fenomenos de transporte

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TransporTe
Prof. Henryck Cesar
Prof. Hungaro Yoshi
Prof. Ramon Gomes de Castro Lourenço
Prof. Rodrigo Orgeda
Fenômenos de
Indaial – 2023
2a Edição
Impresso por:
Elaboração:
Prof. Henryck Cesar
Prof. Hungaro Yoshi
Prof. Ramon Gomes de Castro Lourenço
Prof. Rodrigo Orgeda
Copyright © UNIASSELVI 2023
 Revisão, Diagramação e Produção:
Equipe Desenvolvimento de Conteúdos EdTech
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada pela equipe Conteúdos EdTech UNIASSELVI
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO LEONARDO DA VINCI.
Núcleo de Educação a Distância. CESAR, Henryck.
Fenômenos de Transporte. Henryck Cesar; Hungaro Yoshi; Ramon Gomes de 
Castro Lourenço; Rodrigo Orgeda. Indaial - SC: Arqué, 2023.
304p.
ISBN 978-65-5646-586-9
ISBN Digital 978-65-5646-587-6
“Graduação - EaD”.
1. Fenômenos 2. Transporte 3. Engenharia 
CDD 620.106
Bibliotecário: João Vivaldo de Souza CRB- 9-1679
Olá, acadêmico! Seja bem-vindo ao Livro Didático de Fenômenos de Transporte, 
que iniciará os seus estudos acerca de uma disciplina fundamental para a maioria dos 
cursos de Engenharia, uma vez que busca explicar como as transferências de momento 
(mecânica dos fluidos), de calor e de massa acontecem na natureza. Esse entendimento 
permite desenvolver processos e equipamentos para diversas aplicações, mas, mais do 
que isso, desenvolverá a habilidade de observar e analisar os fenômenos da natureza.
Para tomar uma xícara de chá, precisa-se de água, a qual é fornecida por longos 
sistemas de abastecimento, os quais contam com tubulações, bombas, válvulas e caixas 
d’água. Entender quais são as energias associadas ao escoamento de um fluido (nesse 
caso, o fluido é a água) é um clássico problema de mecânica dos fluidos, um conteúdo 
que será abordado nas Unidades 1 e 2.
Após colocar a água em um recipiente, será necessário aquecê-la. Isso pode 
ser feito de diferentes maneiras, mas consiste, essencialmente, em adicionar energia 
à água até alcançar a temperatura desejada – um problema de transferência de calor, 
assunto que estudaremos na Unidade 2. Por fim, resta apenas colocar o saquinho de 
chá nessa água, iniciando um processo de infusão – moléculas que dão aroma e sabor 
saem das ervas do chá e são transportadas para a água, processo que está relacionado 
à transferência de massa, que será discutida na Unidade 3.
Nesse momento, podem surgir algumas dúvidas, como: qual potência seria 
necessária para que a bomba seja capaz de escoar a água da estação de tratamento 
até as torneiras de casa? Haverá diferença em fazer o chá em um dia mais frio ou em um 
dia mais quente? Quanto tempo levará até que a infusão esteja completa? Quanto o chá 
terá esfriado por estar exposto ao ambiente? O estudo dos fenômenos de transporte 
procura responder a perguntas como essas, presentes desde situações mais simples do 
cotidiano até aplicações complexas, por estarem inseparavelmente ligadas à natureza.
O objetivo deste livro é dar um enfoque prático à disciplina de Fenômenos de 
Transporte, apontando os caminhos que você, como futuro engenheiro, deverá seguir, 
caso necessite se aprofundar em qualquer um dos assuntos abordados. Assim, aproveite 
o processo de aprendizagem e entenda que só não gostamos daquilo que sabemos 
pouco, então, siga o fluxo de leitura mesmo que, naquele momento, você não tenha 
entendido algum termo – lá na frente, ele poderá fazer sentido ou você pode buscá-
lo em outras fontes. Saber pesquisar é uma das competências que esperamos de um 
profissional de Engenharia. Quando tudo se conectar em sua mente, você comprovará 
que o conhecimento é realmente libertador!
Bons estudos!
Prof. Henryck Cesar
Prof. Hungaro Yoshi
Prof. Ramon Gomes de Castro Lourenço
Prof. Rodrigo Orgeda
APRESENTAÇÃO
GIO
Olá, eu sou a Gio!
No livro didático, você encontrará blocos com informações 
adicionais – muitas vezes essenciais para o seu entendimento 
acadêmico como um todo. Eu ajudarei você a entender 
melhor o que são essas informações adicionais e por que você 
poderá se beneficiar ao fazer a leitura dessas informações 
durante o estudo do livro. Ela trará informações adicionais 
e outras fontes de conhecimento que complementam o 
assunto estudado em questão.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos 
os acadêmicos desde 2005, é o material-base da disciplina. 
A partir de 2021, além de nossos livros estarem com um 
novo visual – com um formato mais prático, que cabe na 
bolsa e facilita a leitura –, prepare-se para uma jornada 
também digital, em que você pode acompanhar os recursos 
adicionais disponibilizados através dos QR Codes ao longo 
deste livro. O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura 
interna foi aperfeiçoada com uma nova diagramação no 
texto, aproveitando ao máximo o espaço da página – o que 
também contribui para diminuir a extração de árvores para 
produção de folhas de papel, por exemplo.
Preocupados com o impacto de ações sobre o meio ambiente, 
apresentamos também este livro no formato digital. Portanto, 
acadêmico, agora você tem a possibilidade de estudar com 
versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador.
Preparamos também um novo layout. Diante disso, você 
verá frequentemente o novo visual adquirido. Todos esses 
ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos 
nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos, 
para que você, nossa maior prioridade, possa continuar os 
seus estudos com um material atualizado e de qualidade.
Acadêmico, você sabe o que é o ENADE? O Enade é um 
dos meios avaliativos dos cursos superiores no sistema federal de 
educação superior. Todos os estudantes estão habilitados a participar 
do ENADE (ingressantes e concluintes das áreas e cursos a serem 
avaliados). Diante disso, preparamos um conteúdo simples e objetivo 
para complementar a sua compreensão acerca do ENADE. Confira, 
acessando o QR Code a seguir. Boa leitura!
Olá, acadêmico! Para melhorar a qualidade dos materiais ofertados a você – 
e dinamizar, ainda mais, os seus estudos –, nós disponibilizamos uma diversidade de QR 
Codes completamente gratuitos e que nunca expiram. O QR Code é um código que permite 
que você acesse um conteúdo interativo relacionado ao tema que você está estudando. Para 
utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos e baixe um leitor de QR Code. Depois, 
é só aproveitar essa facilidade para aprimorar os seus estudos.
ENADE
LEMBRETE
Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma 
disciplina e com ela um novo conhecimento. 
Com o objetivo de enriquecer seu conheci-
mento, construímos, além do livro que está em 
suas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, 
por meio dela você terá contato com o vídeo 
da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complementa-
res, entre outros, todos pensados e construídos na intenção de 
auxiliar seu crescimento.
Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que 
preparamos para seu estudo.
Conte conosco, estaremos juntos nesta caminhada!
QR CODE
SUMÁRIO
UNIDADE 1 — INTRODUÇÃO AOS FENÔMENOS DE TRANSPORTE E À MECÂNICA 
DOS FLUIDOS .................................................................................................. 1
TÓPICO 1 — CONCEITOS DOS FENÔMENOS DE TRANSPORTE E DA MECÂNICA DOS 
FLUIDOS .............................................................................................................5
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................................5
2 LEIS DE CONSERVAÇÃO, DIMENSÕES E UNIDADES DE MEDIDA ....................................5
2.1 LEIS DE CONSERVAÇÃO ..................................................................................................................... 6
2.2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS ............................................................................................................8
2.2.1 Dimensões e unidades de medida ..........................................................................................9
2.2.2 Frações mássicas e molares .................................................................................................. 11
3 BALANÇO MATERIAL ........................................................................................................ 16
3.1 SISTEMAS ............................................................................................................................................. 16
3.2 SISTEMAS COM MÚLTIPLOS COMPONENTES...............................................................................21
3.3 ESTRATÉGIAS PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ..................................................................25
4 RECICLO, BYPASS E PURGA ........................................................................................... 30
4.1 RECICLO .................................................................................................................................................30
4.2 BYPASS E PURGA ...............................................................................................................................35
5 FLUIDO E A LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE .............................................................. 40
5.1 O CONCEITO DE FLUIDO ................................................................................................................... 40
5.2 TENSÃO DE CISALHAMENTO E A LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE ...................................43
5.3 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS .......................................................................................................45
6 ANÁLISE DIMENSIONAL .................................................................................................. 53
6.1 EQUAÇÕES DIMENSIONAIS ...............................................................................................................53
6.2 NÚMEROS ADIMENSIONAIS .............................................................................................................56
RESUMO DO TÓPICO 1 ........................................................................................................ 63
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................. 65
TÓPICO 2 — ESTÁTICA DE FLUIDOS ................................................................................... 69
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 69
2 PRESSÃO E SUAS RELAÇÕES MATEMÁTICAS ............................................................... 69
2.1 O CONCEITO DE PRESSÃO ................................................................................................................69
2.2 LEI DE PASCAL .....................................................................................................................................71
2.3 TEOREMA DE STEVIN E CARGA DE PRESSÃO............................................................................. 74
3 ESCALAS E UNIDADES DE PRESSÃO ..............................................................................76
4 MEDIDORES DE PRESSÃO ............................................................................................... 80
4.1 BARÔMETRO ......................................................................................................................................... 81
4.2 MANÔMETRO DE BOURDON ............................................................................................................82
4.3 PIEZÔMETRO (COLUNA PIEZOMÉTRICA) ......................................................................................83
4.4 TUBO EM U .......................................................................................................................................... 84
5 EQUAÇÃO MANOMÉTRICA .............................................................................................. 86
6 EMPUXO ............................................................................................................................ 92
RESUMO DO TÓPICO 2 .........................................................................................................97
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................. 98
TÓPICO 3 — CINEMÁTICA DE FLUIDOS ............................................................................. 101
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 101
2 CARACTERIZAÇÃO DO ESCOAMENTO .......................................................................... 101
2.1 VISCOSO OU NÃO VISCOSO .............................................................................................................101
2.2 INTERNO OU EXTERNO ...................................................................................................................102
2.3 COMPRESSÍVEL OU INCOMPRESSÍVEL ......................................................................................103
2.4 NATURAL OU FORÇADO..................................................................................................................105
2.5 PERMANENTE OU TRANSIENTE ...................................................................................................105
2.6 LAMINAR OU TURBULENTO ...........................................................................................................106
2.7 UNIDIMENSIONAL, BIDIMENSIONAL OU TRIDIMENSIONAL ....................................................109
3 TRAJETÓRIA E LINHA DE CORRENTE ........................................................................... 110
