fenomenos de transporte

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TransporTe
Prof. Henryck Cesar
Prof. Hungaro Yoshi
Prof. Ramon Gomes de Castro Lourenço
Prof. Rodrigo Orgeda
Fenômenos de
Indaial – 2023
2a Edição
Impresso por:
Elaboração:
Prof. Henryck Cesar
Prof. Hungaro Yoshi
Prof. Ramon Gomes de Castro Lourenço
Prof. Rodrigo Orgeda
Copyright © UNIASSELVI 2023
 Revisão, Diagramação e Produção:
Equipe Desenvolvimento de Conteúdos EdTech
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada pela equipe Conteúdos EdTech UNIASSELVI
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO LEONARDO DA VINCI.
Núcleo de Educação a Distância. CESAR, Henryck.
Fenômenos de Transporte. Henryck Cesar; Hungaro Yoshi; Ramon Gomes de 
Castro Lourenço; Rodrigo Orgeda. Indaial - SC: Arqué, 2023.
304p.
ISBN 978-65-5646-586-9
ISBN Digital 978-65-5646-587-6
“Graduação - EaD”.
1. Fenômenos 2. Transporte 3. Engenharia 
CDD 620.106
Bibliotecário: João Vivaldo de Souza CRB- 9-1679
Olá, acadêmico! Seja bem-vindo ao Livro Didático de Fenômenos de Transporte, 
que iniciará os seus estudos acerca de uma disciplina fundamental para a maioria dos 
cursos de Engenharia, uma vez que busca explicar como as transferências de momento 
(mecânica dos fluidos), de calor e de massa acontecem na natureza. Esse entendimento 
permite desenvolver processos e equipamentos para diversas aplicações, mas, mais do 
que isso, desenvolverá a habilidade de observar e analisar os fenômenos da natureza.
Para tomar uma xícara de chá, precisa-se de água, a qual é fornecida por longos 
sistemas de abastecimento, os quais contam com tubulações, bombas, válvulas e caixas 
d’água. Entender quais são as energias associadas ao escoamento de um fluido (nesse 
caso, o fluido é a água) é um clássico problema de mecânica dos fluidos, um conteúdo 
que será abordado nas Unidades 1 e 2.
Após colocar a água em um recipiente, será necessário aquecê-la. Isso pode 
ser feito de diferentes maneiras, mas consiste, essencialmente, em adicionar energia 
à água até alcançar a temperatura desejada – um problema de transferência de calor, 
assunto que estudaremos na Unidade 2. Por fim, resta apenas colocar o saquinho de 
chá nessa água, iniciando um processo de infusão – moléculas que dão aroma e sabor 
saem das ervas do chá e são transportadas para a água, processo que está relacionado 
à transferência de massa, que será discutida na Unidade 3.
Nesse momento, podem surgir algumas dúvidas, como: qual potência seria 
necessária para que a bomba seja capaz de escoar a água da estação de tratamento 
até as torneiras de casa? Haverá diferença em fazer o chá em um dia mais frio ou em um 
dia mais quente? Quanto tempo levará até que a infusão esteja completa? Quanto o chá 
terá esfriado por estar exposto ao ambiente? O estudo dos fenômenos de transporte 
procura responder a perguntas como essas, presentes desde situações mais simples do 
cotidiano até aplicações complexas, por estarem inseparavelmente ligadas à natureza.
O objetivo deste livro é dar um enfoque prático à disciplina de Fenômenos de 
Transporte, apontando os caminhos que você, como futuro engenheiro, deverá seguir, 
caso necessite se aprofundar em qualquer um dos assuntos abordados. Assim, aproveite 
o processo de aprendizagem e entenda que só não gostamos daquilo que sabemos 
pouco, então, siga o fluxo de leitura mesmo que, naquele momento, você não tenha 
entendido algum termo – lá na frente, ele poderá fazer sentido ou você pode buscá-
lo em outras fontes. Saber pesquisar é uma das competências que esperamos de um 
profissional de Engenharia. Quando tudo se conectar em sua mente, você comprovará 
que o conhecimento é realmente libertador!
Bons estudos!
Prof. Henryck Cesar
Prof. Hungaro Yoshi
Prof. Ramon Gomes de Castro Lourenço
Prof. Rodrigo Orgeda
APRESENTAÇÃO
GIO
Olá, eu sou a Gio!
No livro didático, você encontrará blocos com informações 
adicionais – muitas vezes essenciais para o seu entendimento 
acadêmico como um todo. Eu ajudarei você a entender 
melhor o que são essas informações adicionais e por que você 
poderá se beneficiar ao fazer a leitura dessas informações 
durante o estudo do livro. Ela trará informações adicionais 
e outras fontes de conhecimento que complementam o 
assunto estudado em questão.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos 
os acadêmicos desde 2005, é o material-base da disciplina. 
A partir de 2021, além de nossos livros estarem com um 
novo visual – com um formato mais prático, que cabe na 
bolsa e facilita a leitura –, prepare-se para uma jornada 
também digital, em que você pode acompanhar os recursos 
adicionais disponibilizados através dos QR Codes ao longo 
deste livro. O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura 
interna foi aperfeiçoada com uma nova diagramação no 
texto, aproveitando ao máximo o espaço da página – o que 
também contribui para diminuir a extração de árvores para 
produção de folhas de papel, por exemplo.
Preocupados com o impacto de ações sobre o meio ambiente, 
apresentamos também este livro no formato digital. Portanto, 
acadêmico, agora você tem a possibilidade de estudar com 
versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador.
Preparamos também um novo layout. Diante disso, você 
verá frequentemente o novo visual adquirido. Todos esses 
ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos 
nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos, 
para que você, nossa maior prioridade, possa continuar os 
seus estudos com um material atualizado e de qualidade.
Acadêmico, você sabe o que é o ENADE? O Enade é um 
dos meios avaliativos dos cursos superiores no sistema federal de 
educação superior. Todos os estudantes estão habilitados a participar 
do ENADE (ingressantes e concluintes das áreas e cursos a serem 
avaliados). Diante disso, preparamos um conteúdo simples e objetivo 
para complementar a sua compreensão acerca do ENADE. Confira, 
acessando o QR Code a seguir. Boa leitura!
Olá, acadêmico! Para melhorar a qualidade dos materiais ofertados a você – 
e dinamizar, ainda mais, os seus estudos –, nós disponibilizamos uma diversidade de QR 
Codes completamente gratuitos e que nunca expiram. O QR Code é um código que permite 
que você acesse um conteúdo interativo relacionado ao tema que você está estudando. Para 
utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos e baixe um leitor de QR Code. Depois, 
é só aproveitar essa facilidade para aprimorar os seus estudos.
ENADE
LEMBRETE
Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma 
disciplina e com ela um novo conhecimento. 
Com o objetivo de enriquecer seu conheci-
mento, construímos, além do livro que está em 
suas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, 
por meio dela você terá contato com o vídeo 
da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complementa-
res, entre outros, todos pensados e construídos na intenção de 
auxiliar seu crescimento.
Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que 
preparamos para seu estudo.
Conte conosco, estaremos juntos nesta caminhada!
QR CODE
SUMÁRIO
UNIDADE 1 — INTRODUÇÃO AOS FENÔMENOS DE TRANSPORTE E À MECÂNICA 
DOS FLUIDOS .................................................................................................. 1
TÓPICO 1 — CONCEITOS DOS FENÔMENOS DE TRANSPORTE E DA MECÂNICA DOS 
FLUIDOS .............................................................................................................5
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................................5
2 LEIS DE CONSERVAÇÃO, DIMENSÕES E UNIDADES DE MEDIDA ....................................5
2.1 LEIS DE CONSERVAÇÃO ..................................................................................................................... 6
2.2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS ............................................................................................................8
2.2.1 Dimensões e unidades de medida ..........................................................................................9
2.2.2 Frações mássicas e molares .................................................................................................. 11
3 BALANÇO MATERIAL ........................................................................................................ 16
3.1 SISTEMAS ............................................................................................................................................. 16
3.2 SISTEMAS COM MÚLTIPLOS COMPONENTES...............................................................................21
3.3 ESTRATÉGIAS PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ..................................................................25
4 RECICLO, BYPASS E PURGA ........................................................................................... 30
4.1 RECICLO .................................................................................................................................................30
4.2 BYPASS E PURGA ...............................................................................................................................35
5 FLUIDO E A LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE .............................................................. 40
5.1 O CONCEITO DE FLUIDO ................................................................................................................... 40
5.2 TENSÃO DE CISALHAMENTO E A LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE ...................................43
5.3 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS .......................................................................................................45
6 ANÁLISE DIMENSIONAL .................................................................................................. 53
6.1 EQUAÇÕES DIMENSIONAIS ...............................................................................................................53
6.2 NÚMEROS ADIMENSIONAIS .............................................................................................................56
RESUMO DO TÓPICO 1 ........................................................................................................ 63
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................. 65
TÓPICO 2 — ESTÁTICA DE FLUIDOS ................................................................................... 69
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 69
2 PRESSÃO E SUAS RELAÇÕES MATEMÁTICAS ............................................................... 69
2.1 O CONCEITO DE PRESSÃO ................................................................................................................69
2.2 LEI DE PASCAL .....................................................................................................................................71
2.3 TEOREMA DE STEVIN E CARGA DE PRESSÃO............................................................................. 74
3 ESCALAS E UNIDADES DE PRESSÃO ..............................................................................76
4 MEDIDORES DE PRESSÃO ............................................................................................... 80
4.1 BARÔMETRO ......................................................................................................................................... 81
4.2 MANÔMETRO DE BOURDON ............................................................................................................82
4.3 PIEZÔMETRO (COLUNA PIEZOMÉTRICA) ......................................................................................83
4.4 TUBO EM U .......................................................................................................................................... 84
5 EQUAÇÃO MANOMÉTRICA .............................................................................................. 86
6 EMPUXO ............................................................................................................................ 92
RESUMO DO TÓPICO 2 .........................................................................................................97
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................. 98
TÓPICO 3 — CINEMÁTICA DE FLUIDOS ............................................................................. 101
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 101
2 CARACTERIZAÇÃO DO ESCOAMENTO .......................................................................... 101
2.1 VISCOSO OU NÃO VISCOSO .............................................................................................................101
2.2 INTERNO OU EXTERNO ...................................................................................................................102
2.3 COMPRESSÍVEL OU INCOMPRESSÍVEL ......................................................................................103
2.4 NATURAL OU FORÇADO..................................................................................................................105
2.5 PERMANENTE OU TRANSIENTE ...................................................................................................105
2.6 LAMINAR OU TURBULENTO ...........................................................................................................106
2.7 UNIDIMENSIONAL, BIDIMENSIONAL OU TRIDIMENSIONAL ....................................................109
3 TRAJETÓRIA E LINHA DE CORRENTE ........................................................................... 110
4 VAZÃO E VELOCIDADE MÉDIA ....................................................................................... 112
5 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE EM REGIME PERMANENTE ...........................................117
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................... 121
RESUMO DO TÓPICO 3 .......................................................................................................123
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................125
REFERÊNCIAS ....................................................................................................................128
UNIDADE 2 — BALANÇO DE ENERGIA MACROSCÓPICO E TRANSFERÊNCIA 
DE CALOR ....................................................................................................129
TÓPICO 1 — EQUAÇÃO DA ENERGIA E SUAS IMPLICAÇÕES ...........................................133
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................133
2 DEFINIÇÕES E TIPOS DE ENERGIAS MECÂNICAS ........................................................133
2.1 ENERGIA POTENCIAL (E
p) ................................................................................................................ 135
2.2 ENERGIA CINÉTICA (Ec) .................................................................................................................. 135
2.3 ENERGIA DE PRESSÃO (Epr) .......................................................................................................... 136
2.4 ENERGIA MECÂNICA TOTAL DO FLUIDO (EM) ............................................................................ 137
3 EQUAÇÃO DE BERNOULLI E SUA APLICAÇÃO EM MEDIDORES DE VELOCIDADE ..... 137
3.1 EQUAÇÃO DE BERNOULLI ...............................................................................................................138
3.2 TUBO DE PITOT ................................................................................................................................. 143
4 EXTENSÕES DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI: TRABALHO E FLUIDOS REAIS ...............148
4.1 BOMBAS E TURBINAS NA EQUAÇÃO DA ENERGIA ...................................................................1484.2 EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA FLUIDOS REAIS ......................................................................... 153
5 ESCOAMENTOS EM CONDUTOS ....................................................................................158
5.1 CONDUTOS E SUAS CARACTERÍSTICAS FÍSICAS ..................................................................... 159
5.2 CAMADA LIMITE HIDRODINÂMICA ............................................................................................... 162
5.2.1 Camada limite em uma placa plana ................................................................................... 162
5.2.2 Camada limite em condutos................................................................................................ 165
6 PERDAS DE CARGA .........................................................................................................166
6.1 PERDA DE CARGA DISTRIBUÍDA ....................................................................................................167
6.2 PERDA DE CARGA LOCALIZADA (SINGULAR) ........................................................................... 174
6.3 INSTALAÇÕES DE RECALQUE .......................................................................................................180
RESUMO DO TÓPICO 1 .......................................................................................................190
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................192
TÓPICO 2 — INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE CALOR .............................................195
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................195
2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS ........................................................................................195
3 CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL ......................................................................................199
3.1 CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE .................................................... 199
3.2 RESISTÊNCIA TÉRMICA .................................................................................................................. 203
4 FUNDAMENTOS DA CONVECÇÃO ..................................................................................210
4.1 LEI DE NEWTON DO RESFRIAMENTO ...........................................................................................210
4.2 CAMADA LIMITE TÉRMICA .............................................................................................................. 212
4.3 CONVECÇÃO EM CIRCUITOS TÉRMICOS ....................................................................................214
5 FUNDAMENTOS DA RADIAÇÃO ......................................................................................218
RESUMO DO TÓPICO 2 ...................................................................................................... 222
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................... 224
TÓPICO 3 — TROCADORES DE CALOR ............................................................................. 227
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 227
2 TIPOS DE TROCADORES DE CALOR ............................................................................. 227
3 TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM TROCADORES .......................................................... 234
3.1 MÉDIA LOGARÍTMICA DAS TEMPERATURAS ............................................................................. 234
3.2 COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR ....................................................... 235
4 ANÁLISE DE TROCADORES DE CALOR ........................................................................ 243
LEITURA COMPLEMENTAR ...............................................................................................251
RESUMO DO TÓPICO 3 ...................................................................................................... 254
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................... 256
REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 259
UNIDADE 3 — INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE MASSA ..........................................261
TÓPICO 1 — MECANISMO DE DIFUSÃO DE MASSA ......................................................... 263
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 263
2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS ....................................................................................... 263
3 DIFUSÃO MÁSSICA .........................................................................................................267
RESUMO DO TÓPICO 1 ...................................................................................................... 282
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................... 283
TÓPICO 2 — MECANISMO DE CONVECÇÃO DE MASSA ................................................... 285
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 285
2 NÚMEROS ADIMENSIONAIS DA TRANSFERÊNCIA DE MASSA ................................... 285
3 CONVECÇÃO MÁSSICA .................................................................................................. 288
RESUMO DO TÓPICO 2 ...................................................................................................... 289
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................... 290
TÓPICO 3 — ANALOGIA ENTRE OS FENÔMENOS DE TRANSPORTE ...............................291
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................291
2 ANALOGIA DE REYNOLDS E SUAS EXTENSÕES ...........................................................291
3 APLICAÇÃO DE CORRELAÇÕES EXPERIMENTAIS ...................................................... 293
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................. 297
RESUMO DO TÓPICO 3 ...................................................................................................... 302
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................... 303
REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 304
1
UNIDADE 1 — 
INTRODUÇÃO AOS 
FENÔMENOS DE 
TRANSPORTE E À MECÂNICA 
DOS FLUIDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
•	 definir	o	que	são	os	fenômenos	de	transporte:	transferência	de	momento	(mecânica	
dos	fluidos),	calor	e	massa,	e	estruturar	os	conceitos	básicos	necessários	para	lidar	
com	problemas	relacionados,	como	conversão	de	unidades	e	fração	mássica;
•	 estudar	o	conceito	de	balanço	material,	abordando	estratégias	de	resolução	e	aplica-
ções,	como	reciclo,	bypass	e	purga;
•	 introduzir	o	estudo	da	mecânica	dos	fluidos,	por	meio	da	conceitualização	dos	flui-
dos,	da	definição	da	tensão	de	cisalhamento	e	dos	conceitos	de	viscosidade	absoluta	
(dinâmica),	massa	específica,	peso	específico	e	viscosidade	cinemática;
•	 estudar	a	teoria	matemática	da	análise	dimensional,	apresentando	a	sua	aplicação	na	
mecânica	dos	fluidos	e	os	números	adimensionais;
•	 resgatar	o	estudo	da	pressão,	por	meio	da	sua	definição,	do	Teorema	de	Stevin,	da	Lei	
de	Pascal	e	do	conceito	de	carga	de	pressão;
•	 determinar	os	diferentes	referenciais	físicos	existentes	para	a	medição	da	pressãoe	
as	principais	unidades	de	medida	empregadas,	assim	como	conhecer	os	principais	
instrumentos	utilizados	para	a	medição	de	pressão	em	diferentes	situações	e	revisar	
a	definição	de	empuxo;
•	 revisitar	os	conceitos	de	regime	permanente	e	transiente,	apresentando	as	defini-
ções	de	escoamento	laminar,	turbulento	e	unidimensional;
•	 trabalhar	com	a	lei	de	conservação	da	massa,	para	definir	a	equação	da	continuidade	
para	o	escoamento	de	fluidos	em	regime	permanente.
2
PLANO DE ESTUDOS
	 A	cada	tópico	desta	unidade	você	encontrará	autoatividades	com	o	objetivo	de	
reforçar	o	conteúdo	apresentado.
TÓPICO	1	–	 CONCEITOS	DOS	FENÔMENOS	DE	TRANSPORTE	E	DA	MECÂNICA	DOS	
FLUIDOS	
TÓPICO	2	–	ESTÁTICA	DE	FLUIDOS
TÓPICO	3	–	CINEMÁTICA	DE	FLUIDOS
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos em frente! Procure 
um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá melhor as informações.
CHAMADA
3
CONFIRA 
A TRILHA DA 
UNIDADE 1!
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QR Code abaixo:
4
5
CONCEITOS DOS FENÔMENOS DE 
TRANSPORTE E DA MECÂNICA DOS 
FLUIDOS
TÓPICO 1 — UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO 
Inicialmente,	sabemos	os	três	fenômenos	de	transporte	podem	ser	estudados	
de	forma	conjunta,	pois	sua	natureza	é	muito	parecida,	sendo,	às	vezes,	até	matemati-
camente	similares	(modelos	matemáticos	semelhantes	para	problemas	análogos).	Isso	
significa	que,	entendendo	o	conceito	de	um	dos	fenômenos,	não	será	difícil	entender	o	
conceito	dos	outros.	Nesse	momento,	você	pode	se	perguntar:	o	que	são	fenômenos	de	
transporte?	Essa	e	outras	perguntas	iniciais	sobre	o	assunto	serão	respondidas	neste	
primeiro	tema	de	aprendizagem.	
Alguns	termos	importantes	serão	definidos,	como	lei	de	conservação.	Aborda-
remos	as	grandezas	e	as	unidades	relevantes	na	Engenharia	e	como	realizar	conversões	
de	unidade	usando	fatores	de	conversão,	algo	que	será	extremamente	importante	para	
resolução	de	vários	problemas.	Em	seguida,	tendo	como	base	o	princípio	de	conserva-
ção	de	massa,	discutiremos	os	balanços	materiais	para	sistemas	não	reativos.	Também	
identificaremos	algumas	correntes	que	possuem	características	particulares	e	são	mui-
to	relevantes	na	indústria,	como	o	reciclo	e	o	bypass.	
Ainda,	veremos	o	conceito	de	fluido	e	suas	propriedades,	e	um	dos	modelos	
matemáticos	mais	famosos	para	sua	descrição	–	a	lei	de	Newton	da	viscosidade.	Por	
fim,	entenderemos	a	importância	da	análise	dimensional	na	resolução	de	problemas	de	
Engenharia.
2 LEIS DE CONSERVAÇÃO, DIMENSÕES E UNIDADES DE 
MEDIDA
Nesse	primeiro	momento,	discutiremos	com	mais	rigor	os	chamados	balanços	
materiais,	pois	se	trata	de	um	conhecimento	fundamental	para	nos	familiarizarmos	com	
o	uso	das	leis	de	conservação.	Além	disso,	esclareceremos	como	lidar	com	conversões	
de	uma	unidade	para	outra	utilizando	fatores	de	conversão.	
6
2.1 LEIS DE CONSERVAÇÃO 
Para	embasar	os	fenômenos	de	transporte,	precisamos,	primeiramente,	definir	
as	chamadas	leis	de	conservação,	com	destaque	para	três	dessas	leis:	Lei	da	Conser-
vação	da	Massa,	Segunda	Lei	de	Newton	e	Primeira	Lei	da	Termodinâmica	(Quadro	1).
Quadro 1 – Leis de conservação e suas equações correspondentes
Fonte: adaptado de Welty; Rorrer; Foster (2017)
Lei Equação
Lei	da	Conservação	da	Massa Equação	da	Continuidade
Segunda	Lei	de	Newton Teorema	do	Momento
Primeira	Lei	da	Termodinâmica Equação	da	Energia
Leis de conservação definem que uma propriedade de um 
sistema isolado não varia ao longo do tempo. Em outras pala-
vras: a propriedade não se cria nem é destruída. Dessa forma, 
para cada relação de conservação, há uma equação de balanço, 
que é obedecida pelo sistema (WELTY; RORRER; FOSTER, 2017).
NOTA
As	leis	de	conservação	são	mais	facilmente	entendidas	observando-se	a	forma	
genérica	das	equações	de	balanço:	
Podemos	citar,	como	exemplo	de	 lei	de	conservação	da	massa:	o	sistema	de	
uma	pia	de	cozinha,	em	que,	ao	abrirmos	a	torneira,	permitimos	uma	entrada	de	água	
no	sistema.	A	água	desce	pelo	ralo,	que,	por	sua	vez,	é	a	saída	de	água	do	sistema.	Se	
tamparmos	o	ralo,	fechamos	a	saída	do	sistema,	de	modo	que	a	pia	começa	a	encher	–	
este	é	o	acúmulo	do	sistema.	
Evidentemente,	desconsideramos	outras	possíveis	saídas	ou	entradas	de	água	
(como	a	evaporação	da	água	para	a	atmosfera),	mas	o	intuito	é	observarmos	a	natureza	
das	leis	de	conservação:	tudo	que	entra	no	sistema,	ou	sai	ou	fica.	Apesar	de	soar	como	
um	conceito	bastante	simples	ou,	até	mesmo,	óbvio,	as	leis	de	conservação	são	instru-
mentos	essenciais	para	o	entendimento	dos	fenômenos	de	transporte.
7
Acadêmico, uma segunda observação fundamental, acerca 
dos fenômenos de transporte, é a noção de força motriz. 
Se há um desequilíbrio de uma propriedade em um meio, 
a natureza tende a redistribuí-la até que um equilíbrio seja 
estabelecido – a esta tendência é dado o nome de força mo-
triz, frequentemente, descrita no contexto dos fenômenos de 
transporte como os “gradientes”:
• Mecânica dos fluidos: gradiente de momento.
• Transferência de calor: gradiente de temperatura.
• Transferência de massa: gradiente de concentração.
IMPORTANTE
A	Figura	1	apresenta	o	conceito	de	“gradiente”	de	temperatura.	O	objeto	apre-
sentado,	semelhante	a	um	cilindro	metálico,	tem	duas	extremidades,	e	a	sua	cor	está	
representada	de	acordo	com	a	temperatura	em	cada	ponto	do	objeto.	A	parte	azul	está	a	
uma	temperatura	menor,	enquanto	a	parte	avermelhada	está	a	uma	temperatura	maior.	
A	variação	de	temperatura,	ao	longo	da	superfície,	é	gradativa,	aumentando	da	extremi-
dade	azul	até	a	vermelha.	Essa	variação	gradativa	é	o	chamado	gradiente	de	tempera-
tura.	Os	gradientes	de	momento	e	concentração	funcionam	de	maneira	análoga.
Figura 1 – Gradiente de temperatura
Fonte: os autores
8
Nesse	exemplo,	a	tendência	da	natureza	é	fazer	com	que	a	temperatura	da	su-
perfície	fique	uniforme,	transferindo	energia	da	parte	mais	quente	para	a	parte	mais	fria	
(considerando	apenas	a	superfície,	sem	nenhuma	 interferência	externa,	promovendo	
seu	aquecimento	ou	seu	resfriamento).	Isso	acontece	molécula	a	molécula,	por	meio	de	
movimentos	aleatórios	e	colisões	entre	elas	–	um	processo	de	difusão	molecular,	que	
pode	ser	descrito	por	equações.	A	Tabela	1	compara	as	equações	para	as	três	proprie-
dades	em	estudo.
Tabela 1 – Equações unidimensionais para os fenômenos de difusão
Fonte: adaptada de Hauke (2008)
Propriedade Lei Equação
Momento Lei	de	Newton	da	Viscosidade
Calor Lei	de	Fourier	da	Condução	Térmica
Massa Lei	de	Fick	da	Difusão
Nesse momento, é importante notarmos a semelhança entre 
as equações apresentadas na Tabela 1, que são exemplos do 
que foi dito no início quanto aos modelos matemáticos serem 
semelhantes para problemas análogos. Essas equações serão 
apresentadas apenas para ilustrar essa relação, sendo detalha-
das gradativamente ao longo deste livro.
ESTUDOS FUTUROS
2.2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Até	aqui,	conhecemos	o	que	são	os	chamados	fenômenos	de	transporte	e	de	
que	maneira	os	observamos	na	natureza.	A	partir	de	agora,	iniciaremos	um	estudo	mais	
direcionado	à	definição	de	alguns	conceitos	básicos,	para	entendermos	e	interpretar-
mos	os	problemas	que	podem	ser	encontrados	durante	todo	o	curso,	mesmo	que	alguns	
desses	conceitos	já	tenham	sido	estudados	em	disciplinas	básicas	de	química	e	física.	O	
intuito	é	fazer	isso	da	forma	mais	objetiva	e	direta	possível,	para	que	possamos	progredir	
no	estudo	dos	fenômenos	de	transporte	com	tranquilidade.	Além	disso,	é	 importante	
nos	acostumarmos	com	alguns	dos	muitos	termos	e	notações	que	serão	utilizados	até	o	
fim	deste	material	–	literaturas	e	idiomas	diferentes,	frequentemente,	utilizam	símbolos	
distintos	para	os	mesmos	parâmetros	(por	exemplo,	“m”	ou	“w”	para	massa).
9
2.2.1 Dimensões e unidades de medida
Quando	se	trata	de	problemas	de	Engenharia,	a	resposta	dificilmente	será	apenas	
um	número	–	geralmente,	ela	será	um	número	acompanhado	de	uma	unidade	de	medida.	
Por	exemplo:	“a	altura	é	de	9	metros”	é	uma	resposta	apropriada,	mas,	por	outro	lado,	dizer	
apenas	“a	alturaé	de	9”	não	define	a	sua	unidade	de	medida,	portanto,	é	uma	resposta	
incompleta.	Poderiam	ser	9	centímetros,	9	metros	ou,	até	mesmo,	9	quilômetros.
Uma	habilidade	fundamental	para	um	engenheiro	é	ter	noção	das	grandezas	
com	que	ele	trabalha.	Isso	permite	identificar	quando	algum	valor	parece	errado	e	ajuda	
a	fazer	comparações	entre	situações	distintas.	Mais	ainda,	saber	trabalhar	com	as	di-
mensões	ajuda	a	interpretar	o	problema	e	muitas	das	grandezas	físicas	fundamentais	
para	a	Engenharia.
O primeiro passo para uma clara compreensão é definirmos a 
diferença entre dimensão e unidade de medida:
• Dimensão: refere-se à grandeza física em questão, como 
distância ou altura, velocidade, temperatura e tempo.
• Unidade de medida: refere-se à forma de expressar as 
dimensões, como metros (para a distância ou altura), quilô-
metros por hora (velocidade), graus Celsius (temperatura) e 
segundos (tempo) (HIMMELBLAU; RIGGS, 2003).
NOTA
Ao	longo	deste	material,	usaremos,	preferencialmente,	as	unidades	do	Sistema	
Internacional	de	Unidades	(SI):	metro	(m)	para	distância,	quilograma	(kg)	para	massa,	
segundo	(s)	para	tempo,	Kelvin	(K)	para	temperatura	e	mol	(mol)	para	a	quantidade	de	
matéria.	Possíveis	exceções	estarão	presentes	apenas	quando	forem	importantes.
Observaremos	que	os	cálculos	apresentados,	frequentemente,	terão	os	núme-
ros	acompanhados	de	suas	unidades,	sendo	altamente	recomendado	o	seu	uso,	para	
uma	melhor	compreensão	das	operações	e	variáveis	trabalhadas,	conforme	mostrare-
mos	no	exemplo	a	seguir.
Com	os	seguintes	fatores de conversão:	uma	milha	corresponde	a	5.280	pés;	
um	pé,	a	12	polegadas;	e	uma	polegada,	a	2,54	centímetros,	e	sabendo	que	a	altura	do	
monte	Everest	é	de,	aproximadamente,	5,49	milhas,	como	convertemos	este	valor	para	
metros?	Um	método	organizado	e	eficiente	de	converter	unidades	é	multiplicar	o	nú-
mero	de	unidade	conhecida	(no	caso,	5,498	milhas)	pelos	fatores	de	conversão	neces-
sários	(milha-pés,	pé-polegadas,	polegada-centímetros	e,	é	claro,	centímetros-metro).	
Para	melhor	visualização,	separaremos	cada	fator	de	conversão	por	uma	barra	vertical,	
entendida	como	um	operador	de	multiplicação	ou	parênteses.
10
Nota-se	que	cada	uma	dessas	“frações”	é	igual	a	um:	se	uma	milha	equivale	a	
5.280	pés,	a	divisão	de	5.280	pés	por	uma	milha	é	igual	a	um.	Isso	comprova	que	não	
alteramos	a	altura	(dimensão)	do	monte	Everest,	apenas	convertendo-a	entre	diferen-
tes	unidades	de	medida.
Uma	maneira	prática	de	acompanhar	se	as	conversões	estão	adequadas	é	es-
crever	todas	elas	em	uma	única	expressão	e	“cortar”	as	unidades	que	se	“cancelam”,	da	
mesma	forma	que,	provavelmente,	fazemos	no	estudo	de	matemática	e	física	básicas:
Acadêmico,	você	pode	se	perguntar:	todos	esses	cálculos	não	poderiam	ter	sido	
resolvidos	por	uma	série	de	regra	de	três?	A	pergunta	é	fantástica	e	significa	que	seu	
raciocínio	está	no	caminho	certo.	Apesar	de	podermos	utilizar	uma	série	de	regra	de	três	
para	chegarmos	ao	mesmo	resultado,	a	maneira	prática,	apresentada	anteriormente,	
nos	ajuda	a	visualizar	como	as	unidades	irão	se	cancelar	e	qual	será	nossa	unidade	final.	
Acredite,	isso	será	muito	útil	em	cálculos	mais	complexos,	pois	será	um	indicador	para	
saber	se	o	resultado	está	correto.	Dessa	forma,	os	demais	exemplos	e	problemas	serão,	
preferencialmente,	resolvidos	dessa	maneira.
O exemplo anterior tem, por objetivo, demonstrar o trabalho com 
dimensões e unidades de medida por meio de um problema de 
conversão de unidades. Contudo, nota-se que o método descrito 
pode parecer problemático ao trabalhar com temperaturas, 
pois suas diferentes unidades não estão relacionadas a fatores 
de conversão, mas, sim, a equações. Assim, o correto é avaliar a 
variação de temperatura: uma variação de 1 °C equivale a uma 
variação de 1,8 °F, por exemplo.
ATENÇÃO
11
2.2.2 Frações mássicas e molares
Na	prática,	ao	tratar	de	processos,	é	fundamentalmente	importante	conhecer-
mos	os	componentes	presentes	em	cada	uma	de	suas	etapas.	Mais	do	que	isso,	com	
frequência,	encontraremos	mais	de	um	componente	no	processo,	na	forma	de	misturas	
e	soluções.	Conhecermos	as	proporções	em	que	cada	componente	se	apresenta	per-
mite	uma	melhor	compreensão	do	sistema,	levando	a	melhores	soluções	para	possíveis	
problemas.	Para	descrevermos	essas	proporções,	utilizamos	as	chamadas	frações	mo-
lares	e	as	frações	mássicas.
É importante definirmos o que é fração mássica:
Fração mássica: a massa de uma substância dividida pela massa 
total de todos os componentes da mistura (ou solução) em que 
ela está presente (HIMMELBLAU; RIGGS, 2003).
NOTA
Iniciaremos	com	um	exemplo	 simples	 sobre	 fração	mássica	de	uma	 solução	
com	dois	componentes:	uma	dada	solução	contém	os	componentes	A	e	B,	sendo	360	g	
de	A	e	700	g	de	B.	Qual	é	a	composição	mássica	desta	solução?
Conhecendo	a	fração	mássica	do	componente	A,	podemos	utilizar	outra	manei-
ra	para	determinar	a	fração	mássica	do	componente	B:
12
É	 fundamental	 notarmos	 que	 a	 somatória	 das	 frações	mássicas	 ou	molares	
deve	sempre	ser	igual	a	1,	ou	seja,	a	somatória	das	porcentagens	deve	ser	igual	a	100%.	
Matematicamente,	para	n	componentes:
Uma vez compreendido o conceito de fração mássica, fica fácil 
entendermos o conceito de fração molar, pois são bastante 
semelhantes.
Fração molar: o número de mols de uma substância dividido 
pelo número total de mols da mistura (ou solução) em que ela 
está presente (HIMMELBLAU; RIGGS, 2003).
NOTA
Propomos,	então,	mais	um	exemplo:	qual	é	a	composição	molar	de	uma	solução	
que	contém	os	componentes	A,	B	e	C	com	1	mol,	5	mols	e	3	mols,	respectivamente?
Um	tipo	de	cálculo	importante	consiste	na	conversão	da	fração	mássica	de	uma	
solução	para	fração	molar	ou	o	contrário.	Para	realizarmos	tal	conversão,	faz-se	neces-
sária	uma	informação	adicional	sobre	a	massa	molar	dos	componentes	presentes	na	
solução.	Além	disso,	precisamos	saber	que	o	número	de	mols	(n)	pode	ser	determinado	
pela	razão	entre	a	massa	do	composto	(m)	e	sua	massa	molar	(MM):
13
Para	exemplificar,	a	Tabela	2	mostra	os	dados	de	fração	mássica	e	massa	molar	
de	cada	composto	presente	em	uma	solução.	Dessa	forma,	calcule	a	composição	molar,	
sabendo	que	a	solução	possui	uma	massa	total	de	100	g.
Tabela 2 – Dados de composição para resolução do exemplo proposto
Fonte: os autores
Composto Massa molar (g/gmol) Fração mássica
A 50 0,20
B 40 0,30
C 20 0,45
D 25 0,05
Total – 1
Solução:	para	o	composto	A,	temos	que:
Em	posse	dos	valores	de	massa	e	massa	molar	do	composto	A,	podemos	facil-
mente	determinar	o	número	de	mols	desse	composto:
Utilizando	o	mesmo	raciocínio	para	os	outros	compostos,	chegamos	ao	resulta-
do	apresentado	na	Tabela	3.
14
Tabela 3 – Massa e quantidade de mols obtidas para o exemplo proposto após os cálculos
Fonte: os autores
Composto
Massa molar 
(g/gmol)
Fração mássica Massa (g)
Número de mols 
(mols)
A 50 0,20 20 0,40
B 40 0,30 30 0,75
C 20 0,45 45 2,25
D 25 0,05 5 0,20
Total – 1 100 3,60
Finalmente,	podemos	calcular	a	fração	molar	do	composto	A	na	solução:
Fazendo	o	mesmo	cálculo	para	os	outros	compostos,	obtemos	a	composição	
molar	da	solução	expressa	na	Tabela	4.
Tabela 4 – Composição molar obtida para o exemplo proposto após os cálculos
Fonte: os autores
Composto
Massa molar 
(g/gmol)
Fração 
mássica
Massa (g)
Número de 
mols (mols)
Fração 
molar
A 50 0,20 20 0,40 0,111
B 40 0,30 30 0,75 0,208
C 20 0,45 45 2,25 0,625
D 25 0,05 5 0,20 0,056
Total – 1 100 3,60 1
Acadêmico, ressaltamos que o seu objetivo é entender o ra-
ciocínio para realizar a conversão, e não memorizar os passos. 
Portanto, faça a seguinte pergunta para si mesmo: “eu consigo 
converter de fração molar para fração mássica?”. Se a respos-
ta for positiva, você está no caminho certo! Caso seja negativa, 
aconselhamos que analise o exercício proposto novamente.
NOTA
15
Quando	forem	trabalhadas	soluções	e	misturas,	há	também	a	ideia	de	“massa	
molar	média	da	mistura”,	que	nada	mais	é	que	uma	média	ponderada	das	massasmo-
lares	dos	componentes,	como	na	equação	a	seguir:
Sabendo	que:
Temos	que:
Se	conhecermos	a	composição	da	mistura,	podemos	lançar	mão	de	uma	base	
de	cálculo	arbitrária	para	calcular	a	massa	molar	média	da	mistura.	
Tente calcular esse valor para a mistura do exemplo anterior. 
O resultado procurado é de 27,78 g/mol, que também 
poderia ser calculado simplesmente dividindo a massa da 
mistura pelo número de mols (afinal, esta é a definição da 
qual partimos para o desenvolvimento da última equação).
DICA
Ao longo deste material, a composição de gases sempre será assumi-
da como dada em base molar, a menos que seja especificado o con-
trário. Da mesma maneira, a composição de líquidos e sólidos será 
assumida como dada em base mássica, como é geralmente usada na 
indústria, a menos que seja especificado o contrário.
ATENÇÃO
16
3 BALANÇO MATERIAL
A	partir	desse	momento,	começaremos	a	aplicar	as	leis	de	conservação	discu-
tidas	anteriormente,	partindo	do	princípio	de	conservação	da	massa:	a	matéria	não	é	
criada	nem	destruída.	O	assunto	será	tratado	com	certa	profundidade,	porém,	por	ser	
um	tópico	de	caráter	introdutório,	aspectos	mais	complexos	não	serão	abordados	(por	
exemplo,	sistemas	envolvendo	reações	químicas	e	outros	que	demandem	o	uso	de	mé-
todos	de	cálculo	numérico).
A descoberta do princípio de conservação da massa é atribuída 
ao cientista francês Antoine Laurent Lavoisier, nascido em 1743, 
em Paris. Vindo de uma família rica, desde jovem, estudou em 
instituições reconhecidas pelo ensino da ciência. Em 1771, ca-
sou-se com Marie Anne Pierrette Paulze, na época com 14 anos. 
Mesmo jovem, Madame Lavoisier auxiliou em publicações com 
suas notáveis habilidades linguísticas e artísticas. Lavoisier pu-
blicou seu livro Tratado Elementar de Química, em 1789, ano que 
deu início à revolução francesa. Devido aos seus envolvimentos 
com o Estado, o cientista foi guilhotinado em 8 de maio de 1794 
(PARTINGTON, 1943).
Fonte: PARTINGTON, J. R. Antoine Laurent Lavoisier, 1743-1794. 
Nature, [s. l.], v. 152, p. 207-208, ago. 1943.
INTERESSANTE
Balanços	materiais	permitem	uma	melhor	compreensão	acerca	de	um	proces-
so,	como	uma	indústria,	por	exemplo.	Na	essência,	é	semelhante	à	contabilidade,	mas,	
no	lugar	de	dinheiro,	usa-se	matéria.	Cálculos	de	balanço	material	são	indispensáveis	
para	 se	 compreender	 problemas	 de	 fenômenos	 de	 transporte,	 tanto	 simples	 quanto	
complexos,	e	são	sempre	baseados	na	forma	geral	das	equações	de	balanço.	Assim,	
para	a	matéria:
3.1 SISTEMAS 
Começaremos	 com	 um	 exemplo:	 considere	 um	 tanque	 contendo	 100	 kg	 de	
água,	como	o	da	Figura	2.
17
Figura 2 – Sistema fechado
Fonte: os autores
No	contexto	da	Engenharia,	é	comum	o	uso	da	palavra	“sistema”	para	se	referir	
a	uma	parte	arbitrária	do	processo	que	se	deseja	analisar.	Dessa	forma,	nosso	sistema	
coincide	com	o	próprio	tanque.	É	também	usual	se	 referir	às	 “fronteiras	do	sistema”,	
isto	é,	as	linhas	imaginárias	(que	podem	coincidir	com	partes	dos	equipamentos	e	dos	
processos)	que	dão	forma	ao	seu	sistema.
Ainda,	um	sistema	pode	ser	dito	aberto	ou	fechado:	aberto,	se	existe	matéria	
entrando	ou	saindo	do	sistema;	fechado,	se	a	matéria	não	entra	nem	sai	do	sistema.	
Nosso	tanque	é,	portanto,	um	sistema	fechado.
Nesse	caso,	se	aplicarmos	a	equação	de	balanço	material	para	nosso	sistema,	
teremos:
0 – 0 = 0
Este	resultado	é,	evidentemente,	uma	conclusão	lógica	simples.	Se	não	entra	
nem	sai	água	do	tanque,	não	haverá	variação	na	quantidade	de	água	dentro	dele.	Em	
outras	palavras,	a	taxa	de	acúmulo	de	matéria	do	sistema	é	nula.
Agora,	supondo	que	esse	tanque	faça	parte	de	um	processo	industrial,	que	des-
peja	dentro	dele	50	kg	de	água	por	hora.	Desse	mesmo	tanque,	são	também	retirados	
50	kg	de	água	por	hora	(Figura	3).
18
Figura 3 – Sistema aberto
Fonte: os autores
Pela	definição	dada	anteriormente,	nosso	tanque	agora	é	um	sistema	aberto,	
pois	existe	matéria	cruzando	a	fronteira	do	sistema.	Ao	aplicarmos,	novamente,	a	equa-
ção	de	balanço	material,	temos:
Como	a	vazão	de	entrada	é	 igual	à	de	saída,	o	acúmulo	de	água	no	sistema	
ainda	é	nulo.	Sistemas	nessas	condições	podem	ser	chamados	de	sistemas	em	estado 
estacionário.
 
Em	 processos	 no	 estado	 estacionário,	 parâmetros	 como	 temperatura,	 pres-
são,	massa	e	vazão	(entrada	ou	saída)	permanecem	constantes.	Além	disso,	o	processo	
pode	também	ser	dito	contínuo.
Sistema em estado estacionário (regime permanente):
• As condições do sistema permanecem inalteradas ao longo do tempo.
• As correntes de entrada e saída permanecem inalteradas com o tempo.
Processo contínuo: aquele em que a matéria entra ou sai do sistema sem 
interrupções (HIMMELBLAU; RIGGS, 2003).
NOTA
19
Na	sua	maioria,	os	problemas	abordados,	ao	longo	desta	disciplina,	serão	pro-
cessos	contínuos	em	estado	estacionário,	por	serem	naturalmente	mais	simples	e	obje-
tivos	no	sentido	de	aprendizagem.	Contudo,	é	importante	observar	que,	no	mundo	real,	
não	existe	processo	perfeitamente	contínuo	ou	estacionário	–	as	condições	mudam	ao	
longo	do	tempo,	às	vezes,	até	mesmo,	por	ação	de	forças	que	não	somos	capazes	de	
controlar	(clima,	por	exemplo).	A	natureza	é	essencialmente	dinâmica,	e	o	máximo	que	
se	pode	fazer	é	se	aproximar	de	uma	condição	estacionária.
Entretanto,	podemos	propor	a	seguinte	situação:	se	a	taxa	de	entrada	de	água	
no	tanque	fosse	reduzida	para	20	kg/h,	supondo	a	condição	inicial	exposta	na	Figura	4?
Figura 4 – Sistema aberto com acúmulo
Fonte: os autores
É	fácil	concluirmos	que,	se	sai	mais	água	do	que	entra,	a	quantidade	de	água	no	
tanque	diminuirá	com	o	tempo.	Na	equação	de	balanço:
Assim,	a	taxa	de	acúmulo	de	água	no	sistema	é	de	-30	kg	H2O	por	hora.	Po-
demos	observar	que,	no	contexto	de	balanços	materiais,	é	comum	o	uso	da	palavra	
“acúmulo”,	tanto	para	valores	positivos	(que	elevariam	o	nível	de	água	do	tanque)	quan-
to	negativos	(que	diminuem	o	nível	de	água	no	tanque).	Com	essa	informação,	quanto	
tempo	levará	até	que	a	quantidade	de	água	no	interior	do	tanque	seja	de	40	kg?
Precisamos	identificar	a	variação	de	água	no	interior	do	tanque:
20
Para	atingir	uma	quantidade	de	40	kg	de	água	dentro	do	tanque,	deve-se	retirar	
60	kg.	Por	definição,	temos	que:
Observamos	que	a	taxa	de	acúmulo	de	água	do	sistema	é,	evidentemente,	uma	
vazão,	pois	tem	dimensões	de	massa	por	tempo	(estudaremos,	mais	detalhadamente,	
o	conceito	de	vazão	no	Tema	de	Aprendizagem	3	da	Unidade	1).	Podemos,	portanto,	
aplicar	a	equação	da	seguinte	forma:	
Evidentemente,	não	é	absurdo	chegar	a	essa	conclusão	sem	fazer	quaisquer	
contas	no	papel.	Se	existem	100	kg	de	água	dentro	de	um	tanque,	do	qual	são	remo-
vidos	 30	 kg	 de	 água	por	 hora	 (taxa	 de	 acúmulo	 negativa),	 o	 tempo	necessário	 para	
que	haja	apenas	40	kg	de	água	no	tanque	(remover	60	kg)	é	de	2	horas.	Problemas	de	
balanço	material	são	resolvidos	de	maneira	puramente	lógica:	não	se	trata	de	decorar	
equações,	mas,	sim,	de	ter	habilidade	em	analisar	o	problema	e	saber	como	abordá-lo.
Sistemas	como	esse,	em	que	a	quantidade	de	água	no	sistema	varia	ao	longo	
do	tempo,	podem	ser	chamados	de	sistemas	em	estado não estacionário.
Sistema em estado não estacionário (regime transiente ou variado):
• Nem todas as condições do sistema permanecem 
inalteradas ao longo do tempo.
• As correntes de entrada e saída podem variar com o 
tempo (HIMMELBLAU; RIGGS, 2003).
NOTA
21
Agora	que	compreendemos	os	princípios	dos	balanços	materiais,	aprimorare-
mos	as	suas	capacidades	analíticas	com	o	estudo	de	processos	mais	complexos,	com	
múltiplos	componentes,	etapas	e	correntes	de	processo.
3.2 SISTEMAS COM MÚLTIPLOS COMPONENTES
Ao	trabalharmos	com	uma	solução	com	concentração	de	50%	em	massa	de	
soda	cáustica	(NaOH	em	H2O),	isso	significa	que	em	1.000	kg	de	solução	há	500	kg	de	
soda	e	500	kg	de	água.	Uma	corrente	de	processo	entra	em	um	tanque,	enquanto	outra	
sai	desse	mesmo	tanque,	como	na	Figura	5.
Figura 5 – Sistema aberto de balanço multicomponente
Fonte: os autores
Observamosque	se	trata	de	um	sistema	aberto	em	regime	estacionário.	Pode-
ríamos	analisar	o	sistema	da	seguinte	forma:
•	 Dentro	do	tanque:	1.000	kg	de	solução:
 ◦		500	kg	de	água	+	500	kg	de	soda.
•	 Entra	no	tanque:	100	kg	de	solução	por	hora:
 ◦		50	kg	de	água	por	hora	+	50	kg	de	soda	por	hora.
•	 Sai	do	tanque:	100	kg	de	solução	por	hora:
 ◦		50	kg	de	água	por	hora	+	50	kg	de	soda	por	hora.
É	 importante	 evidenciarmos	 essas	 informações,	 pois,	 quando	 trabalharmos	
com	múltiplos	componentes,	abordaremos	os	balanços	materiais	por	duas	perspecti-
vas:	o	balanço	global	e	os	balanços	por	componente.
22
Evidentemente,	em	estado	estacionário,	a	taxa	de	acúmulo	é	nula	(a	massa	de	
solução	dentro	do	tanque	permanece	a	mesma	ao	longo	do	tempo).
O	balanço por componente,	por	outro	lado,	considera	apenas	o	componente	em	
análise	para	todas	as	correntes.	Por	exemplo,	no	balanço	material	para	a	água,	teremos:
Da	mesma	forma,	para	a	soda,	teremos:
Esse	é	um	 raciocínio	bastante	valioso	para	 solucionar	problemas	de	balanço	
material.	Outro	exemplo,	em	que	passamos	a	trabalhar	com	mais	de	um	componente	e	
mais	de	duas	correntes:	em	certa	etapa	de	um	processo	industrial	de	balas	e	biscoitos,	
duas	 correntes	 contendo	 uma	 solução	 de	 açúcar	 (sacarose)	 em	 água	 devem	 ser	
misturadas.	Para	 isso,	elas	são	despejadas	em	um	tanque	de	mistura	que	apresenta	
uma	 única	 saída	 (Figura	 6).	 Conhecendo	 as	 correntes	 de	 entrada,	 admitindo	 que	 a	
mistura	seja	homogênea	e	que	o	processo	opera	em	regime	estacionário,	qual	é	a	fração	
mássica	de	sacarose	na	corrente	de	saída?
O	 balanço global	 considera	 inteiramente	 todas	 as	 correntes	 que	 entram	 e	
saem	do	sistema.	Dessa	forma,	na	equação:
23
Figura 6 – Sistema multicomponente para produção de balas e biscoitos
Fonte: os autores
Solução:	como	conhecemos	as	correntes	de	entrada,	podemos	descrevê-las	da	
seguinte	maneira:
•	 Corrente	A:	30	kg	solução/min:
 ◦		12	kg	sacarose/min	+	18	kg	água/min.
•	 Corrente	B:	50	kg	solução/min;
 ◦		7,5	kg	sacarose/min	+	42,5	kg	água/min.
Podemos,	então,	fazer	o	balanço	global:
As	entradas	são	as	correntes	A	e	B,	enquanto	a	única	saída	é	a	corrente	C,	e	não	
há	acúmulo	no	sistema	(regime	estacionário).	Dessa	forma:
24
Agora,	fazendo	o	balanço	material	para	a	sacarose:
𝑆𝑎𝑐𝑎𝑟𝑜𝑠𝑒 𝑒 𝑚 𝐴+𝑆𝑎𝑐𝑎𝑟𝑜𝑠𝑒 𝑒 𝑚 𝐵−𝑆𝑎𝑐𝑎𝑟𝑜𝑠𝑒 𝑒 𝑚 𝐶=0
Sendo	xsac,i	a	fração	mássica	de	sacarose	na	corrente	“i”,	podemos	escrever	esta	
equação	da	seguinte	forma:
Como	já	calculamos	o	valor	da	vazão	mássica	da	corrente	C,	temos	que:
Logo,	a	concentração	de	sacarose	na	corrente	de	saída	é	de	24,37%	em	massa.	
Sem	fazer	o	balanço	material	para	a	água,	podemos	concluir	que	a	fração	mássica	de	
água	na	corrente	de	saída	é	de	75,63%	–	afinal,	trabalhamos	apenas	com	açúcar	e	água.	
Essa	ideia	tem	fundamento	no	conceito	de	“graus	de	liberdade”,	que	faz	parte	das	disci-
plinas	de	álgebra	linear,	explorados	melhor	a	seguir,	durante	a	estratégia	para	solucionar	
problemas	de	balanço	material.
Como já mencionado, não trataremos situações envolvendo rea-
ções químicas no escopo deste material. Contudo, é importante 
observar que, nesses casos, os balanços por componente ficam 
mais complexos, uma vez que o componente que entra não ne-
cessariamente sai com a mesma forma – eles podem ser “consu-
midos”, enquanto novas espécies químicas podem ser “geradas”.
ATENÇÃO
25
3.3 ESTRATÉGIAS PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Himmelblau	e	Riggs	(2003)	sugerem	uma	estratégia	de	dez	passos	para	a	reso-
lução	de	problemas	de	balanço	material:
•	 Ler	e	entender	o	problema	em	questão.
•	 Fazer	um	esboço	do	processo	e	especificar	a	fronteira	do	sistema.
•	 Anotar	 todas	 as	 informações	 conhecidas	 no	 seu	 diagrama	 do	 processo,	 como	
vazões,	composições	e	outras	relações	úteis.	Atribuir	símbolos	para	os	valores	não	
conhecidos.
•	 Obter	quaisquer	 informações	necessárias,	que	estejam	faltando,	para	solucionar	o	
problema.
•	 Adotar	uma	base	de	cálculo	(arbitrária),	se	necessário.
•	 Determinar	o	número	de	variáveis	desconhecidas.
•	 Determinar	o	número	de	equações	independentes	e	analisar	os	graus	de	liberdade	do	
problema.
•	 Escrever	 as	 equações	 a	 serem	 resolvidas	 em	 termos	 das	 variáveis	 conhecidas	 e	
desconhecidas.
•	 Resolver	as	equações	e	responder	o	que	foi	solicitado	pelo	problema.
•	 Conferir	suas	respostas.
Na	 prática,	 não	 é	 obrigatório	 seguir	 nem	 decorar	 esses	 passos	 à	 risca,	mas	
abordar	 os	 problemas	 de	 maneira	 ordenada	 e	 analítica	 ajuda	 a	 identificar	 possíveis	
pontos	fracos,	aprimorando	as	habilidades	de	interpretação	e	resolução.	
Nesse	momento,	veremos	um	exemplo	com	uma	complexidade	maior,	aplicando	
essa	 estratégia.	 Duas	 correntes	 de	 processo,	 F1	 e	 F2,	 são	 misturadas.	 A	 corrente	
resultante	(W)	é,	então,	direcionada	para	uma	segunda	etapa,	que	visa	à	purificação	de	
um	dos	componentes,	obtendo,	assim,	duas	correntes	de	produto,	P1	e	P2.	Conhecendo	
as	informações	a	seguir,	qual	a	vazão	e	a	composição	da	corrente	F1?	As	composições	
estão	dadas	em	quantidades	mássicas.
• Corrente F2:
	 ◦			Vazão:	metade	de	F1.
	 ◦			Composição:	80%	A,	20%	B.
• Corrente P1:
	 ◦			Vazão:	1200	kg/h.
	 ◦			Composição:	60%	A,	40%	B.
• Corrente P2:
	 ◦			Vazão:	300	kg/h.
	 ◦			Composição:	5%	B,	95%	C.
26
Solução:	
Passo 1: o	problema	é	simples	–	conhecemos	as	saídas,	queremos	conhecer	as	entradas.	
Há	três	componentes	(A,	B	e	C),	cinco	correntes	(F1,	F2,	W,	P1	e	P2)	e	duas	etapas	(E1	e	
E2)	para	trabalharmos.	A	etapa	E1	une	as	correntes	F1	e	F2,	formando	a	corrente	W.	Em	
seguida,	a	etapa	E2	separa	a	corrente	W	nas	correntes	P1	e	P2.
Passo 2: esboços	(como	o	da	Figura	7)	podem,	geralmente,	ser	feitos	de	forma	bastante	
simples,	por	meio	de	diagramas	de	blocos,	em	que	as	setas	são	as	correntes	de	processo	
e	os	blocos	são	as	etapas.
Figura 7 – Esboço inicial do problema proposto
Fonte: os autores
Quanto	à	fronteira	do	sistema,	notamos	que	esta	pode	ser	estabelecida	de	três	
diferentes	formas:	apenas	o	sistema	1,	ou	apenas	o	sistema	2,	ou,	então,	analisar	o	pro-
cesso	de	forma	global	(Figura	8).
Figura 8 – Esboço do problema proposto delimitando as três diferentes fronteiras possíveis
Fonte: os autores
27
• Fronteira do Sistema 1:
 ◦			Correntes	de	entrada:	F1	e	F2.
 ◦			Correntes	de	saída:	W.
• Fronteira do Sistema 2:
 ◦			Correntes	de	entrada:	W.
 ◦			Correntes	de	saída:	P1	e	P2.
• Fronteira do Sistema Global:
 ◦			Correntes	de	entrada:	F1	e	F2.
 ◦			Correntes	de	saída:	P1	e	P2.
Notamos	 que	 a	 escolha	 de	 um	 sistema	 não	 invalida	 o	 outro	 –	 muito	 pelo	
contrário,	 talvez	 seja	 necessário	 estabelecer	 diferentes	 fronteiras	 até	 obtermos	 os	
resultados	procurados,	os	quais	devem	validar	todos	os	sistemas	possíveis	de	serem	
estabelecidos.	Do	contrário,	o	princípio	da	conservação	da	massa	não	seria	obedecido,	
indicando	alguma	falha	ou	ineficiência	do	processo.
Passo 3: adicionamos	os	valores	conhecidos	ao	esboço,	formando,	então,	a	Figura	9.
Figura 9 – Esboço do problema proposto após o passo 3
Fonte: os autores
Passo 4: a	princípio,	nenhuma	informação	parece	faltar,	pois	não	estamos	preocupados	
com	quem	são	os	componentes	A,	B	ou	C	nem	com	o	que	são,	na	prática,	as	etapas	E1	
e	E2.	A	ideia	é	se	preocupar	apenas	com	valores	de	vazão	e	composição,	então,	estas	
informações	deverão	ser	suficientes.
28
Passo 5: como	o	problema	 já	nos	forneceu	valores	de	vazão,	não	precisamos	adotar	
uma	base	de	cálculo.	Caso	o	enunciado	fosse	“a	vazão	de	P1	é	quatro	vezes	a	de	P2”,	
poderíamos	adotar	um	valor	arbitrário	para	a	vazão	P2	e,	com	ela,	chegaríamos	às	mes-
mas	composições	em	todas	as	correntes.	Contudo,	a	vazão	de	F1	mudaria	para	cada	
base	de	cálculo	adotada.
Passo 6: nossas	variáveis	desconhecidas	são	as	vazões	e	as	composições	das	corren-
tes	F1	e	W,	totalizando	oito	variáveis	desconhecidas.
Passo 7: para	determinar	o	número	de	equações	independentes,	faremos	os	balanços	
nos	sistemas	e	usaremos	as	relações	fornecidas.	Uma	informação	que	facilita	aanálise	
é	que,	ao	escrever	as	equações	dos	balanços	para	cada	componente,	uma	delas	sempre	
será	dependente	das	demais.
•	 Na	etapa	E1:
◦	 Nestas	equações,	temos	as	oito	variáveis	desconhecidas,	junto	a	cinco	equa-
ções	independentes.	Elas	não	são,	portanto,	suficientes	para	determinar	todas	
as	variáveis	desconhecidas.
•	 Na	etapa	E2:
29
◦	 Aqui,	temos	quatro	das	variáveis	desconhecidas	(referentes	à	corrente	W),	junto	
a	quatro	equações	independentes.	Como	nosso	número	de	equações	é	igual	ao	
número	de	incógnitas,	o	sistema	é	possível	e	determinado	(graus	de	liberdade	
iguais	a	zero).
•	 Global:
◦	 Observamos	que,	 para	 o	 balanço	global,	 todas	 as	variáveis	 referentes	 à	 cor-
rente	 intermediária	W	não	estão	presentes.	Temos	apenas	as	quatro	variáveis	
desconhecidas	para	a	corrente	F1,	junto	a	quatro	equações	independentes,	isto	
é,	como	o	problema	solicita	apenas	a	caracterização	da	corrente	F1,	podemos	
utilizar	esse	sistema	para	não	precisar	trabalhar	com	a	corrente	intermediária	W.
Passo 8:	 usando	 as	 equações	 para	 o	 sistema	 global	 (exceto	 uma	 das	 equações	 de	
balanço	por	componentes,	por	ser	dependente	das	demais)	e	substituindo	as	variáveis	
conhecidas,	teremos:
Passo 9: simplificando	 e	 resolvendo	 as	 equações,	 chegamos	 aos	valores	 solicitados	
pelo	problema	–	vazão	e	composições	da	corrente	F1:
30
Passo 10: podemos	conferir	o	resultado	com	a	equação	de	balanço	para	o	componente	
C,	que	não	utilizamos:
Notamos	que	o	fato	de	o	componente	C	estar	presente	somente	em	uma	corrente	
de	entrada	e	uma	corrente	de	saída	(no	sistema	global)	facilita	consideravelmente	o	proble-
ma,	pois	tudo	o	que	saía	de	C	na	corrente	P2	entrava	no	sistema,	por	meio	da	corrente	F1.
Para	praticar,	podemos	retornar	aos	balanços	por	etapas	e	caracterizar	a	cor-
rente	W.	Conseguiu	chegar	aos	seguintes	resultados:	vazão	de	1.500	kg/h,	sendo	48%	
A,	33%	B	e	19%	C?
4 RECICLO, BYPASS E PURGA
Três	 aspectos	 são	 importantes	 quando	 tratamos	 dos	 balanços	materiais	 em	
termos	de	aplicação	industrial.	Essencialmente,	são	manobras	realizadas	nas	correntes	
de	 processo	 que	 permitem	 seu	 funcionamento	 de	 maneira	 eficiente,	 contínua	 e	
controlável.	Os	balanços	materiais	entram	com	o	papel	de	mensurar	essas	manobras	e	
passam	a	ter	um	nível	de	complexidade	maior.
4.1 RECICLO
Reciclo: corrente	do	processo	que	é	alimentada	em	uma	etapa	anterior	àquela	
que	a	originou	(HIMMELBLAU;	RIGGS,	2003).	A	Figura	10	apresenta	um	diagrama,	para	
uma	maior	compreensão.
31
Figura 10 – Diagrama de blocos representativo para processos envolvendo reciclo
Fonte: os autores
Em	processos	envolvendo	reação	química,	o	uso	de	reciclo	pode	aumentar	a	
conversão	alcançada	pelos	reatores,	retornando	os	reagentes	não	consumidos	ao	pro-
cesso	e	garantindo	que	eles	sejam	transformados	no	produto	desejado.	Em	operações	
de	separação,	como	destilação	ou	filtração,	o	reciclo	pode	ser	utilizado	com	uma	ideia	
semelhante:	aumentar	a	eficiência	do	processo	e	servir	para	manter	alguma	corrente	
dentro	das	suas	especificações.	
Um	exemplo	de	operação	com	uso	de	reciclos	é	concentrar	uma	corrente	(F)	
contendo	uma	solução	de	 10%	hidróxido	de	sódio	 (NaOH)	em	água,	por	meio	de	um	
processo	integrado	de	evaporação,	cristalização	e	filtragem.	Para	atingir	maior	eficiência	
no	processo,	a	corrente	líquida,	que	passa	pelo	filtro,	é	retornada	na	forma	de	reciclo	(R).	
O	diagrama	representado	na	Figura	11	ilustra	o	processo	e	apresenta	as	concentrações	
em	cada	corrente.	Qual	a	razão	entre	as	vazões	R	e	P?
Figura 11 – Diagrama de blocos representativo para o processo de concentração de NaOH
Fonte: os autores
Passos 1 a 4: o	diagrama	fornecido	na	Figura	11	já	é	o	resultado	dos	primeiros	passos.
32
•	 Global:
	 ◦ Em	 ambos	 os	 casos,	 temos	 duas	 variáveis	 desconhecidas	 e	 duas	 equações	
independentes.	Portanto,	temos	graus	de	liberdade	zero	em	ambas.
Passo 9: resolvendo	as	equações,	chegamos	nas	respostas	desejadas.
