Unidade IV - Circuito Trifásico

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Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
1 
 
 
UNIDADE IV 
 
CIRCUITOS TRIFÁSICOS 
 
 
1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS E SIMÉTRICOS 
 
1.1. Introdução 
 
A quase totalidade da energia elétrica no mundo é gerada e 
transmitida por meio de sistemas elétricos trifásicos 
(aproximadamente) equilibrados e simétricos. Para estes 
sistemas tem-se que o ângulo característico θc é igual a 
 
 °== 120
3
2πθc (1) 
 
O fator γ vai ser igual a 
 
 ( ) 3125,022120cos22 =+=−−=°−=γ (2) 
 
 
 
1.2. Ligações 
 
(a) Ligação estrela a 3 e 4 fios 
 
Para este sistema tem-se 
 
 
 
 nnaYana IZIZVV +== (3) 
 
 
a 
b 
c 
n 
Zn 
ZY 
ZY 
ZY Ia 
Ib 
Ic 
In 
NOTA IMPORTANTE: Com o objetivo de simplificar a notação, 
não será mais utilizado a partir deste item o chapéu acima da variável 
para se indicar um fasor. Grandezas como tensão e corrente serão na 
sua maioria das vezes fasores, enquanto potência complexa e 
impedância são apenas variáveis complexas. No entanto todas elas 
terão a mesma notação, cabendo ao leitor distinguir quando uma 
grandeza é um fasor e quando é apenas uma variável complexa. 
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2 
 
Mas como o sistema é equilibrado, então 
 
 0=++= cban IIII (4) 
 
 
Desta forma a queda em Zn é nula e assim 
 
 
 
 
 
 
 
Como se trata de um sistema equilibrado, então 
 
 



=
=




=
=
−
−
−
−
ac
ab
ac
ab
IaI
IaI
VaV
VaV
2
1
2
1
e (6) 
 
Então, as equações (5) tomam a seguinte forma 
 
 




=
=
=
⇒





/=/
/=/
=
⇒





=
=
=
−−
−−
aYa
aYa
aYa
aYa
aYa
aYa
cYc
bYb
aYa
IZV
IZV
IZV
IaZVa
IaZVa
IZV
IZV
IZV
IZV
22
11
 
(7)
 
 
Ou seja, a equação (7) acima pode ser interpretada como se 
existisse apenas um circuito (da fase a) como mostra a figura 
abaixo, cuja solução é dada por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 





=
=
=
cYc
bYb
aYa
IZV
IZV
IZV
 










⋅










=










c
b
a
Y
Y
Y
c
b
a
I
I
I
Z
Z
Z
V
V
V
 (5)
 
Va 
a 
n 
ZY Ia 
ac
ab
Y
a
a
IaI
IaI
Z
VI
2
1
−
−
=
=
=
 
(8)
 
Solução 
Circuito equivalente por fase 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
3 
 
 
 
(b) Ligação Delta ou Triângulo (em malha) 
 
O cálculo das correntes de linha de um circuito trifásico 
equilibrado em delta pode ser feito resolvendo-se o circuito 
equivalente em estrela a três fios, como mostrado no item 
anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma maneira alternativa é calcular as correntes das pernas da 
carga em delta e em seguida as correntes de linha, como 
segue 
 
 
 
ababca
ababbc
baab
ab
IaIaI
IaIaI
Z
VV
Z
VI
==
==
−
==
−
−
∆∆
2
21
 
(9)
 
 
 
 
e 
 
 
( )
( )
( ) aaababbccac
aaabababbcb
ababcaaba
IaIaIIaaIII
IaIaIIaIII
IIaIII
==°∠=−=−=
==°−∠=−=−=
°−∠=−=−=
−
−
22
212
903)(
1503)1(
303)1(
 
(10)
 
 
 
 
 
Ia 
Ib 
Ic 
a 
b 
c 
Z∆ 
Z∆ 
Z∆ 
Iab 
Ibc 
Ica 
a 
b 
c 
ZY =Z∆ /3 Ia
Ib
Ic
ZY =Z∆ /3 
ZY =Z∆ /3 
≡ 
1 
a 
a2
-a2 
-30 ° 
-1
a2 - 1 
a - a 2
 
1 - a 
90 ° 
-150 ° 
-a 
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4 
 
1.3. Relações de tensões em circuitos trifásicos equilibrados 
com tensões simétricas 
 
(a) Tensões de Fase 
 
 
aanfccnc
aanfbbnb
nfaana
VaVaVVVVV
VaVaVVVVV
VVVVV
==°−∠=°−∠=°−∠==
==°−∠=°−∠=°−∠==
°∠=°∠=°∠==
−
−
2
21
240240240
120120120
000
φ
φ
φ
 
(11)
 
 
(b) Tensões de Linha 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ccccacca
bbbbcbbc
aaaabaab
VVaVaVVVV
VVaVaVVVV
VVaVaVVVV
°∠=−=−=−=
°∠=−=−=−=
°∠=−=−=−=
3031
3031
3031
22
22
22
 
(12)
 
 
ou seja, as tensões de linha possuem módulo igual à √ 3 
vezes o módulo da tensão de fase e estão adiantadas de 30° 
das respectivas tensões de fase. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Va 
Vc 
Vb 
Vab 
Vbc 
Vca 
1 
a 
a2
-a2 
1-a2
30° 
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5 
 
As equações (12) podem ser reescritas de uma outra forma 
 
 
 
( )
( ) ( )
( ) ( ) abacccacca
ababbbcbbc
aaabaab
VaVaaVaVaVVVV
VaVaaVaVaVVVV
VaVaVVVV
22222
11222
22
11
11
1
−−
−−
=−=−=−=−=
=−=−=−=−=
−=−=−=
 
(13)
 
 
 
ou seja, se as tensões de fase formam um sistema de tensões 
trifásico simétrico de seqüência direta, as tensões de linha 
também. 
 