4 VAZÃO E VELOCIDADE MÉDIA ....................................................................................... 112
5 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE EM REGIME PERMANENTE ...........................................117
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................... 121
RESUMO DO TÓPICO 3 .......................................................................................................123
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................125
REFERÊNCIAS ....................................................................................................................128
UNIDADE 2 — BALANÇO DE ENERGIA MACROSCÓPICO E TRANSFERÊNCIA 
DE CALOR ....................................................................................................129
TÓPICO 1 — EQUAÇÃO DA ENERGIA E SUAS IMPLICAÇÕES ...........................................133
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................133
2 DEFINIÇÕES E TIPOS DE ENERGIAS MECÂNICAS ........................................................133
2.1 ENERGIA POTENCIAL (E
p) ................................................................................................................ 135
2.2 ENERGIA CINÉTICA (Ec) .................................................................................................................. 135
2.3 ENERGIA DE PRESSÃO (Epr) .......................................................................................................... 136
2.4 ENERGIA MECÂNICA TOTAL DO FLUIDO (EM) ............................................................................ 137
3 EQUAÇÃO DE BERNOULLI E SUA APLICAÇÃO EM MEDIDORES DE VELOCIDADE ..... 137
3.1 EQUAÇÃO DE BERNOULLI ...............................................................................................................138
3.2 TUBO DE PITOT ................................................................................................................................. 143
4 EXTENSÕES DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI: TRABALHO E FLUIDOS REAIS ...............148
4.1 BOMBAS E TURBINAS NA EQUAÇÃO DA ENERGIA ...................................................................1484.2 EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA FLUIDOS REAIS ......................................................................... 153
5 ESCOAMENTOS EM CONDUTOS ....................................................................................158
5.1 CONDUTOS E SUAS CARACTERÍSTICAS FÍSICAS ..................................................................... 159
5.2 CAMADA LIMITE HIDRODINÂMICA ............................................................................................... 162
5.2.1 Camada limite em uma placa plana ................................................................................... 162
5.2.2 Camada limite em condutos................................................................................................ 165
6 PERDAS DE CARGA .........................................................................................................166
6.1 PERDA DE CARGA DISTRIBUÍDA ....................................................................................................167
6.2 PERDA DE CARGA LOCALIZADA (SINGULAR) ........................................................................... 174
6.3 INSTALAÇÕES DE RECALQUE .......................................................................................................180
RESUMO DO TÓPICO 1 .......................................................................................................190
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................192
TÓPICO 2 — INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE CALOR .............................................195
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................195
2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS ........................................................................................195
3 CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL ......................................................................................199
3.1 CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE .................................................... 199
3.2 RESISTÊNCIA TÉRMICA .................................................................................................................. 203
4 FUNDAMENTOS DA CONVECÇÃO ..................................................................................210
4.1 LEI DE NEWTON DO RESFRIAMENTO ...........................................................................................210
4.2 CAMADA LIMITE TÉRMICA .............................................................................................................. 212
4.3 CONVECÇÃO EM CIRCUITOS TÉRMICOS ....................................................................................214
5 FUNDAMENTOS DA RADIAÇÃO ......................................................................................218
RESUMO DO TÓPICO 2 ...................................................................................................... 222
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................... 224
TÓPICO 3 — TROCADORES DE CALOR ............................................................................. 227
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 227
2 TIPOS DE TROCADORES DE CALOR ............................................................................. 227
3 TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM TROCADORES .......................................................... 234
3.1 MÉDIA LOGARÍTMICA DAS TEMPERATURAS ............................................................................. 234
3.2 COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR ....................................................... 235
4 ANÁLISE DE TROCADORES DE CALOR ........................................................................ 243
LEITURA COMPLEMENTAR ...............................................................................................251
RESUMO DO TÓPICO 3 ...................................................................................................... 254
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................... 256
REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 259
UNIDADE 3 — INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE MASSA ..........................................261
TÓPICO 1 — MECANISMO DE DIFUSÃO DE MASSA ......................................................... 263
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 263
2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS ....................................................................................... 263
3 DIFUSÃO MÁSSICA .........................................................................................................267
RESUMO DO TÓPICO 1 ...................................................................................................... 282
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................... 283
TÓPICO 2 — MECANISMO DE CONVECÇÃO DE MASSA ................................................... 285
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 285
2 NÚMEROS ADIMENSIONAIS DA TRANSFERÊNCIA DE MASSA ................................... 285
3 CONVECÇÃO MÁSSICA .................................................................................................. 288
RESUMO DO TÓPICO 2 ...................................................................................................... 289
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................... 290
TÓPICO 3 — ANALOGIA ENTRE OS FENÔMENOS DE TRANSPORTE ...............................291
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................291
2 ANALOGIA DE REYNOLDS E SUAS EXTENSÕES ...........................................................291
3 APLICAÇÃO DE CORRELAÇÕES EXPERIMENTAIS ...................................................... 293
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................. 297
RESUMO DO TÓPICO 3 ...................................................................................................... 302
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................... 303
REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 304
1
UNIDADE 1 — 
INTRODUÇÃO AOS 
FENÔMENOS DE 
TRANSPORTE E À MECÂNICA 
DOS FLUIDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
•	 definir	o	que	são	os	fenômenos	de	transporte:	transferência	de	momento	(mecânica	
dos	fluidos),	calor	e	massa,	e	estruturar	os	conceitos	básicos	necessários	para	lidar	
com	problemas	relacionados,	como	conversão	de	unidades	e	fração	mássica;
•	 estudar	o	conceito	de	balanço	material,	abordando	estratégias	de	resolução	e	aplica-
ções,	como	reciclo,	bypass	e	purga;
•	 introduzir	o	estudo	da	mecânica	dos	fluidos,	por	meio	da	conceitualização	dos	flui-
dos,	da	definição	da	tensão	de	cisalhamento	e	dos	conceitos	de	viscosidade	absoluta	
(dinâmica),	massa	específica,	peso	específico	e	viscosidade	cinemática;
•	 estudar	a	teoria	matemática	da	análise	dimensional,	apresentando	a	sua	aplicação	na	
mecânica	dos	fluidos	e	os	números	adimensionais;
•	 resgatar	o	estudo	da	pressão,	por	meio	da	sua	definição,	do	Teorema	de	Stevin,	da	Lei	
de	Pascal	e	do	conceito	de	carga	de	pressão;
•	 determinar	os	diferentes	referenciais	físicos	existentes	para	a	medição	da	pressãoe	
as	principais	unidades	de	medida	empregadas,	assim	como	conhecer	os	principais	
instrumentos	utilizados	para	a	medição	de	pressão	em	diferentes	situações	e	revisar	
a	definição	de	empuxo;
•	 revisitar	os	conceitos	de	regime	permanente	e	transiente,	apresentando	as	defini-
ções	de	escoamento	laminar,	turbulento	e	unidimensional;
•	 trabalhar	com	a	lei	de	conservação	da	massa,	para	definir	a	equação	da	continuidade	
para	o	escoamento	de	fluidos	em	regime	permanente.
2
PLANO DE ESTUDOS
	 A	cada	tópico	desta	unidade	você	encontrará	autoatividades	com	o	objetivo	de	
reforçar	o	conteúdo	apresentado.
TÓPICO	1	–	 CONCEITOS	DOS	FENÔMENOS	DE	TRANSPORTE	E	DA	MECÂNICA	DOS	
FLUIDOS	
TÓPICO	2	–	ESTÁTICA	DE	FLUIDOS
TÓPICO	3	–	CINEMÁTICA	DE	FLUIDOS
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos em frente! Procure 
um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá melhor as informações.
CHAMADA
3
CONFIRA 
A TRILHA DA 
UNIDADE 1!
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QR Code abaixo:
4
5
CONCEITOS DOS FENÔMENOS DE 
TRANSPORTE E DA MECÂNICA DOS 
FLUIDOS
TÓPICO 1 — UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO 
Inicialmente,	sabemos	os	três	fenômenos	de	transporte	podem	ser	estudados	
de	forma	conjunta,	pois	sua	natureza	é	muito	parecida,	sendo,	às	vezes,	até	matemati-
camente	similares	(modelos	matemáticos	semelhantes	para	problemas	análogos).	Isso	
significa	que,	entendendo	o	conceito	de	um	dos	fenômenos,	não	será	difícil	entender	o	
conceito	dos	outros.	Nesse	momento,	você	pode	se	perguntar:	o	que	são	fenômenos	de	
transporte?	Essa	e	outras	perguntas	iniciais	sobre	o	assunto	serão	respondidas	neste	
primeiro	tema	de	aprendizagem.	
Alguns	termos	importantes	serão	definidos,	como	lei	de	conservação.	Aborda-
remos	as	grandezas	e	as	unidades	relevantes	na	Engenharia	e	como	realizar	conversões	
de	unidade	usando	fatores	de	conversão,	algo	que	será	extremamente	importante	para	
resolução	de	vários	problemas.	Em	seguida,	tendo	como	base	o	princípio	de	conserva-
ção	de	massa,	discutiremos	os	balanços	materiais	para	sistemas	não	reativos.	Também	
identificaremos	algumas	correntes	que	possuem	características	particulares	e	são	mui-
to	relevantes	na	indústria,	como	o	reciclo	e	o	bypass.	
Ainda,	veremos	o	conceito	de	fluido	e	suas	propriedades,	e	um	dos	modelos	
matemáticos	mais	famosos	para	sua	descrição	–	a	lei	de	Newton	da	viscosidade.	Por	
fim,	entenderemos	a	importância	da	análise	dimensional	na	resolução	de	problemas	de	
Engenharia.
2 LEIS DE CONSERVAÇÃO, DIMENSÕES E UNIDADES DE 
MEDIDA
Nesse	primeiro	momento,	discutiremos	com	mais	rigor	os	chamados	balanços	
materiais,	pois	se	trata	de	um	conhecimento	fundamental	para	nos	familiarizarmos	com	
o	uso	das	leis	de	conservação.	Além	disso,	esclareceremos	como	lidar	com	conversões	
de	uma	unidade	para	outra	utilizando	fatores	de	conversão.	
6
2.1 LEIS DE CONSERVAÇÃO 
Para	embasar	os	fenômenos	de	transporte,	precisamos,	primeiramente,	definir	
as	chamadas	leis	de	conservação,	com	destaque	para	três	dessas	leis:	Lei	da	Conser-
vação	da	Massa,	Segunda	Lei	de	Newton	e	Primeira	Lei	da	Termodinâmica	(Quadro	1).
Quadro 1 – Leis de conservação e suas equações correspondentes
Fonte: adaptado de Welty; Rorrer; Foster (2017)
Lei Equação
Lei	da	Conservação	da	Massa Equação	da	Continuidade
Segunda	Lei	de	Newton Teorema	do	Momento
Primeira	Lei	da	Termodinâmica Equação	da	Energia
Leis de conservação definem que uma propriedade de um 
sistema isolado não varia ao longo do tempo. Em outras pala-
vras: a propriedade não se cria nem é destruída. Dessa forma, 
para cada relação de conservação, há uma equação de balanço, 
que é obedecida pelo sistema (WELTY; RORRER; FOSTER, 2017).
NOTA
As	leis	de	conservação	são	mais	facilmente	entendidas	observando-se	a	forma	
genérica	das	equações	de	balanço:	
Podemos	citar,	como	exemplo	de	 lei	de	conservação	da	massa:	o	sistema	de	
uma	pia	de	cozinha,	em	que,	ao	abrirmos	a	torneira,	permitimos	uma	entrada	de	água	
no	sistema.	A	água	desce	pelo	ralo,	que,	por	sua	vez,	é	a	saída	de	água	do	sistema.	Se	
tamparmos	o	ralo,	fechamos	a	saída	do	sistema,	de	modo	que	a	pia	começa	a	encher	–	
este	é	o	acúmulo	do	sistema.	
