor inicial e de fronteira
sob condições de contorno de Dirichlet homogêneas relativamente a EDP que descreve a condu-
ção de calor unidimensional. Buscamos aplicar o Método das Diferenças Finitas em sua forma
explícita para determinar soluções numéricas do problema, discutindo-as conforme o referido
critério de estabilidade e convergência da solução. Para permitir a análise de cenários variados e
discutir a convergência das soluções com base no critério de estabilidade, consideramos uma
barra metálica de dimensões genéricas L×R aquecida no ponto médio de seu comprimento L e
simulamos diferentes discretizações em domínios espaço-temporais [0,L]× [0,T ], aumentando
ou reduzindo o número de pontos da malha para melhor compreender como ocorre a dinâmica
numérica em diferenças finitas. Tais simulações puderam ser realizadas através do software GNU
Octave 5.1.0, pelo qual também foi possível gerar gráficos dos diferentes cenários e visualizar
como se dá a distribuição da temperatura em cada caso.
Palavras-chave: Critério de estabilidade. Diferenças finitas. Equação do calor. Modelagem.
Solução numérica.
ABSTRACT
Through the many innovations and technological advances occurred in recent times, mathematics
is renewing itself and increasingly driving the progress of studies and research, beside permeate
other areas of knowledge. In computational physics, for example, it is possible to evidence the
use of the language of differential equations together with numerical approximation methods in
the analysis of predictions about a variety of phenomena, including the known heat conduction.
For this reason, this paper addresses an initial value and boundary problem under homogeneous
Dirichlet boundary conditions with respect to EDP describing one-dimensional heat conduction.
We seek to apply the Finite Difference Method in its explicit form to determine numerical
solutions of the problem, discussing them according to the said stability and convergence
criterion of the solution. To allow the analysis of various scenarios and discuss the convergence
of solutions based on the stability criterion, we consider a LxR generic metal bar heated at the
midpoint of its L length and simulate different discretizations in time space domains [0, L]x[0,
T], increasing or reducing the number of mesh points to better understand how finite difference
numerical dynamics occur. Such simulations could be performed using the GNU Octave 5.1.0
software, through which it was also possible to generate graphs of the different scenarios and to
visualize how the temperature distribution occurs in each case.
Keywords: Finite differences. Heat equation. Modeling. Numerical solution. Stability criterion.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Processo de trasferência de calor por condução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Figura 2 – Processo de trasferência de calor por convecção. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Figura 3 – Processo de trasferência de calor por radiação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Figura 4 – Comportamento das moléculas na tranferência de calor por condução. . . . . . . . 20
Figura 5 – Barra uniforme com isolamento térmico posicionada sobre os eixos cartesianos. . . 21
Figura 6 – Secções P1 e P2 da barra, separadas por uma distância d. . . . . . . . . . . . . . 22
Figura 7 – Domínio discretizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Figura 8 – Esquema Explícito para a Equação do Calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Figura 9 – Simulações de soluções numéricas (à esquerda) e respectivas soluções no
último passo de tempo (à direita) em um domínio retangular [0,20]× [0,30]. 37
Figura 10 – Simulações de soluções numéricas (à esquerda) e respectivas soluções no
último passo de tempo (à direita) em um domínio retangular [0,20]× [0,60]. 38
Figura 11 – Códigos - Simulação No1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Figura 12 – Códigos - Simulação No2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Figura 13 – Códigos - Simulação No3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Figura 14 – Códigos - Simulação No4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Figura 15 – Códigos - Simulação No5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Figura 16 – Códigos - Simulação No6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Figura 17 – Códigos - Simulação No7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Figura 18 – Códigos - Simulação No8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 PRIMEIROS CONCEITOS . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1 MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 Condução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Convecção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3 Radiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 ALGUMAS DEFINIÇÕES SOBRE ANÁLISE NUMÉRICA . . . . . . . . 13
2.2.1 Série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 Fórmulas de diferenças e ordem de aproximação . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3 Erros de aproximação numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 LINGUAGEM COMPUTACIONAL E O SOFTWARE OCTAVE . . . . . . 15
2.3.1 Sintaxe e alguns comandos do software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 NOTAS HISTÓRICAS SOBRE A TEORIA ANALÍTICA DO CALOR
DE JOSEPH FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 MODELO MATEMÁTICO: CONDUÇÃO DE CALOR . . . . . . . . . 20
4.1 TRASFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 LEI DE RESFRIAMENTO DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 MÉTODOS NUMÉRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1 MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1.1 Discretização do domínio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1.2 Discretização das derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.1.3 Operadores de diferenças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2 CONSISTÊNCIA, ESTABILIDADE E CONVERGÊNCIA . . . . . . . . . 28
6 MODELAGEM COMPUTACIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.1 ESQUEMA EXPLÍCITO PARA A EQUAÇÃO DO CALOR . . . . . . . . 31
6.1.1 Consistência do método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.1.2 Estabilidade do método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.1.3 Convergência do método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.2 DISCRETIZAÇÃO DO DOMÍNIO [0,L]× [0,T ] . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.3 O PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.4 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
APÊNDICE A - CÓDIGOS EXECUTADOS NO GNU OCTAVE . . . . . . . . . . . 43
9
1 INTRODUÇÃO
Diante do grande desenvolvimento tecnológico dos últimos anos e o consequente avanço
da tecnologia dos computadores, a matemática passou a impulsionar ainda mais o progresso de
diversas áreas do conhecimento. Merece destaque, por exemplo, o emprego da linguagem das
equações diferenciais e dos métodos de aproximação numérica na análise de previsões sobre o
fenômeno físico da condução de calor ao longo de um corpo. Nessa perspectiva, o estudo destes
métodos numéricos é de extrema importância para os futuros profissionais das áreas correlatas à
matemática, inclusive para os interessados em estudos sobre a condução de calor.
O interesse em realizar pesquisa no campo da matemática aplicada ocorreu por compre-
ender que as aplicações aproximam melhor o trabalho de um futuro matemático a uma sociedade
que desconhece ou que se distancia cada vez mais da necessidade de compreender a natureza
na qual está inserida. Nessa perspectiva, o contato com a disciplina de Equações Diferencias
Ordinárias (EDO) ao longo do 6o período do curso de matemática e a participação como colabo-
rador em um projeto de pesquisa sobre o uso de métodos numéricos na discretização de EDPs,
viabilizado pelo PIBIC, foram também de grande importância por me permitir ter um vislumbre
introdutório, uma reflexão mais científica de algumas possibilidades de emprego da matemática
no estudo de modelos que retratam problemas e fenômenos físicos, como a Equação Diferencial
Parcial (EDP) da condução de calor que tratamos neste trabalho.