•	 No	ponto	A:
Passo 5: por	praticidade,	ao	trabalhar	com	porcentagens,	adotaremos	a	base	de	cálculo	
de	F	=	100	kg/h.
Passo 6: nossas	variáveis	desconhecidas	são	as	vazões	P,	R,	E	e	W.
Passo 7: mais	de	um	sistema	pode	ser	avaliado.	Aqui,	faremos	em	dois	deles:	no	ponto	
em	que	o	reciclo	é	adicionado	à	alimentação	(ponto	A)	e	o	global.
Passo 8: assim,	teremos	as	seguintes	equações:
•	 No	ponto	A:
33
	 ◦ Utilizando	só	o	balanço	por	componente	do	hidróxido	de	sódio	no	ponto	A	foi	su-
ficiente	para	encontrar	uma	das	variáveis	desejadas	(R).	Caso	tivéssemos	usado	o	
balanço	por	componente	da	água,	chegaríamos	ao	mesmo	resultado.	Aliás,	esse	é	
um	assunto	que	demanda	curiosidade	e	exercita	o	raciocínio	lógico.
•	 Global:
Assim:
Passo 10: podemos	conferir	os	resultados	obtidos	verificando	as	duas	equações	de-
pendentes	não	utilizadas.
Um	exercício	interessante	é	repetir	esse	balanço,	mas	sem	a	utilização	de	um	
reciclo:	se	quiséssemos	obter	exatamente	o	mesmo	produto	P	(em	vazão	e	composi-
ção),	considerando	que	a	razão	R/P	é	mantida	(R/P	≈	9,60),	qual	seria	a	alimentação	
necessária?	Sugerimos	usar	a	Figura	12	como	auxílio.
34
Figura 12 – Diagrama de blocos representativo, para o processo de concentração de NaOH, sem reciclo
Fonte: os autores
Temos	o	balanço	material	global	e	por	componente:
Ao	resolvermos	as	duas	primeiras	equações	com	os	valores	conhecidos,	utili-
zando	a	relação	R/P	≈	9,60:
35
Como	podemos	observar,	para	obtermos	a	mesma	quantidade	de	produto,	o	pro-
cesso	sem	reciclo	exigiria	uma	alimentação	6	vezes	maior,	devido	às	perdas	pela	corrente	
R,	que	não	foi	reaproveitada.	A	indústria	sempre	irá	buscar	minimizar	o	desperdício.
4.2 BYPASS E PURGA
Bypass: corrente do processo que pula uma ou mais etapas de um 
processo, unindo-se novamente em um estágio posterior. Pode ser 
usada, por exemplo, para controlar a composição de saída de uma 
etapa (HIMMELBLAU; RIGGS, 2003). 
Purga: corrente retirada do processo com o objetivo de remover 
inertes (substâncias que não reagem quimicamente) e materiais 
indesejados, os quais poderiam se acumular no sistema pelo uso de 
correntes de reciclo (HIMMELBLAU; RIGGS, 2003).
NOTA
Para	termos	uma	maior	compreensão	sobre	bypass	e	purga,	podemos	observar	
as	Figuras	13	e	14.
Figura 13 – Diagrama de blocos representativo para processos envolvendo bypass
Fonte: os autores
Fonte: os autores
Figura 14 – Diagrama de blocos representativo para processos envolvendo purga
36
Podemos	praticar	o	conceito	de	bypass	resolvendo	o	seguinte	exemplo:	certo	
processo	industrial	é	alimentado	por	uma	corrente	composta	de	30%	do	componente	X	
e	70%	do	componente	Y.	O	processo	é	responsável	por	remover	apenas	o	componente	Y,	
e	a	corrente	de	saída	precisa	sair	com	80%	de	X	e	20%	de	Y,	para	atender	às	especifica-
ções	de	operação	dos	equipamentos.	Contudo,	um	cliente	solicita	um	produto	contendo	
60%	de	X	e	40%	de	Y.	Para	atender	a	esse	pedido,	o	engenheiro	de	processos	sugere	o	
uso	de	uma	corrente	de	bypass,	conforme	o	diagrama	a	seguir.	Calcule	a	razão	entre	as	
vazões	B	e	F,	que	deve	ser	utilizada	para	atender	ao	pedido.
Solução:	
Passos 1 a 4: na	Figura	15,	o	diagrama	contém	as	informações	necessárias.	Observa-
mos	que,	no	ponto	1,	a	corrente	de	alimentação	se	divide	entre	as	correntes	B	e	E	–	esta	
divisão	é	puramente	física,	ou	seja,	presume-se	que	as	composições	são	as	mesmas	
em	ambas	as	correntes,	diferenciadas	apenas	em	suas	vazões.	No	ponto	2,	a	corrente	
de bypass	retorna	unindo-se	à	saída	do	processo	(corrente	S),	formando	o	produto	P	na	
composição	desejada.
Figura 15 – Diagrama de blocos representativo para processos envolvendo purga
Fonte: os autores
Passo 5: adotaremos	a	base	de	cálculo	de	F	=	100	kg/h.
Passo 6: como	definimos	 um	valor	 para	 F,	 as	variáveis	 desconhecidas	 são	 agora	 as	
vazões	B,	E,	W,	S	e	P.
Passo 7: os	quatro	principais	sistemas	que	devemos	prestar	atenção	são	os	pontos	1	e	
2,	o	processo	e	o	sistema	global.
37
Aqui,	 temos	 duas	 variáveis	 desconhecidas	 e	 duas	 equações	 independentes.Dessa	forma,	conseguiremos	determinar	os	valores	de	vazão	para	P	e	W.
Conhecido	o	valor	de	P,	faz	sentido	analisarmos	o	ponto	2	como	segundo	siste-
ma.	Para	ele,	temos	as	equações:
Portanto,	teremos	apenas	duas	variáveis	desconhecidas	(B	e	S)	e	duas	equações	
independentes.	 Com	 isso,	 podemos	 determinar	 B	 e	 calcular	 a	 resposta	 pedida	 pelo	
problema.	Traçar	a	estratégia	correta	para	a	resolução	de	um	balanço	é	uma	questão	
clássica	para	o	engenheiro	na	indústria.
Passos 8 e 9: como	proposto,	precisamos	resolver	as	equações	do	sistema	global:
Agora,	para	as	equações	do	ponto	2:
Para	o	sistema	global,	temos	as	seguintes	equações:
38
Portanto,	a	razão	B/F	=	0,20.
Passo 10: apesar	de	não	ser	de	extrema	necessidade,	poderíamos	conferir	o	resultado	ve-
rificando	que	os	valores	obtidos	são	válidos	para	calcular	a	vazão	da	corrente	E	(80	kg/h).	
Em	seguida,	ao	fazer	o	balanço	no	processo,	observaremos	que	as	equações	são	válidas.
Com	isso,	concluímos	o	exemplo	sobre	bypass.	
Nesse	momento,	resolveremos,	também,	um	exemplo	que	envolve	purga:	certo	
processo	para	a	formação	de	água,	a	partir	dos	gases	hidrogênio	(H2)	e	oxigênio	(O2),	foi	
implantado.	Uma	corrente	 (F),	contendo	ambos	os	componentes,	é	alimentada	a	um	
reator.	Em	seguida,	a	corrente	de	saída	passa	por	um	condensador,	que	remove	água	
líquida	do	processo	como	produto.
Para	evitar	a	perda	de	material,	procurou-se	utilizar	os	gases	remanescentes	
(que	não	 reagiram)	como	uma	corrente	de	 reciclo	do	processo.	Contudo,	ao	testar	a	
nova	configuração,	observou-se	que	os	níveis	de	argônio	 (Ar)	–	que	é	um	gás	 inerte	
–	no	processo	começaram	a	subir,	porque	a	corrente	contendo	hidrogênio	e	oxigênio	
apresentava,	também,	baixos	traços	do	gás.	Como	forma	de	solucionar	o	problema,	o	
engenheiro	 de	processos	 sugere	utilizar	 uma	corrente	 de	purga	 (P).	 Considerando	o	
diagrama	da	Figura	16,	qual	deve	ser	a	razão	entre	as	vazões	P	e	F	se	a	concentração	de	
argônio	na	corrente	de	reciclo	não	pode	ser	superior	a	7,5%?
Figura 16 – Diagrama de blocos representativo para o processo de formação de água
Fonte: os autores
39
Solução:
Passos 1 a 4: o	diagrama	apresentado	na	Figura	16	nos	fornece	todas	as	informações	
necessárias	 para	 analisar	 o	 problema.	Nota-se	 que,	 apesar	 de	 envolver	 um	 reator,	 o	
problema	não	está	preocupado	com	a	reação	química,	de	modo	que	ela	não	será	neces-
sária.	Além	disso,	é	importante	observarmos	que	o	reciclo	possui	a	mesma	composição	
da	purga,	apesar	de	não	estar	especificado.
Passo 5: como	estamos	interessados,	principalmente,	nas	correntes	F	e	P,	definiremos,	
como	base	de	cálculo,	o	valor	de	F	=	100	kg/h.
Passo 6: observamos	que	os	dados	fornecidos	são,	essencialmente,	as	composições	de	
entrada	e	saída	do	sistema	global.	Portanto,	intuitivamente,	parece	fazer	sentido	anali-
sá-lo.	Assim,	temos	duas	variáveis	desconhecidas:	P	e	W.
Passo 7: nota-se	que	não	conhecemos	as	composições	de	H2	 e	O2	 separadamente.	
Contudo,	se	fizermos	o	balanço	global	e	o	balanço	por	componente	para	o	argônio,	te-
remos	duas	equações	independentes:
Logo,	se	temos	duas	equações	independentes	e	duas	variáveis	desconhecidas,	
a	solução	do	nosso	problema	é	possível	e	determinada	(grau	de	liberdade	=	0).
Passos 8, 9 e 10: substituindo	 os	valores	 conhecidos	 e	 resolvendo	 as	 duas	
equações	do	balanço	global,	podemos	calcular	o	valor	pedido	pelo	problema.
Portanto,	para	manter	a	concentração	de	argônio	no	reciclo	igual	a	7,5%,	deve-
-se	purgar	uma	vazão	equivalente	a	4%	da	vazão	de	alimentação.
40
Com	isso,	terminamos	nossa	introdução	aos	balanços	materiais.	Como	pode-
mos	notar,	 apesar	 de	não	demandarem	cálculos	 sofisticados,	 os	balanços	de	massa	
trabalham	fortes	habilidades	de	interpretação	do	problema,	análise	crítica	e	organiza-
ção.	Aprimorar	essas	qualidades	facilitará	o	estudo	dos	fenômenos	de	transporte,	que	
começaremos,	propriamente,	a	seguir.
Para aprender mais sobre balanços materiais, não deixe de con-
ferir a oitava edição de Engenharia Química – Princípios e Cálculos, 
dos autores David M. Himmelblau e James B. Riggs, uma obra 
consagrada pela excelente fundamentação de habilidades e co-
nhecimentos básicos no contexto da Engenharia Química, cujo 
principal objeto de estudo são os balanços de massa e de ener-
gia, tratando, também, da descrição de gases, vapores, líquidos 
e sólidos e diagramas de fases.
As duas primeiras partes do livro abordam grande parte dos 
assuntos estudados até aqui de maneira bastante extensiva, 
com vários exemplos aplicados. É uma excelente opção de 
bibliografia para quem tem a curiosidade e deseja aprender 
mais sobre processos químicos industriais. Além disso, são 
trabalhados os balanços materiais envolvendo reações quí-
micas, algo que não consideramos aqui.
DICA
5 FLUIDO E A LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE
Provavelmente,	aulas	de	Física,	foram	estudados	assuntos	relacionados	aos	cha-
mados	fluidos,	como	o	conceito	de	pressão	e	a	Lei	de	Pascal.	No	contexto	dos	fenôme-
nos	de	transporte,	a	mecânica	dos	fluidos	busca	levar	esse	estudo	adiante,	explicando	
o	comportamento	físico	dos	fluidos	e	as	leis	que	o	regem.	Ela	é,	portanto,	uma	ciência	
fundamental	em	diversas	vertentes	da	Engenharia,	pois	possui	aplicação	prática	a	muitas	
situações,	como	escoamentos	em	tubulações,	pressões	em	barragens,	deslocamento	de	
fluidos	e,	até	mesmo,	aerodinâmica	(afinal,	o	próprio	ar	atmosférico	é	um	fluido).
5.1 O CONCEITO DE FLUIDO
Podemos	afirmar	que	a	mecânica	dos	fluidos	é	uma	das	ciências	básicas	mais	
fundamentais	para	os	engenheiros.	A	palavra	 “mecânica”	 remete	ao	estudo	do	com-
portamento	de	sistemas	submetidos	a	uma	ou	mais	forças.	A	palavra	“fluido”,	por	outro	
lado,	pode	ser	um	pouco	mais	difícil	de	se	definir.	Iniciaremos	por	uma	definição	mais	
elementar:	fluido	é	uma	substância	que,	ao	ser	colocada	em	um	recipiente,	assume	o	
formato	do	recipiente,	não	possuindo	forma	própria.	Com	base	nessa	definição,	pode-
mos	concluir	que	líquidos	e	gases	são	fluidos,	diferentemente	dos	sólidos,	como	ilustra	
a	Figura	17.
41
Figura 17 – Comparação entre fluidos e sólidos em um recipiente
Fonte: Brunetti (2008, p. 1)
É	importante	observarmos	que,	enquanto	os	gases	ocupam	todo	o	recipiente,	
os	líquidos	podem	apresentar	uma	superfície	livre,	caso	o	recipiente	não	esteja	com-
pletamente	cheio.
Apesar	de	esta	ser	uma	definição	suficiente	para	dizer	se	uma	substância	é	um	
fluido	ou	não,	a	mecânica	dos	fluidos	faz	mais	sentido	se	partirmos	de	uma	definição	um	
pouco	mais	abstrata:	fluido é qualquer substância capaz de fluir.	Para	desenvolver-
mos	melhor	essa	ideia,	descreveremos	a	observação	prática	chamada	de	“experiência	
das	duas	placas”.
Considerando	um	sólido	de	material	qualquer,	preso	entre	duas	placas	planas,	
uma	inferior	e	uma	superior.	É,	então,	exercida	uma	força	sobre	a	placa	tangencial	ao	
sólido,	na	direção	do	plano	da	placa	(Figura	18A).	Mantendo	a	força	constante,	o	que	
se	observa	é	que	o	sólido	é	deformado	de	maneira	angular	até	certo	limite,	no	qual	as	
tensões	internas	equilibram	a	força	externa	aplicada,	atingindo	a	condição	de	equilíbrio	
estático	(Figura	18B).
Figura 18 – Experiência das duas placas para um sólido
Fonte: Brunetti (2008, p. 2)
Dessa	forma,	podemos	dizer	que,	ao	aplicarmos uma força tangencial cons-
tante a um sólido,	ele	se deforma angularmente até	atingir	uma nova posição de 
equilíbrio estático.
42
Agora,	vejamos	o	que	acontece	com	um	fluido	submetido	a	essa	mesma	expe-
riência,	imaginando-se	que	seja	possível	acompanhar	cada	unidade	de	fluido	ao	longo	
do	experimento.	Para	facilitar	a	visualização,	denominaremos	o	volume	de	ABCD,	cada	
letra	correspondendo	a	uma	extremidade	(Figura	19A).
Figura 19 – Experiência das duas placas para um fluido
Fonte: Brunetti (2008, p. 2)
Ao	aplicarmos	força	tangencial	à	placa	superior,	ela	passa	a	se	deslocar	a	uma	
velocidade	v.	O	que	se	observa	é	que	os	pontos	do	fluido	em	contato	com	a	placa	su-
perior	(lado	AD)	adquirem	essa	mesma	velocidade	v,	enquanto	os	pontos	do	fluidoem	
contato	com	a	placa	 inferior	 (lado	BC)	ficam	parados	 junto	a	ela	 (Figura	 19B).	Surge,	
portanto,	o	princípio	da	aderência.
Aderência: quando em contato com uma superfície sólida, os 
pontos de um fluido aderem-se aos pontos dessa superfície.
NOTA
Dessa	forma,	se	a	força	tangencial	for	mantida	sobre	a	placa	superior,	moven-
do-a	à	velocidade	v,	as	partículas	de	fluido	em	contato	também	se	moverão	à	veloci-
dade	v,	na	mesma	direção	e	sentido.	Isso	significa	que	a	condição	de	equilíbrio	estático	
não	será	atingida,	de	modo	que	o	volume	de	fluido	poderá	se	deformar	continuamente	
(Figura	19C).
Essa	experiência	permite,	portanto,	diferenciar	sólidos	de	fluidos	sob	a	perspec-
tiva	da	mecânica	dos	fluidos:	quando	submetidos	a	forças tangenciais, sólidos se 
deformam limitadamente,	enquanto	fluidos podem se deformar continuamente 
sem	alcançar	um	novo	equilíbrio estático. 
43
Nossa definição final de fluido será, então: substância que se 
deforma continuamente quando submetida à ação de uma força 
tangencial constante qualquer (BRUNETTI, 2008).
NOTA
Apesar	de	parecer	exagero	chegarmos	a	essa	definição,	mais	adiante,	veremos	
que	o	princípio	da	aderência	é	fundamental	para	a	compreensão	de	certos	conceitos,	
como	o	de	camada	 limite,	que	é	essencial	no	estudo	tanto	da	mecânica	dos	fluidos	
quanto	dos	demais	fenômenos	de	transporte.	Outra	observação	 importante	pode	ser	
feita	com	relação	à	experiência	de	duas	placas.	Para	tanto,	antes,	é	necessário	definir-
mos	o	conceito	de	tensão	de	cisalhamento.
5.2 TENSÃO DE CISALHAMENTO E A LEI DE NEWTON DA 
VISCOSIDADE
Considerando	uma	superfície	de	área	A,	sobre	a	qual	é	aplicada	uma	força			 . 
Podemos	decompor	esta	força	na	sua	componente	tangencial	(					)	e	na	sua	componente 
normal	 à	 superfície	 (	 	 	 ),	 como	mostra	 a	 Figura	 20.	 A	 seguir,	 discutiremos	 sobre	 a	
componente	tangencial	e,	posteriormente,	analisaremos	a	componente	normal.
Figura 20 – Ação de uma força sobre uma superfície e suas componentes normal e tangencial
Fonte: Brunetti (2008, p. 3)
44
A tensão de cisalhamento é definida como a razão entre 
o módulo da componente tangencial da força e a área da 
superfície em que é aplicada:
NOTA
Portanto,	é	a	força	tangencial	por	unidade	de	área,	sendo	dada,	geralmente,	em	
N/m²	(SI),	kgf/m²	ou	dina/cm².
Voltando	à	experiência	de	duas	placas,	nota-se	que,	no	caso	dos	fluidos,	 ao	
exercer	a	força	tangencial	sobre	a	placa,	ela	passa	a	ser	acelerada	da	velocidade	nula	
até	uma	velocidade	finita,	v0,	que	permanece	constante	ao	longo	do	experimento.	As-
sim,	a	partir	de	um	determinado	momento,	não	há	mais	aceleração.	Pela	segunda	Lei	de	
Newton	da	dinâmica,	isso	significa	que	a	resultante	das	forças	deve	ser	nula	(condição	
de	equilíbrio	dinâmico).	Como	não	existem	outras	forças	externas	atuando	no	sistema,	
conclui-se	que	a	força	aplicada	na	placa	é	equilibrada	por	forças	internas	do	fluido.	
Para	entendermos	essas	forças	internas,	podemos	recorrer	ao	princípio	da	ade-
rência.	Na	experiência,	a	camada	de	fluido,	junto	à	superfície	superior,	move-se	à	velo-
cidade	v0,	enquanto	a	camada	de	fluido,	junto	à	superfície	inferior,	terá	velocidade	nula.	
As	camadas	intermediárias,	por	sua	vez,	passam	a	se	mover	conforme	um	gradiente	de	
velocidades,	indo	de	zero	(na	placa	inferior)	até	v0	(na	placa	superior),	como	mostra	a	
Figura	21A.
Figura 21 – Gradiente de velocidade e tensões de cisalhamento entre as camadas de fluido na experiência 
de duas placas 
Fonte: Brunetti (2008, p. 4)
45
Esse	deslizamento	entre	camadas	(por	estarem	em	velocidades	diferentes)	faz	
com	que	elas	exerçam	forças	tangenciais	umas	sobre	as	outras,	criando	as	tensões	de	
cisalhamento	(Figura	21B),	equilibrando	a	força	externa						e	fazendo	com	que	a	placa	 
superior	fique	com	a	velocidade	constante	v0.	Newton	evidenciou	que,	para	a	grande	
maioria	dos	fluidos,	a	tensão	de	cisalhamento	é	proporcional	ao	gradiente	de	velocidade	
(variação	da	velocidade	v	na	coordenada	y	–	Figura	21C).	
Matematicamente, podemos escrever as afirmações apresentadas 
anteriormente da seguinte forma:
 ou
Essa é a chamada lei de Newton da viscosidade. Fluidos que 
obedecem a essa relação são chamados de fluidos newtonianos, 
como água, ar e óleos. Fluidos não newtonianos não serão traba-
lhados aqui, uma vez que pode ser bastante difícil descrever o seu 
comportamento.
IMPORTANTE
Sir Isaac Newton (4 de janeiro de 1643 – 31 de março de 1727) 
foi um físico e matemático inglês reconhecido como o ícone da re-
volução científica do século XVII. A descoberta da decomposição 
da luz branca, suas três leis da mecânica clássica, a lei da gravita-
ção universal e suas contribuições no desenvolvimento do cálculo 
diferencial e integral são consideradas alguns de seus principais 
trabalhos (WESTFALL, 2022).
Fonte: WESTFALL, R. S. Isaac Newton. Britannica, [s. l.], 2022. Dis-
ponível em: https://www.britannica.com/biography/Isaac-Newton. 
Acesso em: 5 dez. 2022.
INTERESSANTE
5.3 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS
Agora,	discutiremos	algumas	propriedades	bastante	importantes	para	a	análise	
dos	fluidos	e	escoamentos.	A	primeira	delas	é	a	 lei	de	Newton	da	viscosidade.	Afinal,	
você	saberia	definir	o	que	é	a	viscosidade?
46
Quando	um	objeto	sólido	desliza	em	relação	a	outro,	observamos	o	surgimento	
de	uma	força	na	superfície	de	contato,	na	direção	oposta	ao	movimento	–	a	chamada	
força	de	atrito.	De	forma	análoga,	quando	um	fluido	se	movimenta	em	relação	a	um	
sólido	ou	a	outro	fluido,	observa-se	que	também	existe	uma	resistência	ao	movimento.	
A	propriedade	que	representa	essa	resistência	é	a	viscosidade.	Naturalmente,	existem	
fluidos	com	maiores	ou	menores	viscosidades,	uma	vez	que	é	muito	mais	fácil	correr	
ao	ar	livre	(onde	estamos	imersos	em	ar,	um	fluido)	que	em	uma	piscina	cheia	de	água.
Como	vimos,	para	fluidos	newtonianos,	a	tensão	de	cisalhamento	é	proporcio-
nal	ao	gradiente	de	velocidade.	A	constante	de	proporcionalidade	é	justamente	a	vis-
cosidade dinâmica	ou	absoluta	(μ)	do	fluido:
											ou
No	SI,	três	formas	comuns	de	expressar	as	unidades	de	viscosidade	são:	kg/
(m.s),	N.s/m2	ou	Pa.s	(em	que	Pa	é	a	unidade	de	pressão,	pascal).	Outra	unidade	comum	
é	o	poise	 (P),	equivalente	a	0,1	Pa.s,	sendo,	também,	frequentemente	utilizado	como	
centipoise	(cP,	um	centésimo	de	poise).	A	viscosidade	da	água	a	20	°C	é	de	1	cP,	por	isso	
a	unidade	serve	como	uma	referência	conveniente.
De forma prática, podemos dizer que a viscosidade é a 
propriedade que representa a dificuldade de o fluido es-
coar. Ela surge em nível microscópico, devido à coesão das 
moléculas e aos choques entre elas. Por causa disso, ela é 
também variável com a temperatura. Podemos verificar esse 
fenômeno com a seguinte comparação: o óleo de cozinha 
espalha melhor antes ou depois de aquecê-lo? Em líquidos, o 
aumento da temperatura reduz a viscosidade, enquanto, nos 
gases, o aumento da temperatura aumenta a viscosidade.
IMPORTANTE
A	seguir,	analisaremos	um	exemplo:	é	necessário	substituirmos	o	lubrificante	do	
pistão	de	certo	equipamento.	O	pistão	é	cilíndrico,	com	massa	de	500	g,	diâmetro	de	15	
cm	e	altura	de	6	cm.	Ele	trabalha	dentro	de	um	cilindro	com	15,1	cm	de	diâmetro	e	deve	
cair	com	a	velocidade	constante	de	1,4	m/s.	Qual	deve	ser	a	viscosidade	do	lubrificante	
para	atender	a	essas	condições	de	operação?	Considere	uma	aceleração	da	gravidade	
de	10	m/s².
Solução:	para	facilitar	a	visualização,	podemos	fazer	um	esboço	do	problema,	
como	o	representado	na	Figura	22.
47
Figura 22 – Esboço do problema sobre substituição do lubrificante no pistão
Fonte: os autores
Para	que	o	pistão	caia	à	velocidade	constante,	é	necessário	que	ele	esteja	em	
equilíbrio	dinâmico:	há	movimento,	mas	não	há	aceleração.	Pela	segunda	lei	de	Newton,	
temos:
Aqui,	duas	forças	atuam:	o	próprio	peso	do	pistão	(P)	e	a	força	da	tensão	de	
cisalhamento	(				),	que	é	a	resistência	do	lubrificante	ao	movimento.	Assim,	em	módulo:
Lembre-se	de	que,	pela	definiçãode	tensão	de	cisalhamento:
A	tensão	de	cisalhamento	(τ)	pode	ser	avaliada	por	meio	da	lei	de	Newton	da	
viscosidade,	enquanto	a	área	em	questão	é	a	área	lateral	do	pistão.	Sabendo	que	o	pis-
tão	é	um	cilindro,	cuja	área	lateral	é	calculada	pelo	produto	de	sua	circunferência	e	seu	
comprimento,	logo:
48
Nota-se	que,	para	calcularmos	a	viscosidade	por	meio	desta	equação,	é	ne-
cessário	 avaliarmos	o	gradiente	de	velocidades	de	alguma	maneira.	O	procedimento	
rigoroso	e	de	resultado	mais	preciso	seria	empregar	coordenadas	polares	para	resolver	
a	integral.	Entretanto,	em	algumas	situações,	é	possível	simplificar	o	gradiente	de	velo-
cidade,	assumindo	a	variação	de	velocidade	como	linear	(Figura	23).
Figura 23 – Diagrama representativo de uma variação não linear na velocidade em relação ao espaço 
Fonte: os autores
Na	Figura	23,	uma	variação	dy	na	direção	do	eixo	y	corresponde	a	uma	variação	
dv	na	velocidade.	Contudo,	quando	a	distância	(ε)	ntre	as	superfícies	for	relativamente	
pequena,	é	razoável	considerar	que	essa	variação	é	linear,	como	na	Figura	24.
Figura 24 – Diagrama representativo de uma variação linear na velocidade em relação ao espaço
Fonte: os autores
Assim,	podemos	simplificar	a	lei	de	Newton	para	a	seguinte	forma:
49
Retornando	 ao	 exemplo,	 nota-se	 que	 a	 distância	 ε	 da	 parede	 do	 cilindro	 ao	
pistão	é	correspondente	a:
Essa	é	uma	distância	razoavelmente	pequena	para	considerarmos	um	gradien-
te	de	velocidade	linear.	Assim:
O	módulo	da	força	peso	do	pistão	é	dado	por:
P = m . g
Portanto,	isolando	a	viscosidade	e	admitindo	uma	aceleração	da	gravidade	de	
10	m/s²,	chegamos	ao	resultado	desejado:
A	unidade	base	de	Newton	é	N = kg . m/s2.	Assim,	temos	que:
Apenas	 para	 fins	 comparativos,	 o	 resultado	 mais	 preciso	 para	 esse	 proble-
ma	 (não	 considerando	 o	 gradiente	 de	velocidade	 linear)	 seria	 de,	 aproximadamente,	 
6,29 . 10–2 N . s/m2.	Isso	indica	um	erro	de	0,48%,	que	pode	ser	admitido	como	desprezí-
vel,	comprovando	a	viabilidade	da	simplificação	feita.
50
A viscosidade é uma das características mais importantes no mo-
mento de escolhermos o melhor óleo lubrificante para um carro. 
Na prática, o produto precisa ser viscoso o suficiente para criar uma 
película protetora entre as partes do motor, mas não pode ser tão 
viscoso a ponto de oferecer muita resistência ao movimento das 
peças, exigir mais força para ser bombeado e fluir lentamente pelo 
motor. Os menos viscosos circulam com mais facilidade, permitindo 
uma lubrificação mais rápida e que alcança cada centímetro das 
peças. Essa excelente fluidez faz com que nenhuma parte se des-
gaste mais do que outra, diminuindo a necessidade de pequenas 
manutenções (STABELINI, 2019). 
Fonte: STABELINI, D. Viscosidade do óleo: o que é e por que é im-
portante? Texaco, [s. l.], 2019. https://blog.texaco.com.br/havoline/
viscosidade-do-oleo/. Acesso em: 5 dez. 2022.
INTERESSANTE
As	próximas	propriedades	abordadas	são	relativamente	simples,	mas	seus	no-
mes	podem	causar	certa	confusão.	Para	evitar	que	isso	ocorra,	é	necessário	caracte-
rizar:	densidade,	massa	específica	e	peso	específico.	Os	fluidos	serão	admitidos	como	
meios	contínuos	e	homogêneos,	ou	seja,	as	propriedades	em	cada	ponto	do	fluido	coin-
cidem	com	as	suas	propriedades	médias.	Com	isso	em	mente,	diferenciaremos	densi-
dade	de	massa	específica.
Considerando	um	corpo	de	massa	(m)	e	volume	total	(V),	seja	ele	maciço	ou	oco,	
é	possível	definir,	matematicamente,	a	densidade	(d)	desse	corpo	por	meio	da	seguinte	
relação:
Caso	o	corpo	analisado	seja	maciço	e	homogêneo	ou	caso	a	parte	oca	seja	des-
considerada,	a	densidade	é	chamada	de	massa específica	(ρ).	Em	geral,	ela	depende	
da	temperatura	e	da	pressão,	sendo	característica	do	fluido.	No	SI,	a	unidade	é	kg/m³.
É	comum,	também,	chamar	a	massa	específica	de	“densidade absoluta”.	Con-
tudo,	alguns	materiais	utilizam	o	termo	“densidade”	de	forma	mais	genérica,	referindo-se	
a	corpos	e	objetos,	em	vez	de	substâncias	específicas.	Isso	pode	gerar	dúvidas	quando	os	
objetos	forem	maciços	ou	ocos	e,	por	isso,	será	evitado	ao	longo	deste	material.
51
Por	sua	vez,	o	peso específico	(γ)	segue	uma	lógica	semelhante:	é	o	peso	(P)	
por	unidade	de	volume	(V).	No	SI,	a	unidade	é	N/m³,	sendo	comum	também	encontrá-la	
dada	em	kgf/m³:
Como	o	peso	é	o	produto	da	massa	com	a	aceleração	da	gravidade,	ou	seja,		 
P = m . g,	é	possível	traçar	uma	relação	entre	peso	específico	e	massa	específica:
Para	 líquidos,	 essas	 duas	 propriedades	 são	 essencialmente	 constantes,	 pois	
podem	ser	consideradas	substâncias	incompressíveis,	ou	seja,	uma	variação	na	pressão	
não	varia	o	seu	volume.	Para	gases,	os	efeitos	da	pressão	não	podem	ser	desprezados.	
Por	exemplo:	conhecendo	as	massas	e	os	volumes	de	duas	esferas,	uma	maci-
ça	e	uma	oca,	feitas	de	um	único	e	mesmo	material,	como	ilustrado	na	Figura	25,	como	
calcular	a	massa	específica	e	o	peso	específico	desse	material,	e	a	densidade	de	cada	
esfera?
Figura 25 – Ilustração representativa de duas esferas: A (maciça) e B (oca)
Fonte: os autores
Solução:	ambas	as	esferas	são	do	mesmo	material.	Calculando	a	massa	especí-
fica	do	material	para	a	esfera	A,	temos:
52
Ao	fazer	o	mesmo	para	a	esfera	B,	é	preciso	atentar	para	utilizar	apenas	o	volu-
me	de	material,	ou	seja,	descontando	a	parte	oca.	Dessa	forma:
De	fato,	se	o	material	de	ambas	as	esferas	é	o	mesmo,	a	massa	específica	deve	
ser	a	mesma.	Considerando	uma	aceleração	da	gravidade	de	10	m/s²,	podemos	avaliar	
o	peso	específico	facilmente:
Agora,	calculando	a	densidade	da	esfera	A:
Nota-se	que	este	resultado	é	igual	à	massa	específica	do	material.	Isso	faz	sen-
tido,	pois	ela	é	maciça.	Por	outro	lado,	ao	calcularmos	a	densidade	da	esfera	B,	veremos	
que,	apesar	de	ter	massa	e	volume	de	material	idênticos	ao	da	esfera	A,	o	fato	de	ela	ser	
oca	faz	com	que	sua	densidade	seja	menor:
Sabendo	o	que	é	viscosidade	dinâmica/absoluta	e	massa	específica,	podemos	
definir	a	chamada	viscosidade cinemática	(v),	obtida	pela	razão	entre	a	viscosidade	
absoluta	e	a	massa	específica:
No	 SI,	 sua	 unidade	 é	 m²/s.	 Existe	 também	 outra	 unidade	 utilizada	 com	
frequência,	o	stokes	(St),	equivalente	a	cm²/s,	sendo	também	frequentemente	utilizado	
o	 centistokes	 (cSt).	 Este	 é	 um	 parâmetro	 importante	 para	 a	 mecânica	 dos	 fluidos,	
também	chamada	de	“difusividade de momento”.
Por	fim,	conhecidas	essas	propriedades,	é	importante	definirmos	dois	conceitos	
fundamentais	para	o	restante	de	seu	estudo:
53
• Fluido ideal: aquele	cuja	viscosidade	é	nula,	sem	perdas	de	energia	por	atrito,	sendo	
também	incompressível.	Naturalmente,	não	existem	fluidos	ideais,	mas,	às	vezes,	este	
conceito	é	utilizado	em	problemas	de	mecânica	dos	fluidos	(ÇENGEL;	CIMBALA,	2015).
• Escoamento incompressível: escoamento	de	fluido,	em	que	seu	volume	não	varia	
ao	modificar	a	pressão.	Em	geral,	os	escoamentos	podem	ser	considerados	incom-
pressíveis,	pois	o	fluido	é	um	líquido	ou	as	velocidades	em	questão	são	baixas	(ÇEN-
GEL;	CIMBALA,	2015).
A	 seguir,	 abordaremos	 a	 técnica	 de	 análise	 dimensional,	 importante	 para	
compreendermos	as	variáveis	e	as	grandezas	fisicamente.	Demonstraremos	o	seu	uso	
com	as	propriedades	que	estudamos	anteriormente.
6 ANÁLISE DIMENSIONAL
Na	realidade,	muitos	casos	da	Engenharia	não	são	viáveis	de	serem	resolvidos	
de	forma	puramente	analítica,	seja	porque	não	conhecemos	ou	não	conseguimos	resol-
ver	as	equações	ou,	ainda,	porque	a	quantidade	de	variáveis	é	muito	grande.	Por	isso,	às	
vezes,	a	experimentação	é	o	único	método	que	permite	produzir	modelos	matemáticos	
capazes	de	descrever	os	fenômenos	observados.	Contudo,	experimentos	exigem	tem-
po	e	dinheiro,	sendo	fundamental	projetá-los	de	maneira	enxuta,	em	que	seus	resulta-
dos	são	aproveitados	de	forma	eficiente.	A	análise	dimensional	surge	para	alcançar	essa	
eficiência,	racionalizando	a	pesquisa	e	reduzindo	custos	e	tempo.	
Os	três	principais	propósitos	da	análise	dimensional	são:
•	 Desenvolver	modelos	matemáticos	capazesde	descrever	o	fenômeno	em	estudo.
•	 Elaborar	parâmetros	adimensionais	(sem	dimensão),	que	facilitam	a	interpretação	de	
resultados	experimentais	e	o	design	de	experimentos.
•	 Prever	semelhanças	entre	parâmetros	e	fenômenos.
O	objetivo	não	é	desenvolver	matematicamente	as	estratégias	de	análise	di-
mensional,	mas	fornecer	formas	de	utilização	prática	desse	assunto.	Para	isso,	come-
çaremos	com	o	conceito	de	equações	dimensionais.
6.1 EQUAÇÕES DIMENSIONAIS
Na	descrição	de	fenômenos	físicos,	encontramos	diversos	tipos	de	grandezas	
diferentes,	como	força,	aceleração,	velocidade,	energia,	tempo	e	espaço.	Como	sabe-
mos,	cada	uma	dessas	grandezas	é	dada	por	dimensões	e	unidades	diferentes.	Contu-
do,	ao	analisá-las,	podemos	identificar	que	nem	todas	são	independentes	entre	si,	uma	
vez	que	estão	relacionadas	por	 leis	físicas	e	definições.	Assim,	podemos	reduzir	esse	
conjunto	de	grandezas	para	apenas	três	grandezas	independentes,	a	partir	das	quais	
podem	ser	obtidas	todas	as	outras,	sendo	chamadas	de	base	completa	da	mecânica.
54
Por	exemplo,	a	grandeza	“velocidade”	nada	mais	é	do	que	uma	combinação	das	
grandezas	“espaço”	e	“tempo”.	Afinal,	se	um	corpo	percorre	20	metros	(espaço)	em	5	se-
gundos	(tempo),	podemos	dizer	que	ele	se	move	a	4	metros	por	segundo	(velocidade).	As-
sim,	a	grandeza	“velocidade”	depende	das	grandezas	independentes	“espaço”	e	“tempo”.
As	grandezas	utilizadas	como	 independentes	podem	ser	 escolhidas	conforme	
a	conveniência,	mas,	em	geral,	costumam	ser:	força,	comprimento	e	tempo	(base	FLT).	
Esta	será	a	base	adotada	ao	longo	deste	livro	didático	–	contudo,	não	é	tão	raro	encontrar	
materiais	que	utilizem	a	base	MLT:	massa,	comprimento	e	tempo.	As	demais	grandezas	
que	não	fazem	parte	da	sua	base	completa	são	denominadas	de	grandezas	derivadas.
Estabelecidos	esses	conceitos,	podemos,	então,	definir	o	que	são	as	chamadas	
equações	dimensionais.
Equação dimensional: equação monômia (ou seja, de um 
único termo) que relaciona uma grandeza derivada com a 
base completa (BRUNETTI, 2008).
NOTA
Agora,	exploraremos	o	uso	da	análise	dimensional	propondo	um	exemplo	que	
aborde	as	propriedades	dos	fluidos	estudadas	anteriormente,	escrevendo	a	equação	
dimensional	da	viscosidade	cinemática	na	base	FLT.
Solução:	sabemos	que	a	viscosidade	cinemática	é	dada	pela	razão	entre	a	vis-
cosidade	dinâmica	e	a	massa	específica:
É	necessário,	inicialmente,	analisarmos	as	dimensões	dessas	duas	proprieda-
des.	A	massa	específica,	por	definição,	é	a	razão	entre	massa	e	volume:
Nota-se	que	temos	a	base	FLT:	força,	comprimento	e	tempo.	Isso	significa	que	a	
massa	é	uma	de	suas	grandezas	derivadas	e	deve	ser	escrita	em	função	das	grandezas	
fundamentais.	A	lei	física	que	consegue	expressar	a	massa	nessa	base	é	a	segunda	lei	
de	Newton:
55
A	força	(F )	é	uma	de	nossas	grandezas	fundamentais.	Portanto,	ao	analisarmos	
sua	dimensão,	temos	que	[F]	=	F.	A	aceleração	(a),	por	outro	lado,	tem	unidades	de	com-
primento	divididas	por	tempo	ao	quadrado,	como	m/s²,	por	exemplo.	Suas	dimensões	
são,	portanto:	[a] = L/T² = LT-2.	Assim:
De	modo	semelhante,	sabemos	que	a	geometria	de	volume	(V )	tem	dimensões	
de	comprimento	ao	cubo,	ou	seja:	[V ]	=	L3.	Combinando	[m]	e	[V ],	para	a	massa	específica,	
temos:
Resta	 agora	 verificarmos	 as	 dimensões	 da	 viscosidade	 absoluta.	 Pela	 lei	 de	
Newton	da	viscosidade,	temos:
Como	definimos	anteriormente,	a	tensão	de	cisalhamento	é:
A	força	tangencial	 (Ft )	é,	evidentemente,	uma	força,	portanto,	uma	grandeza	
fundamental:	[Ft ]	=	F.	Por	sua	vez,	da	geometria,	sabemos	que	a	área	(A)	tem	dimensões	
de	comprimento	ao	quadrado:	[A]	=	L².	Combinando-as,	temos,	então:
O	 gradiente	 de	 velocidade	 (dv/dy)	 também	 pode	 ser	 analisado	 da	 mesma	
maneira:	são	variações	de	velocidade	(comprimento/tempo)	por	variações	de	posição	
(comprimento).	Assim:
56
Portanto,	as	dimensões	da	viscosidade	absoluta	são:
Finalmente,	combinando	a	viscosidade	absoluta	e	a	massa	específica,	podemos	
escrever	a	equação	dimensional	da	viscosidade	cinemática	na	base	FLT,	que	é	o	que	
desejamos:
O nome viscosidade cinemática é devido ao fato de suas di-
mensões não envolverem força, apenas comprimento e tempo 
– as próprias grandezas fundamentais da cinemática, suficientes 
para relacionar todas as grandezas derivadas desse campo da 
física. Outros, como termodinâmica e eletromagnetismo, podem 
demandar mais do que três grandezas fundamentais.
INTERESSANTE
6.2 NÚMEROS ADIMENSIONAIS
No	estudo	dos	fenômenos	de	transporte,	é	comum	nos	depararmos	com	alguns	
números	que,	 apesar	de	possuírem	grande	significado	prático	e	 físico,	não	apresen-
tam	unidades.	São	os	chamados	números	adimensionais,	que	independem	de	todas	as	
grandezas	fundamentais	e	costumam	ser	indicados	pela	letra	grega	π.
Para	 melhor	 ilustrarmos	 como	 eles	 funcionam,	 começaremos	 por	 um	 dos	
números	adimensionais	mais	fundamentais	e	conhecidos	da	mecânica	dos	fluidos:	o	
número de Reynolds	(Re).
57
Nota-se	que	ρ	é	a	massa	específica	do	fluido,	v é	a	velocidade	do	escoamento,	
D	é	o	diâmetro	da	tubulação,	μ	é	a	viscosidade	absoluta	do	fluido	e	v	(letra	grega)	é	a	
viscosidade	cinemática.
Façamos,	inicialmente,	a	análise	dimensional	desta	equação.	Nos	exemplos	an-
teriores,	verificamos	que	[ρ] = FT 2L-4 e [μ] = FL-2T .	Além	disso,	v é	uma	velocidade	e	D	é	
um	comprimento,	então:	[v] = LT -1 e [D] = L .	Combinando-os	na	forma	do	número	de	
Reynolds,	teremos:
Como	todos	os	expoentes	são	iguais	a	zero,	conclui-se	que	o	número	de	Rey-
nolds	independe	das	grandezas	fundamentais	força,	comprimento	e	tempo.	Assim,	por	
definição,	é	um	número adimensional.
As	utilidades	do	número	de	Reynolds	serão	mais	bem	discutidas	nas	Unidades	
2	e	3,	mas	vale	mencionarmos	de	antemão	que	seu	principal	uso	é	na	caracterização	de	
escoamentos	de	fluidos,	como	laminares	ou	turbulentos,	sendo	de	grande	importância	
tanto	na	mecânica	dos	fluidos	quanto	nos	processos	de	transferência	de	calor	e	massa.	
Dessa	forma,	o	número	de	Reynolds	demonstra	que	esse	comportamento	do	escoa-
mento	depende	de	um	conjunto	de	grandezas,	e	não	delas	individualmente.	
Afinal,	de	onde	surgem	os	números	adimensionais	e	como	eles	têm	tamanha	
significância?	Nesse	momento,	em	vez	de	esmiuçarmos	as	 raízes	matemáticas	 rigo-
rosas	e	exaustivas	que	existem	por	trás	desses	números,	como	o	chamado	Teorema	
Pi	de	Buckingham,	utilizado	na	concepção	de	um	número	adimensional	para	um	certo	
fenômeno,	faremos	uma	apresentação	qualitativa,	a	fim	de	tornar	mais	fácil	compreen-
dermos	o	papel	dos	números	adimensionais.
Brunetti	 (2008)	sugere	como	exemplo	determinar	a	força	F	de	resistência	ao	
avanço	de	uma	esfera	lisa	mergulhada	em	um	fluido.	Tal	força	costuma	ser	chamada	de	
força	de	arrasto	ou	arraste.
Experimentalmente,	 observa-se	 que	 essa	 força	 é	 uma	 função	 de	 variáveis,	
como	o	diâmetro	(D)	e	a	velocidade	(v)	da	esfera,	e	a	massa	específica	(ρ)	e	viscosidade	
(μ)	do	fluido,	isto	é:
F = f (D, v, ρ, μ)
58
Figura 26 – Representação do experimento para estudo da força de arraste
Fonte: adaptada de Brunetti (2008)
Considera-se	testar,	pelo	menos,	cinco	valores	distintos	para	cada	variável,	o	
equivalente	a	625	pontos	experimentais	(D, v, ρ, μ),	ou	seja,	por	assim	dizer,	o	experimen-
to	seria	realizado	625	vezes.	Por	conta	das	disciplinas	experimentais,	temos	noção	de	
que	isso	demandaria	um	grande	tempo	e,	possivelmente,	muitos	recursos.	Esse	número	
iria	ainda	mais	 longe	se	fossem	consideradas	mais	variáveis	ou	se	tentássemos	mais	
valores	para	cada	uma.
Além	disso,	há	ainda	outro	problema	fundamental:	como	fazer	a	representação	
gráfica	dos	resultados	obtidos?	Se,	por	exemplo,	inicialmente,	optássemos	por	fixar	ρ e 
μ,	poderíamos	construir	um	diagrama	F × D	com	diferentes	curvas	para	as	diferentes	
velocidades,	como	representado	na	Figura	27.
Figura 27 – Diagrama F × D para diferentes velocidades com massa específica e viscosidade constantes
Fonte: Brunetti (2008, p. 145)
Ainda,	podemos	observar	quanto	dos	resultados	obtidosseriam	contemplados	
por	esse	diagrama:
•	 Um	valor	de	massa	específica	(ρ).
•	 Um	valor	de	viscosidade	(μ).
•	 Cinco	valores	de	diâmetro	(D).
•	 Cinco	valores	de	velocidade	(v).
59
Portanto,	 um	 único	 diagrama	 contemplaria	 apenas	 25	 dos	 625	 resultados:	
cinco	curvas,	uma	para	cada	velocidade,	cada	uma	com	cinco	pontos	para	cada	um	
dos	diâmetros	testados.	Isso	significa	que	seriam	necessários	25	diagramas	diferentes	
para	representar	todos	os	resultados,	basicamente	formando	uma	matriz	ρ	(linhas)	×	μ 
(colunas),	em	que	cada	elemento	da	matriz	é	um	diagrama.
Figura 28 – Matriz de diagramas F × D para avaliação da força de arraste em diferentes diâmetros, 
velocidades, massas específicas e viscosidades
Fonte: Brunetti (2008, p. 145)
Como	se	isso	tudo	já	não	fosse	exaustivo	o	bastante,	podemos	refletir	acerca	
de	duas	últimas	perguntas:	seria	viável	tentar	identificar	e	descrever	o	comportamento	
desejado	tendo	que	observar	e	analisar	625	diagramas	diferentes	simultaneamente?	Se	
o	número	de	variáveis	ou	de	valores	testados	para	cada	uma	fosse	reduzido,	visando	a	
simplificar	o	experimento	e	a	análise,	será	que	os	resultados	seriam	realmente	bons	e	
suficientes	para	descrever	um	fenômeno	físico	rigorosamente?
Nesse	 sentido,	 precisamos	verificar	 como	 os	 números	 adimensionais	 podem	
simplificar	esse	experimento.	Consideram-se	os	seguintes	números:
e
Nota-se	que	π2	é	justamente	o	número	de	Reynolds.	
60
Acadêmico, caso queira praticar, você pode fazer a análise 
dimensional de π1 para verificar se ele é mesmo adimensional. 
O importante, nesse momento, é que você perceba que π1 e π2, 
juntos, contemplam as quatro variáveis em estudo (D, v, ρ, μ ) .
NOTA
Se	utilizarmos	uma	única	esfera	de	diâmetro	D e	um	único	fluido	de	massa	es-
pecífica	ρ e	viscosidade	μ,	pode-se	variar	a	velocidade	v e medir	a	força	F,	isto	é,	teremos	
pares	(F, v)	para	um	trio	(D, ρ, μ)	fixo.	Nota-se	que,	conhecendo	todos	estes	cinco	valores	
em	cada	ponto	experimental,	também	é	possível	avaliar	π1 e π2 em	cada	um	desses	pon-
tos.	Assim,	podemos	organizar	as	informações	conforme	mostra	a	Tabela	5.
Tabela 5 – Resultados para o experimento da força de arraste variando a velocidade
Fonte: os autores
Ponto F v D ρ μ π1 π2
1 F1 v1 D ρ μ
2 F2 v2 D ρ μ
3 F3 v3 D ρ μ
4 F4 v4 D ρ μ
5 F5 v5 D ρ μ
Além	disso,	ambos	os	números	adimensionais	contêm	a	velocidade,	que	é	o	
parâmetro	que	 foi	variado.	Assim,	 é	possível	 afirmar	que,	 para	 cada	π1,	 existe	um	π2 
correspondente,	sendo	possível	construir	o	diagrama	π1 x	π2 apresentado	na	Figura	29.
61
Figura 29 – Diagrama hipotético π1 x π2 
Fonte: os autores
Agora,	é	 importante	compreendermos	a	seguinte	afirmação:	os	pontos	dessa	
curva	dependem	do	conjunto	(ρ, v, D, μ,	F),	e	não	de	seus	valores	individuais.	Isso	sig-
nifica	que	o	experimento	foi	genérico,	e	os	resultados	são	válidos	para	outras	esferas	
de	diâmetros	diferentes	ou	outros	fluidos	com	massas	específicas	e	viscosidades	di-
ferentes.	Por	exemplo,	na	Figura	29,	o	ponto	(200;	0,5)	é	válido	para	qualquer	conjunto	 
(ρ, v, D, μ,	F),	desde	que:
 e
Dessa	forma,	a	curva	contempla	todas	as	infinitas	combinações	de	valores	das	
cinco	variáveis,	sendo	capaz	de	descrever	o	fenômeno	em	estudo	com	versatilidade	e	
economizando	tempo	e	recursos.	Diagramas	como	esse	são	chamados	de	diagramas	
universais	do	fenômeno.
É	importante	fixarmos	essa	ideia	por	meio	de	um	exemplo	quantitativo:	um	óleo	
cuja	massa	específica	é	930	kg/m³	e	a	viscosidade	dinâmica	é	de	5,81x10-2	N	.	s/m².	Se	
uma	esfera	de	1	centímetro	de	diâmetro	se	desloca	nesse	fluido	à	velocidade	de	0,5	m/s,	
qual	a	força	de	arrasto	sobre	ela?	Considere	o	diagrama	hipotético	da	Figura	29.
Solução:	os	parâmetros	que	conhecemos	são	suficientes	para	calcular	o	núme-
ro	adimensional	π2:
62
Pelo	diagrama	da	Figura	29,	quando	π2	=	80,	temos	que	π1	=	1,6.	Assim,	é	possível	
calcular	F:
Como	é	possível	notar,	os	números	adimensionais	podem	facilitar	bastante	o	
estudo	de	leis	e	fenômenos	físicos.	Assim	como	o	número	de	Reynolds,	alguns	núme-
ros	que	aparecem	com	certa	frequência	nos	fenômenos	de	transporte	recebem	nomes	
próprios,	como	os	números	de	Mach,	Euler,	Fourier,	Biot,	Nusselt,	Prandtl,	Schmidt,	She-
rwood	e	muitos	outros.	
Uma vez que este livro didático é de natureza introdutória, 
esses números não serão todos abordados, mas, caso você 
procure conhecê-los, certamente sua visão analítica acerca 
dos fenômenos de transporte ficará mais aguçada.
NOTA
63
Neste tópico, você aprendeu:
•	 A	origem	dos	fenômenos	de	transporte	(mecânica	dos	fluidos,	transferência	de	calor	
e	transferência	de	massa),	que	se	deve	à	existência	de	uma	força	motriz,	responsável	
por	redistribuir	uma	certa	propriedade	até	que	um	equilíbrio	seja	estabelecido.	
•	 Como	fazer	os	balanços	materiais	(balanço	global	e	balanço	por	componente)	para	um	
dado	sistema	de	interesse,	com	base	no	princípio	de	conservação	de	massa.	Por	meio	
deles,	é	possível	calcular	as	informações	necessárias	para	um	projeto	de	Engenharia.	
•	 Como	realizar	as	conversões	de	unidades	multiplicando	as	grandezas	por	fatores	de	
conversão.	Muitas	vezes,	essas	conversões	são	necessárias	para	garantir	a	consis-
tência	física	nos	cálculos	de	Engenharia.		
•	 Como	classificar	os	sistemas	em:	aberto	(a	matéria	atravessa	a	fronteira	do	sistema)	
ou	fechado	(a	matéria	não	atravessa	a	fronteira	do	sistema);	e	estacionário	(as	con-
dições	do	sistema,	assim	como	suas	correntes	de	entrada	e	saída,	permanecem	inal-
teradas	ao	longo	do	tempo)	ou	transiente	(algumas	ou	todas	as	condições	do	sistema	
se	alteram	ao	longo	do	tempo).	
•	 Como	 reconhecer	 algumas	 correntes	 relevantes	 na	 indústria:	 reciclo	 (corrente	 do	
processo	que	é	alimentada	em	uma	etapa	anterior	àquela	que	a	originou),	bypass 
(corrente	do	processo	que	pula	uma	ou	mais	etapas	de	um	processo,	unindo-se	no-
vamente	em	um	estágio	posterior)	e	purga	(corrente	retirada	do	processo	com	o	ob-
jetivo	de	remover	materiais	indesejados).
•	 O	conceito	de	fluido,	uma	substância	que	se	deforma	continuamente	quando	subme-
tida	à	ação	de	uma	força	tangencial	constante	qualquer.	Quando	em	contato	com	uma	
superfície	sólida,	os	pontos	de	um	fluido	aderem-se	aos	pontos	desta	superfície.
•	 O	conceito	de	viscosidade,	que	é	uma	propriedade	que	representa	a	dificuldade	de	o	
fluido	escoar.	Ela	surge	em	nível	microscópico,	devido	à	coesão	das	moléculas	e	aos	
choques	entre	elas.	Por	causa	disso,	ela	é	também	variável	com	a	temperatura.	Em	
geral,	 em	 líquidos,	o	aumento	da	temperatura	 reduz	a	viscosidade,	enquanto,	nos	
gases,	o	aumento	da	temperatura	aumenta	a	viscosidade.
•	 Na	grande	maioria	das	aplicações	industriais	da	mecânica	dos	fluidos,	os	escoamen-
tos	de	líquidos	podem	ser	considerados	incompressíveis,	 isto	é,	o	volume	do	fluido	
não	varia	ao	modificar	a	pressão.
RESUMO DO TÓPICO 1
64
•	 O	conceito	de	fluido	ideal	é	aquele	cuja	viscosidade	é	nula,	sem	perdas	de	energia	por	
atrito,	sendo	também	incompressível.	Naturalmente,	não	existem	fluidos	 ideais	em	
problemas	reais.
•	 O	conceito	de	tensão	de	cisalhamento	(τ),	definida	como	a	razão	entre	o	módulo	da	
componente	tangencial	da	força	e	a	área	da	superfície	em	que	é	aplicada.
•	 A	importância	da	lei	de	Newton	da	viscosidade,	que	relaciona	a	tensão	de	cisalha-
mento	com	o	gradiente	de	velocidade,	sendo	a	constante	de	proporcionalidade	co-
nhecida	como	viscosidade	absoluta	(μ):
•	 Como	classificar	fluidos	como	newtonianos	(caso	obedeçam	à	lei	de	Newton	da	vis-
cosidade)	e	não	newtonianos	(caso	não	a	obedeçam).
•	 Diversas	 propriedades	 relevantes	 dos	 fluidos,	 como	 densidade,	 massa	 específica,	
peso	específico	e	viscosidade	cinemática.	Particularmente,	a	viscosidade	cinemática	
(v),	também	conhecida	como	difusividade	de	momento,	é	a	razão	entre	a	viscosidade	
absoluta	e	a	massa	específica.
•	 A	definição	do	número	de	Reynolds	 (Re),	um	número	adimensional	extremamente	
importante	na	mecânica	dos	fluidos,	dado	por:
65
AUTOATIVIDADE
1	 Um	processo	precisaproduzir	300	libras	de	uma	solução	a	10%	em	massa	de	cloreto	
de	potássio	(KCl)	em	água.	Para	isso,	deve-se	misturar	uma	solução	a	0,9%	do	sal	e	
o	próprio	sal	puro	seco.	Quais	devem	ser	as	quantidades	misturadas?	Apresente	a	
resposta	em	quilogramas	(1	kg	≈	2,205	lb).
2	 A	dessalinização	da	água	do	mar	e	de	águas	salobras	é	comum	em	países	desérticos	
ou	com	pouca	disponibilidade	de	água	potável,	como	no	Oriente	Médio	e	na	África.	A	
dessalinização	de	água	pode	ser	realizada	por	meio	de	processos	de	osmose	reversa.	
Admitindo	que	estão	presentes	apenas	sal	e	água	e	considerando	a	figura	a	seguir,	
determine:
Fonte: os autores
a)	A	vazão	de	água	do	mar	necessária	para	alimentar	o	processo	(F).
b)	A	vazão	de	salmoura	removida	(W).
c)	A	porcentagem	da	salmoura	que	sai	das	células	de	osmose	reversa	e	é	reciclada.
3	 Duas	placas	planas	paralelas	estão	posicionadas	a	uma	distância	ε	=	3	mm.	O	espaço	
entre	elas	é	preenchido	com	um	óleo	de	viscosidade	cinemática	de	v	=	0,2	St	e	massa	
específica	ρ	=	850	kg/m³.	A	placa	inferior	fica	imóvel,	enquanto	a	placa	superior	pas-
sa	a	se	mover	horizontalmente	com	velocidade	v0	=	3	m/s.	Com	relação	à	tensão	de	
cisalhamento	agindo	sobre	o	óleo,	assinale	a	alternativa	CORRETA:
66
Fonte: os autores
a)	 (			)	 1,7	.	10-2	N/m2.
b)	 (			)	 17	N/m2.
c)	 (			)	 0,02	N/m2.
d)	 (			)	 200	N/m2.
4	 Uma	película	de	óleo	de	2,5	mm	foi	colocada	sobre	uma	superfície	plana	inclinada	
em	45°.	Em	seguida,	uma	placa	quadrada,	com	peso	de	30	N	e	1	metro	de	lado,	foi	
colocada	para	deslizar	sobre	este	plano.	Observou-se	que,	ao	longo	de	sua	descida,	
a	placa	atingiu	a	velocidade	de	4,2	m/s,	que	se	manteve	constante	até	o	final	do	
deslocamento.	Considerando	que	o	óleo	seja	um	fluido	newtoniano,	sobre	a	sua	vis-
cosidade	dinâmica,	assinale	a	alternativa	CORRETA:
Fonte: os autores
a)	 (			)	 1,26	.	10-2	N	.	s/m2.
b)	(			)	 2,52	.	10-2	N	.	s/m2.
c)	 (			)	 8,93	.	10-3	N	.	s/m2.
d)	(			)	 1,79	.	10-2	N	.	s/m2.
67
5	 Para	determinar	a	viscosidade	cinemática	do	metanol	a	20	°C,	sabe-se	que,	nessa	
temperatura,	a	massa	específica	desse	fluido	é	de	788,4	kg/m³.	Experimentalmen-
te,	 observou-se	que,	 quando	uma	esfera	de	 1	 centímetro	de	diâmetro	 se	desloca	
no	metanol	à	velocidade	de	1,49	.	10-2	m/s,	a	força	de	arrasto	sobre	a	esfera	foi	de	 
8,75		.	10-6	N.	Considerando,	de	maneira	hipotética,	que	o	diagrama	apresentado	na	
figura	a	seguir,	 seja	válido.	Sobre	a	viscosidade	cinemática	do	metanol,	 assinale	a	
alternativa	CORRETA:
Fonte: os autores
a)	 (			)	 7,45	.	10-7	kg/m	.	s.
b)	 (			)	 7,45	.	10-7	m2/s.
c)	 (			)	 5,87	.	10-4	kg/m	.	s.
d)	 (			)	 5,87	.	10-4	m2/s.
68
69
ESTÁTICA DE FLUIDOS
UNIDADE 1 TÓPICO 2 — 
1 INTRODUÇÃO
Anteriormente,	introduzimos	conceitos	importantes,	como	regimes	permanen-
te	e	transiente,	sistemas,	leis	de	conservação,	vazão,	viscosidade	(característica	funda-
mental	dos	fluidos),	e,	de	maneira	breve,	apontamos	os	conceitos	de	fluido	ideal,	escoa-
mento	incompressível	e	do	número	de	Reynolds.	
Neste	tema	de	aprendizagem,	a	maioria	dos	problemas	nortearão	o	conceito	
de	pressão.	Para	isso,	é	muito	importante	termos	em	mente	os	conteúdos	que	foram	
abordados,	para	garantir	uma	boa	fluidez	na	leitura	adiante.	
Relembraremos	a	definição	de	pressão	e	apresentaremos	a	 lei	de	Pascal	e	o	
teorema	de	Stevin.	Em	seguida,	diferenciaremos	a	pressão	manométrica	da	pressão	ab-
soluta	e,	ainda,	identificaremos	as	variadas	unidades	de	pressão	que	podem	ser	encon-
tradas	na	rotina	profissional,	assim	como	seus	fatores	de	conversão.	Também	conhece-
remos	alguns	medidores	de	pressão,	como	o	manômetro	de	Bourdon,	e	entenderemos	
os	princípios	físicos	que	 regem	esses	equipamentos.	Ainda,	faremos	alguns	cálculos	
importantes,	 aplicando	 os	 conceitos	 estudados	 a	 sistemas	 que	 envolvem	pressão	 e	
elucidando	o	que	chamaremos	de	equação	manométrica.	Finalmente,	discutiremos	a	
flutuabilidade	de	sólidos	em	fluidos	a	partir	da	definição	de	empuxo.
2 PRESSÃO E SUAS RELAÇÕES MATEMÁTICAS
Ao	cursar	uma	disciplina	de	fenômenos	de	transporte,	é	de	se	esperar	que	se	
esteja	familiarizado	com	algumas	definições	básicas	de	física.	Por	via	das	dúvidas,	é	
importante	relembrarmos	o	conceito	de	pressão,	que	é	um	dos	mais	importantes	para	
a	mecânica	dos	fluidos.