Evidentemente,	desconsideramos	outras	possíveis	saídas	ou	entradas	de	água	
(como	a	evaporação	da	água	para	a	atmosfera),	mas	o	intuito	é	observarmos	a	natureza	
das	leis	de	conservação:	tudo	que	entra	no	sistema,	ou	sai	ou	fica.	Apesar	de	soar	como	
um	conceito	bastante	simples	ou,	até	mesmo,	óbvio,	as	leis	de	conservação	são	instru-
mentos	essenciais	para	o	entendimento	dos	fenômenos	de	transporte.
7
Acadêmico, uma segunda observação fundamental, acerca 
dos fenômenos de transporte, é a noção de força motriz. 
Se há um desequilíbrio de uma propriedade em um meio, 
a natureza tende a redistribuí-la até que um equilíbrio seja 
estabelecido – a esta tendência é dado o nome de força mo-
triz, frequentemente, descrita no contexto dos fenômenos de 
transporte como os “gradientes”:
• Mecânica dos fluidos: gradiente de momento.
• Transferência de calor: gradiente de temperatura.
• Transferência de massa: gradiente de concentração.
IMPORTANTE
A	Figura	1	apresenta	o	conceito	de	“gradiente”	de	temperatura.	O	objeto	apre-
sentado,	semelhante	a	um	cilindro	metálico,	tem	duas	extremidades,	e	a	sua	cor	está	
representada	de	acordo	com	a	temperatura	em	cada	ponto	do	objeto.	A	parte	azul	está	a	
uma	temperatura	menor,	enquanto	a	parte	avermelhada	está	a	uma	temperatura	maior.	
A	variação	de	temperatura,	ao	longo	da	superfície,	é	gradativa,	aumentando	da	extremi-
dade	azul	até	a	vermelha.	Essa	variação	gradativa	é	o	chamado	gradiente	de	tempera-
tura.	Os	gradientes	de	momento	e	concentração	funcionam	de	maneira	análoga.
Figura 1 – Gradiente de temperatura
Fonte: os autores
8
Nesse	exemplo,	a	tendência	da	natureza	é	fazer	com	que	a	temperatura	da	su-
perfície	fique	uniforme,	transferindo	energia	da	parte	mais	quente	para	a	parte	mais	fria	
(considerando	apenas	a	superfície,	sem	nenhuma	 interferência	externa,	promovendo	
seu	aquecimento	ou	seu	resfriamento).	Isso	acontece	molécula	a	molécula,	por	meio	de	
movimentos	aleatórios	e	colisões	entre	elas	–	um	processo	de	difusão	molecular,	que	
pode	ser	descrito	por	equações.	A	Tabela	1	compara	as	equações	para	as	três	proprie-
dades	em	estudo.
Tabela 1 – Equações unidimensionais para os fenômenos de difusão
Fonte: adaptada de Hauke (2008)
Propriedade Lei Equação
Momento Lei	de	Newton	da	Viscosidade
Calor Lei	de	Fourier	da	Condução	Térmica
Massa Lei	de	Fick	da	Difusão
Nesse momento, é importante notarmos a semelhança entre 
as equações apresentadas na Tabela 1, que são exemplos do 
que foi dito no início quanto aos modelos matemáticos serem 
semelhantes para problemas análogos. Essas equações serão 
apresentadas apenas para ilustrar essa relação, sendo detalha-
das gradativamente ao longo deste livro.
ESTUDOS FUTUROS
2.2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Até	aqui,	conhecemos	o	que	são	os	chamados	fenômenos	de	transporte	e	de	
que	maneira	os	observamos	na	natureza.	A	partir	de	agora,	iniciaremos	um	estudo	mais	
direcionado	à	definição	de	alguns	conceitos	básicos,	para	entendermos	e	interpretar-
mos	os	problemas	que	podem	ser	encontrados	durante	todo	o	curso,	mesmo	que	alguns	
desses	conceitos	já	tenham	sido	estudados	em	disciplinas	básicas	de	química	e	física.	O	
intuito	é	fazer	isso	da	forma	mais	objetiva	e	direta	possível,	para	que	possamos	progredir	
no	estudo	dos	fenômenos	de	transporte	com	tranquilidade.	Além	disso,	é	 importante	
nos	acostumarmos	com	alguns	dos	muitos	termos	e	notações	que	serão	utilizados	até	o	
fim	deste	material	–	literaturas	e	idiomas	diferentes,	frequentemente,	utilizam	símbolos	
distintos	para	os	mesmos	parâmetros	(por	exemplo,	“m”	ou	“w”	para	massa).
9
2.2.1 Dimensões e unidades de medida
Quando	se	trata	de	problemas	de	Engenharia,	a	resposta	dificilmente	será	apenas	
um	número	–	geralmente,	ela	será	um	número	acompanhado	de	uma	unidade	de	medida.	
Por	exemplo:	“a	altura	é	de	9	metros”	é	uma	resposta	apropriada,	mas,	por	outro	lado,	dizer	
apenas	“a	alturaé	de	9”	não	define	a	sua	unidade	de	medida,	portanto,	é	uma	resposta	
incompleta.	Poderiam	ser	9	centímetros,	9	metros	ou,	até	mesmo,	9	quilômetros.
Uma	habilidade	fundamental	para	um	engenheiro	é	ter	noção	das	grandezas	
com	que	ele	trabalha.	Isso	permite	identificar	quando	algum	valor	parece	errado	e	ajuda	
a	fazer	comparações	entre	situações	distintas.	Mais	ainda,	saber	trabalhar	com	as	di-
mensões	ajuda	a	interpretar	o	problema	e	muitas	das	grandezas	físicas	fundamentais	
para	a	Engenharia.
O primeiro passo para uma clara compreensão é definirmos a 
diferença entre dimensão e unidade de medida:
• Dimensão: refere-se à grandeza física em questão, como 
distância ou altura, velocidade, temperatura e tempo.
• Unidade de medida: refere-se à forma de expressar as 
dimensões, como metros (para a distância ou altura), quilô-
metros por hora (velocidade), graus Celsius (temperatura) e 
segundos (tempo) (HIMMELBLAU; RIGGS, 2003).
NOTA
Ao	longo	deste	material,	usaremos,	preferencialmente,	as	unidades	do	Sistema	
Internacional	de	Unidades	(SI):	metro	(m)	para	distância,	quilograma	(kg)	para	massa,	
segundo	(s)	para	tempo,	Kelvin	(K)	para	temperatura	e	mol	(mol)	para	a	quantidade	de	
matéria.	Possíveis	exceções	estarão	presentes	apenas	quando	forem	importantes.
Observaremos	que	os	cálculos	apresentados,	frequentemente,	terão	os	núme-
ros	acompanhados	de	suas	unidades,	sendo	altamente	recomendado	o	seu	uso,	para	
uma	melhor	compreensão	das	operações	e	variáveis	trabalhadas,	conforme	mostrare-
mos	no	exemplo	a	seguir.
Com	os	seguintes	fatores de conversão:	uma	milha	corresponde	a	5.280	pés;	
um	pé,	a	12	polegadas;	e	uma	polegada,	a	2,54	centímetros,	e	sabendo	que	a	altura	do	
monte	Everest	é	de,	aproximadamente,	5,49	milhas,	como	convertemos	este	valor	para	
metros?	Um	método	organizado	e	eficiente	de	converter	unidades	é	multiplicar	o	nú-
mero	de	unidade	conhecida	(no	caso,	5,498	milhas)	pelos	fatores	de	conversão	neces-
sários	(milha-pés,	pé-polegadas,	polegada-centímetros	e,	é	claro,	centímetros-metro).	
Para	melhor	visualização,	separaremos	cada	fator	de	conversão	por	uma	barra	vertical,	
entendida	como	um	operador	de	multiplicação	ou	parênteses.
10
Nota-se	que	cada	uma	dessas	“frações”	é	igual	a	um:	se	uma	milha	equivale	a	
5.280	pés,	a	divisão	de	5.280	pés	por	uma	milha	é	igual	a	um.	Isso	comprova	que	não	
alteramos	a	altura	(dimensão)	do	monte	Everest,	apenas	convertendo-a	entre	diferen-
tes	unidades	de	medida.
Uma	maneira	prática	de	acompanhar	se	as	conversões	estão	adequadas	é	es-
crever	todas	elas	em	uma	única	expressão	e	“cortar”	as	unidades	que	se	“cancelam”,	da	
mesma	forma	que,	provavelmente,	fazemos	no	estudo	de	matemática	e	física	básicas:
Acadêmico,	você	pode	se	perguntar:	todos	esses	cálculos	não	poderiam	ter	sido	
resolvidos	por	uma	série	de	regra	de	três?	A	pergunta	é	fantástica	e	significa	que	seu	
raciocínio	está	no	caminho	certo.	Apesar	de	podermos	utilizar	uma	série	de	regra	de	três	
para	chegarmos	ao	mesmo	resultado,	a	maneira	prática,	apresentada	anteriormente,	
nos	ajuda	a	visualizar	como	as	unidades	irão	se	cancelar	e	qual	será	nossa	unidade	final.	
Acredite,	isso	será	muito	útil	em	cálculos	mais	complexos,	pois	será	um	indicador	para	
saber	se	o	resultado	está	correto.	Dessa	forma,	os	demais	exemplos	e	problemas	serão,	
preferencialmente,	resolvidos	dessa	maneira.
O exemplo anterior tem, por objetivo, demonstrar o trabalho com 
dimensões e unidades de medida por meio de um problema de 
conversão de unidades. Contudo, nota-se que o método descrito 
pode parecer problemático ao trabalhar com temperaturas, 
pois suas diferentes unidades não estão relacionadas a fatores 
de conversão, mas, sim, a equações. Assim, o correto é avaliar a 
variação de temperatura: uma variação de 1 °C equivale a uma 
variação de 1,8 °F, por exemplo.
ATENÇÃO
11
2.2.2 Frações mássicas e molares
Na	prática,	ao	tratar	de	processos,	é	fundamentalmente	importante	conhecer-
mos	os	componentes	presentes	em	cada	uma	de	suas	etapas.	Mais	do	que	isso,	com	
frequência,	encontraremos	mais	de	um	componente	no	processo,	na	forma	de	misturas	
e	soluções.	Conhecermos	as	proporções	em	que	cada	componente	se	apresenta	per-
mite	uma	melhor	compreensão	do	sistema,	levando	a	melhores	soluções	para	possíveis	
problemas.	Para	descrevermos	essas	proporções,	utilizamos	as	chamadas	frações	mo-
lares	e	as	frações	mássicas.
É importante definirmos o que é fração mássica:
Fração mássica: a massa de uma substância dividida pela massa 
total de todos os componentes da mistura (ou solução) em que 
ela está presente (HIMMELBLAU; RIGGS, 2003).
NOTA
Iniciaremos	com	um	exemplo	 simples	 sobre	 fração	mássica	de	uma	 solução	
com	dois	componentes:	uma	dada	solução	contém	os	componentes	A	e	B,	sendo	360	g	
de	A	e	700	g	de	B.	Qual	é	a	composição	mássica	desta	solução?
Conhecendo	a	fração	mássica	do	componente	A,	podemos	utilizar	outra	manei-
ra	para	determinar	a	fração	mássica	do	componente	B:
12
É	 fundamental	 notarmos	 que	 a	 somatória	 das	 frações	mássicas	 ou	molares	
deve	sempre	ser	igual	a	1,	ou	seja,	a	somatória	das	porcentagens	deve	ser	igual	a	100%.	