De uma forma resumida pode-se escrever que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (14) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Va
Vc
Vb
Vab
Vbc
Vca
30 °
30 °
30 °
°∠= 303 niji VV



=
=
acbj
cbai
,,
,,
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6 
 
1.4. Relações de correntes em circuitos trifásicos equilibrados 
com correntes simétricas 
 
(a) Carga ligada em estrela (com ou sem neutro) 
 
 
 
 
 
aac
aab
a
IaIaI
IaIaI
II
==
==
−∠=
−
−
2
21
θ
 
(15)
 
 
 
 
 
(b) Carga ligada em delta ou triângulo 
 
Como as tensões de linha formam um sistema simétrico de 
tensões, as correntes nas pernas do delta também vão formar 
um sistema simétrico de correntes, ou seja 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
abab
abca
ca
abab
abbc
bc
ab
ab
IaIa
Z
Va
Z
VI
IaIa
Z
Va
Z
VI
Z
VI
====
====
=
−
∆
−
∆
−
∆
−
∆
∆
2
2
21
1
 
(16) 
 
 
 
a 
b 
c 
n 
Zn 
ZY 
ZY 
ZY Ia 
Ib 
Ic 
In 
IaY 
IbY 
IcY 
Ia 
Ib 
Ic 
a 
b 
c 
Z∆ 
Z∆ 
Z∆ 
Iab 
Ibc 
Ica 
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7 
 
As correntes de linha vão ser dadas por 
 
( )
( ) ( )
( ) ( ) aaabcacacabccac
aaabbcbcbcabbcb
abababcaaba
IaIaIaaIaIaIIII
IaIaIaaIaIaIIII
IaaIIIII
==−=−=−=−=
==−=−=−=−=
−=−=−=
−−
−−
22
211
11
11
1
 
(17) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De uma forma geral tem-se que 
 
 
 
 
RESUMINDO: Dadas duas cargas equivalente, uma em Y e 
outra em ∆, as tensões nos ramos da carga em ∆ estão 
adiantadas de 30° e são √ 3 vezes maiores que as tensões nos 
ramos da carga em Y. Por sua vez, as correntes nos ramos da 
carga em ∆ estão também adiantadas de 30° mas são √ 3 
vezes menores que as correntes nos ramos da carga em Y de 
forma a manter constante a potência complexa total. 
 
1 
a 
a2 -a
1- a 
-30°
Iab
Ica
Ibc
IaIb
Ic 
30 ° 
30 °
30 ° 



=
=
°−∠=
acbj
cbai
II jii
,,
,,
303
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
8 
 
 
Exemplo: Considere um gerador trifásico ligado em triângulo com 
impedância interna por fase de j 0,6 Ω. Ele está ligado a uma linha de 
transmissão com impedâncias em cada uma das fases de (0,2 + j 0,4) Ω. 
Esta LT alimenta duas cargas trifásicas equilibradas. A primeira ligada 
em estrela a três fios, com impedância por fase de (2 + j 1) Ω. A 
segunda em delta apresenta uma impedância por fase de 6Ω . Sabe-se 
que a tensão interna do gerador é de 380 V. Admitindo que as tensões 
são simétricas com seqüência de fase positiva (ou direta) determinar: 
(a) as correntes de linha na LT; 
(b) as correntes de fase nas cargas; 
(c) as tensões de fase e de linha nas cargas. 
 
SOLUÇÃO: 
(a) O circuito elétrico que descreve o problema está apresentado na 
figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por se tratar de um circuito equilibrado, será utilizado o conceito de 
circuito equivalente por fase para resolvê-lo. No entanto, o gerador está 
ligado em delta. Logo deve-se determinar seu circuito equivalente em 
estrela não aterrada. Para começar determina-se sua impedância 
interna equivalente, dada por 
 
Ω=== ∆ 2,0
3
6,0
3
jjZZ G
GY 
 
 
 
0,2 
°∠120380
°−∠ 120380 
_ 
°∠0380 
0,2 
0,2 
j 0,4 
j 0,4 
j 0,4 
2 
j 1 j 1 
j 1 
2 
2 
6 
6 
6 
j 0,6 
a1 a2 
c1 c2 
b1 
b2 
Ia 
Ib 
+ 
_ 
+ 
j 0,6 
c 
b + _ j 0,6 a 
Ic 
Carga 1 Carga 2 
n1 
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9 
 
 
 
As tensões internas são calculadas sabendo-se que 
 
 °−∠= 30
3
φφ
φ
V
V n 
 
ou seja, as tensões de fase em um sistema 
equilibrado estão atrasadas 30° de suas 
respectivas tensões de linha e possuemmódulo 
√ 3 vezes menor. Desta forma 
 





°∠=
°−∠=
°−∠=
⇒





°∠=
°−∠=
°∠=
VV
VV
VV
VV
VV
VV
c
b
a
ca
bc
ab
90220
150220
30220
120380
120380
0380
 
 
A impedância da carga 2 também está em delta e vale Z∆2 = 6 Ω. Logo, 
a impedância equivalente desta carga em estrela não aterrada é 
 
Ω=== ∆ 2
3
6
3
2
2
ZZY 
 
Obtidos todos os equivalentes em estrela, pode-se determinar o circuito 
equivalente por fase. Este circuito está apresentado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
A corrente Ia vai ser dada por 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]2//124,02,02,0
30220
jjj
Ia ++++
°−∠
= 
 
 
 
Vab 
Vbc Vca
Va
Vc 
Vb 
0,2 
°−∠ 30220 
j 0,4 
j 1 
2 
2 
a1 
+ 
_ 
j 0,2 
a2 Ia 
n1 n2 
Ia1 Ia2
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10 
 
 
 
ou seja 
 
AIa °−∠=
°∠
°−∠
= 6,6362,145
6,3351,1
30220
 
 
Como o sistema é equilibrado, então 
 



°∠==
°−∠== −
AIaI
AIaI
ac
ab
4,5662,145
6,18362,1451
 
 
(b) A carga 1 está ligada em estrela. Logo o valor de Ia1 já é o valor real 
da corrente que circula na fase a da carga. Assim sendo 
 
( )
AIaI
AIaI
AI
j
I
ac
ab
aa
°∠==
°−∠==
°−∠=
++
=
−
4,4264,70
6,19764,70
6,7764,70
122
2
11
1
1
1
1
 
 
A carga 2 está ligada em delta. Desta forma a corrente Ia2 não é a 
corrente real que circula por ela, mas o seu cálculo permite o cálculo 
das correntes reais. Sendo assim 
 
( ) AI
j
jI aa °−∠=
++
+
= 0,5198,78
122
12
2 
 
A respectiva corrente do delta é √3 vezes menor e está adiantada de 
30°. Desta forma 
 
( ) AI ba °−∠=°+°−∠= 0,2160,45300,51
3
98,78
22 
 
Como o sistema é equilibrado tem-se ainda que 
 




°∠==
°−∠== −
AIaI
AIaI
baac
bacb
0,9960,45
0,14160,45
2222
22
1
22
 
 
 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
11 
 
 
 
 
(c) A tensão de fase na carga 1 pode ser calculada pelo produto da 
corrente Ia1 pela impedância da carga 1. Desta forma 
 
( ) ( )
VVaV
VVaV
VjIZV
ac
ab
aYa
°∠==
°−∠==
°−∠=°−∠⋅+==
−
0,6996,157
0,17196,157
0,5196,1576,7764,7012
11
1
1
1
111
 
 
As tensões de fase na carga 1 e na carga 2 são idênticas. No entanto a 
carga 2 está ligada em delta. Como o sistema é equilibrado, as tensões 
de linha na carga 2 são √ 3 vezes maior e estão 30° adiantadas. Desta 
forma 
 