Além disso, este estudo enfatiza o elo entre matemática, física e computação à medida
que empregamos uma metodologia quali-quantitativa de interpretação dos dados numéricos,
considerando que sem as técnicas matemáticas, estudos formais sobre aplicações físicas e
linguagens de programação seriam improváveis, ao passo que sem aplicações físicas e linguagens
de programação importantes, a matemática pura perderia parte de seu sentido para o mundo e a
sociedade em que vivemos.
Ciente de que a linguagem básica para a discussão apropriada deste tipo de problema exige
o conhecimento de conceitos matemáticos, linguagens de programação, e de temas relacionados
ao fenômeno da condução de calor, os capítulos foram organizados da forma a seguir.
No primeiro capítulo apresentamos algumas definições e conceitos relevantes ao desenvol-
vimento do trabalho, tais como os mecanismos de transferência de calor, erros de aproximação
numérica e a sintaxe do software Octave 5.1.0, utilizado para a realização de experimentos
numéricos. No segundo capítulo apresentamos algumas notas históricas a respeito da Lei de
Fourier sobre a propagação de calor. No terceiro capítulo discutimos um pouco sobre modelagem
matemática e deduzimos uma demonstração do problema unidimensional de condução de calor
numa barra em isolamento térmico. No quarto capítulo apresentamos a modelagem computa-
cional do problema, discretizando-o e definindo alguns conceitos e o método numérico a ser
empregado. No quinto capítulo, implementamos computacionalmente o problema e realizamos
alguns testes e simulações numéricas.
10
2 PRIMEIROS CONCEITOS
2.1 MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Todas as vezes que houver gradientes ou diferenças finitas de temperatura entre dois
sistemas físicos postos em contato ocorrerá também a transferência de energia térmica, de calor.
Existem três maneiras particulares pelas quais o processo de transferência de calor pode ocorrer:
condução, convecção e radiação (MOREIRA, 2012).
2.1.1 Condução
O mecanismo pelo qual o calor flui de uma região de maior temperatura para outra de
menor temperatura, seja no interior de um meio (sólido, líquido ou gasoso), seja entre meios
distintos em contato físico direto, é chamado Condução de Calor.
Nesse sentido, conforme Oliveira (2016), na transmissão de calor por condução, a
transferência de energia se dá mediante interações moleculares, sem que haja significativo
deslocamento das moléculas. Uma vez que as moléculas em determinada região atingem energia
cinética superior em relação àquelas de sua vizinhança, os gradientes e diferenças de temperatura
passam a atuar em busca de equilíbrio através da transmissão de energia das regiões de menor
para as de maior temperatura. O processo de condução de calor é muito bem desenvolvido em
objetos metálicos, sendo estes em geral considerados bons condutores térmicos.
Uma panela, por exemplo, distribui por condução o calor da chama para toda a sua
superfície, o que sugere a praticidade de que seus cabos sejam feitos de material plástico ou
outros mau condutores, a fim de evitar possíveis queimaduras ao usuário. Devido a propagação
da intensa vibração das moléculas e elétrons, o material é aquecido pressupondo a conversão de
energia cinética em energia térmica.
A lei constitutiva que rege a condução térmica recebe o nome de Lei de Fourier, em
homenagem a Jean-Baptiste Joseph Fourier, cientista francês do século XVIII que foi precursor
no desenvolvimento de estudos mais aprofundados a respeito da transferência de calor por
condução.
Considere dois compartimentos T1 e T2 conectados fisicamente por uma barra metálica
com isolamento lateral e preenchidos, nessa ordem, com uma mistura de água e gelo (reservatório
frio) e com água em estado de ebulição (reservatório quente). Os experimentos de Fourier o
fizeram constatar que a temperatura varia de forma linear de um extremoa outro da barra, de
modo que o calor que flui através desta é proporcional à sua área de secção A e à diferença de
temperatura ∆θ= T2−T1 entre seus extremos, estando em proporção inversa ao seu comprimento
d. A figura 1 ilustra bem esta situação.
11
Figura 1 – Processo de trasferência de calor por condução.
Fonte: interferenciafisica.blogspot.com (2019).
Na literatura da física-matemática, o fluxo de calor φ pode ser compreendido como a
razão entre a quantidade de calor Q transferido através de um determinado corpo (a barra em
questão, por exemplo) e o tempo gasto nesta transferência. Dessa forma, tem-se:
φ =
Q
∆t
Em consequência dos experimentos descritos, a lei de Fourier sobre a condução térmica
unidimensional é analiticamente expressa por:
φ =
Q
∆t
=−αA
∆θ
L
a qual pode ser estendida à forma diferencial pela equação:
qx =−αA
dθ
dx
onde:
• qx : é o calor transmitido por unidade temporal (Kcal/h);
• α: é o coeficiente de condutibilidade térmica inerente ao material (Kcal/(h ·m ·◦C));
• A: é a área da secção pela qual ocorre o fluxo de calor, medido ortogonalmente à direção
do fluxo (m2);
• dθ
dt : é o gradiente de temperatura na secção ao longo do eixo x (◦C/m).
2.1.2 Convecção
A convecção pode ser compreendida como uma espécie de condução mais complexa, na
qual são acrescidos processos de armazenamento de energia e deslocamento interno do meio de
propagação, o que atribui uma essência macroscópica à trasmissão de calor, em detrimento do
caráter microscópico com o qual atua a condução térmica. Logicamente, os movimentos internos
de mistura causados por convecção restringem-se sobretudo aos meios fluidos, dada a rigidez
molecular de corpos sólidos.
12
De acordo com Olivera (2016), tal mecanismo de transmissão de calor é atuante sempre
que um meio fluido possui menor temperatura em relação a um objeto com o qual é posto em
contato. Como a temperatura de um meio é diretamente proporcional ao volume deste meio,
quando aumenta a temperatura do fluido em contato com o objeto, a tendência é que também
haja aumento de volume à medida que sua densidade é reduziada. Disso resulta que este fluido
fica mais leve se comparado aquele em seu entorno, o que o faz expandir e subir sob ação do
empuxo. Nesse sentido, o fluido de menor temperatura escoa para usurpar o lugar do fluido mais
quente que, por sua vez, sobe repetindo o processo de forma indeterminada ou enquanto durar a
região mais quente do fluido.
Figura 2 – Processo de trasferência de calor por convecção.
Fonte: noic.com.br (2019).