Matematicamente,	para	n	componentes:
Uma vez compreendido o conceito de fração mássica, fica fácil 
entendermos o conceito de fração molar, pois são bastante 
semelhantes.
Fração molar: o número de mols de uma substância dividido 
pelo número total de mols da mistura (ou solução) em que ela 
está presente (HIMMELBLAU; RIGGS, 2003).
NOTA
Propomos,	então,	mais	um	exemplo:	qual	é	a	composição	molar	de	uma	solução	
que	contém	os	componentes	A,	B	e	C	com	1	mol,	5	mols	e	3	mols,	respectivamente?
Um	tipo	de	cálculo	importante	consiste	na	conversão	da	fração	mássica	de	uma	
solução	para	fração	molar	ou	o	contrário.	Para	realizarmos	tal	conversão,	faz-se	neces-
sária	uma	informação	adicional	sobre	a	massa	molar	dos	componentes	presentes	na	
solução.	Além	disso,	precisamos	saber	que	o	número	de	mols	(n)	pode	ser	determinado	
pela	razão	entre	a	massa	do	composto	(m)	e	sua	massa	molar	(MM):
13
Para	exemplificar,	a	Tabela	2	mostra	os	dados	de	fração	mássica	e	massa	molar	
de	cada	composto	presente	em	uma	solução.	Dessa	forma,	calcule	a	composição	molar,	
sabendo	que	a	solução	possui	uma	massa	total	de	100	g.
Tabela 2 – Dados de composição para resolução do exemplo proposto
Fonte: os autores
Composto Massa molar (g/gmol) Fração mássica
A 50 0,20
B 40 0,30
C 20 0,45
D 25 0,05
Total – 1
Solução:	para	o	composto	A,	temos	que:
Em	posse	dos	valores	de	massa	e	massa	molar	do	composto	A,	podemos	facil-
mente	determinar	o	número	de	mols	desse	composto:
Utilizando	o	mesmo	raciocínio	para	os	outros	compostos,	chegamos	ao	resulta-
do	apresentado	na	Tabela	3.
14
Tabela 3 – Massa e quantidade de mols obtidas para o exemplo proposto após os cálculos
Fonte: os autores
Composto
Massa molar 
(g/gmol)
Fração mássica Massa (g)
Número de mols 
(mols)
A 50 0,20 20 0,40
B 40 0,30 30 0,75
C 20 0,45 45 2,25
D 25 0,05 5 0,20
Total – 1 100 3,60
Finalmente,	podemos	calcular	a	fração	molar	do	composto	A	na	solução:
Fazendo	o	mesmo	cálculo	para	os	outros	compostos,	obtemos	a	composição	
molar	da	solução	expressa	na	Tabela	4.
Tabela 4 – Composição molar obtida para o exemplo proposto após os cálculos
Fonte: os autores
Composto
Massa molar 
(g/gmol)
Fração 
mássica
Massa (g)
Número de 
mols (mols)
Fração 
molar
A 50 0,20 20 0,40 0,111
B 40 0,30 30 0,75 0,208
C 20 0,45 45 2,25 0,625
D 25 0,05 5 0,20 0,056
Total – 1 100 3,60 1
Acadêmico, ressaltamos que o seu objetivo é entender o ra-
ciocínio para realizar a conversão, e não memorizar os passos. 
Portanto, faça a seguinte pergunta para si mesmo: “eu consigo 
converter de fração molar para fração mássica?”. Se a respos-
ta for positiva, você está no caminho certo! Caso seja negativa, 
aconselhamos que analise o exercício proposto novamente.
NOTA
15
Quando	forem	trabalhadas	soluções	e	misturas,	há	também	a	ideia	de	“massa	
molar	média	da	mistura”,	que	nada	mais	é	que	uma	média	ponderada	das	massasmo-
lares	dos	componentes,	como	na	equação	a	seguir:
Sabendo	que:
Temos	que:
Se	conhecermos	a	composição	da	mistura,	podemos	lançar	mão	de	uma	base	
de	cálculo	arbitrária	para	calcular	a	massa	molar	média	da	mistura.	
Tente calcular esse valor para a mistura do exemplo anterior. 
O resultado procurado é de 27,78 g/mol, que também 
poderia ser calculado simplesmente dividindo a massa da 
mistura pelo número de mols (afinal, esta é a definição da 
qual partimos para o desenvolvimento da última equação).
DICA
Ao longo deste material, a composição de gases sempre será assumi-
da como dada em base molar, a menos que seja especificado o con-
trário. Da mesma maneira, a composição de líquidos e sólidos será 
assumida como dada em base mássica, como é geralmente usada na 
indústria, a menos que seja especificado o contrário.
ATENÇÃO
16
3 BALANÇO MATERIAL
A	partir	desse	momento,	começaremos	a	aplicar	as	leis	de	conservação	discu-
tidas	anteriormente,	partindo	do	princípio	de	conservação	da	massa:	a	matéria	não	é	
criada	nem	destruída.	O	assunto	será	tratado	com	certa	profundidade,	porém,	por	ser	
um	tópico	de	caráter	introdutório,	aspectos	mais	complexos	não	serão	abordados	(por	
exemplo,	sistemas	envolvendo	reações	químicas	e	outros	que	demandem	o	uso	de	mé-
todos	de	cálculo	numérico).
A descoberta do princípio de conservação da massa é atribuída 
ao cientista francês Antoine Laurent Lavoisier, nascido em 1743, 
em Paris. Vindo de uma família rica, desde jovem, estudou em 
instituições reconhecidas pelo ensino da ciência. Em 1771, ca-
sou-se com Marie Anne Pierrette Paulze, na época com 14 anos. 
Mesmo jovem, Madame Lavoisier auxiliou em publicações com 
suas notáveis habilidades linguísticas e artísticas. Lavoisier pu-
blicou seu livro Tratado Elementar de Química, em 1789, ano que 
deu início à revolução francesa. Devido aos seus envolvimentos 
com o Estado, o cientista foi guilhotinado em 8 de maio de 1794 
(PARTINGTON, 1943).
Fonte: PARTINGTON, J. R. Antoine Laurent Lavoisier, 1743-1794. 
Nature, [s. l.], v. 152, p. 207-208, ago. 1943.
INTERESSANTE
Balanços	materiais	permitem	uma	melhor	compreensão	acerca	de	um	proces-
so,	como	uma	indústria,	por	exemplo.	Na	essência,	é	semelhante	à	contabilidade,	mas,	
no	lugar	de	dinheiro,	usa-se	matéria.	Cálculos	de	balanço	material	são	indispensáveis	
para	 se	 compreender	 problemas	 de	 fenômenos	 de	 transporte,	 tanto	 simples	 quanto	
complexos,	e	são	sempre	baseados	na	forma	geral	das	equações	de	balanço.	Assim,	
para	a	matéria:
3.1 SISTEMAS 
Começaremos	 com	 um	 exemplo:	 considere	 um	 tanque	 contendo	 100	 kg	 de	
água,	como	o	da	Figura	2.
17
Figura 2 – Sistema fechado
Fonte: os autores
No	contexto	da	Engenharia,	é	comum	o	uso	da	palavra	“sistema”	para	se	referir	
a	uma	parte	arbitrária	do	processo	que	se	deseja	analisar.	Dessa	forma,	nosso	sistema	
coincide	com	o	próprio	tanque.	É	também	usual	se	 referir	às	 “fronteiras	do	sistema”,	
isto	é,	as	linhas	imaginárias	(que	podem	coincidir	com	partes	dos	equipamentos	e	dos	
processos)	que	dão	forma	ao	seu	sistema.
Ainda,	um	sistema	pode	ser	dito	aberto	ou	fechado:	aberto,	se	existe	matéria	
entrando	ou	saindo	do	sistema;	fechado,	se	a	matéria	não	entra	nem	sai	do	sistema.	
Nosso	tanque	é,	portanto,	um	sistema	fechado.
Nesse	caso,	se	aplicarmos	a	equação	de	balanço	material	para	nosso	sistema,	
teremos:
0 – 0 = 0
Este	resultado	é,	evidentemente,	uma	conclusão	lógica	simples.	Se	não	entra	
nem	sai	água	do	tanque,	não	haverá	variação	na	quantidade	de	água	dentro	dele.	Em	
outras	palavras,	a	taxa	de	acúmulo	de	matéria	do	sistema	é	nula.
Agora,	supondo	que	esse	tanque	faça	parte	de	um	processo	industrial,	que	des-
peja	dentro	dele	50	kg	de	água	por	hora.	Desse	mesmo	tanque,	são	também	retirados	
50	kg	de	água	por	hora	(Figura	3).
18
Figura 3 – Sistema aberto
Fonte: os autores
Pela	definição	dada	anteriormente,	nosso	tanque	agora	é	um	sistema	aberto,	
pois	existe	matéria	cruzando	a	fronteira	do	sistema.	Ao	aplicarmos,	novamente,	a	equa-
ção	de	balanço	material,	temos:
Como	a	vazão	de	entrada	é	 igual	à	de	saída,	o	acúmulo	de	água	no	sistema	
ainda	é	nulo.	Sistemas	nessas	condições	podem	ser	chamados	de	sistemas	em	estado 
estacionário.
 
Em	 processos	 no	 estado	 estacionário,	 parâmetros	 como	 temperatura,	 pres-
são,	massa	e	vazão	(entrada	ou	saída)	permanecem	constantes.	Além	disso,	o	processo	
pode	também	ser	dito	contínuo.
Sistema em estado estacionário (regime permanente):
• As condições do sistema permanecem inalteradas ao longo do tempo.
• As correntes de entrada e saída permanecem inalteradas com o tempo.
Processo contínuo: aquele em que a matéria entra ou sai do sistema sem 
interrupções (HIMMELBLAU; RIGGS, 2003).
NOTA
19
Na	sua	maioria,	os	problemas	abordados,	ao	longo	desta	disciplina,	serão	pro-
cessos	contínuos	em	estado	estacionário,	por	serem	naturalmente	mais	simples	e	obje-
tivos	no	sentido	de	aprendizagem.	Contudo,	é	importante	observar	que,	no	mundo	real,	
não	existe	processo	perfeitamente	contínuo	ou	estacionário	–	as	condições	mudam	ao	
longo	do	tempo,	às	vezes,	até	mesmo,	por	ação	de	forças	que	não	somos	capazes	de	
controlar	(clima,	por	exemplo).	A	natureza	é	essencialmente	dinâmica,	e	o	máximo	que	
se	pode	fazer	é	se	aproximar	de	uma	condição	estacionária.
Entretanto,	podemos	propor	a	seguinte	situação:	se	a	taxa	de	entrada	de	água	
no	tanque	fosse	reduzida	para	20	kg/h,	supondo	a	condição	inicial	exposta	na	Figura	4?
Figura 4 – Sistema aberto com acúmulo
Fonte: os autores
É	fácil	concluirmos	que,	se	sai	mais	água	do	que	entra,	a	quantidade	de	água	no	
tanque	diminuirá	com	o	tempo.	Na	equação	de	balanço:
Assim,	a	taxa	de	acúmulo	de	água	no	sistema	é	de	-30	kg	H2O	por	hora.	Po-
demos	observar	que,	no	contexto	de	balanços	materiais,	é	comum	o	uso	da	palavra	
“acúmulo”,	tanto	para	valores	positivos	(que	elevariam	o	nível	de	água	do	tanque)	quan-
to	negativos	(que	diminuem	o	nível	de	água	no	tanque).	Com	essa	informação,	quanto	
tempo	levará	até	que	a	quantidade	de	água	no	interior	do	tanque	seja	de	40	kg?