2.1 O CONCEITO DE PRESSÃO
Pressão	é	a	força	normal	exercida	por	um	fluido	por	unidade	de	área.	Nesse	
sentido,	falamos	apenas	de	líquidos	e	gases	–	geralmente,	a	“pressão”	em	corpos	rígidos	
é	chamada	de	tensão	mecânica.	Sendo	FN	a	força	normal	que	atua	em	uma	superfície	
de	área	A,	a	pressão	p é	avaliada	pela	equação:
70
Uma	vez	que	a	pressão	é	definida	como	força	sobre	área,	sua	dimensão	é	de	
força	 por	 comprimento	 ao	 quadrado.	 No	 SI,	 define-se,	 então,	 a	 unidade	 de	 medida	
Pascal	(Pa):
Assim,	utilizaremos,	como	exemplo,	dois	recipientes	submetidos	à	mesma	for-
ça,	mas	de	dimensões	distintas	(Figura	30).
Figura 30 – Recipientes distintos submetidos a forças semelhantes
Fonte: adaptada de Brunetti (2008)
Evidentemente,	a	pressão	em	cada	recipiente	será	diferente:
É	importante	notarmos	que,	enquanto,	anteriormente,	nosso	interesse	era	pe-
las	forças	tangenciais	(para	definir	a	tensão	de	cisalhamento),	nesse	momento,	o	nosso	
foco	será	nas	forças	normais	sobre	o	fluido.	Por	isso,	é	importante	sempre	termos	em	
mente	o	chamado	“plano	horizontal	de	referência”	(PHR),	que,	basicamente,	é	um	plano	
horizontal	arbitrário	que	marca	a	altura	z	=	0	de	um	sistema	(Figura	31).
71
Figura 31 – Sistema de tubulações indicando o plano horizontal de referência
Fonte: adaptada de Brunetti (2008)
Para	o	PHR	identificado	na	Figura	31,	teremos:
•	 Altura	da	cota	(0):	z0 = 0.
•	 Altura	da	cota	(1):	z1 = 2m.
•	 Altura	da	cota	(2):	z2 = 2m + 10m = 12m.
•	 Altura	da	cota	(3):	z3 = 2m + 10m + 1m = 13m.
Frequentemente,	essa	será	uma	das	inúmeras	considerações	e	hipóteses	ado-
tadas	a	partir	de	agora,	para	que	seja	possível	analisarmos	e	solucionarmos	os	proble-
mas.	Ao	 longo	das	explicações	e	dos	exemplos	trabalhados,	veremos	que	essas	são	
ferramentas	práticas	e	eficientes.
2.2 LEI DE PASCAL
A	unidade	de	pressão	no	SI,	descrita	anteriormente,	Pascal	(Pa),	é	uma	home-
nagem	ao	matemático	e	físico	francês	Blaise	Pascal	(1623-1662).	De	fato,	uma	de	suas	
principais	contribuições	à	física	foi	a	chamada	lei de Pascal.
Lei de Pascal: a pressão aplicada em um ponto de um fluido con-
finado em repouso transmite-se integralmente a todos os pontos 
do fluido, uma consequência do fato de que a pressão em um 
fluido permanece constante na direção horizontal.
NOTA
Para	ilustrar	a	lei	de	Pascal,	podemos	observar	o	
esquema	representado	na	Figura	32.
72
Figura 32 – Experimento evidenciando a Lei de Pascal
Fonte: adaptada de Brunetti (2008)
Na	Figura	32A,	o	recipiente	apresenta	uma	superfície	livre	à	atmosfera.	Supon-
do	que	as	pressões	em	cada	um	dos	pontos	seja:
Na	Figura	32B,	o	fluido	no	recipiente	é,	então,	submetido	a	uma	força	que	cor-
responde	à	pressão	de:
Assim,	as	pressões	nos	pontos	 indicados	passam	a	ser	 incrementadas	deste	
valor:
Por	fim,	nota-se	que,	em	ambos	os	casos,	as	pressões	nos	pontos	1	e	2,	aparen-
temente	no	mesmo	nível	(linha	horizontal),	são	iguais.
Além	dessa	 importante	definição	para	a	estática	dos	fluidos,	Pascal	 também	
observou	que,	uma	vez	que	a	pressão	aplicada	a	um	fluido	é	proporcional	à	superfície	
(área),	seria	possível	conectar	cilindros	de	áreas	distintas,	de	modo	que	o	menor	poderia	
ser	utilizado	para	exercer	uma	força	superior	no	maior.	Assim,	um	objeto	pesado	poderia	
ser	levantado	empregando-se	uma	força	inferior.	Por	exemplo:	em	uma	oficina,	é	neces-
sário	fazer	reparos	em	um	carro	de	uma	tonelada.	A	manutenção	deve	ser	feita	na	parte	
inferior	do	veículo	e,	para	facilitar	o	trabalho	do	mecânico,	deseja-se	elevar	o	carro.	Uma	
ferramenta	que	pode	ser	empregada	para	essa	tarefa	é	o	chamado	elevador	hidráulico,	
cujo	funcionamento	é	baseado	justamente	na	lei	de	Pascal.	Supondo	que,	para	levantar	
o	veículo	em	questão,	uma	pessoa	aplique	uma	forçade	1000	N	no	macaco	hidráulico,	
cujo	pistão	menor	apresenta	área	de	10	cm²,	qual	é	a	área	do	pistão	maior?
73
Solução:	podemos	ilustrar	o	problema	com	base	na	Figura	33.
Figura 33 – Representação esquemática de um elevador hidráulico
Fonte: Çengel; Cimbala (2015, p. 61)
É	razoável	considerarmos	que	os	pistões	estão	no	mesmo	nível,	pois	o	efeito	
de	pequenas	diferenças	de	altura	é	desprezível,	especialmente	em	grandes	pressões.	
Assim,	temos	que:
p1 = p2
Pela	definição	de	pressão,	podemos	escrever:
Conhecemos	três	destes	quatro	parâmetros:	F1	é	a	força	aplicada	pela	pessoa,		A1 
é	a	área	do	pistão	menor,	e	F2	deve	ser,	pelo	menos,	o	peso	do	carro,	para	que	o	pistão	seja	
capaz	de	movimentá-lo.	Assim,	considerando	uma	aceleração	da	gravidade	de	10	m/s²:
A	 razão	 entre	 áreas	A2/A1	 é	 chamada	 de	 ganho	mecânico	 ideal	 do	 elevador	
hidráulico,	denominação	que	também	pode	ser	entendida	como:	a	razão	entre	a	força	
exercida	por	um	mecanismo	e	a	força	aplicada	sobre	ele.	Nesse	caso,	por	exemplo,	A2/
A1 = 10,	de	modo	que	um	objeto	de	10.000	N	de	peso	pode	ser	levantado	com	uma	força	
de	apenas	1.000	N.
74
2.3 TEOREMA DE STEVIN E CARGA DE PRESSÃO
Outra	importante	ferramenta	da	estática	dos	fluidos	que	já	pode	ter	sido	estudada	
nas	aulas	de	física	é	o	Teorema de Stevin.	O	matemático	holandês	Simon	Stevin	(1548-
1620)	observou	que,	enquanto	a	pressão	em	um	fluido	em	repouso	é	independente	da	
forma	ou	da	seção	transversal	do	recipiente	(sendo	também	constante	na	direção	hori-
zontal),	ela	varia	com	a	distância	vertical.	Stevin	publicou	esse	princípio	em	1586.
Esse	teorema	pode	ser	escrito	como	a	equação	a	seguir,	sendo	z	as	distâncias	
verticais	em	relação	ao	plano	horizontal	de	referência	e	γ o	peso	específico:
Talvez,	nas	aulas	de	Física,	seja	comum	utilizar	esta	relação	na	seguinte	forma:
Por	exemplo,	sendo	um	recipiente	aberto	para	a	atmosfera	com	certo	volume	
de	fluido	em	repouso,	pode-se	esboçar	o	esquema	representado	na	Figura	34.
Figura 34 – Representação verificando o Teorema de Stevin
Fonte: Çengel; Cimbala (2015, p. 70)
Teorema de Stevin: a diferença de pressão entre dois pontos 
distantes verticalmente em um fluido em repouso é igual ao 
produto do peso específico do fluido pela diferença de cotas 
dos dois pontos.
NOTA
75
Se	utilizarmos	a	equação	do	Teorema	de	Stevin	à	risca	na	Figura	34,	teremos:
De	fato,	o	resultado	faz	sentido:	enquanto	a	pressão	na	superfície	do	fluido	é	
somente	a	pressão	atmosférica	(Patm),	no	ponto	2,	ela	é	acrescida	do	peso	da	coluna	de	
fluido.	Podemos	comparar	essa	situação	com	uma	piscina,	utilizando	como	exemplo:	
um	indivíduo,	ao	mergulhar,	percebe	que	a	água	que	está	acima	faz	peso	sobre	o	seu	
corpo.	Dessa	forma,	quanto	mais	fundo	ele	mergulhar,	maior	será	a	pressão	sobre	o	seu	
corpo,	pois	maior	será	a	quantidade	de	água	sobre	ele.	Por	isso,	às	vezes,	encontramos	
dispositivos,	como	relógios,	que	são	ditos	“à	prova	d’água”	ou	“resistentes	à	água”	até	
uma	determinada	pressão	ou	profundidade.
O plano horizontal de referência pode ser entendido como a 
superfície do fluido. Nesse caso, poderíamos argumentar que a 
cota “h” teria um valor negativo, afinal, estaria abaixo do “zero” 
de referência. Contudo, se esse valor fosse negativo, a equação 
indicaria que a pressão no ponto 2 seria menor que no ponto 
1, o que sabemos não ser verdade. Assim, para garantirmos 
resultados corretos, é importante sempre analisarmos se o valor 
obtido faz sentido.
ATENÇÃO
Também	é	comum	encontrarmos	a	pressão	descrita	por	um	parâmetro	cha-
mado	de	“carga de pressão”,	dado	em	unidade	de	comprimento.	De	forma	simples,	
podemos	entender	que	a	carga	de	pressão	é	o	parâmetro	h	em:
Evidentemente,	para	que	o	conceito	de	carga	de	pressão	faça	sentido,	deve-se	
conhecer	a	massa	específica	(ou	o	peso	específico)	do	fluido	em	questão.	Entretanto,	
por	que	esse	parâmetro	é	 importante	a	ponto	de	ser	conveniente	dar	um	nome	mais	
particular	a	ele?
76
Em	uma	tubulação	pela	qual	escoa	um	líquido	de	peso	específico	γ	sob	uma	
pressão	p,	como	na	Figura	35A,	considerando	que	seja	feito	um	orifício	na	parte	superior	
desse	tubo,	o	qual	é	ligado	a	uma	nova	tubulação.	Se	a	pressão	p	for	maior	que	a	pres-
são	externa,	parte	do	líquido	subirá	por	essa	nova	tubulação	até	alcançar	uma	altura	h,	
como	mostra	a	Figura	35B.
Figura 35 – Representação esquemática da carga de pressão em tubulações
Fonte: Brunetti (2008, p. 23)
Para	que	essa	coluna	de	líquido	fique	em	repouso,	ela	deverá	equilibrar	justa-
mente	a	pressão	da	tubulação	(p),	ou	seja:
Portanto,	a	altura	h	é	a	própria	carga	de	pressão	da	pressão	p.	
Com isso, podemos concluir que uma pressão qualquer p pode 
ser associada a uma altura h de fluido, dada por p/γ, chamada de 
carga de pressão.
IMPORTANTE
3 ESCALAS E UNIDADES DE PRESSÃO
Após	conhecermos	os	principais	conceitos	e	definições	relacionados	à	pressão,	
fundamentais	 para	 o	 estudo	da	 estática	dos	fluidos,	 é	 o	momento	de	 aprimorarmos	
nossas	habilidades	 técnicas,	 compreendendo	como	a	pressão	é	medida	e	quais	 são	
as	principais	unidades	que	podemos	encontrar	tanto	em	outros	livros	quanto	na	rotina	
profissional.
77
Um	ponto	que,	frequentemente,	gera	bastante	confusão	é	compreender	que	há	
duas	referências	para	as	medidas	de	pressão,	classificadas	como	pressões absolutas 
ou	pressões manométricas (também	chamadas	de	pressões	efetivas).	Para	facilitar	
a	 compreensão,	 precisamos	entender	 a	 seguinte	 afirmação:	 a	maioria	 dos	 aparelhos	
de	medição	de	pressão	(os	chamados	“manômetros”)	é	calibrada	para	registrar	valores	
nulos	(zero)	quando	abertos	à	atmosfera.	Em	outras	palavras,	eles	adotam	a	pressão	at-
mosférica	como	seu	valor	nulo	de	referência.	Assim,	as	pressões	medidas	nesses	apa-
relhos	são	as	chamadas	pressões	manométricas.
Por	outro	lado,	sabemos	que,	na	prática,	a	pressão	atmosférica	não	é	nula,	afi-
nal,	a	pressão	ambiente	varia	até	mesmo	de	acordo	com	a	altitude.	Então,	para	que	as	
medições	façam	sentido,	o	valor	nulo	de	referência	adotado	é	o	vácuo	(ou	zero	absoluto)	
–	por	isso,	são	chamadas	de	pressões	absolutas.
Em resumo, de forma simples: se é medida em relação ao 
vácuo, é pressão absoluta; se é medida em relação à pressão 
atmosférica, é pressão manométrica. Se a pressão medida é 
menor que a atmosférica, é comum dizer que existe um “vácuo”, 
apesar de que o termo mais apropriado seria “depressão”.
ATENÇÃO
Como	exemplo,	o	esquema	da	Figura	36	mostra	duas	pressões	hipotéticas	p1 
e p2,	em	que	pabs	é	a	pressão	absoluta,	pman	é	a	pressão	manométrica,	patm	é	a	pressão	
atmosférica	e	pvácuo	é	a	depressão.
Figura 36 – Esquema indicando as diferenças entre as escalas de pressão
Fonte: adaptada de Çengel; Cimbala (2015)
78
Com	base	na	Figura	36,	podemos	escrever	as	seguintes	equações.	Para	p1:
Para	p2:
Temos,	ainda,	que	as	pressões	de	vácuo	são,	basicamente,	pressões	manomé-
tricas	negativas.	Assim,	apesar	de	os	parâmetros	das	equações	anteriores	serem	quan-
tidades	positivas,	é	possível	dizer	sobre	pressões	negativas.	Por	exemplo,	para	calcular	
a	pressão	manométrica	de	p1,	como	pabs,1 < patm,	temos:
Logo,	se	multiplicarmos	esta	equação	por	(-1),	o	valor	será	positivo:
Se	compararmos	com	a	equação	da	pressão	de	vácuo	em	p1	apresentada	ante-
riormente,	podemos	observar	que:
Dito	 isso,	é	 importante	entendermos	que,	para	compreender	e	trabalhar	com	
pressão	na	vida	profissional,	em	vez	de	tentar	decorar	equações	lógicas,	é	muito	mais	
valioso	e	eficiente	compreendermos	os	referenciais	utilizados	nas	duas	escalas	–	mes-
mo	que	essas	ideias	ainda	estejam	nebulosas,	um	pouco	de	prática,	certamente,	aju-
dará	nesse	sentido.
Antes	de	praticarmos,	trataremos,	ainda,	de	mais	um	assunto	importante:	uni-
dades	de	pressão.	Como	já	mencionado,	no	SI,	a	unidade	é	o	N/m²,	equivalente	ao	Pas-
cal	(Pa).	Além	disso,	sabemos	que	as	pressões	também	podem	ser	descritas	como	car-
gas	de	pressão,	as	quais	apresentam	unidades	de	comprimento.	
Em	primeiro	lugar,	as	unidades	de	pressão	são	essencialmente	baseadas	na	ra-
zãoforça/área,	apresentando	dimensão	de	força	por	comprimento	ao	quadrado,	como:	
N/m²	=	Pa,	kgf/cm²,	kgf/m²	e	lb/pol²	(equivalente	ao	inglês	psi,	que	significa	pounds per 
square inches).	Os	fatores	de	conversão	são:	
1 kgf/cm² = 104 kgf/m² = 9,8.104 Pa = 14,2 psi
Já	as	unidades	de	carga	de	pressão,	como	já	discutimos,	são	aquelas	que	cor-
respondem	à	altura	de	uma	coluna	de	determinado	fluido,	 sendo	os	mais	comuns	o	
mercúrio	(por	ser	um	líquido	pesado)	e	a	água.	Como	visto,	essas	unidades	são	con-
79
venientes,	pois	nos	permitem	dizer	 imediatamente	a	que	altura	uma	certa	pressão	é	
capaz	de	elevar	um	fluido.	As	unidades	mais	típicas	são:	mmHg	(milímetros	de	coluna	
de	mercúrio)	e	mca	(metros	de	coluna	d’água).	Para	o	seu	uso,	é	importante	saber	que:
Os	fatores	de	conversão,	com	relação	ao	Pascal,	são:
Por	fim,	vale	mencionar	 duas	 exceções:	 a	 unidade	 atmosfera	 (atm),	 que,	 por	
definição,	é	a	pressão	capaz	de	elevar	uma	coluna	de	760	mm	de	mercúrio,	e	o	bar,	que	
equivale	a,	exatamente,	100.000	Pascal	(105	Pa).	Com	isso,	temos	os	seguintes	fatores	
de	conversão:
Nesse	momento,	é	importante	trabalharmos	um	exemplo	sobre	as	escalas	e	as	
unidades	de	pressão	apresentadas.	Ao	termos	um	manômetro	indicando	a	pressão	de	7	
psi,	como	podemos	converter	este	valor,	ainda	na	escala	manométrica,	para	as	unidades	
mmHg	e	atm?	Depois,	como	converter	este	valor	obtido	para	as	unidades	Pa	e	mca,	mas	
na	escala	absoluta?	Podemos	considerar	a	pressão	atmosférica	Patm = 101325 Pa.	
Solução:	 a	 pressão	 indicada	 pelo	 manômetro	 está	 na	 escala	 manométrica,	
como	o	nome	sugere.	Assim,	para	atender	à	primeira	parte	do	problema,	basta	utilizar	
os	fatores	de	conversão	conhecidos.	Primeiramente,	convertendo	de	psi	para	mmHg:
Depois,	converter	para	atm:
Em	seguida,	devemos	fazer	novas	conversões,	mas	agora	na	escala	absoluta.	
Para	isso,	devemos	saber	que	a	pressão	absoluta	pode	ser	avaliada	por:
80
Naturalmente,	para	que	a	soma	faça	sentido,	a	pressão	manométrica	e	a	pres-
são	atmosférica	devem	estar	nas	mesmas	unidades.	Como	a	primeira	unidade	pedida	é	
o	Pa	–	a	mesma	unidade	da	pressão	atmosférica	dada	–,	é	conveniente	convertermos	
a	pressão	manométrica:
Agora,	passando	para	a	escala	absoluta:
Fazendo	o	mesmo	processo,	mas	agora	para	mca:
Convertendo	a	pressão	atmosférica	para	mca:
Então,	na	escala	absoluta:
É	importante	notarmos	que	poderíamos	ter	convertido	diretamente	o	valor	da	
pressão	absoluta	de	Pa	para	mca:
Como	os	 fatores	 de	 conversão	 estão	 listados	 com	até	 duas	 casas	 decimais,	
alguns	dos	resultados	podem	variar	ligeiramente	em	relação	aos	valores	reais.
4 MEDIDORES DE PRESSÃO
É	importante	conhecermos	alguns	dos	principais	instrumentos	capazes	de	me-
dir	pressões.	Como	nosso	foco	será	compreender	os	diferentes	princípios	de	funciona-
mento,	é	natural	que	eles	pareçam	de	grande	simplicidade,	enquanto	instrumentos	co-
merciais	poderão	apresentar	tecnologias	mais	sofisticadas	e	complexas,	mas	pautadas	
nesses	mesmos	princípios.
81
4.1 BARÔMETRO
O	barômetro	é	um	dispositivo	utilizado	para	medir	a	pressão	atmosférica	(por	
isso,	também	é	chamada,	às	vezes,	de	pressão	barométrica).	Tal	instrumento	consiste,	
basicamente,	em	um	tubo	cheio	de	líquido	invertido	em	uma	vasilha	cheia	do	mesmo	
líquido	e	aberta	à	atmosfera	(Figura	37).
Figura 37 – Representação de um barômetro básico
Fonte: Brunetti (2008, p. 26)
Podemos	observar	que	parte	do	conteúdo	do	tubo	permanecerá	nele,	na	for-
ma	de	uma	coluna	de	líquido.	Talvez,	isso	não	pareça	intuitivo,	mas	podemos	dar	uma	
explicação	física	com	base	nos	tópicos	que	estudamos	durante	esta	unidade.	Primeiro,	
nota-se	que,	 enquanto	 a	vasilha	 está	 aberta	 à	 atmosfera,	 o	 tubo	 está	 fechado.	 Isso	
significa	que	a	pressão	atmosférica	atua	na	superfície	do	líquido	da	vasilha,	mas	não	
atua	na	superfície	da	coluna	de	líquido	no	tubo.	Em	segundo	lugar,	Teorema	de	Stevin,	
a	pressão	no	ponto	0	deve	ser	igual	à	pressão	no	ponto	A:
Logo,	nota-se	que	a	pressão	em	A	é	a	própria	pressão	atmosférica,	enquanto	
a	pressão	em	0	é	justamente	a	pressão	causada	pela	coluna	de	líquido	no	tubo.	Assim:
 e
Em	posse	de	um	barômetro,	se	conhecermos	o	peso	específico	γlíq	do	 líquido	
empregado,	basta	medir	a	altura	h	da	coluna	de	líquido	no	tubo,	e,	com	isso,	calcular	a	
pressão	atmosférica.	Geralmente,	o	líquido	utilizado	é	o	mercúrio,	por	apresentar	peso	
específico	elevado,	de	modo	que	a	altura	da	coluna	possa	ser	menor,	facilitando	a	cons-
trução	do	dispositivo.	A	criação	do	barômetro	é	atribuída	ao	italiano	Evangelista	Torricelli	
(1608-1647)	e,	por	isso,	a	unidade	mmHg	é	também	chamada	de	“torr”.
82
Acadêmico, assista a uma animação, desenvolvida pelo TED-Ed, 
que conta a história do barômetro e como ele funciona: https://
ed.ted.com/lessons/the-history-of-the-barometer-and-how-it-
works-asaf-bar-yosef. 
Embora o conteúdo esteja em inglês, o vídeo contém legendas 
em português.
DICA
4.2 MANÔMETRO DE BOURDON
Outro	dispositivo	mecânico	utilizado	para	a	medição	de	pressões	são	os	chama-
dos	manômetros	de	Bourdon	(Figura	38),	em	referência	ao	engenheiro	e	inventor	fran-
cês	Eugene	Bourdon	(1808-1884).	Seu	funcionamento	é	baseado	na	deformação	de	um	
tubo	de	metal	oco	quando	submetido	à	pressão	medida.	A	extremidade	do	tubo,	então,	
movimenta-se,	ligada	a	um	sistema	de	alavancas	e	um	ponteiro,	que	indica	a	pressão	
analogicamente	em	um	mostrador,	devidamente	calibrado	(Figura	39).
Figura 38 – Representação esquemática do funcionamento de um manômetro de Bourdon
Fonte: Brunetti (2008, p. 26)
Figura 39 – Diferentes tipos de tubos empregados para manômetros de Bourdon
Fonte: os autores
83
Figura 40 – Manômetro de Bourdon real
Fonte: https://elements.envato.com/pt-br/analog-manometer-concept-BEWXBX8. Acesso em: 29 mar. 2023.
4.3 PIEZÔMETRO (COLUNA PIEZOMÉTRICA)
O	piezômetro	(Figura	41)	é	um	instrumento	que	mede	a	carga	de	pressão,	sendo	
de	construção	muito	simples:	apenas	um	tubo	de	vidro	 ligado	ao	reservatório	que	se	
deseja	medir	a	pressão.	Dessa	forma,	como	no	barômetro,	é	necessário	conhecer	o	peso	
específico	do	fluido.
Figura 41 – Representação esquemática de um piezômetro
Fonte: Brunetti (2008, p. 27)
Contudo,	o	piezômetro	apresenta	algumas	limitações:	só	funciona	para	pressões	
manométricas	positivas:	se	houver	uma	depressão,	o	ar	entra	no	reservatório,	em	vez	
de	 uma	 coluna	 de	 líquido	 subir;	 em	 segundo	 lugar,	 não	 funciona	 para	 gases,	 pois,	
obviamente,	estes	escapariam	sem	formar	uma	coluna;	e,	por	fim,	é	útil	somente	para	
pequenas	pressões	–	se	forem	muito	elevadas,	as	colunas	podem	ser	muito	grandes	e,	
diferentemente	do	barômetro,	não	é	possível	simplesmente	escolher	usar	o	mercúrio.
84
Fonte: os autores
4.4 TUBO EM U
É	possível	fazer	uma	pequena	alteração	para	corrigir	o	problema	do	piezômetro	
de	não	conseguir	medir	depressões.	Tais	dispositivos	são,	então,	chamados	de	tubos	em	
U	(Figura	42),	cujo	nome	remete	a	sua	forma.	Neles,	utiliza-se	um	fluido	manométrico:	
um	segundo	fluido,	cujas	propriedades	são	melhores	para	utilização	em	manômetros	–	
em	geral,	escolhe-se	o	mercúrio.	
Figura 42 – Representação esquemática de um manômetro de tubo em U
Fonte: Çengel; Cimbala (2015, p. 61)
O	princípio	é	o	mesmo	do	piezômetro:	mede-a	carga	de	pressão.	Outra	vanta-
gem	desse	tipo	de	manômetro	é	a	possibilidade	de	medir	a	pressão	de	gases,	pois	o	
fluido	manométrico	impede	que	eles	escapem.	
Um	exemplo	sobre	o	uso	do	tubo	em	U:	para	avaliar	a	pressão	em	um	reservató-
rio	de	gás,	um	manômetro	de	tubo	em	U	é	acoplado,	cujo	fluido	manométrico	é	o	mer-
cúrio	(γHg = 1,36.10⁵ N/m³).	Se	a	pressão	atmosférica	no	local	é	de	90	kPa,	considerando	
o	esquema	na	Figura	43,	como	podemos	determinar	a	pressão	desejada	nas	escalas	
absoluta	e	manométrica?
Figura 43 – Representação esquemática do exemplo proposto sobre manômetro de tubo em U
85
Solução:	sabemos	que,	por	estarem	na	mesma	linha	horizontal	do	mesmo	fluido,	
as	pressões	nos	pontos	A	e	B	sãoiguais.	Podemos	desprezar	a	pequena	coluna	de	gás	
acima	do	ponto	A,	o	que	é	razoável,	pois	o	peso	específico	de	gases	é	pequeno.	Assim,	a	
única	pressão	que	precisamos	considerar	é	a	do	próprio	reservatório.	No	ponto	B,	como	
o	tubo	está	aberto	para	atmosfera,	temos	a	ação	da	pressão	atmosférica	e	do	peso	da	
coluna	de	fluido	manométrico.	Colocando	essas	informações	em	equações,	temos:
Com	isso,	fica	fácil	resolver	o	problema:
É	importante	reparar	que	esta	é	a	pressão	do	reservatório	na	escala	absoluta.	
Para	verificar	na	escala	manométrica,	basta	desconsiderar	a	pressão	atmosférica:
Os	manômetros	de	tubo	em	U	também	podem	ter	uma	configuração	diferente:	
os	chamados	manômetros	diferenciais,	os	quais	são	ligados	a	dois	reservatórios,	em	vez	
de	serem	abertos	para	a	atmosfera	(Figura	44).
Figura 44 – Representação esquemática dos manômetros diferenciais
Fonte: Brunetti (2008, p. 28)
86
5 EQUAÇÃO MANOMÉTRICA
Denomina-se	equação	manométrica	aquela	que	permite	determinar	a	pressão	
de	um	reservatório	ou	a	diferença	de	pressão	entre	dois	reservatórios.
Aqui, nosso interesse estará focado no estudo 
da equação manométrica aplicado aos manô-
metros diferenciais.
NOTA
Inicialmente,	temos	a	Figura	45,	que	apresenta	um	esquema	genérico	para	a	
elaboração	da	equação	manométrica	de	manômetros	diferenciais.
Figura 45 – Esquema genérico para a elaboração da equação manométrica de manômetros diferenciais 
Fonte: Brunetti (2008, p. 28)
Considerando	o	que	estudamos	sobre	o	Teorema	de	Stevin	e	a	 lei	de	Pascal,	
avaliaremos	a	pressão	na	parte	mais	baixa	do	tubo	(indicado	pela	linha	sublinhada	infe-
rior),	do	lado	esquerdo	(pe)	e	do	lado	direito	(pd).	No	lado	esquerdo,	temos	que	considerar:	
a	pressão	no	reservatório	A	(pA),	a	pressão	causada	pela	coluna	de	fluido	A	(cuja	altura	
é	h1 – h2)	e	a	pressão	causada	pela	coluna	de	fluido	manométrico	(altura	h2).	Assim,	po-
demos	escrever	a	equação:
De	forma	semelhante,	para	o	 lado	direito,	temos:	a	pressão	no	reservatório	B	
(pB),	a	pressão	causada	pela	coluna	de	fluido	B	(de	altura	h4 – h3)	e	a	pressão	da	coluna	
de	fluido	manométrico	(altura	h3).	Dessa	forma:
87
Se	o	sistema	está	em	equilíbrio,	por	estarem	no	mesmo	nível	(direção	horizon-
tal),	sabemos	que	ambas	pressões	devem	ser	iguais.	Portanto:
Agora,	devemos	analisar	como	esta	equação	pode	ser	utilizada.	Primeiramente,	
é	 importante	conhecermos	os	pesos	específicos	dos	três	fluidos.	Em	segundo	 lugar,	
olhando	para	o	manômetro,	é	necessário	sermos	capazes	de	medir	as	alturas	de	cada	
coluna.	Com	isso,	os	únicos	dois	parâmetros	que,	provavelmente,	não	conhecemos	são	
as	pressões	nos	reservatórios	(pA e pB).	Dessa	forma,	como	mencionado,	podemos	utili-
zar	a	equação	manométrica	para	avaliar	a	diferença	de	pressão	entre	os	reservatórios:
Evidentemente,	 se	 já	 conhecermos	 a	 pressão	 de	 um	dos	 reservatórios,	 será	
possível	determinarmos	a	pressão	do	outro.
Existe,	também,	uma	regra	prática	que	pode	facilitar	o	uso	da	equação	mano-
métrica.	Sabendo	que,	na	equação	anterior,	cada	peso	específico	sempre	multiplica	a	
altura	da	sua	respectiva	coluna,	devemos	considerar	a	Figura	46.
Figura 46 – Representação de um manômetro genérico
Fonte: Brunetti (2008, p. 29)
É	 importante	que	as	alturas	 sejam	marcadas	sempre	na	 interface	entre	dois	
fluidos	do	manômetro.	A	regra	funciona	da	seguinte	forma:	começando	pela	esquerda,	
soma-se	 à	 pressão	pA	 as	 pressões	 das	 colunas	 descendentes	 e	 subtrai-se	 as	 pres-
sões	das	colunas	ascendentes.	Em	outras	palavras,	tudo	que	está	descendo	soma,	e	
tudo	que	está	subindo	subtrai.	Assim,	o	esquema	da	Figura	46	pode	ser	simplificado	na	 
Figura	47.
88
Figura 47 – Representação simplificada de um manômetro
Fonte: Brunetti (2008, p. 29)
Aplicando	a	regra,	podemos	escrever:
A	 escolha	 de	 usar	 essa	 regra	 ou	 de	 igualar	 as	 pressões	 do	 lado	 esquerdo	 e	
direito	fica	a	critério	de	cada	um.	Para	colocar	esses	conceitos	em	prática,	considerando	
o	manômetro	diferencial	esquematizado	na	Figura	48,	em	que	o	fluido	A	é	óleo,	o	fluido	
B	é	água	e	o	fluido	manométrico	é	mercúrio,	como	podemos	calcular	a	diferença	de	
pressão	entre	os	reservatórios,	sabendo	que	h1	=	15	cm,	h2	=	40	cm,	h3	=	40	cm,	h34	=	10	
cm?	Outros	dados	disponíveis	são:	γH2O	=	10000	N/m³;	γHg	=	136000	N/m³;	γóleo	=	8000	
N/m³.
Figura 48 – Representação simplificada de um manômetro
Fonte: os autores
89
Solução:	 como	 devemos	 comparar	 as	 pressões	 entre	 dois	 reservatórios,	 por	
meio	de	um	manômetro	diferencial,	utilizaremos	a	equação	manométrica	para	respon-
der	ao	que	é	solicitado.	Tendo,	como	referência,	o	nível	mais	baixo	da	tubulação	(indi-
cado	na	Figura	48	pela	linha	pontilhada	inferior	de	h4),	podemos	escrever	as	seguintes	
equações	para	o	lado	esquerdo	e	para	o	lado	direito	do	tubo:
Como	sabemos,	se	o	sistema	está	em	equilíbrio,	ambas	as	pressões	devem	ser	
iguais.	Igualando-as	e	remanejando	a	equação,	para	que	a	diferença	(pA – pB)	fique	iso-
lada,	temos:
Uma	vez	que	todos	os	parâmetros	do	membro	direito	da	equação	são	conheci-
dos,	basta	substituirmos	os	valores	e	calcular	a	diferença:
Então,	o	problema	está	resolvido:	a	pressão	no	reservatório	A	é	51,6	kPa	menor	
do	que	a	pressão	no	reservatório	B.
Poderíamos,	também,	aplicar	a	regra	da	equação	manométrica	para	chegar	à	
mesma	equação	facilmente:
Em	outro	caso,	considerando	o	esquema	da	Figura	49,	deve-se	determinar	a	
pressão	indicada	pelo	manômetro.	Em	posse	deste	valor,	como	calculamos	a	força	que	
age	na	parede	superior	interna	do	reservatório?
90
Figura 49 – Representação simplificada de um manômetro
Fonte: os autores
Solução:	apesar	de,	talvez,	não	parecer	intuitivo,	o	problema	pode	ser	solucio-
nado	com	a	equação	manométrica.	É	conveniente	adotarmos	a	linha	pontilhada	como	
referência	(afinal,	é	com	relação	a	ela	que	conhecemos	as	dimensões	do	sistema).	Do	
lado	esquerdo,	teremos:
Do	lado	direito,	teremos:
Mais	uma	vez,	como	sabemos,	por	estarem	no	mesmo	nível,	a	pressão	do	lado	
esquerdo	deve	ser	 igual	à	do	 lado	direito.	Com	isso,	podemos	 isolar	o	parâmetro	que	
desejamos	descobrir.
Nesse	caso,	também	poderíamos	ter	usado	a	regra	da	equação	manométrica:
Agora,	 como	 já	 mencionamos,	 para	 solucionar	 problemas	 de	 fenômenos	 de	
transporte,	é	comum	termos	de	fazer	algumas	considerações:
91
•	 O	peso	específico	do	ar	é	tão	pequeno	que	podemos	desprezar	a	pressão	causada	
pela	sua	coluna.
•	 O	manômetro	mede	pressão	manométrica	 e,	 portanto,	 está	 calibrado	para	 indicar	
valor	nulo	para	a	pressão	atmosférica.	Assim,	pode-se	anular	esse	termo	na	equação.
Com	essas	considerações,	podemos	simplificar	a	equação	para	a	forma:
Agora,	podemos	substituir	os	valores,	pois	conhecemos	todos	eles,	e	chegar	ao	
resultado	procurado:
Com	esse	resultado,	é	fácil	calcularmos	a	força	na	parede	do	reservatório.	Pela	
definição	de	pressão,	temos	que:
Até aqui, estudamos somente medidores de pressão analógi-
cos tradicionais e importantes no contexto da mecânica dos 
fluidos. Existem, também, sensores mais modernos, como os 
transdutores de pressão, que convertem os efeitos da pres-
são em algum efeito elétrico, como mudanças na tensão, na 
resistência ou na capacitância, por meio da deformação de 
um diafragma ou do efeito piezoelétrico (capacidade de uma 
substância cristalina gerar tensão elétrica quando sujeita à 
pressão mecânica). Em geral, são mais compactos e rápidos, 
podendo também ser mais sensíveis, confiáveis e precisos 
(ÇENGEL; CIMBALA, 2015).
INTERESSANTE
92
6 EMPUXO
Embora	o	empuxo	seja	um	tema	que,	particularmente,	se	distancia	um	pouco	
dos	conceitos	de	pressão	estudados	anteriormente,	é	bastante	importante	para	com-
preendermos	o	funcionamento	de	alguns	mecanismos	–	novamente,	trata-se	de	um	
conceito	que	pode	ter	sido	estudado	nas	aulas	de	física.
Esse	fenômeno	está	diretamente	relacionado	com	aspectos,	como	flutuabilida-
de	e	estabilidade	de	corpos	rígidos	em	fluidos.	Uma	observação	experimental	bastante	
importante	é	que	um	objeto	parece	mais	leve	quandoimerso	em	um	líquido	que	no	ar.	
De	fato,	ao	pesar	o	objeto	dentro	da	água	(com	uma	balança	à	prova	d’água),	o	peso	in-
dicado	seria	menor.	Tal	observação	sugere	que	um	fluido	exerce	uma	força	vertical	para	
cima	em	corpos	imersos	nele.	A	essa	força,	damos	o	nome	de	empuxo.
Aqui,	nosso	interesse	será	mais	no	uso	desse	conceito	que	no	desenvolvimento	
e	na	análise	das	forças	envolvidas.	Para	isso,	partiremos	do	princípio de Arquimedes.
Princípio de Arquimedes: quando um corpo está total ou par-
cialmente imerso em um fluido, uma força vertical (chamada de 
empuxo) age nele de baixo para cima, equivalente ao peso do 
volume de fluido deslocado (BRUNETTI, 2008).
NOTA
Assim,	podemos	escrever:
Em	que	E	é	o	empuxo,	ρf e γf	são	a	massa	e	o	peso	específicos	do	fluido,	g	é	a	
aceleração	da	gravidade	e	Vdeslocado	é	o	volume	de	fluido	deslocado	–	esta	última	variável	
pode	ser	entendida	como:	volume	do	corpo	rígido	que	está	submerso.	Desse	modo,	se	o	
sólido	estiver	completamente	imerso	no	fluido,	por	exemplo,	temos	que:
Como	mencionado,	o	empuxo	é	particularmente	importante	para	estabelecer	a	
condição	de	flutuação	de	um	corpo.	Considere	a	Figura	50,	em	que	P	é	o	peso	do	corpo.
93
Figura 50 – Forças atuando em um corpo rígido imerso em fluido
Fonte: adaptada de Brunetti (2008)
Como	já	apontado	anteriormente,	nosso	foco	está	em	forças	verticais,	então,	
fazendo	o	balanço	dessas	duas	forças,	podemos	afirmar	que,	para	que	o	corpo	flutue:
E ≥ P
Utilizando	a	definição	de	empuxo	e	de	força	peso,	podemos	desenvolver	ambos	
os	termos	desse	critério:
Se	o	corpo	for	totalmente	submerso,	Vcorpo = Vdeslocado,	o	critério	de	flutuabilidade	
ser
O matemático grego Arquimedes (287-212 a.C.) também 
é reconhecido como o autor da expressão “Eureka!”. A 
lenda diz que ele tomava banho quando percebeu que 
poderia determinar a densidade da coroa do rei submer-
gindo-a em água e medindo o volume deslocado. Com 
isso, poderia confirmar se ela era feita de ouro puro ou 
não. Os relatos são de que ele correu pelado pelas ruas 
gritando “Eureka!”, exclamação que ficou famosa mun-
dialmente e que, hoje, significa algo como “Descobri!” 
(LESLIE, 2004).
Fonte: LESLIE, M. The First Eureka Moment. Science, [s. l.], 
v. 305, n. 5688, p. 1219, ago. 2004. Disponível em: http://
science.sciencemag.org/content/sci/305/5688/1219.5.
full. Acesso em: 10 dez. 2022.
INTERESSANTE
94
Acadêmico, assista a uma animação, desenvolvida pelo TED-Ed, 
que vai mais longe na história de Arquimedes e comenta a lei da 
flutuabilidade: https://ed.ted.com/lessons/the-real-story-behind-
archimedes-eureka-armand-d-angour. 
Embora o conteúdo esteja em inglês, o vídeo contém legendas 
em português.
DICA
Outro	 exemplo	 que	 mostra	 como	 o	 empuxo	 é	 importante,	 até	 mesmo,	 em	
tarefas	simples	de	Engenharia	é	em	um	projeto	de	construção	civil	submarina,	em	que	
um	guindaste	 é	 utilizado	 para	 levar	 grandes	 blocos	 de	 concreto	 até	 o	mar.	 Durante	
a	operação,	 surge	a	 suspeita	de	que	um	dos	blocos	está	 fora	dos	padrões	exigidos.	
O	engenheiro	sabe	que,	caso	a	massa	específica	do	bloco	esteja	na	faixa	de	2.100	a	
2.300	kg/m³,	o	bloco	estará	de	acordo	com	as	especificações	necessárias.	As	únicas	
informações	à	disposição	são	a	massa	específica	da	água	do	mar	(ρmar	=	1040	kg/m³),	
a	tensão	na	corda	do	guindaste,	segurando	o	bloco	dentro	da	água	(FT,água	=	6,5	kN),	e	o	
volume	do	bloco	(V	=	0,64	m³).	Adotando	a	aceleração	da	gravidade	como	g	=	10	m/s²,	
qual	seria	a	avaliação	do	profissional	sobre	o	bloco?
Solução:	para	facilitar	a	visualização,	o	primeiro	passo	pode	ser	fazer	o	esboço	
do	 problema	 (Figura	 51),	 considerando	 a	 situação	 em	 que	 o	 bloco	 é	 levantado	 pelo	
guindaste	na	água.
Figura 51 – Forças atuando em um corpo rígido imerso em fluido
Fonte: os autores
95
Agora,	 é	 importante	 ter	 como	 objetivo	 o	 fato	 de	 que	 desejamos	 verificar	 se	
a	massa	específica	do	bloco	está	na	faixa	de	2.100	a	2.300	kg/m³.	Se	conhecemos	o	
volume	do	corpo,	esse	parâmetro	pode	ser	utilizado	para	calcular	a	força	peso	P:
Assim,	se	conseguirmos	calcular	a	força	peso,	será	possível	resolver	o	proble-
ma.	Como	conhecemos	a	massa	específica	da	água	do	mar	e	a	tensão	da	corda	quando	
o	bloco	está	submerso,	temos	 informações	suficientes	para	chegar	até	a	força	peso.	
Fazendo	o	balanço	de	forças	na	direção	vertical:
{Força resultante na direção vertical} = {Forças para cima} – {Forças para baixo}
Para	o	sistema	em	equilíbrio:
{Força resultante na direção vertical} = 0
{Forças para baixo} = {Forças para cima}
Então:
P = E + FT,água
Além	disso,	pelo	princípio	de	Arquimedes:
P = ρf . g . Vdeslocado + FT,água
Como	o	bloco	está	completamente	submerso	Vdeslocado = Vbloco.	Podemos,	então,	
substituir	todos	os	parâmetros:
96
Agora,	retornando	à	definição	da	força	peso:
Dessa	forma,	podemos	concluir	que	o	bloco	está,	de	fato,	fora	das	especifica-
ções	exigidas.	Outro	detalhe	importante	observado,	nesse	exemplo,	é	o	aparente	efeito	
“redutor	de	peso”	do	empuxo:	no	ar,	todo	o	peso	do	bloco	estaria	na	forma	de	tração	na	
corda,	enquanto,	na	água,	a	tração	caiu	para	menos	da	metade.
97
Neste tópico, você aprendeu:
•	 O	conceito	de	pressão,	a	qual	é	definida	como	a	força	normal	exercida	por	um	fluido	
por	unidade	de	área.	No	SI,	a	unidade	de	medida	adotada	é	o	Pascal	(Pa),	equivalente	
a	N/m2.	Ainda,	a	pressão	em	um	fluido	em	repouso	é	independente	da	forma	ou	da	
seção	transversal	do	recipiente.
•	 A	Lei	de	Pascal:	a	pressão	aplicada	em	um	ponto	de	um	fluido	confinado	em	repouso	
transmite-se	integralmente	a	todos	os	pontos	do	fluido,	consequência	do	fato	de	que	
a	pressão	em	um	fluido	permanece	constante	na	direção	horizontal.	Além	disso,	uma	
vez	que	a	pressão	aplicada	a	um	fluido	é	proporcional	à	área,	é	possível	conectar	ci-
lindros	de	áreas	distintas,	de	modo	que	o	menor	pode	ser	utilizado	para	exercer	uma	
força	superior	no	maior.	Assim,	um	objeto	pesado	pode	ser	levantado	empregando-
-se	uma	força	inferior.
•	 O	Teorema	de	Stevin:	a	diferença	de	pressão	entre	dois	pontos	distantes	vertical-
mente	em	um	fluido	em	repouso	é	igual	ao	produto	do	peso	específico	do	fluido	pela	
diferença	de	cotas	dos	dois	pontos	(Δp = ρgΔz = γΔz).	Por	outro	lado,	a	pressão	é	cons-
tante	na	direção	horizontal.
•	 O	conceito	de	carga	de	pressão	 (h),	que	tem	unidade	de	comprimento	e	pode	ser	
entendida	como	a	altura	de	um	dado	fluido	que	resulta	no	valor	de	p/γ.	
•	 A	diferença	entre	pressão	absoluta	e	pressão	manométrica	 (também	chamada	de	
pressão	efetiva).	Se	a	pressão	é	medida	em	relação	ao	vácuo,	é	pressão	absoluta;	se	
é	medida	em	relação	à	pressão	atmosférica,	é	pressão	manométrica.
•	 Diversas	unidades	de	pressão	(como	Pa,	N/m2,	mmHg,	psi,	atm,	bar,	kgf/m2)	e	seus	
fatores	de	conversão.
•	 O	princípio	de	funcionamento	de	alguns	medidores	de	pressão	(barômetro,	manôme-
tro	de	Bourdon,	piezômetro	e	manômetro	de	tubo	em	U).
•	 Como	aplicar	a	equação	manométrica,	a	fim	de	calcular	informações	de	interesse	em	
sistemas	que	envolvam	pressão.
•	 O	princípio	de	Arquimedes:	quando	um	corpo	está	total	ou	parcialmente	imerso	em	
um	fluido,	 uma	 força	vertical	 (chamada	de	empuxo)	 age	nele	de	baixo	para	 cima,	
equivalente	ao	peso	do	volume	de	fluido	deslocado	(volume	submerso	do	corpo).	Ma-
tematicamente,	podemos	expressar	que	E = γf . Vdeslocado.	Para	que	um	corpo	flutue,	o	
empuxo	sentido	por	ele	deve	ser	maior	ou	igual	ao	seu	peso	(E ≥ P).
RESUMO DO TÓPICO 2
98
AUTOATIVIDADE
Fonte: os autores
1	 Um	pistão	vertical	cilíndrico	opera	acoplado	a	uma	mola,	a	qual	transmite	50	N	de	
força	para	o	pistão.	Um	manômetro	é	utilizado	para	verificar	a	pressão	no	gás	contido	
nesse	pistão.	Considerando	os	parâmetros	apresentados	na	figura	a	seguir,	determi-
ne	a	pressão	absoluta	do	gás	e	a	massa	do	pistão.	Adote	a	aceleração	da	gravidade	
como	10	m/s².
Fonte: os autores
2	 Um	tubo	em	U	é	conectado	a	um	tanque,	que	contém	diferentes	fluidos.	Determine	
a	pressão	manométrica	no	manômetro	A,	considerando	os	pesos	específicos	eas	
alturas	das	colunas	de	cada	um	dos	fluidos	indicados	na	figura	a	seguir.	Qual	a	altura	
necessária	de	uma	coluna	de	água	para	que	ela	cause	uma	pressão	equivalente	à	
indicada	no	manômetro	A?
 
99
Fonte: adaptada de https://bit.ly/3GxUjEB. Acesso em: 29 mar. 2023.
3	 Considere	o	manômetro	da	figura	a	seguir,	em	que	o	fluido	A	é	um	óleo	(contido	em	
uma	tubulação	com	pressão	p1)	e	o	B,	um	fluido	manométrico,	com	pesos	específicos	
γóleo	 =	 8800	 N/m³	 e	 γfluido	 =	 120000	 N/m³.	 Sobre	 o	 valor	 da	 pressão	 p1	 na	 escala	
manométrica,	assinale	a	alternativa	CORRETA:
Fonte: os autores
a)	 (			)	 1,83	MPa.
b)	 (			)	 1,73	MPa.
c)	 (			)	 118,63	kPa.
d)	 (			)	 17,30	kPa.
4	 À	medida	que	um	mergulhador	nada	para	locais	mais	profundos	do	oceano,	a	pressão	
aumenta,	devido	ao	aumento	da	coluna	d’água	que	está	acima	do	ponto	em	que	ele	
se	encontra.	Sabendo	que	a	pressão	atmosférica	é	em	torno	de	1,013 . 105	Pa,	com	
base	nos	gráficos	apresentados	na	figura,	 a	 seguir,	 e	no	que	melhor	 representa	o	
comportamento	da	pressão	com	a	profundidade,	assinale	a	alternativa	CORRETA:		
100
a)	 (			)	 Gráfico	I.
b)	 (			)	 Gráfico	II.
c)	 (			)	 Gráfico	III.
d)	 (			)	 Gráfico	IV.
5	 No	sistema	representado	na	figura	a	seguir,	duas	câmaras	de	ar	estão	separadas	por	
uma	seção	de	fluido	e	pelas	próprias	barreiras	físicas.	Uma	dessas	câmaras,	ainda,	
está	separada	da	atmosfera	por	mais	uma	seção	de	fluido.	A	pressão	atmosférica	
local	 é	 desconhecida.	Visando	 a	 calculá-la,	 um	 cientista	 estrutura	 um	barômetro.	
Sabendo	 que	 o	fluido	 utilizado	 é	 o	mercúrio	 em	 todos	 os	 casos	 (γHg =	 133280	N/
m3),	conhecendo	as	informações	do	sistema	ar/mercúrio,	apresentadas	na	figura,	e	
considerando	desprezível	a	pressão	de	vapor	do	mercúrio,	sobre	o	valor	da	altura	(h)	
que	o	cientista	irá	medir	no	barômetro,	assinale	a	alternativa	CORRETA:
 
Fonte: os autores
a)	 (			)	 70	cm.
b)	 (			)	 76	cm.
c)	 (			)	 82	cm.
d)	 (			)	 88	cm.
101
TÓPICO 3 — 
CINEMÁTICA DE FLUIDOS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Acadêmico,	você	já	se	perguntou	quanto	tempo	é	necessário	para	encher	uma	
caixa	d’água?	Ou	por	que	a	velocidade	de	um	jato	de	mangueira	aumenta	quando	se	
restringe	a	saída	com	um	dedo?	Anteriormente,	trabalhamos	assuntos	referentes	à	es-
tática	dos	fluidos,	ou	seja,	aspectos	importantes	de	serem	analisados	nos	fluidos	quan-
do	em	repouso.	Contudo,	para	responder	às	perguntas	anteriores	e	outras,	precisamos	
estudar	como	ocorre	o	movimento	dos	fluidos,	também	chamado	de	escoamento,	tema	
que	abordaremos	neste	tema	de	aprendizagem.	
Assim,	reconheceremos	diferentes	características	de	um	escoamento,	que	ser-
virão	de	critério	para	sua	classificação	e	que	darão	base	para	verificarmos	se	algumas	
hipóteses	simplificadoras	podem	ser	adotadas	ou	não.	Também	definiremos	dois	impor-
tantes	conceitos	da	dinâmica	dos	fluidos:	o	de	trajetória	e	o	de	linha	de	corrente.	Em	
seguida,	 aprofundaremos	 o	 conceito	 de	vazão	 e	 resolveremos	 alguns	 exemplos	 que	
facilitarão	a	compreensão	do	seu	significado	físico,	algo	que	irá	ajudar	a	trilhar	o	nosso	
caminho	até	abordarmos,	por	fim,	a	equação	da	continuidade	(conservação	da	massa)	
para	o	regime	permanente.
2 CARACTERIZAÇÃO DO ESCOAMENTO
Os	problemas	de	mecânica	dos	fluidos	podem	ser	muito	diversos	e,	por	isso,	é	
conveniente	classificá-los	conforme	as	suas	caraterísticas,	para	que	possam	ser	es-
tudados	com	base	em	sua	semelhança.	A	seguir,	estudaremos	algumas	das	principais	
classificações	de	problemas	envolvendo	escoamento.
2.1 VISCOSO OU NÃO VISCOSO
Anteriormente,	vimos	que	a	viscosidade	é	a	propriedade	que	representa	a	resis-
tência	do	fluido	ao	movimento.	Em	líquidos,	a	viscosidade	é	resultado	das	forças	coe-
sivas	entre	as	moléculas,	enquanto,	em	gases,	ela	é	causada	pelas	colisões	entre	as	
moléculas.	Ademais,	vimos	que	a	viscosidade	nula	é	uma	das	condições	necessárias	
para	um	fluido	ser	considerado	ideal.	Essa	é	uma	aproximação	útil,	pois,	em	diversos	es-
coamentos,	existem	regiões	em	que	as	forças	viscosas	são	pequenas	quando	compa-
radas	às	forças	inerciais	e	de	pressão,	podendo	ser	consideradas	desprezíveis.	Nessas	
situações,	pode-se	ignorar	os	efeitos	viscosos	para	simplificar	a	análise	do	escoamento	
sem	perda	considerável	de	precisão.	É	válido	 lembrarmos	que,	na	prática,	não	existe	
fluido	com	viscosidade	nula.
102
Dessa forma, o escoamento pode ser dito:
• Viscoso: se os efeitos viscosos são significantes.
• Não viscoso (invíscido): se os efeitos viscosos 
podem ser desprezados.
NOTA
Por	exemplo,	no	princípio	da	aderência:	quando	em	contato	com	uma	superfície	
sólida,	os	pontos	de	um	fluido	aderem-se	aos	pontos	desta	superfície,	o	que	significa	
que	a	região	do	escoamento,	próxima	a	uma	superfície	sólida	(por	exemplo,	como	a	pa-
rede	de	um	tubo),	é	onde	os	efeitos	viscosos	estão	mais	acentuados	(Figura	52).	
Essa ideia será aprofundada na Unidade 2, quando trataremos da 
chamada camada limite.
ESTUDOS FUTUROS
Figura 52 – Perfil de velocidade vy de um escoamento uniforme sobre uma superfície sólida
Fonte: os autores
2.2 INTERNO OU EXTERNO
Um	escoamento	pode	ser	dito	interno	ou	externo,	de	acordo	com	o	local	onde	
ele	acontece:	dentro	de	um	conduto	ou	sobre	uma	superfície	–	nesse	caso,	 a	pala-
vra	“conduto”	se	refere	a	qualquer	estrutura	sólida	destinada	ao	transporte	de	fluidos,	
como	tubulações.
103
Dessa forma, as definições são bastante simples – o escoamento 
pode ser dito:
• Interno: se o fluido escoa cercado por superfícies sólidas 
(como dentro de tubos).
• Externo: se o fluido escoa sobre superfícies, como placas, esfe-
ras ou, até mesmo, por fora de tubos.
NOTA
Além	disso,	pode-se,	ainda,	dizer	que	os	condutos	são	forçados,	quando	o	fluido	
preenche	o	conduto	completamente	sem	apresentar	superfície	livre	(Figura	53A),	ou	li-
vres	(ou	abertos),	se	o	fluido	em	movimento	apresenta	uma	superfície	livre	(Figura	53B).
Figura 53 – Comparação entre condutos forçados (A) e condutos livres (B)
Fonte: Brunetti (2008, p. 164)
2.3 COMPRESSÍVEL OU INCOMPRESSÍVEL
O	conceito	de	escoamento	incompressível	foi	estabelecido	no	Tópico	1.	
Um escoamento é dito incompressível quando seu volume 
(ou densidade) não varia com a pressão.
NOTA
Assim	como	no	caso	dos	escoamentos	não	viscosos,	essa	é	uma	aproximação:	
na	prática,	todo	fluido	apresenta	alguma	compressibilidade,	mas,	nos	casos	em	que	ela	
é	pequena	o	suficiente	para	ser	desprezada,	podemos	considerar	que	a	densidade	do	
fluido	é	constante	–	em	geral,	isso	é	verdade	para	os	líquidos.	A	incompressibilidade	é	o	
segundo	critério	necessário	para	a	condição	de	fluido	ideal.
104
Por	outro	 lado,	gases	são	altamente	compressíveis,	 sendo	 importante	consi-
derar	as	variações	de	densidade	observadas	em	escoamentos	gasosos	com	altas	ve-
locidades,	como	na	análise	de	espaçonaves	e	foguetes,	por	exemplo.	Nesses	casos,	a	
velocidade	do	escoamento	é	frequentemente	descrita	por	meio	do	número	de	Mach	
(Ma),	um	número	adimensional,	definido	pela	expressão:
O	número	de	Mach	é	uma	medida	adimensional	da	velocidade,	definida	como	
a	razão	entre	a	velocidade	do	escoamento	e	a	velocidade	do	som	(346	m/s	em	ar	nas	
condições	ambiente	de	temperatura	e	pressão).	O	escoamento	é	dito:	sônico,	quando	
Ma	=	1;	subsônico,	quando	Ma	<	1;	supersônico,	quando	Ma	>	1;	e	hipersônico,	quando	
Ma	>>	1.
O	número	de	Mach	pode	ser	utilizado	como	parâmetro	para	avaliar	se	é	razoável	
aproximar	um	escoamento	gasoso	como	incompressível.	Geralmente,	para	Ma	<	0,3,	as	
variações	de	densidade	observadas	são	inferiores	a	5%,	podendo	ser	aproximado	como	
incompressível.	Assim,	em	condições	ambientes,	a	compressibilidade	pode	ser	despre-
zada	em	velocidades	inferiores	a	cerca	de	100	m/s.
Acadêmico, assista a uma animação, desenvolvida pelo TED-Ed, 
sobre o número de Mach, os estrondos sônicos e os efeitos 
físicos por trás desses fenômenos: https://ed.ted.com/lessons/
what-causes-sonic-booms-katerina-kaouri. 
Embora o conteúdo esteja em inglês, o vídeo contém legendas 
em português.
DICA
Acadêmico,assista a um vídeo, do canal SciShow, que trata 
dos desafios da aviação com relação aos voos supersônicos 
e hipersônicos (disponível apenas em inglês): https://www.
youtube.com/watch?v=OoetqEJafy0.
DICA
105
2.4 NATURAL OU FORÇADO
Outra	classificação	importante	diz	respeito	à	origem	do	escoamento.	Se	o	flui-
do	começa	a	escoar,	devido	à	ação	externa,	como	uma	bomba	ou	um	ventilador,	ele	é	
dito	forçado.	Em	contrapartida,	se	o	movimento	do	fluido	acontece	por	causas	natu-
rais,	como	a	convecção	(movimento	ascendente	ou	descendente,	devido	à	diferença	
de	densidade	dentro	do	próprio	fluido,	especialmente	por	diferenças	de	temperatura),	é	
dito	natural.
2.5 PERMANENTE OU TRANSIENTE
Anteriormente,	conceituamos	o	estado	estacionário	 (regime	permanente)	e	o	
estado	não	estacionário	 (regime	transiente)	para	os	 sistemas.	Para	os	escoamentos,	
estas	classificações	terão	significados	análogos.	
Dessa forma, o escoamento pode ser dito:
• Permanente: as condições em todos os pontos do esco-
amento permanecem constantes ao longo do tempo (mas 
podem variar entre os pontos).
• Não permanente (ou transiente): as condições em um 
ou mais pontos do escoamento variam ao longo do tempo.
NOTA
A	Figura	54A	apresenta	um	reservatório	de	grandes	dimensões.	 Isso	significa	
que,	apesar	de	haver	uma	descarga	do	fluido,	o	nível	do	reservatório	não	varia	de	ma-
neira	significativa	com	o	tempo,	podendo	ser	considerado	regime	permanente.	A	Figura	
54B	mostra	um	reservatório	cujo	nível	varia	sensivelmente	com	o	tempo,	pois	a	seção	
transversal	é	relativamente	pequena	se	comparada	à	descarga	do	fluido,	caracterizando	
um	regime	transiente.
Figura 54 – Comparação entre regime permanente (A) e regime transiente (B)
Fonte: Brunetti (2008, p. 68)
106
Na	prática,	os	processos	e	escoamentos	sempre	terão	alguma	variação	ao	longo	
do	tempo,	por	menor	que	seja.	Com	isso,	pode-se	entender,	como	condições	de	regime	
permanente,	aquelas	observadas	em	média	ao	longo	do	tempo	(que	se	espera	serem	
próximas	das	condições	de	operação	planejadas).	Uma	das	tarefas	fundamentais	de	um	
engenheiro	é	determinar	se	um	problema	pode	ser	analisado	aproximando-o	para	regi-
me	permanente	ou	se	é	necessário	avaliar	as	variações	observadas	ao	longo	do	tempo.
É	importante	observar	que,	apesar	de	o	termo	“transiente”	ser	frequentemente	
utilizado	no	 lugar	de	 “não	permanente”,	o	mais	apropriado	é	utilizar	 “transiente”	para	
escoamentos	que	ainda	estão	em	desenvolvimento.	Por	exemplo,	ao	dar	partida	em	um	
carro,	leva-se	algum	tempo	para	que	o	motor	aqueça	até	suas	condições	de	operação	–	
esse	intervalo	de	transição	é,	como	o	nome	sugere,	transiente	–,	e,	quando	devidamen-
te	preparado,	o	motor	já	pode	operar	em	condições	constantes	–	regime	permanente.
2.6 LAMINAR OU TURBULENTO
Certamente,	 é	possível	notar	que,	 ao	abrir	 ligeiramente	uma	torneira,	 o	fluxo	
de	água	é	bastante	suave	e	ordenado,	como	na	Figura	55.	Esse	tipo	de	escoamento	é	
chamado	de	laminar,	caracterizado	pelo	movimento	suave	entre	as	partículas	de	fluido	
em	camadas	(“lâminas”).	Fluidos	de	viscosidade	alta	em	baixas	velocidades	costumam	
escoar	dessa	forma.
Figura 55 – Escoamento laminar
Fonte: https://elements.envato.com/pt-br/water-runs-from-a-tap-into-a-kitchen-sink-close-up-5UNSXKM. 
Acesso em: 8 fev. 2023
Por	outro	lado,	se	abrirmos	ainda	mais	a	torneira,	como	na	Figura	56,	a	veloci-
dade	e	a	vazão	de	água	aumentam	e	o	escoamento	passa	a	ser	mais	desordenado.	De	
fato,	ao	coletar	essa	água	em	um	copo,	veremos	que	a	formação	de	bolhas	é	muito	mais	
intensa.	Esse	tipo	de	escoamento	é	chamado	de	turbulento,	sendo	comum	em	fluidos	
de	baixa	viscosidade	em	altas	velocidades.
107
Figura 56 – Escoamento turbulento
Fonte: https://elements.envato.com/pt-br/thirsty-man-filling-a-big-glass-of-water-PDPG4MP. 
Acesso em: 8 fev. 2023
Quando as condições de escoamento estão entre 
o laminar e o turbulento, diz-se que o escoamento 
está em regime de transição.
NOTA
Os	regimes	laminar	ou	turbulento	afetam,	consideravelmente,	diversos	proces-
sos	envolvendo	fluidos,	como	a	potência	necessária	para	bombeamento	ou	a	transfe-
rência	de	calor.	Dessa	forma,	surge	a	necessidade	de	um	parâmetro	capaz	de	deter-
minar	se	um	escoamento	será	 laminar	ou	turbulento.	Esse	parâmetro	é	o	número	de	
Reynolds,	que	conhecemos	no	Tema	de	Aprendizagem	1,	definido	pela	seguinte	relação:
Em	que	ρ	é	a	massa	específica	do	fluido,	v é	a	velocidade	do	escoamento,	D	é	o	
diâmetro	da	tubulação,	μ	é	a	viscosidade	absoluta	do	fluido	e	v	é	a	viscosidade	cinemática.