O processo de convecção de calor é baseado na Lei de resfriamento de Newton:
dθ
dt
=−βA∆θ
onde:
• dθ
dt : é o calor transferido por unidade de tempo por convecção (Kcal/h);
• β: é o coeficiente de transferência de calor por convecção (Kcal/(h ·m ·◦C));
• A: é a área de transferência de calor (m2);
• ∆θ: é a diferença entre a temperatura da superfície θ e a do fluido envolvente θa, em um
local especificado x, em geral suficientemente distante da superfície (◦C).
2.1.3 Radiação
No tocante à trasferência de calor, o mecanismo de radiação térmica fundamenta-se
no transporte de energia através de ondas electromagnéticas. As ondas electromagnéticas se
13
propagam no vácuo à velocidade da luz (c = 2.998 ·108 10m/s) de modo que, em contraponto
à condução e à convecção, a radição dispensa a necessidade de um meio material para que a
transmissão de energia possa se consolidar (OLIVEIRA, 2014). Nessa perspectiva, o calor é
transferido de um corpo de maior temperatura para um corpo de menor temperatura quando estes
se encontram separados no espaço, ainda que o vazio esteja entre eles.
Figura 3 – Processo de trasferência de calor por radiação.
Fonte: interferenciafisica.blogspot.com (2019).
A lei regente da radiação térmica é conhecida como Lei de Stefan-Boltzmann. Ela
apresenta o fluxo de radiação total emitido por um corpo negro, que absorve toda a radiação
incidente, emitindo-a com máxima intensidade. Tal lei é descrita por:
qr = σAeθ
4
e
onde:
• qr é a energia radiante (Kcal/h);
• σ: é a constante dimensional de valor 4,88 ·10−8 Kcal/(h ·m2 ·K4);
• Ae: é a área superficial do corpo emissor de calor (m2);
• θe: é a temperatura da superfície emissora.
2.2 ALGUMAS DEFINIÇÕES SOBRE ANÁLISE NUMÉRICA
2.2.1 Série de Taylor
Se f : (a,b)× (0,T ) −→ R é uma funcão de classe Cn+1 em (a,b) e x ∈ (a,b), então
existe um ξ em (a,b) tal que:
f (x+h) =
n
∑
k=0
∂k f (x, t)
∂xk
hk
k!
+O(hn+1) (2.1)
14
na qual o termo
O(hn+1) =
hn+1
(n+1)!
∂(n+1) f (ξ, t)
∂x(n+1)
é denominado erro de Lagrange.
Observe que a Série de Taylor estabelece uma relação entre os valores da função e de
suas derivadas, num ponto x, com valores da mesma função numa vizinhança de x.
2.2.2 Fórmulas de diferenças e ordem de aproximação
Considere F (x, t;h) uma fórmula de diferenças para aproximar a derivada de n-ésima
ordem de uma função f (x, t) com erro E(x, t;h), de maneira que:
∂n f (x, t)
∂xn = F (x, t;h)+E(x, t;h) (2.2)
Diz-se que F (x, t;h) é de ordem p se E(x, t;h) = hpR (x, t), em que R (x, t) não depende
do passo h. Uma notação mais apropriada para indicar a ordem de aproximação é considerar
E(x, t;h) = O(hp). A título de exemplo, considere a fórmula de diferenças centradas:
F (x, t;h) =
f (x+h, t)− f (x−h, t)
2h
e E(x, t;h) =−h2
3!
∂3 f (ξ, t)
∂x3
cuja aproximação é de segunda ordem e denotada por O(h2).
2.2.3 Erros de aproximação numérica
O erro de truncamento local pode ser entendido como o erro incrementado em cada passo
pelo truncamento de uma equação diferencial quando esta é aproximada através de fórmulas
de diferenças, admitindo ser conhecida o valor exato da solução na origem do intervalo. Nessa
perspectiva, seja f (x j, tn) a solução exata no ponto (x j, tn) da malha e τn
j o erro de truncamento
local envolvido no cálculo de f n
j+1, descreve-se
τ
n
j :=
f (x j+1, tn)− f n
j+1
h
(2.3)
onde h = ∆x é o passo da malha.
A escolha do passo da malha está diretamente relacionado ao controle do erro de trunca-
mento local, uma vez que este é uma medida que permite descobrir o quanto que a solução da
equação diferencial discretizada na malha diverge do conjunto solução da equação de diferenças.
O erro de truncamento global, por sua vez, é tido como o erro acumulado ao longo de
cada passo de resolução, supondo a condição inicial exata. Assim, define-se
en
j := f (x j, tn)− f n
j (2.4)
15
A grande diferença do erro de truncamento local para o erro de truncamento global é que
este último engloba um conjunto de erros que de alguma forma podem oferecer inconfiabilidade
à solução.
2.3 LINGUAGEM COMPUTACIONAL E O SOFTWARE OCTAVE
O GNU Octave é um programa de linguagem de alto nível, voltado para cálculos mate-
máticos e que foi criado em 1988 como um software auxiliar num projeto de um reator químico
escrito por James B. Rawlings, da Universidade Wisconsin-Wisconsin-Madison, e John G. Ekerdt
da Universidade do Texas (SILVA NETO, 2019).
Utilizando uma linha de comando compatível para resolver problemas envolvendo núme-
ros de natureza linear ou não, esse programa é muito útil ao propósito de realizar exercícios e
implementações numéricas, sendo de grande valia aos objetivos deste trabalho.
Além disso, é um software de simples instalação e extremamente compatível com a
linguagem e funcionalidades do já consagrado programa MATLAB, porém com a importante
vantagem de ser gratuito. Nessa perspectiva, atende aos mais diversos usuários, nas mais variadas
realidades. Cabe ressaltar, entretanto, que a escolha do software ocorreu, sobretudo, pela sua
eficiência e por ser aquele que mais abrange os recursos de softwares pagos como o MATLAB.
Nesse semtido, de acordo com Marques e Morgado (2010),
O Octave pode efetuar cálculos aritméticos com reais, escalares complexos e
matrizes; resolver sistemas de equações algébricas; integrar funções sobre inter-
valos finitos e infinitos e integrar sistemas de equações diferenciais ordinárias e
diferenciais algébricas. Permite gerar para o ecrã e para aimpressora gráficos
2D e 3D [. . . ] (MARQUES; MORGADO, p.1).
Sob os termos e condições da GNU “General Public License” (GPL) o usuário pode
redistribuir e modificar o Octave livremente, desenvolvendo funções complementares e encon-
trando erros. Segundo Neto (2019), a primeira versão completa foi liberada em 17 de fevereiro
de 1994, desde então foram criadas diversas melhorias e atualizações.
Aos interessados, o download da versão do Octave a ser utilizada nesse trabalho pode ser
obtida gratuitamente no endereço oficial do software .