Precisamos	identificar	a	variação	de	água	no	interior	do	tanque:
20
Para	atingir	uma	quantidade	de	40	kg	de	água	dentro	do	tanque,	deve-se	retirar	
60	kg.	Por	definição,	temos	que:
Observamos	que	a	taxa	de	acúmulo	de	água	do	sistema	é,	evidentemente,	uma	
vazão,	pois	tem	dimensões	de	massa	por	tempo	(estudaremos,	mais	detalhadamente,	
o	conceito	de	vazão	no	Tema	de	Aprendizagem	3	da	Unidade	1).	Podemos,	portanto,	
aplicar	a	equação	da	seguinte	forma:	
Evidentemente,	não	é	absurdo	chegar	a	essa	conclusão	sem	fazer	quaisquer	
contas	no	papel.	Se	existem	100	kg	de	água	dentro	de	um	tanque,	do	qual	são	remo-
vidos	 30	 kg	 de	 água	por	 hora	 (taxa	 de	 acúmulo	 negativa),	 o	 tempo	necessário	 para	
que	haja	apenas	40	kg	de	água	no	tanque	(remover	60	kg)	é	de	2	horas.	Problemas	de	
balanço	material	são	resolvidos	de	maneira	puramente	lógica:	não	se	trata	de	decorar	
equações,	mas,	sim,	de	ter	habilidade	em	analisar	o	problema	e	saber	como	abordá-lo.
Sistemas	como	esse,	em	que	a	quantidade	de	água	no	sistema	varia	ao	longo	
do	tempo,	podem	ser	chamados	de	sistemas	em	estado não estacionário.
Sistema em estado não estacionário (regime transiente ou variado):
• Nem todas as condições do sistema permanecem 
inalteradas ao longo do tempo.
• As correntes de entrada e saída podem variar com o 
tempo (HIMMELBLAU; RIGGS, 2003).
NOTA
21
Agora	que	compreendemos	os	princípios	dos	balanços	materiais,	aprimorare-
mos	as	suas	capacidades	analíticas	com	o	estudo	de	processos	mais	complexos,	com	
múltiplos	componentes,	etapas	e	correntes	de	processo.
3.2 SISTEMAS COM MÚLTIPLOS COMPONENTES
Ao	trabalharmos	com	uma	solução	com	concentração	de	50%	em	massa	de	
soda	cáustica	(NaOH	em	H2O),	isso	significa	que	em	1.000	kg	de	solução	há	500	kg	de	
soda	e	500	kg	de	água.	Uma	corrente	de	processo	entra	em	um	tanque,	enquanto	outra	
sai	desse	mesmo	tanque,	como	na	Figura	5.
Figura 5 – Sistema aberto de balanço multicomponente
Fonte: os autores
Observamosque	se	trata	de	um	sistema	aberto	em	regime	estacionário.	Pode-
ríamos	analisar	o	sistema	da	seguinte	forma:
•	 Dentro	do	tanque:	1.000	kg	de	solução:
 ◦		500	kg	de	água	+	500	kg	de	soda.
•	 Entra	no	tanque:	100	kg	de	solução	por	hora:
 ◦		50	kg	de	água	por	hora	+	50	kg	de	soda	por	hora.
•	 Sai	do	tanque:	100	kg	de	solução	por	hora:
 ◦		50	kg	de	água	por	hora	+	50	kg	de	soda	por	hora.
É	 importante	 evidenciarmos	 essas	 informações,	 pois,	 quando	 trabalharmos	
com	múltiplos	componentes,	abordaremos	os	balanços	materiais	por	duas	perspecti-
vas:	o	balanço	global	e	os	balanços	por	componente.
22
Evidentemente,	em	estado	estacionário,	a	taxa	de	acúmulo	é	nula	(a	massa	de	
solução	dentro	do	tanque	permanece	a	mesma	ao	longo	do	tempo).
O	balanço por componente,	por	outro	lado,	considera	apenas	o	componente	em	
análise	para	todas	as	correntes.	Por	exemplo,	no	balanço	material	para	a	água,	teremos:
Da	mesma	forma,	para	a	soda,	teremos:
Esse	é	um	 raciocínio	bastante	valioso	para	 solucionar	problemas	de	balanço	
material.	Outro	exemplo,	em	que	passamos	a	trabalhar	com	mais	de	um	componente	e	
mais	de	duas	correntes:	em	certa	etapa	de	um	processo	industrial	de	balas	e	biscoitos,	
duas	 correntes	 contendo	 uma	 solução	 de	 açúcar	 (sacarose)	 em	 água	 devem	 ser	
misturadas.	Para	 isso,	elas	são	despejadas	em	um	tanque	de	mistura	que	apresenta	
uma	 única	 saída	 (Figura	 6).	 Conhecendo	 as	 correntes	 de	 entrada,	 admitindo	 que	 a	
mistura	seja	homogênea	e	que	o	processo	opera	em	regime	estacionário,	qual	é	a	fração	
mássica	de	sacarose	na	corrente	de	saída?
O	 balanço global	 considera	 inteiramente	 todas	 as	 correntes	 que	 entram	 e	
saem	do	sistema.	Dessa	forma,	na	equação:
23
Figura 6 – Sistema multicomponente para produção de balas e biscoitos
Fonte: os autores
Solução:	como	conhecemos	as	correntes	de	entrada,	podemos	descrevê-las	da	
seguinte	maneira:
•	 Corrente	A:	30	kg	solução/min:
 ◦		12	kg	sacarose/min	+	18	kg	água/min.
•	 Corrente	B:	50	kg	solução/min;
 ◦		7,5	kg	sacarose/min	+	42,5	kg	água/min.
Podemos,	então,	fazer	o	balanço	global:
As	entradas	são	as	correntes	A	e	B,	enquanto	a	única	saída	é	a	corrente	C,	e	não	
há	acúmulo	no	sistema	(regime	estacionário).	Dessa	forma:
24
Agora,	fazendo	o	balanço	material	para	a	sacarose:
𝑆𝑎𝑐𝑎𝑟𝑜𝑠𝑒 𝑒 𝑚 𝐴+𝑆𝑎𝑐𝑎𝑟𝑜𝑠𝑒 𝑒 𝑚 𝐵−𝑆𝑎𝑐𝑎𝑟𝑜𝑠𝑒 𝑒 𝑚 𝐶=0
Sendo	xsac,i	a	fração	mássica	de	sacarose	na	corrente	“i”,	podemos	escrever	esta	
equação	da	seguinte	forma:
Como	já	calculamos	o	valor	da	vazão	mássica	da	corrente	C,	temos	que:
Logo,	a	concentração	de	sacarose	na	corrente	de	saída	é	de	24,37%	em	massa.	
Sem	fazer	o	balanço	material	para	a	água,	podemos	concluir	que	a	fração	mássica	de	
água	na	corrente	de	saída	é	de	75,63%	–	afinal,	trabalhamos	apenas	com	açúcar	e	água.	
Essa	ideia	tem	fundamento	no	conceito	de	“graus	de	liberdade”,	que	faz	parte	das	disci-
plinas	de	álgebra	linear,	explorados	melhor	a	seguir,	durante	a	estratégia	para	solucionar	
problemas	de	balanço	material.
Como já mencionado, não trataremos situações envolvendo rea-
ções químicas no escopo deste material. Contudo, é importante 
observar que, nesses casos, os balanços por componente ficam 
mais complexos, uma vez que o componente que entra não ne-
cessariamente sai com a mesma forma – eles podem ser “consu-
midos”, enquanto novas espécies químicas podem ser “geradas”.
ATENÇÃO
25
3.3 ESTRATÉGIAS PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Himmelblau	e	Riggs	(2003)	sugerem	uma	estratégia	de	dez	passos	para	a	reso-
lução	de	problemas	de	balanço	material:
•	 Ler	e	entender	o	problema	em	questão.
•	 Fazer	um	esboço	do	processo	e	especificar	a	fronteira	do	sistema.
•	 Anotar	 todas	 as	 informações	 conhecidas	 no	 seu	 diagrama	 do	 processo,	 como	
vazões,	composições	e	outras	relações	úteis.	Atribuir	símbolos	para	os	valores	não	
conhecidos.
•	 Obter	quaisquer	 informações	necessárias,	que	estejam	faltando,	para	solucionar	o	
problema.
•	 Adotar	uma	base	de	cálculo	(arbitrária),	se	necessário.
•	 Determinar	o	número	de	variáveis	desconhecidas.
•	 Determinar	o	número	de	equações	independentes	e	analisar	os	graus	de	liberdade	do	
problema.
•	 Escrever	 as	 equações	 a	 serem	 resolvidas	 em	 termos	 das	 variáveis	 conhecidas	 e	
desconhecidas.
•	 Resolver	as	equações	e	responder	o	que	foi	solicitado	pelo	problema.
•	 Conferir	suas	respostas.
Na	 prática,	 não	 é	 obrigatório	 seguir	 nem	 decorar	 esses	 passos	 à	 risca,	mas	
abordar	 os	 problemas	 de	 maneira	 ordenada	 e	 analítica	 ajuda	 a	 identificar	 possíveis	
pontos	fracos,	aprimorando	as	habilidades	de	interpretação	e	resolução.	
Nesse	momento,	veremos	um	exemplo	com	uma	complexidade	maior,	aplicando	
essa	 estratégia.	 Duas	 correntes	 de	 processo,	 F1	 e	 F2,	 são	 misturadas.	 A	 corrente	
resultante	(W)	é,	então,	direcionada	para	uma	segunda	etapa,	que	visa	à	purificação	de	
um	dos	componentes,	obtendo,	assim,	duas	correntes	de	produto,	P1	e	P2.	Conhecendo	
as	informações	a	seguir,	qual	a	vazão	e	a	composição	da	corrente	F1?	As	composições	
estão	dadas	em	quantidades	mássicas.
• Corrente F2:
	 ◦			Vazão:	metade	de	F1.
	 ◦			Composição:	80%	A,	20%	B.
• Corrente P1:
	 ◦			Vazão:	1200	kg/h.
	 ◦			Composição:	60%	A,	40%	B.
• Corrente P2:
	 ◦			Vazão:	300	kg/h.
	 ◦			Composição:	5%	B,	95%	C.
26
Solução:	
Passo 1: o	problema	é	simples	–	conhecemos	as	saídas,	queremos	conhecer	as	entradas.	
Há	três	componentes	(A,	B	e	C),	cinco	correntes	(F1,	F2,	W,	P1	e	P2)	e	duas	etapas	(E1	e	
E2)	para	trabalharmos.	A	etapa	E1	une	as	correntes	F1	e	F2,	formando	a	corrente	W.	Em	
seguida,	a	etapa	E2	separa	a	corrente	W	nas	correntes	P1	e	P2.
Passo 2: esboços	(como	o	da	Figura	7)	podem,	geralmente,	ser	feitos	de	forma	bastante	
simples,	por	meio	de	diagramas	de	blocos,	em	que	as	setas	são	as	correntes	de	processo	
e	os	blocos	são	as	etapas.
Figura 7 – Esboço inicial do problema proposto
Fonte: os autores
Quanto	à	fronteira	do	sistema,	notamos	que	esta	pode	ser	estabelecida	de	três	
diferentes	formas:	apenas	o	sistema	1,	ou	apenas	o	sistema	2,	ou,	então,	analisar	o	pro-
cesso	de	forma	global	(Figura	8).