Osborne	Reynolds	(1842-1912)	foi	o	engenheiro	britânico	que	observou	a	exis-
tência	desses	regimes	de	escoamento,	por	meio	do	seguinte	experimento:	injetou	co-
rante	em	um	tubo	de	vidro	onde	escoava	um	fluido,	em	diferentes	velocidades.	Para	pe-
quenas	velocidades,	o	corante	seguia	o	escoamento	de	forma	ordenada,	laminar	(Figura	
57A).	Após	passar	um	valor	crítico	de	velocidade,	o	movimento	do	corante	passava	a	ser	
bastante	desordenado,	turbulento	(Figura	57B).
108
Figura 57 – Experimento de Reynolds
Fonte: Çengel; Cimbala (2015, p. 279)
Podemos	observar	que	a	turbulência	promove	uma	mistura	 intensa	no	fluido,	
aumentando	a	transferência	de	momento	entre	as	partículas	e	resultando	no	aumento	
do	atrito	 com	as	 superfícies,	 o	que	demanda	maior	potência	de	bombeamento	para	
deslocar	o	fluido.	Reynolds	constatou	que	o	regime	do	escoamento	dependia	principal-
mente	da	razão	entre	as	forças	inerciais	e	as	forças	viscosas	do	fluido	–	o	número	de	
Reynolds.
Para	água	em	tubos	cilíndricos,	os	seguintes	limites	são,	geralmente,	admitidos:
•	 Re	<	2.000:	escoamento	laminar.
•	 2000	<	Re	<	2.400:	escoamento	de	transição.
•	 Re	>	2.400:	escoamento	turbulento.
Por	fim,	é	importante	apontarmos	que,	em	geral,	o	regime	turbulento	pode	ser	
admitido	como	permanente,	mesmo	sendo	caracterizado	por	flutuações	na	velocidade,	
o	que	é	 razoável	porque	as	velocidades	ficarão	sempre	em	torno	de	um	valor	médio	
(Figura	58).	De	fato,	alguns	aparelhos	sequer	são	capazes	de	indicar	as	flutuações	com	
elevada	precisão.
Figura 58 – Flutuações na velocidade de um escoamento turbulento ao longo do tempo 
Fonte: Brunetti (2008, p. 69)
109
2.7 UNIDIMENSIONAL, BIDIMENSIONAL OU 
TRIDIMENSIONAL
Fonte: Brunetti (2008, p. 71)
Uma	das	principais	formas	de	descrever	um	escoamento	é	por	meio	de	seu	gra-
diente	de	velocidade.	Podemos	dizer	que	ele	é	uni,	bi	ou	tridimensional	se	a	velocidade	
varia	com	uma,	duas	ou	três	dimensões,	respectivamente.	Por	exemplo:	o	escoamento	
é	unidimensional	quando	precisamos	de	apenas	uma	coordenada	para	descrever	sua	
velocidade,	como	na	Figura	59,	em	que	a	velocidade	depende	apenas	da	posição	x,	ou	
seja,	v = f(x).
Figura 59 – Escoamento unidimensional 
Fonte: Brunetti (2008, p. 71)
Se	a	velocidade	também	varia	de	acordo	com	a	posição	y,	ela	é	dita	bidimen-
sional	(v = f(x,y)),	como	na	Figura	60.	Ainda,	pode	variar	nas	três	dimensões	(v = f(x,y,z)),	
como	na	Figura	61.
Figura 61 – Escoamento tridimensional
110
Naturalmente,	quanto	mais	dimensões	forem	consideradas,	maior	será	a	com-
plexidade	da	análise.	Em	geral,	sempre	que	possível,	devemos	descrever	o	escoamento	
de	forma	unidimensional,	por	conveniência,	adotando	uma	velocidade	média	na	seção	
(trataremos	dessa	aproximação	a	seguir).
É comum encontrar o escoamento sendo descrito como 
“uniforme”, o que pode causar certa confusão ao comparar 
bibliografias e traduções diferentes. Por “uniforme”, enten-
demos: sem variação com a posição em uma determinada 
região. O escoamento visto na Figura 59, por exemplo, pode 
ser dito: “uniforme na seção”, pois não varia com as posições 
y ou z para cada seção na posição x.
ATENÇÃO
3 TRAJETÓRIA E LINHA DE CORRENTE
Como	nosso	interesse	está	em	caracterizar	o	movimento	do	fluido	(escoamen-
to),	é	fundamental	sabermos	descrever	a	direção	deste.	Assim,	surgem	os	conceitos	de	
trajetória	e	linha	de	corrente.
A trajetória	é	simplesmente	o	conjunto	dos	pontos	ocupados	por	uma	partí-
cula	em	instantes	sucessivos.	Porexemplo,	se	registrássemos	a	posição	de	um	corpo	
flutuando	ao	 longo	do	 escoamento,	 poderíamos	 ter	 uma	 trajetória	 correspondente	 à	
linha	pontilhada	da	Figura	62.
Figura 62 – Trajetória de um corpo flutuante ao longo de um escoamento 
Fonte: Brunetti (2008, p. 70)
A linha de corrente,	por	sua	vez,	é	a	curva	tangente	aos	vetores	da	velocidade	
em	diferentes	pontos	no	mesmo	instante,	servindo	como	indicador	da	direção	do	es-
coamento	naquele	instante.	Por	exemplo,	na	Figura	63,	as	linhas	em	cinza	são	as	linhas	
de	corrente	para	um	escoamento	bidimensional.
111
Figura 63 – Linhas de corrente para um escoamento bidimensional
Fonte: Çengel; Cimbala (2015, p. 111)
É	possível	desenvolver	expressões	algébricas	para	descrevermos	as	linhas	de	
corrente	a	partir	da	sua	definição,	mas	 isso	está	fora	do	escopo	deste	 livro	didático.	
Nosso	 interesse	é	compreender	como	visualizar	o	movimento	do	fluido:	se	medirmos	
a	velocidade	em	diferentes	pontos	do	escoamento,	podemos	determinar	as	linhas	de	
corrente,	que	coincidem,	geometricamente,	com	as	trajetórias	no	regime	permanente.
Existem diversas formas e técnicas para visualizar o escoa-
mento, muitas das quais são particularmente importantes 
para o desenvolvimento de soluções numéricas para proble-
mas de escoamento. A simulação numérica dessas soluções 
é chamada de fluidodinâmica computacional (CFD) e trans-
forma números em imagens, providenciando, ao engenheiro, 
uma perspectiva privilegiada do escoamento. 
Algumas técnicas modernas de análise do movimento de par-
tículas em fluidos envolvem, também, métodos ópticos, como 
velocimetria por imagem de partículas (PIV), gráficos de som-
bras, fotografia schlieren e interferometria. Isso é importante 
porque a mente humana é capaz de processar rapidamente 
uma quantidade enorme de informações visuais, em vez de 
apenas listar dados quantitativos (ÇENGEL; CIMBALA, 2015).
INTERESSANTE
112
4 VAZÃO E VELOCIDADE MÉDIA
Sabendo	 identificar	 as	principais	 características	de	um	escoamento,	 o	passo	
seguinte	é	quantificá-lo	quanto	à	vazão	de	fluido.	De	forma	análoga	ao	desenvolvido	
no	Tema	de	Aprendizagem	1,	utilizaremos	o	conceito	de	vazão	para,	então,	aplicarmos	
o	princípio	de	conservação	da	massa	aos	escoamentos.	O	resultado	será	a	chamada	
equação	da	continuidade.
Utilizamos a ideia de “vazão” no Tema de Aprendizagem 1, mas sem dar atenção parti-
cular a ela. No contexto da mecânica dos fluidos, podemos entender essa expressão da 
seguinte forma: a quantidade de massa de fluido que atravessa uma determinada 
seção do escoamento por unidade de tempo. Assim, sendo Qm o símbolo utilizado 
para representar a vazão mássica, m para massa e t para tempo, pode-se escrever:
Como [Qm] = MT
-1, unidades típicas para a vazão mássica são 
kg/h e lb/h, por exemplo. Também é bastante comum pen-
sarmos na vazão em termos do volume de fluido:
Nesse caso, [Q] = L³T-1, de modo que várias unidades são co-
muns: m³/s, m³/h, L/s, L/h, ft³/s. É importante observarmos 
que ambas as vazões se relacionam da seguinte maneira:
Qm = ρ . Q
NOTA
Então,	se,	por	exemplo,	um	chuveiro	aberto	gasta	150	 litros	de	água	durante	
um	banho	de	15	minutos,	podemos	dizer	que	a	vazão	é	de	10	litros	de	água	por	minuto.	
Adotando	 a	massa	 específica	 da	 água	 como	 1.000	 kg/m³,	 isso	 corresponde	 à	vazão	
mássica	de	10	kg/min:
113
Por	exemplo:	se	uma	mangueira	é	utilizada	para	encher	uma	piscina	com	ca-
pacidade	de	12.000	litros	de	água,	sabendo	que	o	tempo	necessário,	para	preenchê-la	
completamente,	foi	de	40	minutos,	qual	foi	a	vazão	da	mangueira	em	volume	e	em	mas-
sa?	A	resposta	deve	considerar	unidades	do	SI	e	ρH2O = 1.000 kg/m³.
Solução:	se	a	mangueira	é	a	única	fonte	de	água	enchendo	a	piscina,	podemos	
determinar	a	vazão	de	água	com	base	na	definição:
Agora,	para	atender	à	solicitação	do	enunciado,	é	necessário	converter	as	uni-
dades	para	o	SI:
Conhecida	a	vazão	volumétrica,	pode-se	calcular	a	vazão	mássica:
Devemos	observar	que,	na	definição	dada	para	a	vazão,	é	mencionada	uma de-
terminada seção do escoamento.	Essa	ideia	é	importante,	pois	possibilita	relacionar	
a	vazão	em	volume	com	a	velocidade	do	fluido.	
Em	 outro	 exemplo,	 um	fluido	 em	movimento	 dentro	 de	 uma	 tubulação,	 que	
atravessa	a	seção	de	área	A	no	tempo	t = 0,	deslocando-se	a	uma	distância	s	em	um	
intervalo	de	tempo	t,	como	na	Figura	64.
114
Figura 64 – Vazão volumétrica de fluido em escoamento uniforme
Fonte: Brunetti (2008, p. 72)
Agora,	o	volume	(V)	de	fluido	que	atravessou	a	seção	de	área	A	no	intervalo	de	
tempo	t	é	equivalente	ao	volume	do	cilindro	de	altura	s	e	à	área	da	base	A.	Assim,	temos	
matematicamente	que:
V = s . A
Pela	definição	de	vazão	volumétrica:
Utilizando	a	definição	de	velocidade	(v = s/t),	podemos	escrever,	ainda,	que:
Q = v . A
Em	que	v	é	a	velocidade	do	escoamento.	
Contudo,	é	fundamental	observarmos	que	esse	raciocínio	só	faz	sentido	se	for	
considerando	um	perfil	de	velocidade	uniforme	na	seção.	Como	já	foi	mencionado	an-
teriormente,	 em	situações	práticas,	 o	 escoamento	dificilmente	 será	uniforme,	mas	é	
possível	adotarmos	uma	velocidade	média	na	seção	para	abordar	o	problema	como	se	
ele	fosse,	de	fato,	uniforme.
Nesse	sentido,	temos	o	exemplo	da	Figura	65.
115
Figura 65 – Vazão volumétrica de fluido em escoamento tridimensional
Fonte: Brunetti (2008, p. 73)
A	velocidade	(v)	é	diferente	em	cada	ponto	da	seção	(dQ).	A	vazão	(dQ)	em	cada	
um	desses	pontos	pode	ser	escrita	como:
dQ = v . dA
Então,	a	vazão	na	seção	de	área	A	pode	ser	avaliada	por	meio	da	integral:
Agora,	 considerando	 a	 seguinte	 definição	 para	 a	velocidade	média	 (vm):	 uma	
velocidade	uniforme	que,	substituindo	a	velocidade	real,	resulta	na	mesma	vazão	por	
meio	da	seção:
Esta	expressão	pode	ser	arranjada	conforme	a	devida	definição	de	velocidade	
média	na	seção:
Portanto,	 em	 problemas	 em	 que	 o	 perfil	 de	 velocidades	 real	 (vreal)	 é	 variado,	
podemos	adotar	uma	velocidade	média	(vm)	uniforme	na	seção,	que	resulta	na	mesma	
vazão	volumétrica	(Q),	por	meio	da	seção	(Figura	66).
116
Figura 66 – Perfil de velocidades (vreal ) e velocidade uniforme média na seção (vm) que resultam em vazões 
volumétricas equivalentes por meio da seção
Fonte: Brunetti (2008, p. 73)
Como	 exemplo,	 para	 fixar	 os	 conceitos	 abordados,	 temos	 um	 óleo	 (ρ = 850 
kg/m³)	que	escoa	em	uma	tubulação	(Figura	67)	que	apresenta	seções	de	tamanhos	
diferentes:	A1 = 30 cm² e A2 = 18 cm².	Se	a	velocidade	média	na	seção	1	é	de	v1 = 6 m/s,	
como	podemos	determinar	as	vazões	em	volume	e	em	massa	e	a	velocidade	média	na	
seção	2	em	unidades	do	SI?
Figura 67 – Esquema representativo do exemplo abordado sobre vazão
Fonte: os autores
Solução:	 inicialmente,	é	conveniente	convertermos	as	áreas	conhecidas	para	
o	SI:
Como	a	velocidade	média	na	seção	1	é	fornecida,	é	possível	calcularmos	a	vazão	
volumétrica:
117
Agora,	como	conhecemos	a	massa	específica	do	óleo,	podemos	utilizá-la	para	
calcular	a	vazão	em	massa:
Para	calcular	a	velocidade	média	na	seção	2,	é	necessário	 recorrermos	a	um	
conceito	que	estudamos	no	Tema	de	Aprendizagem	1:	no	regime	permanente,	tudo	que	
entra	no	sistema	tem	de	sair.	Aqui,	podemos	entender	a	seção	1	como	a	entrada	e	a	
seção	2	como	a	saída	do	sistema,	isto	é,	a	vazão	de	óleo	que	entra	na	seção	1	sai	pela	
seção	2.	Se	a	massa	específica	do	óleo,	uma	substância	líquida,	não	varia	consideravel-
mente	com	a	diminuição	da	área	da	seção,	podemos	afirmar	que	é	um	fluido	incompres-
sível.	Assim,	temos	que:
Com	isso,	a	velocidade	média	na	seção	2	pode	ser	avaliada:
Caso esta última etapa não tenha ficado tão clara, não se preocu-
pe: na verdade, essa ideia será mais bem desenvolvida a seguir, 
quando conhecermos a famosa equação da continuidade.
NOTA
5 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE EM REGIME 
PERMANENTE
Ao	considerarmos	o	escoamento	de	um	fluido	por	um	tubo,	com	formato	e	di-
mensões	genéricas,	cujo	sistema	analisaremos	a	seguir	(Figura	68).
ErickAle
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ErickAle
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ErickAle
DestacarErickAle
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118
Figura 68 – Representação esquemática de um tubo de corrente genérico
Fonte: Brunetti (2008, p. 75)
Na	seção	1,	de	área	A1,	há	uma	vazão	mássica	de	entrada	Qm1.	Na	seção	2,	de	
área	A2,	há	uma	vazão	mássica	de	saída	Qm2.	Em	regime	permanente,	as	propriedades	
em	cada	ponto	do	fluido	são	constantes	ao	longo	do	tempo.	Além	disso,	pelo	princípio	
de	conservação	da	massa,	sabemos	que	Qm1	=	Qm2	 (do	contrário,	em	algum	ponto	no	
interior	do	tubo	haveria	redução	ou	acúmulo	de	massa).
A chamada equação da continuidade para um fluido qualquer 
em regime permanente pode ser escrita das seguintes formas:
Qm1	=	Qm2 ou ρ1 . Q1	=	ρ2 . Q2 ou ρ1 . v1 . A1=	ρ2 . v2 . A2
Ainda, se o fluido for incompressível (ρ1	=	ρ2): 
Qm1	=	Qm2 ou Q1	=	Q2 ou v1 . A1=	v2 . A2
NOTA
Por	mais	que	esse	conceito,	talvez,	pareça	simples	demais	para	tanta	ênfase,	
não	devemos	subestimá-lo:	ele	é	fundamentalmente	necessário	para	solução	de	diver-
sos	problemas	de	mecânica	dos	fluidos.	
Por	exemplo:	os	tubos	de	Venturi	são	aparatos	utilizados	para	medir	a	velocida-
de	do	escoamento,	por	meio	da	variação	de	pressão.	Para	tanto,	eles	apresentam	uma	
seção	larga	e	depois	outra	mais	estreita,	como	na	Figura	69.	Um	gás	escoa	em	regime	
permanente	por	esse	trecho	de	tubulação	e,	devido	a	sua	compressibilidade,	apresenta	
diferentes	massas	específicas	na	entrada	(ρe	=	5	kg/m³)	e	na	garganta	(ρG	=	10	kg/m³).	
Sendo	Ae	=	30	cm²,	AG	=	10	cm²	e	ve	=	40	m/s,	qual	a	velocidade	média	do	escoamento	
na	garganta	do	tubo	de	Venturi?
119
Figura 69 – Representação esquemática de um tubo de Venturi
Fonte: os autores
Solução:	em	regime	permanente,	pelo	princípio	de	conservação	da	massa,	te-
mos	a	equação	da	continuidade:
Qm1	=	Qm2					ou				 ρ1 . Q1 = ρ2 . Q2					ou					ρ1 . v1 . A1= ρ2 . v2 . A2
Como	o	fluido,	em	questão,	é	compressível,	não	podemos	fazer	as	simplifica-
ções	com	as	massas	específicas.	Então,	temos:
ρe . ve . Ae = ρG . vG . AG
Isolando	o	termo	que	desejamos	avaliar,	basta	substituirmos	os	valores	conhe-
cidos	para	chegar	à	resposta:
Parece intuitivo concluir que, ao comparar duas seções diferentes 
da tubulação de um mesmo escoamento, as velocidades médias 
e as áreas são inversamente proporcionais, isto é, na garganta do 
tubo de Venturi, a velocidade é maior, pois a área é menor. Possi-
velmente, acadêmico, você já observou isso em seus experimentos 
de infância, ao apertar uma mangueira ou obstruir uma torneira 
para que o jato de água saísse mais “forte” (rápido).
ATENÇÃO
120
Além	disso,	precisamos	ressaltar	que	estamos	no	regime	permanente:	as	con-
dições	em	todos	os	pontos	do	escoamento	permanecem	constantes	ao	longo	do	tem-
po,	mas	podem	variar	entre	os	pontos.	Aqui,	temos	um	bom	exemplo	disso:	a	massa	
específica	na	entrada	era	de	5	kg/m³,	constante	ao	longo	do	tempo,	enquanto	a	massa	
específica	na	garganta	era	de	10	kg/m³,	também	constante	ao	longo	do	tempo.
Por	fim,	é	importantíssimo	mencionarmos	que	nem	sempre	haverá	apenas	uma	
entrada	e	uma	saída	de	fluido.	Podemos	generalizar	a	equação	da	continuidade	como	a	
soma	das	vazões	de	entrada	(“e”)	e	a	soma	das	vazões	de	saída	(“s”):
De	forma	análoga,	se	o	fluido	for	incompressível	e	homogêneo	(ou	seja,	se	não	
forem	misturadas	substâncias	diferentes	que	sejam	compressíveis	ou	que	alterem	as	
massas	específicas	presentes):
Com	isso,	podemos	concluir	mais	uma	etapa	do	estudo	dos	fenômenos	de	trans-
porte.	Neste	tema	de	aprendizagem,	estudamos	os	escoamentos	(fluidos	em	movimen-
to),	como	caracterizá-los	e	como	é	possível	aplicarmos	o	princípio	de	conservação	da	
massa	a	eles.	O	próximo	passo	será	aplicarmos	o	princípio	de	conservação	da	energia,	 
que	nos	levará	a	mais	uma	das	equações	fundamentais	da	mecânica	dos	fluidos.
Para aprender mais sobre mecânica dos fluidos, não deixe de conferir o livro Mecânica 
dos Fluidos, um de Franco Brunetti, que se destaca por tratar o tema de maneira bastante 
didática e prática, por vezes evitando explorar as raízes matemáticas dos conceitos em 
prol de desenvolver, no leitor, a habilidade de usá-los. O conteúdo é organizado de 
maneira que o leitor se acostume mais facilmente com a disciplina, em grau crescente de 
dificuldade e realismo.
Essa bibliografia é uma das principais referências que utilizamos 
ao longo deste livro didático, uma vez que apresentamos, de forma 
compacta e introdutória, os conteúdos dos capítulos 1, 2, 6 e 7. Re-
comenda-se, ainda, a leitura do capítulo 8, que trata de instrumen-
tação para medidas das propriedades dos fluidos e escoamentos, 
mas que, para uma boa compreensão, exige alguns conceitos que 
ainda serão estudados em breve.
DICA
121
LEITURA
COMPLEMENTAR
O QUE É FLUIDODINÂMICA COMPUTACIONAL?
Felipe	Francisco	de	Melo
Existem	muitos	fenômenos	que	escapam	do	controle	do	ser	humano,	como	a	
propagação	de	um	incêndio,	a	trajetória	que	a	água	faz	em	uma	inundação,	a	turbulên-
cia	aérea,	entre	outros.	Se	surgir	o	questionamento	do	que	todos	esses	fenômenos	têm	
em	comum,	chega-se	a	uma	resposta:	escoamentos.
Os	fluidos,	do	ponto	de	vista	físico-químico,	são	conjuntos	de	partículas	unidas	
por	forças	fracas	que	promovem	uma	força	externa	e	a	variação	das	posições	de	suas	
moléculas.	Este	é	o	caso	de	líquidos	e	gases.
Em	 1822,	 o	 engenheiro	 e	 físico	 francês	Claude-Louis	Navier	 (1785-1836)	de-
duziu	um	sistema	de	equações	que	descrevia	aproximadamente	o	comportamento	de	
alguns	fluidos.	Vinte	anos	mais	tarde,	o	matemático	e	físico	irlandês	Sir	George	Gabriel	
Stokes	 (1819-1903),	partindo	de	um	modelo	diferente,	completou	a	descrição	dessas	
equações,	que	então	passou	a	receber	o	nome	de	Equações	de	Navier-Stokes	em	ho-
menagem	a	ambos.
As	equações	de	Navier-Stokes	descrevem	escoamentos	de	fluidos	newtonia-
nos,	através	da	formulação	matemática	do	princípio	de	balanço	da	quantidade	de	movi-
mento	linear	aplicado	a	um	meio	contínuo	e	em	uma	descrição	euleriana.	Fluidos	new-
tonianos	são	amplamente	encontrados	em	problemas	de	engenharia.
Em	conjunto	com	a	equação	da	continuidade,	que	traduz	o	balanço	de	massa,	a	
solução	das	equações	de	Navier-Stokes	permite	prever	ou	recriar	os	campos	de	veloci-
dades	e	pressões	característicos	de	um	escoamento.	Para	tal,	formula-se	o	problema	de	
valor	de	contorno,	em	que	devem	ser	conhecidas	as	características	do	escoamento	nas	
fronteiras	do	domínio	modelado,	bem	como	sua	definição	em	um	instante	de	referência.
A	maioria	dos	campos	de	Engenharia	tem	problemas	difíceis	que	podem	ser	
modelados	com	essas	complexas	equações	diferenciais.	Essas	equações	nem	sempre	
podem	ser	resolvidas	analiticamente	e,	por	isso,	é	necessário	implementar	métodos	nu-
méricos	para	encontrar	soluções	aproximadas.	O	cálculo	numérico	aparece	como	uma	
ferramenta	útil	para	entender	e	simular	casos	reais	que	antes	eram	impossíveis	de	exe-
122
cutar.	Assim,	o	número	de	técnicas	utilizadas	nos	métodos	numéricos	aumentou	nos	
últimos	anos	junto	com	o	poder	dos	computadores,	possibilitando	o	desenvolvimento	
contínuo	dos	códigos	e	possibilidade	de	aumentar	sua	precisão.
Procedimentos	numéricos	possibilitam	reproduzir	os	experimentos	em	ambien-
te	virtual,	e	assumem	cada	vez	maior	participação	em	procedimentos	de	Engenharia,	
à	medida	 que	 os	 recursos	 computacionais	 se	 tornam	mais	 poderosos.	 Entretanto,	 o	
estado	da	arte	na	modelagem	computacional	de	fluidos	não	dispensa	a	realização	de	
experimentos.	Na	verdade,	o	estudo	da	mecânica	dos	fluidos	é,	hoje,	pautado	na	inter-
dependência	 de	 procedimentos	 experimentais	 e	 numéricos,	 embasados	 pela	 funda-
mentação	teórica	de	procedimentos	analíticos.
Ao	usar	modelagem	computacional	durante	o	projeto,	um	engenheiro	pode	es-
tabelecer	desde	o	início	se	seu	produto	estará	em	conformidade	com	os	requisitos	do	
cliente.	Aplicar	esses	métodos,	geralmente,	significa	que	menos	protótipos	físicos	terão	
que	ser	construídos	durante	o	desenvolvimento	do	produto,	e	isso	significa	que	menos	
testes	de	protótipo	terão	que	ser	realizados.	O	tempo	de	comercializaçãoe	o	custo	de	
comercialização	são	subsequentemente	reduzidos.	O	risco	técnico	e	a	possível	perda	
de	 investimento	 também	são	bastante	 reduzidos	 ao	desenvolver	 produtos	 com	CFD	
(Fluidodinâmica	Computacional,	do	inglês	Computational Fluid Dynamic).
Entre	os	métodos	mais	empregados	para	solucionar	numericamente	as	equa-
ções	de	Navier-Stokes,	estão	os	métodos	de	Diferenças	Finitas	(MDF),	Volumes	Finitos	
(MVF)	e	Elementos	Finitos	(MEF).	Embora	seu	emprego	na	mecânica	dos	sólidos	tenha	
consagrado	o	MEF	como	o	método	mais	adequado	para	problemas	elípticos	em	domí-
nios	de	complexidade	arbitrária,	historicamente,	o	MEF	tem	sido	menos	empregado	na	
simulação	de	escoamentos,	quando	comparado	ao	MDF	e	MVF.
O	método	dos	Volumes	Finitos	consiste	em	dividir	o	domínio	em	volumes	de	
controle	e	as	equações	de	balanço	são	aplicadas	a	cada	um	deles,	sendo	as	integrais	
de	volume	e	superfície	aproximadas	por	fórmulas	de	quadratura.	Outro	método	comum	
e	bastante	utilizado	é	o	método	dos	Elementos	Finitos.	A	ideia	central	do	MEF	é	discre-
tizar	o	domínio,	representando-o,	ainda	que	de	forma	aproximada,	por	uma	reunião	de	
um	número	finito	de	elementos.	A	partir	desse	processo,	é	possível	obter	uma	solução	
aproximada	através	de	uma	função	definida	no	subdomínio,	que	resulta	pela	ação	de	
discretizar	o	domínio.
Fonte: adaptada de MELO, F. F. Introdução à Dinâmica dos Fluidos Computacional. Trabalho 
de Conclusão de Curso (Bacharelado em Engenharia Mecânica) – Faculdade de Engenharia Mecânica, 
Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2020. p. 40. 
123
Neste tópico, você aprendeu:
•	 Algumas	classificações	para	escoamento:	viscoso	ou	não	viscoso	(se	os	efeitos	vis-
cosos	são	relevantes	ou	não);	interno	ou	externo	(se	o	fluido	escoa	cercado	por	su-
perfícies	sólidas	ou	não);	compressível	ou	incompressível	(se	a	densidade	do	fluido	
que	escoa	varia	ou	não	com	a	pressão);	forçado	ou	natural	(se	o	escoamento	ocorre	
devido	à	imposição	de	alguma	força	externa	ou	não);	permanente	ou	transiente	(se	
as	condições	em	todos	os	pontos	do	escoamento	permanecem	constantes	ao	longo	
do	tempo	ou	não);	laminar,	de	transição	ou	turbulento	(se	for	ordenado	ou	não);	uni,	
bi	ou	tridimensional	(dependendo	da	quantidade	de	coordenadas	espaciais	com	que	
a	velocidade	varia).
•	 A	importância	do	número	de	Reynolds	(razão	entre	forças	inerciais	e	forças	viscosas).	
Dependendo	do	seu	valor,	podemos	classificar	o	escoamento	em	tubos	cilíndricos	da	
seguinte	forma:	escoamento	laminar	(Re	<	2.000),	escoamento	de	transição	(2.000	<	
Re	<	2.400)	e	escoamento	turbulento	(Re	>	2.400).
•	 O	conceito	de	conduto:	qualquer	estrutura	sólida	destinada	ao	transporte	de	fluidos,	
como	tubulações.	Os	condutos	podem	ser	forçados,	quando	o	fluido	preenche	o	con-
duto	completamente	sem	apresentar	superfície	livre;	ou	livres	(ou	abertos),	quando	o	
fluido	em	movimento	apresenta	uma	superfície	livre.
•	 A	importância	do	número	de	Mach	(razão	entre	a	velocidade	do	escoamento	e	a	ve-
locidade	do	 som).	Mach	é	um	número	adimensional,	 que	pode	 ser	utilizado	como	
parâmetro	para	avaliar	se	é	razoável	aproximar	um	escoamento	como	incompressível	
(Ma	<	0,3).
•	 As	definições	de	trajetória	e	de	linha	de	corrente:	trajetória	é	simplesmente	o	conjun-
to	dos	pontos	ocupados	por	uma	partícula	em	instantes	sucessivos;	linha	de	corrente	
é	a	curva	tangente	aos	vetores	da	velocidade	em	diferentes	pontos	no	mesmo	ins-
tante,	servindo	como	indicador	da	direção	do	escoamento	naquele	instante.
•	 A	definição	de	vazão,	que	é	a	quantidade	de	fluido	que	atravessa	uma	determinada	
seção	do	escoamento	por	unidade	de	tempo.	Podemos	diferenciá-la	em	vazão	más-
sica	(massa/tempo,	ou	seja,	Qm = m/t)	e	vazão	volumétrica	(volume/tempo,	ou	seja,	
Q = V/t).	É	possível	converter	uma	grandeza	na	outra	utilizando	a	seguinte	relação	
matemática:	Qm = ρ . Q).	Além	disso,	considerando	um	perfil	de	velocidades	uniforme	
em	uma	seção	de	escoamento	de	área	A,	ou,	ainda,	adotando	uma	velocidade	média,	
podemos	escrever	a	vazão	como	função	da	velocidade	característica	do	escoamento,	
Q = v . A.
RESUMO DO TÓPICO 3
124
•	 A	importância	e	o	significado	da	equação	da	continuidade	em	regime	permanente,	
e	como	simplificá-la	para	casos	específicos	(por	exemplo,	para	escoamento	incom-
pressível).
125
AUTOATIVIDADE
Fonte: os autores
3	 Uma	tubulação	direciona	água	para	dois	reservatórios,	ambos	cúbicos,	como	repre-
sentado	na	figura	a	seguir.	O	 reservatório	1	 leva	100	segundos	para	ser	completa-
mente	 preenchido,	 enquanto	 o	 reservatório	 2	 leva	 180	 segundos.	 Sabendo	 que	 a	
velocidade	média	do	escoamento	na	seção	A	é	de	1,25	m/s,	determine	o	diâmetro	da	
tubulação	e	classifique	o	escoamento	desta	mesma	seção,	de	acordo	com	o	número	
de	Reynolds	(considere	ρH2O	=	1.000	kg/m³	e	μH2O	=	1,00	×	10
-3	Pa	.	s).	Em	seguida,	as-
sinale	a	alternativa	CORRETA:
a)	 (			)	 0,20	m;	regime	laminar.
b)	 (			)	 0,80	m;	regime	turbulento.
c)	 (			)	 1,20	m;	regime	de	transição.
d)	 (			)	 1,60	m;	regime	turbulento.
1	 Um	tanque	cilíndrico	completamente	cheio	de	água,	com	altura	de	5	metros,	 leva	
2.000	segundos	para	ser	completamente	esvaziado.	Ele	é	descarregado	por	um	tubo,	
cuja	vazão	é	de	50	litros/segundo,	constante	ao	longo	de	todo	o	processo.	Determine	
a	área	ocupada	por	esse	tanque.	Esse	processo	opera	em	 regime	permanente	ou	
transiente?
2	 Ar	entra	em	um	difusor	à	velocidade	de	200	m/s,	como	na	figura	a	seguir.	A	área	da	
seção	de	entrada	é	de	20	cm²,	enquanto	a	área	da	seção	de	saída	é	de	50	cm².	Sa-
bendo	que	a	massa	específica	do	ar,	na	entrada	e	na	saída,	é	de	1,2	kg/m³	e	1,5	kg/
m³,	 respectivamente,	determine	as	vazões	em	volume	e	em	massa	e	a	velocidade	
média	na	saída.	Avalie,	também,	o	escoamento	em	ambas	as	seções,	de	acordo	com	
o	número	de	Mach.	Considere	a	velocidade	do	som	de	346	m/s.
126
Fonte: os autores
4	 Uma	tubulação,	como	representada	a	figura	a	seguir,	recebe	duas	correntes	de	en-
trada:	fluido	A	(ρA	=	1.000	kg/m³)	com	vazão	de	30	L/s	e	fluido	B	(ρB	=	600	kg/m³)	com	
vazão	de	50	L/s.	Como	resultado,	a	saída	da	tubulação	é	uma	mistura	homogênea.	
Sobre	a	massa	específica	da	mistura	formada,	assinale	a	alternativa	CORRETA:
Fonte: os autores
a)	 (			)	 650	kg/m³.
b)	 (			)	 700	kg/m³
c)	 (			)	 750	kg/m³.
d)	 (			)	 800	kg/m³.
5	 Água	(v = 1,0 . 10–6 m²/s)	escoa	por	uma	tubulação	cilíndrica,	em	que	há,	em	uma	de-
terminada	região,	uma	diminuição	do	diâmetro	da	tubulação,	como	mostra	a	figura	a	
seguir.	A	seção	A	tem	diâmetro	DA = 4	in	e	velocidade	média	vA = 1,08 . 10–2 m/s.	Além	
disso,	o	diâmetro	da	seção	B	é	conhecido:	DB = 2	in.	Dessa	forma,	são	feitas	as	seguin-
tes	afirmações	sobre	esse	sistema:
127
Fonte: os autores
I-	 O	Reynolds	da	seção	A	é,	aproximadamente,	ReA = 1.100,	o	que	indica	que	o	escoa-
mento	nesta	seção	é	laminar.
II-	 Como	DB = DA /2,	então	ReB = ReA /2.	
III-	 Mantendo	inalterados	a	geometria	e	o	fluido,	a	vazão	máxima	permitida	na	seção	A,	
para	que	o	regime	seja	laminar,	é	de	0,16	L/s.
Assinale	a	alternativa	CORRETA:
a)	 (			)	 As	sentenças	I	e	II	estão	corretas.
b)	 (			)	 As	sentenças	I	e	III	estão	corretas.
c)	 (			)	 As	sentenças	II	e	III	estão	corretas.
d)	 (			)	 As	sentenças	I,	II	e	III	estão	corretas.
128
BRUNETTI,	F.	Mecânica dos Fluidos.	2.	ed.	São	Paulo:	Pearson	Prentice	Hall,	2008.
ÇENGEL,	Y.	A.;	CIMBALA,	J.	M.	Mecânica dos fluidos:	fundamentos	e	aplicações.	3.	
ed.	São	Paulo:	AMGH	Editora,	2015.
HAUKE,	G.	An introduction to fluid mechanics and transport phenomena.	
Holanda:	Springer	Netherlands,	2008.
HIMMELBLAU,	D.	M.;	RIGGS,	J.	B.	Engenharia química	–	princípios	e	cálculos. 7.	ed.	
São	Paulo:	LTC,	2003.
WELTY,	J.	R.;	RORRER,	G.	L.;	FOSTER,	D.	G.	Fundamentos de Transferência de 
Momento, de Calor e de Massa.	6.	ed.	São	Paulo:	LTC,	2017.
REFERÊNCIAS
129
BALANÇO DE ENERGIA 
MACROSCÓPICO E 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
UNIDADE 2 — 
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
•	 compreender	o	conceito	de	balanço	de	energia,	assim	como	definira	terminologia	
empregada, conceitos e unidades;
•	 definir	a	equação	de	Bernoulli,	a	partir	da	análise	das	energias	mecânicas	associadas	
a	um	fluido	em	escoamento,	e	examinar	a	equação	da	energia	sem	a	hipótese	de	
fluido	ideal,	desenvolvendo	o	conceito	de	perda	de	carga;
•	 compreender	o	princípio	de	funcionamento	da	 instrumentação	para	a	medição	de	
velocidade	dos	fluidos;
•	 reescrever	a	equação	da	energia	na	presença	de	máquinas	que	realizam	trabalho	e	
aplicá-la	a	sistemas	envolvendo	reservatórios,	tubos,	singularidades	e	máquinas;
•	 determinar	a	perda	de	carga,	tanto	distribuída	quanto	localizada,	e	definir	os	termos:	
condutos,	raio/diâmetro	hidráulico	e	rugosidade;
•	 definir	o	que	é	a	transferência	de	calor	e	seus	principais	processos:	condução,	con-
vecção	e	radiação;
•	 compreender	a	transferência	de	calor	por	difusão,	por	meio	da	Lei	de	Fourier	da	Con-
dução,	das	definições	de	condutividade	e	difusividade	térmicas,	e	dos	conceitos	de	
resistência	e	circuitos	térmicos;
•	 desenvolver	tanto	o	conceito	de	camada	limite	hidrodinâmica	(partindo	da	definição	
do	número	de	Reynolds)	quanto	o	de	camada	limite	térmica	(estudo	da	convecção	
por	meio	da	definição	da	Lei	de	Newton	do	resfriamento);
•	 conhecer	o	mecanismo	de	radiação	térmica,	com	base	na	Lei	de	Stefan-Boltzmann	
da	radiação	térmica;
•	 reconhecer	os	diversos	tipos	de	dispositivos	e	as	configurações	de	equipamentos	de	
transferência	de	calor	e	abordar	os	principais	aspectos	na	análise	de	um	trocador	de	
calor;
•	 entender	o	conceito	de	média	logarítmica	das	temperaturas,	junto	ao	coeficiente	glo-
bal	de	transferência	de	calor.
130
PLANO DE ESTUDOS
	 A	cada	tópico	desta	unidade	você	encontrará	autoatividades	com	o	objetivo	de	
reforçar	o	conteúdo	apresentado.
TÓPICO	1	–	EQUAÇÃO	DA	ENERGIA	E	SUAS	IMPLICAÇÕES
TÓPICO	2	–	INTRODUÇÃO	À	TRANSFERÊNCIA	DE	CALOR
TÓPICO	3	–	TROCADORES	DE	CALOR
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos em frente! Procure 
um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá melhor as informações.
CHAMADA
131
CONFIRA 
A TRILHA DA 
UNIDADE 2!
Acesse o 
QR Code abaixo:
132
133
TÓPICO 1 — 
EQUAÇÃO DA ENERGIA E SUAS 
IMPLICAÇÕES
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Na	Unidade	1,	vimos	o	conceito	de	balanço	material	e	as	leis	de	conservação,	
tratando	de	propriedades	como	massa	e	energia	de	um	sistema	(isolado),	que	não	va-
riam	ao	longo	do	tempo.	Aplicamos,	também,	essa	ideia	de	conservação	de	massa	ao	
escoamento	e	estudamos	os	principais	conceitos	que	estruturam	a	mecânica	de	flui-
dos.	Nesta	unidade,	é	hora	de	conhecermos	os	balanços	de	energia.
Neste	tema	de	aprendizagem,	analisaremos	o	escoamento	sob	a	perspectiva	do	
balanço	de	energia.	Trabalharemos	com	duas	equações	principais:	a	equação	da	energia	
propriamente	dita	(que	representa	o	enunciado	da	conservação	de	energia)	e	a	famosa	
equação	de	Bernoulli	(que	analisa	as	energias	associadas	ao	escoamento	por	meio	de	
hipóteses	simplificadoras).	No	contexto	da	mecânica	dos	fluidos,	a	primeira	observação	
importante	a	ser	feita	é	quanto	à	relação	entre	energia	mecânica	e	energia	térmica	–	a	
conversão	de	energia	mecânica	em	energia	térmica	se	dá	por	meio	de	efeitos	viscosos	
(atrito),	significando	uma	perda	de	energia	mecânica.
Assim,	 relembraremos	 os	 principais	 tipos	 de	 energias	 mecânicas,	 como	 as	
energias	cinética	e	potencial.	Em	seguida,	aplicaremos	a	conservação	de	energia	me-
cânica	para	escoamentos,	obtendo	a	equação	de	Bernoulli,	que	será	bastante	discutida	
a	partir	do	estudo	de	algumas	de	suas	aplicações.	Também	aprenderemos	a	lidar	com	o	
balanço	de	energia	na	presença	de	máquinas,	como	bombas	e	turbinas,	e	para	fluidos	
reais,	e,	ainda,	entenderemos	alguns	conceitos	importantes,	como	o	de	camada	limite.	
Finalmente,	veremos	como	calcular	a	perda	de	carga	(energia)	devido	ao	atrito	e	a	aci-
dentes	na	linha.	
2 DEFINIÇÕES E TIPOS DE ENERGIAS MECÂNICAS
O	primeiro	passo	para	começarmos	a	entender	melhor	o	balanço	de	energia	é	
relembrar	o	enunciado	do	princípio	de	conservação	da	energia:	a	primeira	lei	da	termo-
dinâmica.	Durante	um	processo,	para	um	sistema	isolado,	a	energia	não	pode	ser	criada	
nem	destruída,	apenas	transformada.	Um	sistema	fechado,	por	sua	vez,	pode	perder	ou	
ganhar	energia	do	meio	que	o	envolve.	Assim,	é	razoável	escrever:
134
Em	que															é	a	taxa	de	energia	que	entra	no	sistema,										é	a	taxa	de	ener-
gia	que	sai	do	sistema	e	dEsistema /dt	é	a	taxa	de	variação	de	energia	total	do	sistema.	No	
regime	permanente,	não	há	acúmulo,	então:
A	energia	de	um	sistema	fechado	(ou	seja,	de	massa	fixa)	pode	variar	por	meio	
de	dois	mecanismos:	a	transferência	de	calor	(energia	térmica,			)	e	a	transferência	de	
trabalho	(energia	mecânica,						).	Assim,	escrevendo	os	termos	na	forma	de	taxas	(gran-
deza	por	unidade	de	tempo),	temos:
Em	que							é	a	taxa	de	transferência	de	calor	(positiva	quando	calor	é	adicionado	
ao	sistema	pelo	meio	que	o	envolve)	e						é	a	taxa	de	transferência	de	trabalho	(positiva 
quando	trabalho	é	realizado	pelo	meio	sobre	o	sistema).	Essa	é	a	primeira	lei	da	termo-
dinâmica.
IMPORTANTE
A literatura diverge bastante com relação ao sinal do trabalho na 
equação da primeira lei da termodinâmica. Com o sinal negativo, 
devemos interpretar o parâmetro como o trabalho realizado 
pelo sistema sobre o meio. Isso pode ser confuso no começo, 
mas, com um pouco de prática, rapidamente nos familiarizare-
mos com esse raciocínio.
Tal	equação,	apesar	de	carregar	muito	significado	físico,	não	é	exatamente	con-
veniente	para	 aplicação	prática	direta	no	estudo	da	mecânica	dos	fluidos.	Por	 outro	
lado,	ela	serve	como	ponto	de	partida	teórico	fundamental	para	desenvolver	raciocínios	
que	terão	maior	prontidão	para	a	solução	de	problemas.	Aqui,	o	termo	de	transferência	
de	calor	tratará,	essencialmente,	das	perdas	de	energia	mecânica,	enquanto	os	efeitos	
de	trabalho	serão	analisados	conforme	os	tipos	de	energias	mecânicas	associadas	a	um	
fluido,	apresentadas	a	seguir.
135
2.1 ENERGIA POTENCIAL (Ep)
Esse	é	um	conceito	que,	certamente,	foi	estudado	em	aulas	de	física.	A	energia	
potencial	de	um	sistema	é	a	medida	do	seu	potencial	de	realizar	trabalho	(Ep = W).	Me-
canicamente,	ela	é	apresentada	na	sua	forma	gravitacional.	Sabendo	que,	por	definição:
Trabalho = Força × Deslocamento
Considerando	um	sistema	de	peso	P = mg,	cujo	centro	de	gravidade	(CG)	está	
localizado	a	uma	altura	(z)	em	relação	ao	plano	horizontal	de	referência	(PHR)	conside-
rado,	temos	o	proposto	na	Figura	1.
Figura 1 – Representação esquemática para avaliação da energia potencial gravitacional
Fonte: adaptada de Brunetti (2008)
Assim, como Ep = W:
W = mg . z = mgz
EP = mgz
Nosso	interesse	é,	principalmente,	as	diferenças	de	energias	potenciais	de	um	
ponto	a	outro	do	fluido.	Dessa	forma,	o	PHR,	geralmente,	será	adotado,	por	conveniên-
cia,	no	nível	de	um	dos	pontos	que	estão	sendo	comparados.
2.2 ENERGIA CINÉTICA (Ec) 
Outro	conceito,	também	visto	em	física,	é	que	a	energia	cinética	é	aquela	asso-
ciada	ao	movimento	(nesse	momento,	estudaremos	o	movimento	dos	fluidos).	Podemos	
considerar	um	sistema	de	massa	(m)	e	velocidade	(v),	como	o	da	Figura	2.
136
Figura 2 – Representação esquemática para avaliação da energia cinética
Fonte: Brunetti (2008, p. 86)
A	energia	cinética	associada	a	esse	movimento	pode	ser	avaliada	pela	equação:
2.3 ENERGIA DE PRESSÃO (Epr) 
De	forma	semelhante	à	energia	potencial,	também	é	possível	analisar	o	trabalho	
potencial	das	forças	de	pressão	presentes	em	um	escoamento	de	fluido.	Por	exemplo,	
podemos	considerar	o	elemento	infinitesimal	de	fluido	representado	na	Figura	3.
Figura 3 – Representação esquemática para avaliação da energia de pressão
Fonte: Brunetti (2008, p. 86)
Se	a	pressão	(p)	for	uniforme	na	seção	de	área	(A),	e	considerando	a	definição	
de	pressão,	temos	que	F = p . A.	Agora,	se,	pela	ação	dessa	força	(F),	o	fluido	percorre	
uma	distância	(ds)	em	um	intervalo	de	tempo	(dt),	surge	o	seguinte	termo	de	trabalho:Trabalho = Força × Deslocamento
dW = F ds = p . A ds = p . dV
137
Por	definição,	temos	que	dEPr = pdV, e, portanto:
dEPr = pdV
Integrando:
2.4 ENERGIA MECÂNICA TOTAL DO FLUIDO (EM) 
Podemos	entender	a	energia	mecânica	total	de	um	sistema	de	fluido	como	a	
somatória	das	energias	associadas	a	ele,	excluindo-se	as	energias	térmicas	e	mantendo	
apenas	as	causadas	por	efeitos	mecânicos.	Assim:
Com	 esses	 conceitos	 definidos,	 podemos	 partir	 para	 a	 famosa	 equação	 de	
Bernoulli.
3 EQUAÇÃO DE BERNOULLI E SUA APLICAÇÃO EM 
MEDIDORES DE VELOCIDADE
A	equação	de	Bernoulli	é,	essencialmente,	um	balanço	de	energia	entre	dois	
pontos	de	um	escoamento,	que	faz	uso	de	diversas	hipóteses	simplificadoras	para	fa-
cilitar	a	interpretação	dos	problemas.	Naturalmente,	simplificar	o	problema	tende	a	pro-
duzir	resultados	cada	vez	mais	distantes	da	realidade	e,	por	isso,	a	importância	dessa	
equação	se	dá	por	dois	aspectos:	primeiro	por	apresentar	grande	significado	conceitual	
sobre	o	escoamento	de	um	fluido;	e	segundo	por	servir	como	etapa	inicial	para	a	elabo-
ração	de	uma	equação	geral	da	energia	mais	rigorosa	e	detalhada.	Inicialmente,	dedu-
ziremos	a	equação	de	Bernoulli	e,	em	seguida,	a	aplicaremos	em	um	exemplo	sobre	o	
tubo	de	Pitot	(medidor	de	velocidade	do	escoamento).
138
Afinal, de onde vem a energia? Assista a uma animação, desenvolvida 
pelo TED-Ed, que trata de como a energia se comporta na natureza e 
de como ela se conserva: https://ed.ted.com/lessons/all-of-the-energy-
in-the-universe-is-george-zaidan-and-charles-morton. 
Embora o conteúdo esteja em inglês, o vídeo contém legendas 
em português.
DICA
3.1 EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Para	iniciarmos	a	dedução	da	equação	de	Bernoulli,	seis	hipóteses	devem	ser	
consideradas:
•	 Condição	de	regime	permanente.
•	 Fluido	ideal	(viscosidade	nula	e,	consequentemente,	sem	perdas	por	atrito).
•	 Fluido	incompressível.
•	 Sem	troca	de	calor.
•	 Sem	trabalho	de	eixo,	ou	seja,	sem	bombas,	turbinas,	ventiladores	ou	outros	disposi-
tivos	que	realizem	trabalho	(positivo	ou	negativo)	no	sistema.
•	 Propriedades	uniformes	nas	seções	do	escoamento.
Como	mencionado,	a	equação	de	Bernoulli	compara	dois	pontos	do	escoamen-
to.	Assim,	para	facilitar	a	visualização,	podemos	considerar	a	Figura	4,	em	que	será	con-
siderado	um	trecho	infinitesimal	do	escoamento	em	duas	seções	distintas.
Figura 4 – Representação esquemática de um elemento infinitesimal do escoamento
Fonte: Brunetti (2008, p. 87)
Primeiramente,	escreveremos	a	equação	da	energia	mecânica,	na	forma	infini-
tesimal,	para	ambas	as	seções:
139
Agora,	considerando	as	hipóteses	descritas	anteriormente,	nota-se	que	a	se-
gunda,	a	quarta	e	a	quinta	hipóteses	juntas	significam	que	não	é	retirada	nem	fornecida	
energia	ao	fluido.	Assim,	para	que	a	condição	de	regime	permanente	seja	válida,	o	sis-
tema	deve	obedecer	à	relação:
Podemos	observar	que	a	entrada	do	sistema	é	a	seção	1,	enquanto	a	saída	é	a	
seção	2.	Dessa	forma,	podemos	igualar	as	energias	mecânicas	dEM1 e dEM2:
Esta	equação	pode	ser	simplificada	utilizando	a	definição	de	massa	específica,	
que	pode	ser	escrita	da	seguinte	forma:
Assim, substituindo dV1 e dV2:
Como	 consideramos	 a	 hipótese	 de	 fluido	 incompressível,	 temos	 que	 ρ1 = ρ2.	
Além	disso,	como	estamos	em	regime	permanente,	sabemos	que	o	princípio	de	conser-
vação	da	massa	também	deve	ser	válido.	Assim,	sabemos	que	dm1 = dm2 = dm.	Então,	
dividindo	toda	a	equação	por	dm:
140
Na	prática,	esta	já	é	a	tão	aguardada	equação	de	Bernoulli.	Por	fim,	as	últimas	
modificações	dessa	equação	podem	ser	feitas	de	duas	maneiras.	A	primeira	é	multipli-
cando	a	equação	por	ρ:
A	segunda	modificação	consiste	em	dividir	a	equação	de	Bernoulli	por	g e utili-
zar	a	relação	do	peso	específico	γ = ρg:
Qualquer uma dessas três últimas formas são usos válidos da 
equação de Bernoulli. A importância dessas simplificações dis-
tintas reside na interpretação de cada termo. Quanto à última 
simplificação da equação de Bernoulli (que será a simplificação 
utilizada neste livro), os termos podem ser interpretados como 
“cargas” (assim como estudamos na Unidade 1), pois possuem 
dimensão de comprimento:
• z é a carga de elevação, que representa a energia potencial do 
fluido;
• v2/2g é a carga de velocidade, que corresponde à altura ne-
cessária para que um fluido atinja a velocidade v durante uma 
queda livre sem atrito;
• p/g é a carga de pressão que, conforme vimos na Unidade 1, 
equivale à altura de coluna de fluido necessária para produzir 
a pressão estática p.
NOTA
Assim,	pode-se	afirmar	que	a	equação	de	Bernoulli	nesta	última	forma	calcula	
a	carga	total	(H)	do	escoamento,	a	qual	é	constante	ao	longo	de	uma	linha	de	corrente,	
considerando	as	hipóteses	simplificadoras	pertinentes.
É	 importante,	 também,	notarmos	que	esses	 termos	correspondem	à	energia	
por	unidade	de	peso.	Por	exemplo:
141
Caso	seja	 interessante,	é	possível	 fazer	uma	análise	dimensional	dos	termos	
v2/2g e p/γ,	seguindo	o	mesmo	raciocínio:	se	se	deseja	chegar	à	razão	energia/peso.	
Naturalmente,	a	análise	dimensional	confirmará	que	os	termos	possuem	dimensão	de	
comprimento.
Apesar	de	ser	matematicamente	simples	e	de	estar	sujeita	a	diversas	simplifi-
cações,	a	equação	de	Bernoulli	não	deve	ser	subestimada.	Trata-se	de	uma	ferramenta	
bastante	eficiente	e	seus	resultados	podem	ser	úteis,	na	prática,	para	avaliações	rápidas	
ou	como	estimativas	iniciais.	Contudo,	deve-se	atentar	para	o	fato	de	que	problemas	
mais	complexos	exigem	expertise	em	saber	como	abordá-los,	quais	pontos	devem	ser	
analisados	e	o	que	pode	ser	abstraído	do	sistema	em	estudo.	
Por	isso,	o	próximo	passo	é	colocar	mãos	à	obra!
Por	isso,	o	próximo	passo	é	resolvermos	um	problema	como	exemplo:	um	ma-
nômetro	diferencial,	cujo	fluido	manométrico	é	mercúrio	(γHg	=	136.000	N/m³),	é	acopla-
do	a	um	tubo	de	Venturi,	em	que	a	água	(γH2O	=	10.000	N/m³)	escoa	uniformemente	em	
regime	permanente,	sob	condições	de	fluido	ideal	e	sem	ganho	ou	perda	de	energia.	
Considerando	a	Figura	5,	se	a	seção	(1)	tem	30	cm²	e	a	seção	(2)	tem	15	cm²,	qual	a	va-
zão	de	água	escoando	por	esse	tubo?	Adote	g	=	9,8	m/s².
Figura 5 – Representação esquemática de um manômetro acoplado a um tubo de Venturi
Fonte: os autores
Solução:	primeiramente,	observamos	que	as	condições	enunciadas	permitem	o	
uso	da	equação	de	Bernoulli.	Em	segundo	lugar,	focamos	no	objetivo	do	problema:	cal-
cular	a	vazão	do	escoamento.	A	equação	de	Bernoulli,	por	si	só,	não	trabalha	com	vazões	
diretamente;	porém,	um	dos	parâmetros	dela	é	a	velocidade	do	escoamento,	que	pode	
ser	usada	para	calcular	a	vazão.
142
Assim,	sendo	a	equação	de	Bernoulli	entre	os	pontos	(1)	e	(2):
Podemos	observar	que,	independentemente	do	plano	horizontal	de	referência	
definido,	os	pontos	(1)	e	(2)	estão	à	mesma	altura	z,	isto	é,	z1 = z2:
Como	não	conhecemos	nenhuma	das	velocidades	ou	pressões,	é	necessário	
recorrermos	a	outras	equações	para	resolver	o	problema.	Podemos	usar	a	equação	ma-
nométrica	para	avaliar	a	diferença	de	pressão	p1 – p2.	Partindo	do	ponto	(1)	e	indo	para	o	
ponto	(2)	por	meio	da	equação	manométrica:
Isso	resolve	duas	das	quatro	incógnitas	da	equação	de	Bernoulli.	Assim,	é	ne-
cessário	mais	uma	equação	para	resolver	o	problema.	Nesse	caso,	precisamos	utilizar	a	
equação	da	continuidade.	Para	as	seções	(1)	e	(2),	como	o	escoamento	é	incompressí-
vel,	a	equação	da	continuidade	pode	ser	escrita	na	forma	volumétrica:
Substituindo	os	resultados	da	equação	manométrica	e	da	equação	da	continui-
dade	na	equação	de	Bernoulli,	podemos	determinar	as	velocidades	do	escoamento	em	
ambas	as	seções:
143
Finalmente,	basta	voltarmos	este	resultado	à	equação	da	continuidade	que	o	
problema	estará	resolvido:
Podemos notar que o exemplo anterior abordou três grandes 
assuntos que estudamos até aqui: as equações manométricas, 
da continuidade e de Bernoulli. Isso é comum nos problemas de 
mecânica dos fluidos e, por isso, é importante nos apropriarmos 
dos conceitos abordados na Unidade 1, paranão ter dificuldades 
na resolução dos exercícios. Isso irá desenvolver as competências 
de visão macro e pensamento analítico, essenciais para o profis-
sional de Engenharia.
ATENÇÃO
3.2 TUBO DE PITOT
Como	visto,	deduzimos	a	equação	de	Bernoulli	matematicamente.	Uma	de	suas	
aplicações	é	no	equacionamento	de	medidores	de	velocidade,	como	o	tubo	de	Pitot.	
Os	 tubos	de	Pitot	 são	essencialmente	pequenos	 tubos	com	sua	extremidade	aberta	
alinhada	ao	escoamento,	dobrados	em	ângulo	reto,	geralmente,	acoplados	a	um	piezô-
144
metro.	Eles	permitem	mensurar	a	velocidade	do	escoamento	e	são	empregados	tanto	
industrialmente	quanto	para	medir	a	velocidade	do	ar	em	carros	de	corrida	e	jatos	de	
combate	da	força	aérea.	Essa	medição	é	feita	com	base	justamente	nas	equações	que	
estudamos	aqui.	
Podemos	verificar	isso	por	meio	de	um	exemplo.	Água	(γ	=	10.000	N/m³)	escoa	
por	um	tubo	de	seção	circular,	cujo	diâmetro	é	de	8	cm.	Para	avaliar	a	velocidade	do	
escoamento	no	eixo	do	tubo,	instala-se	um	tubo	de	Pitot,	como	representado	na	Figura	
6.	Determina-se	a	vazão	no	tubo,	considerando	escoamento	uniforme.	Deve-se	adotar	
g	=	10	m/s²	e	γm	=	136.000	N/m³.
Figura 6 – Representação esquemática do tubo de Pitot do exemplo trabalhado
Fonte: os autores
Solução:	estudaremos	o	problema	por	meio	da	equação	de	Bernoulli	e	da	equa-
ção	manométrica.	Para	ficar	claro,	generalizaremos	a	 representação	do	tubo	de	Pitot	
utilizando	a	Figura	7.
Figura 7 – Representação esquemática geral de um tubo de Pitot 
Fonte: os autores
145
O	fluido	(água)	escoa	pela	tubulação,	da	esquerda	para	a	direita,	até	que,	em	
uma	determinada	seção	da	tubulação	(linha	pontilhada),	as	partículas	se	deparam	com	
a	entrada	de	um	tubo	de	Pitot	e	um	piezômetro,	conectados	entre	si,	pelo	fluido	mano-
métrico,	disposto	em	um	manômetro	de	tubo	em	U.	Como	o	piezômetro	está	posiciona-
do	tangente	ao	escoamento,	ele	medirá	apenas	a	pressão	estática	do	fluido.	O	tubo	de	
Pitot,	por	outro	lado,	está	posicionado	diretamente	no	sentido	do	escoamento	do	fluido,	
de	modo	que	as	partículas,	ao	 incidirem	no	ponto	(2),	perdem	toda	a	sua	velocidade,	
transformando	a	sua	energia	cinética	em	efeito	de	pressão.
Basicamente,	enquanto	ambos	os	 lados	estão	sujeitos	à	pressão	estática	do	
escoamento,	o	fluido	manométrico	é	mais	empurrado	para	baixo	no	tubo	de	Pitot,	pois	
as	partículas	de	fluido	perdem	sua	energia	cinética	se	choca	continuamente	no	ponto	
(2),	que,	por	isso,	é	chamado	de	“ponto	de	estagnação”	ou	“ponto	de	parada”.
Como	os	pontos	(1)	e	(2)	estão	muito	próximos,	é	razoável	considerarmos	que	
as	perdas	de	energia	entre	eles	sejam	desprezíveis.	Assim,	assumindo	que	as	demais	
hipóteses	da	equação	de	Bernoulli	sejam	válidas,	pode-se	escrever:
Podemos	 reparar	 que,	 como	 consideramos	 que	 os	 pontos	 (1)	 e	 (2)	 estão	 no	
mesmo	plano	horizontal	de	referência	(z1 = z2)	e	que	no	ponto	de	estagnação	(2)	se	ob-
serva	v2 = 0,	a	equação	fica:
Lembre-se	de	que	o	principal	intuito	de	um	tubo	de	Pitot	é	mensurar	a	velocidade	
do	escoamento.	Assim,	pode-se	isolar	v1	nesta	equação,	para	chegar	à	seguinte	forma:
Como	estão	conectados	pelo	tubo	em	U,	é	possível	relacionar	p1 e p2 por meio da 
equação	manométrica,	que,	nesse	caso,	é	dada	por:
146
Rearranjando	esta	equação,	é	possível	escrever:
Substituindo	este	resultado	na	equação	anterior	para	a	velocidade	do	escoa-
mento	(v1), temos:
Essas	duas	equações	para	v1	são	importantes,	pois	permitem	determinar	a	ve-
locidade	do	escoamento	no	ponto	em	que	o	tubo	de	Pitot	está	 instalado	de	maneira	
simples	e	rápida,	bastando	conhecermos	os	fluidos	envolvidos	e	a	diferença	de	pressão	
causada	pela	energia	cinética	do	escoamento.
Em	posse	disso,	é	fácil	resolvermos	o	exemplo	em	estudo.	Verificando	v1:
Como	consideramos	escoamento	incompressível	e	uniforme,	ou	seja,	em	que	a	
velocidade	do	escoamento	é	a	mesma	em	todos	os	pontos	da	seção	analisada,	a	vazão	
pode ser facilmente determinada:
É	importante	notarmos	que,	se	o	escoamento	não	fosse	considerado	uniforme,	o	
tubo	de	Pitot	poderia	ser	utilizado	para	medir	a	velocidade	em	diferentes	pontos	da	seção,	
para	montar	um	diagrama	de	velocidades	(como	na	Figura	8),	o	qual	poderia	ser	utilizado	
para	obtermos	uma	nova	vazão	média	mais	precisa	e	condizente	com	a	realidade.
147
Figura 8 – Diagrama de velocidades de um escoamento em tubo cilíndrico 
Fonte: adaptada de Brunetti (2008)
Além	disso,	é	importante	mencionarmos	que	o	tubo	de	Pitot	também	pode	ser	
utilizado	para	medir	a	velocidade	de	fluidos	compressíveis,	mas	os	métodos,	para	tanto,	
são	mais	rigorosos	e	não	serão	tratados	neste	material.
Em 1 de junho de 2009, o voo AF 447, que ia do Rio de Janeiro 
a Paris, caiu no Oceano Atlântico, matando 228 passageiros e 
membros da tripulação. Um dos problemas relatados foi a in-
consistência nas medições de velocidade, que ocorreu devido 
ao congelamento e à obstrução dos tubos de Pitot da aeronave 
por cristais de gelo (LARANJEIRA, 2019).
Fonte: LARANJEIRA, F. Conclusões sobre o voo AF447. Aeroma-
gazine. 2019. Disponível em: http://bit.ly/3ZX13mo. Acesso em: 
27 dez. 2022.