( )
VVaV
VVaV
V
VV
baac
bacb
aba
°∠==
°−∠==
°−∠=
=°∠⋅°−∠=°∠⋅=
−
0,9951,273
0,14151,273
0,2151,273
3030,5196,157303
2222
22
1
22
122
 
 
 
 
1.5. Potência em circuitos trifásicos equilibrados 
 
(a) Expressão Geral 
 
A potência complexa trifásica total pode ser calculada como a 
soma das potências complexas de cada uma das fases. 
Sendo assim, ela pode ser expressa por 
 
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
∗∗∗∗
∗∗−∗
∗−−∗−−∗
∗∗∗
=++=
=++=
=++=
=++=
=++=+==
aaaaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
ccbbaa
cbaTTT
IVIVIVIV
IaVaIaVaIV
IaVaIaVaIV
IVIVIV
SSSQjPSS
3
221
2211
3φ
 
(18) 
 
 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
12 
 
Desta forma 
 
( )aaaaa QjPSIVS +=== ∗ 3333φ (19)
 
 
 
(b) Aplicação do Teorema de Blondel a circuitos trifásicos 
(Método dos dois wattímetros) 
 
 Expressão Geral 
 
 
213 WWP +=φ (20)
 
 
 Determinação do Fator de Potência 
 
 
Seja um sistema trifásico equilibrado e dois conjuntos de 
tensões e correntes trifásicas simétricas, dados por 
 




==−∠=
==°∠=
acaba
acaba
IaIIaIII
VaVVaVVV
;;
;;0
2
2
θ (21)
 
 
A potência complexa na fase a vai ser dada por 
 
θ∠=⋅= ∗ IVIVS aaa (22)
 
 
Considere agora a aplicação do método dos dois wattímetros 
como mostra a figura abaixo, com o ponto comum na fase c. 
 
 
As leituras nos dois 
wattímetros serão dadas por 
 
 
 
( )
( )



⋅ℜ=
⋅ℜ=
∗
∗
bbc
aac
IVeW
IVeW
2
1
 (23)
 
 
 
 
 
 
 
a 
b 
c 
V 
A 
C 
W1 
A 
V 
V 
A 
C 
W2 
A 
V 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
13 
 
Como trata-se de um sistema trifásico equilibrado, com 
tensões e correntes simétricas, a tensão Vac pode ser 
calculada a partir de Vca, dada por 
 
( ) ( ) ( ) aacca VVaVV ⋅°∠=⋅°∠=⋅°∠= 1503303303 (24)
 
 
Desta forma 
( ) ( ) ( ) °−∠=⋅°−∠=⋅°∠⋅°−∠=−= 30330315031801 VVVVV aacaac (25)
 
 
e a leitura W1 vai ser dada por 
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( )
( )°−=
=°−∠ℜ=∠⋅°−∠ℜ=
=−∠⋅°−∠ℜ=⋅ℜ= ∗∗
30cos3
303303
3031
θ
θθ
θ
IV
IVeIVe
IVeIVeW aac
 (26)
 
 
Por sua vez, a tensão Vbc pode ser expressa por 
 
 
( ) ( ) ( ) aabbc VVaVV ⋅°−∠=⋅°∠=⋅°∠= − 903303303 1 (27)
 
 
Desta forma, a leitura W2 vai ser dada por 
 
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( )
( )°+=
=°+∠ℜ=°+∠⋅°−∠ℜ=
=°−−∠⋅°−∠ℜ=⋅ℜ= ∗∗
30cos3
303120903
1209032
θ
θθ
θ
IV
IVeIVe
IVeIVeW bbc
 (28)
 
 
Tomando-se a relação W1 / W2 tem-se que 
 
 
( )
( )
( )
( )
θ
θ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θ
θ
θ
θ
tg
tg
sen
sen
sen
sen
sensen
sensen
IV
IV
W
W
−
+
=
−
+
=
−
+
=
=
−
+
=
°+
°−
=
°+
°−
=
3
3
cos3
cos3
2
1
2
3cos
2
1
2
3cos
3030coscos
3030coscos
30cos
30cos
30cos3
30cos3
2
1
 (29)
 
 
 
 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
14 
 
Multiplicando cruzado vem 
( ) ( ) θθθθ tgWWtgWWtgWtgW 221121 3333 +=−⇒+=− (30)
 
 
 
ou seja 
 
 
 (31) 
 
O leitor deve se lembrar que a tensão está na referência e a 
corrente possui ângulo (- θ). Isto quer dizer que θ é o ângulo 
da tensão em relação à corrente, ou seja, o ângulo da 
potência complexa, que pode ser então determinado por 
 
( )
( ) 







+
−
=
21
213
WW
WWarctgθ (32)
 
 
Desta forma, o fator de potência vai ser dado por 
 
 
 (33)
 
 
 
Falta ainda determinar se o fator de potência é indutivo ou 
capacitivo. Isto pode ser concluído a partir da figura abaixo e 
da seguinte análise: 
 
 
⌦ Se a leitura W1 for maior que a 
leitura W2, a equação (31) 
mostra que a tgθ é positiva. 
Neste caso θ é positivo e a 
corrente está atrasada de θ, 
indicando que a carga é 
indutiva. 
 
⌦ Por outro lado, se a leitura W1 
for menor que a leitura W2, a 
equação (31) mostra que a tgθ 
é negativa. Neste caso θ é 
negativo e a corrente está 
adiantada de θ, indicando que 
a carga é capacitiva. 
θ (negativo) 
θ (positivo) tg
 θ
 
(p
os
iti
va
) 
tg
 θ
 
(n
eg
at
iv
a)
 
( ) ( )2121 3 WWWWtg −=+θ ( )
( )21
213
WW
WWtg
+
−
=θ
( )
( ) 













+
−
=
21
213cos
WW
WWarctgfp
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
15 
 
 
 Determinação da potência reativa total 
 
 
A potência ativa total do sistema vai ser dada pela soma das 
leituras dos dois wattímetros, conforme a equação (20), 
repetida abaixo, ou seja 
 
 
213 WWP +=φ 
 
Por sua vez a equação (31) estabelece que 
 
 
( )
( )21
213
WW
WWtg
+
−
=θ 
 
Substituindo a equação (20) na equação (31) chega-se a 
 
 
( )
φ
θ
3
213
P
WWtg −
= (34)
 
 
Como θ é o ângulo da potência complexa total, então a tg θ é 
a relação da potência reativa total pela potência ativa total, ou 
seja 
 
φ
φθ
3
3
P
Q
tg = (35)
 
 
Igualando-se as equações (34) e (35) obtem-se 
 
 
( )
φφ
φ
3
21
3
3 3
P
WW
P
Q −
= (36)
 
 
ou seja 
 
 
( )213 3 WWQ −=φ (37)
 
 
 
Deve ficar claro ao leitor que as equações (33) e (37) só são 
válidas para sistemas trifásicos equilibrados, com tensões e 
correntes simétricas, em sequência direta de fase, e a ligação 
dos dois wattímetros tal que o ponto comum seja a fase c. 
 