2.3.1 Sintaxe e alguns comandos do software
Após esse breve resumo sobre o Octave, o nosso proposito exige que apresentemos e
descrevamos alguns elementos da sintaxe e da estrutura utilizadas para obtenção dos resultados
numéricos que constam no capítulo 6.
• "clear": limpa a memória do ambiente de trabalho, removendo todas as variáveis;
• "clc": Limpa o console da janela de comandos e coloca o cursor na posição inicial;
• "input": Permite entrada de dados durante a execução do programa via teclado;
16
• "round": Faz um arredondamento para o inteiro mais próximo;
• "x = a : h : b": Cria um vetor x começando com o valor a, incrementando-se do valor h até
atingir o valor último ou o valor mais próximo possível de b;
• ”x+ y”: Adição;
• ”x− y”: Subtração;
• ”x∗ y”: Multiplicação matricial;
• ”x.∗ y”: Multiplicação elemento por elemento;
• ”x/y” Divisão à direita, conceitualmente equivalente a (inverse(y′)∗ x′)′;
• ”x./y”: Divisão à direita elemento por elemento;
• ”x.y”: Divisão à esquerda elemento por elemento;
• ”xy”: Potenciação;
• ”x.y”: Potenciação elemento por elemento;
• −x”: Troca de sinal;
• ”+ x”: Soma unitária (sem efeito);
• ”x′”: Transposto conjugado complexo;
• ”x.′”: Transposto;
• ”,” : Separa comandos em uma mesma linha;
• ”;” : Separa comandos em uma mesma linha e caso seja o último caractere da declaração,
a impressão na tela é suprimida, mas a tarefa é realizada;
• ”#” : Utilizado quando se deseja realizar um comentário. Qualquer caracter depois deste
símbolo é tomado como comentário;
• "for": É uma estrutura de repetição que faz uma sequência de comandos ser executada de
forma repetida até que uma dada condição seja satisfeita, interrompendo o processo;
• "figure": Mostra a janela gráfica;
• "plot": Plota gráficos bidimensionais;
• "surf": Plota gráficos tridimensionais;
• "grid": Inserir linhas de grade;
• "title": Título do gráfico;
17
• "xlabel": Título da variável do eixo X;
• "ylabel": Título da variável do eixo Y;
• "zlabel": Título da variável do eixo Z.
18
3 NOTAS HISTÓRICAS SOBRE A TEORIA ANALÍTICA DO CALOR DE JOSEPH
FOURIER
No século XVIII, a mecânica teve seu ápice moldado pelo paradigma newtoniano e o
formalismo matemático desenvolvido por Euler, Lagrange e Laplace. Foi em meio a este cenário,
e em contraponto a alguns dogmas do paradigma vigente, que o cientista francês Jean Baptiste
Joseph Fourier (1768-1830) iniciou seus estudos a respeito da condução do calor. A formulação
correta foi apresentada em 1807 em um trabalho intitulado Mémoire sur la propagation de la
chaleur (Memória sobre a propagação do calor) mas apenas publicada no ano de 1822 após
passar por revisão e ampliação sob o título de Théorie analytique de la chaleur (Teoria analítica
do calor).
Em seu trabalho, Fourier deduziu a equação da condução do calor por meio de equações
diferenciais parciais e desenvolveu a solução através de séries trigonométricas. E embora tenha
ignorado qualquer hipótese acerca da natureza do calor, descreveu um modelo físico para explicar
seu mecanismo de propagação.
Antes de chegar à lei que descrevesse a propagação do calor, Fourier admitiu diferentes
concepções e conjecturas, as quais foram sendo gradativamente modificadas até que, influenciado
por uma publicação de seu compatriota físico francês Jean-Baptiste Biot no ano de 1804, suas
pesquisas passaram a trilhar um rumo mais promissor.
De forma análoga a Biot, Fourier escolheu por determinar a distribuição de temperaturas
em uma barra a partir do aquecimento de uma de suas extremidades. Para tanto, baseou-se na
lei do resfriamento de Newton e no uso de diferentes coeficientes de condutividade para as
propagações interna e externa do calor (PIFER; AURANI, 2015). Em contrapartida, Fourier
divergiu de Biot ao considerar que as trocas de calor ocorriam entre secções na barra, e não entre
pontos.
A princípio, os estudos de Fourier incorporaram ideias importantes na articulação de
problemas envolvendo a propagação do calor, como por exemplo, na consideração de troca
de calor entre as secções na barra, ou ainda, na noção de balanço de calor no caso de regime
estacionário. Entretanto, ainda existiam alguns erros em suas considerações físicas, uma vez que
era desconhecida a ideia de fluxo de calor atravessando um certo elemento de área.
Nos anos seguintes, Fourier aprimorou seus estudos e elaborou um novo trabalho sobre
a propagação do calor em corpos contínuos, submetendo-o à Academia francesa em 1807.
Esse trabalho apresentou um modelo em que uma barra era fracionada em secções transversais
de espessuras infinitamente pequenas e o calor era transferido de uma secção à outra em
virtude da diferença de temperatura entre elas. Além disso, Fourier passou a considerar que o
calor atravessava as secções da barra e que a quantidade de calor absolvida por uma secção
correspondia a diferença entre o calor que entrava e o calor que saia da mesma. Nessa perspectiva,
ao empregar a ideia de fluxo de calor entre secções da barra e assumir que o calor absorvido por
uma dada secção era o responsável por sua mudança de temperatura, Fourier determinou uma
19
nova equação geral de propagação do calor em meios sólidos,
∂θ
∂t
=
k
cρ
(
∂2θ
∂x
+
∂2θ
∂x
+
∂2θ
∂x
)
onde θ é função do tempo t e das coordenadas espaciais x,y, e z, k é a condutividade do corpo, ρ
é sua densidade e c seu calor específico.
A pesquisa de Fourier é precursora no tratamento matemático da condução do calor,
assim como a primeira grande matematização de um campo da física exterior à mecânica. Ele
estabeleceu sua teoria da propagação do calor em corpos sólidos reduzindo os fenômenos naturais
à análise matemática, segundo princípios da mecânica racional. Entretanto, ao entender que as
leis da mecânica não eram aplicáveis aos fenômenos do calor e desvincular sua teoria da natureza
destes, Fourier consolidou um novo campo da ciência do calor. Dessa forma, sua teoria a respeito
da propagação do calor não começa a partir de refutações de teorias anteriores, tampouco da
descoberta de novos fatos, mas sim apresenta autenticidade e características próprias.
Um estudo mais detalhado sobre o desenvolvimento histórico e epstemológico da teoria
da condução do calor de Fourier pode ser encontrado em Pifer (2015) e fortalece a tese de que os
caminhos para alcançar a correta elaboração de uma teoria são muitas vezes repletos de curvas e
obstáculos, com hipóteses confusas e geralmente falhas, de modo que não existe ciência pronta e
acabada.