INTERESSANTE
Ficou curioso sobre como tubos de Pitot funcionam em aerona-
ves? Então, acesse o link a seguir para assistir ao vídeo desen-
volvido pelo portal aeronáutico Trem de Pouso, que explica o 
funcionamento do tubo de Pitot e do sistema Pitot-estático em 
aeronaves: https://youtu.be/ub7-GG3KIJ4.
DICA
Agora	que	conhecemos	a	equação	de	Bernoulli,	fundamentada	em	diversas	hi-
póteses	simplificadoras,	é	hora	de	remover	uma	dessas	hipóteses,	para	podermos	lidar	
com	uma	quantidade	ainda	maior	de	problemas	cada	vez	mais	próximos	da	realidade.
148
4 EXTENSÕES DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI: TRABALHO 
E FLUIDOS REAIS
Nosso	intuito	será	remover	duas	hipóteses	usadas	na	dedução	da	equação	de	
Bernoulli.	Primeiro,	removeremos	a	quinta	hipótese,	ou	seja,	consideraremos	a	existên-
cia	de	trabalho	de	eixo	(existência	de	bombas	e	turbinas,	por	exemplo).	Depois,	remove-
remos	a	segunda	hipótese,	ou	seja,	consideraremos	fluido	real.			
4.1 BOMBAS E TURBINAS NA EQUAÇÃO DA ENERGIA
Nesse	momento,	removeremos	a	quinta	hipótese,	usada	na	dedução	da	equa-
ção	de	Bernoulli:	“sem	trabalho	de	eixo,	ou	seja,	sem	bombas,	turbinas,	ventiladores	ou	
outros	dispositivos	que	realizem	trabalho	(positivo	ou	negativo)	no	sistema”.	Isso	signi-
fica	que	iremos	inserir	máquinas	aos	nossos	problemas,	as	quais	poderão	fornecer	ou	
retirar	energia	do	escoamento.
O	 raciocínio,	a	seguir,	 será	muito	simples:	ao	adicionar	máquinas	ao	sistema,	
devemos	acrescentar	um	termo	na	equação	de	Bernoulli,	referente	ao	trabalho	de	eixo	
realizado	ou	retirado	pela	máquina,	considerando	a	Figura	9.
Figura 9 – Representação esquemática de um sistema de escoamento com máquina 
Fonte: Brunetti (2008, p. 91)
Se	H1 e H2	são	as	cargas	de	pressão	nas	seções	 (1)	e	 (2),	 respectivamente,	a	
equação	de	Bernoulli	(com	suas	hipóteses	simplificadoras,	ou	seja,	sem	a	máquina	M)	
traz	que:
149
Como	mencionado,	a	presença	da	máquina	irá	adicionar	ou	remover	energia	do	
sistema.	Então,	incluiremos	essa	quantidade	de	energia	(na	forma	de	carga	de	pressão)	
na	igualdade	anterior,	indicando-a	por	HM:
H1 + HM = H2
Caso	a	máquina	em	questão	seja	uma	bomba	ou	um	ventilador,	por	exemplo,	o	
termo HM	será	positivo,	pois	tais	máquinas	fornecem	energia	para	o	fluido.	Se	a	máquina	
for uma turbina, o termo HM	será	negativo,	pois	ela	retira	energia	do	fluido.	Expandindo	
os	termos	anteriores	com	a	equação	de	Bernoulli:
Antes	de	aplicarmos	essa	nova	ideia,	é	importante	compreendermos	o	conceito	
dessas	máquinas	de	forma	apropriada.	Como	sabemos,	pelo	princípio	de	conservação	
da	energia,	a	energia	fornecida	por	uma	bomba	não	surge	do	nada.	Da	mesma	forma,	a	
energia	retirada	por	uma	turbina	não	simplesmente	desaparece.	Ambas	passam	por	um	
processo	de	transformação	de	energia.	Por	exemplo,	se	considerarmos	uma	bomba	que	
utiliza	eletricidade,	transformamos	energia	elétrica	em	energia	mecânica	ao	fluido,	as-
sim	como	o	processoinverso	–	uma	turbina	pode	ser	usada	para	transformar	a	energia	
mecânica	do	fluido	em	energia	elétrica	(como	é	o	caso	das	usinas	hidrelétricas).
Por	isso,	é	razoável	a	ideia	de	que	tais	máquinas	possuem	um	 input (entrada)	
e um output (saída)	de	energia,	o	que	nos	leva	ao	conceito	de	rendimento	ou	eficiência	
total	(ηmáq)	da	máquina.
Eficiência (rendimento): é a razão entre a potência fornecida 
e a potência recebida pela máquina. Naturalmente, deve ser um 
valor entre 0 e 1. Uma eficiência de 100% sugere que a conversão 
de energia foi perfeita, ou seja, sem efeitos de atrito ou outras 
irreversibilidades que convertam a energia elétrica ou mecânica 
em energia térmica (ÇENGEL; CIMBALA, 2015).
NOTA
Dessa	forma,	podemos	determinar	o	rendimento	de	uma	máquina	por	meio	da	
seguinte	relação:
150
Se	pensarmos	em	uma	bomba,	podemos	escrever:
Assim,	se	uma	bomba	com	potência	de	100	kW	tem	um	rendimento	de	80%,	o	
fluido	receberá	80	kW.
Para	uma	turbina,	a	relação	pode	ser	escrita	como:
Assim,	se	uma	turbina	com	potência	de	100	kW	tem	um	rendimento	de	80%,	o	
fluido	cede	125	kW.
Alguns livros destrincham o rendimento com relação à eficiência 
mecânica e à eficiência do motor/gerador da máquina. Apesar de 
importantes, na maioria do tempo, nossa preocupação será com 
o rendimento total da máquina – por isso, trabalharemos apenas 
com este.
ATENÇÃO
Utilizaremos	a	 letra	N	para	 representar	 a	potência	da	máquina,	 seja	ela	uma	
bomba	ou	turbina.	Podemos	observar	que,	ao	usarmos	a	equação	de	Bernoulli	com	o	
termo HM,	que	foi	apresentado	neste	tema	de	aprendizagem,	o	 resultado	estará	com	
dimensões	de	carga,	ou	seja,	comprimento.	Geralmente,	como	estamos	habituados	a	
lidar	com	potências	em	unidade	de	trabalho	(energia)	por	unidade	de	tempo,	a	potência	
propriamente	dita	pode	ser	avaliada	pela	equação:
N = γ . Q . HM
Nesta	equação,	γ	é	o	peso	específico	do	fluido	e	Q	é	a	vazão	volumétrica.	No	Sis-
tema	Internacional	de	Unidades	(SI),	trabalha-se	com	o	Watt	(W	=	J/s	=	N	.	m/s).	Outras	
unidades	comuns	são	o	cavalo-vapor	(1	CV	=	735	W)	e	o horse power (1	HP	=	1,014	CV).
Nesse	momento,	 é	 importante	vermos	um	exemplo	 envolvendo	máquinas.	 É	
natural	que	tudo	pareça	abstrato	apenas	no	conceito,	mas	veremos	que	a	prática	faz	
sentido	facilmente.
151
Ao	considerarmos	um	grande	reservatório	de	água	que,	ligado	a	uma	máquina	e	
uma	tubulação,	direciona	seu	conteúdo	para	um	segundo	tanque,	a	uma	vazão	de	0,03	
m³/s,	se	o	sistema	estiver	configurado	como	na	Figura	10	e	sabendo	que	a	área	de	seção	
da	tubulação	é	de	15	cm²,	a	máquina	em	questão	é	uma	bomba	ou	uma	turbina?	Em	
seguida,	como	podemos	determinar	a	sua	potência	para	um	rendimento	total	de	80%?	
Deve-se	adotar	γH2O	=	10.000	N/m³	e	g	=	10	m/s²	e	considerar	o	fluido	incompressível.
Figura 10 – Representação esquemática do sistema contendo máquina, trabalhado como exemplo 
Fonte: os autores
Solução:	o	primeiro	passo	para	resolvermos	problemas	de	mecânica	dos	fluidos	
é	verificar	quais	hipóteses	simplificadoras	precisamos	adotar	para	resolver	o	problema	
de	forma	adequada.	Primeiramente,	serão	consideradas	as	hipóteses	necessárias	para	
o	uso	da	equação	de	Bernoulli,	com	exceção	da	ausência	de	uma	máquina,	o	que	per-
mite	escrevermos:
Em	segundo	lugar,	serão	considerados	os	pontos	(1)	e	(2)	na	superfície	livre	do	
reservatório	e	na	saída	da	tubulação,	respectivamente,	como	identificado	na	Figura	10.	
Evidentemente,	por	estar	em	processo	de	descarregar,	o	nível	do	reservatório	iria	dimi-
nuir	ao	longo	do	tempo.	Contudo,	devido	ao	seu	tamanho	(grandes	dimensões),	é	ra-
zoável	considerarmos	que,	dentro	de	certo	intervalo,	o	nível	irá	variar	de	forma	despre-
zível,	podendo	ser	considerado	constante.	Isso	é	necessário	para	a	hipótese	de	regime	
permanente.	Podemos	notar	que	o	mesmo	raciocínio	não	é	necessário	para	o	segundo	
tanque,	pois	o	limite	do	nosso	sistema	é	a	saída	da	tubulação,	que	não	o	inclui.	Além	
disso,	essa	consideração	de	“grandes	dimensões”	também	significa	que	a	velocidade	do	
fluido	em	(1)	será	praticamente	nula	(v1 = 0).
152
Na	Figura	10,	vemos	que	as	cotas	z1 e z2	estão	dadas	com	relação	a	um	plano	
horizontal	de	referência,	localizado	praticamente	na	base	da	tubulação	(as	dimensões	
do	tubo	são	pequenas	perto	das	cotas	em	questão).
Como	tanto	o	nível	do	tanque	(1)	quanto	a	saída	da	tubulação	(2)	estão	abertos	
para	a	atmosfera,	ambos	os	termos	de	carga	de	pressão	se	anulam:
Devemos	ter	em	mente	que	o	nosso	objetivo	com	esta	equação	é	determinar		
HM .	Para	isso,	v2	pode	ser	avaliado	por	meio	da	equação	da	continuidade:
Com	isso,	podemos	retornar	à	equação	anterior	para	calcular	a	carga	fornecida	
ou	removida	pela	máquina:
Este	resultado	significa	que	a	máquina	é	responsável	por	fornecer	uma	carga	de	
pressão	equivalente	a	10	m	ao	escoamento.	Do	contrário,	ele	não	teria	energia	suficiente	
para	chegar	à	saída	(2),	na	velocidade	de	20	m/s.	Como	este	valor	é	positivo	(energia	foi	
fornecida),	a	máquina	em	questão	é	uma	bomba.
O	passo	final	é	determinar	a	potência	dessa	bomba	–	para	isso,	é	necessário,	
primeiramente,	convertermos	este	valor	de	carga	em	potência:
153
Esta	é	a	potência	fornecida	ao	fluido.	Para	avaliarmos	a	potência	da	máquina,	
como	solicitado	pelo	enunciado,	é	necessário	utilizarmos	o	seu	rendimento:
Isso	significa	que	a	bomba	em	questão	consome	uma	potência	de	3,75	kW	para	
acrescentar	uma	potência	de	3	kW	ao	escoamento.
Como	podemos	perceber,	os	exercícios	se	tornam	mais	extensos	à	medida	que	
novos	conceitos	são	integrados,	e	saber	quais	hipóteses	simplificadoras	são	adequadas	
para	solucionar	o	problema	é	um	aspecto	vital	para	o	sucesso	do	nosso	estudo	e	o	apri-
moramento	do	conhecimento.	Contudo,	o	passo	seguinte	é	removermos	mais	uma	das	
considerações	utilizadas	na	equação	de	Bernoulli.
4.2 EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA FLUIDOS REAIS
Indo	direto	ao	ponto:	não	iremos	mais	considerar	o	fluido	como	ideal.	Isso	signi-
fica	que	os	efeitos	da	viscosidade	(atrito)	entram	em	jogo	e	precisam	ser	equacionados.	
Contudo,	devem	ser	mantidas	as	hipóteses	de	regime	permanente,	fluido	incompressí-
vel,	escoamento	uniforme	na	seção	e	sem	troca	de	calor	com	o	meio.
O	raciocínio	é	praticamente	o	mesmo	que	fizemos	ao	introduzir	as	máquinas	no	
sistema:	 incorporaremos	um	único	termo	à	nossa	equação,	referente	à	dissipação	de	
energia,	devido	aos	efeitos	viscosos.	Assim,	devemos	considerar	o	sistema	da	Figura	11.
154
Figura 11 – Representação da dissipação de energia em um escoamento
Fonte: Brunetti (2008, p. 95)
Como	já	vimos,	em	condições	perfeitas,	a	equação	de	Bernoulli	seria	válida:
H1 = H2
Os	efeitos	viscosos	removem	energia	do	sistema,	como	indicado	pela	seta	Hp1,2 
na	Figura	11.	Fazendo	o	balanço	de	energia,	na	forma	de	carga	de	pressão:
H1 = H2 + Hp1,2
Por ser essencialmente uma perda de energia do escoamento, o termo Hp1,2	é,	
em	geral,	chamado	de	“perda	de	carga”.	Na	prática,	esta	expressão	é	utilizada	para	se	
referir	a	diversas	perdas	de	energia	do	escoamento	relacionadas	à	tubulação,	englo-
bando	outros	fatores	além	do	atrito,	como	curvas	e	cotovelos	na	tubulação	ou	a	presen-
ça	de	válvulas	e	outros	dispositivos.
Dessa	forma,	a	partir	da	equação	de	Bernoulli,	com	a	presença	de	uma	máquina	
entre	(1)	e	(2),	e	considerando	a	dissipação	de	energia	por	efeitos	viscosos,	podemos	
escrever	a	equação	da	energia:
A	perda	de	carga	pode	ser	convertida	para	a	forma	de	potência	dissipada,	assim	
como	fizemos	com	a	potência	das	máquinas:
Ndiss = γ . Q . Hp1,2
Por	exemplo:	uma	bomba	de	12	kW	e	eficiência	de	78,5%	é	utilizada	para	levar	
a	água	de	um	lago	até	um	tanque,	como	mostra	a	Figura	12.	Se	a	vazão	de	operação	é	
de	25	L/s,	como	determinamos	a	perda	de	carga	desse	sistema.	Devemos	adotar	γH2O = 
9.800	N/m³	e	g	=	9,8	m/s²	e	considerar	que	tanto	o	lago	quanto	o	tanque	apresentam	
grandes	dimensões.
155
Figura 12 – Esquema ilustrativo do exemplo trabalhado considerando fluido real
Fonte: os autores
Solução:	este	problema	envolve	a	presença	de	uma	máquina	no	escoamento	
e	aperda	de	carga	na	tubulação.	Considerando	as	hipóteses	de	regime	permanente,	
fluido	incompressível,	propriedades	uniformes	na	seção	e	sem	troca	de	calor,	podemos	
usar	a	equação	da	energia	na	forma:
Adotando,	como	ponto	(1),	a	superfície	do	lago	e,	como	ponto	(2),	a	superfície	
do	tanque,	podemos	fazer	mais	algumas	considerações.	A	primeira	é	com	relação	às	
pressões	p1 e p2	que,	por	estarem	abertas	à	atmosfera,	podem	ser	aproximadas	como	a	
própria	pressão	atmosférica	do	ambiente:
Podemos,	também,	considerar	que	as	dimensões	em	questão	são	grandes	o	
suficiente	para	que	as	variações	nos	níveis	do	 lago	e	do	 tanque	 sejam	desprezíveis,	
podendo as alturas z1 e v2	ser	consideradas	constantes,	e	as	velocidades	v1 e v2, nulas:
156
Agora,	é	necessário	determinarmos	HM.	Como	conhecemos	a	potência	e	a	efi-
ciência	 da	 bomba,	 basta	 determinarmos,	 primeiramente,	 a	 potência	 fornecida	 pela	
bomba	ao	fluido	e,	então,	convertermos	este	valor	para	uma	carga:
Retornando	à	equação	da	energia,	determina-se	a	perda	de	carga:
Em	termos	de	potência	dissipada:
Agora,	faremos	uma	última	observação	com	relação	à	equação	da	energia.	As-
sim	como	na	equação	da	continuidade,	também	podemos	escrever	a	equação	da	ener-
gia	para	situações	com	mais	de	uma	entrada	ou	uma	saída.	O	raciocínio	é	o	mesmo:	
deve-se	fazer	a	somatória	de	todas	as	energias	que	entram	e	que	saem,	e	avaliar,	tam-
bém,	a	presença	de	uma	(ou	mais)	máquina(s)	e	as	perdas	de	carga.	De	forma	genérica,	
podemos	considerar	o	sistema	da	Figura	13,	com	n	entradas	e	saídas,	em	que	o	índice	
“e”	remete	às	entradas	e	o	índice	“s”	às	saídas.:
157
Figura 13 – Representação esquemática de um sistema com múltiplas entradas e saídas
Fonte: Brunetti (2008, p. 101)
Seguindo	os	princípios	de	conservação	de	energia,	como	foi	feito	até	aqui,	po-
demos	escrever,	na	forma	de	potência	(energia	por	tempo):
Em	que:
•	 																													em	cada	seção;
• N = γ . Q . HM pode	ser	positivo	(se	for	uma	bomba)	ou	negativo	(se	for	uma	turbina);
• Ndiss = ∑γ . Q . Hp com Q e HP	referindo-se	a	cada	trecho	do	escoamento.
Podemos	 notar	 que,	mesmo	 com	múltiplas	 entradas	 e	 saídas,	 as	 hipóteses,	
consideradas	até	o	momento	para	o	desenvolvimento	dessas	equações,	ainda	devem	
ser	válidas.
O	objetivo	aqui	é	fazermos	uma	análise	da	energia	dos	escoamentos	em	regime	
permanente,	com	base	no	princípio	da	conservação	da	energia.	Em	situações	perfeitas,	
vimos	que	a	equação	de	Bernoulli	é	aplicável	–	contudo,	sabemos	que	a	realidade	nunca	
é	perfeita	e,	por	isso,	removemos	duas	importantes	simplificações	da	equação	de	Ber-
noulli	em	busca	de	uma	equação	da	energia	mais	geral.
Com	o	que	vimos,	já	podemos	avaliar	sistemas	simples	de	tubulações	e	dizer	se	
uma	bomba	será	necessária	ou	não	para	levar	o	fluido	de	um	ponto	a	outro,	por	exemplo.	
158
Acadêmico, poderíamos ir adiante e remover as hipóteses de esco-
amento uniforme e fluido incompressível, mas, como isso iria além 
do escopo desta disciplina, sugerimos que você recorra à literatura 
de referência para encontrar desenvolvimentos matemáticos mais 
rigorosos em busca de uma equação da energia geral.
NOTA
Na Unidade 3, nossos objetos de estudo serão os efeitos causa-
dos pela tubulação no escoamento. Esteja bem preparado e com 
o conteúdo visto até aqui bastante esclarecido, pois ele será vital 
para a continuação do seu aprendizado!
ESTUDOS FUTUROS
5 ESCOAMENTOS EM CONDUTOS
Anteriormente, estudamos os balanços de energia associados ao escoamento 
de	fluidos	em	regime	permanente.	Naquele	momento,	partimos	de	uma	situação	em	
que	seis	hipóteses	simplificadoras	eram	adotadas,	resultando	na	equação	de	Bernoulli.	
Em	seguida,	levamos	esta	equação	da	energia	para	uma	forma	mais	genérica,	incluindo	
a	possibilidade	de	haver	trabalho	de	eixo	no	sistema	e	para	situações	com	fluidos	reais	
(presença	de	efeitos	viscosos).	Podemos	combinar	estas	duas	condições	escrevendo	a	
equação	da	energia	na	forma	de	carga	de	pressão	da	seguinte	forma:
H1 + HM = H2 + Hp1,2
Agora,	nosso	objetivo	geral	será	aplicar	esta	equação	em	instalações	hidráu-
licas,	a	fim	de	adquirirmos	uma	visão	dos	seus	aspectos	técnicos	fundamentais	e	de-
senvolvermos	uma	noção	inicial	do	que	é	necessário	para	desenvolver	um	projeto	de	
tubulação.	Para	isso,	o	primeiro	passo	é	definirmos	alguns	dos	principais	termos	rela-
cionados	ao	assunto.
159
5.1 CONDUTOS E SUAS CARACTERÍSTICAS FÍSICAS
Chamaremos de conduto qualquer estrutura sólida desti-
nada ao transporte de fluidos (BRUNETTI, 2008). Em outras 
palavras, condutos são tubulações ou canais por onde fluidos 
escoam. Eles podem ser classificados como forçados (quan-
do o fluido o preenche totalmente) ou livres (quando o fluido 
apresenta uma superfície livre).
NOTA
A	Figura	14	representa	tipos	de	condutos,	o	primeiro	com	o	fluido	em	contato	com	
toda	a	sua	parede	interna	(Figura	14A)	e	os	outros	dois	condutos	livres	(Figura	14B).
Figura 14 – Condutos forçados (A) e livres (B)
Fonte: Brunetti (2008, p. 164)
Uma característica fundamental dos condutos é o chamado raio hidráulico, definido 
como:
Em que A é a área transversal de escoamento do fluido, e σ é 
o chamado perímetro “molhado”, que, em outras palavras, é 
o perímetro da seção em que o fluido está em contato com a 
parede do conduto. 
Além disso, define-se também o chamado 
diâmetro hidráulico (DH), dado por:
DH = 4RH
NOTA
160
A	Tabela	1	apresenta	os	exemplos	mais	comuns	de	condutos	quanto	aos	seus	
parâmetros	A, σ, RH e DH.	
Acadêmico, uma boa forma de exercitar 
o conceito e fixar o conhecimento é você 
tentar chegar aos parâmetros RH e DH.
DICA
Tabela 1 – Principais condutos forçados e seus diâmetros hidráulicos
Fonte: Brunetti (2008, p. 164)
Geometria A σ RH DH
πD D
a2 4a a
ab 2(a + b)
ab 2a + b
3a
Outra	característica	importante	dos	condutos	que	influenciam	no	escoamento	
dos	fluidos	é	a	sua	rugosidade:	pequenas	variações	de	altura	na	superfície	do	conduto,	
que	contribuem	para	a	perda	de	carga	(Figura	15).	É	usual	definirmos	uma	“rugosidade	
uniforme”,	para	fins	de	simplificação,	que	é	representada	pela	letra	grega	ε e possui di-
mensões	de	comprimento.	
161
Figura 15 – Representação geométrica da rugosidade em um conduto circular
Fonte: Brunetti (2008, p. 168)
Dessa	forma,	a	rugosidade	costuma	ser	dada	como	uma	característica	do	ma-
terial	 do	 conduto.	 Alguns	 valores	 considerados	 comuns	 para	 diversos	materiais	 são	
apresentados	na	Tabela	2.
Tabela 2 – Valores típicos de rugosidade uniforme para materiais comuns de condutos
Fonte: Çengel; Cimbala (2015, p. 295)
Material
Rugosidade (ε)
ft mm
Vidro,	plástico 0 0
Concreto 0,003	–	0,03 0,9	–	9
Madeira 0,0016 0,5
Borracha,	alisada 0,000033 0,01
Cobre	ou	latão 0,000005 0,0015
Ferro	fundido 0,00085 0,26
Ferro	galvanizado 0,0005 0,15
Ferro	forjado 0,00015 0,046
Aço	inoxidável 0,000007 0,002
Aço comercial 0,00015 0,045
Em geral, o parâmetro de interesse é, na verdade, a chamada 
rugosidade relativa, dada pela razão:
NOTA
162
Feitas	essas	definições,	finalmente,	podemos	introduzir	um	conceito	muito	im-
portante	para	os	fenômenos	de	transporte	em	geral:	a	camada	limite.	
Essencialmente, camada limite é a camada de fluido 
de um escoamento que fica junto à superfície sólida.
NOTA
5.2 CAMADA LIMITE HIDRODINÂMICA
Veremos,	a	seguir,	os	aspectos	essenciais	que	regem	o	fenômeno	da	camada	
limite,	sendo	importante,	até	mesmo,	para	compreender	o	escoamento	do	ar	nas	asas	
de	um	avião.
5.2.1 Camada limite em uma placa plana
Mais	uma	vez,	consideremos	uma	placa	plana	de	pequena	espessura,	posicio-
nada	paralelamente	ao	escoamento	uniforme	de	um	fluido	em	regime	permanente	com	
velocidade	v0	 (Figura	16).	A	experiência	nos	mostra	que	o	perfil	de	velocidade	do	es-
coamento	muda	ao	encontrar	a	placa,	devido	ao	princípio	da	aderência	(discutido	na	
Unidade	1),	de	modo	que	a	velocidade	junto	à	placa	é	nula.
Figura 16 – Desenvolvimento do escoamento sobre uma placa plana
Fonte: Brunetti (2008, p. 165)
Assim,	na	Figura	16,quanto	mais	o	fluido	escoa	ao	longo	da	placa	–	seções	(1),	
(2)	e	(3)	–,	mais	o	princípio	da	aderência	afeta	o	perfil	de	velocidades	do	escoamento	
(os	pontos	A,	B	e	C	indicam	a	primeira	camada	de	fluido	que	ainda	está	na	velocidade	
original do escoamento, v0).
163
Evidentemente,	são	representados	apenas	os	pontos	referentes	a	três	seções	
do	escoamento.	Na	realidade,	para	qualquer	seção	que	observarmos	sobre	a	placa,	ha-
verá	um	primeiro	ponto	indicando	a	primeira	camada	de	fluido	que	ainda	está	na	veloci-
dade v0.	Se	traçarmos	uma	linha	imaginária	que	passa	por	todos	esses	pontos,	podemos	
dividir	o	escoamento	em	duas	regiões,	como	mostra	a	Figura	17.
Figura 17 – Linha conectando todos os primeiros pontos em que a velocidade do escoamento é v0
Fonte: adaptada de Brunetti (2008)
A região acima da linha na Figura 17, chamada de fluido livre, é 
aquela em que o escoamento tem velocidade v0, ou seja, onde 
ele não é influenciado pela presença da superfície sólida. A região 
abaixo da linha, por sua vez, é a chamada camada limite – região 
do escoamento em que os efeitos viscosos e as variações na velo-
cidade são significativos.
IMPORTANTE
De	forma	mais	simplificada,	podemos	representar	isso	com	a	Figura	18.
Figura 18 – Camada limite sobre uma placa plana
Fonte: Brunetti (2008, p. 165)
164
Para	esse	experimento,	a	observação	nos	mostra,	ainda,	que	a	espessura	ℓ	é	
função	do	número	de	Reynolds:
Para a camada limite, Re pode ser adaptado na forma:
Na	prática,	o	que	se	observa	é	que,	para	Rex < 5 × 105,	as	forças	viscosas	na	
camada	limite	são	significativas,	de	modo	que	o	escoamento	é	laminar,	enquanto,	aci-
ma	deste	valor,	o	escoamento	passa	para	um	comportamento	turbulento.	Por	 isso,	é	
comum	chamarmos	este	valor	de	número de Reynolds crítico:
Recr < 5 × 105
Podemos	notar	que	os	parâmetros	ρ, μ e γ	são	característicos	do	fluido,	enquan-
to v0	é	característico	do	escoamento.	Isso	significa	que	o	número	de	Reynolds	atinge	seu	
valor	crítico	para	um	valor	de	x	suficientemente	grande	(também	chamado	de	“crítico”):
Além	disso,	duas	observações	adicionais	podem	ser	feitas:	a	primeira	é	que	a	
espessura	da	camada	limite	aumenta	repentinamente	quando	ela	passa	do	regime	la-
minar	para	o	turbulento;	e	a	segunda	é	que,	mesmo	após	atingir	a	turbulência,	uma	
camada	de	espessura	(d)	muito	fina,	junto	à	placa,	ainda	se	mostra	em	comportamento	
laminar,	sendo,	por	vezes,	chamada	de	subcamada limite laminar. Todas essas ob-
servações	estão	representadas	na	Figura	19.
165
Figura 19 – Comportamento das camadas limites laminar e turbulenta
Fonte: adaptada de Brunetti (2008)
Fonte: Brunetti (2008, p. 166)
A	camada	limite	tem	implicações	importantes	em	todo	o	estudo	dos	fenômenos	
de	transporte.	Aqui,	inicialmente,	será	estudada	no	contexto	dos	condutos	forçados.
5.2.2 Camada limite em condutos
O	mesmo	comportamento	observado	para	o	escoamento	sobre	uma	placa	tam-
bém	é	presente	para	o	escoamento	em	condutos,	sendo	que	a	única	diferença	é	que	
devemos	analisá-lo	de	forma	radial.
Podemos	 imaginar	 um	fluido	 livre	 que	 passa	 a	 escoar	 por	 uma	 tubulação.	 O	
efeito	que	se	observa	é	o	mesmo:	o	princípio	da	aderência	faz	as	camadas	de	fluido,	
próximas	das	paredes	do	conduto,	terem	sua	velocidade	reduzida	e,	quanto	mais	o	flui-
do	entra	na	tubulação,	maior	é	esse	efeito.	 Isso	acontece	progressivamente:	atingir	o	
comprimento	(Lh)	em	que	a	camada	 limite	preenche	todo	o	conduto,	de	modo	que	o	
perfil	de	velocidades	atinja	valores	constantes	–	então,	diz-se	que	o	escoamento	está	
dinamicamente estabelecido (Figura	20).
Figura 20 – Desenvolvimento da camada limite em condutos forçados
166
Comprimento de entrada (Lh), também chamado de compri-
mento crítico, é aquele que vai desde a entrada do conduto até 
a junção das camadas limites no centro dele. Essa região também 
é chamada de região de entrada, e, a partir desse comprimento, o 
escoamento é dito completamente desenvolvido ou dinamica-
mente estabelecido (ÇENGEL; CIMBALA, 2015).
NOTA
Para	condutos	de	seção	circular,	o	escoamento	será	laminar	para:
Nesses	casos,	o	perfil	de	velocidades	observado	é	parabólico,	da	forma:
Para	o	escoamento	turbulento	(Re > 2.400), o regime dinamicamente estabele-
cido,	geralmente,	apresenta	um	perfil	aproximado	da	forma:
Sendo	frequentemente	chamado	de	perfil da lei de potência 1/7.
Agora	que	sabemos	como	o	escoamento	acontece	dentro	dos	condutos	força-
dos,	é	hora	de	darmos	o	próximo	passo	no	estudo	da	equação	da	energia:	conhecer	as	
perdas	de	carga	existentes	em	instalações	hidráulicas.
6 PERDAS DE CARGA
Como estudamos anteriormente, chamamos de perda de carga as perdas de energia 
de um escoamento na forma de energia por unidade de peso do fluido (ou seja, com 
dimensões de comprimento). No contexto das instalações hidráulicas, é comum estu-
darmos a perda de carga separando-a em dois grupos:
NOTA
167
• Perda de carga distribuída (hf ): perda que surge devido aos 
efeitos de atrito ao longo do escoamento, sendo mais significativa 
na presença de trechos relativamente longos de tubulação.
• Perda de carga singular (hs): perda que acontece devido à pre-
sença de singularidades, sendo válvulas, obstáculos, estreitamentos, 
curvas e cotovelos (mudanças de direção) na linha, entre outras.
Como	exemplo	de	perda	de	carga,	temos	o	esquema	da	Figura	21.
Figura 21 – Representação das perdas de carga em uma instalação hidráulica arbitrária
Fonte: Brunetti (2008, p. 168)
As	perdas	distribuídas,	 como	o	nome	 sugere,	 estão	distribuídas	 ao	 longo	de	
todo	o	comprimento	da	tubulação	–	(1)	a	(6).	As	perdas	localizadas,	por	sua	vez,	estão	
nos	estreitamentos	(1)	e	(4),	nos	cotovelos	(2)	e	(3),	e	na	válvula	(5).
De	forma	genérica,	podemos	representar	o	termo	de	perda	de	carga	da	equa-
ção	da	energia	(Hp1,2), matematicamente, como a soma das perdas de carga distribuídas 
com	as	perdas	de	carga	localizadas:
6.1 PERDA DE CARGA DISTRIBUÍDA
Assim como feito anteriormente, o estudo das perdas de carga distribuídas re-
quer	que	algumas	hipóteses	sejam	estabelecidas:
•	 Regime	permanente	e	fluido	incompressível.
•	 Condutos	longos.
168
•	 Condutos	cilíndricos	(seção	transversal	constante).
•	 Escoamento	dinamicamente	estabelecido	(completamente	desenvolvido).
•	 Rugosidade	uniforme.
•	 Ausência	de	máquinas	(dispositivos	que	realizam	trabalhos).
Matematicamente,	 podemos	partir	 das	equações	 fundamentais,	 que	estuda-
mos	até	o	momento,	para	tentar	expressar	(e	mensurar)	a	perda	de	carga	distribuída.	
Da	equação	da	continuidade,	como	pela	terceira	hipótese,	a	seção	transversal	(área)	é	
constante	e,	pela	primeira	hipótese,	o	fluido	é	incompressível,	temos:
Da	equação	da	energia,	com	base	nas	hipóteses	descritas,	Hp1,2 = hf1,2,	então,	por	
definição:
Sendo:
Temos:
Contudo,	como	as	velocidades	v1 e v2	são	iguais:
Em	que	a	soma 	é	chamada	de	carga piezométrica, pois pode ser me-
dida com o uso	de	um	piezômetro.
Podemos	notar	que	o	objetivo	é	encontrarmos	uma	relação	entre	a	perda	de	
carga	distribuída	e	o	comprimento	do	conduto.	Os	próximos	passos	desse	desenvol-
vimento	 levam	a	equações	cujo	uso	não	é	conveniente	 (por	exemplo,	por	exigirem	a	
169
determinação	da	tensão	de	cisalhamento	na	parede	do	conduto,	o	que	é	de	difícil	deter-
minação	prática).	Alternativamente,	o	uso	de	técnicas	de	análise	dimensional	pode	levar	
a	uma	dedução	mais	interessante	e	com	fins	práticos	mais	apropriados.
A	título	de	curiosidade,	essa	dedução	parte	da	consideração	de	que	a	perda	de	
carga	é	função	da	massa	específica	e	da	viscosidade	do	fluido,	do	diâmetro	hidráulico,	
do	comprimento	e	da	rugosidade	do	conduto,	e	da	velocidade	do	escoamento.	Então,	
podemos	escrever	a	função	representativa:
γhf = f(ρ, μ, DH , L, ε, v)
Ao determinarmos os devidos adimensionais, obtemos a equação:
Em que f é o chamado coeficiente da perda de carga distribuída (ou fator de atrito), 
o qual é função do número de Reynolds e da rugosidade relativa:
Nesta equação, para a perda de carga distribuída hf,o único 
parâmetro que não é diretamente mensurável, de forma expe-
rimental, é justamente o coeficiente da perda de carga distribu-
ída. Contudo, como ele é função de dois números adimensio-
nais (sabendo que DH /ε é adimensional), o coeficiente f pode ser 
obtido por meio da construção de um diagrama universal, que 
pode ser aplicado a qualquer escoamento, de qualquer fluido, 
em qualquer conduto (afinal, estamos preocupados apenas com 
os números adimensionais, pois são estes que caracterizam o 
problema). Diversos estudiosos trabalharam no desenvolvimen-
to deste diagrama, como Nikuradse e Colebrook, até chegar ao 
chamado diagrama de Moody-Rouse.
IMPORTANTE
O	uso	do	diagrama	de	Moody-Rouse	(Figura	22)	pode	ser	classifi-
cado	em	três	casos:
•	 1°	caso:	determinar	hf	conhecendo	L, DH, Q, v e ε.
•	 2°	caso:	determinar	Q	conhecendo	L, DH, hf , v e ε.
•	 3°	caso:	determinar	DH	conhecendo	L, Q, hf , v e ε.
170
Figura 22 – Diagrama de Moody-Rouse
Fonte: adaptada de Brunetti (2008); Çengel; Cimbala (2015)
171
Nesse	momento,	trataremos	apenas	do	primeiro	caso,	por	ser	o	mais	importante	
conceitualmente	e	pelos	demais	 serem	mais	complexos,	podendo	envolver	métodos	
iterativos	com	o	diagrama.	Para	isso,	utilizaremos	dois	exemplos:	no	primeiro,	a	água	a	
10	°C	(ρ	=	999,77	kg/m³,	μ	=	1,308	x	10-3 Pa	.	s)	escoa	por	meio	de	um	fino	tubo	horizontal	
de	seção	circular	(D	=	0,3	cm,	L	=	3	m)	continuamente,	com	velocidade	média	de	0,8	
m/s.	Como	determinamos	a	perda	de	carga	nessa	 linha?	Qual	é	a	queda	de	pressão	
correspondente?	Deve-se	adotar	g	=	9,8	m/s².
Solução:	consideraremos	condições	de	operação	em	regime	permanente,	sem	
troca	térmica	com	o	ambiente,	fluido	incompressível,	escoamento	completamente	de-
senvolvido	e	sem	a	presença	de	máquinas	ou	singularidades.	Com	isso	em	mente,	o	
primeiro	passo	é	utilizarmos	equação	da	energia,	na	forma	da	perda	de	carga:
H1 + HM = H2 + Hp1,2
Queremos	determinar	o	termo	Hp1,2.	Além	disso,	das	nossas	considerações,	sa-
bemos	que,	para	este	caso,	podemos	escrever:
Podemos	observar	que	conhecemos	todos	os	parâmetros	desta	equação,	exce-
to	pelo	coeficiente	de	perda	de	carga	distribuída	( f ).	Para	determiná-lo,	o	passo	inicial	é	
calcularmos o número de Reynolds:
Para	este	valor	de	Reynolds,	sabemos	que	o	escoamento	é	laminar	(Re < 2.000).	
Assim,	para	usar	o	diagrama	de	Moody-Rouse,	é	necessário	também	conhecermos	a	ru-
gosidade	relativa	da	tubulação.	Entretanto,	ao	analisarmos	o	diagrama,	é	possível	notar	
que	o	escoamento	laminar	(região	à	esquerda)	obedece	à	equação:
Isso	significa	que,	para	escoamentos	laminares,	o	fator	de	atrito	é	função	ape-
nas	do	número	de	Reynolds	e	independe	da	rugosidade	da	tubulação.	Com	isso,	pode-
mos	calculá-lo:
172
Em	posse	disso,	a	perda	de	carga	é	facilmente	calculada:
Para	 convertermos	este	valor	 em	queda	de	pressão,	 basta	multiplicá-lo	pelo	
peso	específico	do	fluido:
Podemos notar que, mais uma vez, relacionamos os con-
ceitos de perda de carga e queda de pressão. O sentido 
físico é o mesmo: as forças viscosas atuando no fluido 
fazem com que parte da sua energia seja dissipada. Se 
medíssemos a carga piezométrica no início e no final da 
tubulação, a diferença seria justamente a altura hf .
ATENÇÃO
Como	segundo	exemplo,	devemos	considerar	o	escoamento	de	um	óleo	(μ/ρ = 
6,75	.	10-6	m²/s)	com	a	velocidade	de	3	m/s,	por	um	conduto	de	seção	circular	de	aço	
comercial com D	=	0,18	m.	Como	podemos	determinar	a	perda	de	carga	por	quilômetro	
de	tubulação?	Para	isso,	devemos	adotar	g	=	10	m/s².
Solução:	partindo	das	mesmas	hipóteses	do	exemplo	anterior,	desejamos	re-
solver	a	equação:
173
Com	base	nos	dados	fornecidos,	trata-se	de	um	problema	do	1º	caso	para	a	uti-
lização	do	diagrama	de	Moody-Rouse.	Nesse	caso,	foram	fornecidos	a	velocidade	v do 
escoamento	e	o	diâmetro	hidráulico	DH	da	tubulação	(equivalente	ao	próprio	diâmetro	
D	para	seções	circulares	–	ver	Tabela	1),	e	a	aceleração	da	gravidade	foi	definida.	Além	
disso,	para	conhecermos	a	perda	de	carga	distribuída	por	quilômetro	de	tubulação,	de-
vemos	avaliar	a	equação	com	L =	1.000	m.
Dessa	forma,	o	único	parâmetro	que	nos	resta	determinar	é	o	fator	de	atrito	f. 
Para	isso,	o	primeiro	passo	é	calcularmos	o	número	de	Reynolds:
Em	seguida,	calcula-se	a	rugosidade	relativa.	Para	isso,	tendo	como	base	a	Ta-
bela	2,	temos	que	a	rugosidade	nominal	para	o	aço	comercial	é	de	0,045	mm.	Então:
Agora,	basta	procurarmos	o	ponto	do	diagrama	em	que	Re	=	80.000,	DH /ε = 
4.000.	Para	compreendermos	como	fazer	isso,	podemos	acompanhar	a	Figura	23,	em	
que,	na	parte	superior	do	diagrama,	estão	as	linhas	do	número	de	Reynolds	(na	forma	
de	curvas,	pois	a	escala	do	eixo	não	é	linear).	À	direta,	o	eixo	vertical	corresponde	aos	
fatores	de	atrito,	dados	por	linhas	horizontais.	Além	das	curvas	de	Reynolds	e	das	hori-
zontais	de	fator	de	atrito,	podemos	notar	que	o	diagrama	é	composto	por	um	conjunto	
de	curvas,	cada	uma	correspondente	a	uma	rugosidade	relativa.	O	procedimento,	então,	
é	o	seguinte:
•	 No	 eixo	 horizontal	 superior,	 devemos	 encontrar	 a	 curva	 referente	 ao	 número	 de	
Reynolds	desejado	(no	caso,	Re = 8 . 104);
•	 Caminhamos	 pela	 curva	 do	 número	 de	 Reynolds,	 saindo	 do	 eixo	 superior	 até	
encontrarmos	a	curva	do	diagrama	referente	à	rugosidade	relativa	do	conduto	em	
questão	(DH /ε	=	4.000);
•	 A	partir	dessa	intersecção	da	curva	do	número	de	Reynolds	com	a	curva	da	rugosidade	
relativa,	caminhamos,	na	horizontal,	até	o	eixo	da	direita	e	fazemos	a	leitura	do	fator	
de atrito f	(para	os	valores	do	exemplo,	f 	=	0,02).
174
Figura 23 – Representação esquemática do diagrama de Moody
Fonte: adaptada de Brunetti (2008)
Feito	isso,	basta	substituirmos	os	valores	na	equação	da	perda	de	carga:
Portanto,	a	cada	quilômetro	de	tubulação,	a	perda	de	carga	será	de	50	metros.
6.2 PERDA DE CARGA LOCALIZADA (SINGULAR)
Na	prática,	as	perdas	de	carga	localizadas	são	aquelas	decorrentes	de	pertur-
bações	bruscas	no	escoamento,	sendo,	geralmente,	causadas	nas	chamadas	singulari-
dades	(válvulas,	obstáculos,	estreitamentos,	curvas,	cotovelos	e	outros).
Assim	como	para	as	perdas	de	carga	distribuídas,	a	expressão	para	o	cálculo	
das	perdas	de	carga	singulares	é	obtida	por	meio	de	análise	dimensional	e	tem	forma	
análoga:
Em	que	ks	é	o	coeficiente da perda de carga singular,	função	do	número	de	
Reynolds	e	das	características	geométricas	da	singularidade.	Por	praticidade,	alguns	li-
vros	apresentam	os	valores	de	ks tabelados para tipos distintos de singularidades, como 
mostra	o	Quadro	1.
175
Quadro 1 – Singularidades comuns e seus coeficientes de perda
Singularidade Representação ks
Alargamento
1 – A1/A2
(em	que	v = v1)
1
ks = 0,02 para θ = 20°
ks = 0,04 para θ = 45°
ks = 0,07 para θ = 60°
(expansão	gradual;	v = v1)
Estreitamento
A1/A2
0,5
ks = 0,30 para d/D = 0,2
ks = 0,25 para d/D = 0,4
ks = 0,15 para d/D = 0,6
ks = 0,10 para d/D = 0,8
(contração	gradual	com	θ = 20°; v = v1)
Cotovelo	90° 0,9
176
Fonte: adaptado de Brunetti (2008); Çengel; Cimbala (2015)
Válvula	de	
gaveta
0,2
(totalmente	aberta)
Válvula	tipo	
globo
10
(totalmente	aberta)
Válvula	de	
retenção
0,5
Em geral, assume-se que esses valores são aproximações razoá-
veis para escoamentos com número de Reynolds elevados, mas o 
processo rigoroso e mais adequado é consultar manuais especí-
ficos das singularidades em questão ou catálogos de fabricantes.
IMPORTANTE
Há,	ainda,	um	segundo	método	para	determinar	as	perdas	de	carga	singulares,	
chamado	de	método dos comprimentos equivalentes.
Comprimento equivalente é um comprimento fictício que, para 
uma tubulação de seção constante de mesmo diâmetro que a sin-
gularidade, produziria uma perda de carga distribuída equivalente 
à perda de carga da própria singularidade (BRUNETTI, 2008).
NOTA
Em	outras	palavras,	o	método	dos	comprimentos	equivalentes	calcula	hs por 
meio	da	equação	de	hf .	O	primeiro	passo	é	igualar	ambas:
177
Com	isso,	pode-se	avaliar	a	perda	de	carga	total	do	sistema	pela	soma:
Esseé	um	método	conveniente	de	ser	empregado	quando	o	fabricante	da	sin-
gularidade	fornece	os	comprimentos	equivalentes	de	forma	tabelada.	
A	seguir,	exploraremos	um	exemplo	em	que	empregamos	ambos	os	métodos.	
A	água	(ρ	=	1.000	kg/m³,	μ	=	1,308	x	10-3 Pa	 .	s)	escoa	por	uma	tubulação	circular	de	
aço	inoxidável	com	10	cm	de	diâmetro,	quando	passa	por	uma	expansão	gradual	com	
θ	=	60°	para	um	diâmetro	de	15	cm	(Figura	24).	Antes	da	expansão,	a	velocidade	média	
do	escoamento	era	de	3	m/s,	a	uma	pressão	de	140	kPa.	Como	determinamos	a	perda	
de	carga	devido	a	essa	singularidade	usando	o	valor	tabelado	do	coeficiente	de	perda	
de	carga	singular?	Qual	é	a	pressão	do	escoamento	após	o	alargamento?	Para	resolver	
o	problema,	devemos	usar	o	valor	nominal	de	comprimento	equivalente	fornecido	pelo	
fabricante de Leq	=	0,45	m,	admitindo	a	aceleração	da	gravidade	g	=	9,8	m/s².
Figura 24 – Representação esquemática do exemplo trabalhado sobre perda de carga singular
Fonte: os autores
178
Solução:	resolveremos	o	problema,	primeiramente,	usando	os	valores	de	 s tabe-
lados.	Nossas	considerações	iniciais	são:	regime	permanente,	escoamento	incompres-
sível	e	completamente	desenvolvido,	sem	trocas	de	calor	ou	presença	de	máquinas.
Como	vimos	no	Quadro	1,	o	coeficiente	de	perda	de	carga	singular,	para	um	alar-
gamento gradual com θ =	60°,	é	de	ks	=	0,	07.	A	perda	de	carga,	propriamente	dita,	por	
sua	vez,	é	calculada	pela	expressão	a	seguir,	em	que	v = v1:
Substituindo	os	valores	conhecidos:
É	pedida,	também,	a	pressão	do	escoamento	na	seção	2,	que	pode	ser	obtida	
por	meio	da	equação	da	energia:
Multiplicando	a	equação	por	pg	e	isolando	a	pressão	na	seção	2,	temos	que:
Para	resolver	esta	equação,	é	necessário	calcularmos	a	velocidade	v2.	Da	equa-
ção	da	continuidade,	para	escoamento	incompressível,	temos:
Agora,	resolvendo	para	p2:
179
Encontramos	a	pressão	na	seção	2	utilizando	o	primeiro	método	para	perda	de	
carga	singular.	Agora,	resolveremos	o	problema	utilizando	o	segundo	método:	comprimento	
equivalente.	Para	isso,	temos	que	usar	o	valor	fornecido	de	Leq	pelo	fabricante	na	equação:
Como	trabalhamos	apenas	com	a	singularidade,	podemos	assumir	Lreal	=	0.	Para	
resolver	esta	equação,	devemos	calcular	o	número	de	Reynolds	no	escoamento:
Assim,	o	escoamento	é	turbulento	(Re > 2.400).	Em	seguida,	avaliamos	a	rugo-
sidade	relativa	da	tubulação.	Como	o	material	é	aço	inoxidável	(ver	Tabela	2),	temos	que	
ε = 2 x 10-6 m.	Então:
Em	posse	desses	valores,	busca-se	o	ponto	no	diagrama	de	Moody-Rouse,	em	
que Re ≈ 2,3 x 105 e DH /ε = 50.000.	Para	essas	condições,	o	ponto	encontrado	apresenta	
f ≈ 0,0155.	Com	isso,	é	possível	avaliarmos	a	perda	de	carga	pela	expressão	anterior:
180
Ressaltamos	que	é	o	mesmo	valor	obtido	pelo	método	dos	coeficientes	de	per-
da	de	carga	singulares	tabelados	(na	realidade,	os	valores	divergem	muito	pouco,	sen-
do	essas	diferenças	desprezadas	nas	aproximações).	Evidentemente,	como	a	perda	de	
carga	é	a	mesma	nos	dois	casos,	o	uso	da	equação	da	energia,	com	este	último	resul-
tado,	também	trará	que	p2 ≈	143,3	kPa.
Podemos notar que, nesse exemplo, a pressão do escoamento 
aumentou ao sofrer a perda de carga, o que pode parecer in-
coerente, pois, até o momento, sempre associamos perdas de 
carga a quedas na pressão. Na realidade, esse fenômeno está 
fisicamente correto e acontece devido à conversão da pressão 
dinâmica em pressão estática – em outras palavras, ao perder 
velocidade na seção mais larga, a pressão estática aumenta.
ATENÇÃO
6.3 INSTALAÇÕES DE RECALQUE
Para	finalizarmos	 este	 tema	de	 aprendizagem,	 resta	 apenas	mais	 um	passo:	
combinar	os	conceitos	que	vimos	ao	estudo	das	chamadas	instalações de recalque.	
De	alguma	forma,	 já	podemos	ter	ouvido	falar	sobre	elas,	que	nada	mais	são	do	que	
sistemas	compostos	por	reservatórios,	tubos,	máquinas	(bombas,	turbinas)	e	singula-
ridades,	ou	seja,	instalações	hidráulicas	(Figura	25),	em	que	aplicaremos	a	equação	da	
energia,	para	determinar	parâmetros	fundamentais	de	projeto.
Figura 25 – Descarga de água por tubulação em um reservatório aberto
Fonte: https://elements.envato.com/pt-br/water-discharge-on-a-sunny-day-A8BKNE4. Acesso em: 2 jan. 
Em	geral,	podemos	esquematizar	uma	instalação	de	recalque	pela	forma	gené-
rica	apresentada	na	Figura	26.
181
Figura 26 – Representação esquemática de uma instalação de recalque
Fonte: Brunetti (2008, p. 187)
De	maneira	simples,	o	sistema	é	composto	por	dois	 reservatórios	 (um	sendo	
descarregado	e	o	outro	carregado),	uma	bomba	(responsável	por	 levar	o	tubo	de	um	
tanque	ao	outro),	a	tubulação de sucção	(antes	da	bomba)	e	a	tubulação de recal-
que	(depois	da	bomba).	Estão	representados,	também,	válvulas,	que	evitam	a	entrada	
de	sedimentos	(não	permitem	que	o	fluxo	de	fluido	seja	invertido),	e	um	registro,	para	o	
controle	da	vazão.
Na	maioria	dos	casos,	nosso	 interesse	será	determinar	a	potência	necessária	
para	o	bombeamento	de	um	tanque	para	o	outro,	utilizando	a	equação	da	energia	e	
considerando	as	perdas	de	carga	na	linha.	Para	melhor	 ilustrarmos,	resolveremos	um	
exemplo	de	um	sistema	bem	detalhado.	
Acadêmico, vale a pena ressaltarmos que, ao longo deste tema 
de aprendizagem, temos trabalhado com exemplos bastante 
próximos da realidade de um engenheiro.
GIO
Para conhecer mais detalhes sobre instalações de recalque, 
acesse o link e assista a um vídeo, desenvolvido pelo canal 
Engenharia & Cia, que apresenta as instalações de bombea-
mento: https://www.youtube.com/watch?v=4rxj3ka8tmk.
DICA
182
Utilizaremos,	como	exemplo,	o	sistema	apresentado	na	Figura	27.	Para	uma	va-
zão	de	0,05	m³/s	de	água	(γ =	10.000	N/m³;	v	=	1	x	10-6	m²/s),	como	determinamos	a	po-
tência	da	bomba	(rendimento	ηB	=	0,75)	e	a	pressão	na	entrada	dela	(seção	(e)),	para	que	
a	pressão	p8	=	550	kPa	seja	mantida	constante?	Devemos	considerar	que	a	tubulação	é	
de	aço	comercial	(ε	=	4,5	x	10-5	m),	com	seção	circular,	sendo	os	diâmetros	da	tubulação	
de	sucção	DS	=	18	cm	e	da	tubulação	de	recalque	DR	=	9	cm.	São	dados:	ks1	=	15;	ks2 = ks6 
=	0,9;	ks3 = ks5	=	10;	ks4	=	0,5;	ks7	=	1;	patm	=	101	kPa;	g	=	10	m/s²,	pvapH2O
	=	1,96	kPa	(absoluta).	
Figura 27 – Representação esquemática do exemplo trabalhado sobre instalações de recalque
Fonte: os autores
Solução:	nosso	objetivo	é	resolver	a	equação	da	energia.	Partiremos	das	consi-
derações	fundamentais	de	costume:	regime	permanente,	fluido	incompressível,	escoa-
mento	completamente	desenvolvido	e	sem	trocas	de	calor.	Assim,	temos:
O	problema	pede	a	potência	da	bomba,	que	pode	ser	calculada	se	conhecermos	
HB.	Os	termos	H0 e H8	são	mais	fáceis	de	avaliar.	Considerando	pressões	manométricas,	
é	importante	sabermos	que:
183
Adotando,	 como	plano	horizontal	 de	 referência	 (PHR),	 o	nível	 do	ponto	 (0)	 e	
baseado	nas	nossas	considerações,	como	fizemos	anteriormente	(velocidade	nula	na	
superfície,	pressão	superfície	livre,	sendo	a	pressão	atmosférica):
Agora, resta determinarmos o termo Hp0,8,	referente	às	perdas	de	carga	(distri-
buídas	e	singulares)	da	instalação.	Podemos	escrever	da	seguinte	forma:
Como	a	tubulação	de	sucção	(antes	da	bomba)	apresenta	diâmetro	diferente	da	
tubulação	de	recalque	(depois	da	bomba),	precisamos	avaliá-las	separadamente.
Primeiro,	quanto	à	tubulação	de	sucção:
Temos	que:
Assim,	o	primeiro	passo	é	determinarmos	a	velocidade	do	escoamento	para	o	
diâmetro	de	sucção,	pois	ela	é	necessária	para	calcular	tanto	hf	quanto	hS.	Da	equação	
da continuidade, temos:
184
Para	avaliarmos	a	perda	de	carga	distribuída	na	seção	de	sucção,	devemos	cal-
cular o número de Reynolds do escoamento:
Agora,	avaliaremos	a	rugosidade	relativa	da	tubulação	de	sucção:
Com	o	valor	do	número	de	Reynolds	e	da	 rugosidade	 relativa,	utilizaremos	o	
diagrama	de	Moody-Rouse	para	encontrar	o	fator	de	atrito.	Pela	leitura,	temos	que	f ≈ 0,	
0165.	Podemos,	então,	calcular	cada	termo	hf	da	tubulação	de	sucção	(hf0,e).	Para	escla-
recer	melhor,	organizaremos	as	informações	no	Quadro	2.
Quadro 2 – Perdas de carga distribuídasna sucção
Fonte: os autores
Dados
Sendo	f =	0,0165,	DH	=	0,18	m,	 
vs	=	1,965	m/s,	g	=	10	m/s²
Trecho De	(1)	a	(2) De	(2)	a	(e)
Comprimento (L) 3	m 9	m
hf 0,0531 0,1593	m
hf0,e 0,2124	m
Feito	isso,	o	passo	seguinte	é	determinarmos	as	perdas	de	carga	singulares	na	
sucção.	Organizaremos	as	informações	e	os	cálculos	no	Quadro	3.
185
Quadro 3 – Perdas de carga singulares na sucção
Fonte: os autores
Dados
Sendo	vs	=	1,965	m/s	e	g	=	10	m/s²
Singularidade (1) (2) (3)
kS 15 0,9 10
hS 2,8959	m 0,1737	m 1,9306	m
hS0,e 5,0002	m
Exatamente	os	mesmos	passos	devem	ser	realizados	para	a	tubulação	de	recalque.
Acadêmico, apresentaremos os resultados resumidamente, mas 
recomendamos que realize esses cálculos para praticar, apropriar-
-se dos conceitos, garantindo, assim, que consiga determinar as 
perdas de cargas distribuídas e localizadas por conta própria.
NOTA
Assim	como	fizemos	para	a	tubulação	de	sucção,	as	informações	e	os	cálculos	
das	perdas	de	carga	distribuídas	e	singulares	para	a	tubulação	de	recalque	estão	apre-
sentadas	nos	Quadros	4	e	5,	respectivamente.
186
Quadro 4 – Perdas de carga distribuídas no recalque
Fonte: os autores
Dados
Sendo	f =	0,0175,	DH	=	0,09	m,	 
vR	=	7,863	m/s,	g	=	10	m/s²
Trecho De	(s)	a	(6) De	(6)	a	(7)
Comprimento (L) 9	m 25	m
hf 5,4098	m 15,0273	m
hf0,8 20,4371	m
Quadro 5 – Perdas de carga singulares no recalque
Fonte: os autores
Dados
Sendo	vR	=	7,863	m/s	e	g	=	10	m/s²
Singularidade (4) (5) (6) (7)
kS 0,5 10 0,9 1
hS 1,5457	m 30,9134	m 2,7822	m 3,0913	m
hS0,8 38,3326	m
Enfim,	podemos	avaliar	a	perda	de	carga	total	do	sistema:
Agora,	voltando	à	equação	da	energia,	basta	resolvermos	para	HB:
187
Para	determinarmos	a	potência	da	bomba,	devemos	considerar	sua	eficiência	
(ηB	=	0,	75):
Entretanto,	o	exercício	ainda	não	acabou.	Ainda,	é	pedida	a	pressão	na	entrada	
da	bomba,	 a	qual	 é	um	ponto	 importante	para	desenvolvermos	o	conceito	que	será	
apresentado	a	seguir.	Utilizando	a	equação	da	energia	entre	os	pontos	(0)	e	(e):
Para	 as	 considerações	 que	 utilizamos,	H0	 =	 0,	 os	 termos	 de	 perda	 de	 carga	
distribuída	e	localizada	no	trecho	de	(0)	a	(e)	já	foram	avaliados:
Desmembrando	He	e	tendo	em	mente	que	a	velocidade,	nesta	seção,	é	justa-
mente	a	velocidade	na	tubulação	de	sucção	vS, temos:
Em	termos	de	pressão	absoluta,	como	patm	=	101	kPa:
Enfim,	resolvemos	totalmente	o	problema!	
Agora,	analisaremos	a	importância	da	pressão	absoluta	na	entrada	da	bomba.	
Talvez,	 não	 tenhamos	 reparado,	mas	 o	 enunciado	 do	 exercício	 deu	 uma	 informação	
que,	até	aqui,	não	havíamos	discutido:	a	pressão	de	vapor	da	água,	pvapH2O	(absoluta).	De	
forma	científica,	pressão	de	vapor	é	a	pressão	exercida	por	um	vapor	quando	este	está	
188
em	equilíbrio	termodinâmico	com	o	líquido	que	lhe	deu	origem,	ou	seja,	a	quantidade	
de	 líquido	que	evapora	é	a	mesma	que	se	condensa.	A	 importância	disso	é	que,	nas	
condições	 de	 temperatura	 em	 questão,	 se	 a	 pressão	 absoluta	 do	 fluido	 caísse	 até		
pvapH2O	 (por	exemplo,	decorrente	das	perdas	de	carga),	 o	fluido	começaria	a	evaporar.	
A	 formação	 de	 vapor	 em	 tubulações	 e	 máquinas	 hidráulicas	 leva	 a	 um	 fenômeno	
chamado	de	cavitação,	muito	preocupante	para	a	Engenharia,	quanto	a	garantir	o	bom	
funcionamento	de	instalações	hidráulicas.
A cavitação ocorre quando há bolhas de vapor em tubulações ou 
máquinas hidráulicas, sendo prejudicial para o seu funcionamento. 
As bolhas, ao alcançarem pontos de maior pressão, condensam 
bruscamente e implodem com grande liberação de energia. Além 
de causar vibrações intensas, isso acarreta a erosão das paredes, 
devido ao choque das partículas de líquido, danificando o equipa-
mento e reduzindo sua vida útil consideravelmente. Esses efeitos 
combinados fazem, ainda, com que o rendimento atingido pelas 
máquinas seja sempre muito baixo, aumentando o gasto energéti-
co (BRUNETTI, 2008).
NOTA
Para evitar que a cavitação aconteça, é necessário garantir 
que a pressão em todos os pontos dentro da bomba esteja 
acima da pressão de vapor. Como forma de fazer isso, os fa-
bricantes de bombas fornecem um parâmetro denominado 
NPSH (sigla do inglês: net positive suscito head, que pode ser 
traduzido como “carga de sucção positiva líquida”), calculado 
pela diferença entre a carga de pressão de estagnação na 
entrada da bomba e a carga da pressão de vapor:
Os valores fornecidos pelos fabricantes são dados em função 
da vazão, sendo os valores mínimos de NPSH que devem ser 
operados para evitar a cavitação na bomba.
IMPORTANTE
Com	isso,	concluímos	este	tema	de	aprendizagem	–	o	último	referente	à	mecâ-
nica	dos	fluidos.	Ainda	nesta	unidade,	trataremos	dos	fenômenos	de	transferência	de	
calor,	também	fundamentais	para	todas	as	aplicações	de	Engenharia.	
189
Para conhecer uma estratégia que lagostas adotam usando a cavitação 
como artifício, acesse o link a seguir e assista ao vídeo, desenvolvido pelo 
canal SmarterEveryDay, que faz uma análise de bioengenharia acerca 
das lagostas-boxeadoras – crustáceos capazes de dar socos à velocida-
de de um tiro calibre .22, que acabam provocando cavitação na água 
para quebrar carapaças, conchas e vidros: https://www.youtube.com/
watch?v=LXrxCT0NpHo. 
Tanto o áudio como as legendas estão disponíveis apenas em inglês.
DICA
Para saber mais sobre cavitação, acesse o link e assista a 
um vídeo, desenvolvido pelo canal Engenharia & Cia, que 
apresenta os conceitos de pressão de vapor, cavitação 
e o seu impacto na vida útil de equipamentos e instala-
ções: https://www.youtube.com/watch?v=qy3TlK3qPNw
DICA
190
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, você aprendeu:
• A	equação	de	Bernoulli																																																									:	um	balanço	de	energia	entre	
dois	pontos	de	um	escoamento,	que	faz	uso	de	seis	hipóteses	simplificadoras	(regi-
me	permanente,	fluido	ideal	e	 incompressível,	sem	troca	de	calor,	sem	trabalho	de	
eixo,	e	propriedades	uniformes	nas	seções	do	escoamento).
•	 Os	tubos	de	Pitot,	que	são	medidores	de	velocidade:	são	pequenos	tubos	com	sua	
extremidade	aberta	alinhada	ao	escoamento,	dobrados	em	ângulo	reto	e,	geralmen-
te,	 acoplados	 a	 um	piezômetro.	 Permitem	mensurar	 a	velocidade	 do	 escoamento	
pontualmente	ao	aplicarmos	o	balanço	de	energia.		