Figura 8 – Esboço do problema proposto delimitando as três diferentes fronteiras possíveis
Fonte: os autores
27
• Fronteira do Sistema 1:
 ◦			Correntes	de	entrada:	F1	e	F2.
 ◦			Correntes	de	saída:	W.
• Fronteira do Sistema 2:
 ◦			Correntes	de	entrada:	W.
 ◦			Correntes	de	saída:	P1	e	P2.
• Fronteira do Sistema Global:
 ◦			Correntes	de	entrada:	F1	e	F2.
 ◦			Correntes	de	saída:	P1	e	P2.
Notamos	 que	 a	 escolha	 de	 um	 sistema	 não	 invalida	 o	 outro	 –	 muito	 pelo	
contrário,	 talvez	 seja	 necessário	 estabelecer	 diferentes	 fronteiras	 até	 obtermos	 os	
resultados	procurados,	os	quais	devem	validar	todos	os	sistemas	possíveis	de	serem	
estabelecidos.	Do	contrário,	o	princípio	da	conservação	da	massa	não	seria	obedecido,	
indicando	alguma	falha	ou	ineficiência	do	processo.
Passo 3: adicionamos	os	valores	conhecidos	ao	esboço,	formando,	então,	a	Figura	9.
Figura 9 – Esboço do problema proposto após o passo 3
Fonte: os autores
Passo 4: a	princípio,	nenhuma	informação	parece	faltar,	pois	não	estamos	preocupados	
com	quem	são	os	componentes	A,	B	ou	C	nem	com	o	que	são,	na	prática,	as	etapas	E1	
e	E2.	A	ideia	é	se	preocupar	apenas	com	valores	de	vazão	e	composição,	então,	estas	
informações	deverão	ser	suficientes.
28
Passo 5: como	o	problema	 já	nos	forneceu	valores	de	vazão,	não	precisamos	adotar	
uma	base	de	cálculo.	Caso	o	enunciado	fosse	“a	vazão	de	P1	é	quatro	vezes	a	de	P2”,	
poderíamos	adotar	um	valor	arbitrário	para	a	vazão	P2	e,	com	ela,	chegaríamos	às	mes-
mas	composições	em	todas	as	correntes.	Contudo,	a	vazão	de	F1	mudaria	para	cada	
base	de	cálculo	adotada.
Passo 6: nossas	variáveis	desconhecidas	são	as	vazões	e	as	composições	das	corren-
tes	F1	e	W,	totalizando	oito	variáveis	desconhecidas.
Passo 7: para	determinar	o	número	de	equações	independentes,	faremos	os	balanços	
nos	sistemas	e	usaremos	as	relações	fornecidas.	Uma	informação	que	facilita	aanálise	
é	que,	ao	escrever	as	equações	dos	balanços	para	cada	componente,	uma	delas	sempre	
será	dependente	das	demais.
•	 Na	etapa	E1:
◦	 Nestas	equações,	temos	as	oito	variáveis	desconhecidas,	junto	a	cinco	equa-
ções	independentes.	Elas	não	são,	portanto,	suficientes	para	determinar	todas	
as	variáveis	desconhecidas.
•	 Na	etapa	E2:
29
◦	 Aqui,	temos	quatro	das	variáveis	desconhecidas	(referentes	à	corrente	W),	junto	
a	quatro	equações	independentes.	Como	nosso	número	de	equações	é	igual	ao	
número	de	incógnitas,	o	sistema	é	possível	e	determinado	(graus	de	liberdade	
iguais	a	zero).
•	 Global:
◦	 Observamos	que,	 para	 o	 balanço	global,	 todas	 as	variáveis	 referentes	 à	 cor-
rente	 intermediária	W	não	estão	presentes.	Temos	apenas	as	quatro	variáveis	
desconhecidas	para	a	corrente	F1,	junto	a	quatro	equações	independentes,	isto	
é,	como	o	problema	solicita	apenas	a	caracterização	da	corrente	F1,	podemos	
utilizar	esse	sistema	para	não	precisar	trabalhar	com	a	corrente	intermediária	W.
Passo 8:	 usando	 as	 equações	 para	 o	 sistema	 global	 (exceto	 uma	 das	 equações	 de	
balanço	por	componentes,	por	ser	dependente	das	demais)	e	substituindo	as	variáveis	
conhecidas,	teremos:
Passo 9: simplificando	 e	 resolvendo	 as	 equações,	 chegamos	 aos	valores	 solicitados	
pelo	problema	–	vazão	e	composições	da	corrente	F1:
30
Passo 10: podemos	conferir	o	resultado	com	a	equação	de	balanço	para	o	componente	
C,	que	não	utilizamos:
Notamos	que	o	fato	de	o	componente	C	estar	presente	somente	em	uma	corrente	
de	entrada	e	uma	corrente	de	saída	(no	sistema	global)	facilita	consideravelmente	o	proble-
ma,	pois	tudo	o	que	saía	de	C	na	corrente	P2	entrava	no	sistema,	por	meio	da	corrente	F1.
Para	praticar,	podemos	retornar	aos	balanços	por	etapas	e	caracterizar	a	cor-
rente	W.	Conseguiu	chegar	aos	seguintes	resultados:	vazão	de	1.500	kg/h,	sendo	48%	
A,	33%	B	e	19%	C?
4 RECICLO, BYPASS E PURGA
Três	 aspectos	 são	 importantes	 quando	 tratamos	 dos	 balanços	materiais	 em	
termos	de	aplicação	industrial.	Essencialmente,	são	manobras	realizadas	nas	correntes	
de	 processo	 que	 permitem	 seu	 funcionamento	 de	 maneira	 eficiente,	 contínua	 e	
controlável.	Os	balanços	materiais	entram	com	o	papel	de	mensurar	essas	manobras	e	
passam	a	ter	um	nível	de	complexidade	maior.
4.1 RECICLO
Reciclo: corrente	do	processo	que	é	alimentada	em	uma	etapa	anterior	àquela	
que	a	originou	(HIMMELBLAU;	RIGGS,	2003).	A	Figura	10	apresenta	um	diagrama,	para	
uma	maior	compreensão.
31
Figura 10 – Diagrama de blocos representativo para processos envolvendo reciclo
Fonte: os autores
Em	processos	envolvendo	reação	química,	o	uso	de	reciclo	pode	aumentar	a	
conversão	alcançada	pelos	reatores,	retornando	os	reagentes	não	consumidos	ao	pro-
cesso	e	garantindo	que	eles	sejam	transformados	no	produto	desejado.	Em	operações	
de	separação,	como	destilação	ou	filtração,	o	reciclo	pode	ser	utilizado	com	uma	ideia	
semelhante:	aumentar	a	eficiência	do	processo	e	servir	para	manter	alguma	corrente	
dentro	das	suas	especificações.	
Um	exemplo	de	operação	com	uso	de	reciclos	é	concentrar	uma	corrente	(F)	
contendo	uma	solução	de	 10%	hidróxido	de	sódio	 (NaOH)	em	água,	por	meio	de	um	
processo	integrado	de	evaporação,	cristalização	e	filtragem.	Para	atingir	maior	eficiência	
no	processo,	a	corrente	líquida,	que	passa	pelo	filtro,	é	retornada	na	forma	de	reciclo	(R).	
O	diagrama	representado	na	Figura	11	ilustra	o	processo	e	apresenta	as	concentrações	
em	cada	corrente.	Qual	a	razão	entre	as	vazões	R	e	P?
Figura 11 – Diagrama de blocos representativo para o processo de concentração de NaOH
Fonte: os autores
Passos 1 a 4: o	diagrama	fornecido	na	Figura	11	já	é	o	resultado	dos	primeiros	passos.
32
•	 Global:
	 ◦ Em	 ambos	 os	 casos,	 temos	 duas	 variáveis	 desconhecidas	 e	 duas	 equações	
independentes.	Portanto,	temos	graus	de	liberdade	zero	em	ambas.
Passo 9: resolvendo	as	equações,	chegamos	nas	respostas	desejadas.
•	 No	ponto	A:
Passo 5: por	praticidade,	ao	trabalhar	com	porcentagens,	adotaremos	a	base	de	cálculo	
de	F	=	100	kg/h.
Passo 6: nossas	variáveis	desconhecidas	são	as	vazões	P,	R,	E	e	W.
Passo 7: mais	de	um	sistema	pode	ser	avaliado.	Aqui,	faremos	em	dois	deles:	no	ponto	
em	que	o	reciclo	é	adicionado	à	alimentação	(ponto	A)	e	o	global.
Passo 8: assim,	teremos	as	seguintes	equações:
•	 No	ponto	A:
33
	 ◦ Utilizando	só	o	balanço	por	componente	do	hidróxido	de	sódio	no	ponto	A	foi	su-
ficiente	para	encontrar	uma	das	variáveis	desejadas	(R).	Caso	tivéssemos	usado	o	
balanço	por	componente	da	água,	chegaríamos	ao	mesmo	resultado.	Aliás,	esse	é	
um	assunto	que	demanda	curiosidade	e	exercita	o	raciocínio	lógico.
•	 Global:
Assim:
Passo 10: podemos	conferir	os	resultados	obtidos	verificando	as	duas	equações	de-
pendentes	não	utilizadas.
Um	exercício	interessante	é	repetir	esse	balanço,	mas	sem	a	utilização	de	um	
reciclo:	se	quiséssemos	obter	exatamente	o	mesmo	produto	P	(em	vazão	e	composi-
ção),	considerando	que	a	razão	R/P	é	mantida	(R/P	≈	9,60),	qual	seria	a	alimentação	
necessária?	Sugerimos	usar	a	Figura	12	como	auxílio.
34
Figura 12 – Diagrama de blocos representativo, para o processo de concentração de NaOH, sem reciclo
Fonte: os autores
Temos	o	balanço	material	global	e	por	componente:
Ao	resolvermos	as	duas	primeiras	equações	com	os	valores	conhecidos,	utili-
zando	a	relação	R/P	≈	9,60:
35
Como	podemos	observar,	para	obtermos	a	mesma	quantidade	de	produto,	o	pro-
cesso	sem	reciclo	exigiria	uma	alimentação	6	vezes	maior,	devido	às	perdas	pela	corrente	
R,	que	não	foi	reaproveitada.	A	indústria	sempre	irá	buscar	minimizar	o	desperdício.
4.2 BYPASS E PURGA
Bypass: corrente do processo que pula uma ou mais etapas de um 
processo, unindo-se novamente em um estágio posterior. Pode ser 
usada, por exemplo, para controlar a composição de saída de uma 
etapa (HIMMELBLAU; RIGGS, 2003). 
Purga: corrente retirada do processo com o objetivo de remover 
inertes (substâncias que não reagem quimicamente) e materiais 
indesejados, os quais poderiam se acumular no sistema pelo uso de 
correntes de reciclo (HIMMELBLAU; RIGGS, 2003).
NOTA
Para	termos	uma	maior	compreensão	sobre	bypass	e	purga,	podemos	observar	
as	Figuras	13	e	14.