20
4 MODELO MATEMÁTICO: CONDUÇÃO DE CALOR
4.1 TRASFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO
A tranferência de calor por condução ocorre sempre que corpos com temperaturas
distintas entram em contato físico um com o outro. A diferença de temperatura entre um corpo
mais quente e um corpo mais frio faz com que a maior vibração das moléculas do primeiro seja
pouco a pouco tranferida às moléculas do segundo sob a forma de calor, até que o sistema atinja
o chamado equilíbrio térmico.
Um ótimo exemplo para ilustrar tal situação é considerar o aquecimento de uma barra
metálica em uma de suas extremidades. Neste caso, é natural esperar que a vibração das moléculas
seja de maior intensidade no ponto de aquecimento, o que produz um adicional de energia que é
transmitido para as moléculas adjacentes. Estas, por sua vez, trasmitem o excedente de energia
recebida para as moléculas vizinhas, repetindo o processo até chegar à outra extremidadeda
barra.
Figura 4 – Comportamento das moléculas na tranferência de calor por condução.
Fonte: crv.educacao.mg.gov.br (2019).
No capítulo precedente, foram apresentadas algumas considerações sobre a história da
teoria analítica da condução de calor, no qual nos referimos ao matemático e físico francês
Joseph-Baptiste Fourier como o pioneiro a fazer um estudo aprofundado sobre a transferência de
calor via mecanismo de condução. Graças a ele, a física-matemática possui hoje uma fórmula
que dá respostas sobre a rapidez com que o calor é transmitido por condução.
4.2 CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL
Conforme retrata Oliveira (2016), consideremos uma barra finita, de comprimento L,
largura R e espessura T feita de material homogêneo condutor de calor, cuja seção transversal
possui área S. Suponhamos que a superfície lateral da barra encontra-se em isolamento térmico
e que a barra é fina o bastante para que a transferência de calor com o meio externo ocorra
unicamente nas extremidades da barra. O fato do material ser uniforme e ter suas laterais isoladas
21
implica que o fluxo de calor ocorre somente na direção longitudinal, de modo que o problema é
descrito uma dimensão. Portanto, a temperatura pode ser considerada constante em cada seção
transversal da barra e variar de uma secção para outra, conforme as propriedades da condução.
Figura 5 – Barra uniforme com isolamento térmico posicionada sobre os eixos cartesianos.
Fonte: Acervo do autor (2019).
O estudo da propagação do calor neste modelo exige uso e discussão sobre a Lei de
Resfriamento de Fourier.
4.3 LEI DE RESFRIAMENTO DE FOURIER
De acordo com a lei de Resfriamento de Fourier, sejam P1 e P2 duas placas com áreas
iguais a S, mantidas a temperaturas constantes θ1 e θ2, nesta ordem, sendo P1 paralela a P2 com
uma distância d entre elas. Então, haverá transferência de calor da placa de maior temperatura
para a placa de menor temperatura e a quantidade de calor por unidade de tempo, transmitida de
uma placa à outra, será dada por
Q = αS
|θ2−θ1|
d
(4.1)
onde α > 0 é o coeficiente de condutibilidade térmica do material existente entre as placas. Tal
como Figueiredo (2005), a Lei de Resfriamento possibilita o estudo da condução do calor ao
longo da barra.
Seja u(x, t) a temperatura de um ponto arbitrário de abcissa x imerso na situação indicada
pela figura 6. Note que a temperatura deste ponto é independente das demais coordenadas
espaciais y e z.
22
Figura 6 – Secções P1 e P2 da barra, separadas por uma distância d.
Fonte: Acervo do autor (2019).
Tomemos duas secções transversais da barra localizadas em x e x+d e vamos imaginar
que tais secções são representadas respectivamente pelas placas P1 e P2 conforme a figura 6. Uma
vez que a temperatura nestas placas variam com o tempo, não é possível aplicar a lei de Fourier,
visto que a mesma considera constantes as temperaturas em cada um dos cortes transversais. Para
contornar esse obstáculo, introduziremos a grandeza fluxo de calor que atravessa uma secção x,
num instate de tempo t,antes realizando o procedimento seguinte:
Calculemos o limite de (4.1) com d tendendo a 0, mantendo t fixo e assumindo θ2 =
u(x+d, t) e θ1 = u(x, t), de modo que
lim
d→0
Q = lim
d→0
αS
|θ2−θ1|
d
= αS lim
d→0
|u(x+d, t)−u(x, t)|
d
,
lim
d→0
Q = αSux(x, t)
Assim, definimos o fluxo de calor no sentido positivo do eixo x como uma função
q(x, t) =−αSux(x, t). (4.2)
O sinal de menos decorre da seguinte análise: se u crescer junto com x no intervalo
(x,x+d), ux seria positiva, mas como u(x, t)a qual a função incógnita está definida e ao substituir as derivadas que ocorrem
no problema por aproximações envolvendo diferenças progressivas, regressivas ou centradas
(SOUZA, 2009). Nesse sentido, dizemos que o problema foi discretizado sempre que as derivadas
forem substituidas pela razão incremental que converge para o valor da derivada à medida que o
incremento tender a zero.
5.1.1 Discretização do domínio
Os propósitos deste trabalho exigem uma discretização completa do problema, tanto em
sua dimensão espacial, quanto em sua dimensão temporal. Sendo assim, em primeira instância
particionamos o dominio [0,L]× [0,T ] da função u(x, t) mediante linhas paralelas aos eixos x e t,
igualmente espaçadas por intervalos ∆x e ∆t, respectivamente, construindo o que denominamos
de malha. As linhas paralelas aos eixos passarão por coordenadas x j e tn, com
x j = j∆x e tn = n∆t j = 0,1, . . . ,J,J+1 n = 0,1, . . . ,N,N +1,
originando os pontos da malha, como ilustra a figura 7.
Segundo Souza (2009), tal processo é chamado de discretização do domínio, uma vez
que permite aproximar um problema contínuo por um problema discreto e finito.
26
Figura 7 – Domínio discretizado.
Fonte: Acervo do autor (2019).
5.1.2 Discretização das derivadas
Para obtermos aproximações un
j ≈ u(x j, tn) da solução da função u(x, t) sobre os pontos
da malha, é necessário discretizar as derivadas parciais envolvidas na equação diferencial uti-
lizando diferenças entre os valores de un
j para pontos na vizinhança de (x j, tn). A ferramenta
matemática utilizada no cálculo de aproximações para as derivadas é a Série de Taylor, o que
motiva a enunciação do teorema seguinte.