 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
16 
 
 
 
EXEMPLO: Para o circuito do exemplo anterior pede-se: 
(a) calcular as potências totais complexa (ST), ativa (PT) e reativa (QT) e 
o fator de potência vetorial para as cargas do exemplo anterior; 
(b) determinar as leituras W1 e W2, considerando que os wattímetros W1 
e W2 estão ligados respectivamente entre fases “a” e “c” e “b” e “c”; 
(c) a partir destas leituras, calcular a potência ativa total, o fator de 
potência vetorial e a potência reativa total para o circuito do exemplo 
anterior. 
 
Solução: 
(a) Cálculo das potências totais complexa (ST), ativa (PT) e reativa (QT) e 
do fator de potênciatotal; 
Foi determinado anteriormente que as tensões de fase e as correntes de 
linha na carga eram 
 





°∠=
°−∠=
°−∠=
VV
VV
VV
c
b
a
0,6996,157
0,17196,157
0,5196,157
 e 




°∠=
°−∠=
°−∠=
AI
AI
AI
c
b
a
4,5662,145
6,18362,145
6,6362,145
 
 
Desta forma 
( ) ( )
( ) VAj
IVSS aaT
28,1505351,673446,1241,69006
6,6362,1450,5196,157333
+=°∠=
=°−∠⋅°−∠⋅=== ∗∗
φ
 
 
Assim, tem-se que 
 
 
A leitura dos dois wattímetros (W1 e W2 ) vão ser dadas por 
 
( )
( )



⋅ℜ=
⋅ℜ=
∗
∗
bbc
aac
IVeW
IVeW
2
1
 
 
 
 
( ) indfp
VArQ
WP
T
T
976,06,12cos
28,15053
51,67344
=°=
=
=
 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
17 
 
 
As tensões Vac e Vbc são respectivamente 
 
( ) ( )
( )



°−∠=⋅°∠=
°−∠=°∠−=⋅°∠−=−=
VVV
VVVV
bbc
ccaac
14160,273303
8160,2739960,273303
 
 
 
Desta forma, as leituras W1 e W2 vão ser dadas por 
 
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]



=°∠⋅°−∠ℜ=⋅ℜ=
=°∠⋅°−∠ℜ=⋅ℜ=
∗
∗
WeIVeW
WeIVeW
bbc
aac
75,293266,18362,14514160,273
76,380176,6362,1458160,273
2
1
 
 
Assim sendo 
 
WWWPT 51,6734475,2932676,3801721 =+=+= 
 
conferindo com o resultado calculado anteriormente. Por outro lado, a 
potência reativa total vai ser 
 
( ) ( ) )(28,1505375,2932676,3801733 21 indutivosVArWWQT =−=−= 
 
também conferindo com o resultado anterior. O fator de potência 
vetorial vai ser dado por 
( )
( )[ ] ( ) 976,06,12cos2235,0cos
51,67344
28,15053cos
3coscoscos
1
21
=°==









=
=














+
−
=





==
arctgarctg
WW
WWarctg
P
Qarctgfp
T
Tθ
 
 
Como W1 é maior que W2, então o fator de potência é indutivo, 
apresentando novamente o mesmo resultado calculado anteriormente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
18 
 
 
3.2- CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS COM TENSÕES 
SIMÉTRICAS E CARGAS DESEQUILIBRADAS 
 
A. Introdução 
 
Embora os sistemas elétricos de potência, na maior parte 
do tempo, sejam equilibrados, operando com tensões e 
correntes simétricas, é importante a análise do seu 
comportamento quando as tensões e/ou correntes deixam 
de ser simétricas ou quando o próprio sistema passa a 
funcionar de forma desequilibrada. Neste item serão 
estudados casos em que o sistema está inicialmente 
equilibrado, com tensões e correntes simétricas, e é 
aplicada uma carga trifásica desequilibrada. 
 
B. Carga desequilibrada em estrela com neutro aterrado por 
impedância 
 
Considere o circuito abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. Solução Analítica 
 
Para este circuito pode-se escrever que 
 





++=
++=
++=
nncccpc
nnbbbpb
nnaaapa
IZIZIZE
IZIZIZE
IZIZIZE
 (38) 
 
 
c Ic
Ib
Ia
- Ea + a 
b 
Zn 
Zc 
Zb 
Za 
In
Zp 
Zp 
Zp a'
b'
c' 
- Eb + 
- Ec + 
P Q 
n 
N 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
19 
 
ou seja 
 
( )
( )
( )




+=++=
+=++=
+=++=
nncCnnccpc
nnbBnnbbpb
nnaAnnaapa
IZIZIZIZZE
IZIZIZIZZE
IZIZIZIZZE
 (39) 
 
Pode-se então obter as correntes de linha por 
 










−=
−=
−=
n
C
n
C
c
c
n
B
n
B
b
b
n
A
n
A
a
a
I
Z
Z
Z
E
I
I
Z
Z
Z
E
I
I
Z
Z
Z
E
I
 (40) 
 
Pela LKC, a corrente de neutro é dada por 
 
cban IIII ++= (41) 
 
Desta forma 
 






−+





−+





−= n
C
n
C
c
n
B
n
B
b
n
A
n
A
a
n I
Z
Z
Z
E
I
Z
Z
Z
E
I
Z
Z
Z
E
I (42) 
 
ou ainda 
 
 
C
c
B
b
A
a
n
C
n
B
n
A
n
Z
E
Z
E
Z
E
I
Z
Z
Z
Z
Z
Z
++=⋅





+++1 (43) 
 
ou seja 
 
 
cp
n
bp
n
ap
n
cp
c
bp
b
ap
a
C
n
B
n
A
n
C
c
B
b
A
a
n
ZZ
Z
ZZ
Z
ZZ
Z
ZZ
E
ZZ
E
ZZ
E
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
E
Z
E
Z
E
I
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+++
++
=
11
 (44) 
 
Substituindo a equação (44) acima nas equação (40) 
pode-se determinar as correntes de linha. 
 