•	 Como	 inserir	termos	adicionais	à	equação	da	energia,	quando	queremos	 lidar	com	
fluidos	 reais	 ou	 quando	 há	 ocorrências	 de	 máquinas,	 como	 bombas	 e	 turbinas, 
no escoamento, resultando no seguinte balanço de energia: 
 																																						.
•	 Como	calcular	a	eficiência	(ou	rendimento)	de	uma	máquina,	que	é	a	razão	entre	a	
energia	fornecida	e	a	energia	recebida	pela	máquina.	Naturalmente,	deve	ser	um	va-
lor	entre	0	e	1.	A	potência	fornecida	ao	fluido	(N)	por	uma	máquina	(como	uma	bomba)	
pode	ser	calculada	a	partir	da	sua	carga	(HM),	utilizando	a	relação	N = γ ⋅ Q ⋅ HM.	Para	
uma	máquina	com	eficiência	ηB,	a	potência	dessa	máquina	será,	então,	NB = N/ηB.
•	 As	definições	de	raio	hidráulico	(RH = A/σ)	e	de	diâmetro	hidráulico	(DH = 4RH),	em	que	
σ	é	o	perímetro	molhado.
•	 As	paredes	dos	condutos	apresentam	rugosidade	(ε),	que	são	pequenas	variações	
de	altura	que	contribuem	para	a	perda	de	carga.	Geralmente,	essa	rugosidade	é	ta-
belada	de	acordo	com	o	material	que	compõe	o	conduto.	No	entanto,	na	maioria	das	
vezes,	nosso	interesse	será	a	rugosidade	relativa	(DH/ε).
•	 Camada	limite		–	é	a	camada	de	fluido	de	um	escoamento	que	fica	junto	à	superfície	
sólida.	A	espessura	da	camada	limite,	no	regime	turbulento,	é	maior	que	no	regime	
laminar.	Além	disso,	no	regime	turbulento,	podemos	diferenciar	duas	regiões	da	ca-
mada	limite	–	a	camada	limite	turbulenta	e	a	subcamada	limite	laminar.
191
•	 Para	a	camada	limite,	podemos	identificar	se	o	regime	é	 laminar	ou	turbulento	por	
meio	do	valor	de	Reynolds	crítico.	Para	escoamento	em	placa	plana,	Recr = 5 × 105.
•	 O	comprimento	de	entrada	(Lh),	também	chamado	de	comprimento	crítico	–	é	aquele	
que	vai	desdea	entrada	do	conduto	até	a	junção	das	camadas	limites	no	centro	dele.	
Essa	região	é	também	chamada	de	região	de	entrada,	e,	a	partir	desse	comprimento,	
o	escoamento	é	dito	completamente	desenvolvido	ou	dinamicamente	estabelecido.
•	 A	perda	de	carga	–	é	a	perda	de	energia	de	um	escoamento	na	forma	de	energia	
por	unidade	de	peso	do	fluido.	Podemos	identificar	dois	tipos	diferentes:	a	perda	de	
carga distribuída h𝑓,	que	surge	devido	ao	atrito	do	fluido	com	as	paredes	do	conduto,	
e	a	perda	de	carga	singular	(ou	localizada)	hS,	que	surge	devido	à	presença	de	singu-
laridades,	como	válvulas.	Assim,	a	perda	de	carga	na	equação	da	energia	pode	ser	
escrita	como																																		.
•	 A	perda	de	carga	distribuída	pode	ser	calculada	pela	relação																			.	Em	que 
𝑓	é	conhecido	como	fator	de	atrito	e	pode	ser	estipulado	consultando	o	diagrama	de	
Moody-Rouse,	sendo	necessário	conhecermos,	antecipadamente,	os	valores	de	c e 
de	rugosidade	relativa.	No	entanto,	para	escoamentos	laminares,	o	fator	de	atrito	é	
função	apenas	de	Re	e	independe	da	rugosidade	da	tubulação,	podendo	ser	calcula-
do	pela	relação	𝑓 = 64/Re.
•	 A	perda	de	carga	singular	(ou	localizada)	pode	ser	calculada	de	duas	maneiras:	usan-
do	a	relação																	,	em	que kS	é	o	coeficiente	da	perda	de	carga	singular,	sendo	
especificado	ao	consultar	tabelas	para	cada	tipo	de	singularidade;	ou	usando	méto-
do	dos	comprimentos	equivalentes,	o	qual	utiliza	um	comprimento	fictício	(Leq),	que,	
para	uma	tubulação	de	seção	constante	de	mesmo	diâmetro	que	a	singularidade,	
produziria	uma	perda	de	carga	distribuída	equivalente	à	perda	de	carga	da	própria	
singularidade,	ou	seja,	é	usada	a	relação																										.
•	 A	cavitação	é	um	fenômeno	é	indesejável,	pois	causa	vibrações	intensas	e	erosões	
dos	materiais.	Trata-se	da	formação	de	bolhas	de	vapor	em	tubulações	ou	máquinas	
hidráulicas.	As	bolhas,	ao	alcançarem	pontos	de	maior	pressão,	condensam	brusca-
mente	e	implodem	com	grande	liberação	de	energia.	Para	que	seja	evitada,	deve-se	
avaliar	o	NPSH.
192
AUTOATIVIDADE
1	 Tubos	convergentes-divergentes	podem	ser	utilizados	para	produzir	vácuo.	Como,	na	
figura	a	seguir,	basta	utilizar	um	fluido,	tal	como	água,	em	uma	vazão	adequada	para	
que	uma	depressão	seja	criada	na	garganta.	Considerando	a	hipótese	de	fluido	ideal	
e	sem	perda	de	carga,	qual	deve	ser	o	diâmetro	da	garganta	(2)	para	que	uma	vazão	
de	8	kg/s	produza	uma	depressão	equivalente	a	250	mmHg	na	câmara?	Dados:	D1 = 
12	cm;	ρH2O	=	1.000	kg/m³;	ρHg	=	13.600	kg/	m³;	g	=	10	m/s².
Fonte: os autores
 
2	 Certa	turbina	de	uma	usina	hidrelétrica	é	capaz	de	produzir	60	MW	de	energia	elé-
trica,	com	uma	eficiência	total	de	80%.	A	movimentação	dessa	turbina	é	feita	com	a	
captação	de	água	localizada	em	um	nível	superior	(1),	que	é,	então,	direcionada	para	
um	nível	inferior	(2),	sendo	ambas	grandes	corpos	d’água.	Adote	ρH2O	=	1.000	kg/m³	e	
g	=	9,8	m/s².	Considerando	os	dados	da	figura	a	seguir,	sobre	a	perda	de	carga	asso-
ciada	ao	processo,	assinale	a	alternativa	CORRETA:
 
Fonte: os autores
193
a)	 (			)	 25,00	m.
b)	 (			)	 36,22	m.
c)	 (			)	 59,18	m.
d)	 (			)	 163,78	m.
3	 Considere	o	trecho	de	tubulação	na	figura	a	seguir,	em	que	(2)	é	uma	válvula	de	ga-
veta,	(3)	é	uma	válvula	tipo	globo	e	(4)	é	um	cotovelo.	
Fonte: Brunetti (2008)
O	fabricante	destas	peças	fornece	os	seguintes	comprimentos	equivalentes:
Fonte: os autores
O	conduto	é	de	ferro	galvanizado	(ε	=	1,5	⋅	10-4	m),	de	seção	circular	(diâmetro	D	=	15	cm),	
com	um	comprimento	entre	(1)	e	(5)	de	20	m.	Adotando	v	=	1	⋅	10-6	m²/s	e	g	=	9,8	m/s²,	
e	considerando	uma	vazão	de	18	L/s,	sobre	a	perda	de	carga	nesse	trecho,	assinale	a	
alternativa	CORRETA:
a)	 (			)	 0,58	m.
b)	 (			)	 0,44	m.
c)	 (			)	 0,32	m.
d)	 (			)	 0,16	m.
Válvula de gaveta Válvula tipo globo Cotovelo
Leq (m) 0,352 16,94 3,91
194
Fonte: adaptada de Brunetti (2008)
4	 Considerando	o	sistema	apresentado	na	figura	a	seguir,	em	que	o	fluido	escoando	é	
água	a	10	°C	(ρ	=	999,7	kg/m³;	μ	=	1,307	⋅	10-3 Pa ⋅	s),	a	uma	vazão	de	9	L/s.	A	tubulação	
é	de	seção	circular,	feita	em	ferro	galvanizado	(ε	=	1,5	⋅	10-4	m).	Determine	a	altura	z1.	
Adote g	=	9,8	m/s²	e	consulte	valores	tabelados	para	os	coeficientes	de	perda	das	
singularidades.
Fonte: adaptada de Çengel; Cimbala (2015)
Assinale	a	alternativa	CORRETA:
a)	 (			)	 36,12	m.
b)	 (			)	 29,54	m.
c)	 (			)	 16,43	m.
d)	 (			)	 10,58	m.
5	 Considerando	a	instalação	de	recalque	na	figura	a	seguir,	calcule	a	potência	da	bomba	
B,	sabendo	que	seu	rendimento	é	de	76%,	para	uma	vazão	de	20	L/s.	O	diâmetro	da	
tubulação	de	sucção	é	de	6,5	cm,	enquanto	o	da	tubulação	de	recalque	é	12	cm.	As	
tubulações	são	todas	de	seção	circular	e	ferro	fundido	(ε	=	2,6	⋅	10-4	m).	São	dados:	v = 
10-6	m²/s;	γ	=	104	N/m³;	Leq1	=	20	m;	Leq2	=	2	m;	Leq6 = Leq7	=	1	m;	kS5	=	10;	kS8	=	1;	g	=	10	m/s².	
195
INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA 
DE CALOR
UNIDADE 2 TÓPICO 2 — 
1 INTRODUÇÃO
Podemos	reparar	que	o	nosso	foco	até	agora	se	recaiu	sobre	a	dinâmica	de	flui-
dos	e	transferência	de	momento,	pois	estudamos	estática	e	cinemática	de	fluidos	e,	por	
último,	considerações	energéticas	em	sistemas	envolvendo	fluidos.	
Neste	tema	de	aprendizagem,	mudaremos	o	assunto	principal	dos	nossos	estu-
dos,	pois	sairemos	da	perspectiva	da	mecânica	dos	fluidos	para	adentrarmos	nos	concei-
tos	de	transferência	de	calor;	ambas	são	partes	fundamentais	no	estudo	dos	fenômenos	
de	transporte	e	muitos	de	seus	efeitos	são	análogos	e	intrinsecamente	relacionados.	
Assim,	será	apresentada	a	transferência	de	calor,	inicialmente,	introduzindo	os	
conceitos	fundamentais	e	apresentando	algumas	propriedades	dos	materiais	que	se	
relacionam	com	a	propagação	e	o	armazenamento	de	calor.	O	primeiro	mecanismo	de	
propagação	de	calor	será	estudado	ao	discutirmos	a	condução	térmica	e	a	lei	de	Fourier.	
Depois,	no	segundo	mecanismo	de	propagação	de	calor,	a	convecção,	veremos	a	lei	de	
Newton	do	resfriamento.	Por	fim,	discutiremos	a	radiação	térmica,	o	último	mecanismo,	
e	indetificaremos	a	lei	de	Stefan-Boltzmann.
Este	é	só	o	começo	sobre	o	estudo	da	transferência	de	calor,	pois	apresentare-
mos	os	conceitos	básicos,	já	que,	no	Tema	de	Aprendizagem	3,	iremos	falar	sobre	suas	
aplicações	em	equipamentos	térmicos.	
2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS
O	primeiro	passo	é	diferenciarmos	os	conceitos	de	termodinâmica	e	de	trans-
ferência	de	calor,	duas	disciplinas	básicas	para	diversas	Engenharias.	Essa	diferença	
pode	não	ser	óbvia	para	um	iniciante	nos	estudos	dessas	áreas,	mas	pode	ser	definida	
de	forma	bastante	simples	e	objetiva.
A	termodinâmica	está	preocupada	com	a	quantidade	de	calor	que	um	sistema	
perde	ou	recebe	ao	passar	por	um	processo	que	o	leva	de	uma	condição	de	equilíbrio	a	
outra.	Assim,	em	geral,	a	forma	como	essa	troca	de	calor	acontece	não	é	uma	preocu-
pação.	Enquanto	isso,	a	transferência	de	calor	está	preocupada	especificamente	com	
a taxa de	transferência	de	calor	de	um	processo,	ou	seja,	qual	o	tempo	que	esse	calor	
leva	para	ser	trocado	e	quais	são	os	parâmetros	que	influenciam	nessa	troca	(por	exem-
plo,	aspectos	geométricos	e	propriedades	do	material).
196
Observando	o	mundo	desde	uma	forma	casual	e	até	uma	perspectiva	de	Enge-
nharia,	poderíamos	fazer,	por	exemplo,	as	seguintes	perguntas:	quanto	tempo	levará	até	
que	a	água	gelada	dentro	de	uma	garrafa	térmica	esfrie	à	temperatura	ambiente?	Como	
peças	de	computador	podem	ser	construídas	buscando	evitar	superaquecimento?	Qual	
a	potência	necessária	para	que	um	aquecedor	mantenha	uma	sala	quente	em	um	dia	de	
frio	intenso?	Como	pode	ser	feito	o	isolamento	térmico	dessa	mesma	sala?	Todas	essas	
são	perguntas	que	a	transferência	de	calor	está	interessada	em	responder.
Todo	fenômeno	de	transporte	acontece	devido	à	existência	de	uma	força	motriz	
e	é	mitigado	pela	presença	de	uma	resistência	ao	fenômeno.	Na	mecânica	dos	fluidos,	
vimos	que	essa	força	motriz	era	uma	diferença	(ou	gradiente)	de	velocidades,	muitas	
vezes	causada	por	uma	diferençade	pressão,	e	a	resistência	eram	os	efeitos	viscosos	
do	escoamento.	Para	a	transferência	de	calor,	a	força	motriz	será	uma	diferença	de	tem-
peratura,	e	a	resistência	será	dada	por	aspectos	geométricos	e	propriedades	do	material	
(veremos	mais	detalhes	a	seguir).
Na	Figura	28,	as	temperaturas	de	uma	casa	são	avaliadas	usando	um	leitor	de	
temperaturas	por	infravermelho.	Isso	é	útil,	por	exemplo,	para	identificar	quais	cômodos	
da	casa	ficarão	mais	quentes	ou	frios	em	dias	comuns.	Em	uma	perspectiva	industrial,	
uma	possível	preocupação	seria	a	perda	de	energia	em	sistemas	de	tubulações	para	o	
ambiente,	por	não	estarem	com	isolamento	térmico	adequado	(Figura	29).	Dependendo	
do	processo	em	questão,	isso	pode	significar	prejuízo	à	eficiência	energética	do	proces-
so,	que,	por	sua	vez,	é	traduzido	em	maior	custo	e,	portanto,	menor	lucro.
Figura 28 – Visão térmica em infravermelho 
de uma casa
Fonte: https://bit.ly/409X5ad. 
Acesso em: 2 jan. 2023
Figura 29 – Visão térmica de um radiador 
sem o isolamento térmico
Fonte: https://bit.ly/41gqUar. 
Acesso em: 2 jan. 2023
197
O	isolamento	de	tubulações	é	só	um	dos	muitos	problemas	de	Engenharia	re-
lacionados	 à	 transferência	 de	 calor.	 Por	 exemplo,	 diversos	 equipamentos	 industriais	
estão	pautados	na	troca	de	energia	entre	dois	meios,	como	trocadores	de	calor,	aque-
cedores,	 resfriadores,	 caldeiras,	 condensadores,	 evaporadores	 e	muitos	 outros.	 Com	
isso,	 geralmente,	 estaremos	 preocupados	 com	 dois	 aspectos:	 qual	 a	 troca	 de	 calor	
de	um	sistema	operando	a	uma	dada	diferença	de	temperatura	e	quais	as	dimensões	
do	sistema	para	que	uma	troca	de	calor	especificada	os	mantenha	nas	condições	de	 
temperatura	desejadas?
Assim,	primeiramente,	é	preciso	definir	uma	propriedade	da	matéria	muito	im-
portante	para	a	transferência	de	calor.
Calor específico é a energia necessária para aumentar a tem-
peratura em um grau de uma unidade de massa de uma dada 
substância (ÇENGEL; GHAJAR, 2012).
NOTA
Para	facilitar	o	entendimento	do	conceito	de	calor	específico,	podemos	imaginar	
o	sistema	da	Figura	30,	em	que	há	a	entrada	de	5	kJ	de	energia.	Esse	sistema	é	formado	
por	1	kg	de	uma	substância,	a	qual	apresenta	um	calor	específico	c = 5 kJ/(kg ⋅ °C).	Isso	
pode	ser	lido	da	seguinte	maneira:	para	aumentar	1	°C	na	temperatura	de	1	kg	de	subs-
tância,	é	necessário	fornecer	5	kJ	de	energia	a	ela.
Figura 30 – Efeito do calor específico na variação de temperatura de uma substância
Fonte: adaptada de Çengel; Ghajar (2012)
198
É	importante	mencionarmos	que	o	calor	específico	é	uma	propriedade	da	maté-
ria	que	pode	variar	de	acordo	com	o	seu	estado	físico	e	suas	condições	de	temperatura	
e	pressão.	Ainda,	é	comum	nos	referirmos	a	dois	tipos	de	calor	específico:	ao	volume	
constante	(cV)	ou	à	pressão	constante		(cp),	sendo	o	segundo	sempre	maior	que	o	pri-
meiro.	Para	gases	ideais,	o	calor	específico	depende	apenas	da	temperatura,	e	a	seguin-
te	equação	é	válida,	em	que	R	é	a	constante	dos	gases	ideais,	8,31	J/(mol ⋅ K):
Para	 substâncias	 incompressíveis	 (sólidos	 e	 líquidos),	 podemos	 assumir	 que	
ambos	os	calores	específicos	são	iguais	e,	por	simplicidade,	serão	representados	pela	
letra	“c”.	Além	disso,	os	calores	específicos	de	substâncias	incompressíveis	dependem	
apenas	da	temperatura.	Assim,	quando	desejarmos	avaliar	a	energia	que	deve	ser	for-
necida	para	variar	a	temperatura	de	sólidos	e	líquidos,	sem	que	haja	mudança	de	fase,	
podemos	utilizar	a	seguinte	equação:
Em	que	c	é	o	calor	específico	médio	entre	as	temperaturas	T2 e T1	(por	isso,	fre-
quentemente,	também	pode	ser	chamado	de	cméd), sendo m	a	massa	da	substância	e	Q 
a	quantidade	de	calor.
Em geral, trabalharemos com a unidade do calor específico no 
SI: kJ/(kg ⋅ K). Contudo, podemos reparar que esta unidade 
é idêntica a kJ/(kg ⋅ °C), uma vez que ΔT(°C) = ΔT(K), ou seja, 
uma variação de 1 °C equivale a uma variação de 1 K. Outras 
unidades comuns são cal/(g ⋅ °C) e Btu/(lbm ⋅ °F).
ATENÇÃO
Na	equação	anterior,	notamos	que	o	termo	Q	tem	dimensão	de	energia	(uma	
possível	unidade	seria	o	J,	por	exemplo).	No	estudo	dos	fenômenos	de	transporte,	fre-
quentemente,	são	usados	os	termos	taxa	e	fluxo.	A	taxa de transferência de calor 
é,	em	geral,	denotada	por 	e	tem	dimensões	de	energia	por	tempo	(uma	unidade	é	
o Q,	por	exemplo).	O	fluxo de calor,	por	sua	vez,	tem	uma	definição	um	pouco	menos	
intuitiva:	é	a	taxa	de	transferência	de	calor	por	unidade	de	área,	sendo	denotada	por .	
Esse	conceito	será	mais	bem	explorado	e	ilustrado	mais	adiante.
199
Além	disso,	é	importante	definirmos,	também,	o	chamado	calor latente,	que,	
de	forma	simplificada,	é	a	energia	necessária	para	que	ocorra	uma	mudança	de	fase.	
Para	substâncias	puras,	a	mudança	de	fase	ocorre	a	temperaturas	constantes	e	pode-
-se	usar	a	equação:
Q = m ⋅ L
Podemos	notarque	L	é	o	calor	latente	referente	à	mudança	de	fase	em	questão,	
dado	em	dimensões	de	energia	por	unidade	de	massa.
Definidos	esses	conceitos,	é	importante	ressaltarmos	que	a	lei	de	conservação	
da	energia	deve	permanecer	válida,	ou	seja,	podemos	fazer	balanços	de	energia	seguin-
do	uma	lógica	semelhante	ao	que	fizemos	na	Unidade	1	e	no	Tema	de	Aprendizagem	1	
desta	unidade,	analisando	as	entradas,	as	saídas,	os	acúmulos	e	as	gerações	de	energia	
que	acontecem	no	sistema.	Dito	isso,	nossa	abordagem	será	mais	focada	nos	mecanis-
mos	de	transferência	de	calor:	condução,	convecção	e	radiação.
3 CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL
Devemos	considerar	 as	 seguintes	 situações:	 ao	 colocarmos	 a	 ponta	de	uma	
faca	de	metal	no	fogo,	a	extremidade	oposta	também	ficará	quente	após	certo	tempo;	
ao	 ligarmos	o	aquecedor	em	uma	casa	durante	um	dia	frio,	o	 lado	 interno	da	parede	
fica	mais	quente	do	que	o	lado	externo,	apesar	de	a	parede	toda	esquentar.	Ambos	os	
casos	são	exemplos	de	condução	de	calor,	em	que	as	partículas	com	maior	temperatura	
(maior	energia)	de	uma	substância	transferem	energia	para	as	partículas	vizinhas	com	
menor	temperatura	(menos	energia).
3.1 CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME 
PERMANENTE
Os	exemplos,	apresentados	anteriormente,	ilustram	a	transferência	de	calor	por	
condução	em	situações	comuns	do	cotidiano.	Em	uma	perspectiva	de	Engenharia,	elas	
podem	tomar	escalas	consideráveis,	como	a	perda	de	calor	pelas	paredes	de	um	forno	
industrial	ou	o	perfil	de	temperaturas	nas	paredes	de	um	equipamento.	É	 importante	
observarmos	que	a	condução	acontece	em	todos	os	estados	da	matéria:	em	sólidos,	por	
meio	das	vibrações	das	moléculas	e	dos	elétrons	livres	entre	elas;	em	líquidos	e	gases,	
por	meio	das	colisões	e	difusões	dos	movimentos	aleatórios	das	moléculas.
200
Experimentalmente, observa-se que a condução de calor depen-
de de quatro aspectos: a diferença de temperatura, a substância, 
a geometria e a espessura do sistema. A relação entre estas gran-
dezas foi estudada e estabelecida, pela primeira vez, por J. Fourier 
(1768-1830), matemático e físico francês que desenvolveu a equa-
ção denominada de Lei de Fourier da condução térmica:
Podemos notar que k é a chamada condutividade térmica, carac-
terística do material, que representa a capacidade do material de 
conduzir calor.
NOTA
Por	exemplo,	em	temperatura	ambiente,	a	água	apresenta	kágua = 0,607 W/(m ⋅ 
K),	enquanto	o	ferro	tem	kferro = 80,2 W/(m ⋅ K).	Estes	números	conduzem	o	que	somos	
capazes	de	observar	experimentalmente:	o	ferro	é	um	condutor	de	calor	muito	melhor	
que	a	água.	Mais	valores	de	condutividade	térmica	estão	apresentados	na	Tabela	3.
Tabela 3 – Condutividade térmica de alguns materiais em temperatura ambiente
Fonte: Çengel; Ghajar (2012, p. 20)
Material Material Material
Diamante 2.300 Ferro 80,2 Pele	humana 0,37
Prata 429 Mercúrio 8,54 Madeira 0,17
Cobre 401 Vidro 0,78 Fibra	de	vidro 0,043
Ouro 317 Tijolo 0,72 Ar 0,026
Alumínio 237 Água 0,607 Uretano 0,026
A	equação	da	Lei	de	Fourier	da	condução	térmica	expressa	a	condução	de	calor	
na	forma	de	taxa,	em	que	a	área	A	é	sempre	normal	à	direção	da	transferência	de	calor.	
Para	ofluxo,	como	definimos	anteriormente,	ela	pode	ser	escrita	como:
201
Volte à Tabela 1 da Unidade 1 e observe a semelhança entre os 
fenômenos da transferência de momento e da transferência de 
calor. O gradiente de temperatura é a força motriz que causa o 
fenômeno, e a condutividade térmica é quando o fenômeno é 
resistido pelas características do material.
ATENÇÃO
Fonte: adaptada de Incropera; Dewitt (2008)
Para	melhor	ilustrar	a	Lei	de	Fourier,	por	exemplo,	podemos	considerar	a	pare-
de	de	um	forno	industrial	feita	em	tijolo,	com	0,20	m	de	espessura.	O	lado	interno	está	
a	1.150	°C	e	o	lado	externo,	a	900	°C.	Sabendo	que	as	dimensões	da	parede	são	1,5	m	
(comprimento)	por	1,0	m	(altura),	como	determinamos	a	taxa	de	calor	perdida	através	
desta	parede?
Solução:	considerando	que	o	sistema,	em	questão,	opera	em	regime	perma-
nente,	que	a	parede	é	perfeitamente	plana	e	de	condutividade	térmica	constante,	e	que	
a	temperatura	varia	só	ao	longo	da	sua	espessura	(ou	seja,	a	transferência	de	calor	é	
unidimensional;	as	temperaturas	não	variam	ao	longo	da	largura	e	da	altura),	podemos	
usar	a	Lei	de	Fourier	da	condução:
Quando	trabalhamos	com	a	Lei	de	Newton	da	Viscosidade,	para	simplificar	a	
solução	do	problema,	assumimos	que	o	diagrama	de	velocidades	era	linear	com	a	es-
pessura	do	escoamento.	Aqui,	as	condições	de	estado	estacionário	nos	permitem	fazer	
uma	simplificação	análoga,	admitindo	o	diagrama	de	temperatura	linear	com	a	espes-
sura	da	parede	(como	esquematizado	na	Figura	31).
Figura 31 – Representação esquemática da condução de calor unidimensional em regime 
202
Com	isso,	podemos	escrever	a	Lei	de	Fourier	na	forma:
Tendo	como	base	a	Tabela	3,	temos	que	ktijolo = 0,72 W/(m ⋅ K).	Como	a	parede	
é	perfeitamente	plana,	podemos	calcular	a	área	simplesmente	como	a	área	de	um	re-
tângulo:
O	problema	pode	ser	esquematizado	de	acordo	com	a	Figura	32.
Figura 32 – Representação esquemática do problema de condução de calor unidimensional em parede plana
Fonte: adaptada de Incropera; Dewitt (2008)
Então,	basta	substituirmos	os	valores	para	determinar	a	taxa	de	transferência	
de calor pela parede:
Se	quiséssemos	conhecer	o	fluxo	de	calor,	bastaria	fazer:
203
Em	alguns	 livros,	 o	uso	do	 sinal	 negativo,	 na	equação,	 às	vezes,	 é	 ocultado,	
uma	vez	que	a	função	dele	é	meramente	indicar	o	sentido	da	transferência	de	calor	(sai	
do	ponto	de	temperatura	mais	alta	para	o	ponto	de	temperatura	mais	baixa).	Aqui,	se	a	
taxa	de	transferência	de	calor	for	positiva,	significa	que	a	direção	da	seta,	representada	
no	esquema	da	Figura	32,	aponta	corretamente	a	direção	do	fenômeno	(o	calor	vai	da	
face	interna	da	parede	para	a	face	externa).	Essa	observação	também	é	válida	para	as	
demais	equações	dos	fenômenos	de	transporte,	como	a	Lei	de	Newton	da	viscosidade	
que	estudamos	anteriormente.
Além da condutividade térmica, existe outra característica dos materiais 
que aparece frequentemente no estudo da transferência de calor: é a 
chamada difusividade térmica (a), definida pela equação:
No SI, a difusividade térmica é expressa em m²/s. O produto ρ ⋅ cp repre-
senta a capacidade de armazenamento de calor por unidade de volu-
me do material. Dessa forma, a difusividade térmica pode ser entendida 
como a razão entre o calor conduzido e o calor armazenado por um ma-
terial – quanto maior, mais o calor se propaga no meio; quanto menor, 
mais o calor é absorvido e armazenado pelo material.
NOTA
3.2 RESISTÊNCIA TÉRMICA
As	analogias	entre	os	fenômenos	de	transporte	vão	além	das	questões	de	mo-
mento,	calor	e	massa.	Em	algum	momento	das	aulas	de	física,	provavelmente,	estu-
damos	sistemas	de	resistências	elétricas,	em	que	uma	diferença	de	potencial	(v2 – v1) 
promovia	o	 surgimento	de	uma	corrente	elétrica	 (i)	 através	de	uma	 resistência	 (Re),	
como	sugere	a	Figura	33.
Figura 33 – Esquema típico de circuito elétrico com resistência
Fonte: os autores
204
A	relação	entre	as	grandezas	é	dada	por:
Agora,	na	Lei	de	Fourier	da	condução,	como	utilizamos	no	exemplo	do	Tema	de	
Aprendizagem	1:
NOTA
Podemos combinar a condutividade térmica do material e 
as suas características geométricas na forma da chamada 
resistência térmica (R):
Com isso, a Lei de Fourier fica exatamente semelhante à 
equação para cálculo da corrente elétrica:
Dessa	forma,	podemos	representar	o	fenômeno	da	transferência	de	calor	por	
condução	por	meio	do	esquema	expresso	na	Figura	34.
Figura 34 – Esquema típico de circuito térmico com resistência à condução
Fonte: os autores
Não	somente	a	representação	pode	ser	feita	de	forma	análoga,	mas	também	
os	 problemas	 envolvendo	 sistemas	 de	 resistências.	 Por	 exemplo,	 um	 problema	 de	
transferência	de	calor	envolvendo	múltiplas	camadas	de	materiais	diferentes	pode	ser	
esquematizado	como	um	sistema	de	resistências	em	série	(Figura	35).
205
Figura 35 – Circuito térmico para uma parede de multicamadas
Fonte: adaptada de Incropera; Dewitt (2008)
A	 taxa	 de	 transferência	 de	 calor	 da	 parede	 composta	 pode	 ser	 determinada	
avaliando-se	a	taxa	em	cada	parede.	Assim,	os	circuitos	térmicos	podem	ser	calculados	
da	mesma	forma	como	os	circuitos	elétricos.	Para	a	condução	em	três	paredes	em	série,	
como	a	Figura	35,	temos:
ESTUDOS FUTUROS
Além disso, bem como é feito com circuitos elétricos, é conveniente tra-
balharmos com um coeficiente global de transferência de calor (U), 
análogo ao uso de uma resistência equivalente para os circuitos elétricos:
Podemos notar que U tem unidades como (no SI). Nessse mo-
mento, nosso foco está mais centrado na resistência total (Rtotal), mas o 
coeficiente global de transferência de calor será importante no Tema de 
Aprendizagem 3.
206
Definido	o	conceito	de	resistência	térmica,	é	fácil	compreendermos	o	conceito	
de	isolante	térmico:	materiais	que	apresentam	elevada	resistência	térmica,	ou	seja,	são	
péssimos	condutores	(sua	condutividade	térmica	é	extremamente	baixa).	O	isolamento	
térmico	de	uma	tubulação,	por	exemplo,	é	feito	revestindo	o	conduto	com	um	material	
de	baixa	condutividade.
Assim,	é	 importante	reforçar	o	que	aprendemos	com	mais	um	exemplo:	uma	
janela	de	painel	duplo	é	composta	de	duas	placas	de	vidro,	separadas	por	um	espaço	
de	ar	estagnado.	Esse	tipo	de	janela	é	popular	em	climas	mais	frios,	porque	a	camada	
de	ar	entre	os	vidros	garante	uma	resistência	térmica	maior,	de	modo	a	evitar	a	perda	
de	calor	do	interior	do	ambiente	para	o	exterior.	Ao	considerarmos	o	esquema	da	Figura	
36,	em	que	o	painel	tem	1,0	m	de	altura	por	1,5	m	de	largura,	se	T1	=	20	°C	e	T4	=	-10	°C,	
qual	a	taxa	de	transferência	de	calor	por	meio	dessa	janela	de	painel	duplo?	Deve-se	
determinar,	também,	as	temperaturas	T2 e T3.
Figura 36 – Esquema ilustrativo do exemplo trabalhado sobre resistência térmica
Fonte: os autores
Solução:	consideraremos	que	o	sistema	está	em	regime	permanente,	de	modo	
que	as	 temperaturas	permaneçam	constantes	nos	valores	 especificados,	 assumindo	
que	a	transferência	de	calor	é	unidimensional	e	que	condutividades	térmicas	do	ar	e	do	
vidro	são	constantes.
207
Com	base	na	Tabela	3,	temos:	kvidro = 0,78 W/(m ⋅ K) e kar = 0,026 W/(m ⋅ K).	
A	área	do	painel	é	facilmente	calculada:
As	resistências	R1, R2 e R3	podem	ser	calculadas	individualmente:
O	sistema	pode	ser	entendido	como	uma	parede	multicamadas	com	resistên-
cias	em	série.	Dessa	forma,	a	 resistência	total	pode	ser	calculada	como	a	soma	das	
resistências:
Com	isso,	a	taxa	de	transferência	de	calor	pode	ser	determinada:
Para determinar as temperaturas T2 e T3,	basta	utilizarmos	a	taxa	de	transferên-
cia	de	calor	individualmente	em	cada	resistência.	Assim,	para	a	primeira	placa	de	vidro:
208
Para a camada de ar estagnado:
Por	meio	 dos	 cálculos,	 foi	 possível	 observar	 que	 a	 camada	de	 ar	 atua	 como	
isolante,	pois	apresenta	uma	resistência	térmica	relativamente	elevada.	Se	ela	não	es-
tivesse	presente,	a	taxa	de	transferência	de	calor	seria	consideravelmente	maior	(pois	
a	 resistência	 seria	menor).	Caso	umaresistência	 ainda	maior	 fosse	necessária,	 seria	
possível,	até	mesmo,	utilizar	janelas	de	painel	triplo.	Podemos	notar	que,	tanto	a	perda	
de	calor	no	inverno	quanto	o	ganho	de	calor	no	verão,	são	reduzidos,	ou	seja,	por	meio	
do	isolamento	das	janelas,	os	gastos	com	aquecedores	e	aparelhos	de	ar-condicionado	
podem	ser	reduzidos,	garantindo	uma	melhor	eficiência	energética	do	ambiente.
Conhecidos	os	problemas	de	paredes	multicamadas	em	série,	é	natural	 ima-
ginarmos	que	uma	ideia	parecida	também	seja	aplicável	a	multicamadas	em	paralelo,	
como	o	exemplo	representado	na	Figura	37.
Figura 37 – Parede composta série-paralela
Fonte: adaptada de Incropera; Dewitt (2008)
De	fato,	tal	abordagem	existe,	mas	passa	a	se	tratar	de	um	sistema	com	escoa-
mento	de	calor	multidimensional	(o	que	foge	do	escopo	deste	livro	didático).	Dito	isso,	
a	hipótese	de	condições	unidimensionais	é	frequentemente	razoável;	contudo,	dois	di-
ferentes	circuitos	térmicos	podem	ser	usados.	No	primeiro,	considera-se	que	os	perfis	
de	temperatura	em	B	e	C	sejam	iguais,	ou	seja,	as	superfícies	normais	à	direção	x	são	
isotérmicas.	Assim,	o	circuito	térmico	pode	ser	representado	na	Figura	38.
209
Figura 38 – Primeiro circuito térmico de uma parede composta série-paralela
Fonte: adaptada de Incropera; Dewitt (2008)
No	segundo,	divide-se	a	parede	horizontalmente,	de	modo	a	formar	duas	(ou	
mais)	séries	de	 resistências	em	paralelo.	Dessa	forma,	faz-se	a	suposição	de	que	as	
superfícies	paralelas	à	direção	x	sejam	adiabáticas	(ou	seja,	não	trocam	calor	na	dire-
ção	vertical,	mantendo	o	escoamento	unidimensional).	A	representação	desse	circuito	
é	apresentada	na	Figura	39.
Figura 39 – Segundo circuito térmico de uma parede composta série-paralela
Fonte: adaptada de Incropera; Dewitt (2008)
Os	valores	obtidos	das	 resistências	totais	Rtotal	dos	circuitos	das	Figuras	38	e	
39	são	distintos,	sendo	que	ambos	são	aproximações.	O	valor	exato	está,	na	verdade,	
entre	os	valores	previstos	pelos	dois	casos.	Quanto	maior	for	o	efeito	multidimensional	
(ou	seja,	quanto	maior	a	diferença	entre	kC e kB),	maior	será	a	diferença	entre	os	Rtotal 
estimados.
210
4 FUNDAMENTOS DA CONVECÇÃO
O	segundo	dos	três	mecanismos	de	transferência	de	calor	que	iremos	estudar	é	
a convecção,	que	aborda	o	fenômeno	de	troca	térmica	por	meio	do	movimento	de	flui-
dos	com	uma	superfície	sólida.	Evidentemente,	o	escoamento	de	fluidos	foi	o	tema	cen-
tral	anteriormente	e,	por	isso,	estará	intrinsecamente	presente	também	nesse	assunto.
A	primeira	observação	que	se	faz	com	relação	ao	movimento	de	fluido	é	que	o	seu	
movimento	pode	ser	natural	(o	fluido	mais	quente	sobe	e	o	mais	frio	desce	por	diferença	
de	densidades)	ou	forçado	(por	exemplo,	mediante	o	uso	de	uma	bomba	ou	ventilador).	
A convecção aborda o fenômeno de troca térmica por meio do 
movimento macroscópico de fluidos. Classifica-se a convecção 
como natural (ou livre) ou forçada. Além disso, ela também é 
classificada como externa (escoamento sobre uma superfície) 
ou interna (escoamento dentro de um conduto). Ambas as clas-
sificações são justamente semelhantes às que foram usadas para 
descrever o escoamento de fluidos anteriormente.
NOTA
4.1 LEI DE NEWTON DO RESFRIAMENTO
Em	termos	matemáticos,	 a	 descrição	do	 fenômeno	de	 convecção	 apresenta	
certo	grau	de	complexidade,	pois	envolve	o	movimento	do	fluido	e	a	própria	condução	
de	calor	entre	as	moléculas.	Apesar	disso,	verifica-se,	experimentalmente,	que	a	taxa	de	
transferência	de	calor	por	convecção	pode	ser	muito	bem	representada	pela	sua	equa-
ção	mais	fundamental,	a	chamada	Lei	de	Newton	do	resfriamento.
NOTA
A Lei de Newton do resfriamento é escrita na forma:
Podemos notar que h é denominado coeficiente de transferência 
de calor por convecção (no SI, ), A é a área de transferência 
de calor, TS é a temperatura da superfície sólida e T∞ é a temperatura 
do fluido longe da superfície (em outras palavras, é a temperatura do 
fluido sem a interferência da troca térmica com a superfície).
211
Em	um	exemplo,	para	ilustrar	o	uso	dessa	equação,	temos	um	fio	elétrico	com	
1,5	m	de	comprimento	e	3	mm	de	diâmetro	em	uma	sala,	mantida	a	15	°C.	A	passagem	
de	corrente	elétrica	por	esse	fio	faz	com	que	ele	esquente	até	uma	temperatura	de	135	
°C	na	superfície,	o	que	equivale	a	uma	potência	de	75	W.	Como	podemos	determinar	
o	coeficiente	de	transferência	de	calor	por	convecção	entre	a	superfície	do	fio	e	o	ar	 
na	sala?
Solução:	considerando	condições	de	regime	permanente	e	propriedades	cons-
tantes,	 podemos	 fazer	 uma	 esquematização	 simples	 do	 problema,	 como	 mostra	 a	 
Figura	40.
Figura 40 – Representação esquemática do exemplo proposto sobre convecção
Fonte: os autores
Assim,	a	potência	de	75	W	pode	ser	entendida	como	uma	geração	de	energia	
nesse	sistema.	Nas	condições	de	regime	permanente,	esta	deve	ser	a	taxa	de	transfe-
rência	de	energia	por	convecção	que	sai	do	fio	para	a	sala	(do	contrário,	as	temperaturas	
não	estariam	constantes/estacionárias).
A	área	superficial	do	fio	é	facilmente	calculada	como	a	área	de	um	cilindro	da	
seguinte forma:
Para	determinar	o	coeficiente,	basta	utilizarmos	a	Lei	de	Newton	do	resfriamento:
212
4.2 CAMADA LIMITE TÉRMICA
Evidentemente,	a	Lei	de	Newton	do	resfriamento	é,	matematicamente,	bastan-
te	simples.	Contudo,	a	verdadeira	complexidade	dos	problemas	de	convecção	está	em	
determinar	o	coeficiente	h,	que	depende	de	características	do	escoamento,	das	proprie-
dades	do	fluido,	da	geometria	e	da	rugosidade	da	superfície	sólida.	Por	ser	dependente	
de	tantas	variáveis,	diversos	números	adimensionais	surgem	para	tentar	descrever	o	
fenômeno	da	convecção	–	o	primeiro	deles	é	o	número	de	Nusselt	(Nu):
Em	que	k	é	a	condutividade	térmica	do	fluido	e	Lc	é	o	comprimento	característi-
co.	O	significado	físico	do	número	de	Nusselt	pode	ser	mais	bem	entendido	consideran-
do	a	Figura	41,	na	qual	uma	camada	de	fluido	troca	calor	por	convecção	se	estiver	em	
movimento	ou	por	condução	se	estiver	imóvel.
Figura 41 – Transferência de calor através de uma camada de fluido
Fonte: Çengel; Ghajar (2012, p. 377)
Da	Lei	de	Fourier	da	condução	e	da	Lei	de	resfriamento	de	Newton,	temos	as	
equações:
Dividindo-se	o	calor	por	convecção	pelo	calor	por	condução:
213
Fonte: Çengel; Ghajar (2012, p. 383)
Portanto,	o	número	de	Nusselt	indica	o	aumento	da	transferência	de	calor	como	
resultado	da	convecção	diante	da	transferência	de	calor	obtida	por	condução.	Quanto	maior	
for	o	número	de	Nusselt,	maior	o	calor	que	o	fluido	trocará	com	o	ambiente	por	convecção.	
Por	 isso,	utilizamos	a	convecção	forçada	em	nosso	cotidiano:	usamos	ventiladores	para	
maior	resfriamento	do	ambiente	ou	mexemos	e	sopramos	caldos,	sopas	e	bebidas	para	res-
friá-los,	por	exemplo.	A	convecção	natural	também	atua	com	o	mesmo	sentido:	a	sensação	
térmica	em	um	dia	frio	com	ventos	fortes	faz	parecer	muito	mais	frio	do	que	realmente	está.
O	segundo	número	adimensional	que	nos	interessa	é	o	chamado	número de 
Prandtl,	definido	como:
Como	sua	definição	sugere,	o	número	de	Prandtl	compara	a	difusão	de	mo-
mento	com	a	difusão	térmica.	Isso	fica	mais	claro	quando	nos	lembramos	do	conceito	
sobre	a	camada	limite	hidrodinâmica,	em	que	vimos	que,	quando	um	escoamento	livre	
passa	a	escoar	sobre	uma	superfície	sólida,	começa-se	a	desenvolver	um	perfil	de	velo-
cidades,	devido	aos	efeitos	viscosos	decorrentes	do	princípio	do	não	deslizamento.	De	
maneira	análoga,	quando	um	fluido	a	uma	dada	temperatura	passa	a	escoar	sobre	uma	
superfície	com	temperatura	diferente,	observa-se	a	formação	de	um	perfil	de	tempera-
turas	e,	com	isso,	a	chamada	camada limite térmica.
A	Figura	42	mostra	a	formação	da	camada	limite	térmica	em	um	escoamento	inicial-
mente uniforme a T∞,	que	passa	a	escoar	sobre	uma	superfície	à	temperatura	TS	.	A	espessura	
da	camada	limite	térmica	(δt)	é	definida	como	a	distância	da	superfície	em	que	a	diferença	de	
temperatura T – TS = 0,99 (T∞ – TS ).	Em	outras	palavras,	a	camada	limite	térmica	é	formadapelos	pontos	em	que	a	temperatura	do	escoamento	é	afetada	pela	temperatura	da	placa.
Figura 42 – Camada limite térmica sobre uma placa plana (T∞ > TS)
214
Como	é	possível	imaginar,	a	velocidade	do	fluido	tem	forte	influência	em	como	
essa	camada	limite	térmica	irá	se	desenvolver	e,	por	consequência,	na	transferência	de	
calor	por	convecção.
4.3 CONVECÇÃO EM CIRCUITOS TÉRMICOS
Anteriormente,	fizemos	o	desenvolvimento	do	conceito	de	circuitos	e	resistên-
cias	térmicas	para	a	condução	do	calor.	De	forma	bastante	simples,	isso	pode	ser	feito	
para	a	convecção,	baseando-se	na	Lei	de	Newton	do	resfriamento:
Com	isso,	problemas	envolvendo	paredes	planas	multicamadas	com	convecção	
nas	superfícies	podem	ser	 resolvidos	como	circuitos	térmicos	com	relativa	facilidade	
(desde	que	sejam	conhecidos	os	coeficientes	de	transferência	de	calor	por	convecção).
Quando	 tratamos	 apenas	 da	 condução,	 resolvemos	 o	 problema	 da	 perda	 de	
calor	através	de	uma	janela	de	painel	duplo,	em	que,	na	verdade,	aproximamos	a	tem-
peratura	das	superfícies	para	as	temperaturas	dos	ambientes	(20	°C	e	-10	°C,	interna	e	
externa).	Agora,	podemos	rever	o	problema	para	a	janela	de	painel	único,	em	que	deve-
mos	determinar	corretamente	as	temperaturas	das	superfícies.
Em	um	dia	frio,	o	ambiente	interno	de	uma	janela	de	painel	único,	que	tem	1,0	
m	de	altura	por	1,5	m	de	largura	e	10	mm	de	espessura,	é	mantido	à	temperatura	de	20	
°C,	enquanto	o	ambiente	externo	está	a	uma	temperatura	de	-10	°C.	Sabendo	que	os	
coeficientes	de	convecção	interno	e	externo	são	hi = 12 W/(m² ⋅ K) e he = 36 W/(m² ⋅ K), 
como	podemos	determinar	a	taxa	de	transferência	de	calor	e	a	temperatura	das	super-
fícies	interna	e	externa	da	janela?
Solução:	novamente,	devemos	considerar	que	o	sistema	está	em	regime	per-
manente,	de	modo	que	as	temperaturas	permaneçam	constantes	nos	valores	especi-
ficados.	Além	disso,	assume-se	que	a	transferência	de	calor	é	unidimensional	e	que	a	
condutividade	térmica	do	vidro	é	constante.	O	problema	pode	ser	esquematizado	como	
mostra	a	Figura	43.
215
Figura 43 – Representação esquemática do exemplo proposto sobre condução de calor de forma 
simultânea com convecção
Fonte: os autores
O	primeiro	passo	é	avaliarmos	a	área	da	janela:
Sabendo	que	kvidro = 0,78 W/(m ⋅ K)	(ver	Tabela	3),	as	resistências	térmicas	são:
216
Como	estão	em	série,	a	resistência	total	é	dada	pela	soma	das	resistências,	logo:
Agora,	basta	substituirmos,	na	equação,	para	a	taxa	de	transferência	de	calor	
para	a	resistência	total	do	circuito:
Em	posse	disto,	é	fácil	determinarmos	as	temperaturas	nas	superfícies	interna	
e	externa.	Para	a	primeira	resistência:
Para	a	segunda	resistência:
É	interessante	observarmos	como	estes	resultados	diferem	dos	que	vimos	no	
exemplo	para	o	painel	duplo.	Evidentemente,	no	primeiro	exemplo,	os	devidos	efeitos	
de	convecção	não	foram	considerados,	porém,	a	diferença	observada	ocorre,	principal-
mente,	pela	ausência	da	camada	de	ar	estagnado,	que	atua	como	isolante.	Para	a	janela	
de	painel	único,	apesar	de	a	temperatura	da	sala	ser	de	20	°C,	a	superfície	interna	está	
a	-0,18	°C,	de	modo	que,	se	a	umidade	do	ambiente	for	suficiente,	poderá	haver	a	con-
densação	sobre	a	superfície	interna	do	vidro,	deixando-o	embaçado.
Uma	última	observação	deve	ser	feita	quanto	às	resistências	térmicas	e	ao	uso	
de	isolantes	térmicos:	ao	fazer	o	isolamento	de	uma	tubulação	cilíndrica,	quanto	mais	
espessa	for	a	camada	de	isolante	em	torno	da	tubulação,	maior	será	a	área	superficial	
exposta	aos	efeitos	de	convecção.	Isso	sugere	a	existência	do	chamado	raio	crítico	de	
isolamento,	definido	para	um	cilindro	como:
217
Podemos	considerar,	como	exemplo	do	efeito	do	isolamento,	a	representação	
na	Figura	44.
Figura 44 – Efeito do isolamento em tubos cilíndricos
Fonte: Çengel; Ghajar (2012, p. 161)
Assim, se r1 < r2 < rcr,	a	taxa	de	transferência	de	calor	aumenta	com	a	adição	de	
isolamento,	atingindo	um	máximo	em	r2 = rcr, e passa a diminuir para r2 > rcr	–	isto	é,	até	
uma	dada	espessura,	usar	isolamento	aumentará	a	perda	de	calor,	em	vez	de	mitigá-la,	
pois	a	convecção	será	o	efeito	dominante.	Dito	isso,	a	experiência	demonstra,	em	ge-
ral,	que	o	raio	crítico	será	de,	no	máximo,	1	cm.	Portanto,	podemos	isolar	a	maioria	das	
tubulações	sem	grandes	preocupações	com	a	possibilidade	de	estarmos,	na	verdade,	
aumentando	a	transferência	de	calor.	A	título	de	curiosidade,	o	raio	crítico	de	isolamento	
para	esferas	é	dado	por:
218
Acadêmico, talvez, você já tenha reparado que alguns equipamentos 
apresentam superfícies estendidas, feitas de materiais altamente 
condutores (como o alumínio), como radiadores de carro e compo-
nentes de computadores. Essas superfícies são chamadas aletas e 
têm, como objetivo, aumentar a transferência de calor, por meio do 
aumento da superfície exposta à troca térmica (principalmente por 
convecção). Essa estratégia é observada, até mesmo, na natureza 
– por exemplo, as placas ósseas presentes nas costas dos estegos-
sauros serviam como radiadores para resfriamento do sangue que 
fluía através delas (ÇENGEL; GHAJAR, 2012).
IMPORTANTE
5 FUNDAMENTOS DA RADIAÇÃO
Finalmente,	falta	apenas	tratarmos	do	terceiro	mecanismo	de	transferência	de	
calor: a radiação.	 Esse	mecanismo	é	particularmente	 interessante,	 pois	 a	 energia	 é	
transferida	na	forma	de	ondas	eletromagnéticas,	 resultantes	das	mudanças	nos	elé-
trons	de	átomos	ou	moléculas.	Portanto,	ela	não	depende	de	um	meio	para	se	propagar	
–	afinal,	é	a	forma	como	a	energia	do	Sol	chega	até	a	Terra,	após	percorrer	distâncias	
planetárias	em	condições	de	vácuo.
Outro	fator	importante	é	que	a	radiação	térmica	(ou	seja,	emitida	pela	tempera-
tura	dos	corpos)	é	diferente	das	outras	formas	de	radiação	eletromagnética	(como	raios	
X,	micro-ondas	e	ondas	de	rádio).	Todo	sólido,	líquido	ou	gás	que	esteja	a	uma	tempera-
tura	superior	ao	zero	absoluto	(0	K)	emite,	absorve	ou	transmite	radiação.
A equação que determina a taxa máxima de radiação que pode ser emitida por uma 
superfície à temperatura TS é a chamada Lei de Stefan-Boltzmann da radiação térmica:
Em que σ = 5,670 ⋅ 10 – 8 W/(m2 ⋅ K4) é a constante de Stefan-Boltzmann e TS é a tempe-
ratura termodinâmica (ou seja, em Kelvin ou Rankine) da superfície. 
Na prática, essa radiação máxima é emitida somente por uma superfície idealizada, cha-
mada de corpo negro. Para superfícies reais, utiliza-se um parâmetro ε (0 ≤ ε ≤ 1), que é 
chamado de emissividade da superfície. Assim:
NOTA
219
Quando tratarmos de uma pequena superfície à temperatura 
TS completamente envolvida por uma vizinhança de superfície 
isotérmica à temperatura Tviz, separadas por um gás que não in-
fluencia na radiação (como o ar), a taxa líquida de transferência 
de calor por radiação entre essas duas superfícies pode ser de-
terminada por:
Na	Tabela	4,	são	apresentadas	as	emissividades	típicas	para	algumas	superfícies.
Tabela 4 – Emissividade de alguns materiais a 300 K
Fonte: Çengel; Ghajar (2012, p. 28)
Material ε Material ε Material ε
Alumínio em 
folhas
0,07 Pintura preta 0,98 Pele	humana 0,95
Alumínio 
anodizado
0,82 Pintura branca 0,90 Madeira 0,82	–	0,92
Cobre	polido 0,03 Papel branco 0,92	–	0,97 Terra 0,93	–	0,96
Ouro	polido 0,03
Pavimento	
asfáltico
0,85	–	0,93 Água 0,96
Prata polida 0,02 Tijolo	vermelho 0,93	–	0,96 Vegetação 0,92	–	0,96
Aço	inoxidável	
polido
0,17
Para	fixar	essas	informações,	é	importante	utilizarmos	um	exemplo:	em	um	dia	
frio	de	inverno,	as	superfícies	 interiores	das	paredes,	do	piso	e	do	teto	de	um	quarto	
estão	a	uma	temperatura	de	12	°C.	De	forma	semelhante,	em	um	dia	quente	de	verão,	
elas	estão	à	temperatura	de	28	°C.	Apesar	dessas	temperaturas,	em	ambos	os	casos,	
o	 interior	da	sala	é	mantido	na	temperatura	de	20	°C.	Considerando	que	a	superfície	
exposta	do	corpo	do	residente	seja	de	1,5	m²,	com	uma	temperatura	de	32	°C,	como	
podemos	determinar	a	taxa	de	transferência	de	calor	por	radiação	entre	o	indivíduo	e	as	
superfícies	do	quarto	para	ambas	as	situações?Solução:	considerando	apenas	a	troca	térmica	por	radiação,	que	todas	as	tem-
peraturas	estão	uniformes,	como	descritas,	e	que	o	corpo	do	indivíduo	está	totalmente	
cercado	pelas	superfícies	interiores	do	quarto,	basta	utilizarmos	a	equação	da	taxa	lí-
quida	de	transferência	de	calor	por	radiação,	sendo	que	o	corpo,	por	estar	a	uma	tem-
peratura	maior	(32	°C	=	305,15	K),	transfere	energia	para	as	paredes.
220
Assim,	adotando-se	uma	emissividade	para	a	pele	humana	de	0,95	(conforme	
a	Tabela	4),	para	o	dia	frio:
Para	o	dia	quente:
A	diferença	entre	essas	taxas	de	transferência	demonstra	justamente	o	motivo	
de	sentirmos	frio	no	inverno	mesmo	com	a	temperatura	do	ambiente	controlada	como	
a	de	um	dia	quente	no	verão:	os	efeitos	de	radiação	fazem	com	que	a	superfície	do	nos-
so	corpo	perca	mais	calor	para	o	ambiente,	em	função	da	temperatura	das	superfícies	
internas	do	quarto.
Uma	última	observação	importante	deve	ser	feita	quanto	à	radiação.	Por	con-
veniência,	frequentemente,	faz-se	uso	de	um	coeficiente	combinado	de	transferência	
de	calor	 (h),	mesmo	que	de	maneira	 implícita,	que	 inclui	tanto	os	efeitos	da	radiação	
quanto	os	da	convecção	–	ou	seja,	ao	utilizarmos	esse	coeficiente	combinado	no	cálculo	
da	taxa	de	transferência	de	calor	por	convecção,	os	efeitos	da	radiação	já	estão	conta-
bilizados.	É	relativamente	razoável	ignorarmos	a	radiação	em	problemas	de	convecção	
forçada	(especialmente	se	a	emissividade	da	superfície	for	baixa),	mas,	em	problemas	
de	condução	ou	convecção	natural,	a	radiação	tem	participação	significativa.
Enfim,	terminamos	este	tema	de	aprendizagem	sobre	os	fenômenos	da	trans-
ferência	de	calor.	As	analogias	entre	os	fenômenos	apareceram,	e	ficarão	ainda	mais	
nítidas	quando	chegarmos	na	Unidade	3,	quando	estudaremos	o	fenômeno	da	trans-
ferência	de	massa.	Antes	disso,	continuaremos	nossa	perspectiva	da	transferência	de	
calor,	estudando	um	pouco	mais	sobre	equipamentos	de	extrema	importância	indus-
trial:	os	trocadores	de	calor.
221
Para aprender mais sobre os fenômenos de transferência de 
calor, não deixe de conferir o livro transferência de calor e massa 
– uma abordagem prática, dos autores Yunus A. Çengel e Afshin 
J. Ghajar, uma das obras mais consagradas, tanto como livro-tex-
to básico para estudantes de graduação em Engenharia quan-
to como referência para engenheiros que já atuam no mercado 
profissional. Apresenta uma abordagem extensa dos fenômenos 
de transferência de calor e massa, com riqueza de exemplos e 
contextualização histórica, sendo uma das principais referências 
globais sobre transferência de calor e massa, ideal para aprofun-
dar o estudo da condução e convecção, bem como a analogia 
entre os fenômenos de transporte. Também conta com diversas 
tabelas e gráficos de propriedades para uma grande variedade 
de componentes, com unidades no SI (na versão brasileira).
DICA
222
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu:
•	 Calor	específico	(c)	é	energia	necessária	que	deve	ser	fornecida	para	que	haja	o	au-
mento de um grau de temperatura em uma unidade de massa de uma dada subs-
tância.	Algumas	das	unidades	utilizadas	são:	kJ/(kg ⋅ K), kJ/(kg ⋅ °C), cal/(g ⋅ °C) e Btu/
(lbm ⋅ °F).
•	 A	diferença	entre	taxa	de	calor	(																–	energia	por	unidade	de	tempo)	e	fluxo	de	
calor	(																–	taxa	de	calor	por	unidade	de	área).
•	 Na	ausência	de	mudança	de	fase,	podemos	usar	a	equação Q = m ⋅ c ⋅ ΔT, para calcu-
lar	a	quantidade	de	calor	Q	que	deve	ser	trocada	para	que	haja	uma	variação	ΔT de 
temperatura em um sistema de massa m.	Quando	há	mudança	de	fase,	usamos	Q = 
M ⋅ L,	em	que	L	é	o	calor	latente.
•	 Como	diferenciar	os	três	mecanismos	de	transferência	de	calor:	condução	(transfe-
rência	de	calor,	devido	à	vibração	de	moléculas	e	átomos),	convecção	(transferência	
de	calor	na	presença	do	movimento	macroscópico	de	fluidos)	e	radiação	(transferên-
cia	de	calor	na	forma	de	ondas	eletromagnéticas,	que	independe	de	um	meio	para	se	
propagar).
•	 Podemos	classificar	a	convecção	em:	convecção	natural	(ou	livre)	ou	forçada,	se	o	
movimento	do	fluido	for	espontâneo	ou	não;	e	convecção	interna	ou	externa,	se	o	
escoamento	do	fluido	ocorrer	dentro	de	um	conduto	ou	não.
•	 As	equações	fenomenológicas	que	descrevem	matematicamente	os	mecanismos	de	
transferência	de	calor:	a	lei	de	Fourier																																							,	para	a	condução	térmica;	 
a	lei	de	Newton	do	resfriamento																																								,	para	a	convecção;	e	a	lei	 
de	Stefan-Boltzmann																																					,	para	radiação	térmica,	em	que	0 ≤ ε ≤ 1.
•	 Duas	importantes	características	dos	materiais	para	a	condução	de	calor:	a	conduti-
vidade	térmica	(k)	e	a	difusividade	térmica																							.	A	condutividade	representa	
a	capacidade	do	material	de	conduzir	calor	(quanto	maior	k,	mais	condutor	é	o	ma-
terial),	enquanto	a	difusividade	é	a	 razão	entre	o	calor	conduzido	e	o	armazenado	
(quanto	maior	a,	o	material	é	mais	capaz	de	conduzir	calor	do	que	armazená-lo).	No	
SI,	as	unidades	são:	[k] = W/(m ⋅ K) e [α] = m2/s.
223
•	 Na	convecção,	h	é	o	chamado	coeficiente	de	transferência	de	calor	por	convecção,	
que	tem	unidade	W/(m2 ⋅ K)	no	SI.
•	 É	 possível	 fazermos	 uma	 analogia	 entre	 circuitos	 elétricos	 e	 térmicos.	 Dessa	 com-
paração,	surge	o	conceito	de	resistência	térmica.	Para	condução,																									 ,	 
já	para	convecção,																														.	Com	isso,	podemos	reescrever	tanto	a	lei	de	Fou- 
rier																																		quanto	a	lei	de	Newton	do	resfriamento																																.
•	 Como	resolver	problemas	sobre	transferência	de	calor,	empregando	o	conceito	de	re-
sistência	térmica,	que	pode	ser	utilizado	para	facilitar	e	simplificar	diversos	sistemas	
térmicos,	tanto	em	série	quanto	em	paralelo.
•	 A	definição	de	coeficiente	global	de	transferência	de	calor				 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 ,	que	 
tem unidade W/(m2 ⋅ K)	no	SI.
•	 Dois	números	adimensionais	muito	importantes	para	o	equacionamento	e	o	enten-
dimento	da	convecção:	o	número	de	Nusselt	 (Nu = h ⋅ Lc/k e o número de Prandtl 
 .	Quanto	maior	Nu,	maior	o	calor	trocado	entre	o	fluido	e	o	ambiente	
por	convecção	diante	da	transferência	de	calor	obtida	por	condução.	Já	Pr compara 
a	difusão	de	momento	com	a	difusão	térmica.
•	 Assim	como	existe	a	camada	 limite	hidrodinâmica	na	mecânica	dos	fluidos,	existe	
também	a	camada	limite	térmica	na	transferência	de	calor.	Ela	é	formada	pelos	pon-
tos	em	que	a	temperatura	do	escoamento	de	um	fluido	é	afetada	pela	temperatura	
da	superfície	onde	o	fluido	escoa.
•	 Aletas:	são	superfícies	estendidas	de	uma	dada	geometria,	geralmente	usadas	para	
refrigeração.	Essas	superfícies	garantem	uma	maior	área	de	troca	térmica,	favore-
cendo	o	aumento	da	transferência	de	calor	e	melhorando	a	refrigeração.
•	 Corpo	negro	é	uma	superfície	ideal	(hipotética),	capaz	de	emitir	o	máximo	de	radia-
ção	térmica.	Isso	pode	ser	aplicado	na	lei	de	Stefan-Boltzmann,	fazendo	ε = 1	(emis-
sividade	da	superfpicie	máxima),	de	tal	forma																																				.
•	 Quando	a	temperatura	de	uma	vizinhança	isotérmica	é	considerada,	a	lei	de	Stefan-
-Boltzmann	pode	ser	escrita	como																																																	.