Figura 13 – Diagrama de blocos representativo para processos envolvendo bypass
Fonte: os autores
Fonte: os autores
Figura 14 – Diagrama de blocos representativo para processos envolvendo purga
36
Podemos	praticar	o	conceito	de	bypass	resolvendo	o	seguinte	exemplo:	certo	
processo	industrial	é	alimentado	por	uma	corrente	composta	de	30%	do	componente	X	
e	70%	do	componente	Y.	O	processo	é	responsável	por	remover	apenas	o	componente	Y,	
e	a	corrente	de	saída	precisa	sair	com	80%	de	X	e	20%	de	Y,	para	atender	às	especifica-
ções	de	operação	dos	equipamentos.	Contudo,	um	cliente	solicita	um	produto	contendo	
60%	de	X	e	40%	de	Y.	Para	atender	a	esse	pedido,	o	engenheiro	de	processos	sugere	o	
uso	de	uma	corrente	de	bypass,	conforme	o	diagrama	a	seguir.	Calcule	a	razão	entre	as	
vazões	B	e	F,	que	deve	ser	utilizada	para	atender	ao	pedido.
Solução:	
Passos 1 a 4: na	Figura	15,	o	diagrama	contém	as	informações	necessárias.	Observa-
mos	que,	no	ponto	1,	a	corrente	de	alimentação	se	divide	entre	as	correntes	B	e	E	–	esta	
divisão	é	puramente	física,	ou	seja,	presume-se	que	as	composições	são	as	mesmas	
em	ambas	as	correntes,	diferenciadas	apenas	em	suas	vazões.	No	ponto	2,	a	corrente	
de bypass	retorna	unindo-se	à	saída	do	processo	(corrente	S),	formando	o	produto	P	na	
composição	desejada.
Figura 15 – Diagrama de blocos representativo para processos envolvendo purga
Fonte: os autores
Passo 5: adotaremos	a	base	de	cálculo	de	F	=	100	kg/h.
Passo 6: como	definimos	 um	valor	 para	 F,	 as	variáveis	 desconhecidas	 são	 agora	 as	
vazões	B,	E,	W,	S	e	P.
Passo 7: os	quatro	principais	sistemas	que	devemos	prestar	atenção	são	os	pontos	1	e	
2,	o	processo	e	o	sistema	global.
37
Aqui,	 temos	 duas	 variáveis	 desconhecidas	 e	 duas	 equações	 independentes.Dessa	forma,	conseguiremos	determinar	os	valores	de	vazão	para	P	e	W.
Conhecido	o	valor	de	P,	faz	sentido	analisarmos	o	ponto	2	como	segundo	siste-
ma.	Para	ele,	temos	as	equações:
Portanto,	teremos	apenas	duas	variáveis	desconhecidas	(B	e	S)	e	duas	equações	
independentes.	 Com	 isso,	 podemos	 determinar	 B	 e	 calcular	 a	 resposta	 pedida	 pelo	
problema.	Traçar	a	estratégia	correta	para	a	resolução	de	um	balanço	é	uma	questão	
clássica	para	o	engenheiro	na	indústria.
Passos 8 e 9: como	proposto,	precisamos	resolver	as	equações	do	sistema	global:
Agora,	para	as	equações	do	ponto	2:
Para	o	sistema	global,	temos	as	seguintes	equações:
38
Portanto,	a	razão	B/F	=	0,20.
Passo 10: apesar	de	não	ser	de	extrema	necessidade,	poderíamos	conferir	o	resultado	ve-
rificando	que	os	valores	obtidos	são	válidos	para	calcular	a	vazão	da	corrente	E	(80	kg/h).	
Em	seguida,	ao	fazer	o	balanço	no	processo,	observaremos	que	as	equações	são	válidas.
Com	isso,	concluímos	o	exemplo	sobre	bypass.	
Nesse	momento,	resolveremos,	também,	um	exemplo	que	envolve	purga:	certo	
processo	para	a	formação	de	água,	a	partir	dos	gases	hidrogênio	(H2)	e	oxigênio	(O2),	foi	
implantado.	Uma	corrente	 (F),	contendo	ambos	os	componentes,	é	alimentada	a	um	
reator.	Em	seguida,	a	corrente	de	saída	passa	por	um	condensador,	que	remove	água	
líquida	do	processo	como	produto.
Para	evitar	a	perda	de	material,	procurou-se	utilizar	os	gases	remanescentes	
(que	não	 reagiram)	como	uma	corrente	de	 reciclo	do	processo.	Contudo,	ao	testar	a	
nova	configuração,	observou-se	que	os	níveis	de	argônio	 (Ar)	–	que	é	um	gás	 inerte	
–	no	processo	começaram	a	subir,	porque	a	corrente	contendo	hidrogênio	e	oxigênio	
apresentava,	também,	baixos	traços	do	gás.	Como	forma	de	solucionar	o	problema,	o	
engenheiro	 de	processos	 sugere	utilizar	 uma	corrente	 de	purga	 (P).	 Considerando	o	
diagrama	da	Figura	16,	qual	deve	ser	a	razão	entre	as	vazões	P	e	F	se	a	concentração	de	
argônio	na	corrente	de	reciclo	não	pode	ser	superior	a	7,5%?
Figura 16 – Diagrama de blocos representativo para o processo de formação de água
Fonte: os autores
39
Solução:
Passos 1 a 4: o	diagrama	apresentado	na	Figura	16	nos	fornece	todas	as	informações	
necessárias	 para	 analisar	 o	 problema.	Nota-se	 que,	 apesar	 de	 envolver	 um	 reator,	 o	
problema	não	está	preocupado	com	a	reação	química,	de	modo	que	ela	não	será	neces-
sária.	Além	disso,	é	importante	observarmos	que	o	reciclo	possui	a	mesma	composição	
da	purga,	apesar	de	não	estar	especificado.
Passo 5: como	estamos	interessados,	principalmente,	nas	correntes	F	e	P,	definiremos,	
como	base	de	cálculo,	o	valor	de	F	=	100	kg/h.
Passo 6: observamos	que	os	dados	fornecidos	são,	essencialmente,	as	composições	de	
entrada	e	saída	do	sistema	global.	Portanto,	intuitivamente,	parece	fazer	sentido	anali-
sá-lo.	Assim,	temos	duas	variáveis	desconhecidas:	P	e	W.
Passo 7: nota-se	que	não	conhecemos	as	composições	de	H2	 e	O2	 separadamente.	
Contudo,	se	fizermos	o	balanço	global	e	o	balanço	por	componente	para	o	argônio,	te-
remos	duas	equações	independentes:
Logo,	se	temos	duas	equações	independentes	e	duas	variáveis	desconhecidas,	
a	solução	do	nosso	problema	é	possível	e	determinada	(grau	de	liberdade	=	0).
Passos 8, 9 e 10: substituindo	 os	valores	 conhecidos	 e	 resolvendo	 as	 duas	
equações	do	balanço	global,	podemos	calcular	o	valor	pedido	pelo	problema.
Portanto,	para	manter	a	concentração	de	argônio	no	reciclo	igual	a	7,5%,	deve-
-se	purgar	uma	vazão	equivalente	a	4%	da	vazão	de	alimentação.
40
Com	isso,	terminamos	nossa	introdução	aos	balanços	materiais.	Como	pode-
mos	notar,	 apesar	 de	não	demandarem	cálculos	 sofisticados,	 os	balanços	de	massa	
trabalham	fortes	habilidades	de	interpretação	do	problema,	análise	crítica	e	organiza-
ção.	Aprimorar	essas	qualidades	facilitará	o	estudo	dos	fenômenos	de	transporte,	que	
começaremos,	propriamente,	a	seguir.
Para aprender mais sobre balanços materiais, não deixe de con-
ferir a oitava edição de Engenharia Química – Princípios e Cálculos, 
dos autores David M. Himmelblau e James B. Riggs, uma obra 
consagrada pela excelente fundamentação de habilidades e co-
nhecimentos básicos no contexto da Engenharia Química, cujo 
principal objeto de estudo são os balanços de massa e de ener-
gia, tratando, também, da descrição de gases, vapores, líquidos 
e sólidos e diagramas de fases.
As duas primeiras partes do livro abordam grande parte dos 
assuntos estudados até aqui de maneira bastante extensiva, 
com vários exemplos aplicados. É uma excelente opção de 
bibliografia para quem tem a curiosidade e deseja aprender 
mais sobre processos químicos industriais. Além disso, são 
trabalhados os balanços materiais envolvendo reações quí-
micas, algo que não consideramos aqui.
DICA
5 FLUIDO E A LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE
Provavelmente,	aulas	de	Física,	foram	estudados	assuntos	relacionados	aos	cha-
mados	fluidos,	como	o	conceito	de	pressão	e	a	Lei	de	Pascal.	No	contexto	dos	fenôme-
nos	de	transporte,	a	mecânica	dos	fluidos	busca	levar	esse	estudo	adiante,	explicando	
o	comportamento	físico	dos	fluidos	e	as	leis	que	o	regem.	Ela	é,	portanto,	uma	ciência	
fundamental	em	diversas	vertentes	da	Engenharia,	pois	possui	aplicação	prática	a	muitas	
situações,	como	escoamentos	em	tubulações,	pressões	em	barragens,	deslocamento	de	
fluidos	e,	até	mesmo,	aerodinâmica	(afinal,	o	próprio	ar	atmosférico	é	um	fluido).
5.1 O CONCEITO DE FLUIDO
Podemos	afirmar	que	a	mecânica	dos	fluidos	é	uma	das	ciências	básicas	mais	
fundamentais	para	os	engenheiros.	A	palavra	 “mecânica”	 remete	ao	estudo	do	com-
portamento	de	sistemas	submetidos	a	uma	ou	mais	forças.	A	palavra	“fluido”,	por	outro	
lado,	pode	ser	um	pouco	mais	difícil	de	se	definir.	Iniciaremos	por	uma	definição	mais	
elementar:	fluido	é	uma	substância	que,	ao	ser	colocada	em	um	recipiente,	assume	o	
formato	do	recipiente,	não	possuindo	forma	própria.	Com	base	nessa	definição,	pode-
mos	concluir	que	líquidos	e	gases	são	fluidos,	diferentemente	dos	sólidos,	como	ilustra	
a	Figura	17.
41
Figura 17 – Comparação entre fluidos e sólidos em um recipiente
Fonte: Brunetti (2008, p. 1)
É	importante	observarmos	que,	enquanto	os	gases	ocupam	todo	o	recipiente,	
os	líquidos	podem	apresentar	uma	superfície	livre,	caso	o	recipiente	não	esteja	com-
pletamente	cheio.
Apesar	de	esta	ser	uma	definição	suficiente	para	dizer	se	uma	substância	é	um	
fluido	ou	não,	a	mecânica	dos	fluidos	faz	mais	sentido	se	partirmos	de	uma	definição	um	
pouco	mais	abstrata:	fluido é qualquer substância capaz de fluir.	Para	desenvolver-
mos	melhor	essa	ideia,	descreveremos	a	observação	prática	chamada	de	“experiência	
das	duas	placas”.
Considerando	um	sólido	de	material	qualquer,	preso	entre	duas	placas	planas,	
uma	inferior	e	uma	superior.	É,	então,	exercida	uma	força	sobre	a	placa	tangencial	ao	
sólido,	na	direção	do	plano	da	placa	(Figura	18A).	Mantendo	a	força	constante,	o	que	
se	observa	é	que	o	sólido	é	deformado	de	maneira	angular	até	certo	limite,	no	qual	as	
tensões	internas	equilibram	a	força	externa	aplicada,	atingindo	a	condição	de	equilíbrio	
estático	(Figura	18B).