 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
20 
 
 
 
b. Solução Matricial 
 
A solução analítica apresentada anteriormente é bem útil 
quando o engenheiro deve fazer cálculos rápidos de algum 
circuito mais simples. No entanto, a solução matricial é 
mais adequada para os dias de hoje em razão das 
ferramentas disponíveis, tais como computadores 
pessoais, calculadoras avançadas e programas dedicados. 
Desta forma, substituindo a equação (41) nas equação (38) 
obtém-se que 
 
( )
( )
( )




++++=
++++=
++++=
cbancccpc
cbanbbbpb
cbanaaapa
IIIZIZIZE
IIIZIZIZE
IIIZIZIZE
 (45) 
 
ou seja 
 
 










⋅




















+
+
+
+










=










c
b
a
ncnn
nnbn
nnna
p
p
p
c
b
a
I
I
I
ZZZZ
ZZZZ
ZZZZ
Z
Z
Z
E
E
E
 (46) 
 
que na forma condensada pode ser escrita como 
 
( ) FCFLFF IZZE ⋅+= ~~
 (47) 
 
ou ainda 
 
FFF IZE ⋅= ~
 (48) 
 
cuja solução é da forma 
 
( ) FFF EZI ⋅=
−1~
 (49) 
 
Cabe ao leitor observar a lei de formação das matrizes de 
impedâncias de fase da linha de transmissão ou da carga 
na equação (46), observando por exemplo que 
impedâncias de neutro aparecem em todos os termos 
destas matrizes. 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
21 
 
 
Se forem consideradas as impedâncias mútuas da linha de 
transmissão ou mesmo um caminho de retorno para suas 
correntes, a solução analítica fica bem mais complexa. No 
método matricial basta apenas adicionar estes novos 
termos à matriz das impedâncias de fase da linha. Como 
exemplo, no caso de se considerar mútuas para a linha de 
transmissão, a equação (46) vai assumir a forma 
 
 










⋅




















+
+
+
+










=










c
b
a
ncnn
nnbn
nnna
pmm
mpm
mmp
c
b
a
I
I
I
ZZZZ
ZZZZ
ZZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
E
E
E
 (50) 
 
O leitor pode verificar que a solução desta nova equação 
segue os mesmos passos da solução da equação (46) 
anterior. Fica também a cargo do leitor verificar a solução 
do problema quando a impedância de neutro é nula. 
 
EXEMPLO: Sabendo-se que no circuito abaixo as tensões de fase 
internas do gerador são simétricas de valor 220 V, pede-se calcular: 
(a) as correntes de linha; 
(b) as potências complexas fornecidas pelo gerador para cada uma das 
fases; 
(c) a potência complexa total fornecida pelo gerador e o fator de 
potência vetorial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c Ic 
Ib 
Ia 
- Ea + a 
b 
Zn 
Zc 
Zb 
Za 
In 
Zp 
Zp 
Zp a'
b'
c' 
- Eb + 
- Ec + 
P Q 
n 
N 
Dados do exemplo 
 
Zp = Zn = ( 0,5 + j 2,0 ) Ω 
Za = 20 Ω; Zb = j 10 Ω; 
Zc = - j 10 Ω 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
22 
 
 
SOLUÇÃO: 
(a) Cálculo das correntes de linha 
Considerando a tensão de fase da fase “a“ na referência, tem-se que 
 





°∠=
°−∠=
°∠=
VV
VV
VV
c
b
a
120220
120220
0220
 
 
A corrente de neutro vai ser dada por 
 
C
n
B
n
A
n
C
c
B
b
A
a
cp
n
bp
n
ap
n
cp
c
bp
b
ap
a
n
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
E
Z
E
Z
E
ZZ
Z
ZZ
Z
ZZ
Z
ZZ
E
ZZ
E
ZZ
E
I
+++
++
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
11
 
onde 
 
Ω°∠=+=
Ω°−∠=−+=+=
Ω°∠=++=+=
Ω°∠=++=+=
96,7506,2)0,25,0(
42,8602,810)0,25,0(
61,8701,1210)0,25,0(
57,559,2020)0,25,0(
jZ
jjZZZ
jjZZZ
jZZZ
n
cpC
bpB
apA
 
 
Assim 
°−∠
°∠
+
°∠
°∠
+
°∠
°∠
+
°−∠
°∠
+
°∠
°−∠
+
°∠
°∠
=
42,8602,8
96,7506,2
61,8701,12
96,7506,2
57,559,20
96,7506,21
42,8602,8
120220
61,8701,12
120220
57,559,20
0220
nI 
 ou seja 
 
AIn °−∠= 21,17962,31 
 
Utilizando a equação (40) vem que 
 










°−∠⋅
°−∠
°∠
−
°−∠
°∠
=−=
°−∠⋅
°∠
°∠
−
°∠
°−∠
=−=
°−∠⋅
°∠
°∠
−
°∠
°∠
=−=
21,17962,31
42,8602,8
96,7506,2
42,8602,8
120220
21,17962,31
61,8701,12
96,7506,2
61,8701,12
120220
21,17962,31
57,559,20
96,7506,2
57,559,20
0220
n
C
n
C
c
c
n
B
n
B
b
b
n
A
n
A
A
a
I
Z
Z
Z
E
I
I
Z
Z
Z
E
I
I
Z
Z
Z
E
I
 
 
 
 
 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
23 
 
 
ou 
 
 
A solução matricial consistena solução da equação (42) para as 
correntes de linha, ou seja 
 
( )
( )
( ) 









⋅










++
++
++
=










c
b
a
ncpnn
nnbpn
nnnap
c
b
a
I
I
I
ZZZZZ
ZZZZZ
ZZZZZ
E
E
E
 
 
onde os valores das impedâncias acima serão dados por 
 
( )
( )
( ) Ω°−∠=++−+=++
Ω°∠=++++=++
Ω°∠=++++=++
Ω°∠=+==
54,8008,6)0,25,0(10)0,25,0(
91,8504,14)0,25,0(10)0,25,0(
78,1038,21)0,25,0(20)0,25,0(
96,7506,2)0,25,0(
jjjZZZ
jjjZZZ
jjZZZ
jZZ
ncp
nbp
nap
np
 
 
Desta forma, substituindo os valores numéricos chega-se a 
 










⋅










°−∠°∠°∠
°∠°∠°∠
°∠°∠°∠
=










°∠
°−∠
°∠
c
b
a
I
I
I
54,8008,696,7506,296,7506,2
96,7506,291,8504,1496,7506,2
96,7506,296,7506,278,1038,21
120220
120220
0220
 
cuja solução é 
 










°∠
°−∠
°∠
⋅










°∠°−∠°−∠
°−∠°−∠°∠
°−∠°∠°−∠
=










120220
120220
0220
09,811554,040,1130221,036,310129,0
40,1130221,048,830695,060,1540086,0
36,310129,060,1540086,007,110464,0
c
b
a
I
I
I
 
 
ou 
 
A
I
I
I
c
b
a










°−∠
°∠
°∠
=










05,16385,33
59,14521,13
54,982,11
 
 
 





°−∠=
°∠=
°∠=
AI
AI
AI
c
b
a
05,16383,33
59,14521,13
54,982,11
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
24 
 
 
 