Teorema 5.1 Seja u uma função derivável até a ordem (k+ 1) em x, então para cada (x j, tn)
existe um número ξ1 ∈ [x j,x j+1] tal que
u(x j+1, tn) = u(x j, tn)+
∂u
∂x
(x j, tn)∆x+ · · ·+ ∂ku
∂xk (x j, tn)
∆xk
k!
+
∂(k+1)u
∂x(k+1)
(ξ1, tn)
∆x(k+1)
(k+1)!
, (5.1)
onde o último termo de (5.1) representa o erro na aproximação da expansão pelo polinômio de
Taylor de ordem k e ∆x = x j+1− x j.
Considerando u(x, t) com derivadas até a ordem (k+1) em x e em t, verifica-se também
que é possível descrever:
u(x j−1, tn) = u(x j, tn)−
∂u
∂x
(x j, tn)∆x+ · · ·− ∂ku
∂xk (x j, tn)
∆xk
k!
+
∂(k+1)u
∂x(k+1)
(ξ2, tn)
∆x(k+1)
(k+1)!
, (5.2)
com ξ2 ∈ [x j−1,x j] e ∆x = x j− x j−1.
De modo análogo para a variável t
u(x j, tn+1) = u(x j, tn)+
∂u
∂t
(x j, tn)∆t + · · ·+ ∂ku
∂tk (x j, tn)
∆tk
k!
+
∂(k+1)u
∂t(k+1)
(η1, tn)
∆t(k+1)
(k+1)!
, (5.3)
27
com erro η1 ∈ [tn, tn+1] e
u(x j, tn−1) = u(x j, tn)−
∂u
∂t
(x j, tn)∆t + · · ·− ∂ku
∂tk (x j, tn)
∆tk
k!
+
∂(k+1)u
∂t(k+1)
(η2, tn)
∆t(k+1)
(k+1)!
, (5.4)
com erro η2 ∈ [tn−1, tn] e ∆t = tn− tn−1.
5.1.3 Operadores de diferenças
A partir da equação (5.3) podemos determinar o operador de diferenças progressivas para
a derivada de primeira ordem no tempo realizando um truncamento com k = 1, de maneira que
u(x j, tn+1) = u(x j, tn)+
∂u
∂t
(x j, tn)∆t +O(∆t2). (5.5)
donde segue
∂u
∂t
(x j, tn) =
u(x j, tn+1)−u(x j, tn)
∆t
+O(∆t). (5.6)
sendo O(∆t) :=−O(∆t2)
∆t , o que nos faz utilizar e definir (5.6) sob notação mais apropriada
∂tun
j :=
un+1
j −un
j
∆t
, (5.7)
com erro residual da ordem de O(∆t) no tempo.
O leitor pode verificar que um procedimento análogo permite determinar o operador de
diferenças progressivas para a derivada espacial de primeira ordem.
Por outro lado, a partir da equação (5.4) é possivel encontrar o operador de diferenças
regressivas para a derivada de primeira ordem no tempo realizando um truncamento com k = 1,
de forma que
u(x j, tn−1) = u(x j, tn)−
∂u
∂t
(x j, tn)∆t +O(∆t2). (5.8)
donde segue
∂u
∂t
(x j, tn) =
u(x j, tn)−u(x j, tn−1)
∆t
+O(∆t). (5.9)
sendo O(∆t) := O(∆t2)
∆t , o que nos faz utilizar e definir (5.9) sob notação mais adequada
∂tun
j :=
un
j −un−1
j
∆t
, (5.10)
com erro residual da ordem de O(∆t) no tempo.
28
O leitor pode também verificar que um procedimento análogo permite encontrar o
operador de diferenças regressivas para a derivada espacial de primeira ordem.
Noutra perspectiva, a partir de truncamentos com k = 3 nas equações (5.1) e (5.2) é
possivel encontrar o operador de diferenças centradas para a derivada espacial de segunda ordem,
de tal modo que
u(x j+1, tn) = u(x j, tn)+
∂u
∂x
(x j, tn)∆x+
∂2u
∂x2 (x j, tn)
∆x2
2!
+
∂3u
∂x3 (x j, tn)
∆x3
3!
+O1(∆x4)
e
u(x j−1, tn) = u(x j, tn)−
∂u
∂x
(x j, tn)∆x+
∂2u
∂x2 (x j, tn)
∆x2
2!
− ∂3u
∂x3 (x j, tn)
∆x3
3!
+O2(∆x4).
Adicionando as equações acima, obtemos
u(x j+1, tn)+u(x j−1, tn) = 2u(x j, tn)+
∂2u
∂x2 (x j, tn)∆x2 +O(∆x2)
e consequentemente
∂2u
∂x2 (x j, tn)∆x2 =
u(x j+1, tn)−2u(x j, tn)+u(x j−1, tn)
∆x2 , (5.11)
onde O(∆x2) := O1(∆x4)+O2(∆x4)
∆x2 , motivando-nos definir (5.11) sob a seguinte notação
∂
2
xxun
j =
un
j+1−2un
j +un
j−1
∆x2 , (5.12)
com erro residual da ordem de O(∆x2) no espaço.
5.2 CONSISTÊNCIA, ESTABILIDADE E CONVERGÊNCIA
Uma das exigências requeridas ao se utilizar um esquema numérico é que o mesmo tenha
precisão ao aproximar a solução de um dado fenômeno, de modo que a solução numérica esteja
tão próxima quanto se queira da solução exata da EDP associada. A expressão "tão próxima
quanto se queira"está matematicamente relacionada ao o conceito de convergência, pois caso
a solução numérica convirja para a solução exata, a análise da descrição do fenômeno estará
condizente com o que se vê na realidade.
Para melhor definirmos os significados de convergência da solução de uma EDP discreti-
zada via diferenças finitas para sua solução analítica, é importante realizarmos uma abordagem
a partir de conceitos de consistência e estabilidade, relaciondo-os através do Teorema de Lax
(FERREIRA; LIMA, 2010). Antes disso, definamos erro de truncamento local e erro global
Definição 5.2.1. O erro de truncamento local é o erro incrementado em cada passo pelo trunca-
mento de uma equação diferencial aproximada através de fórmulas de diferenças, admitindo ser
29
conhecida o valor exato da solução na origem do intervalo. Nessa perspectiva, seja u(x j, tn) a
solução exata no ponto (x j, tn) da malha e τn
j o erro de truncamento local envolvido no cálculo
de un
j+1, define-se
τ
n
j :=
u(x j+1, tn)−un
j+1
∆x
onde ∆x é o passo da malha.