Figura 18 – Experiência das duas placas para um sólido
Fonte: Brunetti (2008, p. 2)
Dessa	forma,	podemos	dizer	que,	ao	aplicarmos uma força tangencial cons-
tante a um sólido,	ele	se deforma angularmente até	atingir	uma nova posição de 
equilíbrio estático.
42
Agora,	vejamos	o	que	acontece	com	um	fluido	submetido	a	essa	mesma	expe-
riência,	imaginando-se	que	seja	possível	acompanhar	cada	unidade	de	fluido	ao	longo	
do	experimento.	Para	facilitar	a	visualização,	denominaremos	o	volume	de	ABCD,	cada	
letra	correspondendo	a	uma	extremidade	(Figura	19A).
Figura 19 – Experiência das duas placas para um fluido
Fonte: Brunetti (2008, p. 2)
Ao	aplicarmos	força	tangencial	à	placa	superior,	ela	passa	a	se	deslocar	a	uma	
velocidade	v.	O	que	se	observa	é	que	os	pontos	do	fluido	em	contato	com	a	placa	su-
perior	(lado	AD)	adquirem	essa	mesma	velocidade	v,	enquanto	os	pontos	do	fluidoem	
contato	com	a	placa	 inferior	 (lado	BC)	ficam	parados	 junto	a	ela	 (Figura	 19B).	Surge,	
portanto,	o	princípio	da	aderência.
Aderência: quando em contato com uma superfície sólida, os 
pontos de um fluido aderem-se aos pontos dessa superfície.
NOTA
Dessa	forma,	se	a	força	tangencial	for	mantida	sobre	a	placa	superior,	moven-
do-a	à	velocidade	v,	as	partículas	de	fluido	em	contato	também	se	moverão	à	veloci-
dade	v,	na	mesma	direção	e	sentido.	Isso	significa	que	a	condição	de	equilíbrio	estático	
não	será	atingida,	de	modo	que	o	volume	de	fluido	poderá	se	deformar	continuamente	
(Figura	19C).
Essa	experiência	permite,	portanto,	diferenciar	sólidos	de	fluidos	sob	a	perspec-
tiva	da	mecânica	dos	fluidos:	quando	submetidos	a	forças tangenciais, sólidos se 
deformam limitadamente,	enquanto	fluidos podem se deformar continuamente 
sem	alcançar	um	novo	equilíbrio estático. 
43
Nossa definição final de fluido será, então: substância que se 
deforma continuamente quando submetida à ação de uma força 
tangencial constante qualquer (BRUNETTI, 2008).
NOTA
Apesar	de	parecer	exagero	chegarmos	a	essa	definição,	mais	adiante,	veremos	
que	o	princípio	da	aderência	é	fundamental	para	a	compreensão	de	certos	conceitos,	
como	o	de	camada	 limite,	que	é	essencial	no	estudo	tanto	da	mecânica	dos	fluidos	
quanto	dos	demais	fenômenos	de	transporte.	Outra	observação	 importante	pode	ser	
feita	com	relação	à	experiência	de	duas	placas.	Para	tanto,	antes,	é	necessário	definir-
mos	o	conceito	de	tensão	de	cisalhamento.
5.2 TENSÃO DE CISALHAMENTO E A LEI DE NEWTON DA 
VISCOSIDADE
Considerando	uma	superfície	de	área	A,	sobre	a	qual	é	aplicada	uma	força			 . 
Podemos	decompor	esta	força	na	sua	componente	tangencial	(					)	e	na	sua	componente 
normal	 à	 superfície	 (	 	 	 ),	 como	mostra	 a	 Figura	 20.	 A	 seguir,	 discutiremos	 sobre	 a	
componente	tangencial	e,	posteriormente,	analisaremos	a	componente	normal.
Figura 20 – Ação de uma força sobre uma superfície e suas componentes normal e tangencial
Fonte: Brunetti (2008, p. 3)
44
A tensão de cisalhamento é definida como a razão entre 
o módulo da componente tangencial da força e a área da 
superfície em que é aplicada:
NOTA
Portanto,	é	a	força	tangencial	por	unidade	de	área,	sendo	dada,	geralmente,	em	
N/m²	(SI),	kgf/m²	ou	dina/cm².
Voltando	à	experiência	de	duas	placas,	nota-se	que,	no	caso	dos	fluidos,	 ao	
exercer	a	força	tangencial	sobre	a	placa,	ela	passa	a	ser	acelerada	da	velocidade	nula	
até	uma	velocidade	finita,	v0,	que	permanece	constante	ao	longo	do	experimento.	As-
sim,	a	partir	de	um	determinado	momento,	não	há	mais	aceleração.	Pela	segunda	Lei	de	
Newton	da	dinâmica,	isso	significa	que	a	resultante	das	forças	deve	ser	nula	(condição	
de	equilíbrio	dinâmico).	Como	não	existem	outras	forças	externas	atuando	no	sistema,	
conclui-se	que	a	força	aplicada	na	placa	é	equilibrada	por	forças	internas	do	fluido.	
Para	entendermos	essas	forças	internas,	podemos	recorrer	ao	princípio	da	ade-
rência.	Na	experiência,	a	camada	de	fluido,	junto	à	superfície	superior,	move-se	à	velo-
cidade	v0,	enquanto	a	camada	de	fluido,	junto	à	superfície	inferior,	terá	velocidade	nula.	
As	camadas	intermediárias,	por	sua	vez,	passam	a	se	mover	conforme	um	gradiente	de	
velocidades,	indo	de	zero	(na	placa	inferior)	até	v0	(na	placa	superior),	como	mostra	a	
Figura	21A.
Figura 21 – Gradiente de velocidade e tensões de cisalhamento entre as camadas de fluido na experiência 
de duas placas 
Fonte: Brunetti (2008, p. 4)
45
Esse	deslizamento	entre	camadas	(por	estarem	em	velocidades	diferentes)	faz	
com	que	elas	exerçam	forças	tangenciais	umas	sobre	as	outras,	criando	as	tensões	de	
cisalhamento	(Figura	21B),	equilibrando	a	força	externa						e	fazendo	com	que	a	placa	 
superior	fique	com	a	velocidade	constante	v0.	Newton	evidenciou	que,	para	a	grande	
maioria	dos	fluidos,	a	tensão	de	cisalhamento	é	proporcional	ao	gradiente	de	velocidade	
(variação	da	velocidade	v	na	coordenada	y	–	Figura	21C).	
Matematicamente, podemos escrever as afirmações apresentadas 
anteriormente da seguinte forma:
 ou
Essa é a chamada lei de Newton da viscosidade. Fluidos que 
obedecem a essa relação são chamados de fluidos newtonianos, 
como água, ar e óleos. Fluidos não newtonianos não serão traba-
lhados aqui, uma vez que pode ser bastante difícil descrever o seu 
comportamento.
IMPORTANTE
Sir Isaac Newton (4 de janeiro de 1643 – 31 de março de 1727) 
foi um físico e matemático inglês reconhecido como o ícone da re-
volução científica do século XVII. A descoberta da decomposição 
da luz branca, suas três leis da mecânica clássica, a lei da gravita-
ção universal e suas contribuições no desenvolvimento do cálculo 
diferencial e integral são consideradas alguns de seus principais 
trabalhos (WESTFALL, 2022).
Fonte: WESTFALL, R. S. Isaac Newton. Britannica, [s. l.], 2022. Dis-
ponível em: https://www.britannica.com/biography/Isaac-Newton. 
Acesso em: 5 dez. 2022.
INTERESSANTE
5.3 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS
Agora,	discutiremos	algumas	propriedades	bastante	importantes	para	a	análise	
dos	fluidos	e	escoamentos.	A	primeira	delas	é	a	 lei	de	Newton	da	viscosidade.	Afinal,	
você	saberia	definir	o	que	é	a	viscosidade?
46
Quando	um	objeto	sólido	desliza	em	relação	a	outro,	observamos	o	surgimento	
de	uma	força	na	superfície	de	contato,	na	direção	oposta	ao	movimento	–	a	chamada	
força	de	atrito.	De	forma	análoga,	quando	um	fluido	se	movimenta	em	relação	a	um	
sólido	ou	a	outro	fluido,	observa-se	que	também	existe	uma	resistência	ao	movimento.	
A	propriedade	que	representa	essa	resistência	é	a	viscosidade.	Naturalmente,	existem	
fluidos	com	maiores	ou	menores	viscosidades,	uma	vez	que	é	muito	mais	fácil	correr	
ao	ar	livre	(onde	estamos	imersos	em	ar,	um	fluido)	que	em	uma	piscina	cheia	de	água.
Como	vimos,	para	fluidos	newtonianos,	a	tensão	de	cisalhamento	é	proporcio-
nal	ao	gradiente	de	velocidade.	A	constante	de	proporcionalidade	é	justamente	a	vis-
cosidade dinâmica	ou	absoluta	(μ)	do	fluido:
											ou
No	SI,	três	formas	comuns	de	expressar	as	unidades	de	viscosidade	são:	kg/
(m.s),	N.s/m2	ou	Pa.s	(em	que	Pa	é	a	unidade	de	pressão,	pascal).	Outra	unidade	comum	
é	o	poise	 (P),	equivalente	a	0,1	Pa.s,	sendo,	também,	frequentemente	utilizado	como	
centipoise	(cP,	um	centésimo	de	poise).	A	viscosidade	da	água	a	20	°C	é	de	1	cP,	por	isso	
a	unidade	serve	como	uma	referência	conveniente.
De forma prática, podemos dizer que a viscosidade é a 
propriedade que representa a dificuldade de o fluido es-
coar. Ela surge em nível microscópico, devido à coesão das 
moléculas e aos choques entre elas. Por causa disso, ela é 
também variável com a temperatura. Podemos verificar esse 
fenômeno com a seguinte comparação: o óleo de cozinha 
espalha melhor antes ou depois de aquecê-lo? Em líquidos, o 
aumento da temperatura reduz a viscosidade, enquanto, nos 
gases, o aumento da temperatura aumenta a viscosidade.
IMPORTANTE
A	seguir,	analisaremos	um	exemplo:	é	necessário	substituirmos	o	lubrificante	do	
pistão	de	certo	equipamento.	O	pistão	é	cilíndrico,	com	massa	de	500	g,	diâmetro	de	15	
cm	e	altura	de	6	cm.	Ele	trabalha	dentro	de	um	cilindro	com	15,1	cm	de	diâmetro	e	deve	
cair	com	a	velocidade	constante	de	1,4	m/s.	Qual	deve	ser	a	viscosidade	do	lubrificante	
para	atender	a	essas	condições	de	operação?	Considere	uma	aceleração	da	gravidade	
de	10	m/s².
Solução:	para	facilitar	a	visualização,	podemos	fazer	um	esboço	do	problema,	
como	o	representado	na	Figura	22.
47
Figura 22 – Esboço do problema sobre substituição do lubrificante no pistão
Fonte: os autores
Para	que	o	pistão	caia	à	velocidade	constante,	é	necessário	que	ele	esteja	em	
equilíbrio	dinâmico:	há	movimento,	mas	não	há	aceleração.	Pela	segunda	lei	de	Newton,	
temos:
Aqui,	duas	forças	atuam:	o	próprio	peso	do	pistão	(P)	e	a	força	da	tensão	de	
cisalhamento	(				),	que	é	a	resistência	do	lubrificante	ao	movimento.	Assim,	em	módulo:
Lembre-se	de	que,	pela	definição