( )
224
AUTOATIVIDADE
1	 O	telhado	de	uma	casa	apresenta	dimensões	7,5	m	×	10,0	m,	com	0,30	m	de	espessu-
ra,	e	consiste,	basicamente,	em	uma	placa	plana	de	concreto	(k = 0,8 W/m ⋅ K).	Esse	
telhado	conta	com	um	sistema	de	aquecimento	elétrico	que,	ao	longo	de	uma	noite	
(período	de	10	horas),	é	capaz	de	manter	a	temperatura	da	sua	superfície	interior	em	
18	°C,	enquanto	a	superfície	exterior	é	mantida	em	6	°C.	Sobre	o	custo	da	perda	de	
calor	através	do	telhado	(considere	R$	0,42/kWh),	assinale	a	alternativa	CORRETA:
Fonte: adaptada de Çengel; Ghajar (2012)
a)	 (			)	 R$	3,03.
b)	 (			)	 R$	10,08.
c)	 (			)	 R$	30,24.
d)	 (			)	 R$	100,80.
2	 Com	base	no	exemplo/problema	dajanela	de	painel	duplo,	considerando	devidamen-
te	os	efeitos	convectivos	no	interior	e	exterior,	considere	que	os	painéis	têm	1,0	m	de	
altura	por	1,5	m	de	largura	e	estão	dispostos	como	esquematizado	na	figura	a	seguir.	
Adote kvidro = 0,78 W/(m ⋅ K) e kar = 0,026 W/(m ⋅ K).
Fonte: adaptada de Çengel; Ghajar (2012)
225
3	 Considere	a	parede	plana	composta,	apresentada	na	figura	a	seguir:
Fonte: os autores
No	material	A,	ocorre	geração	de	calor	uniforme	 (q = 1,5	 ⋅	 106	W/m3) e sua superfície 
interna	está	perfeitamente	isolada.	A	superfície	B,	que	não	apresenta	geração	de	calor,	
é	resfriada	por	uma	corrente	de	água	a	25	°C.	Determine	as	temperaturas	T0, T1 e T2.	
Considere	uma	área	superficial	unitária	(A = 1 m2).
4	 Um	engenheiro	deseja	manter	o	interior	de	uma	sala	a	uma	temperatura	de	20	°C.	
Considerou	que	a	temperatura	média	externa	à	sala	é	de	35	°C	e	que	o	fluxo	de	calor	
trocado	deve	ser	 105	W/m2,	para	que	suas	exigências	sejam	atendidas.	A	tabela	a	
seguir	mostra	alguns	dos	materiais	que	podem	ser	usados	para	construir	a	parede:
Fonte: adaptada de ABNT (2005, p. 8)
Sabendo	que	a	parede	será	construída	com	uma	espessura	de	20	cm,	para	que	a	sala	
seja	mantida	à	temperatura	desejada	nessas	condições,	sobre	o	material	que	o	enge-
nheiro	deve	escolher	para	compor	a	parede,	assinale	a	alternativa	CORRETA:	
Material Condutividade térmica (W ⋅ m-1 ⋅ K-1)
Concreto 1,40
Pedra natural 1,00
Placa de madeira prensada 0,10
Placa com espuma rígida de poliuretano 0,03
226
a)	 (			)	 Concreto.
b)	 (			)	 Pedra	natural.
c)	 (			)	 Placa	de	madeira	prensada.
d)	 (			)	 Não	é	possível	responder,	pois	a	área	da	parede	não	foi	informada.	Contudo,	a	
melhor	opção	é	usar	a	placa	com	espuma	de	poliuretano,	por	ser	o	material	com	
menor	condutividade	térmica	(maior	resistência	à	condução).
5	 Sabendo	que	duas	placas	idênticas,	retangulares,	de	comprimento	L,	estão	dispostas	
paralelamente	uma	sobra	a	outra,	porém	afastadas	a	uma	distância	d ≪ L.	Ambas	
as	placas	são	feitas	do	mesmo	material,	 tendo	comportamento	de	corpo	negro.	A	
primeira placa tem temperatura T1,	 enquanto	 a	 segunda,	T2.	 Sobre	 o	processo	de	
transferência	de	calor	por	radiação	entre	essas	placas,	analise	as	sentenças	a	seguir:
I-	 Se	T1 > T2,	a	lei	de	Stefan-Boltzmann	a	ser	usada	no	cálculo	da	taxa	de	calor	trocado	
por	radiação	será																																												,	em	que	as	unidades	de	temperatura	de- 
vem	estar	obrigatoriamente	em	Kelvin.
II-	 A	taxa	líquida	de	transferência	de	calor	será	zero,	se	T1 = T2, embora as duas placas 
ainda	emitam	radiação	térmica.
III-	 A	taxa	de	calor	depende	das	emissividades	dessas	placas	(ε ≠ 1),	porém	independe	
das	propriedades	do	meio,	seja	ele	qual	for.
Assinale	a	alternativa	CORRETA:
a)	 (			)	 As	sentenças	I	e	II	estão	corretas.
b)	 (			)	 As	sentenças	I	e	III	estão	corretas.
c)	 (			)	 As	sentenças	II	e	III	estão	corretas.
d)	 (			)	 Somente	a	sentença	II	está	correta.
227
TÓPICO 3 — 
TROCADORES DE CALOR
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Anteriormente,	aprendemos	os	mecanismos	de	transferência	de	calor	e	como	
equacioná-los	 para	 resolver	 problemas	 de	 interesse	 da	 Engenharia.	 Neste	 tema	 de	
aprendizagem,	dedicaremos	nosso	estudo	aos	chamados	trocadores	de	calor,	que	são	
equipamentos	 industriais	utilizados	para	promover	a	troca	térmica	entre	dois	fluidos.	
Assim,	aplicaremos,	nesses	equipamentos,	os	fundamentos	(principalmente	sobre	con-
dução	e	convecção)	já	aprendidos,	a	fim	de	dominarmos	a	física	sobre	transferência	de	
calor	que	os	rege.	
Para	isso,	é	necessário	identificarmos	alguns	modelos	de	trocadores	de	calor,	
como	os	 trocadores	 tubo	duplo,	 casco	 e	 tubo,	 e	 de	placas.	Após	 entendermos	 suas	
diferenças,	passaremos	para	o	equacionamento	da	transferência	de	calor	aplicado	a	
trocadores.	Entre	outras	informações,	explicaremos	a	importância	da	média	logarítimica	
da	temperatura	e	como	usar	o	coeficiente	global	de	troca	térmica,	que	já	definimos.	Por	
fim,	resolveremos	alguns	exemplos	e	discutiremos	alguns	esclarecimentos	adicionais	
pertinentes	ao	tema.	
2 TIPOS DE TROCADORES DE CALOR
Trocadores de calor são equipamentos bastante utilizados na 
indústria para promover a troca térmica entre dois fluidos. Des-
se modo, equipamentos que aquecem uma corrente através de 
fogo direto, resistências elétricas e demais processos são chama-
dos apenas de aquecedores, pois não envolvem duas correntes 
de fluidos.
NOTA
Evidentemente,	para	que	haja	troca	térmica,	é	necessário	ter	diferença	de	tem-
peratura	entre	os	dois	fluidos.	Assim,	um	trocador	de	calor	envolve	um	fluido	quente	
(aquele	que	fornece	calor)	e	um	fluido	frio	(aquele	que	recebe	calor).	Apesar	de	parecer	
óbvio,	isso	tem	implicações	significativas	no	desempenho	energético	de	um	processo,	
pois	o	calor	pode	ser	recuperado.
228
Para	deixar	esse	conceito	mais	claro,	podemos	 imaginar	a	seguinte	situação:	
tem-se	duas	correntes,	A	e	B.	A	corrente	A	está	a	uma	temperatura	de	100	°C	e	precisa	
ser	resfriada.	Paralelamente,	a	corrente	B	está	a	uma	temperatura	de	30	°C	e	precisa	
ser	 aquecida.	 Então,	 sendo	a	 corrente	A	o	fluido	quente	e	 a	 corrente	B	o	fluido	 frio,	
um	trocador	de	calor	pode	ser	utilizado	para	recuperar	parte	da	energia	da	corrente	A,	
transferindo-a	para	a	corrente	B.	Essa	manobra	 leva	a	uma	economia	de	energia	no	
processo,	reduzindo	a	demanda	de	correntes	de	utilidades	(água	de	resfriamento	e	va-
por	de	aquecimento,	por	exemplo).
Podemos	notar	que	diversos	equipamentos,	apesar	de	serem	frequentemente	
chamados	por	outros	nomes,	são	essencialmente	trocadores	de	calor,	como	os	con-
densadores	e	os	refervedores	de	colunas	de	destilação,	que	promovem	troca	de	calor	
latente,	em	geral,	utilizando	água	(fluido	frio	do	condensador)	e	vapor	(fluido	quente	do	
refervedor).
Dito	isso,	nosso	foco	estará	mais	direcionado	nos	trocadores	de	calor	que	pro-
movem	troca	térmica	apenas	entre	correntes	de	processo	(ou	seja,	sem	o	uso	de	cor-
rentes	de	utilidades	e	outros	mecanismos,	não	englobando	os	equipamentos	mencio-
nados	anteriormente),	os	quais	são	comercialmente	chamados	de	trocadores	de	calor,	
de	fato.
Para entender como são as estruturas de algumas trocadores de calor, observe a figura 
a seguir:
Figura – Exemplos de trocadores de calor na indústria
INTERESSANTE
229
Fonte: https://www.incase.com.br/trocador-calor-industrial. Acesso em: 31 mar. 2023.
Geralmente,	a	transferência	de	calor	em	trocadores	acontece	por	meio	de	dois	
mecanismos:	pela	convecção	em	cada	fluido	e	pela	condução	na	parede	que	os	separa.	
Como	estudamos,	a	área	de	troca	térmica	é	um	aspecto-chave	nesse	fenômeno	(de-
vemos	nos	lembrar	das	equações	da	lei	de	Fourier	da	condução	e	da	lei	de	Newton	do	
resfriamento),	de	modo	que	conhecer	a	configuração	estrutural	dos	trocadores	de	calor	
é	fundamental	para	uma	análise	do	seu	funcionamento	e	desempenho.
Antes	de	classificarmos	os	principais	tipos	de	trocadores	existentes,	precisa-
mos	ponderar	o	contexto	em	que	nos	encontramos:	a	indústria,	em	geral,	trabalha	com	
diversos	fluidos,	cada	um	com	suas	propriedades	(como	viscosidade,	densidade	e	ca-
lor	específico).	Ainda,	cada	processo	apresenta	uma	dada	finalidade	(por	exemplo,	para	
produção	alimentícia,	química	ou	farmacêutica),	e	o	engenheiro	não	deve	estar	somente	
preocupado	com	o	desempenho	e	lucratividade	do	processo,	mas	também	com	relação	
a	aspectos	como	segurança,	viabilidade	técnica,	necessidade	de	manutenção	dos	equi-
pamentos	e	muitos	outros	detalhes	intrínsecos	a	cada	indústria.
Com	isso	em	mente,	é	razoável	concluirmos	que	diferentes	configurações	de	
processos	e	equipamentos	são	criadas	para	melhor	atender	a	necessidades	específicas.	
Naturalmente,	isso	também	é	válido	para	os	trocadores	de	calor,	sendo	que	sua	prin-
https://www.incase.com.br/trocador-calor-industrial
230
cipal	diferenciação	é	dada	em	termos	de	sua	geometria,	destacando-se	os	trocadores	
dos	tipos:	tubo	duplo	(double pipe),	casco	e	tubo	(shell and tube)	e	de	placas	(plate).	
O	modelo	mais	simples	de	trocadorde	calor	é	o	chamado	trocador	de	tubo	duplo,	que	
consiste,	essencialmente,	em	dois	tubos	concêntricos	(Figura	46),	em	que	um	dos	flui-
dos	escoa	pelo	tubo	de	diâmetro	menor	e	o	outro	escoa	pelo	espaço	anular	entre	os	dois	
tubos.	Geralmente,	esse	tipo	de	trocador	apresenta	dois	trechos	retos	com	conexões	
nas	extremidades	dos	tubos.
Figura 46 – Trocador de calor tubo duplo
Fonte: Araújo (2002, p. 7)
Podemos	observar,	na	Figura	46,	que	não	há	mistura	entre	os	dois	fluidos,	de	
modo	que	a	transferência	de	calor	ocorre	através	da	parede	do	tubo	interno.	Essa	for-
mação	estrutural	em	“U”	é,	às	vezes,	chamada	de	grampo	(em	inglês,	hairpin), e, co-
nectando	vários	 destes	 em	 sequência,	 pode-se	 alcançar	 uma	 área	 de	 troca	 térmica	
considerável.
Há duas formas de escoamento são possíveis: o escoamento 
paralelo, em que ambos os fluidos entram no trocador pela 
mesma extremidade ou o escoamento contracorrente, em 
que os fluidos entram no trocador por extremidades opostas 
entre si. Talvez, não seja imediatamente intuitivo, mas é crucial 
percebermos que o desempenho e o funcionamento do troca-
dor serão diferentes para os dois tipos de escoamento.
Para o escoamento paralelo, as temperaturas dos dois fluidos 
tendem a se aproximar, e a diferença de temperatura, ao lon-
go do trocador, diminui significativamente. Por outro lado, para 
o escoamento contracorrente, o fluido frio pode sair do equi-
pamento mais quente do que o próprio fluido quente sai, e as 
diferenças de temperatura entre os dois fluidos, ao longo do tro-
cador, apresentam menor variação.
IMPORTANTE
231
A	Figura	47	representa,	de	forma	simplificada,	o	escoamento	paralelo	e	contra-
corrente	em	trocadores.	Nos	diagramas	de	temperatura,	a	seta	nas	curvas	serve	para	
indicar	a	direção	dos	escoamentos.
Figura 47 – Arranjos de escoamento em trocadores de tubo duplo e seus perfis de temperatura associados
Fonte: Çengel; Cimbala (2015, p. 630)
A Escoamento	paralelo B Escoamento	contracorrente
Os	trocadores	de	tubo	duplo	se	destacam	pela	sua	facilidade	de	construção,	
manutenção	e	ampliação	da	área	de	troca	térmica,	sendo,	em	geral,	construídos	em	
dimensões	padronizadas,	chegando	a	ter,	comumente,	de	1,5	a	7,5	metros	de	compri-
mento.	Entretanto,	há	outros	modelos	de	trocadores	que	ocupam	menos	espaço	físico	
e	fornecem	maior	área	de	troca	térmica,	de	modo	que	os	trocadores	de	tubo	duplo	cos-
tumam	ser	economicamente	viáveis	quando	os	demais	não	são	 interessantes	e	para	
áreas	de	troca	térmica	de	até	30	m².
Um	segundo	tipo	de	trocador	de	calor,	um	dos	mais	comumente	encontrados	
em	indústrias,	é	o	trocador	casco	e	tubo.	Como	o	nome	sugere,	esse	tipo	de	equipa-
mento	de	troca	térmica	possui	diversos	tubos	(até	mesmo	centenas)	colocados	parale-
232
lamente	ao	eixo	longitudinal	de	um	casco	cilíndrico	(Figura	48).	A	transferência	de	calor	
ocorre	através	da	parede	desses	tubos,	em	que	um	fluido	escoa	por	dentro	deles	e	o	ou-
tro	percorre	o	exterior	dos	tubos	ao	longo	da	casca.	É	comum	classificá-los	com	relação	
ao número de passes	que	acontecem	no	casco	e	nos	tubos,	como	mostra	a	Figura	48.
Figura 48 – Diferentes configurações de trocadores de calor casco e tubo
Fonte: Çengel; Cimbala (2015, p. 632)
Evidentemente,	as	representações	anteriores	são	bastante	simplistas,	do	ponto	
de	vista	estrutural	do	equipamento.	As	extremidades	dos	tubos	são,	ainda,	presas	aos	
chamados	espelhos	(placas	perfuradas),	em	que	cada	furo	corresponde	a	um	tubo	do	
feixe.	Dentro	do	casco,	podem,	também,	ser	colocadas	as	chamadas	chicanas	–	placas	
que	são	atravessadas	pelos	tubos	e	que	servem	tanto	para	direcionar	o	escoamento	do	
fluido	no	casco	quanto	para	dar	suporte	estrutural	aos	tubos.	Além	disso,	as	chicanas	
têm	a	função	de	melhorar	a	transferência	de	calor	entre	os	fluidos	(Figura	49).
Figura 49 – Representação das partes constituintes de um trocador casco e tubos
Fonte: Araújo (2002, p. 16)
233
O	ponto	forte	desse	modelo	é	que	ele	pode	ser	projetado	para	extensas	faixas	
de	pressão,	temperatura	e	vazão,	podendo	alcançar	grandes	áreas	de	troca	térmica	(até	
acima	de	5.000	m²).	Em	geral,	é	o	modelo	de	trocador	mais	versátil	e,	por	isso,	a	sua	po-
pularidade	na	indústria.	Algumas	exceções	ao	seu	uso	são,	por	exemplo,	em	automóveis	
e	aeronaves,	sobretudo	devido	ao	tamanho	e	ao	peso	destes	tipos	de	trocador.
O	terceiro	e	último	tipo	de	trocador	que	iremos	tratar	aqui	é	o	chamado	trocador	
de	calor	de	placas,	utilizado,	especialmente,	na	indústria	de	alimentos,	pela	facilidade	
de	manutenção	e	limpeza.	Esse	trocador	consiste,	essencialmente,	em	uma	sequência	
de	placas,	 com	os	fluidos	escoando	 intercaladamente	entre	 elas,	 de	modo	que	uma	
camada	de	fluido	frio	troca	calor	com	duas	camadas	de	fluido	quente,	o	que	leva	a	uma	
troca	térmica	bastante	eficiente.	Geralmente,	são	utilizados	quando	os	dois	fluidos	são	
líquidos	em	pressões	próximas,	destacando-se	pela	facilidade	em	aumentar	ou	diminuir	
a	área	de	troca	térmica,	se	necessário	(pela	adição	ou	remoção	de	placas).	Entretanto,	
são	equipamentos	que	não	suportam	pressões	muito	altas,	quando	comparados	aos	
trocadores	tubulares.
Para visualizar as estruturas típicas de trocador casco e tubo, observe a figura a seguir:
Figura – Exemplos de trocador de calor casco e tubo
INTERESSANTE
Fonte: https://www.trocadordecalor.com.br/trocador-de-calor-casco-e-tubo. 
Acesso em: 31 mar. 2023.
Para saber mais sobre o processo de funcionamento de um tro-
cador de calor de placas (canal BetaEQ), assista ao vídeo, do canal 
BetaEQ: https://www.youtube.com/watch?v=Jpx_GstLHHM.
DICA
234
3 TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM TROCADORES
Conhecidos	os	principais	tipos	de	trocadores	de	calor	industriais,	abordaremos	
os	fundamentos	dos	cálculos	de	projeto	e	da	análise	de	trocadores	de	calor.	Particu-
larmente,	 nosso	 interesse	 será	 a	 perspectiva	da	 transferência	 de	 calor,	 que	 é	nosso	
objeto	de	estudo	–	os	métodos	de	projeto	completo	de	trocadores	de	calor	são	muito	
extensos	e	complexos	para	serem	abordados	aqui,	cabendo	apenas	às	disciplinas	mais	
específicas.
3.1 MÉDIA LOGARÍTMICA DAS TEMPERATURAS
Como	já	vimos,	utilizamos	a	lei	de	Fourier	da	condução	térmica	e	a	lei	de	Newton	
do	resfriamento	para	descrever	os	fenômenos	de	condução	e	convecção,	respectiva-
mente.	Portanto,	as	equações	que	descrevem	essas	leis	são	(na	forma	integral	para	a	
lei	de	Fourier):
Como	abordado	anteriormente,	ambos	os	mecanismos	estão	baseados	em	di-
ferenças	de	temperatura.	Nos	trocadores	de	calor,	é	importante	percebermos	que	essa	
diferença	de	temperatura	pode	mudar	ao	longo	do	equipamento	(como	foi	demonstrado	
ao	discutirmos	o	escoamento	em	paralelo	ou	contracorrente	–	ver	Figura	47).	Portanto,	é	
evidente	que,	para	avaliar	a	transferência	de	calor	no	trocador,	é	necessário	descrever-
mos	as	diferenças	de	temperaturas	entre	os	fluidos	quente	e	frio	no	interior	do	trocador	
de	alguma	maneira.	Para	isso,	recorreremos	ao	conceito	de	média logarítmica.
Considera-se,	 por	 exemplo,	 um	 trocador	 de	 calor	 puramente	 contracorrente,	
como	o	representado	de	forma	simplificada	na	Figura	50.
Figura 50 – Trocador de calor com escoamento puramente contracorrente
Fonte: os autores
235
O	terminal	no	qual	entra	a	corrente	quente	e	sai	a	corrente	fria	aquecida	é	cha-
mado	 terminal	 quente.	 Denominando-se	 θ1 a diferença de temperatura entre essas 
duas	correntes,	então,	a	diferença	de	temperaturas	no	terminal	quente	é	dada	por:
No	outro	extremo	do	trocador	está	o	terminal	frio,	no	qual	entra	a	corrente	fria	e	
sai	a	corrente	quente	resfriada.	A	diferença	de	temperaturas	entre	essas	duas	corren-
tes,	no	terminal	frio,	será	dita	θ2, sendo dada por:
A integração entre as equações de projeto se faz de forma que a transferência de calor 
esteja relacionada com a média logarítmica das diferenças de temperaturas (MLDT), a 
qual é calculada utilizando as diferenças de temperatura nos extremos do trocador (θ1 e 
θ2), dada por:
Aqui, definimos MLDT com base no escoamento contracorrente. Exa-
tamente o mesmoraciocínio poderia ser desenvolvido para o escoa-
mento em paralelo, sendo diferente apenas no cálculo dos termos θ1 
e θ2, em que o primeiro será a diferença entre as temperaturas de en-
trada e o segundo será na saída, para ambos os fluidos (quente e frio).
NOTA
3.2 COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Como	já	foi	mencionado,	a	transferência	de	calor	em	trocadores	acontece	por	
meio	de	dois	mecanismos:	pela	convecção	em	cada	fluido	e	pela	condução	na	parede	
que	os	 separa.	Anteriormente,	 aprendemos	a	 analisar	 sistemas	de	 troca	 térmica	por	
meio	da	estratégia	dos	circuitos	térmicos.	Naquele	momento,	mencionamos	que	é	con-
veniente	trabalharmos	com	um	coeficiente	global	de	transferência	de	calor	(represen-
tado	pela	letra	“U”),	que,	junto	à	área	de	troca	térmica,	pode	ser	descrito	como	a	resis-
tência	total	do	sistema.
236
Esta	será	exatamente	a	abordagem	que	utilizaremos	com	os	trocadores	de	ca-
lor,	 já	que	a	área	de	troca	térmica	 (A)	é	um	parâmetro	característico	da	estrutura	do	
equipamento	 (conforme	vimos	para	os	diferentes	tipos	de	trocadores	no	 início	deste	
tema	de	aprendizagem).	Assim,	avaliaremos	o	circuito	térmico	associado	a	um	trocador	
de	tubo	duplo,	em	que	um	fluido	percorre	o	interior	do	tubo	e	o	outro	percorre	a	região	
ao	redor	do	tubo.	Consideraremos,	por	exemplo,	que,	no	interior	do	tubo,	está	o	fluido	
quente	(por	consequência,	o	fluido	frio	percorrerá	por	fora	do	tubo).	Podemos	represen-
tar	esse	circuito	como	duas	resistências	de	convecção	e	uma	resistência	de	condução	
entre	elas,	como	mostra	a	Figura	51.
Figura 51 – Circuito térmico associado a um trocador de calor de tubo duplo
Fonte: Çengel; Cimbala (2015, p. 633)
Conhecendo,	também,	a	condutividade	térmica	do	material	do	tubo	(k), o seu 
comprimento	(L)	e	os	seus	diâmetros	interno	e	externo	(Di e D0),	a	resistência	da	parede	
será:
237
Então,	a	resistência	térmica	total	é:
Agora,	 utilizando	 o	 conceito	 de	 coeficiente	 global	 de	 transferência	 de	 calor,	
teremos:
Podemos	notar	 que,	 na	 equação	 anterior,	 temos	 três	 áreas	 representadas.	 É	
evidente	que	a	área	interna	do	tubo	(Ai )	é	diferente	da	área	externa	(A0).	Ao	mesmo	tem-
po,	vimos	que	a	área	A	é	justamente	a	área	de	troca	térmica	característica	da	estrutura	
do	equipamento	–	mas,	afinal,	quem	é	essa	área	de	troca	térmica:	Ai ou A0?	A	resposta	
não	é	tão	intuitiva:	na	verdade,	o	mais	sensato	é	abordarmos	esse	problema	conside-
rando	que	o	trocador	de	calor	apresenta	dois	coeficientes	globais	de	troca	térmica,	Ui e 
U0,	numericamente	diferentes	entre	si,	de	modo	que:
Dessa	 forma,	 se	 conhecermos	 o	 coeficiente	 global	 de	 transferência	 de	 calor	
para	um	determinado	trocador,	é	fundamental	sabermos,	também,	qual	é	a	área	a	que	
ele	diz	respeito.	Dito	isso,	poderemos	desconsiderar	essa	diferença	em	um	caso	especí-
fico:	quando	a	espessura	do	tubo	for	muito	pequena	(de	modo	que	as	áreas	Ai e A0	serão	
quase	as	mesmas)	e	o	material	do	tubo	for	um	excelente	condutor	de	calor.	Nessas	con-
dições,	a	resistência	térmica	da	parede	(Rparede)	tenderá	a	zero,	podendo	ser	desprezada.	
Isso	simplifica	a	equação	da	resistência	total	do	sistema	para	a	seguinte	forma:
Portanto,	nesse	caso,	também	podemos	dizer	que:
Esta	é	uma	aproximação	razoável	para	muitos	trocadores	de	calor.	
238
Na	Tabela	5,	são	apresentados	alguns	valores	representativos	para	os	coeficien-
tes	globais	de	troca	térmica	de	trocadores	típicos	envolvendo	diferentes	pares	de	fluidos.
Tabela 5 – Valores representativos do coeficiente global de transferência de calor em trocadores de calor
Fonte: Çengel; Cimbala (2015, p. 634)
Fluidos de processo
Água	–	água 850	–	1.700	
Água	–	óleo	 100	–	350
Água	–	gasolina	ou	querosene 300	–	1.000
Aquecedores	de	água	de	alimentação 1.000	–	8.500
Vapor	–	óleo	combustível	leve 200	–	400
Vapor	–	óleo	combustível	pesado 50	–	200
Condensador	de	vapor 1.000	–	6.000
Condensador	de	freon	(resfriado	à	água) 300	–	1.000
Condensador	de	amônia	(resfriado	à	água) 800	–	1.400
Condensadores	de	álcool	(resfriados	à	água) 250	–	700
Gás	–	gás	 10	–	40
Água	–	ar	em	tubos	aletados	 
(água	nos	tubos)
30	–	60	(para	superfície	do	lado	do	ar)
400	–	850	(para	superfície	do	lado	da	água)
Vapor	–	ar	em	tubos	aletados	 
(vapor	nos	tubos)	
30	–	300	(para	superfície	do	lado	do	ar)
400	–	4.000	(para	superfície	do	lado	do	vapor)
Conhecendo	o	cálculo	de	MLDT	e	o	conceito	de	coeficiente	global	de	transfe-
rência	de	calor,	 temos	 recursos	 suficientes	para	começarmos	a	 lidar	 com	problemas	
envolvendo	trocadores	de	calor.	Antes	disso,	discutiremos	ainda	mais	um	aspecto	im-
portante	acerca	desses	equipamentos:	a	incrustação.
Incrustação: depósitos de materiais indesejáveis nas superfícies de troca térmica, que 
acarretam aumento da resistência à transferência de calor no equipamento.
Para ilustrar esse efeito, por exemplo, podemos citar um bule que é utilizado, com fre-
quência, para esquentar água. Se não for feita a devida limpeza, é possível identificarmos 
que alguns minerais (como o cálcio) se acumulam sobre as superfícies. O mesmo ocorre 
com os trocadores – seja por sedimentação, corrosão, cristalização ou outros mecanis-
mos. Essas camadas de sólidos aumentam a resistência térmica da parede dos tubos, 
prejudicando o desempenho do equipamento.
ATENÇÃO
239
Figura – Exemplo de incrustação em trocador
Fonte: https://www.termotek.com.br/imagens/informacoes/
limpeza-quimica-trocador-calor-05.jpg. Acesso em: 31 mar. 2023.
Em	termos	matemáticos,	podemos	entender	as	camadas	de	incrustação	como	
termos	adicionais	de	resistência	térmica.	Geralmente,	utilizamos	a	letra	“f”	para	indicar	
essas	resistências	(devido	ao	termo	em	inglês	para	incrustação	–	fouling).	Dessa	forma,	
sendo Rfi e Rf0	os	chamados	fatores de incrustação	das	superfícies	interna	e	externa,	
respectivamente,	podemos	ajustar	a	expressão	para	o	cálculo	da	resistência	total	da	
seguinte forma:
Na	Tabela	 6,	 são	 apresentados	 alguns	 valores	 representativos	 de	 fatores	 de	
incrustação	por	unidade	de	área.	Evidentemente,	esses	valores	servem	apenas	como	
estimativa	para	prever	os	possíveis	efeitos	na	transferência	de	calor.	Tabelas	mais	com-
pletas	e	detalhadas	podem	ser	encontradas	em	manuais	mais	específicos.
240
Tabela 6 – Fatores de incrustação representativos por unidade de área
Fonte: Çengel; Cimbala (2015, p. 636)
Fluido
Água	(destilada,	marinha,	fluvial)
0,0001	(abaixo	de	50	°C)
0,0002	(acima	de	50	°C)
Óleo	combustível 0,0009
Vapor 0,0001
Refrigerantes	líquidos 0,0002
Refrigerantes gasosos 0,0004
Vapores	de	álcool 0,0001
Ar 0,0004
Após	 termos	 os	 conceitos	 básicos	 definidos,	 podemos	 resolver	 um	 exemplo	
para	 ilustrar	esses	cálculos,	 sempre	considerando	condições	de	 regime	permanente,	
propriedades	constantes,	com	escoamento	completamente	desenvolvido	e	sem	perda	
de	carga.
Para	um	trocador	de	calor	tubo	duplo,	feito	de	aço	inoxidável	(k = 15,1 W/m ⋅ K), 
cujos	tubos	possuem	um	diâmetro	interno	Di	=	1,7	cm	e	diâmetro	externo	D0	=	2,0	cm,	
sabe-se	que	os	coeficientes	de	transferência	de	calor	são	hi = 750 W/m² ⋅ K na superfície 
interna e h0 = 1.250 W/m2 ⋅ K	na	externa.	O	fluido	quente	entra	a	110	°C	e	sai	a	70	°C,	en-
quanto	o	fluido	frio	entra	a	30	°C	e	sai	a	60	°C,	operando	em	contracorrente.	Admitindo	
os	fatores	de	incrustação	Rfi = 0,0003 m² ⋅ K/W e Rf0 = 0,0001 m² ⋅ K/W, como podemos 
determinar:	a	resistência	térmica	total	do	trocador	de	calor	por	unidade	de	comprimento	
(L	=	1	m);	os	coeficientes	globais	de	transferência	de	calor	Ui e U0;	e	a	média	logarítmica	
das	diferenças	de	temperatura	ao	longo	do	equipamento	(MLDT)?
Solução:	o	primeiro	passo	é	fazer	uma	representação	do	sistema	(Figura	52).
241
Figura 52 – Representação ilustrativa do exemplo trabalhado sobre trocador de calor tubo duplo
Fonte: os autores
Para	responder	à	primeira	questão,	basta	resolvermos	a	equação:
Os	únicos	parâmetros	não	conhecidos	são	as	áreas	Ai e A0,	que	podem	ser	facil-
mente calculadas como a superfície de um cilindro:
Então,resolvendo	a	equação:
242
Em	posse	deste	valor,	basta	 recorrermos	à	definição	do	coeficiente	global	de	
transferência	de	calor	para	circuitos	térmicos	para	respondermos	ao	segundo	item	pe-
dido	no	exemplo:
Enfim,	para	o	terceiro	 item	solicitado,	precisamos	somente	das	temperaturas	
de	entrada	e	saída	dos	fluidos	quente	e	frio,	seguindo	a	definição	de	MLDT	(podemos	
observar	que	o	trocador	opera	em	contracorrente):
Assim,	calculamos	alguns	dos	principais	parâmetros	acerca	de	trocadores	de	
calor.	É	um	bom	ponto	de	partida	para	aprimorar	os	conhecimentos	acerca	desse	con-
ceito	na	Engenharia.	
Acadêmico, como sugestão, procure levar o seu estudo um passo 
adiante: refaça o exercício do exemplo apresentado sem conside-
rar os fatores de incrustação (ou seja, como se o trocador fosse 
novo, com Rfi = Rf0 = 0) e observe a diferença obtida nos coeficien-
tes globais de transferência de calor. Você notará que o impacto 
das incrustações é considerável e não pode ser menosprezado.
DICA
243
A essa altura, considerando trocadores de tubo duplo ou de casco e 
tubo, cabe o questionamento: se temos um fluido quente e um fluido 
frio, qual deles deve escoar pelo interior do tubo? Não existe uma 
resposta definitiva para essa pergunta, pois vários aspectos devem 
ser considerados. Costuma-se, por exemplo, alocar fluidos corrosivos 
nos tubos, os quais deverão ser feitos de materiais resistentes à cor-
rosão (geralmente mais caros). Se fosse colocado no casco, tanto os 
tubos quanto o casco estariam sujeitos à corrosão. Outros aspectos, 
como incrustação, pressão e turbulência, também são chaves para 
essa decisão (ARAÚJO, 2002).
ATENÇÃO
4 ANÁLISE DE TROCADORES DE CALOR
Chegamos	à	etapa	final	do	nosso	estudo	sobre	trocadores	de	calor.	Até	aqui,	
discutimos	o	funcionamento	dos	trocadores	em	seu	nível	mais	fundamental,	no	con-
texto	dos	fenômenos	de	transporte.	Na	prática,	o	engenheiro	estará,	geralmente,	preo-
cupado	com	duas	questões:	projetar/selecionar	um	trocador	capaz	de	atender	a	uma	
determinada	demanda	do	processo	ou,	então,	prever	as	temperaturas	de	saída	das	cor-
rentes	quente	e	fria	em	um	trocador	 já	definido.	Este	segundo	caso	é	muito	comum	
quando	as	 indústrias	 já	possuem	trocadores	de	calor	antigos	e	que	podem	ser	apro-
veitados	em	outra	etapa	do	processo.	Saber	identificar	o	trocador	de	calor	que	melhor	
atende	à	necessidade	da	planta	é	uma	tarefa	clássica	de	um	engenheiro	que	trabalha	
com	processos	industriais.
Como	já	foi	mencionado,	o	projeto	completo	de	trocadores	de	calor	é	uma	ativi-
dade	bastante	complexa.	Aqui,	discutiremos	o	método	MLDT	de	análise	de	trocadores,	
que	permite	determinar	 um	trocador	 de	 forma	 simples	 com	os	 conceitos	que	vistos	
anteriormente.	
Como	exemplo,	temos:	em	determinada	indústria,	um	reservatório	contém	água	
a	25	°C.	Para	ser	utilizada	no	processo,	é	necessário	que	ela	seja	aquecida	até	75	°C,	
com	uma	vazão	de	1,5	kg/s.	O	engenheiro	opta	pelo	uso	de	um	aquecedor,	que	consiste	
em	um	trocador	de	calor	de	tubo	duplo	em	contracorrente,	em	que	o	fluido	quente	será	
vapor	superaquecido	a	150	°C,	disponível	a	uma	vazão	de	2	kg/s.	O	tubo	interno	possui	
parede	de	espessura	muito	pequena,	de	modo	que	o	seu	diâmetro	(interno	e	externo)	
pode	 ser	 considerado	 como	2,0	 cm.	Como	podemos	determinar	 o	 comprimento	ne-
cessário	para	esse	trocador	de	calor,	admitindo	que,	para	essa	aplicação,	o	coeficiente	
global	de	transferência	de	calor	é	de	1.000 W/(m² ⋅ K).	Deve-se	adotar:	cágua = 4,18 kJ/(kg 
⋅ K) e cvapor = 2,00 kJ/(kg ⋅ K).
244
Solução:	primeiramente,	podemos	notar	que	não	conhecemos	a	temperatura	
de	saída	do	fluido	quente,	informação	que	é	necessária	para	o	cálculo	de	MLDT.	Em	se-
guida,	percebemos	que	trabalharemos	com	vazões	mássicas,	de	modo	que	os	calores	
específicos	podem	ser	utilizados	para	calcular	a	quantidade	de	calor	trocado	entre	os	
fluidos.	Vimos	essa	definição	no	Tema	de	Aprendizagem	2,	dada	pela	equação	(na	forma	
de	vazão):
Com	isso,	podemos	avaliar	o	calor	que	deve	ser	fornecido	ao	fluido	frio:
Respeitando	a	conservação	de	energia,	esta	deve	ser	a	taxa	de	calor	cedido	pelo	
fluido	quente.	Então,	podemos	calcular	a	temperatura	de	saída	do	fluido	quente,	consi-
derando	que	não	há	mudança	de	fase:
Podemos	observar	que	o	sinal	negativo	indica	que	o	calor	saiu	do	fluido	quente	
(a	temperatura	de	saída	tem	que	ser	menor	que	a	de	entrada).	Agora,	o	MLDT	é	facil-
mente	calculado	pela	definição.	Em	contracorrente:
245
Então,	pode-se	calcular	a	área	de	troca	térmica	necessária	para	o	trocador	com	
base	no	conceito	de	coeficiente	global	de	transferência	de	calor:
Por	fim,	sabemos	que	se	trata	de	um	trocador	de	calor	de	tubo	duplo.	Logo,	esta	
área	A	pode	ser	calculada	como	a	área	superficial	de	um	cilindro.	Utilizando	essa	ideia,	
podemos	chegar	ao	comprimento	do	tubo,	que	é	o	nosso	parâmetro	procurado:
Precisamos	analisar	este	resultado	por	um	momento:	para	cumprir	a	troca	tér-
mica	desejada,	é	necessário	que	o	trocador	tenha	mais	de	80	metros	de	comprimento,	
o	que	é	impraticável.	Nesse	caso,	trocadores	de	placas	ou	de	casco	e	tubo	seriam	mais	
adequados.
Como	visto,	é	relativamente	fácil	fazer	estimativas	simples	acerca	dos	parâmetros	
de	um	trocador	de	calor	de	tubo	duplo,	devido,	principalmente,	a	sua	simplicidade	geomé-
trica,	que	facilita	a	descrição	da	transferência	de	calor.	Até	aqui,	nossa	atenção	esteve	vol-
tada para os trocadores de escoamento em contracorrente em trocadores de tubo duplo, 
mas	ideias	semelhantes	podem	ser	trabalhadas	para	os	trocadores	de	casco	e	tubo.
Como	vimos	na	Figura	48,	 sabemos	que	os	 trocadores	de	 casco	 e	 tubo	 são	
classificados	quanto	aos	seus	“passes”;	então,	podemos	definir	 isso	mais	claramente:	
um	passe	é	o	percurso	do	fluido	de	um	lado	a	outro	do	trocador	de	calor.	Se	o	fluido	que	
escoa	pelo	tubo	entra	através	de	um	bocal,	percorre	o	trocador	de	ponta	a	ponta	uma	
única	vez	e	sai	pelo	outro	bocal,	esse	trocador	terá	uma	passagem	ou	um	passe	no	lado	
do	tubo.	O	mesmo	raciocínio	vale	para	o	casco,	mesmo	que	o	percurso	cruze	o	feixe	vá-
rias	vezes.	Por	convenção,	um	trocador	de	calor	casco	e	tubo	n-m	implica	n	passagens	
no	casco	e	m	passagens	no	tubo.
Embora	o	escoamento	puramente	contracorrente	seja	o	tipo	de	escoamento	
que	apresenta	maior	eficiência	para	efeitos	de	troca	térmica,	pode	ser	interessante,	po-
rém,	utilizar	configurações	de	trocadores	de	calor	nas	quais	o	fluido	que	escoa	nos	tubos	
246
possa	passar,	antes	de	sair	do	equipamento,	duas	vezes	no	interior	do	trocador.	Nesse	
caso,	o	equipamento	é	chamado	trocador	1-2.	Ao	analisarmos	os	perfis	de	temperatura,	
podemos	compará-lo	com	um	trocador	1-1	pelo	diagrama	da	Figura	53.
Figura 53 – Perfis de temperatura para um trocador 1-1 e um trocador 1-2
Fonte: os autores
No	primeiro	caso	da	Figura	53,	temos	o	trocador	1-1	em	contracorrente.	A	curva	
superior	representa	a	queda	de	temperatura	da	corrente	quente	ao	longo	do	trocador.	
O	inverso	ocorre	com	a	corrente	fria,	representada	na	curva	inferior.	No	segundo	caso,	
temos	o	trocador	1-2	e	duas	passagens	do	fluido	frio	nos	tubos	do	trocador.	Nessas	con-
dições,	a	corrente	fria	tem	um	comportamento	diferenciado,	sendo	acrescida	até	um	
valor	intermediário	e,	posteriormente,	a	um	outro	valor	mais	elevado.	A	corrente	quente	
tem	um	comportamento	semelhante	ao	primeiro	caso.
Se	houver	duas	passagens	no	lado	tubo,	uma	delas	estará	em	paralelo	com	o	
fluido	do	casco,	enquanto	a	outra	estará	em	contracorrente.	Portanto,	para	o	trocador	
de	calor	1-2,	a	velocidade	do	fluido	será	o	dobro	da	obtida	no	trocador	1-1.	O	aumento	
da	velocidade	acarreta	aumento	do	coeficiente	de	transferência	por	convecção	(h) e do 
coeficiente	global	(U),	resultando	em	menor	área	de	troca	e	promovendo	a	redução	de	
incrustação.	Contudo,	a	perda	de	carga	será	maior,	o	que	pode	dificultar	a	configuração	
da	instalação.
Nas	situações	em	que	os	trocadores	de	calor	apresentam	mais	de	uma	passa-
gem	nos	tubos,	a	verdadeira	diferença	de	temperaturas	já	não	é	mais	calculada	razoa-
velmenteapenas	pelo	método	MLDT,	sendo	necessário	utilizarmos	um	fator	de	correção	
(F)	para	encontrá-la:
247
A	interpretação	física	deste	fator	F	é	a	seguinte:	havendo	mais	de	uma	passa-
gem	nos	tubos,	o	escoamento	é	parcialmente	contracorrente	e	parcialmente	paralelo.	
Com	isso,	se	MLDT	é	a	diferença	média	de	temperatura	no	escoamento	contracorrente	
(o	mais	eficiente	em	termos	de	troca	térmica),	então,	a	diferença	média	real	de	tempe-
ratura	deve	ser	menor	do	que	MLDT.	Por	isso,	o	valor	de	F	varia	de	0	a	1,	adotando	um	
valor	mínimo	de	0,8	–	caso	o	trocador	em	estudo	apresente	valor	de	F	inferior,	seu	uso	é	
inviabilizado	e	busca-se	uma	configuração	melhor,	pois	utilizar	trocadores	com	valores	
de F	abaixo	de	0,75	pode	implicar	problemas	operacionais	no	caso	de	pequenas	varia-
ções	de	temperatura.
O	fator	de	correção	F depende da geometria do trocador de calor e das tempe-
raturas	de	entrada	e	saída	dos	fluidos	quente	e	frio.	
Acadêmico, não nos preocuparemos em mostrar e utilizar esses 
diagramas, mas eles são relativamente simples e podem ser encon-
trados na literatura, como Kern (1980), ou em conteúdos disponi-
bilizados pela Tubular Exchanger Manufacturers Association (TEMA).
NOTA
Dito	isso,	podemos	calcular	a	taxa	de	transferência	de	calor	pela	seguinte	relação:
Esta	equação	será	utilizada	em	um	último	exemplo	prático:	um	trocador	de	cas-
co	tubo	2-4	(leia-se:	duas	passagens	no	casco	e	quatro	passagens	nos	tubos)	é	utili-
zado	para	resfriar	um	óleo	na	temperatura	de	90	°C	para	50	°C,	utilizando	água	como	
fluido	de	resfriamento,	a	qual	entra	no	equipamento	a	30	°C	e	sai	a	60	°C	(Figura	54).	
A	espessura	da	parede	do	tubo	é	muito	fina,	de	modo	que	um	único	diâmetro	pode	ser	
considerado	(D	=	1,5	cm).	Além	disso,	o	comprimento	total	do	tubo	é	de	75	m.	Para	as	va-
zões	empregadas,	essas	condições	de	temperatura	fornecem	coeficientes	convectivos	
de hc = 30 W/m² ⋅ K	para	o	fluido	no	casco	e	ht = 150 W/m² ⋅ K	para	o	fluido	no	interior	dos	
tubos.	Como	podemos	determinar	a	taxa	de	transferência	de	calor	no	trocador?	Após	
um	certo	tempo	de	uso,	uma	incrustação	externa	com	Rf,0 = 0,0006 m² ⋅ K/W	é	formada.	
Qual	a	nova	taxa	de	transferência	de	calor?	Em	ambos	os	casos,	deve-se	adotar	F = 0,91.
Na	Figura	54,	podemos	observar	uma	representação	ilustrativa	do	exemplo	prá-
tico	sobre	o	trocador	de	casco	tubo	2-4.
248
Figura 54 – Representação ilustrativa do exemplo trabalhado sobre trocador de calor casco e tubo
Fonte: os autores
Solução:	primeiramente,	devemos	ter	em	mente	que	o	nosso	objetivo	é	resolver	
a	equação:
Como	já	nos	foi	dado	F,	restam	três	termos	a	serem	determinados.	Começando	
pela	área,	é	razoável	calculá-la	como	a	superfície	de	um	tubo	cilíndrico:
Em	seguida,	como	conhecemos	todas	as	temperaturas	de	operação,	podemos	
calcular	o	MLDT:
Então,	 resta-nos	 calcular	 o	 coeficiente	 global	 de	 troca	 térmica	 do	 trocador.	
Como	a	parede	do	tubo	é	muito	fina,	podemos	desprezar	a	resistência	térmica	da	pare-
de,	de	modo	que	a	seguinte	equação	é	válida:
249
Resolvendo,	temos:
Agora,	basta	substituirmos,	na	equação,	para	calcular	a	taxa	de	transferência	
de calor:
Feito	isso,	devemos	avaliar	o	caso	com	incrustação.	Consideraremos	que	a	área	
e	o	MLDT	são	os	mesmos,	de	modo	que	a	única	diferença	será	no	cálculo	do	coeficiente	
global	de	transferência	de	calor,	em	que	devemos	acrescentar	o	termo	de	resistência	
da	incrustação:
Então:
Como	esperado,	a	taxa	de	transferência	de	calor	diminui	devido	à	presença	da	
incrustação.	Contudo,	essa	queda	foi	relativamente	pequena	–	fato	que	ocorre	princi-
palmente	devido	aos	coeficientes	de	convecção	serem	relativamente	baixos.
Assim,	chegamos	ao	fim	deste	tema	de	aprendizagem,	em	que	utilizamos	os	
conhecimentos	obtidos	anteriormente	para	conhecer	mais	sobre	os	trocadores	de	calor,	
equipamentos	importantíssimos	para	a	indústria	e	para	a	rotina	do	engenheiro.	Obvia-
mente,	um	projeto	completo	de	um	trocador	de	calor	iria	além	da	abordagem	da	trans-
ferência	de	calor:	é	importante	também	avaliar	aspectos,	como	as	perdas	de	cargas	do	
250
processo,	as	limitações	de	espaço	físico,	a	facilidade	de	manutenção	e	limpeza,	a	natu-
reza	dos	fluidos	que	serão	utilizados	(por	exemplo,	quanto	à	corrosão	e	à	incrustação)	
e,	até	mesmo,	a	distância	entre	os	tubos	de	um	feixe,	que	influencia	nos	coeficientes	
convectivos	alcançados.	
Para finalizar o nosso estudo dos fenômenos de transporte, dedica-
remos a Unidade 3 ao estudo da transferência de massa!
ESTUDOS FUTUROS
Para aprender mais sobre trocadores de calor, não deixe de conferir as seguintes 
bibliografias:
• Trocadores de Calor, de Everaldo Cesar da Costa Araujo, que apresenta os funda-
mentos sobre os tipos e o projeto de trocadores de calor, focando principalmente 
nos modelos “casco e tubo”. Escrito com base na experiência de anos ministrando 
o assunto “Trocadores de Calor” para o curso de Engenharia Química da UFSCar, 
este material é referência em diversos cursos de Engenharia no Brasil, sendo um 
excelente recurso para conhecer mais sobre esses equipamentos fundamentais 
para a indústria.
• Processos de Transmissão de Calor, de Donald Q. Kern, publicado na década de 
1950, aborda projetos de trocadores de calor de forma detalhada, com exemplos 
práticos e próximos de casos da indústria, motivo pelo qual foi muito utilizado no 
cotidiano industrial. É historicamente importante por divulgar o conhecido “méto-
do Kern”, que, apesar de não ser um dos mais rigorosos, apresenta uma 
simplicidade, muitas vezes, desejada para um processo tão complexo. 
Definitivamente, trata-se de um clássico sobre projeto de trocadores de 
calor. Indicado para quem busca uma visão particular sobre aplicações 
da transferência de calor na indústria e que pretende aprender sobre 
o método Kern, um dos métodos mais conhecidos para projeto de 
trocador calor. 
DICA
251
LEITURA
COMPLEMENTAR
A TECNOLOGIA PINCH: 
UMA PROPOSTA PARA O CONSUMO SUSTENTÁVEL DE ENERGIA
Wiliam	Souza	Santos
Willyans	Santos	Jesus
Atualmente,	os	combustíveis	fósseis	enfrentam	uma	forte	crise,	devido	ao	con-
tínuo	aumento	na	demanda	e	o	preço	do	petróleo,	e	ao	imenso	prejuízo	que	causam	no	
meio	ambiente,	sendo	este	último	um	dos	fatores	mais	agravantes,	principalmente	em	
se	tratando	do	aquecimento	global	(ESCOBAR	et al.,	2009).	
Devido	às	ameaças	de	novas	empresas	no	ramo	industrial	e	à	elevação	no	preço	
dos	combustíveis,	muitas	organizações	procuram	ferramentas	que	promovam	eficiên-
cia	energética.	Uma	vez	que	o	alto	custo	de	energia	torna	o	custo	final	mais	elevado,	e,	
consequentemente,	o	consumidor	paga	mais	caro	para	adquirir	o	produto.	
Além	disso,	hoje,	os	consumidores	buscam	não	só	produtos	a	preços	baixos	
como	também	aqueles	que	poluam	menos	o	meio	ambiente.	Dessa	forma,	as	empresas	
que	 reduzirem	o	uso	de	 combustíveis	 poluentes	ganharão	destaque	com	essa	nova	
tendência	mercadológica.	No	entanto,	para	isso,	é	necessária	uma	ferramenta	que	per-
mita	redução	desse	consumo	e,	por	consequência,	dos	desperdícios.	Uma	delas	é	a	tec-
nologia Pinch,	que	é	uma	das	mais	usadas,	pois,	além	de	encontrar	o	consumo	mínimo,	
melhora	a	rede	onde	ocorrem	as	trocas	de	calor.	Seu	uso	já	é	presente	em	indústrias	do	
tipo:	química,	petroquímica,	refino	de	petróleo,	papel	e	celulose,	alimentação,	bebidas	e	
metalurgia	(CANADA,	2003).
Existem	outras	ferramentas	alternativas	que	atendem	a	necessidade	de	curto	
prazo,	como	indicadores	de	consumo,	aplicativos	que	gerenciam	o	consumo	e	plane-
jamento	de	consumo.	Contudo,	nenhum	que	abranja	uso	em	longo	prazo.	A	tecnologia	
Pinch	traz	soluções	que	minimizam	os	custos	operacionais,	o	investimento	de	capital	e	
o	tempo	de	esforço	(CANADA,	2003).
Linnhoff	(1982)	propôs	a	tecnologia	Pinch	como	uma	metodologia	para	melho-
rar	a	rede	de	trocadores	de	calor	denominado	método	Pinch.
A	implementação	da	ferramenta	requer	o	investimento	de	um	determinado	ca-
pital,	mas,	se	bem	aplicado,	o	retorno	se	dá	em	curto	prazo	(CANADA,	2003):
252
•	 Economia	no	consumo	de	energia:	10%	a	35%;•	 Economia	no	consumo	de	água:	25%	a	40%;	
•	 Economia	no	consumo	de	hidrogênio:	até	20%	a	30%.
Logo,	a	tecnologia	Pinch	é	uma	das	melhores	alternativas	para	a	otimização	do	
manuseio	dos	recursos.	Assim,	surge	como	uma	boa	referência	para	ser	implantada	nas	
indústrias	brasileiras,	que,	na	atual	conjuntura,	possuem	elevado	índice	de	desperdício	
de	energia,	agravado	pela	crise.
A tecnologia Pinch	é	baseada	nos	princípios	de	calor	e	termodinâmica	(estuda	
as	causas	e	os	efeitos	de	mudanças	na	temperatura).	Os	pontos	fundamentais	desta	
metodologia	são	os	balanços	de	massa	e	energia	e	a	utilização	do	fluxo	de	calor	no	pro-
cesso.	Ele	é	dividido	pelas	seguintes	etapas:
•	 Obter	o	diagrama	de	processos	(indicar	o	esquema	geral	do	processo	e	seus	fluxos	de	
materiais,	substâncias,	misturas,	subprodutos).
•	 A	obtenção	de	dados	termodinâmicos	do	sistema	térmico	(temperaturas,	pressões,	
entalpia,	fluxos	de	massa	e	calores	específicos).
•	 Identificar	as	correntes	quentes	e	frias.
•	 Identificação	da	DTMIN	(temperatura	mínima	de	aproximação)	para	o	sistema	térmico	
inicial.
•	 Elaboração	da	tabela.
•	 Construção	das	curvas	compostas	quentes	e	frias.
•	 A	determinação	da	temperatura	Pinch	e	os	utilitários	de	aquecimento	e	resfriamento	
mínimo.	
•	 Avaliação	do	potencial	de	poupança	de	energia	térmica.
• Proposta de uma rede de trocadores de calor de acordo com a tecnologia Pinch.
A tecnologia Pinch	 é	uma	ferramenta	que	pode	ser	utilizada	para	uma	vasta	
gama	de	melhorias	relacionadas	com	o	processo	e	utilidade	local,	além	de	reduzir	cus-
tos	operacionais,	melhorar	a	eficiência,	reduzir	o	planejamento	e	investimento	de	capi-
tal.	Uma	das	causas	para	o	sucesso	é	a	sua	simplicidade	e	resultados	impressionantes	
(CANADA,	2003).	
A tecnologia Pinch	agora	tem	um	histórico	estabelecido	em	economia	de	energia.	
Em	todos	os	casos,	o	princípio	fundamental	por	trás	da	abordagem	é	encontrar	qual	o	con-
sumo	mínimo	da	indústria	e	sintetizar	a	rede	de	trocador	de	calor	(LINNHOFF,	1982).
Mesmo	com	várias	técnicas	utilizadas	para	indicar,	gerenciar	e	planejar	o	con-
sumo	nas	indústrias	com	intenção	de	atingir	resultados	positivos	em	curto	prazo,	faz-se	
necessário	criar	ferramentas	que,	além	de	economizar	energia,	reduzam	os	 impactos	
ambientais	gerados	pela	sua	produção.	Essa	preocupação	é	ponto	crucial	para	que	se	
alcance	o	consumo	sustentável	e	ganhe	destaque	no	mercado.	
253
Embora	contem	com	indicadores	de	consumo,	aplicativos	que	gerenciem	o	con-
sumo	e	planejamentos	de	consumo,	que	conseguem	resultados	em	curto	prazo,	é	neces-
sária	uma	ferramenta	que,	além	de	economizar	energia,	faça	com	que	a	indústria	polua	
menos,	pois	é	isso	que	fará	com	que	ela	se	sobressaia	perante	as	outras	indústrias.	
Fonte: adaptada de SANTOS, W. S., JESUS, W. S. A Tecnologia Pinch: uma Proposta para o Consumo 
Sustentável de Energia. In: SIMPÓSIO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO DE SERGIPE (SIMPROD), 7., 2015, 
São Cristóvão. Anais [...]. São Cristóvão: UFS, 2015. p. 395-404. Disponível em: https://ri.ufs.br/bitstream/
riufs/7824/2/TecnologiaPinchConsumoEnergia.pdf. Acesso em: 31 mar. 2023.
254
Neste tópico, você aprendeu:
•	 Trocadores	de	calor:	equipamentos	que	promovem	a	troca	térmica	entre	dois	fluidos	
(um	quente	e	o	outro	frio).	A	transferência	de	calor	em	trocadores	ocorre	tanto	pela	
convecção	em	cada	fluido	quanto	pela	condução	na	parede	que	os	separa.
•	 Os	fluidos	(quente	e	frio)	podem	entrar	no	trocador	de	duas	maneiras	possíveis:	em	
paralelo	(entram	pela	mesma	extremidade)	ou	em	contracorrente	(entram	por	extre-
midades	opostas).	Cabe	ao	engenheiro	avaliar	qual	o	melhor	formato	para	um	dado	
caso,	porém	o	escoamento	contracorrente,	geralmente,	apresenta	maior	eficiência	
para	efeitos	de	troca	térmica.
•	 Como	identificar	alguns	tipos	de	trocadores	de	calor,	como	o	tubo	duplo	(double	pipe),	
o	casco	e	tubo	(shell	and	tube)	e	o	de	placas	(plate).	A	principal	diferença	entre	eles	
está	na	geometria,	que	se	modifica	dependendo	das	necessidades	de	cada	processo.
•	 O	trocador	tubo	duplo	é	simples	e	de	fácil	manutenção,	consistindo	em	dois	tubos	
concêntricos,	em	que	um	dos	fluidos	escoa	pelo	tubo	interno	e	o	outro	pelo	espaço	
anular,	trocando	calor	entre	si.	É	comum	organizá-lo	em	grampos,	que	são	arranjos	
na	forma	de	“U”.	Uma	desvantagem	é	que	sua	construção,	geralmente,	requer	muito	
espaço	físico.
•	 O	trocador	casco	e	tubo	é	muito	usado	na	indústria	(suporta	ampla	faixa	de	pressão,	
permite	grande	área	de	troca	térmica	e	requer	menos	espaço	físico	que	o	tubo	du-
plo).	Um	dos	fluidos	escoa	pelos	tubos	e	o	outro	pelo	casco,	trocando	calor	entre	si.	
Estruturalmente,	pode	conter	espelhos	 (função	de	suporte)	e	chicanas	 (função	de	
suporte	e	de	aumentar	a	taxa	de	transferência	de	calor	ao	promover	turbulência	no	
escoamento).	
•	 Um	trocador	de	calor	casco	e	tubo	pode	receber	uma	nomenclatura	do	tipo	n-m,	o	
que	indica	que	um	dos	fluidos	passa	n	vezes	no	casco	e	o	outro	passa	m	vezes	no	
tubo.	São	exemplos:	trocador	casco	e	tubo	1-1,	trocador	casco	e	tubo	1-2,	e	trocador	
casco	e	tubo	1-4.
•	 O	trocador	de	calor	de	placas	é	mais	usado	na	indústria	de	alimentos	(facilidade	de	
limpeza)	e	consiste	em	uma	sequência	de	placas	por	onde	os	fluidos	escoam	e	tro-
cam	calor.	 Essa	estrutura	permite	 alterar	 a	 área	de	 troca	 térmica,	 adicionando	ou	
diminuindo	a	quantidade	de	placas.	Uma	desvantagem	é	que	não	suporta	pressões	
altas.
RESUMO DO TÓPICO 3
255
•	 Para	utilizarmos	a	lei	de	Fourier	ou	a	lei	de	Newton	do	resfriamento	em	trocadores	de	
calor,	é	preciso,	primeiramente,	conhecer	as	diferenças	de	temperatura.	Como	elas	
variam	espacialmente	nesses	equipamentos,	define-se	a	média	logarítmica	de	tem-
peratura: 𝑀𝐿𝐷𝑇 = (𝜃1− 𝜃2) / ln(𝜃1/𝜃2).
•	 Em	trocadores	de	calor	casco	e	tubo	com	configurações	que	apresentem	mais	de	
uma	passagem	nos	tubos,	o	valor	de	MLDT	ainda	deve	ser	multiplicado	por	um	fator	
de	correção	(F).	Isso	se	deve	à	direção	do	escoamento,	ora	em	contracorrente,	ora	em	
paralelo.
•	 Uma	aproximação	muito	comum	em	cálculo	de	trocadores	de	calor:	considerar	que	o	
coeficiente	global	de	transferência	de	calor	é	dado	por																					.
•	 Incrustações	(depósitos	de	materiais	indesejáveis	nas	superfícies)	em	trocadores	de	
calor	devem	ser	consideradas,	pois	aumentam	a	resistência	à	transferência	de	calor.	
Para	isso,	fatores	de	incrustação	das	superfícies	interna	(Rfi)	e	externa	(Rf0)	são	con-
tabilizados	no	cálculo	da	resistência	total	(Rtotal).
256
Fonte: adaptada de Çengel; Cimbala (2015)
AUTOATIVIDADE
1	 Um	experimento	em	laboratório	emprega	um	trocador	de	calor	tubo	duplo,	que	tra-
balha	com	água	no	tubo	interno	(temperatura	média	de	30	°C)	e	óleo	na	região	anular	
(temperatura	média	de	75	°C).	O	tubo	interno	é	feito	em	cobre,	com	uma	espessura	
de	parede	muito	fina,	de	modo	que	o	seu	diâmetro	pode	ser	aproximado	para	1,5	cm.	
Com	os	dados	do	experimento,	verifica-se	que	o	número	de	Nusselt	no	tubo	interno	
é	de,	aproximadamente,	Nui = 250	e,	na	região	anular,	de	Nu0 = 10.	Sabendo	que	kágua = 
0,65 W/(m⋅ K) e kóleo = 0,15 W/(m ⋅ K),	sobre	o	coeficiente	global	de	troca	térmica	desse	
trocador,	assinale	a	alternativa	CORRETA:
a)	 (			)	 99,1	W/(m2 ⋅	K).
b)	 (			)	 198,2	W/(m2 ⋅	K).
c)	 (			)	 369,3	W/(m2 ⋅	K).
d)	 (			)	 738,6	W/(m2 ⋅	K).
2	 Os	condensadores	–	equipamentos	destinados	à	 remoção	de	calor	 latente	de	um	
vapor	–	são,	essencialmente,	trocadores	de	calor.	Condensadores	são	utilizados,	por	
exemplo,	em	colunas	de	destilação,	para	a	produção	de	etanol	combustível.	Consi-
dere	o	condensador	representado	na	figura	a	seguir,	em	que	o	vapor	é	condensado	
utilizando	uma	corrente	de	água	como	fluido	frio.	Sabendo	que	a	área	de	troca	térmi-
ca	dos	tubos	é	de	A = 30 m2	e	que	o	coeficiente	global	de	transferência	de	calor	para	
esse	equipamento	é	de	U = 3.500 W/(m2 ⋅ K),	determine	a	vazão	mássica	necessária	
de	água	de	refrigeração.	São	dados:	calor	específico	da	água		c = 4,18 kJ/kg ⋅ K; calor 
latente	de	vaporização	da	água	L = 2.256 kJ/kg.
257
3	 Umradiador	automotivo	funciona	como	um	trocador	de	calor	em	escoamento	cru-
zado	(ou	seja,	nem	em	contracorrente	nem	em	paralelo),	como	apresenta	o	esquema	
da	figura	a	seguir,	em	que	os	fluidos	são	água	e	ar.	Essa	peça	possui	35	tubos	cujo	
diâmetro	interno	é	de	0,5	cm,	cada	um	com	comprimento	de	70	cm	e	distribuídos	ao	
longo	de	uma	matriz	de	placas	aletadas.	Considerando	que	a	vazão	mássica	de	água	
(fluido	quente)	é	de	0,5	kg/s,	determine	o	coeficiente	global	de	transferência	de	calor	
desse	radiador	com	relação	à	superfície	interna	dos	tubos	(Ui).	Adote	o	calor	especí-
fico	da	água	como	4,18	kJ/kg	⋅	K	e	um	fator	de	correção	F	=	0,95.