A corrente de neutro pode ser calculada pela soma das três correntes, 
ou seja 
 
AI n °−∠=°−∠+°∠+°∠= 21,17962,3105,16385,3359,14521,1354,982,11 
 
(b) Cálculo das potências complexas por fase fornecidas pelo gerador 
 
As potências complexas para cada uma das fases podem ser obtidas de 
 
( )
( )
( ) VAIES
VAIES
VAIES
ccc
bbb
aaa
°−∠=°−∠⋅°∠=⋅=
°∠=°∠⋅°−∠=⋅=
°−∠=°∠⋅°∠=⋅=
∗
∗
∗
95,7600,744705,16385,33120220
41,9420,290659,14521,13120220
54,940,260054,982,110220
*
*
*
 
 
Na forma cartesiana, as potências complexas podem ser expresssas 
por 
 
VAjVAS
VAjVAS
VAjVAS
c
b
a
)67,725454,1681(95,7600,7447
)59,289747,223(41,9420,2906
)98,43044,2564(54,940,2600
−=°−∠=
+−=°∠=
−=°−∠=
 
 
 
(c) Cálculo da potência complexa total fornecida pelo gerador e do 
fator de potência 
 
A potência complexa total fornecida pelo gerador é simplesmente a 
soma das potências complexas por fase. Assim 
 
VAjVASSSS cbaT )05,478851,4022(97,4948,6253 −=°−∠=++= 
 
O fator de potência vetorial é o cosseno do ângulo da potência total, 
ou seja 
 
( ) 64,097,49cos =°−=fp adiantado ou capacitivo 
 
 
 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
25 
 
C. Carga desequilibrada em estrela com neutro isolado 
 
Considere o circuito abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. Solução Analítica 
 
Para este circuito pode-se escrever que 
 





++=
++=
++=
Ncccpc
Nbbbpb
Naaapa
VIZIZE
VIZIZE
VIZIZE
 (51) 
 
ou seja, as correntes de linha podem ser calculadas por 
 










−
=
+
−
=
−
=
+
−
=
−
=
+
−
=
C
Nc
cp
Nc
c
B
Nb
bp
Nb
b
A
Na
ap
Na
a
Z
VE
ZZ
VEI
Z
VE
ZZ
VEI
Z
VE
ZZ
VEI
 (52) 
 
Definindo 
 










+
==
+
==
+
==
cpC
C
bpB
B
apA
A
ZZZ
Y
ZZZ
Y
ZZZ
Y
11
11
11
 (53) 
 
c Ic
Ib
Ia
- Ea + a 
b 
Zc 
Zb 
Za 
Zp 
Zp 
Zp a'
b'
c' 
- Eb + 
- Ec + 
P Q 
n 
N 
VN 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
26 
 
vem que 
 
( )
( )
( )




−=
−=
−=
NcCc
NbBb
NaAa
VEYI
VEYI
VEYI
 (54) 
 
Pela LKC, a soma das correntes de linha é nula, ou seja 
 
 ( ) ( ) ( ) 0=−+−+−=++ NcCNbBNaAcba VEYVEYVEYIII (55) 
 
Rearranjando os termos obtém-se 
 
( ) NCBAcCbBaA VYYYEYEYEY ++=++ (56) 
 
ou seja 
 
CBA
cCbBaA
N YYY
EYEYEYV
++
++
= (57) 
 
As correntes de linha desejadas podem ser determinadas 
substituindo-se o valor de VN nas equações (52) ou (54). 
 
b. Solução Matricial 
 
Escrevendo-se a equação (51) na forma matricial 
chega-se a 
 
 










+










⋅




















+










=










N
N
N
c
b
a
c
b
a
p
p
p
c
b
a
V
V
V
I
I
I
Z
Z
Z
Z
Z
Z
E
E
E
 (58) 
 
ou seja 
 










+










⋅










+
+
+
=










N
N
N
c
b
a
cp
bp
ap
c
b
a
V
V
V
I
I
I
ZZ
ZZ
ZZ
E
E
E
 (59) 
 
 
 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
27 
 
 
O leitor pode observar que a equação (59) trata-se de um 
sistema de três equações e quatro incógnitas (Ia, Ib, Ic e Vn). 
Assim é necessária mais uma equação para resolvê-lo. 
Esta relação complementar pode ser obtida pela LKC 
aplicada ao nó N, expressa pela equação (55) anterior, 
repetida abaixo 
 
0=++ cba III 
 
As equações (59) e (55) devem pois serem resolvidas 
conjuntamente. Combinando-as em uma só equação 
resulta em um sistema de quatro equações e quatro 
incógnitas da forma 
 












⋅












+
+
+
=












N
c
b
a
cp
bp
ap
c
b
a
V
I
I
I
ZZ
ZZ
ZZ
E
E
E
0111
1
1
1
0
 (60) 
 
É fácil provar que o sistema admite solução. Na forma 
condensada pode-se escrever a equação acima como 
 










⋅










=










N
F
T
FF
V
IZE
K
M
KMK
M
L
01
1~
0
 (61) 
 
onde 
 










=
1
1
1
1 (62) 
 
A vantagem deste método é que se a linha ou a carga 
possuírem mútuas não existe nenhuma diferença no 
procedimento. A solução pelo método analítico para estes 
casos é bastante complexa e envolve um trabalho extenso 
de manipulação de equações. 
 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
28 
 
 
EXEMPLO: Considerando o mesmo circuito do exemplo anterior com 
o neutro da carga flutuando, pede-se calcular: 
(a) as correntes de linha; 
(b) as potências complexas para cada uma das fases; 
(c) a potência complexa total e o fator de potência vetorial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
(a) Cálculo das correntes de linha 
Novamente a tensão de fase da fase “a“ vai ser considerada na 
referência. Deste modo, tem-se novamente que 
 





°∠=
°−∠=
°∠=
VV
VV
VV
c
b
a
120220
120220
0220
 
 
A tensão no neutro da carga vai ser dada por 
 
CBA
cCbBaA
N YYY
EYEYEYV
++
++
= 
onde 
 
SY
jjZZZ
SY
jjZZZ
SY
jZZZ
C
cpC
B
bpB
A
apA
°∠=
Ω°−∠=−+=+=
°−∠=
Ω°∠=++=+=
°−∠=
Ω°∠=++=+=
42,861248,0
42,8602,810)0,25,0(
61,870833,0
61,8701,1210)0,25,0(
57,50485,0
57,559,2020)0,25,0(
 
 
 
c Ic 
Ib 
Ia 
- Ea + a 
b 
Zc 
Zb 
Za 
Zp 
Zp 
Zp a'
b'
c' 
- Eb + 
- Ec + 
P Q 
n 
N 
Dados do exemplo 
 
Zp = ( 0,5 + j 2,0 ) Ω 
Za = 20 Ω; Zb = j 10 Ω; 
Zc = - j 10 Ω 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
29 
 
 
 