Definição 5.2.2. O erro global no ponto tn é definido por:
en
j = u(x j, tn)−un
j ,
onde u(x j, tn) é a solução exata calculada em cada ponto da discretização e un
j é a solução
numérica aproximada.
Definição 5.2.3. (Consistência) Uma equação de diferenças finitas é consistente com uma EDP
se:
τ
n
j −→ 0 quando {∆x,∆t} −→ 0.
Definição 5.2.4. (Estabilidade) Um esquema numérico de diferenças finitas é estável se existe
uma constante M > 0 tal que
‖en
j‖a estabilidade de um problema de valor inicial bem posto, por
uma discretização consistente, como condição necessária e suficiente para a convergência das
soluções numéricas para a solução exata do problema.
A partir destes resultados conseguimos garantir que um esquema numérico em diferenças
finitas converge para a solução exata.
31
6 MODELAGEM COMPUTACIONAL
A partir dos operadores de diferenças finitas estudados anteriormente, podemos encontrar
uma solução mais simples do que a determinada analiticamente em Figueiredo (2005) com o
método de Fourier. Para tanto, descrevemos o procedimento a seguir com base na equação do
calor.
6.1 ESQUEMA EXPLÍCITO PARA A EQUAÇÃO DO CALOR
Sem perda de generalidade, consideremos K = 1 no caso homogêneo da equação do
calor, ut(x, t)−Kuxx(x, t) = 0. Para que possamos resolvê-la, aproximaremos a primeira derivada
(derivada temporal) e segunda derivada (derivada espacial) por operadores de diferenças finitas
progressivas e centradas, respectivamente, de modo que obtemos
un+1
j −un
j
∆t
−
un
j+1−2un
j +un
j−1
∆x2 = 0. (6.1)
Realizando as seguintes manipulações algébricas, encontramos um esquema numérico
explícito no qual a solução num dado instante de tempo depende da solução em instantes de
tempo anteriores, o que é bastante interessante em termos de implementação,
un+1
j −un
j
∆t
−
un
j+1−2un
j +un
j−1
∆x2 = 0,
∆x2(un+1
j −un
j)−∆t(un
j+1−2un
j +un
j−1) = 0,
(un+1
j −un
j)−
∆t
∆x2 (u
n
j+1−2un
j +un
j−1) = 0,
un+1
j = un
j +
∆t
∆x2 (u
n
j+1−2un
j +un
j−1),
un+1
j = (1−2
∆t
∆x2 )u
n
j +
∆t
∆x2 (u
n
j+1 +un
j−1),
un+1
j = (1−2σ)un
j +σ(un
j+1 +un
j−1), (6.2)
em que σ = ∆t
∆x2 .
A seguir, na figura (8), ilustramos a molécula do esquema explícito (à esquerda), ao
evidenciar que o cálculo de un+1
j é feito a partir dos 3 valores num tempo anterior, un
j+1, un
j , un
j−1.
Na figura da direita, ilustramos como o valor de un+1
j depende sucessivamente dos valores
situados na base da pirâmide cuja inclinação será definida pela razão entre os passos ∆t e ∆x.
32
Figura 8 – Esquema Explícito para a Equação do Calor.
Fonte: Acervo do autor (2019).
Sem o conhecimento dos valores nas extremidades laterais este esquema dependeria
apenas dos valores iniciais u0
j da base da pirâmide. Por outro lado, o conhecimento de un
0 e
un
J+1 permite completar de maneira automática os valores das extremidades esquerda e direita,
respectivamente.
Além disso, poderíamos imaginar que aumentando o valor de ∆t em relação ao valor de
∆x, preveríamos a solução com maior rapidez. Contudo, para que isso possa ocorrer, é necessário
que alguns critérios sejam obedecidos. Dessa forma, abordaremos os conceitos de Consistência,
Estabilidade e Convergência para o caso do esquema explícito (6.2).
6.1.1 Consistência do método
Conforme Alves (2008), a consistência de um esquema é uma noção local, capaz de
medir a qualidade da aproximação local. Para tanto, devemos comparar os novos valores dados
pelo esquema, assumindo que os anteriores não possuiam erro de aproximação e eram, portanto,
exatos. Desta maneira, seja un+1
j os novos valores obtidos pelo esquema, a sua diferença em
relação ao valor exato u(x j, tn+1) medirá a consistência. Mais concretamente, temos um erro de
truncamento local
en+1
j = u(x j, tn+1)−un+1
j ,
onde u(x j, tn+1) é conforme o desenvolvimento de (6.2), entretanto refere-se a valores exatos.
Assim
u(x j, tn+1) = u(x j, tn)+
∆t
∆x2 (u(x j+1, tn)−2u(x j, tn)+u(x j−1, tn)).
A ordem de consistência do esquema é geralmente definida pelo valor p em
u(x j, tn+1)−un+1
j
∆t
= O(hp),
em que h = max{∆t,∆x}. Nessa perspectiva, decorre por expansão em série de Taylor,
33
u(x j, tn+1) = un+1
j +O(∆t∆x2)+O(∆t2)
mostrando que a consistência do esquema explícito é de ordem 1.
6.1.2 Estabilidade do método
Conforme a definição (5.2.4), o esquema explicíto (6.2) será considerado estável se existir
uma constante M > 0 tal que,
‖en
j‖parabólico, portanto é
quadrática, e possui o formato canônico a seguir
u0(x) = a(x− xv)
2 +uv, x ∈ I ⊂ R. (6.6)
onde xv e uv denotam o ponto de máximo e o valor máximo da função u0(x), respectivamente.
Assim, xv = L/2 e uv = θ.
Por outro lado, sejam a,b e c coeficientes de uma função quadrática, temos as relações
xv =
L
2
=− b
2a
e
uv = θ =−(b2−4ac)
4a
.
36
Aqui podemos admitir c = 0, pois u(0, t) = 0. Realizando as devidas manipulações algébricas,
determina-se o coeficiente a em função da temperatura e do comprimento da barra,
a =−4θ
L2 .
Diante disto, a forma canônica (6.6) da lugar a função quadrática abaixo, que descreve o
problema específico apresentado
u0(x) =−
4θ
L2
(
x− L
2
)2
+θ, x ∈ [0,L],
ou melhor,
u0(x) =−
4θ
L2 x(x−L), x ∈ [0,L]. (6.7)
6.4 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS
Nesta seção, apresentamos algumas simulações numéricas do problema proposto e
analizamos os diferentes cenários e resultados com base no critério de estabilidade visto na
secção 6.1. Tais simulações puderam ser realizadas via software Octave 5.1.0, instalado em um
computador com sistema operacional Windows 10 64-bit e processador Intel(R) Pentium(R)
CPU N3540 @ 2.16GHz (os códigos constam em Anexo).