Fonte: adaptada de Çengel; Cimbala (2015)
4	 A	água	do	mar	(23	°C)	é	aproveitada	em	um	trocador	de	calor	com	uma	vazão	de	4	
kg/s	para	que	um	óleo	quente	(85	°C)	de	vazão	de	3	kg/s	seja	resfriado.	Se	admitir-
mos	que	ambos	os	fluidos	possuem	o	mesmo	calor	específico	de	4.000	J/(kg	⋅	°C),	
definindo	qmín e qmáx	como,	respectivamente,	a	mínima	e	a	máxima	taxas	de	calor	tro-
cado	possíveis	nesse	processo,	assinale	a	alternativa	CORRETA:
a)	 (			)	 qmín =	1.000	kW.
b)	 (			)	 qmín	=	992	kW/h.
c)	 (			)	 qmáx	=	992	kW.
d)	 (			)	 qmáx	=	744	kW.
5	 Algumas	correntes	quentes,	existentes	em	uma	refinaria	de	petróleo,	são	aproveita-
das	como	fonte	de	calor	para	pré-aquecer	o	óleo	que	será	destilado.	Entretanto,	os	
trocadores de calor, formados por essas correntes, geralmente, sofrem com a depo-
sição.	Sobre	esse	fenômeno,	assinale	a	alternativa	CORRETA:	
258
a)	 (			)	 A	fluidodinâmica	nesses	equipamentos	não	é	afetada	pela	deposição.
b)	 (			)	 As	resistências	térmicas	desses	depósitos	aumentam	o	valor	do	coeficiente	glo-
bal	de	transferência	de	calor.
c)	 (			)	 As	resistências	térmicas	geradas	pelos	depósitos	dependem	tanto	da	área	ocu-
pada	na	superfície	do	equipamento	quanto	da	espessura	do	depósito.
d)	 (			)	 Quando	forem	da	mesma	ordem	de	grandeza	das	resistências	à	convecção,	as	
resistências	térmicas	dos	depósitos	podem	ser	desprezadas.
259
REFERÊNCIAS
ARAÚJO,	E.	C.	da	C.	Trocador de calor.	São	Carlos:	Editora	da	Universidade	Federal	
de	São	Carlos	(EdUFSCar),	2002.
ABNT	–	ASSOCIAÇÃO	BRASILEIRA	DE	NORMAS	TÉCNICAS.	NBR 15220-1: 
Desempenho	térmico	de	edificações –	Parte	1:	definições,	símbolos	e	unidades.	Rio	de	
Janeiro:	ABNT,	2005.
BRUNETTI,	F.	Mecânica dos fluidos.	2.	ed.	São	Paulo:	Pearson	Prentice	Hall,	2008.
ÇENGEL,	Y.	A.;	CIMBALA,	J.	M.	Mecânica dos fluidos:	fundamentos	e	aplicações.	3.	
ed.	São	Paulo:	AMGH	Editora,	2015.
ÇENGEL,	Y.	A.;	GHAJAR,	A.	J.	Transferência de calor e massa: uma abordagem 
prática.	4.	ed.	São	Paulo:	AMGH	Editora,	2012.
INCROPERA,	F.	P.;	DEWITT,	D.	P.	Fundamentos de transferência de calor e de 
massa.	6.	ed.	Rio	de	Janeiro:	LTC,	2008.
KERN,	D.	Q.	Processo de transmissão de calor.	Tradução	de	Horácio	Macedo.	Rio	de	
Janeiro:	Guanabara	Dois,	1980.	p.	649-654.
260
261
INTRODUÇÃO À 
TRANSFERÊNCIA DE MASSA
UNIDADE 3 — 
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
 A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
•	 definir	os	conceitos	básicos,	nos	quais	o	fenômeno	da	transferência	de	massa	está	
pautado;
•	 empregar	a	lei	de	Fick	da	difusão	e	as	condições	de	contorno	envolvidas	na	análise	
da	transferência	de	massa	unidimensional	em	regime	permanente;
•	 estudar	a	transferência	de	massa	entre	uma	superfície	e	um	fluido	em	movimento,	
definindo	os	devidos	números	adimensionais;
•	 conhecer	como	os	três	fenômenos	de	transporte	estudados	ao	longo	da	disciplina	se	
relacionam.
	 A	cada	tópico	desta	unidade	você	encontrará	autoatividades	com	o	objetivo	de	
reforçar	o	conteúdo	apresentado.
TEMA	DE	APRENDIZAGEM	1	–	MECANISMO	DE	DIFUSÃO	DE	MASSA
TEMA	DE	APRENDIZAGEM	2	–	MECANISMO	DE	CONVECÇÃO	DE	MASSA
TEMA	DE	APRENDIZAGEM	3	–	ANALOGIA	ENTRE	OS	FENÔMENOS	DE	TRANSPORTE
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos em frente! Procure 
um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá melhor as informações.
CHAMADA
262
CONFIRA 
A TRILHA DA 
UNIDADE 3!
Acesse o 
QR Code abaixo:
263
TÓPICO 1 — 
MECANISMO DE DIFUSÃO DE MASSA
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Caro	 acadêmico,	 enfim,	 chegamos	 a	 nossa	 última	 unidade,	 em	 que	 estuda-
remos	o	fenômeno	da	transferência	de	massa.	No	início,	na	Unidade	1,	mencionamos	
como	três	fenômenos	a	serem	estudados:	a	transferência	de	momento	(na	forma	da	
mecânica	dos	fluidos),	 a	 transferência	de	 calor	 e	 a	 transferência	de	massa.	Ainda,	 a	
natureza	desses	fenômenos	é	muito	parecida,	sendo	possível	empregar	modelos	mate-
máticos	análogos	para	descrevê-los.
Talvez,	isso	ainda	não	esteja	tão	evidente,	em	função	de	dois	fatores:	primeiro,	
por	termos	abordado	a	transferência	de	momento	por	uma	perspectiva	macroscópica,	
avaliando	os	efeitos	das	forças	associadas	ao	escoamento	de	fluidos;	segundo,	porque	
guardamos	o	estudo	das	chamadas	analogias	entre	os	fenômenos	para	o	final	desta	
unidade,	quando	veremos	todos	os	conceitos	essenciais	de	cada	fenômeno	delineados	
em	seu	conhecimento,	facilitando	a	visualização	de	como	eles	estão	relacionados.
Neste	tema	de	aprendizagem,	entenderemos	os	fundamentos	iniciais	da	trans-
ferência	de	massa.	Veremos	que,	para	um	sistema	ideal	de	dois	componentes,	a	força	
motriz	que	rege	a	difusão	das	espécies	é	a	diferença	de	concentração	delas	ao	longo	do	
espaço.	Por	fim,	escreveremos	isso	matematicamente,	utilizando	a	lei	de	Fick	da	difusão	
e,	em	seguida,	resolveremos	alguns	exemplos	ilustrativos.
2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Para	 iniciar	o	estudo	da	transferência	de	massa,	começaremos	com	algumas	
situações	comuns	da	vida	real	que	ilustram	esse	fenômeno.	Primeiramente,	ao	derrubar	
um	pouco	de	água	em	cima	de	uma	superfície	sólida	(Figura	1),	sabemos,	por	questões	
de	vivência	e	experiência,	que,	eventualmente,	essa	pequena	poça	irá	secar.	
Contudo,	um	observador	(que	não	conhece	bem	o	fenômeno	da	transferência	
de	massa)	poderia	se	perguntar:	 “se,	em	condições	normais,	a	água	evapora	a	apro-
ximadamente	100	°C,	a	água	não	deveria	permanecer	 líquida	sobre	a	superfície?”.	De	
fato,	em	uma	primeira	análise,	essa	pergunta	parece	fazer	completo	sentido,	afinal,	se	
a	substância	não	está	em	seu	ponto	de	ebulição,	é	de	se	esperar	que	ela	não	evapore.	
Então,	por	que	isso	acontece?
264
Figura 1 – Água derramada sobre uma superfície sólida
Fonte: https://elements.envato.com/pt-br/spilled-water-on-a-gray-surface-in-the-form-of-bea-9Z5DPSD. 
Acesso em: 24 jan. 2023.
Para	explicar	esse	fenômeno,	imaginaremos	mais	uma	situação:	colocar	duas	
colheres	de	sal	dentro	de	um	copo.	Em	seguida,	preenchê-lo	com	água.	Com	isso,	sa-
bemos	que	a	quantidade	de	sal	no	copo	parecerá	diminuir,	pois	parte	dele	se	dissolverá	
na	água.	Se	deixarmos	o	copo	em	repouso	por	bastante	tempo	ou	se	utilizarmos	uma	
colher	para	mexer	e	misturar	o	conteúdo,	veremos	que	o	sal	“desaparecerá”	ainda	mais,	
ou	seja,	ficará	dissolvido	na	água	(Figura	2).
Figura 2 – Dissolução de sal em água
Fonte: adaptada de Çengel; Ghajar (2012)
Isso	acontece	porque	a	natureza	tende	a	equilibrar	esse	sistema:	como	há	uma	
diferença	de	concentração,	surge	um	fluxo	de	sal	(fase	sólida)	para	a	água	(fase	líqui-
da),	 até	que	esta	fique	completamente	saturada.	Em	outras	palavras,	 a	diferença	de	
concentração	é	a	força	motriz	do	fenômeno	da	transferência	de	massa.	Fazendo	um	
paralelo	com	a	transferência	de	calor,	deixar	o	copo	em	repouso	 (de	modo	que	o	sal	
gradualmente	se	dissolverá	até	a	água	ficar	saturada)	seria	a	chamada	difusão	mássica,	
semelhante	à	condução	de	calor	(o	transporte	acontece	molécula	a	molécula).	Por	outro	
265
lado,	mexer	o	conteúdo	do	copo	com	o	objetivo	de	misturá-lo	é	justamente	o	transpor-
te	convectivo	de	massa	(devido	ao	movimento	do	fluido),	sendo	mais	rápido	de	atingir	 
o	equilíbrio.
Com	 isso	 em	mente,	voltemos	 ao	 exemplo	 da	 pequena	 poça	 de	 água	 sobre	
uma	superfície	sólida:	se	a	temperatura	está	em	condições	ambiente,	por	que	a	água,	
eventualmente,	evapora?	A	resposta	é	semelhante	ao	que	discutimos	parao	copo	de	
água	com	sal:	por	causa	da	concentração	de	água	no	ar.	Se	o	ar	não	está	saturado	de	
água,	ou	seja,	úmido,	como	em	dias	de	chuva,	a	natureza	busca	o	equilíbrio	do	sistema,	
criando	um	fluxo	de	água	da	poça	(fase	líquida)	para	o	ar	(fase	gasosa).	Caso	não	haja	
movimento	do	ar	em	torno	da	poça,	podemos	dizer	que	o	processo	é	difusivo.	Se	qui-
sermos	acelerar	essa	evaporação,	podemos	ligar	um	ventilador	direcionado	à	poça	–	o	
processo	passa	a	ser,	então,	convectivo	e,	caracteristicamente,	mais	rápido.
Nesses	dois	exemplos	ilustrativos,	é	fundamental	percebermos	como	o	fenô-
meno	da	transferência	de	massa	é	análogo	à	transferência	de	calor.	O	exemplo	do	copo	
de	água	com	sal	em	repouso	é	equivalente	a	colocar	dois	corpos	com	diferentes	tem-
peraturas	em	contato	–	são	situações	de	difusão	mássica	e	condução	térmica.	Ligar	o	
ventilador,	para	que	a	poça	evapore	mais	rápido,	é	equivalente	a	direcionar	um	ventila-
dor	a	um	corpo	quente,	para	que	ele	esfrie	mais	rápido	–	são	exemplos	de	convecção	
mássica	e	convecção	térmica.
De	 fato,	muitos	problemas	que	envolvem	a	 transferência	de	 calor,	 no	 fundo,	
também	envolvem	questões	de	transferência	de	massa.	Podemos	considerar	um	ter-
ceiro	exemplo	ilustrativo:	a	transpiração	em	corpos	humanos	(Figura	3).	Entre	suas	di-
versas	funções,	é	de	conhecimento	geral	que	o	suor	serve	para	promover	a	perda	de	
calor	(ou	seja,	resfriamento	do	corpo),	mas	como	isso	acontece?	De	maneira	relativa-
mente	simplista,	podemos	entender	esse	problema	como	uma	mistura	dos	dois	exem-
plos	anteriores:	são	gotículas	de	água	sobre	uma	superfície	que	evaporam	para	o	ar	
atmosférico,	devido	à	diferença	de	concentração.
Figura 3 – Suor do corpo humano
Fonte: https://elements.envato.com/pt-br/sweat-on-the-eyes-of-woman-excercise-focus-sweat-TK8UEHQ. 
Acesso em: 24 jan. 2023 .
266
Pensando	nisso,	a	transferência	de	massa	parece	evidente:	se	o	ar	não	está	sa-
turado	(úmido,	chovendo),	a	água	do	suor	que	está	sobre	a	pele	irá	evaporar	–	e	quanto	
à	transferência	de	calor?	Na	realidade,	ela	acontece	por	meio	de	uma	forma	discreta,	
mas	 importantíssima:	pelo	calor	 latente	de	vaporização	–	discreta	porque	esse	é	um	
mecanismo	de	transferência	de	calor	que	não	está	pautado,	essencialmente,	em	dife-
renças	de	temperatura	(para	substâncias	puras	em	geral,	a	mudança	de	fase	acontece	a	
temperaturas	constantes)	e	importantíssima	porque	é	capaz	de	remover	calor	do	corpo,	
mesmo	quando	a	temperatura	ambiente	é	maior	que	a	da	pele.
Por	causa	desses	aspectos,	a	transpiração	humana	não	é	somente	um	meca-
nismo	incrível	de	regulação	de	temperatura	dos	nossos	corpos,	mas	também	um	exce-
lente	exemplo	de	como	os	fenômenos	de	transporte	atuam	em	conjunto	na	natureza.	
Ainda,	podemos	ir	mais	adiante:	ficar	na	frente	de	um	ventilador,	quando	estamos	sua-
dos,	promove	um	resfriamento	intenso	do	corpo,	devido	à	convecção.	Somado	a	isso,	
quanto	maior	for	a	velocidade	do	ventilador,	maior	será	a	vazão	mássica	de	ar	passando	
sobre	o	corpo	e	mais	turbulento	será	o	escoamento	(lembre-se	do	número	de	Reynolds),	
amplificando	ainda	mais	os	fenômenos	de	transferência	de	momento,	calor	e	massa.
O corpo humano perde calor por três mecanismos: condução, 
irradiação e evaporação do suor. Se o ar ambiente estiver a uma 
temperatura maior que a da pele (regulada metabolicamente em 
torno de 33 °C), a condução e a irradiação irão esquentar o corpo, 
em vez de resfriá-lo, de modo que a evaporação do suor passa 
a ser a única forma de dissipar o calor gerado pelo metabolismo 
corporal, regulando a temperatura corporal interna em torno de 
37 °C. A própria pele pode apresentar diferenças de temperatura 
consideráveis – em um dia de neve, um homem registrou as 
temperaturas de sua pele enquanto subia uma montanha, 
indicando cerca de 15 °C em seus pés, enquanto o seu peito 
estava a 32 °C.
Fonte: FARZANA, A. Temperature of a healthy human (skin 
temperature). The Physics Factbook, 2001. Disponível em: 
https://hypertextbook.com/facts/2001/AbantyFarzana.shtml. 
Acesso em: 25 jan. 2023.
INTERESSANTE
Esses	exemplos	devem	ser	suficientes	para	começarmos	a	enxergar	a	trans-
ferência	de	massa	em	situações	do	cotidiano.	Como	toda	a	área	da	Engenharia,	agora	
que	conseguimos	observar	o	fenômeno,	o	passo	seguinte	é	encontrarmos	formas	de	
equacioná-lo.	
267
Acadêmico, o objetivo deste livro didático é fazer isso de forma 
bastante pragmática e introdutória – se forem consultados li-
vros mais tradicionais e específicos de fenômenos de transpor-
te, é comum encontrarmos uma abordagem muito mais exten-
sa, rígida e minuciosa do assunto, fazendo balanços de massa 
em diferentes geometrias, com reações químicas heterogêneas 
e homogêneas e, até mesmo, trabalhando sistemas em regime 
transiente. Contudo, o fundamental é estar bem situado com 
cálculos de concentração e frações mássicas e molares, seme-
lhantemente ao que foi abordado na Unidade 1.
NOTA
3 DIFUSÃO MÁSSICA
Assim	como	temos	a	lei	de	Newton	da	viscosidade	para	a	transferência	de	mo-
mento	e	a	lei	de	Fourier	da	condução	para	a	transferência	de	calor,	teremos	a	lei	de	Fick	
da	difusão	na	transferência	de	massa.	Para	uma	mistura	binária,	ou	seja,	que	envolve	
duas	espécies	distintas,	A	e	B	(como	água	no	ar,	por	exemplo),	a	 lei	de	Fick	pode	ser	
expressa	pelas	seguintes	equações:
Em	que	a	primeira	está	expressa	em	termos	de	massa	e	a	segunda,	em	termos	
do	número	de	mols.	Os	parâmetros	presentes	são:
• 											:	fluxo	mássico	do	componente	A	por	difusão	–	dimensão	de	massa	por	unidade	
de	tempo	por	unidade	de	área.	Por	exemplo:																		.
• :	fluxo	molar	do	componente	A	por	difusão	–	dimensão	de	mols	por	unidade	de	
tempo	por	unidade	de	área.	Por	exemplo:																			.	
•	 												e											:	vazões	mássica	e	molar	do	componente	A	por	difusão	–	dimensão	de	
massa	por	unidade	de	tempo.	Por	exemplo:										e												.
• A:	área	normal	à	direção	da	transferência	de	massa	(conceito	análogo	ao	desenvolvi-
do	na	transferência	de	calor)	–	dimensões	de	área:	m2.
268
• ρ:	densidade	da	mistura	binária	ρ = ρA + ρB ,	com	dimensões	de	massa	por	unidade	de	
volume.	Por	exemplo:													.
• C:	concentração	molar	da	mistura	binária	C = CA + CB ,	com	dimensões	de	mols	por	uni-
dade	de	volume.	Por	exemplo:															.
• DAB :	difusividade	mássica	(também	chamada	de	coeficiente	de	difusão)	da	espécie	A	
na	mistura	binária	A	+	B,	com	dimensões	de	comprimento	ao	quadrado	por	unidade	
de	tempo.	Por	exemplo:										.
 • e										:	gradientes	de	fração	mássica	e	molar	na	direção	x,	respectivamente,	
cujas	unidades	podem	ser,	por	exemplo:									.
Acadêmico, caso esses termos não tenham ficado tão 
claros, procure fazer uma análise dimensional de cada 
equação, utilizando as unidades fornecidas.
DICA
Essencialmente,	o	significado	físico	da	lei	de	Fick	da	difusão	é	uma	mistura	de	
dois	componentes	A	e	B.	Em	um	gradiente	de	concentração,	haverá	um	movimento	das	
moléculas	dos	componentes,	da	região	de	maior	concentração	para	a	de	menor	con-
centração	–	a	intensidade	desse	fluxo	de	massa	será	proporcional	ao	próprio	gradiente	
e	a	constante	de	proporcionalidade	da	equação	é	a	difusividade	mássica	DAB.
IMPORTANTE
As dimensões da difusividade mássica (comprimento ao 
quadrado por unidade de tempo) são idênticas às dimensões 
da difusividade térmica (a) e da difusividade de momento (v), 
que, anteriormente, chamamos de viscosidade cinemática. A 
unidade do SI para as três grandezas é justamente .
Para	as	situações	em	que	a	densidade	(ρ)	e	a	concentração	molar	(C)	da	mistura	
forem	constantes,	podemos	também	escrever	as	equações	da	 lei	de	Fick	da	difusão	 
nas	formas:
269
Essa	simplificação	costuma	ser	razoável	para	soluções	sólidas	ou	líquidas	bem	
diluídas.	Além	disso,	é	importante	esclarecer	que	estamos	tratando	apenas	da	difusão	
mássica	unidirecional,	assim	como	fizemos	anteriormente	para	a	transferência	de	calor.	
Sistemas	bidimensionais	ou	tridimensionais	também	podem	ser	estudadospela	lei	de	
Fick,	mas	fogem	ao	escopo	desta	unidade.
Antes	de	utilizarmos	a	lei	de	Fick	da	difusão	em	um	exemplo,	é	importante	men-
cionar	que	os	coeficientes	de	difusão	DAB	são	geralmente	determinados	experimentalmen-
te,	para	condições	bem	definidas	de	temperatura,	pressão	e	composição	das	misturas.	
Çengel	e	Ghajar	(2012)	reuniram	dados	de	diferentes	trabalhos	e	obras,	que	es-
tão	sumarizados	nas	Tabelas	1	a	4.	Em	geral,	pode-se	afirmar	que	a	difusividade	au-
menta	com	a	temperatura,	sendo	maior	em	gases	e	menor	em	sólidos.	Além	disso,	em	
misturas	binárias	de	gases	ideais,	a	difusividade	DAB	é	igual	à	difusividade	DAB.
Tabela 1 – Coeficientes de difusão binária de alguns gases em ar a 1 atm de pressão
Coeficientes de difusão binária 
T (K) O2 CO2 H2 NO
200 0,95 0,74 3,75 0,88
300 1,88 1,57 7,77 1,80
400 5,25 2,63 12,5 3,03
500 4,75 3,85 17,1 4,43
600 6,46 5,37 24,4 6,03
700 8,38 6,84 31,7 7,82
800 10,5 8,57 39,3 9,78
900 12,6 10,5 47,7 11,8
1.000 15,2 12,4 56,9 14,1
1.200 20,6 16,9 77,7 19,2
1.400 26,6 21,7 99,0 24,5
1.600 33,2 27,5 125 30,4
1.800 40,3 32,8 152 37,0
2.000 48,0 39,4 180 44,8
Fonte: Çengel; Ghajar (2012, p. 802)
270
Tabela 2 – Coeficientes de difusão binária de misturas de gases diluídos a 1 atm
Fonte: Çengel; Ghajar (2012, p. 803)
Substâncias T DAB Substâncias T DAB
A B (K) ( ) A B (K) ( )
Ar Acetona 273 1,1 Argônio Nitrogênio 293 1,9
Ar Amônia 298 2,6
Dióxido	de	
carbono
Benzeno 318 0,72
Ar Benzeno 298 0,88
Dióxido	de	
carbono
Hidrogênio 273 5,5
Ar
Dióxido	de	
carbono
298 1,6
Dióxido	de	
carbono
Nitrogênio 293 1,6
Ar Cloro 273 1,2
Dióxido	de	
carbono
Oxigênio 273 1,4
Ar Etanol 298 1,2
Dióxido	de	
carbono
Vapor	de	
água
298 1,6
Ar Éter	etílico 298 0,93 Hidrogênio Nitrogênio 273 6,8
Ar Hélio 298 7,2 Hidrogênio Oxigênio 273 7,0
Ar Hidrogênio 298 7,2 Oxigênio Amônia 293 2,5
Ar Iodo 298 0,83 Oxigênio Benzeno 296 0,39
Ar Metanol 298 1,6 Oxigênio Nitrogênio 273 1,8
Ar Mercúrio 614 4,7 Oxigênio
Vapor	de	
água
298 2,5
Ar Naftalina 300 0,62
Vapor	de	
água
Argônio 298 2,4
Ar Oxigênio 298 2,1
Vapor	 
de	água
Hélio 298 9,2
Ar
Vapor	de	
água
298 2,5
Vapor	 
de	água
Nitrogênio 298 2,5
Tabela 3 – Coeficientes de difusão binária de soluções de líquidos diluídos e soluções sólidas a 1 atm, 
em que A é soluto e B é solvente
Substâncias T DAB
A B (K) ( )
Amônia Água 285 1,6	×	10-9
Benzeno Água 293 1,0	×	10-9
271
Fonte: Çengel; Ghajar (2012, p. 804)
Dióxido	de	carbono Água 298 2,0	×	10-9
Cloro Água 295 1,4	×	10-9
Etanol Água 283 0,84	×	10-9
Etanol Água 288 1,0	×	10-9
Etanol Água 298 1,2	×	10-9
Glicose Água 298 0,69	×	10-9
Hidrogênio Água 298 6,3	×	10-9
Metano Água 275 0,85	×	10-9
Metano Água 293 1,5	×	10-9
Metano Água 333 3,6	×	10-9
Metanol Água 288 1,3	×	10-9
Nitrogênio Água 298 2,6	×	10-9
Oxigênio Água 298 2,4	×	10-9
Água Etanol 298 1,2	×	10-9
Água Etileno	glicol 298 0,18	×	10-9
Água Metanol 298 1,8	×	10-9
Clorofórmio Metanol 288 2,1	×	10-9
Dióxido	de	carbono Borracha	natural 298 1,1	×	10-10
Nitrogênio Borracha	natural 298 1,5	×	10-10
Oxigênio Borracha	natural 298 2,1	×	10-10
Hélio Pyrex® 773 2,0	×	10-12
Hélio Pyrex® 293 4,5	×	10-15
Hélio Dióxido	de	silício 298 4,0	×	10-14
Hidrogênio Ferro 298 2,6	×	10-13
Hidrogênio Níquel 358 1,2	×	10-12
Hidrogênio Níquel 438 1,0	×	10-11
Cádmio Cobre 293 2,7	×	10-19
Zinco Cobre 773 4,0	×	10-18
Zinco Cobre 1273 5,0	×	10-13
Antimônio Prata 293 3,5	×	10-25
Bismuto Chumbo 293 1,1	×	10-20
Mercúrio Chumbo 293 2,5	×	10-19
Cobre Alumínio 773 4,0	×	10-14
Cobre Alumínio 1273 1,0	×	10-10
Carbono Ferro 773 5,0	×	10-15
Carbono Ferro 1273 3,0	×	10-11
272
Tabela 4 – Coeficientes de difusão binária de misturas de gases diluídos a 1 atm
Fonte: Çengel; Ghajar (2012, p. 804)
T (◦C) DH2O,Ar (m2/s)
0 2,09	×	10-5
5 2,17	×	10-5
10 2,25	×	10-5
15 2,33	×	10-5
20 2,42	×	10-5
25 2,50	×	10-5
30 2,59	×	10-5
35 2,68	×	10-5
40 2,77	×	10-5
50 2,96	×	10-5
100 3,99	×	10-5
150 5,18	×	10-5
Por	exemplo,	para	comparar	a	difusão	de	dióxido	de	carbono	(espécie	A)	em	três	
meios	distintos	–	ar,	água	e	borracha	natural	(espécies	B)	–	a	uma	temperatura	de	298	K	e	
pressão	de	1	atm,	precisamos	calcular	os	fluxos	mássicos	da	espécie	A	no	ponto	em	que 
	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 .	 Considere	 que	 a	mistura	 esteja	 suficientemente	 diluída 
para	que	a	concentração	molar	total	(C)	possa	ser	admitida	como	constante.	A	massa	
molar	do CO2	é	MMCO2 = 44 kg/kmol.
Solução:
Nas	Tabelas	1	e	3,	podemos	obter	as	difusividades	para	os	três	casos	(aproxi-
mando	para	o	valor	de	T = 300 K	na	Tabela	1):
Como	C	é	uma	constante,	podemos	usar	a	lei	de	Fick	da	difusão	como:
273
Conhecidos	 os	 coeficientes	 DAB,	 resta	 apenas	 conhecer	 também	 a	 taxa	 de	
variação	da	concentração	molar	da	espécie	A	ao	longo	da	direção	x.	O	enunciado	indica 
o	valor																																																	,	mas	é	importante	esclarecermos	o	que	esse	valor	
significa	(Figura	4).
Figura 4 – Variação da concentração da espécie A ao longo da direção x
Fonte: os autores
Nota-se	que	a	concentração	de	CO2	 (indicada	no	esquema	por	CA)	decresce	
ao	 longo	 da	 direção	 x,	 afinal,	 estamos	 cada	vez	mais	 distantes	 da	 fonte	 da	 espécie	
A.	Dessa	forma,	o	valor	da	variação	 	 	 	 	 	 	 	deve	ser	negativo.	Além	disso,	a	unidade 
kmol/(m3 . m),	apesar	de	não	parecer	intuitiva,	é	simplesmente	o	resultado	da	divisão	dos	
valores	infinitesimais:
Com	isso,	podemos	calcular	os	valores	desejados.	Por	exemplo,	para	a	difusão	
do	CO2	em	ar,	teremos	o	fluxo	molar:
274
Podemos	entender	esse	resultado	fisicamente	como:	uma	vazão	de	1,57	.	10–5 
kmol	de	CO2	por	segundo	atravessa	cada	metro	quadrado	de	interface	CO2	–	ar.	Agora,	
podemos	utilizar	a	massa	molar	do	CO2	para	determinar	o	fluxo	mássico,	por	meio	da	
relação:
Então,	para	o CO2	em	ar:
De	modo	semelhante,	fazendo	para	a	água	e	a	borracha	natural	como	espécies	
B,	teremos	os	fluxos	mássicos:
Como	é	possível	observar,	para	um	mesmo	gradiente	de	concentração,	o	fluxo	
mássico	é	bastante	superior	no	meio	gasoso	em	relação	a	meios	líquidos	e	sólidos.
No	 contexto	 da	 transferência	 de	massa,	 vários	 outros	 conceitos	 de	 física	 e	
química	podem	ajudar	a	compreender	e	solucionar	os	problemas.	No	estudo	de	misturas	
de	gases	 a	 baixas	pressões,	 por	 exemplo,	 podemos	considerar	 a	 condição	de	gases	
ideais	e,	com	isso,	empregar	a	lei	de	Dalton	das	pressões	parciais	com	facilidade,	na	qual	
a	pressão	total	(p)	de	uma	mistura	de	gases	é	igual	à	soma	das	pressões	parciais	(pi)	dos	
gases	individuais	da	mistura:
Para	gases	ideais,	é	fundamental	lembrar	da	relação:
p . V = n . R . T
275
Em	que	p	é	a	pressão,	V é	o	volume,	n	é	o	número	de	mols,	T	é	a	temperatura	e	
R	é	a	constante	dos	gases	ideais	(8,314 J/(mol . K)).	Isolando	p	nessa	equação,	podemos	
avaliar	a	“fração	de	pressão”	do	componente i (yi = pi /p) na	mistura:
Em	outras	palavras,	essa	relação	demonstra	que	a	fração	de	pressão	do	com-
ponente	i em	uma	mistura	de	gases	ideais	é	equivalente	à	fração	molar	dessa	espécie	
na	mistura.
Dessa	forma,	pressões	são	parâmetros	importantíssimos	quando	estudamos	a	
transferência	de	massa	envolvendo	gases.	Isso	é	verdade	não	somente	para	misturas	
de	gases,	mas	também	para	 interfaces	gás-líquido	em	soluções	diluídas,	em	que	as	
frações	molares	de	uma	espécie	i	nas	fases	líquida	e	gasosa	são	proporcionais	entre	si:
Como	 visto,	 para	 uma	 mistura	 de	 gases	 ideais	 à	 pressão	 total	 p,	 podemos	
expressar	a	fração	molar	da	espécie	i na	fase	gasosa	como:
Combinando	essas	duas	equações,	podemos	escrever:
Com	isso,	podemos	utilizar	uma	constante	de	proporcionalidade	(i)	para	trans-
formar	essa	relação	em	uma	igualdade:
Enfim,	 define-se	 a	 constante	 H = c . p,	 a	 qual	 é	 chamada	 de	 constante	 de	
Henry,	 característica	 da	 espécie	 em	 questão	 e	 função	 apenas	 da	 temperatura	 para	
baixas	 pressões	 (abaixode	 5	 atm).	 Observa-se	 que	 esse	 parâmetro	 tem	 dimensões	
de	pressão.	Alguns	valores	da	constante	de	Henry,	para	diferentes	soluções	aquosas,	
estão	apresentados	na	Tabela	5.	Então,	podemos	rearranjar	a	equação	anterior	na	forma	
conhecida	como	lei	de	Henry:
276
Tabela 5 – Constantes de Henry (em bar) para alguns gases em água a baixas e médias pressões
Fonte: Çengel; Ghajar (2012, p. 807)
Soluto 290 K 300 K 310 K 320 K 330 K 340 K
H2S 440 560 700 830 980 1.140
CO2 1.280 1.710 2.170 2.720 3.220 –
O2 38.000 45.000 52.000 57.000 61.000 65.000
H2 67.000 72.000 75.000 76.000 77.000 76.000
CO 51.000 60.000 67.000 74.000 80.000 84.000
Ar 62.000 74.000 84.000 92.000 99.000 104.000
N2 76.000 89.000 101.000 110.000 118.000 124.000
Algumas	observações	podem	ser	feitas	sobre	a	Lei	de	Henry	e	os	valores	da	Ta-
bela	5.	A	primeira	é	que,	quanto	maior	a	constante	de	Henry,	menor	a	concentração	de	
gás	no	líquido	(são	inversamente	proporcionais).	Por	outro	lado,	quanto	maior	a	pressão	
parcial	do	gás,	maior	é	a	fração	molar	yi,líquido,	de	modo	que	pressurizar	o	gás	aumenta	a	
quantidade	de	gás	dissolvido	no	líquido.	Além	disso,	a	constante	de	Henry	aumenta	com	
a	temperatura,	ou	seja,	um	aumento	de	temperatura	leva	a	uma	diminuição	dos	gases	
dissolvidos	no	líquido.	Esses	são	alguns	dos	aspectos	físico-químicos	que	fundamen-
tam	os	processos	de	absorção	e	separação	de	líquidos	e	gases.
Apesar	de	ser	um	recurso	poderoso	e	matematicamente	simples,	o	uso	da	lei	de	
Henry	está	limitado	a	soluções	gás-líquido	diluídas,	ou	seja,	com	uma	pequena	quan-
tidade	de	gás	dissolvido	em	líquido.	Nesse	caso	simples,	a	relação	yi,líquido . pi,gás	é	linear	
(afinal,	H	é	uma	constante	que	depende	somente	da	temperatura).	Para	situações	em	
que	isso	não	é	válido,	ou	seja,	quando	o	gás	é	altamente	solúvel	no	líquido	(ou	no	sólido),	
utiliza-se	a	chamada	lei	de	Raoult,	dada	por:
Em	que	pi,sat (T)	é	a	pressão	de	saturação	da	espécie	i	na	temperatura	de	inter-
face	T.	Valores	para	pressões	de	saturação	de	soluções	mais	usuais	estão	disponíveis	
em	livros	e	manuais,	como	misturas	água-amônia,	amplamente	utilizadas	em	sistemas	
de	absorção-refrigeração.
277
Em	outro	exemplo,	uma	garrafa	de	500	mL	de	água	com	gás,	mantida	a	17	°C,	
cuja	pressão	interna	é	de	355	kPa	(aproximadamente	3,5	atm).	Duas	fases	estão	pre-
sentes:	uma	fase	gasosa	 (que	pode	ser	considerada	uma	mistura	saturada	de	CO2 e 
vapor	de	água)	e	uma	fase	líquida	(que	contém	água	e	CO2	dissolvido).	Admitindo	que	
esse	volume	de	líquido	corresponde	a	uma	massa	de	aproximadamente	500	g,	determi-
ne	a	fração	molar	de	vapor	na	fase	gasosa	e	a	massa	de	CO2	dissolvido	na	fase	líquida.	
Massas	molares:	MMH₂O = 18 g/mol,	MMCO₂ = 44 g/mol.	Considere	págua,sat (17 ◦C) = 1,96 kPa.
Solução:
Figura 5 – Esquema ilustrativo do exemplo trabalhado
Fonte: adaptada de Çengel; Ghajar (2012
Consideraremos	condições	de	gás	ideal	tanto	para	o	CO2	quanto	para	o	vapor	
de	água.	Além	disso,	não	serão	levadas	em	conta	perdas	de	massa	pelas	paredes	da	
garrafa	(ou	seja,	a	massa	dentro	da	garrafa	é	constante).	Como	o	CO2	é	pouco	solúvel	
em	água,	podemos	aplicar	a	lei	de	Henry.	Para	tanto,	podemos	consultar	a	Tabela	5,	em	
que,	para	misturar	CO2	em	água	a	17	°C	(≈	290	K),	temos	H	=	1.280	bar.
Para	 responder	 ao	primeiro	 item,	basta	analisarmos	a	 fase	gasosa.	Sabemos	
que	a	pressão	no	interior	da	garrafa	é	p = 355 kPa.	Então,	na	condição	de	gás	ideal,	para	
determinarmos	a	fração	molar	de	vapor,	basta	conhecermos	a	pressão	parcial	do	vapor.	
Esse	problema	pode	ser	resolvido	com	o	conceito	de	pressão	de	vapor,	que	é	a	pressão	
exercida	por	um	vapor	quando	este	está	em	equilíbrio	termodinâmico	com	o	líquido	que	
lhe	deu	origem.
Em	outras	palavras,	a	pressão	parcial	do	vapor	na	fase	gasosa	será	simples-
mente	a	pressão	de	saturação	da	água	(fase	líquida).	A	17	°C,	o	enunciado	informa	que:	
pvapor,gás = psat,água (17 °C) = 1,96 kPa.	Então:
278
Se	os	únicos	componentes	presentes	são	água	e	CO2,	temos:
Esse	resultado	pode	ser	utilizado	na	lei	de	Henry,	relacionando	a	pressão	parcial	
do	CO2	na	fase	gasosa	com	a	fração	molar	de	CO2	no	líquido:
Assim	como	fizemos	para	a	fase	gasosa,	temos	na	fase	líquida:
Com	isso,	conhecemos	as	composições	molares	da	fase	líquida.	É	necessário,	
agora,	uma	forma	de	relacionar	a	fração	molar	com	a	mássica,	pois	o	enunciado	pede	
a	massa	de	CO2	 dissolvido	na	 fase	 líquida.	 Evidentemente,	 a	 grandeza	que	 faz	 essa	
relação	 é	 a	 massa	 molar,	 mas	 como	 podemos	 utilizá-la	 para	 isso?	 Esta	 pergunta	
pode	ser	respondida	 lembrando	dos	conceitos	básicos	que	estudamos	na	Unidade	1,	
determinando	a	massa	molar	média	da	mistura.
Primeiramente,	consideramos	a	base	de	cálculo	de	1	mol	de	fase	líquida	(n = 1).	
Como	conhecemos	as	composições	molares	 ( yCO2,líquido e yágua,líquido ),	podemos	utilizar	a	
relação:
ni = yi ⋅ n
279
Caso esse processo não tenha ficado claro, revisite a Unidade 
1, em que tratamos desse aspecto de forma mais minuciosa. 
Lembre-se de que, na prática, aqui simplesmente fizemos uma 
média ponderada das massas molares.
DICA
Em	 posse	 desse	 valor,	 podemos	 relacionar	 frações	 mássicas	 com	 frações	
molares:
Então,	 podemos	 avaliar	 a	 massa	 correspondente	 a	 esses	 números	 de	 mol	
utilizando	a	relação	da	massa	molar	de	cada	componente:
mi = MMi ⋅ ni
Veja	que	mlíquido	é	a	massa	de	líquido	calculada	para	1	mol	de	líquido,	ou	seja,	a	
massa	molar	média	do	líquido	pode	ser	dita	como:
Pela	nossa	base	de	cálculo	e	pelas	frações	molares	determinadas	anteriormen-
te,	temos	que:
280
Utilizando	essa	relação	para	o	CO2	na	fase	líquida:
Com	isso,	se	a	massa	de	líquido	é	de,	aproximadamente,	500	g,	basta	fazer	uma	
última	operação	para	responder	ao	problema:
Como é possível ver nesse exemplo, a solução de problemas 
de transferência de massa exige bastante refino no trabalho 
com frações mássicas, molares e leis físicas que relacionam 
essas grandezas com propriedades dos componentes e 
misturas. Com a prática, esses conceitos devem se tornar tão 
casuais quanto respirar.
ATENÇÃO
Como	 já	 mencionado,	 os	 gases	 também	 podem	 se	 dissolver	 em	 sólidos,	
de	 acordo	 com	o	 tamanho	 da	molécula,	 a	 estrutura	 e	 a	 porosidade	 do	 sólido,	 entre	
outras	 características.	 Tais	 processos	 podem	 ser	 bastante	 complexos,	 envolvendo,	
até	mesmo,	 reações	 químicas	 entre	 o	 sódio	 e	 o	 gás.	 Embora	 esse	 estudo	 não	 seja	
aprofundado,	faremos	uma	abordagem	inicial	do	conceito	de	solubilidade	(S):	grandeza	
correspondente	 à	 constante	 de	 proporcionalidade	 entre	 a	 concentração	 da	 espécie	
gasosa	i	na	superfície	do	sólido	(Ci,sólido)	e	a	pressão	parcial	da	espécie	i	na	interface	gás-
sólido	(pi,gás).	Em	termos	matemáticos,	isso	pode	ser	resumido	na	expressão:
Ci,sólido = S . pi,gás
A	unidade	da	 solubilidade	pode	 ser,	 por	 exemplo,	kmol/(m3 . bar).	A	Tabela	6	
apresenta	solubilidades	para	alguns	pares	gás-sólido.
281
Tabela 6 – Solubilidade de alguns gases em sólidos
Fonte: Çengel; Ghajar (2012, p. 808)
Gás Sólido T (K) S (kmol/(m3 . bar))
O2 Borracha 298 0,00312
N2 Borracha 298 0,00156
CO2 Borracha 298 0,04015
He SiO2 293 0,00045
H2 Ni 358 0,00901
Além	disso,	 é	convencional	 também	definir	 o	conceito	de	permeabilidade	 (P)	
como	o	produto	da	solubilidade	(S)	com	o	coeficiente	de	difusão	do	gás	no	sólido	(DAB).	
Esse	parâmetro	é	uma	medição	da	capacidade	do	gás	de	penetrar	o	sólido	em	questão.	
Sua	unidade	pode	ser,	por	exemplo,	kmol/(s . bar).
Em	um	último	exemplo	desse	subtema,	uma	lâmina	de	borracha	exposta	a	gás	
nitrogênio	a	25	°C	e	4	bar,	considerando	que	a	interface	gás-sólido	esteja	em	equilíbrio	
termodinâmico,	determine	a	concentração	molar	de	nitrogênio	na	superfície	da	lâmina	
(CN2,sólido).	Admitindo	MMN2 = 28 g/mol,	determine	também	a	concentração	mássica	do	gás	
na	superfície	da	lâmina	(pN2,sólido).
Solução:
Da	Tabela	6,	temos	que,	nessas	condições	de	temperatura	(25	°C	=	298	K),	a	
solubilidade	de	N2 	em	borracha	é	de	S = 0,00156 kmol/(m3 ⋅ bar).	Comoconhecemos	
a	 pressão	 do	 gás	 (pN2,gás = 4 bar),	 basta	 utilizarmos	 a	 equação	 da	 solubilidade	 para	
determinar	a	concentração	molar.
Para	apresentar	o	resultado	em	termos	mássicos,	basta	multiplicar	pela	massa	
molar	do	gás:
Esses	resultados	podem	ser	entendidos	como:	há	0,00624	kmol	(ou	0,17472	kg)	
em	cada	m3	de	borracha	em	interface	com	o	gás.
282
Neste tópico, você aprendeu:
•	 A	transferência	de	massa	é	o	estudo	do	fenômeno	de	migração	de	espécies	(como	
moléculas,	sais	e	íons)	em	uma	região	do	espaço	ao	longo	do	tempo.	Para	uma	mistura	
binária,	isto	é,	de	duas	espécies,	a	força	motriz,	para	que	esse	fenômeno	ocorra,	é	a	
diferença	de	concentração	das	espécies	em	diferentes	regiões	do	espaço	(gradiente	
de	concentração).
•	 A	 lei	 de	 Fick	 da	difusão	 se	 aplica	 a	misturas	 binárias.	 Em	termos	de	fluxo	mássi-
co,	 ela	 é	 escrita,	 na	 direção	 x	 (unidirecional),	 como	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 ,	 já,	 em	 
termosde	fluxo	molar,	como																																											.	No	caso	em	que	p e C	são	cons-
tantes,	temos	que:																																					e																																					.
•	 Segundo	a	lei	de	Fick	da	difusão,	as	espécies	migram	de	regiões	de	maior	concentração	
para	as	de	menor	concentração,	até	que	não	haja	mais	gradiente	de	concentração.
•	 A	constante	de	proporcionalidade	na	lei	de	Fick	da	difusão	é	a	difusividade	mássica	
DAB	 (também	chamada	de	coeficiente	de	difusão),	cuja	unidade	é	m
2/s	no	SI.	Para	
mistura	binária	de	gases	 ideais,	DAB = DBA.	Em	geral,	a	difusividade	aumenta	com	a	
temperatura	e	é	maior	em	gases	e	menor	em	sólidos.
•	 Em	sistemas	líquido-gás	de	interesse	da	transferência	de	massa,	podemos	associar	
a	concentração	da	espécie	i na	fase	líquida	com	a	sua	pressão	na	fase	gasosa.	Para	
soluções	diluídas,	fazemos	isso	por	meio	da	lei	de	Henry	(pi,gás = yi,líquido . H),	em	que	H 
é	a	constante	de	Henry;	caso	contrário,	usamos	a	lei	de	Raoult	(pi,gás = yi,líquido . pi,sat (T)),	
em	que	pi,sat (T)	é	a	pressão	de	saturação	na	temperatura	(T).
•	 Em	sistemas	sólido-gás	de	interesse	da	transferência	de	massa,	podemos	associar	
a	concentração	da	espécie	i	na	fase	sólida	com	a	sua	pressão	na	fase	gasosa	pela	
seguinte	 equação	 Ci,sólido = S . pi,gás,	 em	 que	 a	 constante	 de	 proporcionalidade	 S é	
chamada	de	solubilidade.	Uma	unidade	típica	de	S	é	kmol/(m3 . bar).
•	 A	definição	de	permeabilidade	(P): P = DAB . S.	Ela	mede	a	capacidade	do	gás	de	penetrar	
o	sólido.	Uma	unidade	típica	é	kmol/(s . bar).
•	 Para	converter	a	fração	mássica	do	componente	i	em	uma	mistura	em	fração	molar	des-
se	mesmo	componente,	e	vice-versa,	usa-se	a	seguinte	equação:																																							.
RESUMO DO TÓPICO 1
283
AUTOATIVIDADE
1	 Em	um	lago	com	equilíbrio	entre	o	ar	e	a	superfície	(ver	figura	a	seguir),	a	temperatura	
é	de	27	 °C	e	a	pressão	atmosférica	é	de	 130	kPa.	Determine	a	fração	molar	de	ar	
dissolvido	na	superfície	do	lago.	Para	essa	temperatura,	a	pressão	de	saturação	da	
água	é	de	psat,água	(27	°C)	=	3,60	kPa.	Considere	condições	de	gás	ideal.
Fonte: os autores
284
285
MECANISMO DE CONVECÇÃO DE MASSA
UNIDADE 3 TÓPICO 2 — 
1 INTRODUÇÃO
Inicialmente,	estudamos	o	primeiro	mecanismo	de	transferência	de	massa:	a	
difusão,	percebendo	que	as	espécies	migram	de	uma	região	para	outra	devido	à	colisão	
molecular	entre	elas,	o	que	pode	ocorrer	nas	fases	gasosa,	líquida	e	sólida,	porém	com	
intensidades	diferentes.	Escrevemos	isso,	matematicamente,	utilizando	a	lei	de	Fick	da	
difusão.	
Neste	 tema	 de	 aprendizagem,	 veremos	 outro	 mecanismo	 de	 transporte	 de	
massa:	a	convecção.	Anteriormente,	vimos	a	convecção	de	calor,	na	Unidade	2,	como	
uma	das	formas	de	transferência	de	calor.	De	forma	análoga,	quando	há	a	movimenta-
ção	macroscópica	de	fluido,	a	transferência	de	massa	ocorrerá	não	apenas	por	difusão,	
mas	também	por	convecção	mássica.
Assim,	 apresentaremos	alguns	números	adimensionais,	 os	números	de	Sch-
midt,	de	Lewis	e	de	Sherwood,	esclarecendo	que	esses	números	serão	relevantes	para	
equacionarmos	a	transferência	de	massa	por	convecção.	
2 NÚMEROS ADIMENSIONAIS DA TRANSFERÊNCIA DE 
MASSA
Assim	como	discutido	na	transferência	de	calor,	existe	também	o	conceito	de	
convecção	de	massa.	De	forma	completamente	análoga	à	lei	de	Newton	do	resfriamen-
to,	poderíamos	expressar	a	taxa	de	convecção	mássica	como:
Nota-se	que	hmassa	é	o	coeficiente	convectivo	de	transferência	de	massa,	As	é	a	
área	da	superfície	normal	à	convecção	e	Cs – C∞	é	a	diferença	de	concentração	entre	
a	superfície	e	o	fluido	em	movimento.	Essa	analogia	é	válida	para	pequenas	taxas	de	
transferência	de	massa,	 em	que	a	 espécie	que	passa	por	 convecção	corresponde	a	
menos	de	10%	da	vazão	total	da	mistura	de	gás	ou	líquido.	Aqui,	a	convecção	também	
amplifica	 a	 transferência	 de	massa	 e,	 ainda,	 existe	 o	 conceito	 de	 camada	 limite	 de	
concentração:	a	região	onde	existem	gradientes	de	concentração	(Figura	6).
286
Figura 6 – Desenvolvimento da camada limite de concentração para uma espécie A 
no escoamento externo sobre uma superfície plana
Fonte: Çengel; Ghajar (2012, p. 831)
No	estudo	sobre	convecção	de	calor,	mencionamos	que	o	verdadeiro	desafio	
da	transferência	de	calor	é	determinar	os	coeficientes	convectivos	(h).	O	mesmo	ocorre	
com	a	transferência	de	massa	e,	para	tanto,	diversos	números	adimensionais	são	defi-
nidos	para	auxiliar	no	estudo	e	na	descrição	de	cada	problema.	Dessa	forma,	focaremos	
nos	conceitos	que	delineiam	a	convecção	de	massa	e	abordaremos,	ligeiramente,	o	seu	
estudo	prático	no	tópico	a	seguir.
O primeiro número adimensional que devemos mencionar é o 
número de Schmidt (Sc), que compara a difusão de momento 
com a difusão mássica:
NOTA
Talvez,	não	seja	evidente,	mas	esse	número	é	análogo	ao	número	de	Prandtl	
(Pr),	definido	na	Unidade	2.	Ambos	os	números	estão	intrinsecamente	relacionados	à	
formação	das	camadas	limites	térmica	e	de	concentração	em	escoamentos	laminares.	
Um	número	de	Prandtl	próximo	de	1	(Pr	≈	1)	indica	que	a	difusão	de	momento	e	de	ca-
lor	são	semelhantes,	de	modo	que	as	camadas	limites	de	velocidade	e	de	temperatura	
quase	coincidem.	O	mesmo	raciocínio	se	aplica	para	números	de	Schmidt	próximos	de	
1	(Sc	≈	1),	indicando	que	a	difusão	de	momento	e	de	massa	são	semelhantes,	de	modo	
que	as	camadas	limite	de	velocidade	e	de	concentração	quase	coincidem.
287
Assim,	um	pensamento	intuitivo	seria:	“se	podemos	comparar	as	camadas	limi-
tes	térmica	e	de	concentração	com	a	camada	limite	de	velocidade,	será	que	é	possível	
comparar	as	camadas	de	temperatura	e	concentração	entre	si?”.	A	resposta	é	sim	–	uti-
lizando	outro	número	adimensional,	o	chamado	número	de	Lewis.
O número de Lewis (Le) é definido como:
NOTA
Apesar	 de	 esses	 números	 dizerem	 muito	 sobre	 as	 camadas	 limites	 do	
escoamento,	ainda	não	é	evidente	como	eles	nos	ajudariam	a	determinar	o	coeficiente	
de	convecção	mássica	(hmassa).	Na	Unidade	2,	vimos	que	a	convecção	de	calor	poderia	
ser	estudada	com	base	no	número	de	Nusselt,	responsável	por	indicar	o	aumento	da	
transferência	de	 calor,	 como	 resultado	da	convecção	 frente	 à	 transferência	de	 calor	
por	 condução.	 Contudo,	 existe	 um	 número	 análogo	 ao	 número	 de	 Nusselt	 para	 a	
transferência	de	massa,	o	chamado	número	de	Sherwood.
O número de Sherwood (Sh) é definido pela seguinte expressão:
Em que LC é o comprimento característico do escoamento. Não 
surpreendentemente, é comum até mesmo encontrar bibliogra-
fias que se referem ao número de Sherwood como “número de 
Nusselt mássico”.
NOTA
288
3 CONVECÇÃO MÁSSICA
Com	esses	números	definidos,	o	estudo	da	convecção	passa	a	ser	uma	análise	
do	escoamento,	pois	observa-se	que,	assim	como	o	número	de	Nusselt	é	função	dos	
números	 de	 Reynolds	 e	 Prandtl,	 o	 número	 de	 Sherwood	 é	 função	 dos	 números	 de	
Reynolds	e	Schmidt:
Então,	surgem	diversas	correlações	para	diferentes	condições	de	escoamento,	
fluidos	e	geometrias,	capazes	de	determinaro	coeficiente	convectivo	hmassa	com	base	
nesses	números	adimensionais.	Combinando	os	três	fenômenos	de	transporte	(trans-
ferência	de	momento,	calor	e	massa),	chegamos,	então,	às	analogias	que	regem	todos	
os	seus	coeficientes	simultaneamente.
289
Neste tópico, você aprendeu:
•	 A	convecção	mássica	é	a	transferência	de	massa	na	presença	do	movimento	ma-
croscópico	de	fluidos.
•	 Assim	como	existe	a	camada	limite	hidrodinâmica	na	mecânica	dos	fluidos	e	a	cama-
da	limite	térmica	na	transferência	de	calor,	também	há	a	camada	limite	de	concen-
tração	na	transferência	de	massa,	formada	pelos	pontos	em	que	a	concentração	de	
uma	espécie	no	escoamento	de	um	fluido	é	afetada	pela	concentração	da	superfície	
onde	o	fluido	escoa.
•	 De	forma	análoga	com	o	que	acontece	na	convecção	de	calor,	usamos	alguns	nú-
meros	adimensionais	relevantes	para	estudar	a	convecção	de	massa,	facilitar	o	en-
tendimento	e	a	resolução	de	problemas,	e	escrever	correlações	úteis	para	diversos	
cálculos.	
•	 A	definição	do	número	de	Schmidt	(Sc = v/DAB),	que	compara	a	difusividade	de	mo-
mento	com	a	difusividade	mássica.	Um	valor	de	Sc ≈ 1	significa	que	as	difusões	de	
momento	e	de	massa	ocorrem	de	forma	parecida,	de	modo	que	as	camadas	limites	
de	velocidade	e	de	concentração	quase	coincidem.
•	 A	definição	do	número	de	Lewis	(Le = Sc/Pr = a/DAB),	que	compara	a	difusividade	tér-
mica	com	a	difusividade	mássica.	Por	meio	desse	adimensional,	é	possível	relacionar	
a	camada	limite	térmica	com	a	camada	limite	mássica.
•	 A	definição	do	número	de	Sherwood	(Sh = hmassa . Lc /DAB),	por	vezes,	também	chamado	
de	número	de	Nusselt	mássico,	pois	o	número	de	Sherwood	está	para	a	transferência	
de	massa,	assim	como	o	número	de	Nusselt	está	para	a	transferência	de	calor.	O	nú-
mero	de	Sherwood	evidencia	a	razão	entre	a	transferência	de	massa	por	convecção	
e	por	difusão.
•	 Conhecendo	 os	 números	 adimensionais	 previamente	 definidos,	 é	 possível	 obter	 cor-
relações	para	cálculo	de	hmassa,	visto	que	o	número	de	Sherwood	pode	ser	escrito	como	 
função	dos	números	de	Reynolds	e	de	Schmidt,	isto	é,																																																																								.
RESUMO DO TÓPICO 2
290
AUTOATIVIDADE
1	 Uma	garrafa	de	2	litros	de	refrigerante	se	encontra	a	27	°C	e	500	kPa.	No	seu	inte-
rior,	observa-se	a	presença	de	duas	fases	em	equilíbrio	termodinâmico:	uma	gasosa	
(contendo	CO2	e	vapor	de	água)	e	uma	líquida	(que	pode	ser	aproximada	como	uma	
solução	de	CO2	em	água).	Considerando	condições	de	gás	ideal	e	que	o	volume	de	
líquido	corresponde	a	uma	massa	de,	aproximadamente,	2	kg,	determine	a	massa	de	
CO2	dissolvido	na	fase	líquida.	Massas	molares:	MMH2O = 18 g/mol,	MMCO2 = 44 g/mol.	
Considere	psat,água (27 °C) = 3,60 kPa.
Fonte: os autores
291
TÓPICO 3 — 
ANALOGIA ENTRE OS FENÔMENOS 
DE TRANSPORTE
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Anteriormente,	estudamos	os	dois	mecanismos	que	podem	contribuir	para	a	
ocorrência	da	transferência	de	massa,	a	difusão	(devido	ao	choque	molecular	entre	as	
espécies)	e	a	convecção	(devido	à	movimentação	macroscópica	dos	fluidos).	Percebe-
mos	que	números	adimensionais,	como	o	de	Schmidt	e	o	de	Sherwood,	podem	funcio-
nar	como	ferramentas	simples,	porém	extremamente	úteis,	para	equacionar	problemas	
complexos.	
Entre	as	várias	definições	de	números	adimensionais	que	 já	estudamos,	será	
que	é	possível	relacioná-las?	Em	outras	palavras,	será	que	existe	alguma	relação	entre	
os	parâmetros	usados	na	mecânica	dos	fluidos	e	nas	transferências	de	calor	e	massa?	
A	resposta	para	essas	perguntas	é:	sim!	É	possível	fazermos	uma	analogia	entre	os	três	
tipos	de	fenômenos	de	transporte	que	estudamos,	o	que	é	muito	útil	para	resolvermos	
problemas	em	que	os	três	fenômenos	devam	ser	considerados	de	forma	simultânea.	
Neste	tema	de	aprendizagem,	veremos	essas	analogias,	apresentaremos	a	ana-
logia	de	Reynolds	e	definiremos	mais	um	número	adimensional,	o	número	de	Stanton.	
Por	fim,	estudaremos	a	analogia	de	Chilton-Colburn	e	algumas	correlações	experimen-
tais	entre	números	adimensionais.
2 ANALOGIA DE REYNOLDS E SUAS EXTENSÕES
	Acadêmico,	utilizaremos,	como	exemplo,	o	caso	hipotético	em	que	todas	as	
difusividades	sejam	idênticas:
v = a = DAB
Com	base	nos	números	adimensionais	que	definimos	anteriormente,	essa	
condição	leva	também	a:
Pr = Sc = Le = 1
Nesse	caso	particular,	os	perfis	normalizados	de	velocidade,	temperatura	e	
concentração	irão	coincidir.	Como	resultado	disso,	temos	também	que:
292
																																												ou
Simplificando,	como	Pr = Sc = 1,	podemos	também	escrever	esta	equação	da	
seguinte	forma:
Essa	relação	é	a	chamada	de	analogia de Reynolds.
A analogia de Reynolds é importantíssima para os fenômenos 
de transporte, pois permite relacionar os coeficientes de atrito, 
de transferência de calor e de transferência de massa entre si, 
parâmetros que, em uma primeira observação, nem parecem ter 
relação um com o outro.
IMPORTANTE
Por	conveniência,	é	comum	também	determinar	o	número	de	Stanton	(St),	que	
pode	ser	dado	nas	suas	formas	térmica	(Sttérmico)	e	mássica	(Stmássico),	respectivamente:
Com	isso,	a	analogia	pode	ser	escrita	como:
293
3 APLICAÇÃO DE CORRELAÇÕES EXPERIMENTAIS
Evidentemente,	a	analogia	de	Reynolds	é	um	caso	muito	específico	e	restrito.	
Ao	longo	da	história,	muitos	pesquisadores	buscaram	aprimorá-la,	estendendo-a	para	
outros	valores	de	Prandtl	e	Schmidt.	Entre	esses	trabalhos,	destaca-se	a	analogia	de	
Chilton-Colburn,	proposta	em	1934:
Tal	relação	é	válida	para	0,6 < Pr < 60 e 0,6 < Sc < 3.000.	Usando	as	definições	
dos	números	de	Stanton,	podemos	rearranjar	essas	equações,	formando	as	seguintes	
igualdades:
Como	é	possível	imaginar,	esta	última	equação	abre	inúmeras	portas	no	estudo	
dos	fenômenos	de	transporte,	relacionando	coeficientes	e	propriedades	de	fenômenos	
(aparentemente)	 distintos.	 A	 estratégia	 é,	 então,	 utilizar	 essas	 analogias	 junto	 a	
correlações	experimentais	para	diferentes	geometrias,	possibilitando	uma	compreensão	
unificada	dos	fenômenos	de	transporte.
Por	 simplicidade	 e	 valor	 conceitual,	 em	 resumo,	 entre	 as	 várias	 correlações	
existentes,	 Çengel	 e	 Ghajar	 (2012)	 apresentam	 as	 seguintes	 para	 o	 escoamento	
completamente	desenvolvido	em	tubos	circulares	lisos:
•	 Escoamento	laminar	(Re < 2.300):
•	 Escoamento	turbulento	(Re > 10.000):
294
Em	um	exemplo	 básico	 de	 como	utilizar	 essas	 correlações,	 podemos	 citar	 o	
interior	de	um	tubo	circular	liso	(D	=	0,1	m)	que	está	molhado	e,	para	secá-lo,	deseja-
se	 utilizar	 uma	 corrente	 de	 ar	 disponível	 a	 300	 K	 e	 1	 atm.	 A	 velocidade	 média	 do	
escoamento	é	de	2	m/s.	Determine	o	coeficiente	de	transferência	de	massa	(hmassa),	por	
meio	da	correlação	para	tubos	lisos	circulares.	Utilize	o	resultado	obtido	para	encontrar	
o	 coeficiente	 de	 transferência	 de	 calor	 com	 base	 na	 analogia	 de	 Chilton-Colburn.	
Considere	os	seguintes	dados,	com	propriedades	do	ar	seco	para	a	mistura:	Dágua,ar = 2,54 
. 10-5 m²/s; v = 1,562 . 10-5 m²/s; Pr = 0,7296; par = 1,184 kg/m³; cpar = 1.007 J/kg 
. K.
Solução:	as	considerações	usuais	são	válidas	–	regime	permanente,	propriedades	
constantes	e	escoamento	completamente	desenvolvido.	
O	primeiro	passo	é	determinar	o	número	de	Reynolds:
Esse	valor	indica	que	o	escoamento	é	turbulento	(Re > 10.000).	Logo,	para	utilizar	
a	correlação	adequada,	é	necessário	calcular	o	valor	do	número	de	Schmidt	(o	número	
de	Prandtl	foi	fornecido).	Pela	definição:
Podemos	reparar	que	esse	valor	é	 inferior	à	faixa	proposta	para	utilização	da	
correlação	(mínimo	de	0,7).	Entretanto,	na	ausência	de	outra	mais	apropriada,	utilizare-
mos	essa,	considerando	que	o	valor	encontrado	será	uma	aproximação	razoável.	Com	
isso,	podemos	determinar	o	número	de	Sherwood:
Então,	 pela	 definição	 do	 número	 de	 Sherwood,	 chega-se	 ao	 coeficiente	 de	
transferência	de	massa:
295
Em	posse	desse	valor,	podemos	determinar	o	coeficiente	de	transferência	de	
calor	utilizando	a	analogia	de	Chilton-Colburn