 
Desta forma 
 
 
°∠+°−∠+°−∠
°∠⋅°∠+°−∠⋅°−∠+°∠⋅°−∠
=
42,861248,061,870833,057,50485,0
01222042,861248,001222061,870833,0022057,50485,0
NV 
ou seja 
 
VVN °∠= 39,15797,436 
 
Utilizando a equação (54) vem que 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )




°∠−°∠⋅°∠=−=
°∠−°−∠⋅°−∠=−=
°∠−°∠⋅°−∠=−=
39,15797,43601222042,861248,0
39,15797,43601222061,870833,0
39,15797,436022057,50485,0
NcCc
NbBb
NaAa
VEYI
VEYI
VEYI
 
ou finalmente 
 





°∠=
°−∠=
°−∠=
AI
AI
AI
c
b
a
81,9071,36
32,13857,38
65,2035,31
 
 
Utilizando-se o método matricial vem que 
 












⋅












+
+
+
=












N
c
b
a
cp
bp
ap
c
b
a
V
I
I
I
ZZ
ZZ
ZZ
E
E
E
0111
1
1
1
0
 
 
Substituindo os valores numéricos 
 












⋅












°−∠
°∠
°∠
=












°∠
°−∠
°∠
N
c
b
a
V
I
I
I
0111
142,8602,8
161,8701,12
157,559,20
0
120220
120220
0220
 
 
 
 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
30 
 
ou seja 
 












°∠
°−∠
°∠
⋅












°∠°∠°−∠°−∠
°∠°−∠°∠°−∠
°−∠°∠°−∠°∠
°−∠°−∠°∠°∠
=











0
120220
120220
0220
49,1483050,1491,547837,112,1191911,108,376948,0
91,547837,158,41820,030,1471485,063,1300866,0
12,1191911,130,1471485,024,551575,031,550579,0
08,376948,066,1300866,031,550579,065,370297,0
N
c
b
a
V
I
I
I
 
cujo resultado é 
 












°∠
°∠
°−∠
°−∠
=












44,15782,436
89,9070,36
28,13855,38
62,2035,31
N
c
b
a
V
I
I
I
 
 
(b) Cálculo das potências complexas por fase fornecidas pelo gerador 
 
As potências complexas para cada uma das fases vão ser 
 
( )
( )
( ) VAIES
VAIES
VAIES
ccc
bbb
aaa
°−∠=°∠⋅°∠=⋅=
°∠=°−∠⋅°−∠=⋅=
°∠=°−∠⋅°∠=⋅=
∗
∗
∗
11,2900,807489,9070,36120220
28,1800,848128,13855,38120220
62,2000,689762,2035,310220
*
*
*
 
 
Na forma cartesiana, as potências complexas podem ser expresssas 
por 
 
VAjVAS
VAjVAS
VAjVAS
c
b
a
)90,392715,7054(11,2900,8074
)15,266001,8053(28,1800,8481
)90,242816,6455(62,2000,6897
−=°−∠=
+=°∠=
+=°∠=
 
 
 
(c) Cálculo da potência complexa total fornecida pelo gerador e do 
fator de potência 
 
A potência complexa total fornecida pelo gerador é simplesmente a 
soma das potências complexas por fase. Assim 
 
VAjVASSSS cbaT )97,901631,21562(69,2276,23371 +=°∠=++= 
 
 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
31 
 
 
O fator de potência vetorial é o cosseno do ângulo da potência total, 
ou seja 
 
( ) 92,069,22cos =°=fp atrasado ou indutivo 
 
O leitor pode verificar que o ato de se retirar a impedância de neutro 
da carga mudou completamente a maneira de operação do sistema. 
 
 
 
 
EXEMPLO: Sabendo-se que a carga desequilibrada do circuito abaixo 
está sendo alimentada por um conjunto de tensões simétricas com 
seqüência direta de fase e de tensão de fase de 127 V, pede-se: 
(a) calcular as correntes de linha, a potência complexa total ST e o 
fator de potência fp desta carga; 
(b) calcular as leituras W1 e W2 dos dois wattímetros; 
(c) calcular PT, QT e fp utilizando as leituras dos dois wattímetros. 
 
SOLUÇÃO: 
(a) Considerando-se a tensão 
de fase da fase “a“ na 
referência, tem-se que 





°∠=
°−∠=
°∠=
VV
VV
VV
c
b
a
120127
120127
0127
 
Aplicando diretamente a equação (57) vem que 
 
CBA
cCbBaA
N YYY
EYEYEYV
++
++
= 
onde 
Sj
j
Y
Sj
j
Y
SY
C
B
A
1,0
10
1
1,0
10
1
1,0
10
1
=
−
=
−==
==
 
 
 
Ib 
a 
b 
c 
V 
A 
C 
W1 
A 
V 
V 
A 
C 
W2 
A 
V 
10 Ω
j 10 Ω
- j 10 Ω
N
Ia 
Ic 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
32 
 
 
 
 
Assim 
 
)1,0()1,0()1,0(
)1,0()1,0()1,0( 2
jj
aVjVajVV aaa
N +−
⋅+⋅−+⋅
= 
 
Finalmente chega-se a 
 
( ) VVV aN °∠−=⋅°∠+°∠+⋅= 097,922101,01501,01,010 
 
Desta forma, as correntes de linha vão ser dadas por 
 
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]




°∠=°∠−−°∠⋅=−⋅=
°−∠=°∠−−°−∠⋅−=−⋅=
°∠=°∠−−°∠⋅=−⋅=
AjVVYI
AjVVYI
AVVYI
NcCc
NbBb
NaAa
16539,11097,921201271,0
16539,11097,921201271,0
022097,9201271,0
 
 
(b) A potência complexa total vai ser dada pela soma das potências 
complexas das três fases. Logo 
 
( ) VAj
IVIVIVSSSSS ccbbaacbaT
068,4838068,4838
3
+=°∠=
=⋅+⋅+⋅=++== ∗∗∗
φ 
 
(c) O fator de potência será unitário, ou seja 
 
10cos =°=fp 
 
(d) As duas leituras dos wattímetros serão dadas por 
 
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]



=°∠⋅°−∠ℜ=⋅ℜ=
=°∠⋅°−∠ℜ=⋅ℜ=
∗
∗
WeIVeW
WeIVeW
bbc
aac
55,64816539,1190220
56,419102230220
2
1
 
 
Desta forma, a potência ativa total vai ser dada por 
 
WWWPT 11,484055,64856,419121 =+=+= 
 
A potência reativa total e o fator de potência vetorial não podem ser 
calculados pelo método dos dois wattímetros por se tratar de carga 
desequilibrada. 
 