.
• SIMULAÇÃO No1. Domínio [0,L]× [0,T ] = [0,20]× [0,30], discretizado em 20 e 60
partes respectivamente; (vide solução numérica, figuras 9-(a) e 9-(b)).
• SIMULAÇÃO No2. Domínio [0,L]× [0,T ] = [0,20]× [0,30], discretizado em 20 e 55
partes respectivamente; (vide solução numérica, figuras 9-(c) e 9-(d)).
• SIMULAÇÃO No3. Domínio [0,L]× [0,T ] = [0,20]× [0,30], discretizado em 30 e 140
partes respectivamente; (vide solução numérica, figuras 9-(e) e 9-(f)).
• SIMULAÇÃO No4. Domínio [0,L]× [0,T ] = [0,20]× [0,30], discretizado em 30 e 129
partes respectivamente; (vide solução numérica, figuras 9-(g) e 9-(h)).
• SIMULAÇÃO No5. Domínio [0,L]× [0,T ] = [0,20]× [0,60], discretizado em 20 e 130
partes respectivamente; (vide solução numérica, figuras 10-(a) e 10-(b)).
• SIMULAÇÃO No6. Domínio [0,L]× [0,T ] = [0,20]× [0,60], discretizado em 20 e 115
partes respectivamente; (vide solução numérica, figuras 10-(c) e 10-(d)).
• SIMULAÇÃO No7. Domínio [0,L]× [0,T ] = [0,20]× [0,60], discretizado em 30 e 300
partes respectivamente; (vide solução numérica, figuras 10-(e) e 10-(f)).
• SIMULAÇÃO No8. Domínio [0,L]× [0,T ] = [0,20]× [0,60], discretizado em 30 e 264
partes respectivamente; (vide solução numérica, figuras 10-(g) e 10-(h)).
37
Figura 9 – Simulações de soluções numéricas (à esquerda) e respectivas soluções no último
passo de tempo (à direita) em um domínio retangular [0,20]× [0,30].
Fonte: Acervo do autor (2019).
38
Figura 10 – Simulações de soluções numéricas (à esquerda) e respectivas soluções no último
passo de tempo (à direita) em um domínio retangular [0,20]× [0,60].
Fonte: Acervo do autor (2019).
39
As simulações No1, No3, No5 e No7 possuem constantes σ1 = 0.5, σ3 = 0.482142857,
σ5 = 0.461538462 e σ7 = 0.45 atendendo ao critério de estabilidade σ = (∆t/∆x2)≤ 0.5, visto
na seção 6.1. Dessa forma, são convergentes as soluções numéricas obtidas nestes testes, como
também sugerem os gráficos 9-(a) e 9-(b), 9-(e) e 9(f), 10-(a) e 10-(b) e 10-(e) e 10-(f).
Por outro lado, as simulações No2, No4, No6 e No8 possuem constantes σ2 = 0.545454545,
σ4 = 0.523255814, σ6 = 0.52173913 e σ8 = 0.511363636 e, portanto, não atendem ao critério
de estabilidade σ = (∆t/∆x2)≤ 0.5. Dessa forma, as soluções encontradas não são convergentes,
como também sugerem os gráficos 9-(c) e 9-(d), 9-(g) e 9(h), 10-(c) e 10-(d) e 10-(g) e 10-(h).
40
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste trabalho, pudemos verificar a eficácia do Método das Diferenças Finitas em
simulações computacionais de um modelo matemático de condução de calor unidimensional,
desde que atendidas as condições iniciais e o critério de estabilidade discutidos e apresentados,
uma vez que estes implicam na confiabilidade ou não das soluções numéricas. Além disso, os
resultados obtidos e plotados graficamente nos permite uma melhor visualização de como ocorre
a dinâmica numérica em diferenças finitas.
Embora existam meios analíticos de resolução da equação de condução de calor discutida
neste trabalho, vale também ressaltar a grande importância e potencial do ambiente compu-
tacional utilizado, o qual nos possibilita realizar simulações em uma variedade de cenários,
considerando os devidos ajustes.
41
REFERÊNCIAS
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SOUZA, Nadson de. Metodos de diferenças finitas: conceitos e interpretações. 2009. 78 p.
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15 set. 2019.
43
APÊNDICE A - CÓDIGOS EXECUTADOS NO GNU OCTAVE
Figura 11 – Códigos - Simulação No1
Fonte: Acervo do autor (2019).
44
Figura 12 – Códigos - Simulação No2
Fonte: Acervo do autor (2019).
45
Figura 13 – Códigos - Simulação No3
Fonte: Acervo do autor (2019).
46
Figura 14 – Códigos - Simulação No4
Fonte: Acervo do autor (2019).
47
Figura 15 – Códigos - Simulação No5
Fonte: Acervo do autor (2019).
48Figura 16 – Códigos - Simulação No6
Fonte: Acervo do autor (2019).
49
Figura 17 – Códigos - Simulação No7
Fonte: Acervo do autor (2019).
50
Figura 18 – Códigos - Simulação No8
Fonte: Acervo do autor (2019).
	Folha de Rosto
	Dedicatória
	INTRODUÇÃO
	PRIMEIROS CONCEITOS
	MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
	Condução
	Convecção
	Radiação
	ALGUMAS DEFINIÇÕES SOBRE ANÁLISE NUMÉRICA
	Série de Taylor
	Fórmulas de diferenças e ordem de aproximação
	Erros de aproximação numérica
	LINGUAGEM COMPUTACIONAL E O SOFTWARE OCTAVE
	Sintaxe e alguns comandos do software
	NOTAS HISTÓRICAS SOBRE A TEORIA ANALÍTICA DO CALOR DE JOSEPH FOURIER
	MODELO MATEMÁTICO: CONDUÇÃO DE CALOR
	TRASFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO
	CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL
	LEI DE RESFRIAMENTO DE FOURIER
	MÉTODOS NUMÉRICOS
	MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
	Discretização do domínio
	Discretização das derivadas
	Operadores de diferenças
	CONSISTÊNCIA, ESTABILIDADE E CONVERGÊNCIA
	MODELAGEM COMPUTACIONAL
	ESQUEMA EXPLÍCITO PARA A EQUAÇÃO DO CALOR
	Consistência do método
	Estabilidade do método
	Convergência do método
	DISCRETIZAÇÃO DO DOMÍNIO [0,L][0,T]
	O PROBLEMA
	SIMULAÇÕES NUMÉRICAS
	CONSIDERAÇÕES FINAIS
	REFERÊNCIAS
	APÊNDICE A - CÓDIGOS EXECUTADOS NO GNU OCTAVE