 
 
 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
33 
 
 
D. Carga desequilibrada em delta 
 
Para uma carga desequilibrada ligada em delta (ou 
triângulo) basta substituir a carga pela carga equivalente 
ligada em estrela com neutro isolado. Neste caso as 
impedâncias Zab, Zbc e Zca são conhecidas e as impedâncias 
do equivalente em estrela Za, Zb e Zc podem ser calculadas 
pela equação (63) a seguir 
 
 
 









++
⋅
=
++
⋅
=
++
⋅
=
cabcab
bcca
c
cabcab
abbc
b
cabcab
caab
a
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
 (63) 
 
 
Após a determinação das impedâncias equivalentes, deve-
se proceder como se a carga estivesse em estrela não 
aterrada, como no item anterior 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Za 
Zb Zc 
Zab Zac 
Zbc
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
34 
 
3.3- GRANDEZAS EM POR UNIDADE (PU) 
 
A representação de sistemas de potência com diversos níveis de 
tensão conectados por trafos é confusa e exige a presença de 
vários trafos ideais. Para se evitar tal fato costuma-se 
representar o sistema em pu. Por definição, uma grandeza em pu 
tem a seguinte forma: 
 
Valor (pu) = 
Grandeza Elétrica 
Valor Base 
(64)
 
Grandeza Elétrica Símbolo Dimensão Unidade 
Corrente I [ I ] ampere 
Tensão V [ V ] volt 
Potência Complexa S [ VI ] volt-ampere
Impedância Z [ V/I ] ohm 
Ângulo de Fase θ , φ , δ - radiano 
Tempo t [ T ] segundo 
 
OBSERVAÇÕES 
 
• Em regime permanente senoidal não é necessário explicitar o 
tempo. 
• O ângulo de fase é adimensional, não necessitando de valor 
base. 
• Restam então quatro grandezas, assim relacionadas: 
 



=
=
IVZ
I.VS *
&&&
&&&
 
Conclusão: conhecendo-se duas, as outras 
duas ficam automaticamente determinadas. 
 
• Geralmente os valores base são escolhidos reais para evitar 
operações com números complexos. 
 
 
 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
35 
 
 
• VANTAGENS: 
 
(a) facilidade na comparação dos valores; 
(b) eliminação dos trafos ideais; 
(c) menores erros de aproximação; 
(d) menor confusão (grandezas de linha / de fase); 
(e) valores típicos de impedâncias para equipamentos. 
 
• FORMULÁRIO PARA CIRCUITOS MONOFÁSICOS 
 
Usualmente são escolhidas ou fornecidas a Potência Base e a 
Tensão Base. Desta maneira tem-se: 
 
Potência Base Sb [VA] Sb [MVA] MVAb 
Tensão Base Vb [V] Vb [kV] kVb 
 
 
A determinação das outras bases é da forma 
 
Corrente Base 
 
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]





⇒=
=
kVV
MVASkAI
VV
VASAI
b
b
b
b
b
b
 (65)
 
 
 
Impedância Base 
 
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]






⇒=Ω
==Ω
MVAS
kVVZ
VAS
VV
AI
VVZ
b
b
b
b
b
b
b
b
2
2
 (66)
 
 
 
 
 
 
b
b
b kV
MVA
kI =
 
[ ]
b
b
b MVA
kVZ
2
=Ω
 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
36 
 
• FORMULÁRIO PARA CIRCUITOS TRIFÁSICOS 
 
Para circuitos trifásicos equilibrados são válidas as seguintes 
equações (em módulo): 
 
 
 
 
 
 
 
(67) 
 
 
 
 
 
 
 
Usualmente são fornecidos a Potência Base Trifásica (Sb3φ) e a 
Tensão Base de Linha ( Vbφφ ). 
 
 
Potência Base Trifásica Sb3Φ [VA] Sb3Φ [MVA] MVAb3Φ 
Tensão Base de Linha VbΦΦ [V] VbΦΦ [kV] kVbΦΦ 
 
No entanto pode-se utilizar a Potência Base por Fase (1Φ) e a 
Tensão Base de Fase (ΦΝ). Assim 
 
 
Potência Base Monofásica Sb1Φ [VA] Sb1Φ [MVA] MVAb1Φ 
Tensão Base de Fase VbΦΝ [V] VbΦΝ [kV] kVbΦΝ 
 
 
onde os valores base por fase se relacionam com os valores 
base trifásicos por 
 
 






=
=
ΦΦ
Φ
Φ
Φ
3
3
3
1
b
Nb
b
b
VV
SS
 (68) 
 
 
Φ
ΦΦ
Φ
ΦΦ
Φ
Φ
Φ
ΦΦΦ
ΦΦ
ΦΦ
ΦΦΦ
ΦΦΦ
=






==
⋅
⋅
==
====
=
3
2
3
2
1
2
13
3
3
3
3
333
3
S
V
S
V
S
V
IV
VV
I
VZ
IVIVIVSS
VV
N
N
NNN
N
N
 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
37 
 
A determinação dos outros valores base é feita utilizando-se as 
equações (65) e (66), ou seja: 
 
Corrente Base 
 
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]







⇒=
⇒=
ΦΦ
Φ
Φ
Φ
kVV
MVAS
kAI
kVV
MVAS
kAI
b
b
b
Nb
b
b
3
3
1
 
(69)
 
 
 
Impedância Base 
 
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]







⇒=Ω
⇒=Ω
Φ
ΦΦ
Φ
Φ
MVAS
kVVZ
MVAS
kVVZ
b
b
b
b
Nb
b
3
2
1
2
 
(70)
 
 
• MUDANÇA DE BASE 
 
Algumas vezes deseja-se expressar uma impedância em pu, 
referida a um certo par de bases, para outro par de bases. Isto é 
feito sabendo-se que o valor ôhmicodesta impedância é único, 
ou seja 
 
[ ] [ ]Ω=Ω ZZ (71) 
 
 
Expressando-se os valores ôhmicos desta impedância em pu, 
para duas impedâncias bases distintas Zb2 e Zb1 vem que 
 
1122 )()( bb ZpuZZpuZ ⋅=⋅ (72) 
 
 
[ ]
Φ
ΦΦ=Ω
3
2
b
b
b MVA
kVZ
 
Nb
b
b kV
MVA
kI
Φ
Φ= 1
 
ΦΦ
Φ=
b
b
b kV
MVA
kI
3
3
 
[ ]
Φ
Φ=Ω
1
2
b
Nb
b MVA
kVZ
 
Circuitos Trifásicos  Clever Pereira 
 
38 
 
 
Ou seja 
 
2
1
12 )()(
b
b
Z
ZpuZpuZ ⋅= (73)
 
 
Substituindo as expressões para Zb2 e Zb1 tem-se que 
 
1
2
1
1
2
2
2
2 )()(
b
b
b
b
MVA
kVpuZ
MVA
kVpuZ ⋅=⋅ (74) 
 
Rearranjando os termos resulta finalmente que 
 
 
(75)
 
 
 
 
1
2
2
2
1
12 )()(
b
b
b
b
MVA
MVA
kV
kVpuZpuZ ⋅





⋅=